ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΑΡΑΒΕΛΑΚΗΣ ΝΙΚΟΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΑΡΑΒΕΛΑΚΗΣ ΝΙΚΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ: ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΚΙΤΣΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΤΙΛΗΝΗ 2008

2 Επιβλέπουσα Καθηγήτρια Επικ. Καθηγήτρια Δ. Κίτσιου Εξεταστική Επιτροπή Επικ. Καθηγήτρια Δ. Κίτσιου Επικ. Καθηγήτρια Μ. Κωστοπούλου Καραντανέλλη Λέκτορας Γ. Κόκκορης Φωτογραφία εξώφυλλου: Άποψη του Κόλπου Γέρας στη Δύση του Ήλιου, Ν. Μαραβελάκης 1

3 Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερμά την επιβλέπουσα Επίκουρη Καθηγήτρια κ. Δ. Κίτσιου για την ανάθεση μιας τόσο ενδιαφέρουσας και επικοδομητικής πτυχιακής εργασίας, αλλά και για την πολύτιμη βοήθειά και καθοδήγησή της όποτε την χρειάστηκα. Ευχαριστώ επίσης τα υπόλοιπα μέλη της Τριμελούς Εξεταστικής Επιτροπής, την Επίκουρη Καθηγήτρια κ. Μ. Κωστοπούλου Καραντανέλλη και τον Λέκτορα κ. Γ. Κόκκορη για την προθυμία τους να συμμετάσχουν στην επιτροπή αξιολόγησης, αλλά και την βοήθεια που μου πρόσφεραν όποτε τους το ζήτησα. Το μεγαλύτερο ευχαριστώ όμως, το οφείλω στην οικογένειά μου για την υποστήριξή τους και την υπομονή τους... 2

4 Περιεχόμενα Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...5 Α.1 Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών...5 Α.1.1 Ορισμοί Γενικές εφαρμογές...5 Α.1.2 Εφαρμογές των ΓΣΠ στο θαλάσσιο περιβάλλον και την παράκτια ζώνη..8 Α.2 Οργανικός Άνθρακας...13 Α.2.1 Οργανικός άνθρακας σε θαλάσσια ιζήματα...13 Α.2.2 Οργανικός άνθρακας και GIS...14 Α.2.3 Σκοπός της παρούσας εργασίας...16 Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ...17 Β.1 Μέθοδοι Χωρικής Παρεμβολής...17 Β.1.1 Γενικά...17 Β.1.2. Κατηγορίες μεθόδων χωρικής παρεμβολής...19 Β.1.2.α. Ντετερμινιστικές Μέθοδοι Β.1.2.β. Γεωστατιστικές Μέθοδοι...20 Β.1.3 Μέθοδος χωρικής παρεμβολής Αντίστροφης Βαρύνουσας Απόστασης ( Inverse Distance Weighting, IDW )...21 Β.1.3.α. Η δύναμη p...23 Β.1.3.β. Η «γειτονιά»...24 Β.1.4 Μέθοδοι χωρικής παρεμβολής Splines...26 B.2. Στατιστική ανάλυση των δεδομένων ενός δείγματος...29 Β.3 Μέθοδος Cross-Validation και μέτρα σύγκρισης χωρικών παρεμβολών...33 Β.3.1 Μέθοδος Cross-validation και μέσα χωρικά σφάλματα...33 B.3.2 Συντελεστής Pearson, συντελεστής προσδιορισμού και διαγράμματα πρόβλεψης...38 Β.3.3 Μελέτη του μέσου σφάλματος MSE μέσω των συνιστωσών του...40 Γ. ΠΕΡΙΟΧΗ ΜΕΛΕΤΗΣ...42 Γ.1 Κόλπος Γέρας...42 Γ.2 Δεδομένα Πεδίου

5 Δ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ...49 Δ.1 Στατιστική ανάλυση δεδομένων οργανικού άνθρακα...49 Δ.2 Αξιολόγιση χωρικών παρεμβολών...50 Δ.2.1 Αξιολόγιση της μεθόδου Αντιστρόφου Βαρύνουσας Απόστασης (IDW) για διάφορους γείτονες και συναρτήσεις βάρους...52 Δ.2.2 Αξιολόγιση της χωρικής παρεμβολής SPLINES για διάφορες παραμέτρους βάρους...70 Δ.3 Χωρικές κατανομές οργανικού άνθρακα και μέσων χωρικών σφαλμάτων...71 Δ.3.1 Χωρικές κατανομές με τη μέθοδο της IDW...77 Δ.3.2 Χωρικές κατανομές με τη μέθοδο των Splines...85 Ε. ΣΥΖΗΤΗΣΗ...87 Ε.1 Μέσα χωρικά σφάλματα...87 Ε.2 Συντελεστές γραμμικής συσχέτισης Pearson και προσδιορισμού...88 Ε.3 Συνιστώσες του MSE...89 Ζ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...90 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ...92 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

6 Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α.1. Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών (Geographical Information Systems, GIS) Α.1.1 Ορισμοί Γενικές εφαρμογές Η ραγδαία εξέλιξη των υπολογιστών τις τελευταίες δεκαετίες, έχει χρήσει τα Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών (GIS) εκ των βασικότερων εργαλείων επίλυσης γεωγραφικών προβλημάτων και λήψης αποφάσεων στις μέρες μας. Μέσω των GIS έχει δοθεί η δυνατότητα στην επιστημονική κοινότητα, αλλά και σε δημόσιους ή ιδιωτικούς οργανισμούς, να συνδυάζουν την επιστημονική γνώση με δεδομένα από διάφορες πηγές δίνοντάς τους με αυτόν τον τρόπο μεγάλη πρακτική αξία. Κατά καιρούς έχουν δοθεί διάφοροι ορισμοί για τα GIS, κάποιοι εκ των οποίων είναι οι εξής: Ένα ισχυρό σύνολο εργαλείων για την συλλογή, αποθήκευση, ανάκτηση κατά βούληση, τον μετασχηματισμό και την απεικόνιση χωρικών δεδομένων του πραγματικού κόσμου για συγκεκριμένους σκοπούς (Burrough, 1986). Μια πληροφοριακή τεχνολογία, η οποία αποθηκεύει, αναλύει και απεικονίζει χωρικά και μη χωρικά δεδομένα (Parker, 1988). Ένα σύστημα στήριξης αποφάσεων, το οποίο εμπλέκει την ένταξη χωρικών δεδομένων στην επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων (Cowen, 1988). Ένα σύστημα βάσης δεδομένων, όπου τα περισσότερα δεδομένα είναι χωρικά και στα οποία εφαρμόζονται ένα σύνολο διαδικασιών προκειμένου να απαντηθούν ερωτήματα που έχουν να κάνουν με χωρικές οντότητες, μέσα στη βάση δεδομένων (Smith et al., 1987). Η δυνατότητα χρήσης των GIS σε ευρύ πεδίο εφαρμογών έγκειται σε παράγοντες όπως, (α) δύναται η εισαγωγή δεδομένων από διάφορες πηγές και η παράλληλη διαχείρησή τους, (β) η αποθήκευση των δεδομένων καθώς και η πρόσβαση σε αυτά είναι 5

7 πολύ εύκολη, (γ) ο τρόπος αποθήκευσης των δεδομένων είναι τέτοιος ώστε να περιορίζεται η συσσώρευση περιττής πληροφορίας, (δ) τα δεδομένα μπορούν να ενημερωθούν εύκολα, (ε) υπάρχει η δυνατότητα επεξεργασίας των δεδομένων και ανάπτυξης μοντέλων, (στ) αυτοματοποιημένη δημιουργία χαρτών και (ζ) τα δεδομένα καθώς και η επεξεργασία τους μπορούν να απεικονιστούν εύκολα με μεγάλη ποικιλία μέσων (οθόνη υπολογιστή, εκτυπωτής κλπ) (Κίτσιου, 2002). Η δυνατότητα των GIS να αποθηκεύουν, να αναλύουν χωρικά, να διαχειρίζονται και εν τέλει να απεικονίζουν την πληροφορία που έχει προκύψει από χωρικά δεδομένα, έχει δημιουργήσει ένα ευρύτατο πεδίο εφαρμογών των οποίων κοινή συνιστώσα είναι η γεωγραφία του τόπου των εκάστοτε εφαρμογών. Στον επιχειρηματικό τομέα, τράπεζες κάνουν χρήση των GIS για στοχοποίηση της αγοράς, βελτιστοποίηση της λειτουργικότητάς τους και συνάμα του κέρδους τους. Ασφαλιστικές εταιρίες αφού αναλύσουν και οπτικοποιήσουν τα δεδομένα τους προχωρούν στην ανάλυση και κατανομή ρίσκου. Τα ΜΜΕ χρησιμοποιούν τα GIS για ενημέρωση των ακροατών (ιδιαίτερα οι ραδιοφωνικοί σταθμοί) όσον αφορά στην κυκλοφορία εντός πόλεων, για την προσέλκυση διαφημίσεων ή ακόμα παρέχοντας στους αναγνώστες και τηλεθεατές έναν απλό χάρτη ο οποίος συμπληρώνει την είδηση. Επίσης, εταιρείες λιανικής πώλησης διατηρούν σε GIS, πληροφορίες που αφορούν τις πωλήσεις τους, τους πελάτες, δημογραφικά προφίλ και ταχυδρομικές λίστες, και γενικότερα όλα τους τα δεδομένα που έχουν να κάνουν με γεωγραφικές θέσεις. Σε κυβερνητικό επίπεδο, τα GIS χρησιμοποιούνται από στρατιωτικές υπηρεσίες για τον σχεδιασμό επιχειρήσεων, ανάλυσης του ανάγλυφου του εδάφους, την διαχείρηση των εγκαταστάσεων κτλ. Επίσης είναι σημαντικά εργαλεία για την διαχείριση φυσικών καταστροφών όπως πυρκαγιές, πλημμύρες, ηφαιστειακές εκρήξεις κ.α., δίνοντας τη δυνατότητα πρόβλεψης της πορείας των καταστροφών και εκκένωσης των άμεσα απειλούμενων περιοχών από πληθυσμούς ή ακόμα και της μερικής αντιμετώπισής τους. Εμπειρογνώμονες υγείας χρησιμοποιούν τα GIS για να παρακολουθήσουν την γεωγραφική κατανομή δεικτών δημόσιας υγείας, να προσδιορίσουν ομάδες ασθενειών και να εξερευνήσουν περιοχές περιβαλλοντικού κινδύνου. Εθνικές κυβερνητικές αντιπροσωπείες, εμπιστεύονται τα GIS για να καθιερώσουν και να ρυθμίσουν την 6

8 πολιτική τους και να ενισχύσουν την ευημερία των πολιτών τους ή ακόμα και για να τους παρέχουν απλά δημόσιες πληροφορίες. Σημαντικός είναι ο ρόλος των GIS και στην διαχείριση των φυσικών πόρων. Τα GIS αποτελούν κομβικό σημείο για ένα σύστημα Γεωργίας Ακριβείας (Precision Agriculture), καθώς οι αγρότες είναι σε θέση να προβλέψουν τη συγκομιδή από τις σοδειές και να καθορίσουν τις απαραίτητες ποσότητες λιπασμάτων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν. Στη δασοκομία, τα GIS βοηθούν στη διαχείρηση πόρων ξυλείας και την διατήρηση μιας βιώσιμης δασικής διαχείρισης. Στη μετάλλευση, η σχεδίαση του τοπογραφικού ανάγλυφου και των διαθέσιμων ορυκτών, η εξερεύνηση, η γεώτρηση, ο σχεδιασμός των ορυχείων, η αναμόρφωση του εδάφους και αποκατάστασή του αποτελούν σημαντικά ψηφιακά στοιχεία χαρτογράφησης τα οποία παρέχουν τα GIS. Στους τομείς εξόρυξης πετρελαίου και φυσικού αερίου, η έρευνα απαιτεί συχνά ανάλυση δορυφορικών εικόνων, μωσαϊκών ψηφιακών αεροφωτογραφιών, σεισμικών δεδομένων, επιφανειακών γεωλογικών μελετών, υποεπιφανειακών διατομών και εικόνων, τοποθεσίας των πηγών και πληροφοριών υπαρχόντων υποδομών. Ένα GIS μπορεί να συσχετίσει όλα αυτά τα δεδομένα για την ζητούμενη θέση σε μορφή χαρτών και με διαδικασίες υπέρθεσης και οπτικοποίησης να αναλυθούν και να κατανοηθεί η σημαντικότητά τους. Η διαχείριση και προστασία περιβάλλοντος δε θα μπορούσαν να λείπουν από το πεδίο εφαρμογών των GIS. Χρησιμοποιούνται ευρύτατα στη διαχείριση υδατικών πόρων για την παρεμβολή κατακρημνίσεων, την χαρτογράφηση του υδρογραφικού δικτύου και των υπόγειων υδάτων. H καταγραφή των χρήσεων γης απαιτεί ακριβείς πληροφορίες για τους ζητούμενους τόπους ώστε να παρθούν οι απαραίτητες αποφάσεις για το που χρειάζεται προστασία και πως αυτή να επιτευχθεί. Δεδομένα που χρειάζονται γι αυτές τις αποφάσεις, όπως δορυφορικές εικόνες, τοπογραφικά δεδομένα, αεροφωτογραφίες κλπ, μπορούν να συνδυαστούν και να αναλυθούν αποτελεσματικά σε ένα GIS. Αποτελούν επίσης σημαντικό εργαλείο στην διαχείριση και προστασία ενδιαιτημάτων και των ειδών που φιλοξενούν, συγκεντρώνοντας και αναλύοντας πληροφορίες που αφορούν τα όρια των ενδιαιτημάτων και τις μεταναστευτικές οδούς των ειδών, οριοθετώντας εν τέλει πάρκα και καταφύγια για την διατήρησή τους. 7

9 Α.1.2 Εφαρμογές των GIS στο θαλάσσιο περιβάλλον και την παράκτια ζώνη Ο παράκτιος χώρος και το θαλάσσιο περιβάλλον γενικότερα, παρουσιάζουν έντονη ποικιλομορφία όσον αφορά στους στόχους διαχείρισης τους. Αυτό οφείλεται στην πληθώρα των δεδομένων που απαιτούνται τόσο σε ποσότητα όσο και ποικιλία. Τα GIS σήμερα είναι σε θέση να ανταποκριθούν σε αυτές τις απαιτήσεις, λόγω της ικανότητας τους να αποθηκεύουν τον απαιτούμενο όγκο δεδομένων, να τα αναλύουν ξεχωριστά ή και συνδυαστικά, με τις διάφορες μαθηματικές και στατιστικές μεθόδους που διαθέτουν, και τελικώς να οπτικοποιούν τα αποτελέσματα σε ανάλογους χάρτες. Μεγάλο μέρος των ανθρώπινων δραστηριοτήτων, όπως η κατοίκηση, η γεωργία, βιομηχανικές εγκαταστάσεις, λαμβάνουν χώρα είτε σε παράκτιες είτε σε παραποτάμιες είτε ακόμα και σε παραλίμνιες περιοχές. Το γεγονός αυτό οδηγεί στην υποβάθμιση της ποιότητας των υδάτων των εν λόγω περιοχών. Το πόσο έντονη είναι αυτή η υποβάθμιση καθορίζεται έπειτα από τη χημική ανάλυση των υδάτων και του υποκείμενου ιζήματος. Οι κύριες παράμετροι που χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό της ποιότητας είναι: (α) Θρεπτικά συστατικά, κυρίως φωσφορικά και νιτρικά άλατα. Προέρχονται κυρίως από αστικά λύματα, τα οποία καταλήγουν στα ύδατα μέσω του αποχετευτικού συστήματος (σημειακές πηγές ρύπανσης) και από γεωργικές καλλιέργειες στις οποίες γίνεται εκτεταμένη χρήση λιπασμάτων και μεταφέρονται μέσω της απόπλυσης του εδάφους από τη βροχή (μη σημειακές πηγές ρύπανσης). Ο εμπλουτισμός των υδάτων με θρεπτικά συστατικά έχει ως αποτέλεσμα το φαινόμενο του ευτροφισμού, κατά τον οποίο η περίσσεια των θρεπτικών οδηγεί στην υπέρμετρη αύξηση των φυτικών οργανισμών (blooms). Παρ όλο που ο ευτροφισμός μπορεί να αποτελεί ένα βραδύ φυσικό φαινόμενο, οι ανθρώπινες δραστηριότητες το καθιστούν ως φαινόμενο ρύπανσης, με αποτέλεσμα τα νερά να αποκτούν έντονο πράσινο χρώμα από την υπέρμετρη ανάπτυξη των φυτοπλαγκτονικών οργανισμών και συνάμα την τέλεση αναερόβιων δράσεων οι οποίες προκαλούν δυσάρεστες οσμές. Συγχρόνως σε αυτά τα νερά δεν ενδείκνυται η κολύμβηση και η αλιεία ενώ ακόμη και εμπορικά εκμεταλλεύσιμα αλιεύματα απομακρύνονται από αυτά (Φυτιάνος, 1996). Η χωρική κατανομή του ευτροφισμού σε παράκτιες περιοχές έχει χρησιμοποιηθεί για την ποιότητα των υδάτων με τη χρήση GIS. Οι Kitsiou και Karydis (2000), εξέφρασαν τη χωρική 8

10 κατανομή του ευτροφισμού στον Σαρωνικό κόλπο μέσω 7 οικολογικών δεικτών, δημιουργώντας 7 θεματικούς χάρτες (έναν για κάθε δείκτη), παρεμβάλλοντας χωρικά σημειακά δεδομένα. Στη συνέχεια δημιουργήθηκε ένας τελικός χάρτης με τη μέθοδο της υπέρθεσης, ο οποίος και πάλι απεικόνιζε την χωρική κατανομή του ευτροφισμού αλλά αποτελούσε συνδυασμό των 7 προϋπάρχοντων θεματικών χαρτών (Εικ.Α.1). Εικ.Α.1 Χάρτης χωρικής κατανομής ευτροφισμού για τον Σαρωνικό κόλπο που παράχθηκε από την υπέρθεση 7 άλλων χαρτών ευτροφισμού για την ίδια περιοχή (Kitsiou & Karydis 2000). (β) Οργανοχλωριωμένες ενώσεις. Αυτές οι ενώσεις, λόγω της εξαιρετικά αργής αποδόμησής τους, της απορρόφησής τους στους λιπαρούς ιστούς των ζώων και του ανθρώπου και συνεπώς της βιοσυσσώρευσής τους, συγκαταλέγονται στις πιο τοξικές και επικίνδυνες ενώσεις. Εμπεριέχονται σε ουσίες χημικού καθαρισμού, διαλυτικά, PCB s, συντηρητικά ξυλείας, πρώτες ύλες για συνθετικές ενώσεις και παρασιτοκτόνα. Ιδιαίτερα για τα παρασιτοκτόνα, τα οποία τις προηγούμενες δεκαετίες χρησιμοποιήθηκαν αλόγιστα σε εντατικές καλλιέργειες (π.χ.ddt), γίνονται προσπάθειες να καταγραφεί η χωρική τους εξάπλωση σε ιζήματα και υδροφόρους ορίζοντες όπου και έχουν καταλήξει τα υπολείμματά τους με την απόπλυση των εδαφών. Οι Ouyang et αl. (2003), εκτέλεσαν 2D και 3D παρεμβολές από δεδομένα DDT που ανιχνεύτηκαν σε ιζήματα πυθμένων ποταμών της Φλόριντα των Η.Π.Α και απεικόνισαν τις χωρικές τους κατανομές 9

