)دریافت: 93/6/31 پذیرش نهایی: 93/11/28(

Transcript

1 فيزيك زمين و فضا دوره 41 شماره 2 تابستان 1394 صفحة کاربرد تجزیة مد تجربی و طیف فرکانس لحظهای برای تشخیص و تضعیف نوفه سایة فرکانس پایین در دادههای لرزهای و علی غالمی 3 محمدصادق پرکان 1* حمیدرضا سیاهکوهی 2 1. دانشجوی کارشناسی ارشد گروه فیزیک زمین مؤسسة ژئوفیزیک دانشگاه تهران ایران 2. استاد گروه فیزیک زمین مؤسسة ژئوفیزیک دانشگاه تهران ایران 3. دانشیار گروه فیزیک زمین مؤسسة ژئوفیزیک دانشگاه تهران ایران )دریافت: 93/6/31 پذیرش نهایی: 93/11/28( چکیده در این مقاله با استفاده از روش تجزیة مد تجربی طیف فرکانس لحظهای یا طیف هیلبرت معرفی و به منظور حذف امواج زمینغلت حذف نوفة تصادفی و تجزیة طیفی مقاطع لرزهای به کار گرفته شده است. طیف هیلبرت پیشنهادی کاستیهای فرکانس لحظهای حاصل از تبدیل هیلبرت مرسوم را ندارد. برتری نتایج استفاده از طیف هیلبرت در پردازش و تفسیر با اعمال روش روی دادههای لرزهای مصنوعی و واقعی نشان داده شده است. همچنین در زمینة تجزیة طیفی مقاطع لرزهای برای اولینبار از مقاطع فرکانس لحظهای ثابت برای تشخیص نواحی کمفرکانس مقطع لرزهای استفاده شده است که نتایج نشاندهندة عملکرد قابل قبول مقاطع فرکانس لحظهای ثابت در امر تجزیة طیفی دادة لرزهای است. واژههای کلیدی: تجزیة مد تجربی سایة کمفرکانس طیف هیلبرت فرکانس لحظهای موج زمینغلت نوفة تصادفی )CEEMD 1. مقدمه تجزیة مد تجربی ( decomposition, Empirical mode )EMD یک روش تجزیة طيفی داده است که اولين بار توسط هوانگ و همکاران در سال 1998 معرفی شد. این روش از زمان معرفی چند مرحلة تکامل را طی کرده است. بعد از معرفی روش اوليه وو و هوانگ در سال 2009 به دليل وجود مشکل ترکيب مد روش تجزیة مد تجربی دستهای Ensemble empirical mode ( )decomposition, EEMD را معرفی سپس و کرده تورس و همکاران در سال 2011 با معرفی تجزیة مد تجربی دستهای کامل Complete ensemble ( )empirical mode decomposition, CEEMD غيرکاملبودن روشهای پيشين را برطرف مشکل کردند. هرکدام از این روشها دارای خصوصياتی است که آنها را برای تجزیة دادههای مختلف مناسب میکند. در این نوشته در عمليات پردازشی از تجزیة مد تجربی دستهای کامل استفاده شده CEEMD که از این پس با نام اختصاری از آن یاد میکنيم. تجزیة داده به کمک هریک از روشهای تجزیة مد تجربی ( EEMD, EMD, آن را به بخشهایی با عنوان مد ذاتی تقسيمبندی میکند که هریک در بردارندة قسمتهای هممقياس از داده هستند به این صورت که در مد اول کوچکترین مقياسهای داده و در مدهای بعدی بهتدریج مقياسهای بزرگتر قرار میگيرند. با بهرهگيری از این خصوصيت تجزیة مد تجربی الگوریتمهای مختلفی برای پردازش و تفسير دادههای لرزهای معرفی شده است که به عنوان مثال میتوان به موارد روشندل کاهو و نجاتی کالته )1389( بسيم )2011( و فریرا و همکاران )2013( اشاره کرد. مفهوم دیگری که در این مقاله به آن اشاره میشود فرکانس لحظهای است. تعریف فرکانس لحظهای برای یک تابع تکمؤلفهای )یک تابع سينوسی یا کسينوسی( بهخوبی شناخته شده است و عبارت است از تغييرات فاز نسبت به زمان. به همين دليل از دیرباز از فرکانس لحظهای برای تجزیه و تحليل دادههای تکمؤلفهای استفاده شده است. بعد از معرفی تبدیل هيلبرت در سال 1905 ميالدی محاسبة فرکانس لحظهای از دادههای غير تکمؤلفهای از sadegh.parkan@ut.ac.ir * نگارنده رابط:

