نمونه برداری از سیگنالهای زمان پیوسته

Transcript

1 فصل چهارم: نمونهبرداری: سیگنالهای گسسته را میتوان به روشهای متعددی ایجاد کرد. یکی از این روشها نمونه برداری از سیگنال های پیوسته است که با یک دوره تناوب خاص می باشد. شکل زیر بلوک دیاگرام یک مبدل سیگنال آنالوگ به سیگنال زمان گسسته ایده آل را نشان می دهد: = T دوره تناوب نمونه برداری f s = 1 T فرکانس نمونه برداری بر حسب نمونه برثانیه رادیان بر ثانیه. 2π T 2πf s = Ω s 73

2 برای مثال ورودی میتواند شکل موج گفتار یا صحبت و خروجی آن نمونه های متناوبی با آن دوره تناوب باشد. در عمل از نمونه بردار در مبدلهای آنالوگ به دیجیتال A/D استفاده می شود که در آن مسایل مختلفی نظیر آهنگ نمونه برداری کوانتش 1 نمونه های خروجی خطی بودن گام های کوانتش نیاز به نمونه بردار- نگهدار 2 و محدودیت های فرکانس یا آهنگ نمونه بردار مطرح می باشد. نمونه برداری در حالت کلی وارون پذیر نیست. یعنی با داشتن x[n] نمی توان (t) x c را در حالت کلی به دست آورد. زیرا سیگنال های پیوسته متعددی در زمان می توانند همان دنباله نمونه را ایجاد کنند. ولی با محدود کردن فرکانس نمونه برداری میتوان این ابهام را رفع کرد. شکل زیر فرایند نمونه برداری را درحالت عملی نشان می دهد: 1 Quantization 2 Sample Hold 74

3 s(t) یک قطار ضربه است که در سیگنال زمان پیوستهی (t) x c ضرب میشود. به این عملیات مدوالسیون با قطار ضربه میگویند. به این ترتیب یک سیگنال گسسته در زمان به کمک قطار ضربه ایجاد میگردد. s(t) = δ(t nt) n= x s (t) = x c (t). δ(t nt) n= x s (t) = x c (t). s(t) x s (t) = x c (nt). δ(t nt) n= نمایش در حوزه فرکانس : s(t) = δ(t nt) f n= S(jΩ) = 2π δ(ω KΩ T S ) N= Ω S = 2π T فرکانس نمونه برداری x s (t) = x c (t). s(t) X s (jω) = 1 2π X c (jω) S(jΩ) X s (jω) = 1 X 2π c (jω) [ 2π δ(ω KΩ T s ) X s (jω) = 1 X T k= C(j(Ω KΩ S )) k= ] مالحظه می شود که است که با فرکانس KΩ S تکرار شده است. X c (jω) کپیهای مکرر X s (jω) مثال: 75

4 مالحظه میشود در حالتی که فرکانس نمونه برداری یعنی Ω S از دو برابر پهنای باند سیگنال یعنی Ω N بیشتر تداخل یا درهمروی اتفاق نمیافتد و به راحتی میتوان (t) x 3 c را با استفاده از یک باشد( (Ω S 2Ω N فیلتر پایینگذر ایده آل جدا کرد. 3 Aliasing 76

5 بنابراین فرایند بازسازی دقیق سیگنال از روی نمونههایش به این صورت خواهد بود: 77

6 مثال : سیگنال t) x c (t) = cos(ω 0 را درنظر بگیرید: x c (jω) = F{cos( Ω c t)} حالتهای بدون درهمروی و با درهمروی در نمونهبرداری از سیگنال فوق در شکل زیر نمایش داده شده است: 78