11 (Εικ.Α.2), συμπεραίνοντας ότι σε σημεία ενός εκ των ποταμών τα επίπεδα DDT ήταν τέτοια που θα μπορούσαν να προκαλέσουν σοβαρές βλάβες στη υδρόβεια ζωή. Εικ.Α.2 2D και 3D χωρική κατανομή συγκεντρώσεων DDT σε βάθη ιζήματος 0.1, 0.5, 1 και 1.5 m σε ποτάμια συστήματα της κεντικής Φλόριντα των Η.Π.Α (Ouyang et αl.2003). (γ) Βαρέα μέταλλα. Σε αυτά συγκαταλέγονται τα μέταλλα που έχουν μεγαλύτερο ειδικό βάρος από εκείνο του σιδήρου όπως π.χ. ο μόλυβδος, το χρώμιο, το νικέλιο, ο υδράργυρος κ.α. Θεωρούνται από τους πιο επικίνδυνους ρύπους στο θαλάσσιο περιβάλλον, αφού δεν αποδομούνται με φυσικές διεργασίες στα νερά και καταλήγουν μέσω της καθίζησης στα ιζήματα. Εν τέλει, μέσω της τροφικής αλυσίδας βιοσυσσωρεύονται και προσβάλλουν ζωικούς οργανισμούς φτάνοντας μέχρι και τον άνθρωπο προκαλώντας χρόνιες και οξείες βλάβες. Οι πηγές εισόδου τους στο θαλάσσιο περιβάλλον είναι φυσικές και τεχνητές. Οι φυσικές πηγές είναι κυρίως η διάβρωση της χέρσου από τα ποτάμια και των ακτών από τη θάλασσα, η απελευθέρωσή τους από τα ιζήματα με χημικές διεργασίες και η μεταφορά από τον άνεμο. Οι τεχνητές πηγές αναφέρονται στην ανθρώπινη δραστηριότητα. Τα βαρέα μέταλλα και οι ενώσεις τους χρησιμοποιούνται ευρέως από τη βιομηχανία (διϋλιστήρια πετρελαίου, χαλυβουργεία κ.α.), από εργοστάσια παραγωγής ενέργειας, από εγκαταστάσεις καύσης απορριμάτων 10

12 και καταλήγουν στο υδάτινο περιβάλλον είτε μέσω υγρών αποβλήτων είτε μέσω αερολυμάτων μέσω των ατμοσφαιρικών κατακρημνίσεων. Τα αστικά απόβλητα αποτελούν σημαντική πηγή ρύπανσης του θαλάσσιου περιβάλλοντος κοντά στα αστικά κέντρα. Με τα νερά έκπλυσης των δρόμων από τις βροχές, καταλήγουν στο θαλάσσιο περιβάλλον μεγάλες ποσότητες μόλυβδου λόγω της κυκλοφοριακής πυκνότητας. Τέλος, τα τοξικά μέταλλα που χρησιμοποιούνται στα υφαλοχρώματα κατά τις ναυπηγικές δραστηριότητες αποτελούν μια άλλη σημαντική πηγή (Φυτιάνος, 1996). Οι Zhou et al. (2007), προκειμένου να προσδιορίσουν τις ανθρώπινες επιδράσεις στις παράκτιες περιοχές του Hong Kong από την όλο και αυξανόμενη αστικοποίηση και βιομηχανοποίηση, έκαναν μετρήσεις σε θαλάσσια ιζήματα της περιοχής και τα ανέλυσαν ως προς την περιεκτικότητά τους σε βαρέα μέταλλα. Μέσω πολυμεταβλητών στατιστικών μεθόδων και μεθόδων χωρικής παρεμβολής, οριοθέτησαν διαφορετικά επίπεδα ρύπανσης, διαχώρησαν τις πηγές για κάθε μέταλλο και προσδιόρισαν ποια μέταλλα προέρχονταν κυρίως από ανθρωπογενείς επιδράσεις και ποια από φυσικές διαδικασίες διάβρωσης (Εικ.Α.3). Εικ.Α.3 Χωρικές κατανομές βαρέων μετάλλων στις ακτές του Hong Kong (Zhou et al. 2003) Άλλο σημαντικό πεδίο εφαρμογής των χαρακτηριστικών του παράκτιου θαλάσσιου περιβάλλοντος με τη χρήση GIS, είναι οι μελέτες χωροθέτησης κλωβών ιχθυοκαλλιεργείων, καθώς και οι επιπτώσεις λειτουργίας τους. Η σωστή επιλογή 11

13 τοποθεσίας για οποιαδήποτε υδατοκαλλιεργική δραστηριότητα, είναι ζωτικής σημασίας, δεδομένου ότι μπορεί να επηρεάσει την οικονομική της βιωσιμότητα, καθορίζοντας την κύρια δαπάνη και επηρεάζοντας τα τρέχοντα έξοδα, τους ρυθμούς παραγωγής και τους παράγοντες θνησιμότητας. Επειδή λοιπόν είναι ανέφικτο να ρυθμιστεί τεχνητά η ποιότητα του νερού σε συστήματα καλλιέργειας κλωβών, η καλλιέργεια οποιουδήποτε είδους θα πρέπει να εγκατασταθεί σε γεωγραφικές περιοχές με ικανοποιητική ποιότητα και ανανέωση υδάτων. Μεταξύ άλλων, οι Perez et al. (2003), αξιολόγησαν παράκτιες περιοχές της νήσου Τεννερίφη των Καναρίων νήσων για την εγκατάσταση μονάδων ιχθυοκαλλιέργειας με κλωβούς, με τη χρήση GIS, χρησιμοποιώντας παραμέτρους όπως η θερμοκρασία του νερού, η θολερότητα και η βαθυμετρία, η οποία σχετίζεται άμεσα με την πιθανή επανεώρηση των απεκκρίσεων των ψαριών και συνεπώς την πιθανή πρόκληση ασθενειών. Οι Corner et al. (2006), χρησιμοποίησαν GIS για την εκτίμηση των περιβαλλοντικών επιπτώσεων των ιχθυοκλωβών, αναλύοντας τη χωρική κατανομή των απεκκριμάτων και υπολειμμάτων τροφής στην γύρω περιοχή των ιχθυοκλωβών. Το παράκτιο περιβάλλον χαρακτηρίζεται από έντονη δυναμική λόγω της αλληλεπίδρασης του με τη θάλασσα, με αποτέλεσμα να υπόκειται σε συνεχή διάβρωση σε μακροχρόνια κλίμακα. Σε κλίμακα δεκαετιών, οι παράκτιες περιοχές παρουσιάζουν είτε διάβρωση είτε πρόσχωση. Τα φαινόμενα αυτά μπορεί να οφείλονται στο έντονο υδροδυναμικό καθεστώς της περιοχής ή σε ανθρώπινες παρεμβάσεις ή και στα δύο. Τα GIS, σε συνδυασμό με τη χρήση δορυφορικών εικόνων ή αεροφωτογραφιών, εφαρμόζονται όλο και περισσότερο για την παρακολούθηση των μεταβολών της γεωμετρίας της ακτής στο πέρασμα του χρόνου (Εικ.Α.4). Εικ.Α.4 Απεικόνιση με GIS μεταβολής μιας ακτογραμμής σε διάστημα 16 χρόνων (Δουκάκης, 2005) 12

14 Σε συνδυασμό δε με την εφαρμογή μοντέλων, δύναται πλέον η εκπόνηση μελετών που έχουν να κάνουν με την χωροθέτηση λιμένων ή τις επιπτώσεις από την τοποθέτηση λιμένων και την προσομοίωση πιθανών επιπτώσεων από πλημμύρες ή την καταγραφή των ζημιών έπειτα από πλημμύρες, είτε σε κατοικημένες περιοχές είτε σε παράκτιους υδροβιότοπους. Οι εφαρμογές των GIS στο θαλάσσιο περιβάλλον δεν σταματούν εδώ. Χρήση των GIS γίνεται για την αξιολόγηση περιοχών προκειμένου να τοποθετηθούν τεχνητοί ύφαλοι για την ανάκαμψη της βιοποικιλότητας σε περιοχές που έχουν δεχτεί έντονη πίεση από την αλιεία (Wright et al., 1998) ή για την προστασία περιοχών που έχουν ήδη πλούσια βιοποικιλότητα, εντάσσοντάς τις υπό το καθεστώς ενός θαλάσσιου καταφυγίου όπου η βιοποικιλότητα θα διατηρείται ή και θα εμπλουτίζεται ακόμα. Οι Crane et al. (2000) ανέπτυξαν με τη χρήση GIS μία βάση δεδομένων ώστε να απεικονίσουν την ρύπανση που έχει επέλθει, στις θάλασσες του Αρκτικού ωκεανού αλλά και του βόρειου ημισφαιρείου γενικότερα, από ραδιενεργά στοιχεία από πυρηνικές δοκιμές και ατυχήματα κατά το παρελθόν. Οι Teruhisa et al. (2003) αξιολόγησαν τις επιπτώσεις πετρελαιοκηλίδας σε χλωρίδα και πανίδα της διαπαλιρροιακής ζώνης σε ακτή της Ιαπωνίας, σε βάθος 3 χρόνων με τη χρήση GIS. Α.2 Οργανικός Άνθρακας Α.2.1 Οργανικός άνθρακας (Organic Carbon) σε θαλάσσια ιζήματα Ο οργανικός άνθρακας αποτελεί σημαντικό μέρος της οργανικής ύλης που συναντάται στο θαλάσσιο περιβάλλον. Διαχωρίζεται στο διαλυτό οργανικό άνθρακα (Dissolved Organic Carbon, DOC) και στο σωματιδιακό οργανικό άνθρακα (Particulate Organic Carbon), ενώ ως σύνολο αναφέρεται στην βιβλιoγραφία ως ολικός οργανικός άνθρακας (Total Organic Carbon, TOC). Στα θαλάσσια ιζήματα ο TOC αποτελεί σημαντική παράμετρο χαρακτηρισμού διάφορων χημικών, φυσικών και βιολογικών διεργασιών. Συνεισφέρει σημαντικά στην οξύτητα των υδάτων μέσω των οργανικών οξέων, στη βιολογική δραστηριότητα μέσω της απορρόφησης του φωτός και του μεταβολισμού του C και στην υδάτινη χημεία μέσω 13

15 της συσσωμάτωσης με μέταλλα και οργανικούς ρυπαντές. Με το σχηματισμό οργανικών συσσωματωμάτων, ο TOC μπορεί να επηρεάσει την διαθεσιμότητα θρεπτικών υλικών και να ελέγξει την διαλυτότητα και τοξικότητα διαφόρων ρυπαντών ουσιών. Πιο συγκεκριμένα, ο DOC, είναι γνωστό ότι αποτελεί ισχυρό παράγοντα συσσωμάτωσης με αρκέτα τοξικά μέταλλα όπως ο σίδηρος, ο χαλκός, το αλουμίνιο, ο ψευδάργυρος και ο υδράργυρος. Επίσης, μπορεί να αυξήσει το ρυθμό διάβρωσης ορυκτών και να αυξήσει τη διαλυτότητα και συνεπώς την κινητικότητα και το ρυθμό μεταφοράς αρκετών μετάλλων και οργανικών ρυπαντών (Ouyang et al. 2006). Κύριες πηγές του οργανικού άνθρακα στο θαλάσσιο περιβάλλον είναι: (α) προσθήκες από την χέρσο, οι οποίες μεταφέρονται μέσω του ανέμου και κυρίως μέσω των ποταμών. Οι προσθήκες απ τη χέρσο είναι είτε φυσικής προέλευσης είτε προϊόντα ανθρωπογενών δραστηριοτήτων, (β) η αποσύνθεση νεκρών οργανισμών μέσω της αυτόλυσης και της βακτηριακής δράσης, (γ) η προσθήκη κυτταρικών μεταβολιτών από τα φύκη και κυρίως από το φυτοπλαγκτόν και οι οποίοι είναι προϊόντα κυρίως της φωτοσύνθεσης, (δ) εκκρίσεις από το ζωοπλαγκτόν και μεγαλύτερα ζώα. Τέλος, η αποθήκευση του οργανικού άνθρακα στα παράκτια ιζήματα, αποτελεί βασικό μονοπάτι για την μεταφορά του από τη βιόσφαιρα στη γεώσφαιρα και βοηθάει στη διαμόρφωση του σύγχρονου παγκόσμιου κύκλου του άνθρακα. Α.2.2 Οργανικός άνθρακας και GIS Δεδομένα οργανικού άνθρακα από θαλάσσια ιζήματα χρησιμοποιούνται συχνά σε οικολογικά μοντέλα που έχουν να κάνουν με την ανάπτυξη φυτικών οργανισμών καθώς και σε μοντέλα του κύκλου του άνθρακα. Παρ όλα αυτά, δύσκολα θα βρει κάποιος στη βιβλιογραφία εργασίες οι οποίες αναφέρονται στη μελέτη της χωρικής τους κατανομής στα ιζήματα, με την χρήση GIS, είτε αυτά είναι θαλάσσια είτε γλυκών νερών. Σε μια εργασία τους πάντως οι Ouyang et al. (2006), εφάρμοσαν μεθόδους παρεμβολής σε χωρικά σημειακά δεδομένα TOC από ιζήματα ποταμών της Φλόριντα των Η.Π.Α. Σκοπός τους ήταν να εκτιμήσουν χωρικές τάσεις του TOC στα ιζήματα και να καθορίσουν τυχόν σχέσεις μεταξύ του TOC και οργανοχλωριωμένων ενώσεων που είχαν εντοπιστεί στα ιζήματα (Εικ.Α.5). 14

16 Εικ.Α.5 2D και 3D χωρική κατανομή συγκεντρώσεων TOC σε βάθη ιζήματος 0.1, 0.5, 1 και 1.5 m σε ποτάμια συστήματα της κεντικής Φλόριντα των Η.Π.Α. (Ouyang et al.2006) Αντιθέτως, τα πράγματα είναι τελείως διαφορετικά για τη χέρσο. Η Γεωργία Ακριβείας που εφαρμόζεται σήμερα, απαιτεί την δειγματοληψία μεγάλου αριθμού δειγμάτων καθώς η αποτελεσματικότητα της εξαρτάται από όσο το δυνατόν πιο ακριβή και επαρκή, σε πληροφορία, χαρτογράφηση των εδαφολογικών χαρακτηριστικών. Η πληροφορία αυτή συμπεριλαμβάνει μεταξύ άλλων και δεδομένα εδαφικού οργανικού άνθρακα (Soil Organic Carbon, SOC). Επίσης, οι αλλαγές στον SOC αντανακλούν την ισορροπία μεταξύ της αποσύνθεσης του οργανικού υλικού στο χώμα και της εισροής του από ρίζες και νεκρή οργανική ύλη. Σε αυτήν τη φυσική ισορροπία βέβαια, έχει επέμβει και η ανθρώπινη δραστηριότητα μέσω της αλλαγής χρήσεων γης, όπως οι αποψιλώσεις δασών, η αποξήρανση υγροτόπων, το όργωμα της γης και η χρήση λιπασμάτων. Οι ενέργειες αυτές έχουν προκαλέσει απώλειες ποσοτήτων SOC από το έδαφος και συνεπώς την έκκλιση CO 2 στην ατμόσφαιρα (Zhang & McGrath, 2004). Συνεπώς, οι μεταβολές των τιμών του SOC, πέραν της χρήσης τους για γεωργικές εφαρμογές, αποτελούν και 15

17 σημαντική συνιστώσα σε μοντέλα κύκλου του C (όπως άλλωστε και ο TOC των παράκτιων και γενικότερα υδάτινων ιζημάτων). Τέλος, η ανάγκη για την λήψη δεδομένων από όσο περισσότερα σημεία γίνεται, στις γεωργικές εφαρμογές, έχει συνισφέρει σημαντικά στην αξιολόγηση της ακρίβειας των χωρικών παρεμβολών που μπορούν να γίνουν με GIS. Α.2.3 Σκοπός της παρούσας εργασίας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η αξιολόγηση μεθόδων χωρικής παρεμβολής, οι οποίες χρησιμοποιούνται ευρύτατα για τη χαρτογράφηση ωκεανογραφικών παραμέτρων. Εφαρμόστηκαν δύο μέθοδοι χωρικής παρεμβολής, η Αντίστροφης Βαρύνουσας Απόστασης ( Inverse Distance Weighting, IDW ) και η Splines. Για την αξιολόγηση χρησημοποιήθηκε η διαδικασία της cross-validation και υπολογίσθηκε ένα σύνολο από στατιστικές ποσότητες. Απώτερος σκοπός είναι η εφαρμογή της βέλτιστης κάθε φορά μεθόδου χωρικής παρεμβολής, ανάλογα με τη μορφή των δεδομένων πεδίου και της επιφάνειας καννάβου που στοχεύει να αναπτύξει ο ερευνητής, ώστε να οδηγηθεί σε αξιόπιστα συμπεράσματα για την υπό εξέταση παράμετρο και κατ επέκταση το φυσικό φαινόμενο που αυτή περιγράφει. 16

