Ποια η ταχύτητά του τη στιγµή που έχει περάσει πλήρως από την τρύπα? Λύση µε διατήρηση της ενέργειας. + K f. ! = mg " L & $ !

Transcript

1 Παράδειγµα Ενέργειες Το ακόλουθο πρόβληµα µπορεί να λυθεί είτε µε χρήση των νόµων του Newton ( F=mα ) ή Διατήρηση ενέργειας. Ένα µικρό τµήµα σχοινιού κρέµεται προς τα κάτω µέσα από µια τρύπα σε λείο τραπέζι. Το σκοινί πέφτει µέσω της τρύπας. L Λύση με F = mα Λύση µε διατήρηση της ενέργειας ΦΥΣ Διαλ.18 1 Ποια η ταχύτητά του τη στιγµή που έχει περάσει πλήρως από την τρύπα? Θεωρούµε την επιφάνεια του τραπεζιού σαν ύψος 0. # U + K = U f + K f = mg " L & $ % ' ( + 1 mv v = gl Έστω τη χρονική στιγµή t το σχοινί έχει πέσει κατά µήκος x Έστω ακόµα ότι το σχοινί έχει γραµµική πυκνότητα ρ=m/l è m = ρl Η δύναµη που κινεί το σχοινί είναι το βάρος του τµήµατος που κρέµεται F = ma = m g m m F = m " g = (#L)a ("x)g = ("L)a L v g # xdx = # Lvdv " 0 "xg = "L( dv dx dx dt ) σ είναι το αρχικό πολύ μικρό μήκος που το σχοινί κρέμεται μέσο ύψος που έπεσε το σχοινί m η συνολική μάζα του σχοινιού m=ρl και m αυτή που κρέμεται ~0 g L " g # = L v v = gl = L(v dv dx ) "

2 Ορμή - Κρούσεις, ΦΥΣ Διαλ.18

3 ΦΥΣ Διαλ.18 3 Γραμμική Ορμή - Κρούσεις q Ορισμός: p m " q Ενδιαφέρουσα ποσότητα: F m a " = m d " dt = d(m ") Ø ο Νόμο του Newton dt F = d" p dt Σωστή διατύπωση του ου Νόμου = d" p dt Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος ισούται με την συνισταμένη δύναμη που δρα πάνω στο σώμα Ø Ο ορισμός αυτός της δύναμης είναι πολύ πιο γενικός από ότι έχουμε χρησιμοποιήσει μέχρι τώρα. Ø Επιτρέπει επίσης τον υπολογισμό και για μεταβαλλόμενες μάζες. Αν F=0 τότε η ορμή σταθερή

4 ΦΥΣ Διαλ.18 4 Διατήρηση Ορμής q Θεωρούμε σύστημα σώματα απομονωμένο από το περιβάλλον: Ø Από 3 ο Νόμο του Newton F 1 = F 1 (Δύναμη στο 1 λόγω ) d p 1 dt = " d p d dt dt ( p 1 + p ) = 0 p 1 + p = "#$% Νόμος Διατήρησης της Ορμής: Σε ένα απομονωμένο σύστημα ή περισσοτέρων σωμάτων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους η ολική ορμή του συστήματος διατηρείται ανεξάρτητα από το είδος της αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωμάτων. q Δηλαδή σε απομονωμένα συστήματα δεν υπάρχει κανένας μηχανισμός που να δημιουργεί ή να καταστρέφει ορμή q Η ορμή του συστήματος διατηρείται αλλά όχι απαραίτητα η ορμή του κάθε σώματος ξεχωριστά. q Η ολική ορμή ενός απομονωμένου συστήματος ισούται με την αρχική του ορμή.

5 ΦΥΣ Διαλ.18 5 Διατήρηση της ορμής q Αν είχαμε περισσότερα σώματα τότε d dt F 3 F 1 p1 + p + p3) = F1 + F + F3 = ( F1 + F13) + ( F1 + F3) + ( F31 + F ) = F 31 ( 3 q Γενικά σε απομονωμένο σύστημα όλες οι δυνάμεις εξουδετερώνονται σε ζεύγη Τι συμβαίνει σε μια μπάλα που κινείται σε παραβολική τροχιά? Η ταχύτητα της αλλάζει και επομένως αλλάζει και η ορμή της 1 F 1 Υπάρχει μια ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ δύναμη (η βαρύτητα). Το σύστημα δεν είναι απομονωμένο 3 F 13 F 3 0 απομονωμένο σύστημα q Αν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις τότε: d p dt = F "#$. + F %#$. d (" p ) = F #$%&. #'%&. " + "F d dt dt P "#$%& = " F '()*. + 0 Αν θεωρήσουμε τη γη-μπάλα σαν ένα σύστημα (απομονωμένο τώρα) τότε η ορμή διατηρείται

6 ΦΥΣ Διαλ.18 6 Διατήρηση της ορμής q Η διατήρηση της ορμής μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά με διάφορους τρόπους p ". = p 1 + p = #$%& p 1 + p = p f 1 + p f q Σε μορφή συνιστωσών, η συνολική ορμή σε κάθε διεύθυνση διατηρείται: p x = p x f p y = p y f p z = p z f q Διατήρηση της ορμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε συστήματα με οποιαδήποτε αριθμό σωμάτων