2 فيزيك زمين و فضا دوره 41 شماره 2 تابستان طریق سيگنال تحليلی امکانپذیر شد. اما به دليل اینکه استفاده از تبدیل هيلبرت و سيگنال تحليلی به توليد فرکانسهای منفی در برخی موارد منجر میشود و این فرکانسها از نظر فيزیکی بیمعناست نوشتههای ضد و نقيضی از بیمعنابودن فرکانس لحظهای تا معرفی آن به عنوان ضرورتی برای تحليل دادههای با فرکانس متغير با زمان منتشر شده است )هوانگ و همکاران.)1998 استفاده از فرکانس لحظهای حاصل از تبدیل هيلبرت در بخشهای مختلف تفسير دادههای لرزهای بهعنوان نشانگر بسيار رایج است و در این خصوص میتوان به استفاده از آن بهعنوان نشانگر ضخامت الیه و پارامترهای سنگشناسی پيداکردن فرکانس ميانگين موجک لرزهای نشانگر مرزهای الیههای امپدانس پایين نازک نشانگر هيدروکربن با آنومالی فرکانس پایين نشانگر ناحية شکستگی نشانگر ناحية بازتابهای آشفته و نشانگر نسبت ماسه به شيل اشاره کرد) سابراه مانيام و رائو 2008(. تجزیة ترکيب تبدیل هيلبرت و فرکانس لحظهای با روش مد تجربی به نوعی تبدیل زمان-فرکانس میانجامد. به دليل اینکه مدهای ذاتی حاصل از تجزیة مد تجربی دارای ویژگیهایی هستند که فرکانس لحظهای مثبت و صحيح از آنها قابل محاسبه است محاسبة فرکانس لحظهای از مدهای ذاتی محتوای زمان-فرکانس داده را به دست میدهد. شایان ذکر است که محاسبة فرکانس لحظهای مثبت میتواند از مؤلفههای تبدیلهای دیگری مانند تبدیل موجک نيز صورت گيرد )هوانگ و همکاران 2009(. نمایش فرکانس لحظهای حاصل از تجزیة مد تجربی برحسب زمان و دامنه را طيف فرکانس لحظهای یا طيف هيلبرت مینامند. این ترکيب در بعضی مقاالت تبدیل هيلبرت هوانگ نيز ناميده شده است. از آنجا که بهدستآوردن فرکانس لحظهای مثبت از مؤلفههای روشهای دیگری مانند تبدیل موجک نيز امکانپذیر است بهکاربردن اصطالح تبدیل هيلبرت- هوانگ چندان رایج نيست و صحيح به نظر نمیرسد و در هوانگ و همکاران )2009( از نام سادة فرکانس لحظهای معنادار استفاده شده است. کاربردهای فرکانس لحظهای و طيف هيلبرت بهعنوان تجزیة زمان-فرکانس در بخشهای مختلف لرزهشناسی کمتر مورد توجه قرار گرفته است. در این مقاله CEEMD کاربردهای فرکانس لحظهای حاصل از روش در حذف امواج زمينغلت و حذف نوفة تصادفی از دادههای لرزهای بررسی و نتایج حاصل روی دادههای طبيعی و مصنوعی ارائه شدهاند. همچنين تحقيقی برای تشخيص نواحی فرکانس پایين مقطع لرزهای با استفاده از مقاطع فرکانس ثابت لحظهای صورت گرفته است که نتایج آن نشاندهندة کارابودن این روش است..2 تئوری روشهای EMD, EEMD, CEEMD.1.2 روش EMD همانطور که گفته شد هرکدام از روشهای تجزیة مد تجربی داده را به بخشهایی با عنوان مد ذاتی تجزیه میکنند که فرکانس لحظهای مثبت از آنها قابل محاسبه است بنابراین دانستن تعریف مد ذاتی به درک چگونگی کارکرد الگوریتم هریک از روشهای تجزیة مد تجربی کمک زیادی میک د.ن شرط اساسی زیر را برآورده کند: بنابراین مد ذاتی تابعی است که دو 1. تعداد نقاط بيشينه و کمينه باید برابر باشند یا حداکثر یکی اختالف داشته باشند. 2. در هر نقطه ميانگين پوش باالیی )که از برازش یک منحنی اسپالین به نقاط بيشينة تابع به دست میآید( و پوش پایينی )که از برازش یک منحنی اسپالین به نقاط کمينة تابع به دست میآید( برابر با صفر باشد. با این تعریف الگوریتم روش EMD که تابع را به مدهای ذاتی تجزیه میکند در زیر توضيح داده شده است: اگر دادهای مانند X(t) داشته باشيم ابتدا نقاط اکسترمم داده شناسایی میشوند. سپس یک خط اسپالین به نقاط بيشينه برازش داده میشود و به این ترتيب پوش باالی داده به دست میآید. این مراحل برای نقاط کمينه تکرار میشود و پوش پایين داده نيز به دست میآید. تمام نقاط داده باید بين پوش باال و پوش پایين قرار بگيرند. سپس

3 207 کاربرد تجزية مد تجربی و طيف فرکانس لحظهای برای تضعيف... ميانگين پوش باال و پایين را به دست میآوریم اگر ميانگين پوش باال و پوش پایين را با m 1 تفاضل بين داده و نشان میدهيم. تا m 1 نمایش دهيم اولين مؤلفه است و آن را با h 1 X(t) m 1 = h 1 ) 1( در شکل 1 پوش باال و پوش پایين و مقدار ميانگين آنها برای یک سيگنال ساده نشان داده شده است. بهصورت ایدهآل h 1 باید یک مد تجربی باشد اما از آنجا که در عمل این فرآیند ممکن است در مورد بعضی از دادهها نقاط اکسترمم جدید توليد کند برای متقارنترشدن h 1 و برآوردهشدن شرط تابع مد ذاتی باید این مرحله تکرار شود. در مرحلة تکرار h 1 به عنوان داده در نظر گرفته میشود و مراحل باال روی آن اجرا میشود h 11 به دست آید. h 1 m 11 = h 11 ) 2( مرحلة تکرار میتواند k بار تکرار شود