Θεώρημα ώθησης-ορμής: Επιβεβαίωση της σχέσης ορμής-ώθησης στην περίπτωση κρούσης σωμάτων στην αεροτροχιά

Transcript

1 Θεώρημα ώθησης-ορμής: Επιβεβαίωση της σχέσης ορμής-ώθησης στην περίπτωση κρούσης σωμάτων στην αεροτροχιά Μια εργαστηριακή άσκηση Ιωάννης Α. Σιανούδης Φυσικός, Αναπληρωτής Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικής, Τμήμα Φυσικής-Χημείας & Τεχνολογίας Υλικών, Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα (ΤΕΙ) Αθήνας, Αγ. Σπυρίδωνος, Αιγάλεω, ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία αποτελεί την περιγραφή μιας εργαστηριακής άσκησης, ενός απλού πειράματος φυσικής, με αφορμή το οποίο γίνεται για εκπαιδευτικούς σκοπούς η παρακολούθηση, η καταγραφή και η μελέτη του φαινομένου της κρούσης ανάμεσα σε σώματα και διευκολύνεται η εμπέδωση της έννοιας της ώθησης. Το πείραμα υλοποιείται με μια διάταξη αεροτροχιάς, η οποία υποστηρίζεται από σύγχρονη μετρητική τεχνολογία (διασυνδέτης, αισθητήρες κίνησης και δύναμης, υπολογιστής). Η ενασχόληση με την εργαστηριακή άσκηση αποτελεί μια εκπαιδευτικά χρήσιμη και ενδιαφέρουσα διαδικασία στο βαθμό που ο σπουδαστής όχι μόνο υποβοηθείται να κατανοήσει και να εμπεδώσει το θέμα ως γνώση φυσικής, άλλα υποβοηθείται επίσης στο χειρισμό σύγχρονης τεχνολογία και στην εξοικείωση με προγράμματα για συλλογή και επεξεργασία δεδομένων, ιδιαίτερα χρήσιμα και ωφέλιμα. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ κρούσεις, ελαστική και ημιελαστική κρούση, ώθηση, Excel, διασύνδεση με PC, φωτοπύλη, αισθητήρας κίνησης, αισθητήρας δύναμης.

2 Εισαγωγή Φαινόμενα που συνδέονται με την κίνηση ενός σώματος, την (σύγ)κρουση του με κάποιο άλλο, την ανταλλαγή δυνάμεων και την ακόλουθη μεταβολή της κινητικής του κατάστασης, είναι θέματα βασικής σημασίας στην Φυσική, ενώ έχουν απήχηση και στην καθημερινή ζωή. Στην διευκόλυνση για την κατανόηση τέτοιων φαινομένων, τα οποία για εκπαιδευτικούς σκοπούς αναπαράγονται και αναπαρίστανται στο εργαστήριο, αξιοποιείται σήμερα με επιτυχία και σε μεγάλο βαθμό η τεχνολογία της πληροφόρησης και των άμεσων μετρήσεων μέσω αισθητήρων. Το πείραμα που παρουσιάζεται εδώ ως εργαστηριακή άσκηση, επιτυγχάνει να βοηθήσει στην κατανόηση της έννοιας της ώθησης δύναμης και στις συνέπειες της δράσης της: Ένα σώμα που κινείται με σταθερή ταχύτητα διαθέτει ορμή. Συνέπεια της πρόσκρουσής του σε κάποιο εμπόδιο (ή σε με κάποιο σώμα άπειρα μεγάλης μάζας) υφίσταται μια ώθηση. Το σώμα αναπηδάει επάνω στο εμπόδιο, εξαιτίας μιας μικρής διάρκειας μεταβαλλόμενης δύναμη, την οποία δέχεται, με αποτέλεσμα τη μεταβολή της ορμής του. Το όλο συμβάν περιγράφεται με το θεώρημα ορμήςώθησης, το οποίο μπορεί να διερευνηθεί και να επιβεβαιωθεί με ποσοτικές μετρήσεις. Το πείραμα υλοποιείται με μια διάταξη αεροτροχιάς, η οποία υποστηρίζεται από σύγχρονη μετρητική τεχνολογία (διασυνδέτης, αισθητήρες κίνησης και δύναμης, υπολογιστής). Η ενασχόληση με την εργαστηριακή άσκηση αποτελεί μια εκπαιδευτικά χρήσιμη και ενδιαφέρουσα διαδικασία στο βαθμό που ο σπουδαστής όχι μόνο υποβοηθείται να κατανοήσει και να εμπεδώσει από τη μεριά της φυσικής γνωσιακά το θέμα, άλλα ταυτόχρονα μαθαίνει και εξοικειώνεται στην χρήση και στον χειρισμό σύγχρονης τεχνολογίας μετρήσεων, στην συλλογή και επεξεργασία δεδομένων, τα οποία από μόνα τους αποτελούν ιδιαίτερα χρήσιμες και εκπαιδευτικά επωφελείς διαδικασίες. Θεωρία Η ορμή σώματος που έχει μάζα m και κινείται με σταθερή ταχύτητα v ορίζεται από το ανυσματικό γινόμενο των δύο, ως p = m v (1) και είναι επίσης ένα διανυσματικό μέγεθος, στο οποίο η κατεύθυνση του συμπίπτει με αυτήν της ταχύτητας. Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα γνωρίζουμε, ότι για να μεταβληθεί η τιμή της ορμή σώματος απαιτείται η επενέργεια δύναμης. Γενικότερα