18 Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Β.1 Μέθοδοι Χωρικής Παρεμβολής Β.1.1 Γενικά Η χωρική παρεμβολή είναι μια διαδικασία κατά την οποία ο ερευνητής προσπαθεί να προβλέψει την τιμή μιας μεταβλητής στα σημεία ενός πεδίου όπου δεν έχουν γίνει μετρήσεις, δεδομένου ότι είναι γνωστές οι τιμές της μεταβλητής αυτής σε άλλα σημεία του συγκεκριμένου πεδίου. Χρησιμοποιείται για την μετατροπή πληροφορίας από σημειακές παρατηρήσεις σε συνεχή πληροφορία και η οποία αποδίδεται σε μια συνεχή επιφάνεια. Μαθηματικά, το πρόβλημα της χωρικής παρεμβολής τίθεται ως εξής: έστω ότι δίνονται Ν τιμές από υπό μελέτη φαινομένα z (j), j = 1,, N οι οποίες μετρήθηκαν σε ασυνεχή σημεία x (j) = ( x (j) 1, x (j) 2,, x (j) d ), j = 1,,N εντός μιας συγκεκριμένης περιοχής ενός d- διάστατου χώρου. Εάν κατασκευαστεί μια συνάρτηση S(x) τέτοια ώστε S (x (j) ) = z (j), j = 1,,N, είναι φανερό ότι υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων συναρτήσεων και προκειμένου να βρεθεί μια μοναδική λύση, εισάγονται επιπλέον συνθήκες. Ανάλογα με τους διάφορους τύπους αυτών των συνθηκών, έχει προταθεί ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων, οι οποίες δίνουν λίγο πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα για μια ποικιλία περιπτώσεων (Mitas & Mitasova, 1988). Η χωρική παρεμβολή βασίζεται στον Πρώτο Νόμο της Γεωγραφίας, ο οποίος διατυπώθηκε από τον Waldo Tobler το 1970 και ο οποίος αναφέρει ότι κάθε τι σχετίζεται με κάθε τι άλλο, αλλά τα πράγματα που είναι πιο κοντά σχετίζονται περισσότερο από αυτά που είναι απομακρυσμένα (Longley et al., 2001). Βασικές προυποθέσεις της διαδικασίας της χωρικής παρεμβολής είναι οι εξής δύο. Πρώτον, η επιφάνεια που εκφράζει το υπό εξέταση χαρακτηριστικό είναι συνεχής και, επομένως, η τιμή σε κάθε θέση μπορεί να υπολογιστεί αν υπάρχουν ικανοποιητικά στοιχεία για την επιφάνεια αυτή. Η δεύτερη υπόθεση είναι έμμεση, αφού αναφέρεται στη χωρική εξάρτηση των 17

19 τιμών του υπό εξέταση χαρακτηριστικού, αλλά είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί επιτρέπει την τεκμηρίωση των μεθόδων χωρικής παρεμβολής (Κουτσόπουλος, 2005). Τέλος, κάθε μέθοδος χωρικής παρεμβολής είναι συνάρτηση του τύπου των δεδομένων (π.χ. εαν χαρακτηρίζονται από κανονική κατανομή), του βαθμού ακριβείας που απαιτείται για την εκάστοτε εφαρμογή και των δυνατοτήτων των υπολογιστών και των υπολογιστικών προγραμμάτων που θα χρησιμοποιηθούν (Κίτσιου, 2002). Ένα απλό παράδειγμα χωρικής παρεμβολής είναι το εξής. Έστω ότι το ορθογώνιο παρακάτω είναι η περιοχή μελέτης για μία παράμετρο Χ. Καθορίζονται, εντός αυτής της περιοχής μελέτης, χωρικές θέσεις S p. Έστω, ότι για τις θέσεις S 1 έως και S 7 έχουν συλλεχθεί δεδομένα, υπάρχουν πραγματικές τιμές για την παράμετρο Χ και επιθυμείται πρόβλεψη για την τιμή της παραμέτρου στην θέση S 0. Η θέση S 0 θα μπορούσε να είναι οπουδήποτε εντός της περιοχής μελέτης και υποτίθεται ότι υπάρχει κάποια πραγματική τιμή στη θέση αυτή. Για παράδειγμα, εαν η παράμετρος Χ αφορά συγκεντρώσεις οργανικού άνθρακα στις θέσεις S 1,..., S 7, τότε και στη θέση S 0 θα υπάρχει κάποια συγκέντρωση η οποία δεν παρατηρήθηκε και χρειάζεται να προβλεφθεί. Με την επιλογή της κατάλληλης μεθόδου χωρικής παρεμβολής δύναται η πρόβλεψη για την τιμή της παραμέτρου στη θέση S 0. Να σημειωθεί, ότι οι τιμές των δεδομένων μπορεί μεν να έχουν συλλεχθεί από σημεία της περιοχής μελέτης, αλλά τιμές στην πραγματικότητα υπάρχουν παντού εντός της περιοχής κι έτσι μπορούν να χαρακτηριστούν ως χωρικά συνεχείς. 18

20 Β.1.2. Κατηγορίες μεθόδων χωρικής παρεμβολής Οι μέθοδοι χωρικής παρεμβολής χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες: τις ντετερμηνιστικές μεθόδους (deterministic methods), οι οποίες εφαρμόζουν κατευθείαν μαθηματικές σχέσεις για την δημιουργία μιας συνεχούς επιφάνειας και τις γεωστατιστικές μεθόδους (geostatistical methods), οι οποίες βασίζονται σε μεθόδους χωρικής αυτοσυσχέτισης, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα όχι μόνο της δημιουργίας μιας συνεχούς επιφάνειας πρόβλεψης αλλά και ενός μέτρου ακριβείας για αυτήν την πρόβλεψη. Οι ντετερμηνιστικές μέθοδοι διαχωρίζονται σε επιπλέον δύο υπο-ομάδες, αυτές των τοπικών εκτιμήσεων (local estimation) και αυτές των σφαιρικών/γενικευμένων προσεγγίσεων (global approximation). Ένας άλλος τρόπος διαχωρισμού των παραπάνω μεθόδων είναι σε ακριβείας και προσεγγιστικές. Ακριβείας χαρακτηρίζεται η μέθοδος της οποίας η τελική επιφάνεια προσομοίωσης διατηρεί τις τιμές πεδίου στα σημεία δειγματοληψίας. Όλες οι άλλες μέθοδοι χαρακτηρίζονται ως προσεγγιστικές. Β.1.2.α. Ντετερμηνιστικές Μέθοδοι (deterministic methods) Τοπικές μέθοδοι: Οι τοπικές ντετερμηνιστικές μέθοδοι χωρικής παρεμβολής εκτιμούν την τιμή μιας παραμέτρου σε ένα σημείο, χρησιμοποιώντας την πληροφορία που υπάρχει στα σημεία που γειτνιάζουν άμεσα με αυτό. Για μια τέτοια προσέγγιση, η παρεμβολή πρέπει να περιλαμβάνει (α) ορισμό μιας περιοχής ή της γειτονιάς γύρω από το σημείο για το οποίο θα γίνει εκτίμηση της μεταβλητής (β) καθορισμό των σημείων (εντός αυτής της γειτονιάς) που θα χρησιμοποιηθούν στην παρεμβολή (γ) επιλογή μιας μαθηματικής έκφρασης η οποία θα αντιπροσωπεύει την διακύμανση των σημείων που επιλέχτηκαν εντός της γειτονιάς και (δ) υπολογισμός της επιλεχθείσας μαθηματικής έκφρασης για το ζητούμενο σημείο σε ένα συμμετρικό κάνναβο. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως ότου όλα τα σημεία του καννάβου έχουν υπολογιστεί. Οι τοπικές μέθοδοι χωρικής παρεμβολής που χρησιμοποιούνται είναι οι παρακάτω: Κοντινότερων Γειτόνων (Nearest Neighbours). Σε αυτές περιλαμβάνονται τα πολύγωνα Thiessen (τα οποία είναι γνωστά και ως πολύγωνα Voronoi ή 19

21 ψηφιδοποίηση Dirichlet) και η ψηφιδοποίηση Delannay (γνωστή και ως TIN- Triangulated Irregular Network). Η μέθοδος της Αντίστροφου Βαρύνουσας Απόστασης (Inverse Distance Weighted Interpolation Method, IDW). Splines και άλλες μη γραμμικές εκφράσεις (π.χ. Λαπλασσιανές) (Burrough & McDonell, 1998). Σφαιρικές προσεγγίσεις: Οι σφαιρικές προσεγγίσεις χωρικής παρεμβολής χρησιμοποιούν όλα τα διαθέσιμα δεδομένα της περιοχής μελέτης, προκειμένου να εκτιμήσουν την τιμή της υπό μελέτη παραμέτρου στα νέα σημεία του χώρου. Αυτές οι μέθοδοι δεν χρησιμοποιούνται άμεσα για παρεμβολή αλλά κυρίως για την εξέταση, και πιθανή απομάκρυνση, των επιδράσεων γενικευμένων διακυμάνσεων που έχουν δημιουργηθεί από ευρύτερες τάσεις ή την παρουσία διάφορων κλάσεων οι οποίες μπορεί να υποδεικνύουν περιοχές με διαφορετικές μέσες τιμές. Είναι συνήθως απλές στον υπολογισμό και συχνά βασίζονται σε συνήθεις στατιστικές μεθόδους ανάλυσης διακύμανσης και παλινδρόμησης. Σε αυτήν την κατηγορία περιλαμβάνονται μεταξύ άλλων, οι εξής μέθοδοι χωρικής παρεμβολής: Μοντέλα ταξινόμησης με τη χρήση εξωγενούς πληροφορίας, Ανάλυση Επιφανειακής Τάσης Μέθοδοι Φασματικής Ανάλυσης (Burrough & McDonell, 1998) Β.1.2.β. Γεωστατιστικές Μέθοδοι (geostatistical methods) Οι γεωστατιστικές μέθοδοι, π.χ. Kriging, προυποθέτουν την κατανόηση των αρχών της στατιστικής χωρικής συσχέτισης. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν η διακύμανση ενός χαρακτηριστικού είναι τόσο ανομοιογενής και η πυκνότητα των δειγμάτων τέτοια, ώστε οι απλές μέθοδοι παρεμβολής μπορεί να δώσουν μη αξιόπιστες προβλέψεις (Burrough & McDonell, 1998). Έτσι λοιπόν, οι γεωστατιστικές μέθοδοι βασιζόμενες στην ιδέα της συσχέτισης μεταξύ των δεδομένων και της εισαγωγής σε αυτές στατιστικών μοντέλων, δεν έχουν μόνο την ικανότητα να παράγουν συνεχείς επιφάνειες πρόβλεψης για μια μεταβλητή αλλά και να δίνουν ένα μέτρο ακρίβειας γι αυτές τις 20

22 προβλέψεις. Το τελευταίο χαρακτηριστικό είναι αυτό που ξεχωρίζει τις γεωστατιστικές μεθόδους από τις ντετερμηνιστικές. Για παράδειγμα, η μέθοδος παρεμβολής Kriging, όπως και η IDW, δίνει ένα βάρος (βαθμός σημαντικότητας) στις τιμές των σημείων για τα οποία υπάρχουν μετρήσεις, προκειμένου να προκύψουν οι τιμές πρόβλεψης για όλη την υπόλοιπη περιοχή μελέτης. Ωστόσο, τα βάρη δεν εξαρτώνται μόνο από την απόσταση μεταξύ των σημείων για τα οποία υπάρχουν μετρήσεις και των σημείων πρόβλεψης, αλλά και από τη συνολική χωρική διάταξη μεταξύ των σημείων με μετρήσεις. Συνεπώς, για να αποτυπωθεί η χωρική διάταξη στα βάρη θα πρέπει να ποσοτικοποιηθεί πρώτα η χωρική συσχέτιση. Β.1.3 Μέθοδος χωρικής παρεμβολής Αντίστροφης Βαρύνουσας Απόστασης ( Inverse Distance Weighting, IDW ) Η μέθοδος της αντίστροφης βαρύνουσας απόστασης (IDW) είναι από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες, μεθόδους χωρικής παρεμβολής ακριβείας λόγω της απλότητάς της. Βασική της υπόθεση είναι ότι τα σημεία τα οποία προσομοιώνονται, θα πρέπει να επηρεάζονται περισσότερο από τα άμεσα γειτονικά σημεία στα οποία έχουν γίνει μετρήσεις και λιγότερο ή καθόλου από τα σημεία που απέχουν αρκετά. Σε κάθε σημείο με τιμή πεδίου δίνεται ένα βάρος, το οποίο εξασθενεί όσο αυξάνεται η απόσταση μεταξύ του σημείου αυτού και του σημείου προς προσομοίωση. Δηλαδή, κάθε σημείο με μέτρηση ασκεί μια τοπική επιρροή γύρω του η οποία ελαττώνεται με την απόσταση. Η πιο απλή μορφή της μεθόδου παρεμβολής IDW είναι η μέθοδος του Shepard (Shepard, 1968) και η οποία δίνεται από τη σχέση: όπου: N Z( x0 ) = λi* Z( xi) i= 1 Ζ(x 0 ) είναι η τιμή της μεταβλητής που προσομοιώνεται για την θέση x 0, N είναι ο αριθμός των σημείων στα οποία έχουν γίνει μετρήσεις και γειτνιάζουν με την θέση προς προσομοίωση και τα οποία χρησιμοποιούνται στην προσομοίωση, λ i είναι η συνάρτηση βάρους που δίνεται σε κάθε σημείο με τιμή πεδίου που χρησιμοποιείται στην προσομοίωση και τέλος, 21

23 Ζ(x i ) είναι η τιμή πεδίου της μεταβλητής για τη θέση x i. Η σχέση που καθορίζει τα βάρη είναι η: λ N p p i = di0 / di0 i= 1 N i= 1 λ = 1 i όπου, d i0 είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου προσομοίωσης στη θέση x 0 και κάθε σημείου με τιμή πεδίου στη θέση x i και η οποία δίνεται από τη σχέση d = ( x x ) + ( y y ), και p είναι ένας αυθαίρετος θετικός πραγματικός αριθμός. Όσο 2 2 i0 0 i 0 i η απόσταση μεγαλώνει, το βάρος μειώνεται κατά έναν παράγοντα p. Η τιμή της συνάρτησης βάρους παίρνει τιμές από 1 στα μετρημένα σημεία εως σχεδόν μηδέν καθώς η απόσταση από αυτά αυξάνει. Οι συναρτήσεις βάρους κανονικοποιούνται ώστε το άθροισμα τους να ισούται με τη μονάδα. Με το να είναι η συνάρτηση βάρους μια συνάρτηση Ευκλείδιας απόστασης, έχει ως συνέπεια να είναι περιφερειακά συμμετρική γύρω από κάθε μετρημένο σημείο. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα και η προσομοιωμένη επιφάνεια να είναι εως ένα βαθμό συμμετρική γύρω από κάθε σημείο και να τείνει προς τη μέση τιμή των σημείων ανάμεσα στα σημεία. Μια άλλη συνάρτηση βάρους, η οποία ουσιαστικά είναι τροποποίηση αυτής του Shepard, είναι αυτή των Franke & Nielson (1980): λ = i R d i R* d i N i= 1 2 R d i R* d i 2 όπου, d i είναι η απόσταση μεταξύ της θέσης προσομοίωσης και του μετρημένου σημείου i, R είναι η απόσταση μεταξύ της θέσης προσομοίωσης και του πιο απομακρυσμένου μετρημένου σημείου και N είναι ο συνολικός αριθμός των μετρημένων σημείων. 22

24 Β.1.3.α. Η δύναμη p Εικ.Β.1 Μεταβολή του βάρους (relative weight) συναρτήσει της δύναμης (p) και της απόστασης (distance). Η δύναμη p επηρεάζει τη βαρύτητα που ασκεί η μετρημένη θέση στη θέση προς προσομοίωση. Όσο αυξάνει η απόσταση μεταξύ ενός σημείου όπου υπάρχει τιμή πεδίου και ενός σημείου προσομοίωσης, η επιρροή του πρώτου στο δεύτερο θα μειώνεται εκθετικά. Αυτό σημαίνει ότι με τον διπλασιασμό της απόστασης το βάρος θα υποτετραπλασιάζεται. Το πόσο γρήγορα μειώνονται τα βάρη εξαρτάται από την τιμή του p. Εάν p = 0, δεν υπάρχει μείωση με την απόσταση, κι επειδή κάθε βάρος λ i θα παραμένει το ίδιο, η προσομοιωμένη τιμή για το συγκεκριμένο σημείο θα είναι ο μέσος όρος των τιμών πεδίου που συμμετέχουν στην προσομοίωση. Όσο το p αυξάνει, τα βάρη για σημεία που απέχουν μεταξύ τους μειώνονται ραγδαία όπως φαίνεται στο διάγραμμα της εικόνας παραπάνω (Εικ.Β.1) (Johnston et al., 2001). Σε γενικές γραμμές, όσο μικρότερη είναι η δύναμη στη συνάρτηση βάρους, τόσο πιο σφαιρικό χαρακτήρα αποκτά η μέθοδος εφόσον δίνεται περισσότερο βάρος στα απομακρυσμένα σημεία. Η επιφάνεια που προκύπτει θα είναι ομαλή και η αποτύπωση της χωρικής δομής της διακύμανσης, για όλο το δίκτυο δειγματοληψίας, πιθανόν καλύτερη. Από την άλλη, όσο πιο μεγάλη η δύναμη, τόσο πιο τοπικός θα είναι ο χαρακτήρας της μεθόδου αφού το βάρος θα πέφτει κυρίως στα άμεσα γειτονικά σημεία και η επιφάνεια που θα προκύπτει θα είναι λιγότερο ομαλή. Επιπλέον, σε αυτήν την περίπτωση, οι προσομοιωμένες τιμές θα αποτυπώνουν καλύτερα την τοπική 23