تا زمانی که h 1k یک تابع مد ذاتی )IMF( باشد. به این مراحل تکرار غربالگری گفته میشود. برای تضمين اینکه h 1k شروط گفتهشده برای تابع مد ذاتی را بهطور کامل برآورده کند باید شرط توقفی برای پروسة غربالگری در نظر گرفته شود. بدین منظور انحراف معيار بين نتيجة دو غربالکردن متوالی بهعنوان شرط توقف در نظر گرفته شده است. SD = T [ (h 1(k 1) (t) h 1k (t)) 2 t=0 ] h 2 1(k 1)(t) )3( زمانی که انحراف معيار بين باشد 0/3 و 0/2 غربالکردن متوقف میشود. h 1k را به عنوان )IMF( اول با c 1 نمایش میدهيم. میتوان نوشت: در نظر گرفته میشود و دوباره مراحل غربالگری روی آن صورت میگيرد تا مد ذاتی بعدی از آن استخراج شود. این فرآیند برای باقيماندههای بعدی نيز تکرار میشود تا تمامی مدهای ذاتی جدا شوند. r 1 c 2 = r 2,, r n 1 c n = r n )7( تا زمانی که آخرین باقيمانده بيشتر از 3 اکسترمم داشته باشد عمل جداکردن مدهای ذاتی از آن صورت میگيرد. رابطة بين مدهای جداشده و داده به صورت رابطه )8( است: )8( که نشاندهندة این است که داده به مقدار باقيماندة X(t) = n i=1 c i + r n n r n.2.2 روش EEMD تجزیه شده است. مد تجربی و یک به دليل مشکل ترکيب مد EMD روش EEMD در سال 2009 معرفی شد. برای اطالعات بيشتر دربارة مشکل ترکيب مد و دیدن مثال میتوان به وو و هوانگ )2009( مراجعه کرد اما الگوریتم روش EEMD ساده است و در مراحل زیر خالصه میشود: 1. اضافهکردن نوفة سفيد به داده 2. تجزیهکردن داده با نوفة اضافهشده به وسيلة روش EMD به IMFها 3. بارها و بارها تکرار مرحلة 1 و 2 اما با نوفههای سفيد مختلف 4. بهدستآوردن ميانگين IMFهای همشمارة حاصل از مرحلة 3 و در نظرگرفتن ميانگينها بهعنوان نهایی. IMFهای h 1(k 1) m 1k = h 1k )4( c 1 = h 1k )5( که در آن در حالت کلی c 1 باید حاوی کوچکترین مقياسها یا بزرگترین فرکانسها باشد. با تفاضل دادة اوليه مقدار باقيمانده به دست میآید. از c 1 X(t) c 1 = r 1 چون مقدار باقيما )6( نده هنوز ممکن است حاوی دادههایی با فرکانس پایينتر باشد به عنوان دادة جدید شکل 1. منحنی آبی یک سیگنال ساده منحنی قرمز پوش باال منحنی سبز پوش پایین و منحنی الجوردی مقدار میانگین است.

4 فيزيك زمين و فضا دوره 41 شماره 2 تابستان R = x k 1 IMF k )14(.3.2 روش CEEMD از آنجا که روش EEMD برای برطرفکردن مشکل ترکيب مد از اضافهکردن نوفه استفاده میکند دادة بازسازیشده از مدهای ذاتی حاوی مقداری نوفة باقيمانده است. همچنين اضافهکردن نوفههای گوسی مختلف ممکن است باعث توليد مدهای ذاتی مختلف شود )تورس و همکاران CEEMD 2011(. بنابراین روش با استفاده از مراحل زیر این مشکالت را حل میکند. در اینجا توابع مد ذاتی با IMF k میشود. برای توضيح الگوریتم ما اپراتور نمایش داده را ) (. j E تعریف میکنيم که مد ذاتی jا م محاسبهشده به روش EMD را به دست میدهد و فرض میکنيم که نوفة ω i سفيد با انحراف معيار (0,1)N و x دادة اصلی و ε 0 یک ضریب ثابت باشد..1 تعداد I دفعه مد ذاتی اول x + ε 0 ω i به وسيلة EMD محاسبه شده و مد ذاتی اول CEEMD )9( محاسبه میگردد: )9( بهصورت رابطه IMF 1 = 1 I I i=1 IMF 1 i سپس مقدار باقيماندة اول از رابطة )10( محاسبه میشود: r 1 = x IMF k )10(.2 در این مرحله I دفعه تابع مد ذاتی اول ) i r 1 + ε 1 E 1 (ω که i = 1,., I را به دست میآوریم. )11( را محاسبه میکنيم و تابع مد ذاتی دوم IMF 2 = 1 I E I i=1 1( r 1 + ε 1 E 1 (ω i )) k = 2,.., k مقدار باقيمانده به صورت رابطه r k = r k 1 IMF k 3. برای )12( است: )12( I.4 دفعه تابع مد ذاتی اول r k + ε k E k (ω i ) = i که 1,., I را محاسبه میکنيم و تابع مد ذاتی (1 + k )ا م را به دست میآوریم. IMF (k+1) = 1 I E I i=1 1( r k + ε k E k (ω i )) )13( 5. برای محاسبة k بعدی به مرحلة 4 بازمیگردیم. تا زمانی که باقيمانده بيشتر از 3 اکسترمم داشته باشد فرایند استخراج توابع مد ذاتی صورت میگيرد و مقدار باقيماندة آخر برابر است با: که در آن k تعداد کل توابع مد ذاتی است و رابطة