7 ΦΥΣ Διαλ.18 7 Τοξοβόλος Έστω ένας τοξοβόλος ο οποίος βρίσκεται πάνω σε μια λεία επιφάνεια (δεν υπάρχουν τριβές) Πως μπορούμε να μελετήσουμε την δυναμική του συστήματος αυτού; q Εφαρμογή του ου Νόμου του Newton? Δεν υπάρχουν πληροφορίες για F ή α OXI q Εφαρμογή διατήρησης ενέργειας? OXI Δεν υπάρχουν πληροφορίες για έργο ή ενέργεια q Εφαρμογή διατήρησης ορμής? ΝΑΙ

8 ΦΥΣ Διαλ.18 8 Τοξοβόλος (συνέχεια) q Έστω ότι το σύστημά μας είναι ο τοξοβόλος με το τόξο (σώμα 1) και το βέλος (σώμα ) q Δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις που ενεργούν στα σώματα στην x-διεύθυνση Το σύστημα είναι απομονωμένο ως προς την x-διεύθυνση και άρα η ορμή διατηρείται. q Η ορμή του συστήματος πριν αφήσει το βέλος = 0 q Η ολική ορμή του συστήματος αφού ρίξει το βέλος θα είναι: f p "#"$"%"& + p f $'%"& = 0 ( p f "#"$"%"& = ) p f $'%"& q Ο τοξοβόλος θα κινηθεί αντίθετα με την φορά κίνησης του βέλους Ø Συμφωνεί και με το 3 ο νόμο του Newton q Επειδή η μάζα του τοξοβόλου είναι πολύ μεγαλύτερη από του βέλους η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του είναι αμελητέες σε σχέση με αυτές του βέλους

9 ΦΥΣ Διαλ.18 9 Ώθηση Από το ο νόμο του Newton έχουμε F = d" p dt d p = F " dt d p " " = " F dt # p t f = " F dt t Ώθηση: I " p = # t t f F dt F εμβαδό Για μικρό Δt, F μπορεί να ναι μεγάλη è μεγάλη μεταβολή ορμής t Θεώρημα ώθησης ορμής: Η ώθηση μιας δύναμης F που δρα σε ένα σώμα ισούται με τη μεταβολή της ορμής του σώματος Ø Αυτό είναι ισοδύναμο με το ο νόμο του Newton Η ώθηση δεν είναι ιδιότητα του σώματος αλλά ένας μέγεθος που δείχνει την μεταβολή της ορμής ενός σώματος F t

10 Χτύπημα καράτε ΦΥΣ Διαλ q Σπάσιμο μιας σανίδας ξύλου με την ώθηση I = Ft = p = m" Δt πολύ μικρό και Δp = σταθ. è F μεγάλη Ø Σώματα: ü Χέρι: M xεριού =3Kg, ταχύτητα υ χεριού =15m/s, ορμή p χεριού =45Κg m/s ü Σανίδα: l=30 cm, κινείται ~1cm πριν σπάσει, ~500Nt για 1cm λύγισμα Αν υποθέσουμε ότι η σανίδα σταματά το χέρι τότε: l = " t # t = l " 1cm = (" f $" ) / = 1cm 7.5m /s # t =10ms F = p t = 45"gm /s 0.001s = 4.5 #10 4 N

11 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγµα Δυο όµοιες µπάλες αφήνονται να πέσουν στο έδαφος από το ίδιο ύψος. Και στις δυο περιπτώσεις οι µπάλες έχουν την ίδια ταχύτητα προς τα κάτω καθώς χτυπούν στο έδαφος. Στην περίπτωση 1 η µπάλα αναπηδά ενώ στη περίπτωση η µπάλα παραµένει κολληµένη στο έδαφος. Σε ποια περίπτωση το µέγεθος της ώθησης από το έδαφος στη µπάλα είναι µεγαλύτερη; (Α) Περίπτωση 1 (Β) Περίπτωση (Γ) Ίδια και στις δυο περιπτώσεις Περίπτωση 1 - Αναπήδηση = " p " = m # f $ m # " = m # f $ ( $ # ) = m# Περίπτωση Μη αναπήδηση = " p " = m # f $ m # " = m 0 # (# $ ) = m$ y x v v f

12 ΦΥΣ Διαλ.18 1 Παράδειγµα Ο Γιώργος µάζας 75kg και η Μαρία µάζας 50kg είναι ακίνητοι στηριζόµενοι στα πατίνια τους κοιτάζοντας ο ένας τον άλλο. Η Μαρία σπρώχνει το Γιώργο µε µια σταθερή δύναµη F = 45N για Δt = 3sec. Ποιος από του δυο θα κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα µετά την ώθηση; (Α) Γιώργος (Β) Μαρία (Γ) Έχουν την ίδια ταχύτητα Γιώργος (κίνηση σε + διεύθυνση) = " p = F #$% "t = 45 & 3 = 135N sec ( ) = m " # " = m " # f $ # Από τις παραπάνω σχέσεις " = = 1.8m / s Μαρία (κίνηση σε διεύθυνση) = " p = F #$% "t = (&45) ' 3 = &135N sec ( ) = $m# " = m " # f $ # Από τις παραπάνω σχέσεις " = # = #.7m / s Σηµειώστε: P + P M = 75 " " (#.7) = 135 # 135 = 0 P f " / M = 0 = P " / M