25 διακύμανση των άμεσα γειτονικών σημείων και όχι τη δομή της διακύμανσης σε όλο το δίκτυο των σταθμών δειγματολειψίας όπως στην περίπτωση των μικρών δυνάμεων. Β.1.3.β. Η «γειτονιά» Όπως έχει ήδη αναφερθεί τα σημεία του χώρου τα οποία βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο είναι πιο πιθανόν να έχουν παρόμοια χαρακτηριστικά από σημεία του ίδιου χώρου τα οποία είναι απομακρυσμένα. Έτσι λοιπόν, όσο οι αποστάσεις μεταξύ μετρημένων σημείων και σημείων προσομοίωσης αυξάνονται, οι τιμές των πρώτων θα έχουν μικρή σχέση με την τιμή στη θέση προσομοίωσης. Για επίσπευση των υπολογισμών, αλλά και την καλύτερη απόδοση της τοπικής διακύμανσης, μπορεί κάποιος να μηδενίσει τις τιμές των σημείων που βρίσκονται μακριά από τη θέση προσομοίωσης και οι οποίες θεωρείται ότι έχουν μικρή επιρροή σε αυτήν. Κάτι τέτοιο γίνεται με την οριοθέτηση μιας γειτονιάς γύρω από τη θέση προσομοίωσης, με αποτέλεσμα να περιορίζεται ο αριθμός των μετρημένων σημείων που χρησιμοποιούνται κατά την προσομοίωση. Το σχήμα της γειτονιάς που θα οριοθετηθεί περιορίζει την απόσταση και την κατεύθυνση στις οποίες θα αναζητηθούν οι μετρημένες τιμές για την πρόβλεψη. Το σχήμα εξαρτάται από την φύση των δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν και την επιφάνεια που επιχειρείται να δημιουργηθεί. Εάν για παράδειγμα τα βάρη των τιμών δεν επηρεάζονται από την κατεύθυνση, τότε όλα τα σημεία θα θεωρούνται ισότιμα στους υπολογισμούς και το καταλληλότερο σχήμα για την γειτονιά θα είναι ένας κύκλος. Εάν όμως στα δεδομένα ασκείται επιρροή από την κατεύθυνση, τότε καλύτερο σχήμα για τη γειτονιά θα είναι μια έλλειψη, με τον κύριο άξονά της να είναι παράλληλος της κατεύθυνσης, και τα σημεία που συμπίπτουν με την κατεύθυνση να έχουν περισσότερο βάρος από τα υπόλοιπα εντός της γειτονιάς. Τέλος, μεγάλος αριθμός γειτονικών σημείων θα συμβάλλει σε μια επιφάνεια ομαλή όπου θα αποτυπώνεται καλύτερα η χωρική δομή της διακύμανσης για όλο το δίκτυο δειγματοληψίας, ενώ μικρός αριθμός γειτόνων θα έχει ως αποτέλεσμα μια επιφάνεια λιγότερο ομαλή και η οποία θα έχει αποτυπώσει καλύτερα την τοπική διακύμανση μεταξύ των γειτονικών σημείων που έχουν επιλεγεί. 24

26 Η μέθοδος IDW είναι στην ουσία ένας μέσος και γι αυτό το λόγο εμφανίζει ένα μεγάλο μειονέκτημα. Ως μέσος που χρησιμοποιεί βάρη και τα οποία είναι πάντοτε θετικά, για την τιμή οποιουδήποτε σημείου που προκύπτει από την παρεμβολή ισχύει η σχέση: min( z ) Z( x ) max( z ) i 0 δηλαδή, οι τιμές στα σημεία προσομοίωσης δεν μπορούν να είναι μικρότερες ή μεγαλύτερες από τις ελάχιστες και μέγιστες τιμές των σημείων στα οποία έχουν γίνει μετρήσεις (Εικ.Β.2). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μην μπορούν να προβλεφθούν στην τελική επιφάνεια οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές, εκτός και αν αυτές συμπεριλαμβάνονται στα αρχικά δεδομένα (Johnston et al., 2001). Παρ όλα αυτά, η απλότητα της μεθόδου, η ταχύτητα στον υπολογισμό, η ευκολία στον προγραμματισμό και τα λογικά αποτελέσματα που προκύπτουν για διάφορους τύπους δεδομένων, έχουν οδηγήσει στην ευρεία εφαρμογή της μεθόδου. j Εικ.Β.2 Τιμές σημείων δείγματος (πορτοκαλί σημεία) και τιμές παρεμβολής (μαύρη γραμμή) για την μέθοδο της IDW. Συνοψίζοντας, η καλύτερη δυνατή προσομοίωση μιας επιφάνειας με την χρήση της IDW, εξαρτάται από την βέλτιστη επιλογή της δύναμης p, τον αριθμό των γειτονικών σημείων που θα χρησιμοποιηθούν κατά την προσομοίωση και την καλύτερη δυνατή μορφή της γειτονιάς. Για την καλύτερη επιλογή όλων των παραπάνω βέβαια χρειάζεται και καλή γνώση της φύσης της παραμέτρου που προσομοιώνεται. Είναι μια μέθοδος ακριβείας, όπου οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές στην προσομοιωμένη επιφάνεια δεν υπερβαίνουν αυτές των τιμών πεδίου, ενώ ανάλογα με την επιλογή της δύναμης και του αριθμού γειτόνων δύναται η αποτύπωση της διακύμανσης είτε σε τοπικό επίπεδο είτε σε όλο το χώρο που καλύπτουν οι σταθμοί δειγματοληψίας. 25

27 Β.1.4 Μέθοδοι χωρικής παρεμβολής Splines Οι μέθοδοι Splines είναι και αυτές τοπικές και ακριβείας μέθοδοι παρεμβολής όπως και η IDW. Με τη χρήση μιας εξ αυτών των παρεμβολών, είναι σαν να προσαρμόζει κανείς μια λαστιχένια μεμβράνη στις τιμές πεδίου που έχει στη διάθεση του, προσπαθώντας την ίδια στιγμή να ελαχιστοποιήσει τη συνολική καμπυλότητα της επιφάνειάς της. Η μεμβράνη αυτή περνάει ακριβώς πάνω από τις τιμές πεδίου και ανάλογα με τη μέθοδο που χρησιμοποιείται και τα γειτονικά σημεία που επιλέγονται προσαρμόζεται μεταξύ των τιμών. Χρησιμοποιούνται σε περιπτώσεις που αναζητείται η παραγωγή ομαλών επιφανειών και οι τιμές πεδίου μεταβάλλονται ομαλά, όπως για παράδειγμα η κλίση πυθμένα ή οι συγκεντρώσεις ρύπων. Βασικό χαρακτηριστικό των μεθόδων αυτών είναι ότι δίνουν τη δυνατότητα πρόβλεψης μέγιστων και ελάχιστων τιμών πάνω και κάτω από τις αντίστοιχες των τιμών πεδίου όπως φαίνεται στην εικόνα Εικ.Β.3. Εικ.Β.3 Τιμές σημείων δείγματος (πορτοκαλί σημεία) και τιμές παρεμβολής (μαύρη γραμμή) για τις μεθόδους Splines. Στη γενική της μορφή, μία spline συνάρτηση S(x) ικανοποιεί τη συνθήκη ελαχιστοποίησης της απόκλισης από τις τιμές πεδίου και συγχρόνως της συνάρτησης ομαλοποίησης (seminorm) που τη συνοδεύει: N 2 j j p S( x ) wj + wi 0 ( S) = minimum (1) j= 1 όπου, p j j j j j είναι οι τιμές πεδίου στα διαφορετικά σημεία x = ( x1, x2,..., x d ), j = 1,,N εντός μιας συγκεκριμένης περιοχής ενός d-διάστατου χώρου, w j, w 0 είναι θετικές παράμετροι βαρύτητας και I(S) είναι η συνάρτηση ομαλοποίησης. Σε περίπτωση που w 0 / w j = 0, τότε η συνάρτηση S(x) περνάει ακριβώς μέσα από τα δεδομένα χωρίς να 26

28 δημιουργούνται καμπύλες. Η γενική λύση (που είναι και η σχέση της παρεμβολής) του προβλήματος της σχέσης (1) εκφράζεται με ένα άθροισμα δύο συνιστωσών: j Sx ( ) Tx ( ) λ Rxx (, ) N = + j= 1 όπου T(x) είναι μια συνάρτηση τάσης, λ j συντελεστές που προκύπτουν από τη λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, και R(x,x j ) είναι μια γεννήτρια συνάρτηση της οποίας η μορφή εξαρτάται αποκλειστικά από την επιλογή της I(S) και είναι και συναρτήσει της απόστασης. Ανάλογα με την μορφή της I(S) προκύπτουν οι διαφορετικές περιπτώσεις παρεμβολών Splines κάποιες εκ των οποίων είναι οι Regularized Splines, Splines with Tension, Regularized Splines with Tension κ.α. Επειδή σε αυτήν την εργασία οι παρεμβολές γίνονται μόνο στον δισδιάστατο χώρο, παρακάτω παρουσιάζονται τα αναπτύγματα της παραπάνω λύσης μόνο σε αυτόν το χώρο και για τις περιπτώσεις των Regularized και Tension. Κατ αρχάς η γενική λύση πλέον γράφεται Sxy (, ) = Txy (, ) + λ Rr ( ), όπου, j = 1,,N, Ν είναι ο αριθμός των σημείων με τιμές πεδίου, λ j συντελεστές που προκύπτουν από τη λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων και r j είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου προσομοίωσης και του σημείου j. Η συνάρτηση τάσης για την Regularized Splines γράφεται T( xy, ) = a1+ ax 2 + ay 3, ενώ για την Splines with Tension είναι η Txy (, ) = a1. Η R(r) στην Regularized Splines παίρνει τη μορφή (παρουσιάζεται κατ ευθείαν η λύση της) ( ) r ln r E 1 r Rr C τ 0 CE ln r = 2π Κ + + 2τ τ 2π, ενώ στην Splines with Tension j N j= 1 1 rφ Rr ( ) = ln + C + K( r ) 2πφ 2 2 E 0 φ, όπου, a i είναι συντελεστές που προκύπτουν από την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, τ 2 και φ 2 είναι οι παράμετροι βάρους, r η απόσταση μεταξύ j j 27

29 σημείου προσομοίωσης και τιμής πεδίου, Κ 0 είναι τροποποιημένη η συνάρτηση Bessel και C E = είναι η σταθερά Euler. Οι παράμετροι τ 2 και φ 2 καθορίζουν την ομαλότητα της επιφάνειας. Για την Regularized Splines, όσο μεγαλύτερη η τιμή του βάρους τόσο πιο ομαλή η επιφάνεια. Η τιμή του πρέπει να είναι ίση η μεγαλύτερη του μηδενός με τιμές από 0 εως 5 να θεωρούνται κατάλληλες. Οι τιμές που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι 0, 0.001, 0.01, 0.1 και 0.5. Για την Splines with Tension, όσο μεγαλύτερη η τιμή του βάρους τόσο πιο «τραχιά» θα είναι η επιφάνεια, αλλά η προσαρμογή στα σημεία πεδίου καλύτερη. Η τιμή του πρέπει να είναι και πάλι ίση η μεγαλύτερη του μηδενός. Τυπικές τιμές σε αυτή την περίπτωση είναι 0, 1, 5 και 10. Εκτός της παραμέτρου του βάρους καθοριστικό ρόλο στην ομαλότητα της επιφάνειας παίζουν και τα γειτονικά σημεία που θα επιλεχθούν. Όσο περισσότερα είναι τα γειτονικά σημεία που ορίζονται, τόσο περισσότερο θα επηρεάζεται κάθε κελί προσομοίωσης από τα απομακρυσμένα σημεία και η επιφάνεια θα ομαλοποιείται (Hofierka et al., 2002; Johnston et al., 2001; McCoy & Johnston, 2001; Mitas & Mitasova, 1988). 28

30 B.2. Στατιστική ανάλυση των δεδομένων ενός δείγματος Πριν κάποιος ξεκινήσει τη διαδικασία μιας χωρικής παρεμβολής, επιβάλλεται να προβεί σε μια στατιστική επισκόπιση των δεδομένων που έχει στη διάθεσή του. Η προκαταρκτική αυτή ανάλυση είναι τόσο σημαντική, αφού σε περίπτωση που τα δεδομένα δεν πληρούν ορισμένες προϋποθέσεις, ο ερευνητής είναι πολύ πιθανόν να εκτελέσει λάθος παρεμβολές και συνεπώς να οδηγηθεί σε λάθος συμπεράσματα κατά στην έρευνά του. Για παράδειγμα ορισμένες γεωστατικές μέθοδοι kriging απαιτούν τα δεδομένα να ακολουθούν κανονική κατανομή (Johnston et al., 2001). Η ανάλυση αυτή σε πρώτο στάδιο, περιλαμβάνει κυρίως τον υπολογισμό απλών αριθμητικών ποσοτήτων όπως η μέση τιμή (mean), η διάμεσος (median), η διακύμανση (variance), η ασυμμετρία (skewness) και η κύρτωση (kurtosis). Η μέση τιμή, η διάμεσος και η διακύμανση αποτελούν μέτρα κεντρικής τάσης, της τάσης δηλαδή που εμφανίζουν οι τιμές της κατανομής να συσσωρεύονται γύρω από το κεντρικό σημείο της. Η μέση τιμή είναι το πλέον ευρύτατα σε χρήση μέτρο κεντρικής τάσης και ορίζεται ως το πηλίκο του αθροίσματος των μετρήσεων διαιρούμενο δια το πλήθος τους. Βασικό μειονέκτημα που παρουσιάζει είναι η ευαισθησία της σε ακραίες τιμές στο δείγμα ακόμα και αν αυτές είναι λίγες. Η διάμεσος είναι η τιμή η οποία βρίσκεται ακριβώς στο μέσον του δείγματος εφ όσον οι τιμές του διαταχθούν κατά αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Βασικό πλεονέκτημά της είναι το γεγονός ότι δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές όπως η μέση τιμή. Η διακύμανση είναι ένα μέτρο διασποράς των τιμών γύρω από τη μέση τους τιμή και ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών από τη μέση τιμή διαιρούμενων δια το πλήθος τους μείον ένα. Οι μονάδες στις οποίες εκφράζεται αποτελούν το τετράγωνο των μονάδων της μεταβλητής και γι αυτό το λόγο υπολογίζεται η τετραγωνική της ρίζα και το μέτρο που προκύπτει ορίζεται ως η τυπική απόκλιση (standard deviation). Η ασυμμετρία μιας κατανομής αναφέρεται στην εκτροπή της κατανομής από την κανονικότητα. Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική και η τιμή της ασυμμετρίας της είναι ίση με μηδέν. Μια κατανομή με σημαντικά θετική τιμή ασυμμετρίας έχει μακριά δεξιά ουρά ενώ αν η τιμή της είναι σημαντικά αρνητική τότε αυτή έχει μακριά αριστερή 29

31 ουρά. Η κύρτωση μιας κατανομής αναφέρεται στο βαθμό συγκέντρωσης των τιμών της κατανομής περί το μέσο της. Για μια κανονική κατανομή (Εικ.Β.4) η τιμή της κύρτωσης είναι ίση με μηδέν. Θετικές τιμές της κύρτωσης υποδεικνύουν ότι οι τιμές του δείγματος συγκεντρώνονται περισσότερο περί το μέσο και οι ουρές της κατανομής είναι μακρύτερες από αυτές της κανονικής κατανομής, ενώ αρνητικές τιμές υποδεικνύουν ότι οι τιμές συγκεντρώνονται σε μικρότερο βαθμό και οι ουρές είναι μικρότερες σε μήκος (Γναρδέλλης, 2003). Περαιτέρω εξέταση αυτών των στατιστικών μέτρων μπορεί να γίνει με ιστογράμματα, γραφήματα κωδωνοειδών κατανομών κτλ. Τέλος, σε περιπτώσεις που τα δεδομένα δεν παρουσιάζουν κανονική κατανομή, αλλά αυτή αποτελεί βασική προϋπόθεση για την επεξεργασία τους, επιχειρείται μετασχηματισμός τους. Εικ.Β.4 Κανονική κατανομή ενός δείγματος Πέραν των παραπάνω μέτρων, σημαντικό κομμάτι της ανάλυσης των δεδομένων αποτελεί και η μελέτη των ακραίων τιμών (outliers), οι οποίες μπορούν να ανιχνευθούν με την κατασκευή ενός απλού θηκογράμματος της κατανομής των δεδομένων. Διαχωρίζονται σε δύο κατηγορίες, τις σφαιρικά ακραίες τιμές (global outliers) και τις τοπικά ακραίες τιμές (local outliers). Μια σφαιρικά ακραία τιμή αντιστοιχεί σε ένα σταθμό δειγματοληψίας ο οποίος έχει πολύ υψηλή ή πολύ χαμηλή τιμή σε σχέση με όλες τις υπόλοιπες τιμές του σετ δεδομένων π.χ. εαν 99 από τους 100 σταθμούς μιας δειγματοληψίας έχουν τιμές από 200 εως 300 και ο 100 ος σταθμός έχει τιμή 650, τότε αυτός ο σταθμός μπορεί να αποτελεί μια σφαιρικά ακραία τιμή. Μια τοπικά ακραία τιμή αντιστοιχεί σε ένα σταθμό δειγματολειψίας του οποίου η τιμή βρίσκεται εντός του 30

32 εύρους του σετ δεδομένων, αλλά αν κάποιος κοιτάξει καλύτερα τις τιμές των σταθμών που τον περιβάλλουν, θα δει ότι η τιμή του είναι ασυνήθιστα υψηλή ή χαμηλή (Εικ.Β.5). Εικ.Β.5 Τοπικό παράτυπο σημείο Η ταυτοποίηση και ο χειρισμός των ακραίων τιμών αποτελούν σημαντική διαδικασία για δύο λόγους: (α) η τιμή τους μπορεί να προέκυψε από σφάλμα στη μέτρηση ή την καταγραφή, ή (β) μπορεί να είναι φυσικές ανωμαλίες του φαινομένου που μελετάται. Εαν προέκυψαν από σφάλμα κατά την μέτρηση ή την καταγραφή και είναι εσφαλμένα σε μεγάλο ποσοστό, τότε είτε πρέπει να διορθώνονται είτε να απομακρύνονται πριν γίνει η παρεμβολή. Εαν από την άλλη μεριά αποτελούν φυσική ανωμαλία του φαινομένου, τότε οι θέσεις στις οποίες αντιστοιχούν μπορεί και να είναι οι πιο σημαντικές για την περιοχή μελέτης (Johnston et al., 2001). Για παράδειγμα, έστω ότι γίνεται δειγματοληψία σε μια παράκτια περιοχή, στην οποία είναι γνωστό ότι εκβάλλουν ακατάλληλα και επιβλαβή, για τη δημόσια υγεία απόβλητα από βιομηχανικές εγκαταστάσεις τότε οι ακραίες υψηλές τιμές θα υποδεικνύουν την περιοχή εκβολής αυτών των αποβλήτων και βάσει της παρεμβολής που θα έχει χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση του μεγέθους εξάπλωσής τους, θα δημιουργηθεί η αντίστοιχη επιφάνεια στην οποία θα οριοθετηθούν περιοχές στις οποίες θα απαγορεύεται η κολύμβηση ή η αλιεία. Από τα παραπάνω προκύπτει πόσο σημαντικό ρόλο μπορεί να παίξουν οι ακραίες τιμές στην παρεμβολή σημειακών δεδομένων. Πρέπει να χρήζουν ιδιαίτερης προσοχής γιατί από τη μια μπορεί να αποδειχθούν χρήσιμες στην διαχείριση μιας κατάστασης και από την άλλη να οδηγήσουν σε λανθασμένα αποτελέσματα όσον αφορά στην προσομοιωμένη επιφάνεια αλλά και στην αξιολόγηση της. Τα βαριογράμματα (τα οποία χρησιμοποιούνται για την χωρική αυτοσυσχέτιση δεδομένων και είναι βασικά εργαλεία των παρεμβολών kriging) είναι ευαίσθητα στην ύπαρξη ακραίων τιμών γιατί βασίζονται στα τετράγωνα των διαφορών των τιμών μεταξύ των δεδομένων. Η χειρότερη επίδραση που υπεισέρχεται σε αυτά είναι όταν η ακραία τιμή είναι κοντά στο κέντρο της περιοχής 31