بين مدهای ذاتی و سيگنال به صورت زیر است: x = k 1 IMF k + R )15( 3. فرکانس لحظهای و طيف فرکانس لحظهای به جای نمایشدادن به وسيلة طيف فوریة مختلط میتوان آن را به صورت زیر نمایش داد که در آن دامنة a(t) لحظهای و φ(t) فاز لحظهای و x(t) دادة مورد نظر است )اینگل هارد 1996(. x(t) = a(t)cosφ(t) )16( فرکانس لحظهای از مشتق فاز یعنی φ(t) حاصل میشود: ω(t) = dφ(t) dt )17( برای بهدستآوردن ω(t) از سيگنال تحليلی استفاده میکنيم. برای یک سيگنال( x(t که در حوزة زمان است این سيگنال برابر است با: z(t) = a(t)e iφ(t) = x(t) + iy(t) )18( که در آن قسمت حقيقی همان سيگنال قسمت موهومی y(t) عمود بر x(t) است. x(t) )19( چون است و y(t) = a(t)sinφ(t) ( x(tو y(t) بر یکدیگر عمود هستند بنابر این یک زوج تبدیل هيلبرت را تشکيل میدهند: x(t) = 1 π p y(t) = 1 π p + y(τ) τ t + x(τ) τ t dτ = H(y(t)), dτ = H(x(t)), )20( )21( که در آن p عبارت است از مقدار قضية کوشی در = τ t. مقدار دامنة لحظهای a(t) و فاز لحظهای صورت زیر با سيگنال تحليلی مرتبط است: φ(t) )22( به a 2 (t) = x 2 (t) + y 2 (t) φ(t) = tan 1 ( y(t) )23( برای انتقال داده به حوزة زمان ) x(t) -فرکانس با استفاده از رابطة 1 و محاسبة فرکانس لحظهای از روابط 2 تا 8 در مورد بعضی از دادهها مشکالتی ایجاد میشود: اول اینکه فرکانس لحظهای بهدستآمده برای بعضی دادهها ممکن

5 209 کاربرد تجزية مد تجربی و طيف فرکانس لحظهای برای تضعيف... است مقادیر منفی به دست دهد که از نظر فيزیکی بیمعناست. دوم اینکه در صورت محاسبة فرکانس لحظهای یک دادة چندمقياسی که در هر زمان به باندهای فرکانسی متفاوتی قابل تفکيک است تنها یک فرکانس در هر زمان در اختيار قرار میگيرد که در این صورت مزیت خاصی برای پردازشگر ایجاد نمیشود. این موضوع بر این نکته تأکيد دارد که برای دادههای ناپایا قبل از محاسبة فرکانس لحظهای داده باید به باندهای فرکانسی مجزایی تجزیه شود و سپس فرکانس لحظهای از این بخشهای جداگانه محاسبه گردد. روشهایی مانند تجزیة مد تجربی داده را به بخشهایی که گفته شد تجزیه میکند که اوال این بخشها فرکانسهای لحظهای مثبت توليد میکنند و ثانيا در یک زمان هرکدام از مدهای ذاتی فرکانس لحظهای دیگر موجود در آن زمان را به دست میدهند. همانطور که در بخش قبل هم گفته شد مدهای ذاتی دارای دو خصوصيت هستند: اول اینکه در آنها تعداد نقاط صفر گذر با تعداد نقاط بيشينه یا کمينه برابر است یا حداکثر یکی اختالف دارند و دوم اینکه نسبت به ميانگين صفر متقارن هستند. در مورد سيگنالهایی که این دو شرط را دارا هستند فرکانس لحظهای بهدستآمده نشاندهندة توزیع زمان-فرکانس داده است. هوانگ و همکاران )2009( به دو شرط اساسی به نامهای شروط بدروسيان و نوتال اشاره کردهاند که برای اطالعات بيشتر میتوان به آن مراجعه کرد. برای مثال در شکل 2 -الف فرکانس لحظهای 3 موجک ریکر جداگانه با فرکانسهای مرکزی 30 هرتز 50 هرتز و 70 هرتز روی یک نمودار رسم شده است. چون موجک ریکر شرایط یک مد ذاتی را برآورده میکند بنابراین فرکانس لحظهای آن نشاندهندة توزیع زمان- فرکانس آن است. همانطور که مشاهده میشود در شکل 1 -الف با زیادشدن فرکانس مرکزی موجک قلة فرکانس لحظهای به اطراف فرکانس مرکزی موجک منتقل میشود و چون شيب قسمتهای جانبی نمودار بيشتر میشود به این معنی است که فرکانسهای لحظهای در نقاط باالتر تجمع پيدا کردهاند. شکل 2 -الف نموداری دوبعدی از توزیع فرکانسهای موجک در زمانهای مختلف را نشان میدهد. در صورتی که دامنة لحظهای موجکهای ریکر را به عنوان بعد سوم در نظر گرفته و در یک تصویر رنگی نمایش دهيم نمایش زمان- فرکانسی همچون نمایشهای زمان-فرکانس موجود )طيف نگاشت تبدیل S طيف نگاشت )STFT به دست میآید که آن را طيف فرکانس لحظهای یا طيف هيلبرت مینامند )شکل 2 -ب(..4 مراحل تجزية داده به فرکانس لحظهای و خصوصيات اين نوع تجزية داده در مورد سيگنالهایی که شرایط محاسبة فرکانس لحظهای معنادار را برآورده نمیکنند میتوان از