3 ισχύει, ότι η συνισταμένη όλων των δυνάμεων που δρουν σε ένα σώμα είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του F dv m dt d = ( m v) dt = (2) ρα η δύναμη στο σώμα για ένα χρονικό διάστημα dt, ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t 1 και t 2, τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση, γνωστή και ως θεώρημα ώθησης-ορμής t 2 Δ p = m ( v 2 v1) = F dt (3) t 1 Η ποσότητα στο δεύτερο σκέλος της σχέσης αυτής αποτελεί ένα ξεχωριστό φυσικό μέγεθος, το οποίο είναι επίσης ανυσματικό και καλείται ώθηση. t J = 2 F dt (4) t 1 Η ώθηση συμβολίζεται με J ή συχνά με το σύμβολο Ω και εκφράζεται στο διεθνές σύστημα σε μονάδες [Ν s]. Σχήμα 1.: Γραφική παράσταση της δύναμης συναρτήσει του χρόνου δράσης της, στην οποία το εμβαδόν της επιφανείας της καμπύλης ορίζει το μέτρο της ώθησης. Ως εκ τούτου, πρόκειται για μια μεταβαλλόμενη εξωτερική δύναμη που δρα σε ένα σώμα και έχει κατά κανόνα μικρής χρονικής δράσης. Μεταδίδει στο σώμα έναν παλμό, το μέτρο του οποίου ισούται με το εμβαδόν Ε της επιφάνειας που περικλείει η καμπύλη της συνάρτησης F=f(t), της μεταβολής της δύναμης στον χρόνο, ανάμεσα στα σημεία t 1 και t 2, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Συχνά όταν η δύναμη μεταβάλλεται χρονικά, η ώθηση μπορεί να οριστεί από την μέση δύναμη F ave επί το χρονικό διάστημα t, που αντιστοιχεί με το εμβαδόν του σκιαγραφημμένου τετραγώνου στο σχήμα 2β και 2γ. J Fave ( t 2 t1) = (5)