7 بدیهی است که: X r (jω) = π ([δ(ω (Ω s Ω 0 ))] + δ(ω + (Ω s Ω 0 ))) x r (t) = cos(ω s Ω 0 )t قضیهی نایکویست : 4 سیگنالی نامحدود در زمان است به طوری که : فرض کنید (t) x c X c (jω) = 0, Ω Ω N در این صورت میتوان (t) x c را از روی نمونههایش (, ±2 ±1, 0, = n )x[n] = x c (nt), به طور یکتا بازسازی نمود به شرطی که فرکانس نمونه برداری یعنی Ω S در رابطهی Ω S = 2π T 2Ω N صدق کند. معموال Ω N را فرکانس نایکویست و 2Ω N را آهنگ نایکویست مینامند. لذا داریم: : X X برحسب X(e jω c و( jω ) s (jω) بدست آوردن ) x[n] DTFT X(e jω ) X s (jω) = + n= x c (nt)e jωnt x c (nt) F X s (jω) زیرا: x s (t) = x c (t)δ(t nt) F X s (jω) = x s (t)e jωt dt n= 4 Nyquist Theorem 79

8 X s (jω) = x c (t)δ(t nt) e jωt dt n= = x c (nt)δ(t nt) e jωt dt = n= = x c (nt) n= e jωnt x c (nt) e jωnt δ(t nt)dt n= از طرفی: x[n] = x c (nt) DTFT X(e jω ) = + x[n]e jωn n= در نتیجه : X s (jω) = X(e jω ) ω=ωt = X(e jωt ) بنابراین با توجه به این روابط : X s (jω) = 1 X T k= c (j(ω kω s )) X(e jωt ) = 1 X T k= c (j(ω kω s )) در نتیجه : X(e jω ) = 1 T X c (j ω T k= j 2πk T ) مالحظه می شود که ) jω X(e تغییر مقیاس فرکانسی یافتهی (jω) X s است. این تغییر مقیاس معادلΩT ω = است. همانطور که x[n] تغییر مقیاس زمانی یافتهی (t) x s با ضریب مقیاس می باشد. 1 T 80

9 مثال: اگر از سیگنال پیوسته در زمان (4000πt) x c (t) = cos با دوره تناوب نمونه برداری = T نماییم n) x[n] = x c (nt) = cos(4000πtn) = cos(ω 0 عبارت حاصل میگردد که در آن باالترین فرکانس Ω s = 2π 0 = 4000π و اگر Ω باشد T = 12000π با فرض.ω 0 = 4000πT = 2π 3 شرایط قضیه نمونه برداری Ω s 2Ω 0 برقرار میگردد و در نتیجه درهمروی رخ نخواهد داد. مالحظه میشود که پدیدهی درهمروی رخ نداده و با یک فیلتر ایده آل با فرکانس قطع Ω c = 6000π سیگنال قابل بازسازی است. میدانیم که ω. = ΩT پس برای به دست آوردن ) jω X(e کافی است هرچه Ω داریم در T مفروض ضرب کنیم. لذا داریم: ω = 4000π = 2π 3 ω = 8000π = 4π 3 ω = 16000π = 8π 3 81

10 T = اگر در مثال قبلی به جای (t) x c از 12000πt استفاده نموده ولی دوره تناوب نمونه برداری همان باشد معیار نایکویست برآورده نمیشود و باید انتظار درهمروی داشته باشیم. اگر شکلها را دوباره رسم کنیم ممکن است همان شکلهای قبلی حاصل گردند ولی ضربهها جا به جا شده و سیگنال اصلی حاصل نمیگردد. )رسم شکلها به عهده دانشجو( بازسازی یک سیگنال با باند محدود از روی نمونهها با مبدل سیگنال دیجیتال به پیوسته: x s (t) = x[n]δ(t nt) n= x r (t) = x s (t) h r (t) x r (t) = h r (t) x[n]δ(t nt) n= = x[n]. h r (t) δ(t nt) = x[n]. h r (t nt) n= n= 82

11 sinc(α) sin πα πα h r (t) = sin(π T ) π T x r (t) = n= = sin c ( t T ) x[n] sinc ( t nt ) = x[n] sinc T n= (t n ) T X r (jω) = X s (jω). H r (jω) X r (jω) = X(e jωt ). H r (jω) طبق روابط باال همانطور که در شکل نیز مشخص است در هر ضربه در واقع یک تابع سینک داشته ایم. در واقع این ضربه ها از شیفت یا ضربهی تعدادی از سیگنال ها به دست میآیند. F 83