مراحل زیر برای تجزیة زمان-فرکانس و تشکيل طيف فرکانس لحظهای استفاده کرد: 1. تجزیة داده به مدهای ذاتی 2. گرفتن تبدیل هيلبرت از هر کدام از مدهای ذاتی و تشکيل سيگنال تحليلی 3. محاسبة دامنة لحظهای و فرکانس لحظهای 4. نمایش همزمان کميتهای زمان فرکانس لحظهای و دامنة لحظهای در یک شکل رنگی به منظور تشکيل طيف هيلبرت. بعد از تجزیة داده مطابق مراحل فوق فرکانس لحظهای و دامنة لحظهای مدهای ذاتی در اختيار است که این فرکانسها و دامنهها در حقيقت همان محتوای فرکانسی متغير با زمان دادهاند و میتوان با استفاده از این فرکانسها داده را پردازش کرد. در مورد خصوصيات این نوع تجزیة زمان-فرکانس میتوان به موارد مهمی اشاره کرد مهمترین موضوع در زمينة تجزیههای زمان-فرکانس قدرت تفکيک است. همانطور که میدانيم دو نوع قدرت تفکيک در صفحة زمان- فرکانس وجود دارد: اول قدرت تفکيک زمانی به این معنی که فرکانسهای مربوط به یک زمان از چه بازة زمانی داده محاسبه شده است. به عنوان مثال در تبدیل فوریة ساده فرکانسهای بهدستآمده مربوط به تمام طول داده است و در مورد تبدیل فوریة زمان کوتاه

6 فيزيك زمين و فضا دوره 41 شماره 2 تابستان فرکانسهای بهدستآمده در هر زمان به طول پنجره تبدیل فوریة زمان کوتاه مربوط هستند. هرچه فرکانسهای بهدستآمده به بازة زمانی کوتاهتری مربوط باشند قدرت تفکيک زمانی بيشتر است و در عمليات پردازش در صورت اعمال تغيير روی فرکانسهای مربوط به یک زمان دادههای موجود در زمان مجاور دستخوش تغيير کمتری میشوند. دوم قدرت تفکيک فرکانسی است و به این معنی است که فرکانسهای مربوط به یک زمان در صفحة زمان-فرکانس از چه تعداد فرکانس یا از چه بازة فرکانسی تشکيل شدهاند. هرچه فرکانسهای نسبت دادهشده به یک زمان کمتر باشد یا به عبارت دیگر بهصورت بازهای از اعداد حقيقی نباشد قدرت تفکيک فرکانسی بيشتر است و در عمليات پردازش نتایج بهتری حاصل میشود. باالترین قدرت تفکيک زمانی از طریق فرکانس لحظهای حاصل میشود و روشهای تجزیهای مانند تجزیة مدتجربی قدرت تفکيک فرکانسی را بهبود بخشيدهاند. بنابراین استفاده از تجزیة داده به فرکانس لحظهای که در باال توضيح داده شد به سبب قدرت تفکيک باال در پردازش داده مزیتهایی ایجاد میکند. بهطور مثال در بحث تجزیة طيفی باعث متمرکزشدن ناحية روشن میشود یا در خصوص حذف نوفة تصادفی از داده فرکانسهای باال را جدا نمیکند. در ادامه به این مسائل با ذکر مثال پرداخته شده است. بين 25 تا 35 هرتز است. همانطور که در شکل دیده میشود مقاطع فرکانس ثابت مربوط به تبدیل و S فرکانس لحظهای هر دو ناحية کمفرکانس مربوط به مخزن را آشکار کردهاند. مقطع فرکانس ثابت حاصل از تبدیل S )شکل 4 -ب( در مقایسه با مقطع فرکانس ثابت حاصل از فرکانس لحظهای )شکل 4 -ب( دارای برتریهایی است. بهعنوان مثال ناحية روشن در شکل 4- الف متمرکزتر بوده و به بازتابندههای محدودة مخزن محدود است و در ناحية وسيعتری گسترده نشده است. این امر نشانگر قدرت تفکيک باالی طيف فرکانس لحظهای است. نمایش زمان-فرکانس تبدیلهای دیگر به دليل عدم قطعيتی که در تعيين فرکانس و زمان دارند از وضوح کمتری برخوردارند و اطالعات در یک باند فرکانسی گسترده میشوند. 5. تجزية طيفی به کمك فرکانس لحظهای همانطور که در بخش قبل گفته شد میتوان با استفاده از فرکانس لحظهای و تجزیة مد تجربی نمایش زمان- فرکانسی از داده به دست آورد. از طيف بهدستآمده میتوان برای تهية مقاطع فرکانس ثابت و شناسایی نواحی خاصی از مقطع که دارای خصوصيات فرکانسی مشخصی هستند استفاده کرد. در شکل 3 یک مقطع لرزهای واقعی از یک مخزن نشان داده شده است. مقاطع فرکانس ثابت این داده به وسيلة روش تبدیل S و فرکانس لحظهای در شکل 4 نمایش داده شده است. این مقاطع حاصل برهمنهی مقاطع تکفرکانس برای فرکانسهای شکل 2. فرکانس لحظهای حاصل از سه موجک ریکر 30 هرتز )آبی( 50 هرتز )سبز( و 70 هرتز )قرمز( که در یک نمودار با هم رسم شدهاند و طیف فرکانس لحظهای حاصل از سه موجک ریکر 30 هرتز 50 هرتز و 70 هرتز.