33 μελέτης, με αποτέλεσμα η τιμή του να συνεισφέρει στη μέση τιμή πολλές φορές για κάθε lag (Robinson & Metternicht, 2006). Μέτρα μέσου χωρικού σφάλματος όπως το RMSE, τα οποία βασίζονται στο άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ προσομοιωμένων και τιμών πεδίου, είναι επίσης πολύ ευαίσθητα στις ακραίες τιμές. 32

34 Β.3 Μέθοδος Cross-Validation και μέτρα σύγκρισης χωρικών παρεμβολών Β.3.1 Μέθοδος Cross-validation και μέσα χωρικά σφάλματα Η cross-validation είναι μια ευρέως χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την εκτίμηση της ακρίβειας των τιμών που προβλέφθησαν βάσει μιας μεθόδου παρεμβολής. Εφαρμόζεται κυρίως σε μεθόδους χωρικής παρεμβολής ακριβείας όπως η IDW, η Splines και η Ordinary Kriging. Η διαδικασία έχει ως εξής: Αρχικά αφαιρείται ένας σταθμός από το πλέγμα δειγματοληψίας και με τη χρήση της εκάστοτε μεθόδου παρεμβολής εκτιμάται η τιμή της μεταβλητής για το συγκεκριμένο σημείο. Έπειτα υπολογίζεται η διαφορά μεταξύ της τιμής πεδίου και της προσομοιωμένης. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για όλους τους σταθμούς δειγματοληψίας, με κάθε σταθμό που αφαιρείται να επανατοποθετείται στο πλέγμα αφού έχει γίνει η εκτίμηση για το σημείο στο οποίο βρισκόταν. Οι διαφορές μεταξύ των τιμών πεδίου και των προσομοιωμένων αποτελούν τα σφάλματα της παρεμβολής, ή αλλιώς τα cross-validation σφάλματα, για κάθε σταθμό δειγματοληψίας και μπορούν να οριστούν ως ei = zx ˆ( i) zx ( i), όπου e i είναι το σφάλμα στη θέση i, zx ˆ( i ) είναι η προσομοιωμένη τιμή και zx ( i ) είναι η τιμή πεδίου (Willmott & Matsuura, 2006). Η σύγκριση μεταξύ διαφορετικών μεθόδων αλλά και η επιλογή των κατάλληλων παραμέτρων για μια συγκεκριμένη μέθοδο βασίζονται στην παραπάνω διαδικασία. Έτσι λοιπόν, η σύγκριση γίνεται με τον υπολογισμό στατιστικών ποσοτήτων οι οποίες ως βάση τους χρησιμοποιούν το άθροισμα των e i ( i = 1, 2,, n) και οι οποίες χρησιμοποιούνται σχεδόν στο σύνολο των εργασιών που έχουν να κάνουν με σύγκριση χωρικών παρεμβολών. Οι ποσότητες αυτές είναι το μέσο σφάλμα (ME, mean error ή MBE, mean bias error) (σχέση (1)), το μέσο απόλυτο σφάλμα (MAE, mean absolute 33

35 error) (σχέση (2)) και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (RMSE, root mean squared error) (σχέση (3)). n 1 ME= { zx ˆ( i) zx ( i)} (1) n i = 1 1 n MAE= { zx ˆ( i) zx ( i)} n i = 1 (2) 1 RMSE= zx zx n 2 { ˆ( i) ( i)} (3) n i = 1 όπου, n ο αριθμός των σταθμών δειγματολειψίας, zx ˆ( i ) η προσομοιωμένη τιμή και zx ( i ) η τιμή πεδίου. Κάθε ένα από τα παραπάνω μέτρα εκφράζεται σε μονάδες αφού μπορεί και διατηρεί τις μονάδες της μεταβλητής που μελετάται (Willmott & Matsuura, 2005). To ΜΕ είναι το πιο απλό στον υπολογισμό καθώς βασίζεται στο άθροισμα των σφαλμάτων. Αθροίζονται τα σφάλματα ως αυτά έχουν για να προκύψει το συνολικό σφάλμα ( n i= 1 { zx ˆ( ) zx ( )}), και στην συνέχεια διαιρούνται με τον αριθμό n των i i σταθμών δειγματολειψίας. Το MΕ αποτελεί περισσότερο ένα μέτρο το οποίο εκφράζει την παρουσία bias στα αποτελέσματα της παρεμβολής, με την έννοια ότι υποδεικνύει την μέση υπό ή υπερεκτίμηση της παρεμβολής πάνω στα δεδομένα. Παρ όλα αυτά πρέπει να χρησημοποιείται με προσοχή γιατί εκτός του ότι συνήθως παρουσιάζει αντιφατική εικόνα σε σχέση με το μέγεθος του τυπικού σφάλματος είναι και υποεκτιμημένο (ΜΕ ΜΑΕ RMSE) (Willmott & Matsuura, 2006/2005; Somaratne et al., 2005). Η τιμή του θα πρέπει να είναι όσο πιο κοντά γίνεται στο μηδέν (Robinson & Metternicht, 2006; Mueller et al., 2004; Kollias et al., 1999). Αρνητικές τιμές του ME δηλώνουν υποεκτίμηση ενώ θετικές υπερεκτίμηση. Σε περίπτωση που η τιμή του είναι μηδενική τότε η μέθοδος θεωρείται ακριβής (Mueller et al., 2004). Το MAE είναι ένα μέτρο απαλλαγμένο από πρόσημα αφού βασίζεται στο άθροισμα των απόλυτων τιμών των σφαλμάτων. Υπολογίζεται το συνολικό σφάλμα κατά απόλυτη τιμή και στη συνέχεια διαιρείται με τον αριθμό n των σταθμών δειγματοληψίας. Μετράει τη μέση ακρίβεια της παρεμβολής και δίνει εικόνα για το απόλυτο μέγεθος του 34

36 σφάλματος που υπεισέρχεται σε αυτήν. Μικρές τιμές του ΜΑΕ υποδεικνύουν μεθόδους με μικρά σφάλματα γενικώς (Schloeder et al., 2001). Το RMSE αποτελεί και αυτό, όπως και το MAE, μέτρο της μέσης ακρίβειας της παρεμβολής και του μεγέθους του σφάλματος σε αυτήν. Παρουσιάζει όμως μια σημαντική διαφορά κι αυτή είναι η ευαισθησία του στην ύπαρξη ακραίων τιμών (Nalder & Wein, 1998; Price et al.,2000). Γι αυτό το λόγο αποτελεί και δείκτη του μεγέθους των ακραίων σφαλμάτων που μπορεί να υπεισέρχονται στην παρεμβολή. Μικρές τιμές του RMSE υποδεικνύουν μεγαλύτερη κεντρική τάση και γενικώς μικρότερα ακραία σφάλματα (Price et al.,2000). Από την άλλη μεριά οι Willmott & Matsuura (2005,2006) λόγω αυτής της ευαισθησίας του, το κρίνουν ως ακατάλληλο μέτρο για εκτίμηση του μέσου σφάλματος στην ακρίβεια μιας παρεμβολής, χρήζοντας το MAE ως το βέλτιστο μέτρο για την εκτίμηση του μεγέθους του μέσου σφάλματος που υπεισέρχεται σε μια παρεμβολή, λόγω της σταθερότητας που παρουσιάζει. Την άποψη τους την δικαιολογούν ως εξής: Πρώτο βήμα για τον υπολογισμό του RMSE είναι ο υπολογισμός του συνολικού τετραγωνισμένου σφάλματος έπειτα από τετραγωνισμό των σφαλμάτων. Στη συνέχεια το συνολικό τετραγωνισμένο σφάλμα διαιρείται με n και προκύπτει το μέτρο του μέσου τεραγωνισμένου σφάλματος ( MSE, mean squared error). Τρίτο και τελευταίο βήμα είναι η εξαγωγή του RMSE, παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα του MSE. Με τον τετραγωνισμό των σφαλμάτων, κάθε μεμονωμένο σφάλμα επηρεάζει το συνολικό ανάλογα με την τετραγωνική του τιμή και όχι με την απόλυτη (όπως στο MAE). Συνεπώς, τα μεγάλα σφάλματα, έχουν μια σχετικά μεγαλύτερη επιρροή στο συνολικό τετραγωνισμένο σφάλμα απ ότι τα μικρά. Αυτό σημαίνει ότι το συνολικό τετραγωνισμένο σφάλμα θα μεγενθύνεται όσο το συνολικό σφάλμα θα συγκεντρώνεται εντός ενός μειώμενου αριθμού αυξανόμενων μεμονομένων μεγάλων σφαλμάτων. Έτσι λοιπόν, αφού η τετραγωνική ρίζα και η διαιρέση με n, απλά διαβαθμίζουν το συνολικό τετραγωνισμένο σφάλμα, συνεπάγεται ότι το RMSE θα αυξάνει (σύμφωνα με το συνολικό τετραγωνισμένο σφάλμα) όσο αυξάνει η διακύμανση των μεγεθών των μεμονωμένων σφαλμάτων, και η οποία σχετίζεται με την κατανομή των συχνοτήτων και των μεγεθών των σφαλμάτων. 35

37 Η ιδιότητα αυτή του RMSE παρουσιάζεται με το παρακάτω απλό παράδειγμα. Στον πίνακα Β.1 δίνονται 5 υποθετικές περιπτώσεις τεσσάρων σφαλμάτων. Κάθε περίπτωση παρουσιάζει διαφορετική διακύμανση με αυτήν να αυξάνεται από την περίπτωση Α εως την Ε. Το άθροισμα των απόλυτων τιμών των σφαλμάτων είναι σε όλες τις περιπτώσεις ίσο με 8. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να διατηρείται το ΜΑΕ σταθερό και ίσο με 2. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο και με το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων, το οποίο αυξάνει από την Α εως την Ε παρασύρωντας μαζί του και το RMSE. Πίνακας Β.1 Πέντε υποθετικές περιπτώσεις τεσσάρων σφαλμάτων με τις διακυμάνσεις τους και τα αθροίσματά τους, MAEs και RMSEs. Α Β Γ Δ Ε e e e e διακύμανση e i MAE e i RMSE (Willmott & Matsuura, 2005) Από τον πίνακα βλέπει κανεις επίσης, ότι οι οριακές τιμές του RMSE καθορίζονται από το ΜΑΕ και από τον αριθμό n των σφαλμάτων ως εξής MAE RMSE n MAE. Συνοψίζοντας λοιπόν, ο λόγος για τον οποίο οι Willmott & Matsuura θεωρούν το RMSE (αλλά και άλλα μέτρα τα οποία βασίζονται στο άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων) ως αναξιόπιστο, είναι το γεγονός ότι αποτελεί συνάρτηση 3 χαρακτηριστικών των σφαλμάτων και δεν εκφράζει απλά το μέσο σφάλμα. Μεταβάλλεται με την μεταβλητότητα των μεγεθών των σφαλμάτων (δηλαδή τη διακύμανση), την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των σφαλμάτων ( n ) όπως επίσης και με το μέγεθος του ΜΑΕ (Willmott & Matsuura, 2005). Με την διαδικασία της cross-validation, υπολογίζονται οι στατιστικές ποσότητες μέσου σφάλματος που περιγράφηκαν παραπάνω. Τα μέτρα αυτά όμως, αφορούν μόνο τις τοποθεσίες στις οποίες υπάρχουν οι σταθμοί δειγματοληψίας και δεν εκφράζουν το μέσο 36

38 χωρικό σφάλμα της παρεμβολής για όλη την περιοχή, το οποίο είναι και το ζητούμενο. Έτσι λοιπόν, αφού έχουν υπολογιστεί τα σφάλματα e i από τη διαδικασία της crossvalidation, εφαρμόζεται μία μέθοδος παρεμβολής (αυτή που αξιολογείται) κι έτσι προκύπτει πλέον μια επιφάνεια σφαλμάτων. Δημιουργώντας αυτές τις επιφάνειες, δεν εξάγονται μόνο αποτελέσματα για το μέγεθος του μέσου χωρικού σφάλματος που συνοδεύει μια παρεμβολή, αλλά δίνεται και η δυνατότητα μελέτης της χωρικής του κατανομής. Η δημιουργία αυτών των επιφανειών βέβαια γίνεται με την παραδοχή ότι μεταξύ των σφαλμάτων μπορεί να υπάρχει κάποια χωρική αυτο-συσχέτιση (Willmott & Matsuura, 2006; Leenaers et al., 1990). Για την εξαγωγή του ΜΕ χρησιμοποιούνται τα e i με τα πρόσημα τους και για το ΜΑΕ οι απόλυτες τιμές τους. Για την εξαγωγή του RMSE δεν χρησιμοποιούνται τα τετράγωνα των e i αλλά τετραγωνίζεται η επιφάνεια που προέκυψε για το MAE. Με αυτόν τον τρόπο ελαττώνεται η επιρροή του σφάλματος της παρεμβολής στο RMSE και διαδοχικά περιορίζεται και το μέγεθος του. Έχοντας πλέον παρεμβάλλει τα σφάλματα, μπορούν να υπολογιστούν τα μέτρα μέσου χωρικού σφάλματος, τα οποία απευθύνονται στο σύνολο της επιφάνειας. Έτσι λοιπόν τα μέτρα που αναφέρθηκαν πριν παίρνουν πλέον την εξής μορφή: ng n g γ eγ = wj ej / wj j= 1 j= 1 όπου γ 1, n g είναι πλέον ο αριθμός των κελιών του καννάβου από τα οποία αποτελείται η επιφάνεια, w j είναι το εμβαδόν κάθε κελιού j και e j είναι η τιμή του σφάλματος για κάθε κελί. Το εμβαδόν του κελιού, σε περίπτωση που είναι ίδιο για όλα τα κελιά, δεν επηρεάζει καθόλου το μέγεθος του σφάλματος αφού ο όρος w / 1/ γ j wj θα είναι ίσος με τη μονάδα. Σε περίπτωση όμως που υπάρχουν κελιά άνισου εμβαδού, η μεταβλητότητα αυτή θα πρέπει να μεταφέρεται στο w j. Όταν γ =1, τότε προκύπτει το MAE, ενώ όταν γ =2 προκύπτει το RMSE. Όταν το γ =1 και δεν λαμβάνεται η απόλυτη τιμή των σφαλμάτων προκύπτει το ΜΕ (Willmott & Matsuura, 2006). ng n g ME = wje j / wj j= 1 j= 1 37

39 B.3.2 Συντελεστής Pearson, συντελεστής προσδιορισμού και διαγράμματα πρόβλεψης Με την ολοκλήρωση της cross-validation, για κάθε σημείο που υπήρχαν μετρήσεις πεδίου υπάρχουν πλέον και οι εκτιμήσεις της εκάστοτε παρεμβολής. Στην προσπάθεια να γίνει μια συσχέτιση μεταξύ των τιμών πεδίου και των τιμών προσομοίωσης, να ελεγχθεί δηλαδή κατά πόσο οι τιμές προσομοίωσης προσεγγίζουν αυτές του πεδίου, χρησιμοποιείται ο συντελεστής συσχέτισης Pearson. Ο συντελεστής Pearson συμβολίζεται με r και μετράει μόνο γραμμική συσχέτιση ανάμεσα στις μεταβλητές. Οι τιμές που παίρνει είναι από -1 εως 1. Τιμές -1 και 1 δηλώνουν απόλυτη γραμμική συσχέτιση μεταξύ των δύο μεταβλητών (Καρλής, 2005) (π.χ. στην περίπτωση που οι τιμές προσομοίωσης που δίνει μια παρεμβολή είναι ακριβώς ίδιες με αυτές του πεδίου, τότε αυτές χαρακτηρίζονται από απόλυτα θετική γραμμική συσχέτιση). Η γραμμική συσχέτιση μεταξύ δύο μεταβλητών μπορεί επίσης να οπτικοποιηθεί σε ένα διάγραμμα διασποράς. Βάζοντας στον άξονα x τις τιμές πεδίου, οι οποίες θεωρούνται ως μια ανεξάρτητη μεταβλητή, και στον άξονα y τις προσομοιωμένες τιμές, οι οποίες αποτελούν την εξαρτημένη μεταβλητή αφού εκτιμώνται από την μεταβλητή των τιμών πεδίου, προκύπτει ένα διάγραμμα πρόβλεψης. Η σχέση μεταξύ των τιμών σε αυτό το διάγραμμα μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια μιας ευθείας ελαχίστων τετραγώνων (least-squares line), η οποία προσεγγίζει κατά το μέγιστο δυνατόν το σύνολο των σημείων που απεικονίζονται στο εσωτερικό του διαγράμματος. Η αξιολόγηση της προσαρμογής της ευθείας αυτής επί των τιμών γίνεται με τον υπολογισμό του συντελεστή προσδιορισμού (coefficient of determination). Συμβολίζεται με R 2 και ορίζεται ως το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης Pearson, R 2 = r 2. Επειδή ο συντελεστής Pearson παίρνει τιμές στο διάστημα [-1,1], ο συντελεστής προσδιορισμού παίρνει τιμές στο διάστημα [0,1]. Στην περίπτωση που R 2 = 0, δεν υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των τιμών στους άξονες x και y (Γναρδέλλης, 2003). Τα παρακάτω διαγράμματα αποτελούν παραδείγματα περιπτώσεων γραμμικής και μη γραμμικής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών. 38

40 Πλήρης θετική συσχέτιση r = R 2 = 1 Πλήρης αρνητική συσχέτιση r = R 2 = -1 y y x x Ανυπαρξία γραμμικής συσχέτισης r = R 2 = 0 y y x x Να επισημανθεί εδώ ότι οι παραπάνω συντελεστές αφορούν μόνο στα σημεία και όχι σε όλο το χώρο όπως τα μέσα χωρικά σφάλματα που προαναφέρθηκαν. Επίσης, ένα μειονέκτημα το οποίο παρουσιάζει ο R 2, και το οποίο μπορεί να παίξει σημαντικό ρόλο σε περίπτωση που ο αριθμός των δεδομένων δεν είναι μεγάλος, είναι ότι αποτελεί κυρίως μέτρο αξιολόγησης της προσαρμογής της ευθείας πάνω στα δεδομένα. Δηλαδή, αξιολογεί κατά κάποιο τρόπο έμμεσα την απόκλιση των προσομοιωμένων τιμών από αυτές του πεδίου και όχι άμεσα όπως τα μέσα σφάλματα που αναφέρθηκαν προηγουμένως. 39