12 پردازش سیگنال گسسته در زمان سیگنالهای پیوسته در زمان: یکی از کاربردهای سیستمهای گسسته در زمان پردازش سیگنالهای پیوسته در زمان است که ساختار آن در بلوک دیاگرام فوق ارایه شده است. از جمله این کاربردها میتوان به پردازش گسسته در زمان LTI سیگنالهای پیوسته در زمان اشاره نمود. مثال: بررسی فیلتر پایین گذر پیوسته ایده آل با استفاده از فیلتر پایین گذر گسسته در زمان: بلوک دیاگرام شکل زیر را در نظر بگیرید. H(e jω ) = { 1, ω ω c 0, ω c < ω < π سیستم LTI گسسته در زمان دارای پاسخ فرکانسی است. این پاسخ فرکانسی همان طور که در شکل زیر مشخص است با دوره تناوب 2π متناوب میباشد. 84

13 این سیستم برای عملکرد مناسب به ازای ورودیهای باند محدود با پاسخ فرکانسی معادل 1, Ω < ω c T H eff (jω) = { 0, Ω > ω c T ΩT < ω c یا ΩT > ω c یا نام دارد در زیر نشان داده شده است. الزم به ذکر رفتار میکند. این پاسخ فرکانسی که پاسخ فرکانسی موثر 5 است که این پاسخ فرکانسی پاسخ فرکانسی یک فیلتر پایین گذر ایده آل با فرکانس قطع Ω c است. شکلهای زیر مجموعهی فرایند پردازش گسسته در زمان برای یک سیگنال پیوسته را نمایش میدهد: 5 Effective frequency responce 85

14 86

15 مثال: ساخت گسسته در زمان یک مشتقگیر پیوسته در زمان باند-محدود ایده آل: سیستم مشتقگیر ایده آل پیوسته در زمان به صورت y c (t) = d x] تعریف میگردد. پاسخ فرکانسی این dt c(t)] سیستم H c (jω) = jω میباشد. اکنون به دلیل اینکه میخواهیم یک سیستم با قابلیت پردازش گسسته در زمان سیگنالهای پیوسته در زمان را برای ورودی باند-محدود محقق نماییم کافی است داشته باشیم: jω, Ω < π H eff (jω) = { T 0, Ω π T عبارت فوق در شکل زیر رسم شده است: پاسخ فرکانسی سیستم گسسته در زمان متناظر H(e jω ) = jω T میباشد., ω < π این پاسخ فرکانسی نیز در زیر رسم شده است: 87

16 میتوان نشان داد که پاسخ ضربهی متناظر عبارت است از: h[n] = πn cos πn sin πn πn 2 T 0, n = 0 = { cos πn nt, n 0 لذا اگر یک سیستم گسسته در زمان با این پاسخ ضربه در آرایش شکل زیر یه کار رود خروجی برای هر ورودی باند-محدود برابر مشتق ورودی خواهد بود. پردازش سیگنال گسسته در زمان سیگنالهای پیوسته در زمان: میتوان پردازش پیوسته در زمان سیگنالهای گسسته در زمان نیز داشت. الزم به ذکر است که این نوع پردازش رایج نمیباشد. بلوک دیاگرام این حالت به صورت روبروست. 88

17 تغییر آهنگ نمونهبرداری با پردازش گسسته در زمان: الف( کاهش آهنگ نمونهبرداری با مضرب صحیح: به کمک فرآیند نمونهبرداری میتوان آهنگ نمونهبرداری یک رشته را بر اساس بلوک دیاگرام شکل زیر تغییر داد. این سیستم موسوم به سیستم فشرده ساز آهنگ نمونهبرداری یا به طور خالصه فشرده ساز میباشد. این فرآیند به معنی تعریف یک رشتهی جدید به صورت زیر میباشد: x d [n] = x[nm] = x c (nmt) با آهنگ T d = MT با توجه به معادلهی فوق [n] x d معادل دنبالهای است که از نمونهبرداری (t) x c به دست میآید. همچنین اگر در Ω Ω N داشته باشیم = 0 (jω) X c آنگاه [n] x d نمایش دقیقی از (t) x c است π به شرطی که داشته باشیم = π > Ω. یعنی آهنگ نمونه برداری را میتوان با ضریب T d MT N 1 M آنکه پدیدهی درهمروی رخ دهد این موضوع مستلزم آن است که آهنگ نمونه برداری اولیه حداقل M کاهش داد بدون برابر آهنگ نایکوئیست بوده یا پهنای باند رشته ابتدا توسط فیلتر گسسته در زمان با ضریب M کاهش یابد. عملیات کاهش آهنگ نامیده میشود. نمونه برداری فرآیند کاهش نمونهبرداری 6 میدانیم تبدیل فوریهی (nt) x[n] = x c عبارت است از: X(e jω ) = 1 T X c (j ω T k= j 2πk T ) به نحوی مشابه تبدیل فوریهی ) d x d [n] = x[nm] = x c (nt با T d = MT عبارت است از: 6 Downsampling Process 89