7 211 کاربرد تجزية مد تجربی و طيف فرکانس لحظهای برای تضعيف... شکل 3. یک مقطع لرزهای واقعی حاوی مخزن. شکل 4. مقطع فرکانس ثابت حاصل از برهمنهی مقاطع فرکانس ثابت از 25 تا 35 هرتز با استفاده از روش پیشنهادی و با استفاده از تبدیل S. 6. تضعيف نوفة تصادفی با استفاده از طيف فرکانس لحظهای در این بخش یکی دیگر از کاربردهای طيف فرکانس لحظهای بررسی شده است. همانگونه که میدانيم تضعيف دیجيتالی نوفه با استفاده از تبدیلهای ریاضی صورت میگيرد که داده را از حوزة زمان به حوزة دیگری مانند حوزة فرکانس میبرند. از ابتداییترین این تبدیلهای ریاضی تبدیل فوریه است. تبدیل فوریه داده را به فرکانسهای تشکيلدهنده تجزیه میکند. چون فرکانسهای مربوط به نوفة تصادفی عموما فرکانسهای باال هستند با حذف این مؤلفهها و گرفتن عکس تبدیل انتظار میرود نوفه تضعيف شود. حذف بعضی از مؤلفههای فرکانس در این حوزه نيازمند طراحی فيلتری نرم و هموار است تا بعد از گرفتن عکس تبدیل پدیدة گيبس اتفاق نيفتد. استفاده از سایر تبدیلهای زمان فرکانس مرسوم مانند تبدیل S تبدیل موجک و... که محتوای فرکانسی سيگنال را بر حسب زمان به دست میآورند نيز مانند تبدیل فوریه برای گرفتن عکس تبدیل حساس هستند. همچنين به دليل مشکل قدرت تفکيک آنها در حذف فرکانسهای باال از داده عالوه بر نوفه فرکانسهای باالی مربوط به سيگنال مفيد نيز برداشته میشود. حذف نوفة تصادفی با استفاده از تجزیة مد تجربی و بدون استفاده از طيف فرکانس لحظهای نيز مرسوم است که در آن بعد از تجزیة داده به زیرمجموعههای مدهای ذاتی مد ذاتی اول به عنوان نوفه در نظر گرفته شده و حذف میشود. این روش حساسيت عکس تبدیل را نداشته و اجرای آن ساده است اما بخشهایی از نوفه که در سایر مدهای ذاتی وجود دارد دستنخورده باقی میماند. عالوه بر آن در فرآیند حذف مد ذاتی اول بهطور معمول فرکانسهای باالی مربوط به داده نيز همراه با مد ذاتی اول بيرون ریخته میشود )شکل 5(. با توجه به اینکه روش پيشنهادی فرکانس لحظهای مشکالت مطرحشدة روشهای قبلی را ندارد و نوفههای موجود در سایر مدهای ذاتی را هم تشخيص میدهد می تواند ابزاری مناسب برای حذف نوفه از دادههای لرزهای باشد. به منظور بررسی توانمندی روش روی دادة واقعی از رکورد لرزهای نشان دادهشده در شکل 6 -الف استفاده شده است. برای هر ردلرزه بعد از تجزیه به مدهای ذاتی و فرکانس لحظهای دامنههای مربوط به فرکانسهای نوفه از مدهای ذاتی آن حذف شده و از جمع مدهای ذاتی باقيمانده ردلرزة فيلترشده به دست آمده است. نتایج در شکل 6 -ب و مقدار باقيمانده در شکل 6 -ج قابل مشاهده است. همچنين به دليل اینکه حذف نوفه از مقاطع

8 فيزيك زمين و فضا دوره 41 شماره 2 تابستان برانبارششدة لرزهای دارای حساسيت بيشتری است )چون فرکانسهای نوفه به فرکانسهای دادة مفيد نزدیکتر است و عمل فيلترکردن را دشوار میسازد( عملکرد روش روی مقطع برانبارششدة لرزهای شکل 7 نيز بررسی و نتایج حاصل از حذف نوفه نشان داده شده است. همانطور که از شکل 7 -ج قابل مشاهده است در دادة تفاضل در ناحية بين نمونه زمانی 240 تا 280 از دادة اصلی مقداری کم نشده است و با توجه به اینکه این ناحيه محدود به دادة مفيد ماست میتوان گفت که روش پيشنهادی به سيگنال آسيبی نرسانده است. زیرا دادة مربوط به بازتابندها از برانبارش به دست آمده و در عمل بدون نوفه است. )ج( شکل 5. بخشی از یک دادة برانبارش شده دادة پردازششده که تفکیک عمودی آن بر اثر حذف مد ذاتی اول کاهش یافته است و )ج( مقدار تفاضل. )ج( شکل 6. بخشی از یک رکورد لرزهای واقعی دارای نوفه دادة فیلترشده به وسیلة طیف فرکانس لحظهای و )ج( مقدار باقیمانده. شکل )ج( 7. یک inline از مکعب برانبارششدة لرزهای دارای نوفه دادة فیلترشده به وسیلة فرکانس لحظهای و )ج( مقدار تفاضل بین داده.