41 Β.3.3 Μελέτη του μέσου σφάλματος MSE μέσω των συνιστωσών του Πέραν της ποσοτικοποίησης του μεγέθους του μέσου σφάλματος που προκύπτει από τις στατιστικές ποσότητες που προαναφέρθηκαν, μπορεί να γίνει και μια ποιοτική προσέγγιση αυτού ώστε να φανούν διαφορετικές πτυχές των αποκλίσεων μεταξύ προσομοιωμένων και τιμών πεδίου. Η προσέγγιση αυτή γίνεται μέσω του μέσου σφάλματος MSE (Mean Squared Error). Επισημαίνεται εδώ, ότι αναφέρεται απλά το μέσο και όχι το μέσο χωρικό σφάλμα γιατί η προσέγγιση γίνεται μόνο για τα σημεία δειγματοληψίας (όπως άλλωστε και οι συντελεστές που αναφέρθηκαν στην προηγούμενη ενότητα). Η προσέγγιση λοιπόν αυτή έχει ως εξής: Το MSE διαχωρίζεται σε δύο συνιστώσες: n MSE= ( zx ˆ( i) zx ( i)) + [( zx ˆ( i) zx ˆ( i)) ( zx ( i) zx ( i)] n i = 1 όπου zx ˆ( i ) και zx ( ) είναι οι μέσες τιμές των προσομοιωμένων τιμών και των τιμών i πεδίου αντίστοιχα. Η πρώτη συνιστώσα ορίζεται ως SB (Squared Bias) και αποτελεί το τετράγωνο του μέσου σφάλματος, SB zx ˆ zx 2 = ( ( i) ( i)). Εκφράζει την ακρίβεια της μεθόδου και την ύπαρξη bias σε αυτήν και πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο μηδέν. Η δεύτερη συνιστώσα είναι η μέση τετραγωνισμένη διαφορά μεταξύ των προσομοιωμένων τιμών και τιμών πεδίου λαμβάνοντας υπ οψην τις αποκλίσεις τους από τις μέσες τιμές τους και ορίζεται ως MSV (Mean Squared Variation), n i = 1 n 1 2 MSV= [( zx ˆ( ) zx ˆ( )) ( zx ( ) zx ( )]. Μεγάλη τιμή του MSV υποδεικνύει ότι η i i i i μέθοδος δεν κατάφερε να εκτιμήσει την μεταβλητότητα των τιμών πεδίου γύρω από τη μέση τους τιμή επαρκώς. Έτσι, το MSE παίρνει πλέον τη μορφή, MSE = SB + MSV. Με τη σειρά του, το MSV μπορεί να διαχωριστεί σε άλλες δύο συνιστώσες: MSV = SDe SDm + SDeSDm r 2 ( ) 2 (1 ) = SDSD + LCS, 40

42 όπου, n 1 SDe= zx ˆ( ) zx ˆ( )) n i = 1 i i είναι η τυπική απόκλιση των προσομοιωμένων τιμών, n 1 SDm= ( zx ( ) zx ( ) n i = 1 είναι η τυπική απόκλιση των τιμών πεδίου και τέλος i n 1 r= ( zx ˆ( i) zx ˆ( i))( zx ( i) zx ( i)) /( SDeSDm) n i = 1 είναι ο γραμμικός συντελεστής συσχέτισης μεταξύ τιμών πεδίου και προσομοιωμένων. Η συνιστώσα SDSD αποτελεί το μέγεθος της διαφοράς της διακύμανσης μεταξύ των τιμών προσομοίωσης και πεδίου. Αρκετά μεγάλη τιμή αυτής υποδεικνύει ότι η μέθοδος παρεμβολής δεν κατάφερε να εκτιμήσει το μέγεθος της διακύμανσης των τιμών πεδίου (δηλ. η διακύμανση των προσομοιωμένων τιμών είναι σε αρκετό βαθμό μεγαλύτερη ή μικρότερη από αυτήν των τιμών πεδίου). Η συνιστώσα LCS είναι η έλλειψη θετικής συσχέτισης (1 - r) μεταξύ των τιμών πεδίου και προσομοίωσης, σταθμισμένη από τις τυπικές αποκλίσεις. Μεγάλη τιμή αυτής (η οποία μεγάλη τιμή προκύπτει είτε σε περίπτωση που ο συντελεστής είναι μικρός, δηλαδή αρκετά μικρότερος της μονάδας, είτε σε περίπτωση που είναι αρνητικός) υποδεικνύει ότι η μέθοδος δεν αποτύπωσε τη χωρική δομή της διακύμανσης στην έκταση που καλύπτουν οι τιμές πεδίου. Συνδυάζοντας τελικώς όλους τους παραπάνω όρους, το MSE γράφεται MSE = SB + SDSD + LCS, και πλέον κάποιος μπορεί να έχει εικόνα όχι μόνο για το μέγεθος του σφάλματος, αλλά και σε τι ποσοστό η μέθοδος είναι ακριβής, τι ποσοστό οφείλεται σε κακή εκτίμηση της διακύμανσης των τιμών πεδίου από τη μέθοδο και τέλος τι ποσοστό οφείλεται στην κακή αποτύπωση της χωρικής δομής της διακύμανσης των τιμών πεδίου από τη μέθοδο (Kobayashi & Salam, 2000). i 41

43 Γ. Περιοχή Μελέτης Γ.1 Κόλπος Γέρας Ο κόλπος της Γέρας είναι ένας ημί-κλειστος κόλπος στη νήσο της Λέσβου βορειοανατολικά του Αιγαίου πελάγους (Εικ.Γ.1). Η έκταση της επιφάνειας του κόλπου είναι περίπου 43 Km 2, το μέσο βάθος του κυμαίνεται γύρω στα 10 m και ο συνολικός όγκος νερού είναι 9x10 8 m 3. Η σύνδεση του κόλπου με την ανοιχτή θάλασσα γίνεται μέσω ενός καναλιού, του οποίου το μήκος είναι 6.5 Km, το πλάτος του κυμαίνεται από 200 εως 800 m και το βάθος του από 10 εως 30 m (Tsirtsis et al., 2003). Εικ.Γ.1 Κόλπος της Γέρας στη νήσο της Λέσβου, Ελλάδα (Tsirtsis et al., 2003) Το κλίμα της περιοχής ανήκει σύμφωνα με τη κατηγοριοποίηση του Thornthwaite στον τύπο C 1 db 3 b 4 και χαρακτηρίζεται από ετήσια βροχόπτωση ύψους mm ενώ η εξατμισοδιαπνοή κυμαίνεται στα 900mm ανά έτος (Ταμβάκη, 2005). Το δίκτυο ποταμών της λεκάνης απορροής μπορεί να χαρακτηριστεί ως πλούσιο (Εικ.Γ.2). Όλα τα ποτάμια έχουν εποχιακό χαρακτήρα και ρέουν για σχεδόν 6 μήνες, από Νοέμβριο εως Απρίλιο, οπότε και το ύψος βροχόπτωσης είναι υψηλό. Τα πιο σημαντικά ποτάμια (Ευεργέτουλας, Παλαιόκηπος, Σκόπελος) βρίσκονται στο δυτικό και βόρειο μέρος της 42

44 λεκάνης απορροής. Ο Ευεργέτουλας είναι το πιο σημαντικό ποτάμι στην περιοχή και οι πηγές του βρίσκονται στο όρος Όλυμπος (Tsirtsis et al., 2003). Εικ.Γ.2 Υδρογραφικό δίκτυο και οικισμοί λεκάνης απορροής και ευρύτερης περιοχής (Ταμβάκη, 2005) Η ορογραφία της περιοχής φαίνεται στην εικόνα Εικ.Γ.3. Το δυτικό μέρος χαρακτηρίζεται από την ορεινή περιοχή του Ολύμπου (ο οποίος είναι το ψηλότερο βουνό της Λέσβου με ύψος στα 968 m) και τις μεγάλες πεδινές περιοχές κοντά στη θάλασσα. Ο ποταμός Ευεργέτουλας στα βόρεια του κόλπου περιβάλλεται από πεδινές εκτάσεις, ενώ το ανατολικό μέρος του κόλπου χαρακτηρίζεται από σχετικά απότομες πλαγιές κοντά στη θάλασσα και τις κορυφές της Κουρτερής και της Αμαλής οι οποίες όμως δεν ξεπερνούν τα 600m ύψος (Ταμβάκη, 2005; Tsirtsis et al., 2003). Οι χρήσεις γης ποικίλουν στην λεκάνη απορροής του κόλπου. Μεγάλο ποσοστό καλύπτεται από ελαιώνες εκ των οποίων οι περισσότεροι είναι καλλιεργημένοι ενώ υπάρχουν και εγκαταλελειμένοι. Στο βόρειο τμήμα της λεκάνης υπάρχει ο υγροβιότοπος της Λάρσου που έχει ενταχθεί στο δίκτυο NATURA 2000, ενώ σημαντικό τμήμα του 43

45 καλύπτεται από πευκοδάση. Το δυτικό μέρος χαρακτηρίζεται από πιο ποικίλες χρήσεις γης μεταξύ των οποίων είναι οι καλλιέργειες φρούτων, τριφυλλιού και μακί. Εικ.Γ.3 Ορογραφία λεκάνης απορροής και ευρύτερης περιοχής (Tsirtsis et al., 2003) Όσον αφορά στους οικισμούς (Εικ.Γ.2), οι περισσότεροι βρίσκονται στο δυτικό μέρος του κόλπου με πληθυσμό περίπου 7000 κατοίκων. Στο βόρειο τμήμα υπάρχουν τα χωριά του Δήμου Ευεργέτουλα και στο ανατολικό τα χωριά Λουτρά και Πυργί (Ταμβάκη, 2005; Tsirtsis et al., 2003). Στο ανατολικό μέρος τα τελευταία χρόνια παρουσιάζεται έντονη οικιστική ανάπτυξη λόγω της κοντινής του απόστασης από την πόλη της Μυτιλήνης και τελευταία της βελτίωσης του οδικού δικτύου. Οι πληροφορίες για την ποιότητα των επιφανειακών και υπόγειων υδάτων της λεκάνης απορροής είναι περιορισμένες. Από τα πρόσκαιρα ποτάμια του Σκόπελου και του Παλαιόκηπου, τα οποία αποστραγγίζονται στο δυτικό μέρος της λεκάνης, μεταφέρονται τα απόβλητα των χωριών της περιοχής τα οποία έχουν συνολικό πληθυσμό

46 κατοίκων, αριθμός ο οποίος διπλασιάζεται τους καλοκαιρινούς μήνες. Κατά μήκος της διαδρομής των περίπου 5 Km που ενώνει τα χωριά με τη θάλασσα, τα απόβλητα οξυγονώνονται και βιοδιασπώνται σε μεγάλο βαθμό. Από τα βόρεια και ανατολικά μέρη της λεκάνης απορροής, η ποσότητα των αποβλήτων δεν είναι αξιοσημείωτη καθώς στις περιοχές αυτές τα χωριά είναι λίγα και με περιορισμένες τουριστικές δραστηριότητες. Η πιο σημαντική βιομηχανική δραστηριότητα στη λεκάνη απορροής της Γέρας είναι η επεξεργασία ελιάς με τη μέθοδο της φυγοκέντρησης. Τα παραπροϊόντα της επεξεργασίας αυτής περιέχουν ελάχιστες ποσότητες ανόργανου αζώτου και 0,03%-0,05% ανόργανου φωσφόρου (Michelakis & Koutsaftakis, 1989). Τα παραπροϊόντα αυτά διοχετεύονται χωρίς καμία επεξεργασία στα ποτάμια και καταλήγουν στη θάλασσα. Οι επιπτώσεις αυτής της απόρριψης είναι ο σκούρος χρωματισμός και η διατάραξη των πελαγικών και βενθικών κοινωνιών των ποταμών και της θάλασσας. Οι σημαντικότερες μονάδες φυγοκέντρησης βρίσκονται στην δυτική και ανατολική μεριά της λεκάνης απορροής (Tsirtsis et al., 2003). Οι μη σημειακές πηγές μόλυνσης είναι επίσης σημαντικές για την περιοχή μελέτης. Για την καλλιέργεια των ελαιόδεντρων χρησιμοποιούνται λιπάσματα τα οποία περιέχουν άζωτο και φώσφορο. Τα λιπάσματα ρίχνονται στα δέντρα από Ιανουάριο εως Μάρτιο, περίοδος κατά την οποία η βροχόπτωση είναι σχετικά υψηλή με αποτέλεσμα οι ποσότητες θρεπτικών που καταλήγουν στη θάλασσα να είναι αξιοσημείωτες. Όσον αφορά στα ιζηματολογικά χαρακτηριστικά του πυθμένα του κόλπου, συγκεντρώσεις λεπτόκοκκων ιζημάτων παρατηρούνται στο βόρειο και κεντρικό τμήμα του κόλπου, ενώ το κλάσμα της άμμου επικρατεί σε όλο τον παράκτιο χώρο και κατά μήκος του διαύλου (Σταγωνάς, 2004). Πιο συγκεκριμένα, στο βορειοδυτικό τμήμα του πυθμένα επικρατεί το κλάσμα της άμμου χερσογενούς προέλευσης. Στο δυτικό και κεντρικό τμήμα του πυθμένα επικρατεί το αργιλικό κλάσμα σε μεγαλύτερο ποσοστό, ενώ παρατηρείται και η ύπαρξη υλικών χερσογενούς προελεύσεως σε μικρότερο ποσοστό (χαλαζίες, άστριοι, βαρέα ορυκτά). Στο ανατολικό τμήμα και κατά μήκος του διαύλου επικρατεί βιγεννής άμμος (Αρχοντίτσης, 1998). Ένας ύφαλος, στα 5m βάθος, χωρίζει το κανάλι από το εσωτερικό του κόλπου. Το μέσο βάθος του κόλπου είναι περίπου 10m και τα βαθύτερα σημεία βρίσκονται στο κέντρο του. Η κυκλοφορία των νερών στον κόλπο και παρουσιάζει ένα κυκλωνικό πρότυπο την 45

47 περισσότερη διάρκεια του έτους. Η ανταλλαγή υδάτων με την ανοιχτή θάλασσα παρουσιάζει μια διακύμανση κατά τη διάρκεια του έτους λόγω των ιδιαίτερων μορφολογικών χαρακτηριστικών του κόλπου. Κατά τη διάρκεια των θερμών μηνών του έτους (Απρίλη έως Οκτώβρη), οι φυσικές συνθήκες επιτρέπουν την είσοδο ολιγοτροφικών νερών από το Αιγαίο στον κόλπο, ενώ το υδροδυναμικό καθεστώς αντιστρέφεται κατά τη διάρκεια του υπόλοιπου χρόνου (Εικ.Γ.4). Ο χρόνος ανανέωσης των υδάτων μπορεί να είναι έως και 3 μήνες (Theocharis and Georgopoulos, 1986). Εικ.Γ.4 Κυκλωνικό πρότυπο υδροδυναμικής κυκλοφορίας του κόλπου της Γέρας την περισσότερη διάρκεια του έτους (Tsirtsis et al., 2003). Οι κατανομές αλατότητας και θερμοκρασίας στον κόλπο της Γέρας είναι χαρακτηριστικές μικρών κλειστών υδάτινων όγκων, επηρεαζόμενες από τις φυσικές διαδικασίες της βροχόπτωσης, της εξάτμισης και των χερσαίων εισροών. Η θερμοκρασία κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού είναι υψηλότερη μέσα στον κόλπο σε σχέση με την ανοιχτή θάλασσα, ενώ το αντίθετο παρατηρείται κατά τη διάρκεια του χειμώνα. Η ίδια τάση παρατηρείται και στην αλατότητα, με υψηλότερες τιμές το καλοκαίρι και χαμηλότερες το χειμώνα σε σχέση με την ανοιχτή θάλασσα (Tsirtsis et al., 2003). 46

48 Γ.2 Δεδομένα Πεδίου Στις 7 και 8 Νοέμβριου 2006, πραγματοποιήθηκαν 2 δειγματοληψίες πεδίου στον κόλπο της Γέρας. Συλλέχθηκαν 20 δείγματα ιζήματος από την επιφάνεια του πυθμένα (~10cm) με αρπάγη τύπου Van Veen και μεταφέρθηκαν σε θερμοκρασία 4ºC στο εργαστήριο. Στη συνέχεια, μικρές ποσότητες από κάθε δείγμα, αφού ομογενοποιήθηκαν, αποξηράνθηκαν στους 80 ºC και λειοτριβήθηκαν σε ιγδίο από αχάτη. Ο προσδιορισμός του οργανικού άνθρακα έγινε με την μέθοδο Walkley-Black (1947), όπως αυτή τροποποιήθηκε από τον Jackson (1958), θερμαίνοντας τις ποσότητες ιζήματος με διχρωμικό κάλιο παρουσία πυκνού θειϊκού οξέος με αποτέλεσμα την οξείδωση της οργανικής ύλης. Στη συνέχεια η περίσσεια του διχρωμικού καλίου οπισθογκομετρήθηκε με διάλυμα δισθενούς εναμμώνιου θειϊκού σιδήρου παρουσία δείκτη διφαινυλαμίνης (Loring et al., 1992). Οι τιμές συγκεντρώσεων % οργανικού άνθρακα επί ξηρού βάρους (dw) που προέκυψαν μετά από την χημική ανάλυση καθώς και η διάταξη των σταθμών δειγματοληψίας στο χώρο φαίνονται στην εικόνα Γ.5. 47

49 % G14 G13 G21 G07 G18 G68 G12 G15 G19 G05 G09 G20 G04 G16 G17 G10 G11 % Org.C dw G03 G02 G01 0 1,100 2,200 4,400 Meters Εικ.Γ.5 Περιοχή μελέτης και διάταξη σταθμών δειγματολειψίας με τις τιμές Org.C που τους αντιστοιχούν Όπως φαίνεται και στην εικόνα, η διάταξη των σταθμών δειγματοληψίας καλύπτει όλη την επιφάνεια του κόλπου. Κάποια ξεκάθαρη τάση όσο αφορά στην μεταβολή των τιμών του % Org.C dw με την κατεύθυνση ή το βάθος δεν υπάρχει. Σε κάποιες παράκτιες περιοχές του κόλπου εμφανίζονται χαμηλές τιμές (G12) ενώ αλλού υψηλές (G11, G21). Στα ανοιχτά του κόλπου επικρατούν μεσαίες και υψηλές τιμές, ενώ στο στόμιο ο G03 παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή και ο G02 μεσαία τιμή. 48