18 X d (e jω ) = 1 T d X c (j ω j 2πr ) T d T d r= حال چون داریم T d = MT میتوانیم معادلهی فوق را به صورت زیر بازنویسی نماییم: X d (e jω ) = 1 MT X c (j ω MT r= j 2πr MT ) اکنون شاخص جمعبندی رابطهی فوق را به صورت r = i + km تعریف مینماییم به طوری که M 1 X d (e jω ) = 1 M [1 T X c (j ω MT i=0 k= X(e j(ω 2πi)/M ) = 1 T X c (j M 1 k= X d (e jω ) = 1 M X(ej(ω 2πi)/M ) i=0 ω 2πi MT j 2πk T + < k < i < M 1, < 0. لذا داریم: 2πi j MT ) ] جملهی داخل پرانتز را میتوان به صورت زیر بیان نمود: j 2πk T ) و در نهایت خواهیم داشت: این رابطه نشان میدهد ) را میتوان مرکب از تعداد نامحدودی کپی تغییر مقیاس یافتهی (jω) X X d e) jω c دانست که با ضریب ω = ΩT d تغییر مقیاس فرکانسی با ضرایب صحیح 2π جا به جا شده باشند. حال اگر ) jω X(e به صورت زیر باند-محدود باشد: X(e jω ) = 0, ω N ω π و داشته باشیم: 2π/M 2ω N در همروی رخ نخواهد داد. در شکل زیر حوزهی فرکانس کاهش نمونهبرداری به ازای = 2 M نمایش داده شده است. 90

19 شکل )a( تبدیل فوریهی یک سیگنال پیوسته در زمان باند محدود و شکل )b( تبدیل فوریهی قطار ضربهی نمونه- های آنرا هنگام نمونه برداری با تناوب T نشان میدهد. شکل )c( X(e jω ) را نشان میدهد. همانطور که مشاهده 91

20 میشود شکلهای )b( و )c( تنها از نظر مقیاس محور فرکانس با یکدیگر تفاوت دارند. شکل )d( DTFT دنبالهی کاهشنمونهبرداری شده را به ازای = 2 M نمایش میدهد. این تبدیل فوریه بر حسب فرکانس نرمالیزهی ترسیم شده است. در نهایت شکل )e( DTFT دنبالهی کاهشنمونهبرداری شده را بر حسب فرکانس ω = ΩT d پیوسته در زمان Ω نشان میدهد. شکل )e( نیز مانند شکل )d( است با این تفاوت که محور فرکانس با ضریب Ω = ω/t d تغییر مقیاس یافته است. 2π/T 4Ω N یعنی آهنگ نمونه برداری اولیه دقیقا دو برابر آهنگ نایکوئیست است. به همین در این مثال داریم: دلیل کاهشنمونه برداری با آهنگ = 2 M درهمروی ایجاد نمیکند. شکل زیر کاهشنمونه برداری با درهمروی و حالتی که به منظور جلوگیری از درهمروی از فیلتر استفاده شده است را نمایش میدهد. شکل )a( تبدیل فوریهی سیگنال پیوسته در زمان (t) x c و شکل )b( تبدیل فوریهی 2π/T 4Ω N نشان میدهد. لذا گسسته در زمان دنبالهی (nt) x[n] = x c را به ازای x d [n] = x[3n] = x c [nt] دنبالهی M اکنون کاهشنمونه برداری با ضریب = 3.ω N Ω N T = π/2 را نتیجه میدهد که DTFT آن در شکل )c( به ازای فرکانس نرمالیزهی ω = ΩT d نشان داده شده است. چون مقدار 2/3π Mω N = از π بزرگتر است در همروی رخ خواهد داد. در حالت کلی برای اینکه کاهشنمونه برداری با ضریب M به درهمروی منجر نشود بایستی داشته باشیم: Mω N π یا ω N π/m در بقیه موارد به منظور جلوگیری از درهمروی بایستی قبل از فرآیند کاهشنمونه برداری باند سیگنال x[n] را با فیلتر کردن محدود نمود. اگر x[n] توسط یک فیلتر پایین گذر ایدهآل با فرکانس قطع π/m فیلتر شود خروجی x [n] را میتوان مطابق شکلهای )d( تا )f( بدون درهمروی کاهشنمونه برداری نمود. 92