13 Κρούσεις ΦΥΣ Διαλ q Αν δύο σώματα συγκρουστούν τότε: Ø Υπάρχει ώθηση (ο χρόνος αλλαγής ορμής είναι μικρός) Ø Οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες και πολύ μεγαλύτερες από οποιαδήποτε εξωτερική δύναμη (σύστημα απομονωμένο) m1 v 1 v m (1) F 1 -F 1 m 1 m () υ 1 m 1 q Ξέρουμε ότι F = d" p dt " d" p = F " dt " # d p " = # " F dt Εξετάζουμε τη μάζα m : p " p t = # f F dt = $ p t Εξετάζουμε τη μάζα m 1 : p 1 " p t 1 = # " F f dt = $ p t 1 Από τη στιγμή που οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες " υ m (3) p 1 + p = p1 + p p 1 = " p

14 ΦΥΣ Διαλ Ελαστική κρούση 1 διάσταση q Σε ελαστικές κρούσεις διατηρούνται η κινητική ενέργεια και η ορμή m 1 v 1 + m v = m 1 v 1 + m v Διατήρηση ορμής 1 m v m v = 1 m v m v Διατήρηση κινητικής ενέργειας Έχουμε εξισώσεις και αγνώστουs: v' 1 και v'. Λύνουμε για v' 1 και v' Μετά από πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι για κρούσεις σε 1-διάσταση: # m v 1 = v 1 " m & # m 1 % ( + v & % ( $ m 1 + m ' $ m 1 + m ' " m v = v 1 % " m 1 $ ' + v ( m 1 % $ ' # m 1 + m & # m 1 + m & Aν m 1 = m τότε: v' = v 1 και v' 1 =v τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες v 1 v m m 1 v v 1 m 1 m

15 ΦΥΣ Διαλ Ελαστική κρούση q Μπορούμε να δείξουμε ότι v 1 v = v " v 1 " Δηλαδή οι σχετικές τους ταχύτητες είναι ίδιες πριν και μετά την κρούση ακόμα και αν οι μάζες τους είναι διαφορετικές Μή Ελαστικές και Πλαστικές κρούσεις q Σε μή ελαστικές κρούσεις ΔΕΝ ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ η μηχανική ενέργεια q Επομένως υπάρχει μόνο μια εξίσωση, αυτή της διατήρησης της ορμής p 1 + p = p 1 + p q Σε πλαστικές κρούσεις τα σώματα μένουν κολλημένα μετά την κρούση

16 Κρούση σε 1-διάσταση - Παράδειγμα ΦΥΣ Διαλ Μια σφαίρα 7.00gr όταν φεύγει από ένα πιστόλι προς ένα ακλόνητο ξύλινο τούβλο µάζας 1.00kgr διεισδύει στο τούβλο σε βάθος 8.00cm. Το τούβλο κατόπιν τοποθετείται πάνω σε µια λεία επιφάνεια και είναι ελεύθερο να κινηθεί. Μια δεύτερη όµοια σφαίρα πυροβολείται µε την ίδια ταχύτητα και ίδια απόσταση από το όπλο προς το τούβλο. Σε πόσο βάθος θα εισχωρήσει η σφαίρα µέσα στο τούβλο στην δεύτερη περίπτωση; Λύση Υποθέτουµε ότι οι ταχύτητες των σφαιρών είναι ίσες και ότι η ίδια δύναµη απαιτείται ώστε οι σφαίρες να διεισδύσουν µέσα στο τούβλο. Αυτή η δύναµη δρα στη σφαίρα αντίθετα µε τη φορά της κίνησής της Για την 1 η σφαίρα, από το θεώρηµα έργου-ενέργειας έχουµε: f W = E "#. $ E "#. = $E "#. "Fd 1 = " 1 m #$.% F = m "#.$ (1) d 1 Όµοια για τη η σφαίρα: (το τούβλο µπορεί να κινηθεί τώρα) f W = E "#. $ E "#. "Fd = 1 (m #$ Από διατήρηση της ορµής στη η περίπτωση παίρνουµε: m " f = #$ " p = p f m "# $ = (m "# + M %&$'. )$ f (m #$ + M %&"'. ) m "#.$ d = 1 ( d 1 m + M "#. %&$'.) 1 + m #$ m "#. $ + M %&'(. )' f " 1 m #$' ( m "#. + M %&$'. ) 1 m "#.$ () (3) d = m "#. + M $%&'. ( m "#. + M $%&'. ) d 1 Αντικαθιστούµε την (1) και (3) στη ()