50 Δ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Δ.1 Στατιστική ανάλυση δεδομένων οργανικού άνθρακα Πριν γίνουν οι χωρικές παρεμβολές πραγματοποιήθηκε στατιστική ανάλυση των δεδομένων. Αυτή περιελάμβανε τον υπολογισμό κάποιων βασικών στατιστιστικών ποσοτήτων και την ανίχνευση ακραίων τιμών. Στον πίνακα Δ.1 συνοψίζονται τα αποτελέσματα. Πίνακας Δ.1 Στατιστικά μέτρα για τις τιμές οργανικού άνθρακα Org.C (%) N Min Max Mean Median Var. Skewness Kurtosis st.error st.error όπου, Ν ο αριθμός των σταθμών δειγματοληψίας, Min η ελάχιστη τιμή, Max η μέγιστη τιμή, Median η διάμεσος, Var. (variance) η διακύμανση, Skewness η ασυμμετρία και Kurtosis η κύρτωση. Όπως φαίνεται στον πίνακα, στην ασυμμετρία και την κύρτωση εκτός από τα μέτρα τους δίνονται και τα τυπικά τους σφάλματα κι αυτό γιατί ο λόγος των μέτρων τους ως προς τα τυπικά τους σφάλματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο της κανονικότητας της κατανομής. Και στις δύο περιπτώσεις η κανονικότητα της κατανομής απορρίπτεται εαν ο λόγος είναι μικρότερος από -2 ή μεγαλύτερος από +2. Ο λόγος του μέτρου της ασυμμετρίας ως προς το τυπικό της σφάλμα είναι ίσος με ενώ ο αντίστοιχος για την κύρτωση είναι Και οι δύο βρίσκονται εντός του κατάλληλου εύρους κι επομένως η κατανομή των δεδομένων μπορεί να θεωρηθεί κανονική. Τα πρόσημα και των δύο είναι αρνητικά, γεγονός που μεταφράζεται κατ αρχάς σε μη συμμετρική κατανομή κι έπειτα στην ύπαρξη μακριάς αριστερής ουράς στη κατανομή. Στην κύρτωση μεταφράζεται σε μικρό βαθμό συγκέντρωσης των τιμών γύρω από τη μέση τιμή και μικρότερο μήκος των ουρών στην κατανομή σε σχέση με την απόλυτα κανονική κατανομή. Αυτά φαίνονται και στο ιστόγραμμα (Εικ.Δ.1) που παρατίθεται στη συνέχεια. Στη συνέχεια δεν θα μας απασχολήσει ξανά η κανονικότητα της κατανομής του 49

51 δείγματος αφού δεν αποτελεί προϋπόθεση για καμία από τις δύο μεθόδους παρεμβολής που εφαρμόζονται σε αυτή την εργασία Συχνότητα Τιμές πεδίου Εικ.Δ.1 Ιστόγραμμα συχνοτήτων και καμπύλη κατανομής των τιμών του οργανικού άνθρακα. Για τον εντοπισμό ακραίων τιμών κατασκευάστηκε το αντίστοιχο θηκόγραμμα της κατανομής των τιμών του οργανικού άνθρακα (Εικ.Δ.2) Εικ.Δ.2 Θηκόγραμμα κατανομής τιμών οργανικού άνθρακα 50

52 Παρατηρώντας το δεν τίθεται θέμα ύπαρξης ακραίων τιμών αφού καμία τιμή του δείγματος δεν βρίσκεται εκτός των περιοχών που ορίζουν οι φράκτες του θηκογράμματος. Δ.2 Αξιολόγηση χωρικών παρεμβολών Στις χωρικές παρεμβολές των δεδομένων οργανικού άνθρακα που εφαρμόσθηκαν, ο σταθμός G01 αφαιρέθηκε από το δίκτυο δειγματοληψίας, αφού αποτελούσε σταθμό αναφοράς κατά τη δειγματοληψία πεδίου. Εφαρμόστηκαν οι μέθοδοι χωρικής παρεμβολής της αντίστροφης βαρύνουσας απόστασης (IDW) και της Splines. Για την κάθε μέθοδο χρησιμοποιήθηκαν διαφορετικές τιμές όσον αφορά στους γείτονες και στις παραμέτρους βάρους. Στην IDW οι τιμές που δόθηκαν στην δύναμη p της συνάρτησης βάρους ήταν 1, 1.5, 2, 4, 10 και 20 και οι γείτονες που χρησιμοποιήθηκαν για κάθε δύναμη ξεχωριστά ήταν 3, 4, 5 και 6. Στη Splines τα αντίστοιχα βάρη πήραν τις τιμές 0, 0.01, 0.1, 0.5 και 1. Για όλα τα βάρη στη Splines ο αριθμός γειτόνων που χρησιμοποιήθηκε ήταν 12. Σε όλες τις παρεμβολές το μέγεθος του κελιού ορίστηκε στα 28 μέτρα. Στη συνέχεια, αφού πραγματοποιήθηκε η διαδικασία της cross-validation, υπολογίστηκαν τα μέσα χωρικά σφάλματα, οι συντελεστές Pearson και προσδιορισμού και οι συνιστώσες του MSE. Στη συνέχεια, έγινε συγκριτική μελέτη όλων των παραπάνω συνδυασμών παρεμβολών έτσι ώστε να προκύψουν διάφορα συμπεράσματα. 51

53 Δ.2.1 Αξιολόγιση της μεθόδου Αντιστρόφου Βαρύνουσας Απόστασης (IDW) για διάφορους γείτονες και συναρτήσεις βάρους. Στους παρακάτω πίνακες δίνονται οι διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου μετά το πέρας της διαδικασίας cross-validation. Πίνακας Δ.2 Διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου για την IDW με δύναμη 1. Γείτονες Σταθμοί Διαφορά Διαφορά Διαφορά Διαφορά G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

54 Πίνακας Δ.3 Διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου για την IDW με δύναμη 1.5. Γείτονες Σταθμοί Διαφορά Διαφορά Διαφορά Διαφορά G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

55 Πίνακας Δ.4 Διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου για την IDW με δύναμη 2. Γείτονες Σταθμοί Διαφορά Διαφορά Διαφορά Διαφορά G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

56 Πίνακας Δ.5 Διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου για την IDW με δύναμη 4. Γείτονες Σταθμοί Διαφορά Διαφορά Διαφορά Διαφορά G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

57 Πίνακας Δ.6 Διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου για την IDW με δύναμη 10. Γείτονες Σταθμοί Διαφορά Διαφορά Διαφορά Διαφορά G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

58 Πίνακας Δ.7 Διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου για την IDW με δύναμη 20. Γείτονες Σταθμοί Διαφορά Διαφορά Διαφορά Διαφορά G G G G G G G G G G G G G G G G G G G Παρατηρώντας τους παραπάνω πινάκες, φαίνεται πως η πλειονότητα των τιμών που προσομοιώνει η IDW έχουν αρκετή απόκλιση από αυτές που μετρήθηκαν στο πεδίο. Βέβαια σε κάθε προσομοίωση υπάρχουν και προσομοιωμένες τιμές οι οποίες είναι αρκετά κοντά σε αυτές του πεδίου αλλά αυτές δεν μένουν σταθερές για όλες προσομοιώσεις. Ως παράδειγμα αναφέρεται ο σταθμός G07, του οποίου τα σφάλματα είναι από τα χαμηλότερα για όλες τις προσομοιώσεις. Τέλος, αρνητικές τιμές στα σφάλματα σημαίνουν τιμές προσομοίωσης χαμηλότερες από αυτές του πεδίου, ενώ θετικές τιμές το αντίθετο. 57

59 Η σύγκριση των διαφορετικών παρεμβολών έγινε με τον υπολογισμό του μέσου απόλυτου σφάλματος (mean absolute error, MAE), του μέσου σφάλματος (ME), του μέσου τετραγωνικού σφάλματος (root mean square error, RMSE), του συντελεστή προσδιορισμού R 2 και των συνιστωσών του MSE. Τα αποτελέσματα για τα μέσα χωρικά σφάλματα όλων των παρεμβολών φαίνονται στον Πίνακα Δ.8. Πίνακας Δ.8 Μέσα χωρικά σφάλματα για τις παρεμβολές IDW κατηγοριοποιημένες ανά αρθμό γειτόνων Παρεμβολές Προσομοιωμένη μέση χωρική τιμή ME MAE RMSE %οργ. C dw p_1 n_3 * p_1.5 n_ p_2 n_ p_4 n_ p_10 n_ p_20 n_ p_1 n_ p_1.5 n_ p_2 n_ p_4 n_ p_10 n_ p_20 n_ p_1 n_ p_1.5 n_ p_2 n_ p_4 n_ p_10 n_ p_20 n_ p_1 n_ p_1.5 n_ p_2 n_ p_4 n_ p_10 n_ p_20 n_ * όπου p η δύναμη στη συνάρτηση βάρους και n ο αριθμός των γειτόνων 58

60 Στο σύνολο των αποτελεσμάτων, τα χαμηλότερα σφάλματα τα δίνει η παρεμβολή με την τιμή 1 στη δύναμη της συνάρτησης βάρους (p = 1). Πιο αναλυτικά, όσον αφορά πρώτα στο ME, αυτό αυξάνεται με την αύξηση της δύναμης στη συνάρτηση βάρους, σε όλες τις περιπτώσεις γειτόνων. Στις παρεμβολές με τιμές δύναμης στη συνάρτηση βάρους 1, 1.5 και 2, χαμηλότερη τιμή στο σφάλμα εμφανίζεται στους 4 γείτονες, έπειτα ακολουθούν οι 5 γείτονες, στη συνέχεια οι 6 και τέλος οι 3 γείτονες δίνουν την μεγαλύτερη τιμή. Στην δύναμη 4, ελάχιστη τιμή παρουσιάζεται και πάλι στους 4 γείτονες αλλά μετά ακολουθούν οι 3 στη συνέχεια οι 6 και τέλος οι 5 γείτονες δίνουν τη μέγιστη τιμή. Στην δύναμη 10 το σφάλμα είναι ελάχιστο στους 6 γείτονες, μέγιστο στους 3 και ενδιάμεσα οι 4 και 5 γείτονες δίνουν ίδια τιμή σε αυτό. Στη δύναμη 20 το σφάλμα είναι ελάχιστο και παραμένει ίδιο στους 4, 5 και 6 γείτονες και στους 3 γείτονες εμφανίζει τη μέγιστη τιμή. Τελικώς, την μέγιστη τιμή του το MBE την παίρνει στην παρεμβολή με τιμή δύναμης 20 και αριθμό γειτόνων 3 (0.0592), ενώ την μικρότερη στην τιμή δύναμης 1 και αριθμό γειτόνων 4 (0.0101). n = 3 n = 4 n = 5 n = ME p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.3 Επίδραση δύναμης (p) και αριθμού γειτόνων (n) στο ΜΕ για την IDW Το MAE παρουσιάζει, κατά το πλείστον των περιπτώσεων, την τάση να αυξάνεται με την αύξηση της δύναμης στη συνάρτηση βάρους. Στους 3 γείτονες το σφάλμα έχει σαφή τάση αύξησης με την αύξηση της δύναμης έως και τη δύναμη 2, μόνο που στη δύναμη 4 η τιμή του μειώνεται (η τιμή του είναι χαμηλότερη κι απ αυτή της δύναμης 2) και στη συνέχεια αυξάνεται ξανά. Στις υπόλοιπες τρεις περιπτώσεις γειτόνων (4, 5 και 6 γείτονες) η μέγιστη τιμή του σφάλματος παρουσιάζεται στη συνάρτηση βάρους με τιμή 59

61 δύναμης 10 και ακολουθούν με σειρά οι παρεμβολές με τιμή 20, 2, 1.5 και 1. Επίσης, ενώ στις παρεμβολές με τιμή δύναμης 1, 1.5 και 2 η τιμή του σφάλματος μειώνεται με την αύξηση των γειτόνων, στην παρεμβολή με δύναμη 4 η τιμή αυξάνει από τους 3 στους 4 γείτονες και στη συνέχεια μειώνεται έως και τους 6 γείτονες οι οποίοι έχουν και την χαμηλότερη τιμή. Στην παρεμβολή με τιμή δύναμης 10 το σφάλμα αυξάνεται με την αύξηση των γειτόνων και τέλος στην περίπτωση της τιμής 20 στη δύναμη, το μεγαλύτερο σφάλμα το παρουσιάζουν οι 3 γείτονες και το ελάχιστο είναι ίσο για τους 4, 5 και 6 γείτονες. Έτσι λοιπόν, η μικρότερη τιμή του ΜΑΕ προκύπτει για τιμή δύναμης 1 στη συνάρτηση βάρους και αριθμό γειτόνων 6 (0.3141) ενώ η μεγαλύτερη τιμή απαντάται στην παρεμβολή με τιμή δύναμης 10 και αριθμό γειτόνων 6 (0.3922) n =3 n = 4 n = 5 n = 6 MAE p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.4 Επίδραση δύναμης (p) και αριθμού γειτόνων (n) στο ΜAΕ για την IDW Το RMSE, όπως και το MBE, αυξάνεται με την αύξηση της δύναμης στη συνάρτηση βάρους σε όλες τις περιπτώσεις γειτόνων. Στις περιπτώσεις των παρεμβολών με δύναμη 10 και 20, το σφάλμα μεταβάλλεται ελάχιστα. Ειδικότερα, στην περίπτωση που χρησιμοποιήθηκε η τιμή 20 το σφάλμα παραμένει ίδιο στους 4, 5 και 6 γείτονες (0.5282). Έτσι η μέγιστη τιμή του RMSE παρουσιάζεται στην παρεμβολή με τιμή δύναμης 20 και αριθμό γειτόνων 3 (0.5283) και η ελάχιστη τιμή του παρουσιάζεται στην παρεμβολή με τιμή δύναμης 1 και αριθμό γειτόνων 6 (0.3331). 60

62 n = 3 n = 4 n = 5 n = RMSE p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.5 Επίδραση δύναμης (p) και αριθμού γειτόνων (n) στο RMSE για την IDW Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι συντελεστές Pearson (r) και προσδιορισμού (R 2 ) που προέκυψαν από την γραμμική συσχέτιση των τιμών πεδίου και των προσομοιωμένων για κάθε παρεμβολή (Πίνακας Δ.9). Πίνακας Δ.9 Συντελεστές Pearson (r) και προσδιορισμού (R 2 ) για όλες τις παρεμβολές κατηγοριοποιημένοι ανά γείτονες p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 r n_ R p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 r n_ R p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 r n_ R p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 r n_ R Ο συντελεστής Pearson για τις τιμές πεδίου και τις προσομοιωμένες τιμές, σε όλες τις παρεμβολές, είναι αρνητικός και χαμηλός ( έως ), γεγονός που υποδεικνύει την ανυπαρξία θετικής γραμμικής συσχέτισης. Υψώνοντας τον συντελεστή Pearson στο 61

63 τετράγωνο προκύπτει, όπως προαναφέρθηκε, ο συντελεστής προσδιορισμού R 2. Συνέπεια των χαμηλών τιμών του Pearson είναι οι ακόμα πιο χαμηλές τιμές του R 2 (0.062 έως 0.172). Οι πολύ χαμηλές τιμές του R 2 ήταν αναμενόμενες έχοντας υπ όψην τις έντονες αποκλίσεις των προσομοιωμένων τιμών από αυτές του πεδίου στους περισσότερους σταθμούς δειγματοληψίας, και οι οποίες έχουν καταγραφεί στους αντίστοιχους πίνακες παραπάνω. n = 3 n = 4 n = 5 n = R square p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.6 Επίδραση δύναμης (p) και αριθμού γειτόνων (n) στο R 2 για την IDW Εστιάζοντας στον R 2, η τιμή αυτού αυξάνεται με την αύξηση της δύναμης για τους 3, 4, και 5 γείτονες έως και την δύναμη 4 κι έπειτα στις δυνάμεις 10 και 20 η τιμή του μειώνεται. Στους 6 γείτονες η τιμή του συντελεστή αυξάνεται εως και την δύναμη 10 και στην 20 πλέον μειώνεται. Σε αυτό το σημείο, πρέπει να γίνουν δύο παρατηρήσεις όσο αφορά στον R 2. Κατ αρχάς βλέπει κανείς ότι η τιμή του μεταβάλλεται ανάλογα με τα σφάλματα (MAE και RMSE) και όχι αντίστροφα όπως θα ήταν αναμενόμενο. Οι παρεμβολές με χαμηλά σφάλματα, όπως π.χ. αυτή της δύναμης 1, έχουν και χαμηλούς συντελεστές ενώ αυτές με υψηλότερα έχουν και μεγαλύτερους συντελεστές. Η δεύτερη παρατήρηση έγκειται στο γεγονός, ότι στις παρεμβολές με δύναμη 1, 1.5 και 2 και 6 γείτονες, οι τιμές του συντελεστή παρουσιάζουν απότομη πτώση ενώ για τους ίδιους γείτονες στις υπόλοιπες 3 δυνάμεις δεν παρατηρείται κάτι τέτοιο. Οι παρατηρήσεις αυτές αποκτούν περισσότερο ενδιαφέρον, αν σκεφτεί κανείς ότι η παρεμβολή με δύναμη 1 και 6 γείτονες παρουσιάζει τις χαμηλότερες τιμές στα σφάλματα ΜΑΕ και RMSE. 62

64 Στον πίνακα Δ.10 παρακάτω συνοψίζονται οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές των μέσων χωρικών σφαλμάτων και του συντελεστή προσδιορισμού καθώς και οι παρεμβολές IDW που τους αντιστοιχούν. Πίνακας Δ.10 Μέγιστες και ελάχιστες τιμές των μέσων χωρικών σφαλμάτων για την IDW. Μέτρα σύγκρισης MIN MAX p_1 n_4 p_20 n_3 MBE MAE RMSE R 2 p_1 n_ p_1 n_ p_1 n_ p_10 n_ p_20 n_ p_4 n_ Στο διάγραμμα πρόβλεψης φαίνεται και οπτικά πλέον η κακή διασπορά των τιμών και οι αποκλίσεις των προσομοιωμένων τιμών (άξονας y) από αυτές του πεδίου (άξονας x). Λόγω του μεγάλου όγκου των διαγραμμάτων παρακάτω παρατίθεται (Εικ.Δ.7) ενδεικτικά το διάγραμμα πρόβλεψης μόνο για την παρεμβολή με δύναμη 1 στη συνάρτηση βάρους και 6 γείτονες. Άλλωστε, στα υπόλοιπα διαγράμματα των παρεμβολών η διάταξη των τιμών είναι παρόμοια. τιμές προσομοίωσης G02 G12 G17 G16 G13 G18 G19 R Sq Linear = G20 G10 G07 G09 G11 G04 G05 G14 G68 G15 G03 G τιμές πεδίου Εικ.Δ.7 Διάγραμμα πρόβλεψης παρεμβολής IDW με δύναμη 1 και 6 γείτονες 63