9 213 کاربرد تجزية مد تجربی و طيف فرکانس لحظهای برای تضعيف... شکل 8. مقایسة طیف دامنة میانگین محاسبهشده از ردلرزههای دادة شکل 6 منحنی آبی به دادة اصلی و منحنی قرمز به دادة فیلترشده مربوط است. در شکل 8 مقایسة ميانگين طيف دامنة دادة اصلی و دادة فيلترشده )نشان دادهشده در شکل 7( صورت گرفته است. همانطور که از شکل مشخص است فرکانسهای محدودة 40 تا 90 هرتز بهتمامی حذف نشدهاند )اتفاقی که در فيلتر پایينگذر یا حذف اولين مد ذاتی روی میدهد( بلکه عمدتا سهم مربوط به نوفه تضعيف شده است. دوباره قابل ذکر است که فيلترکردن داده به کمک طيف هيلبرت بهصورت محلی انجام میشود و حذف فرکانس لحظهای مربوط به یک قسمت از داده برخالف فيلتر فرکانسی بر کل داده تأثير نمیگذارد. فرکانس ردلرزهها زمينغلت با روش یک ردلرزة CEEMD اختياری حاوی موج تجزیه شده و طيف فرکانس لحظهای حاصل از آن در شکل 9 -ب نشان داده شده است. همانطور که مشاهده میشود در این طيف فرکانسهای مربوط به امواج با دامنة زیاد و فرکانس کم از بازتابها تفکيک شده است و به منظور حذف موج زمينغلت باید انرژی محدودة نمونة زمانی 600 تا 1800 و فرکانسهای 7 تا 15 هرتز از طيف حذف شود. این امر به وسيلة حذف دامنههای مدهای ذاتی متناظر با فرکانسهایی که در این محدوده قرار دارند صورت میگيرد و مدهای ذاتی باقيمانده با یکدیگر جمع میشوند. دادة فيلترشده بدون موج زمينغلت در شکل 10 قابل مشاهده است. 7. حذف امواج زمينغلت با استفاده از طيف هيلبرت حذف موج زمينغلت با استفاده از طيف هيلبرت بر پایة این حقيقت استوار است که فرکانسهای مربوط به امواج زمينغلت عموما بهطور شایان توجهی پایينتر از فرکانسهای امواج بازتابی هستند و همچنين دامنة این امواج بزرگتر از دامنة امواج بازتابی است. با تجزیة داده به حوزة زمان- فرکانس با روش پيشنهادی عمل حذف موج زمينغلت میتواند با حذف فرکانسهای لحظهای مربوط به صورت گيرد. موج زمينغلت از طيف فرکانس لحظهای در شکل 9 -الف دادة مصنوعی با چهار بازتابنده با فرکانس مرکزی 30 هرتز و امواجی با فرکانس کم و متغير با زمان همچنين و دامنة زیاد بهعنوان امواج زمينغلت نشان داده شده است. برای مشاهدة محدودة شکل 9. دادة مصنوعی حاوی امواج زمینغلت طیف فرکانس لحظهای یکی از رد لرزههای حاوی موج زمینغلت.

10 فيزيك زمين و فضا دوره 41 شماره 2 تابستان شکل 10. دادة پاکسازیشدة شکل 9 فلا- و مقدار باقیمانده. شکل 11. مقایسة طیف دامنة میانگین محاسبهشده از ردلرزههای دادة شکل 9 -الف و 10 فلا- منحنی قرمز به دادة فیلترشده مربوط است. منحنی آبی به دادة مصنوعی اولیه و حذف فرکانسهای پایين از طيف فرکانس لحظهای به این معنی است که از جمع مدهای ذاتی دادة اوليه بازسازی نمیشود بلکه دادة بازسازیشده دادهای فاقد فرکانسهای فيلترشده است. چون این فرکانسها از مدهای ذاتی حذف شدهاند بنابراین ممکن است مقدار کمی از نوفهای که طی الگوریتم CEEMD به داده اضافه شده است خود را آشکار کند )شکل 10 -الف( که با کاهش پارامتر ε در الگوریتم میتوان آن را به حد ناچيز رساند. همچنين مقایسة طيف دامنة ميانگين دادة مصنوعی شکل 9 و دادة فيلترشدة آن در شکل 11 نشان داده شده است. همانطور که از شکل پيداست فرکانسهای کم با دامنة زیاد مربوط به موج زمينغلت فرضی حذف شدهاند. برای اطمينان از عملکرد روش روی دادة واقعی در شکل 12 یک دادة لرزهای واقعی حاوی موج زمينغلت و دادة فيلترشدة آن به وسيلة این روش نمایش داده شده است که نشان میدهد این روش موج زمينغلت را از داده برداشته است. در مورد نتایج شکل 12 و همچنين خصوصيات حذف امواج زمينغلت به وسيلة روش گفتهشده میتوان گفت در صورتی که فرکانس لحظهای بازتابندهها با فرکانس لحظهای امواج زمينغلت تداخل داشته باشد عمل فيلترکردن فرکانس لحظهای آن بخش از بازتابنده را که با فرکانسهای امواج زمينغلت تداخل داشته باشد از داده جدا میکند. این امر را در برخی نقاط داده تفاضل در شکل 12 -ج میتوان دید اما به دليل قدرت تفکيک خوب روش پيشنهادی این امر کمتر اتفاق میافتد و همچنين ممکن است خطاهای مشاهدهشده در شکل 12- ج ناشی از بعضی خطاهای الگوریتم باشد در هر صورت این خطاها کوچک هستند و در مقایسه با حذف امواج زمينغلت از داده میتوان از آنها چشمپوشی کرد. اما در مورد نقطة قوت این روش در مقایسه با فيلتر سرعتی f-k در حوزة برای حذف موج زمينغلت میتوان گفت اهميتی ندارد که چه اندازه طيف f-k موج زمينغلت با امواج بازتابی همپوشانی داشته باشد )به عبارت دیگر سرعت امواج زمينغلت نزدیک به سرعت امواج بازتابی باشد( در هر صورت روش طيف فرکانس لحظهای موفق عمل میکند.

11 ج) 215 کاربرد تجزية مد تجربی و طيف فرکانس لحظهای برای تضعيف... شکل ) 12. یک دادة لرزهای واقعی حاوی موج زمینغلت دادة فیلترشده به وسیلة روش پیشنهادی و )ج( مقدار تفاضل.