4 Σχήμα 2.: α) Στις δύο καμπύλες που παριστάνονται στην γραφική παράσταση, τα εμβαδά της επιφάνειας που περικλείει η καθεμιά είναι μεταξύ τους ίσα. β) και γ) στις δύο γραφικές παραστάσεις της δύναμης συναρτήσει του χρόνου δράσης της, η ώθηση που επιφέρει είναι ίδιου μέτρου, διαφορετικής όμως μέσης δύναμης. α) β) Παρατηρείται εύκολα στα παραπάνω σχήματα, ότι όσο αυξάνεται το χρονικό διάστημα t επίδρασης της δύναμης, τόσο μειώνεται η τιμή της μέσης δύναμης. Ένα παράδειγμα φαινόμενου, όπου εφαρμόζεται και χρησιμοποιείται η έννοια της ώθησης δύναμης είναι στα φαινόμενα της κρούσης. Πιο συγκεκριμένα σ αυτό το είδος κρούσης που υλοποιείται στο παρόν πείραμα, ένα σώμα σταθερής μάζας κινείται γραμμικά, επάνω σε μια τροχιά, με αμελητέες πχ λόγω τριβών απώλειες, με σταθερή ταχύτητα. Το σώμα συναντά σε κάποιο σημείο της πορείας του και συγκρούεται με άλλο σώμα που είναι ακίνητο και πακτωμένο, το οποίο μπορεί μ αυτόν τον τρόπο να θεωρηθεί, ότι έχει άπειρα μεγάλη μάζα. Κατ αντιστοιχία πρόκειται για την περίπτωση πχ μιας σύγκρουσης αυτοκινήτου σε συμπαγή τοίχο. Στα πειράματα των κρούσεων κυριαρχεί η αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα των σωμάτων που συμμετέχουν. Το είδος αυτό των κρούσεων, κατά τις οποίες η κινητική ενέργεια του συστήματος πχ των δύο σωμάτων δεν αλλάζει κατά την κρούση καλείται ελαστική κρούση. Απόλυτα ελαστική θεωρείται μια ιδανική κρούση. Στην περίπτωση που τα δύο συγκρουόμενα σώματα μετά την σύγκρουσή τους παραμένουν ενωμένα η κρούση αυτή ονομάζεται πλαστική κρούση.

5 Στην πράξη οι κρούσεις μακροσκοπικών σωμάτων είναι μη ελαστικές, ήτοι αλλιώς επίσης ονομαζόμενες ημιελαστικές, αφού μέρος της ενέργειας χάνεται κατά την κρούση ή σε άλλη περίπτωση πλαστικές. Για να μειωθούν οι συνέπειες από την κρούση δύο σωμάτων, λαμβάνεται μέριμνα για να αυξηθεί ο χρόνος αλληλεπίδρασης, με αποτέλεσμα η μέση δύναμη να μειώθει σημαντικά. Στα αυτοκίνητα για να μειωθούν οι συνέπειες της κρούσης, αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση αεροθάλαμων ή εκτετεινόμενων ζωνών ασφαλείας. Πειραματική διάταξη H πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται στο πείραμα φαίνεται σχηματικά στην εικόνα 1. Αποτελείται από α) την αεροτροχιά (αερόδρομος), μήκους περίπου l = 220 cm, β) το βαγονάκι, γ) ένας αισθητήρας κίνησης (motion sensor) και δ) ένας αισθητήρας δύναμης με το (διπλό) διασυσδέτη (Interface) τους για σύνδεση με τον υπολογιστή και δ) τον υπολογιστή. Εναλλακτικά αντί για τον αισθητήρα κίνησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία φωτοπύλη για τον προσδιορισμό της ταχύτητας πριν και μετά την σύγκρουση. Σχήμα 3.: Σχηματική παράσταση της πειραματικής διάταξης Στην διάταξη αυτή χρησιμοποιήθηκε διασυνδέτης και λογισμικό από το εμπόριο. Πρόκειται για το σύστημα PasPort USB-Link (PS-2100) σε σύνδεση με τον αισθητήρα δύναμης (PS-2115) και εναλλακτικά είτε με μια φωτοπύλη, είτε με έναν αισθητήρα κίνησης της εταιρείας Pasco, καθώς επίσης το λογισμικό DataStudio 1.9 της ίδιας εταιρείας.