21 93

22 نتیجتا سیستم کلی کاهشنمونه برداری با ضریب M در بلوک دیاگرام شکل زیر نمایش داده شده است. این سیستم و عملیاتی که توسط این سیستم انجام میشود را برگزینش مینامند. را برگزیننده 7 ب( افزایش آهنگ نمونهبرداری با ضریب صحیح: عمل افزایش آهنگ نمونه برداری را مینامند. بیشنمونهبرداری 8 در این بخش هدف این است که دنبالهی ) i x i [n] = x c (nt را با T i = T/L از نمونههای (nt) x[n] = x c به دست آوریم. در این حالت داریم: x i [n] = x [ n L ] = x c ( nt L ), n = 0, ±L, ±2L, شکل زیر بلوک دیاگرام سیستمی را نشان میدهد که [n] x i را با استفاده از پردازش گسسته در زمان از x[n] به دست میآورد. این سیستم بازکننده یا سیستم عمومی افزایش آهنگ نمونه برداری با ضریب L میباشد. این سیستم نیز مینامند زیرا در ادامه مشاهده خواهد شد که این سیستم نمونههای میانی را به دست میدهد. را درونیاب 9 خروجی این سیستم عبارت است از: x e [n] = { x [n L ], n = 0, ±L, ±2L, 0, o. w. 7 Decimation 8 Upsampling Process 9 Interpolator 94

23 یا به طور معادل: x e [n] = x[k]δ[n kl] k= اکنون به منظور درک بهتر این سیستم آنرا در حوزهی فرکانس بررسی مینماییم. تبدیل فوریهی [n] x e را میتوان به شکل زیر بیان نمود: X e (e jω ) = [ x[k]δ[n kl] ] e jωn = x[k]e jωlk = X(e jωl ) n= k= k= پس تبدیل فوریهی خروجی بازکننده نمونهی تغییر مقیاس فرکانسی یافتهی تبدیل فوریهی ورودی است یعنی بایستی به جای ω عبارت ωl قرار دهیم بطوریکه.ω = ΩT i این اثر در شکل زیر نشان داده شده است. شکل )a( یک تبدیل فوریهی باند محدود پیوسته در زمان و شکل )b( π DTFT رشتهی (nt) x[n] = x c را نشان میدهد که در آن. شکل )c( X = Ω e (e jω ) را به ازای T N = 2 L و شکل )ه( تبدیل فوریهی سیگنال [n] x i را بیان مینماید. مشاهده میشود که ) jω X i e) را میتوان از T/1 i و حذف تمامی تصاویر تغییر مقیاس فرکانسی یافتهی روی ) jω X e e) با اصالح ضریب دامنه از T/1 به (jω) X c به جز در ضرایب صحیح 2π به دست آورد. برای حالت تصویر شده از یک فیلتر پایینگذر با بهر 2 هی و فرکانس قطع 2/π به صورت نمایش داده شده در شکل )d( استفاده میگردد. در حالت کلی بایستی که مقدار بهره برابر L باشد زیرا: = ) 1 ( L و فرکانس قطع باید π/l T [1/(T)] = 1/T L i باشد. این مثال نشان میدهد که فرآیند پیشنمونه برداری با درونیابی مترادف است. 95

24 96