12 فيزيك زمين و فضا دوره 41 شماره 2 تابستان شکل مقایسة طیف دامنة میانگین محاسبهشده از ردلرزههای دادة شکل 12 -الف و 12 ب - منحنی آبی مربوط به دادة اولیه و منحنی قرمز مربوط به دادة فیلتر شده است. در شکل 13 طيف ميانگين دادة شکل 12 و دادة فيلترشدة آن مقایسه شده است. از مقایسة این دو منحنی میتوان به این نتيجه رسيد که دامنة فرکانسهای پایين )7 تا 15 هرتز( تضعيف شدهاند. همچنين میتوان به این نتيجه رسيد که طراحی فيلتری در حوزة فرکانس برای حذف امواج زمينغلت عملی به نظر نمیرسد. بحث نتایج نشان دادهشده در مورد شناسایی سایة کمفرکانس حذف نوفة تصادفی و حذف امواج زمينغلت با استفاده از تجزیة مد تجربی و طيف فرکانس لحظهای حاوی نکاتی است که هر چند در طول مقاله به آن اشاره شد اما میتوان مفصلتر در این بخش دربارة آنها بحث کرد. در بخش مقاطع فرکانس ثابت حاصل از طيف فرکانس لحظهای متمرکزشدن ناحية روشن و محدودشدن آن به بازتابندهها میتواند اطالعات بيشتری در مقایسه با روشهای مرسوم دیگر در اختيار قرار دهد. به عنوان مثال از مقاطع فرکانس لحظهای ثابت میتوان پی برد که سایة کمفرکانس دقيقا از کدام الیة مقطع شروع شده و در کدام الیه تمام شده است. از طرف دیگر پیبردن به تغييرات فرکانسی داده در طول زمان انتشار بهصورت دقيق مزیت مهمی است که از طریق طيف فرکانس لحظهای قابل دستيابی است. در حذف نوفة تصادفی از مقاطع لرزهای وضعيتی را در نظر بگيرید که نوفة تصادفی تا زمان مربوط به بازتابنده وجود داشت باشد. سپس در طول زمان بازتاب نوفهای نباشد و بعد از بازتاب دوباره نوفه وجود داشته باشد )که در مقاطع برانبارششده عموما شرایط اینچنين است(. در این وضعيت با استفاده از روشهایی که بر پایة تبدیل فوریه هستند بهطور قطع مقادیری از بازتابندهها به عنوان نوفه از آنها جدا میشود چرا که حذف فرکانسهای نوفههای مجاور بازتابنده روی بازتابنده نيز تأثير میگذارد اما در صورتی که روش بهکاربردهشده دارای قدرت تفکيک بيشتری باشد ناحية بازتابنده دستنخورده باقی میماند مانند شکل 7. در حذف موج زمينغلت نيز میتوان به ویژگی مهم وابستهنبودن روش به سرعت امواج زمينغلت اشاره کرد. اما در مورد استفاده از تجزیة داده به فرکانس لحظهای و استفاده از آن در پردازش دادة لرزهای که موضوع این مقاله است باید گفت که بهترین قدرت تفکيک زمان- فرکانس از طریق فرکانس لحظهای حاصل میشود و همانطور که گفته شد یکی از روشهایی که داده را برای محاسبة فرکانس لحظهای مهيا میکند روش تجزیة مد تجربی است. هرچند که ممکن است این روشها دارای کاستیهایی باشند اما در حال توسعه و بهبود هستند و امکان محاسبة فرکانس لحظهای صحيح در حال بهبود است. اميد آن میرود که نتایج بيانشده در این نوشتار به شناساندهشدن مزیتهای استفاده از این نوع روشها و توسعة آنها کمک کند. 9 نتيجهگيری در این مقاله روش تجزیة داده مبتنی بر تجزیة مد تجربی و فرکانس لحظهای )طيف هيلبرت( معرفی شد. به منظور آشنایی با مراحل اعمال روش و همچنين مزایای آن سه کاربرد از پردازش و تفسير دادة لرزهای شامل تشخيص سایة کمفرکانس مخزن حذف نوفة تصادفی و حذف امواج زمينغلت ارائه شد. همچنين این روش در مورد هر یک از سه کاربرد گفتهشده دارای ویژگیهایی است که

13 217 کاربرد تجزية مد تجربی و طيف فرکانس لحظهای برای تضعيف... در طول مقاله به تفصيل بيان و گاه با برخی روشهای دیگر مقایسه شد. انتظار میرود با شناسایی این روش استفاده از آن در پردازش و تفسير دادههای لرزهای بيشتر مورد توجه قرار گيرد. مراجع روشندل کاهو ا. و نجاتی کالته ع تضعيف نوفههای دادههای در اتفاقی از استفاده با لرزهای تجزیة مد تجربی م. ژئوفيزیک ایران 5)2( Baseem, S., 2011, De-noising seismic data by Empirical Mode Decomposition, Master Thesis in Geosciences, University of Oslo. Engelhard, L., 1996, Determination of seismicwave attenuation by complex trace analysis, Geophys. J. Int., 125, Ferreira, L. E. S., Porsani, M. J., da Silva, M. G. and Vasconcelos, G. L., 2013, Application of the empirical mode decomposition method to ground-roll noise attenuation in seismic data, Revista Brasileria de Geofisica, 31(4), Huang, N. E., shen, Z., long, S. R., Wu, M. C., shih, H. H., Zheng, Q., yen, N. C., Tung, C. C. and Liu, H. H., 1998, The empirical mode decomposition and Hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis, Proc. R. soc. lond, 454, Huang, N. E., wu, Z., long, S., Arnold, k. C., Chen, X. and Blank. K., 2009, On instantaneous frequency: advances in adaptive data analysis, 1(2), Subrahmanyam, D. and Rao, P. H., 2008, Seismic attributes- a review: 7 th International conference & exposition on petroleum geophysics, Hyderabad, P-398. Torres, M. E., Colominas, M. A., Schlotthauer, G. and Flandrin, P., 2011, A complete ensembele empirical mode decomposition with adaptive noise: international conference on acoustics, speech and signal processing (ICASSP), IEEE, abstracts, Wu, Z. and Huang, N. E., 2009, Ensemble empirical mode decomposition: a noiseassisted data analysis method, proceeding of the world scientific publishing company, Advances in adaptive data analysis, 1(1), 1-41.