6 Η κρούση του βαγονιού με τον αισθητήρα δύναμης επιλέγεται να γίνεται εναλλακτικά είτε με πρόσκρουση μεταλλικών επιφανειών, είτε με την παρεμβολή ενός ελατηρίου στηριγμένου στο βαγονάκι, για επιμήκυνσης του χρόνου κρούσης. ιαφορετικά μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν δύο μαγνητάκια σε απωστική διάταξη το ένα προς το άλλο. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την καταγραφή της ταχύτητας του κινητού, στη θέση του αισθητήρα κίνησης μία φωτοπύλη, τοποθετημένη λίγο πριν την θέση πρόσκρουσης. Επίσης η ίδια η αεροτροχιά, εάν δεν διατίθεται στο εργαστήριο, μπορεί να παραληφθεί και το πείραμα να πραγματοποιηθεί με ένα αμαξίδιο που κινείται σε επίπεδη επιφάνεια, απλά επάνω σε ρόδες. Αντίστοιχη διάταξη προτείνεται επίσης, όπου φορέας της δύναμης μπορεί να γίνει ένα αβαρές νήμα, με το οποίο έχει συνδεθεί το αμαξίδιο και ο αισθητήρας δύναμης. Τότε αυτό κινείται απομακρυνόμενο από τον αισθητήρα δύναμης, μέχρις ότου το νήμα τεντωθεί και αναπτύξει μια μικρής διάρκειας δύναμη, εξ αιτίας της τάσης του. Στο νήμα μπορεί να προστεθεί επίσης ένα τμήμα λάστιχου, ώστε η διάρκεια δράσης της δύναμης, για ίδια ώθηση, να επιμηκυνθεί. Πειραματική διαδικασία Μετρήσεις Εφ όσον έχουν συνδεθεί οι αισθητήρες δύναμης και κίνησης στον διασυνδέτη κι αυτός στον υπολογιστή, στον οποίον τρέχει ήδη το πρόγραμμα συλλογής δεδομένων, μπορεί να ξεκινήσει η διαδικασία των μετρήσεων: θέτει κανείς σε εκκίνηση το πρόγραμμα για την λήψη των δεδομένων και σπρώχνει με το χέρι του το βαγονάκι, ώστε να κινηθεί κατά μήκος της αεροτροχιάς προς τον αισθητήρα δύναμης. Ο αισθητήρας θέσης καταγράφει την απομάκρυνση του βαγονιού πριν κατά την διάρκεια και μετά την πρόσκρουση του βαγονιού με το εμπόδιο (αισθητήρα δύναμης). Η εξέλιξη του φαινομένου κίνησης και κρούσης εμφανίζεται στην οθόνη του υπολογιστή (εικόνα 4). Το πρόγραμμα εκτός της παράστασης των δύο γραφημάτων σε πραγματικό χρόνο, συλλέγει τα δεδομένα της μέτρησης σε αρχείο τιμών. Το βαγονάκι συγκρούεται με τον αισθητήρας δύναμης, και δέχεται απ αυτόν μια ώθηση, με αποτέλεσμα να επιστρέψει, μετά την πρόσκρουση του, αλλάζοντας πορεία, στην αρχή του θέση. Η ορμή πριν και μετά την κρούση προσδιορίζονται, γνωστής της μάζας, μέσω της καταγραφής της ταχύτητας του. Την ώθηση ως μικρής διάρκειας δύναμη, παρέχει ο ίδιος ο αισθητήρας δύναμης.

7 Σχήμα 4: Οθόνη από το πρόγραμμα συλλογής δεδομένων, στην οποία φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις α) της δύναμης συναρτήσει του χρόνου (επάνω) και β) της θέση συναρτήσει του χρόνου (κάτω). Επεξεργασία μετρήσεων Για την επιβεβαίωση του θεωρήματος ώθησης-ορμής (σχέση 3) συγκρίνονται τα αποτελέσματα των μετρήσεων, από τα δεδομένα που δίνει ο αισθητήρας δύναμης με τα αντίστοιχα δεδομένα του αισθητήρα κίνησης, ως ακολούθως: Λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές της ταχύτητας, όπως προέκυψαν από την επεξεργασία του γραφήματος s=f(t), δηλαδή η κλίση στα δύο τμήματα της καμπύλης (εικόνα 4) πριν και μετά την κρούση, καθώς και την μάζα του σώματος, προκύπτει για την μεταβολή της ορμής:

8 => Δp = m (v 2 v1 ) = = 0.211kg [0.159 m/s = 0.211kg m/s = Kg m/s Δp = N s ( m/s)] Το μέτρο της ώθησης J που προκάλεσε την μεταβολή της ορμής υπολογίζεται εύκολα από την καμπύλη (σχήμα 4 και 5), από το χρονικό ολοκλήρωμα της δράσης της δύναμης, γεγονός που προκύπτει υπολογιστικά με τη βοήθεια ενός προγράμματος γραφικών παραστάσεων, όπως είναι πχ το Origin. [22/2/ :18 "/Graph1" ( )] Integration of Data1_B from zero: i = > 201 x = 2,344 --> 2,443 Area Peak at Width Height , ,392 0,053 1,02963 Σχήμα 5: Γραφική παράσταση της καμπύλης της συνάρτησης δύναμης-χρόνου, όπως μεταφέρθηκε στο origin για τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφανείας που περικλείει η καμπύλη, δηλ. του ολοκληρώματος της συνάρτησης. H τιμή που προέκυψε από τους υπολογισμούς του ολοκληρώματος, μετά από μια επιβεβλημένη διόρθωση στο offset της καμπύλης, είναι:

9 Ε = Εμβαδόν επιφάνειας κάτω από την καμπύλη = J = 0,05439 Ν s Οι δύο τιμές, στα αποτελέσματα της μεταβολής της ορμής και του εμβαδού της επιφανείας, δηλ. της ώθησης δύναμης, είναι συγκρίσιμες μεταξύ τους αρκετά ικανοποιητικά. Ζητείται να διερευνηθεί, κατά πόσον, η μικρή απόκλιση που παρουσιάζεται, δικαιολογείται από το εύρος των πειραματικών σφαλμάτων που υπεισέρχονται στην διαδικασία της μέτρησης ή μπορεί να αποδοθεί σε απώλειες που οφείλονται στην μη συμπερίληψη πχ της ταλάντωσης του ανιχνευτή δύναμης και της έντασης του ήχου που παράγεται. Συμπεράσματα Η πειραματική διάταξη που παρουσιάζεται, αποτελεί μια χρήσιμη πρόταση για την υλοποίηση εργαστηριακής άσκησης, στον βαθμό που τα αποτελέσματα που εξάγονται είναι εξαιρετικά ως προς την ακρίβεια και πλούσια σε πληροφορίες, η ίδια δε μετρητική διάταξη από μόνη της παρουσιάζει εκπαιδευτικό ενδιαφέρον, ενώ μπορεί να οργανωθεί για τις ανάγκες ενός εργαστηρίου Φυσικής, με εύκολο όχι ιδιαίτερα υψηλό κόστος, στο βαθμό που η ίδια η αεροτροχιά μπορεί να παραληφθεί. Βιβλιογραφία 1. R. Tinker, (ed), Microcomputer-Based Labs: Educational Research and Standards, Springer-Verlag Berlin, U. Diemer, B. Baser, H.-J. Jodl, Computer im Praktikum, Springer, Staudenmeier, Η.Μ. (1995), Physics Experiments Using PCs, Springer Verlag 4. Ι. Σιανούδης, Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Ι, Σημειώσεις ΤΕΙ Αθήνας, Αθήνα ulem2p10.html 7.

10 Αναφορές Η παρούσα εργασία έχει πραγματοποιηθεί στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος «Αρχιμήδης» με τίτλο «Nέες Tεχνολογίες στο Εργαστήριο Φυσικής: Ανάπτυξη Εκπαιδευτικού Υλικού με την χρήση του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή και διαμόρφωση κατάλληλων και σύγχρονων διδακτικών προσεγγίσεων» που υλοποιείται στο ΤΕΙ Αθήνας και χρηματοδοτείται από κονδύλια του ΕΠΕΑΕΚ Β. Εικόνες 1.: Φωτογραφία της πειραματικής διάταξης.