65 Οι τιμές των συνιστώσων του MSE για τις παρεμβολές της IDW δίνονται στον πίνακα Δ.11. Πέραν αυτών δίνονται ακόμη και οι τυπικές αποκλίσεις των προσομοιωμένων τιμών (SDe). Η τυπική απόκλιση των τιμών πεδίου είναι ίση με SDm = Πίνακας Δ.11 Τιμές των τυπικών αποκλίσεων, του MSE και των συνιστωσών του για τις παρεμβολές με IDW. p_1 p _1.5 p _2 p _4 p _10 p _20 SDe SB n_3 SDSD LCS MSE SDe SB n_4 SDSD LCS MSE SDe SB n_5 SDSD LCS MSE SDe SB n_6 SDSD LCS MSE Όσο αφορά τις SDe, βλέπει κανείς ότι αυτές διαφέρουν αρκετά από την τυπική απόκλιση των τιμών πεδίου. Μάλιστα είναι όλες μικρότερες, γεγονός που υποδεικνύει τα μικρότερα εύρη των προσομοιωμένων τιμών έναντι αυτού των τιμών πεδίου. 64

66 Περνώντας στις συνιστώσες του MSE, θα γίνουν πρώτα κάποια σχόλια όσον αφορά στο μέγεθος τους και στη συνέχεια στο ποσοστό με το οποίο συνεισφέρει κάθε μια επί του MSE. Οι τιμές του SB (Εικ.Δ.8) είναι όλες πάρα πολύ κοντά στο 0, κι έτσι σε όλες τις περιπτώσεις η IDW μπορεί να θεωρηθεί απαλλαγμένη από bias. Αυξάνεται με την αύξηση της δύναμης και οι τιμές για τους 4, 5 και 6 γείτονες διαφέρουν ελάχιστα SB n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.8 Μεταβολή του SB συναρτήσει της δύναμης Το SDSD (Εικ.Δ.9) μειώνεται με την αύξηση της δύναμης από τη μία, ενώ από την άλλη αυξάνει με την αύξηση των γειτόνων. Δηλαδή, για συγκεκριμένο αριθμό γειτόνων, όσο αυξάνεται η δύναμη στη συνάρτηση βάρους, τόσο η IDW προσεγγίζει την διακύμανση των τιμών πεδίου, ενώ το αντίθετο συμβαίνει για συγκεκριμένη τιμή δύναμης και αυξημένο αριθμό γειτόνων. 65

67 SDSD n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.9 Μεταβολή του SDSD συναρτήσει της δύναμης Το LCS (Εικ.Δ.10) αυξάνεται με την αύξηση της δύναμης από τη μία, ενώ από την άλλη μειώνεται με την αύξηση του αριθμού των γειτόνων. Όσο αυξάνεται η δύναμη δηλαδή, τόσο λιγότερο αποτυπώνεται η χωρική δομή της διακύμανσης των τιμών πεδίου από τη μέθοδο, ενώ το αντίθετο ισχύει για σταθερή τιμή της δύναμης και αυξημένο αριθμό γειτόνων LCS n = 3 n = 4 n = 5 n = p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.10 Μεταβολή του LCS συναρτήσει της δύναμης Τέλος, η συμπεριφορά του MSE είναι ίδια ακριβώς με αυτή του χωρικού RMSE που σχολιαστηκε παραπάνω. Αυξάνει και αυτό με την αύξηση της δύναμης και μειώνεται με την αύξηση του αριθμού των γειτόνων. Στις παρακάτω εικόνες, παρουσιάζεται η συνεισφορά επί τοις εκατό της κάθε συνιστώσας στο MSE, συναρτήσει της δύναμης στη συνάρτηση βάρους. 66

68 Πιο συγκεκριμένα, στους 3 γείτονες, στην παρεμβολή με δύναμη 1 το SDSD αποτελεί το 14.8% περίπου του συνολικού MSE. Στην δύναμη 1.5, το 13.7%, στην 2 το 12.4%, στην 4 το 8.9%, στην 10 το 5.1% και στην 20 το 3.7%. Το LCS, στην δύναμη 1 αποτελεί το 83.1%, στην 1.5 το 84%, στην 2 το 85.1%, στην 4 το 88.4%, στην 10 το 92.4% και στην 20 το 93.6%. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 3 Γείτονες SB SDSD LCS p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.11 Ποσοστιαία συνεισφορά των συσιστωσών του MSE στο σύνολό του για τους 3 γείτονες Στους 4 γείτονες, στην δύναμη 1 το SDSD αποτελεί το 26.4% του συνολικού MSE. Στην δύναμη 1.5, το 22.8%, στην 2 το 19.5%, στην 4 το 11.2%, στην 10 το 5.2% και στην 20 το 3.7%. Το LCS, στην δύναμη 1 αποτελεί το 72.1%, στην 1.5 το 75.5%, στην 2 το 78.6%, στην 4 το 86.5%, στην 10 το 92.5% και στην 20 το 93.7%. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 4 Γείτονες SB SDSD LCS p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.12 Ποσοστιαία συνεισφορά των συσιστωσών του MSE στο σύνολό του για τους 4 γείτονες 67

69 Στους 5 γείτονες τα ποσοστά για τις μικρές δυνάμεις αυξάνονται (SDSD) και μειώνονται (LCS) ακόμα περισσότερο. Στη δύναμη 1,το SDSD, αποτελεί το 34.3%, στην 1.5 το 29.4%, στην 2 το 24.5%, στην 4 το 12.5% και στις δυνάμεις 10 και 20 το ποσοστό παραμένει ίσο με τους 4 γείτονες. Το LCS, στην δύναμη 1 αποτελεί το 64.1%, στην 1.5 το 68.8%, στην 2 το 73.5%, στην 4 το 85.2% και στις δυνάμεις 10 και 20 το ποσοστό παραμένει ίσο με τους 4 γείτονες. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 5 Γείτονες SB SDSD LCS p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.13 Ποσοστιαία συνεισφορά των συσιστωσών του MSE στο σύνολό του για τους 5 γείτονες Τέλος, στους 6 γείτονες τα ποσοστά του SDSD φτάνουν στο μέγιστο και του LCS στο ελάχιστο. Στην δύναμη 1 το SDSD συνεισφέρει σε ποσοστό 38.6%, στην 1.5 σε 33%, στην 2 σε 27.3%, στην 4 σε 13.3% και στις 10 και 20 με το ίδιο ποσοστό όπως στους 4 και 5 γείτονες. To LCS, στην δύναμη 1 συνεισφέρει σε ποσοστό 59.4%, στην 1.5 σε 64.8%, στην 2 σε 70.5%, στην 4 σε 84.4% και τέλος στις 10 και 20 με το ίδιο ποσοστό όπως στους 4 και 5 γείτονες. 68

70 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 6 Γείτονες SB SDSD LCS p_1 p_1.5 p_2 p_4 p_10 p_20 δύναμη Εικ.Δ.14 Ποσοστιαία συνεισφορά των συσιστωσών του MSE στο σύνολό του για τους 6 γείτονες Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα για τις συνιστώσες του MSE παρατηρεί κανείας τα εξής. Η ελάχιστη συνεισφορά του SB σε όλες τις περιπτώσεις, υποδεικνύει την απουσία bias στην παρεμβολή των δεδομένων. Σε όλες τις παρεμβολές, κυρίαρχο ρόλο στο σφάλμα παίζει η LCS. Κατά συνέπεια η IDW, δεν κατάφερε σε γενικές γραμμές να αποτυπώσει την χωρική δομή της διακύμανσης των τιμών πεδίου στο σύνολο των σταθμών δειγματοληψίας. Η αδυναμία αυτή είναι έντονη στις παρεμβολές με δύναμη 4, 10 και 20 όπου ανεξαρτήτως του αριθμού γειτόνων η μεταβολή της συνιστώσας είναι ελάχιστη έως και μηδαμινή. Στις παρεμβολές με δύναμη 1, 1.5 και 2 τα πράγματα είναι διαφορετικά, αφού με την αύξηση του αριθμού των γειτόνων φαίνεται πως η μέθοδος καταφέρνει να προσεγγίζει όλο και περισσότερο την χωρική δομή της διακύμανσης. Τέλος, η SDSD έρχεται δεύτερη όσον αφορά στη συνεισφορά στο MSE. Με άλλα λόγια, η IDW κατάφερε να προσεγγίσει σε καλύτερο βαθμό το μέγεθος της διακύμανσης παρά τη δομή της στο χώρο. Αυτό βέβαια ισχύει κυρίως για τις δυνάμεις 10 και 20 όπου το ποσοστό της είναι σταθερά χαμηλό για όλους τους γείτονες. Στην δύναμη 4, το ποσοστό αυξάνεται μεν με την αύξηση των γειτόνων αλλά όχι σε μεγάλο βαθμό. Από την άλλη στις δυνάμεις 1, 1.5 και 2, τα ποσοστά είναι αυξημένα και μάλιστα όσο αυξάνεται ο αριθμός των γειτόνων τόσο η μέθοδος αδυνατεί να προσεγγίσει το μέγεθος της διακύμανσης. 69

71 Δ.2.2 Αξιολόγηση της χωρικής παρεμβολής SPLINES για διάφορες παραμέτρους βάρους. Στον πίνακα Δ.12 δίνονται οι διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου μετά το πέρας της διαδικασίας cross-validation. Πίνακας Δ.12 Διαφορές των τιμών προσομοίωσης από τις τιμές πεδίου για την Splines με διάφορες τιμές στην παράμετρο βάρους. Βάρη Σταθμοί Διαφορά Διαφορά Διαφορά Διαφορά Διαφορά G G G G G G G G G G G G G G G G G G G

72 Παρατηρώντας τον πίνακα παραπάνω, φαίνεται η αδυναμία της μεθόδου να εκτιμήσει με μεγάλη ακρίβεια τις τιμές πεδίου στο σύνολο σχεδόν των σταθμών δειγματοληψίας. Η μοναδική περίπτωση πολύ καλής προσέγγισης σε όλες τις παραμέτρους βάρους είναι αυτή του σταθμού G11, ενώ οι αμέσως καλύτερες είναι αυτές των σταθμών G07 και G09. Επίσης, σε αντίθεση με την IDW, εδώ οι μεταβολές των τιμών από βάρος σε βάρος δεν είναι μεγάλες και παρατηρείται μια σταθερότητα στις προβλέψεις. Η σύγκριση των διαφορετικών συνδυασμών έγινε και πάλι με το μέσο απόλυτο σφάλμα (mean absolute error, MAE), το mean bias error (MBE), το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (root mean square error, RMSE) τον συντελεστή προσδιορισμού R 2 και τις συνιστώσες του MSE. Τα αποτελέσματα για τα μέσα χωρικά σφάλματα και τους συντελεστές Pearson και προσδιορισμού όλων των προσομοιώσεων φαίνονται στον πίνακα Δ.13. Πίνακας Δ.13 Μέσα χωρικά σφάλματων και συντελεστές για τη μέθοδο Splines Βάρη Προσομοιωμένη μέση τιμή % οργ. C dw ME MAE RMSE r (Pearson) R 2 w_0* w_ w_ w_ w_ *όπου w η παράμετρος βάρους Όσον αφορά στο MBE, η μεταβολή αυτού είναι ελάχιστη όπως φαίνεται και από τον πίνακα Δ.13. Αυξάνεται από το βάρος με τιμή 0 έως και αυτό με τιμή 0.5 (όπου παρουσιάζει και μέγιστη τιμή) ενώ στο βάρος με τιμή 1 η τιμή του μειώνεται και πάλι. Η ελάχιστη τιμή του σφάλματος παρουσιάζεται σε δύο παρεμβολές, αυτές με βάρη 0 και 0.01 ( ), ενώ η μέγιστη στην παρεμβολή με βάρος 0.5 ( ) 71

73 ME w_0 w_0.01 w_0.1 w_0.5 w_1 βάρος Εικ.Δ.14 Επίδραση του βάρους στην τιμή του MBE Το ΜΑΕ παρουσιάζει αντίθετη τάση από αυτή του MBE. Αυτό μειώνεται με την αύξηση του βάρους, αλλά και πάλι η μεταβολή του είναι ελάχιστη. Μέγιστη τιμή παρουσιάζει στις παρεμβολές με βάρη 0 και 0.01 (0.3625) και ελάχιστη στην παρεμβολή με βάρος 1 (0.3576). MAE w_0 w_0.01 w_0.1 w_0.5 w_1 βάρος Εικ.Δ.15 Επίδραση του βάρους στην τιμή του MAE Το RMSE παρουσιάζει και αυτό την ίδια ακριβώς συμπεριφορά με το MAE. Μειώνεται με την αύξηση του βάρους και παρουσιάζει μέγιστη τιμή στις παρεμβολές με βάρη 0 και 0.01 (0.4412) και ελάχιστη σε αυτήν με βάρος 1 (0.4341). 72

74 RMSE w_0 w_0.01 w_0.1 w_0.5 w_1 βάρος Εικ.Δ.16 Επίδραση του βάρους στην τιμή του RMSE Συνεχίζοντας με τον συντελεστή συσχέτισης Pearson, η τιμή του σε όλες τις περιπτώσεις είναι αρκετά χαμηλή και μάλιστα αρνητική, γεγονός που υποδηλώνει ανύπαρκτη θετική γραμμική συσχέτιση και συνάμα την έντονη απόκλιση μεταξύ των τιμών πεδίου και των προσομοιωμένων. Συνέπεια των χαμηλών συντελεστών Pearson είναι και οι χαμηλοί συντελεστές προσδιορισμού. Αυξάνονται με την αύξηση του βάρους, παρουσιάζοντας ελάχιστη τιμή στο βάρος 0 (0.1346) και μέγιστη στο βάρος 1 (0.1441). Παρακάτω δίνεται ενδεικτικά το διάγραμμα διασποράς μεταξύ τιμών πεδίου και προσομοιωμένων για την παρεμβολή με βάρος 1 και στη συνέχεια η μεταβολή του R 2 συναρτήσει της μεταβολής του βάρους. τιμές προσομοίωσης G02 G12 G13 G16 G18 R Sq Linear = G17 G19 G11 G09 G07 G20 G14 G68 G05 G10 G15 G04 G03 G τιμές πεδίου Εικ.Δ.17 Διάγραμμα πρόβλεψης για την παρεμβολή Splines με βάρος 1 73

75 R Square w_0 w_0.01 w_0.1 w_0.5 w_1 βάρος Εικ.Δ.18 Επίδραση του βάρους στην τιμή του R 2 Εδώ αξίζει να σημειωθεί ότι σε αντίθεση με την IDW, οι τιμές του R 2 στην περίπτωση της Splines, συμβαδίζουν με τα σφάλματα υπό την έννοια ότι αυτές αυξάνονται με την μείωση των σφαλμάτων. Στον πίνακα Δ.14 συνοψίζονται οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές των μέσων χωρικών σφαλμάτων και του συντελεστή προσδιορισμού καθώς και οι παρεμβολές Splines που τους αντιστοιχούν. Πίνακας Δ.14 Ελάχιστες & μέγιστες τιμές μέσων χωρικών σφαλμάτων και συντελεστή προσδιορισμού Μέτρα σύγκρισης MIN MAX MBE MAE RMSE R 2 w_0/ w_ w_ w_ w_ w_0/ w_0/ w_ Στον πίνακα Δ.15 δίνονται οι τιμές των συνιστωσών του MSE και των τυπικών αποκλίσεων για τις παρεμβολές της Splines. 74

76 Πίνακας Δ.15 Τιμές των τυπικών αποκλίσεων, του MSE και των συνιστωσών του για τις παρεμβολές με Splines. w_0 w_0.01 w_0.1 w_0.5 w_1 SDe SB SDSD LCS MSE Η τυπική απόκλιση των προσομοιωμένων τιμών είναι και στην περίπτωση των παρεμβολών με Splines, όπως και της IDW, μικρότερη από αυτήν των τιμών πεδίου. Μειώνεται με την αύξηση του βάρους αλλά η μεταβολή είναι ελάχιστη. Το ίδιο ισχύει και με τις μεταβολές των συνιστωσών του σφάλματος οι οποίες είναι πολύ μικρές με την αύξηση του βάρους. Παρ όλες τις μικρές μεταβολές οι συνιστώσες έχουν ως εξής. Η LCS μειώνεται με την αύξηση του βάρους, πράγμα που σημαίνει ότι έστω και σε μικρό βαθμό, η μέθοδος αποτυπώνει καλύτερα τη χωρική δομή της διακύμανσης με την αύξηση του βάρους. Το ποσοστό της κυμαίνεται από 83.4% στο βάρος 0 εως 82% στο βάρος 1. Η SDSD αυξάνεται με την αύξηση του βάρους. Όσο αυξάνεται το βάρος δηλαδή, τόσο λιγότερο προσεγγίζει η μέθοδος το μέγεθος της διακύμανσης των τιμών πεδίου. Έρχεται δεύτερη σε συνεισφορά κι έτσι όπως και η IDW, η Splines κατάφερε να προσεγγίσει σε καλύτερο βαθμό το μέγεθος της διακύμανσης παρά τη δομή της στο χώρο. Το ποσοστό της κυμαίνεται από 10.7% στο βάρος 0 εως 11.9% στο βάρος 1. Τέλος, το SB αυξάνεται και αυτό με την αύξηση του βάρους. Η τιμή του δεν είναι τόσο κοντά στο 0 όπως στις περιπτώσεις της IDW και το ποσοστό του κυμαίνεται από 5.9% στο βάρος 0 εως 6.1% στο βάρος 1. Έτσι λοιπόν, όπως φαίνεται και στη εικόνα Δ.19, κύριο ρόλο στο σφάλμα των παρεμβολών της Splines παίζει το γεγονός ότι αυτή δεν κατάφερε να αποτυπώσει με ακρίβεια την χωρική δομή της διακύμανσης των τιμών πεδίου. 75

77 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% SB SDSD LCS w_0 w_0.01 w_0.1 w_0.5 w_1 βάρος Εικ.Δ.19 Ποσοστιαία συνεισφορά των συσιστωσών του MSE στο σύνολό του για τις παρεμβολές Splines 76

78 Δ.3 Χωρικές κατανομές οργανικού άνθρακα και μέσων χωρικών σφαλμάτων Δ.3.1 Χωρικές κατανομές με τη μέθοδο της IDW Στη συνέχεια παρουσιάζονται ενδεικτικά τα αποτελέσματα της εφαρμογής της μεθόδου παρεμβολής IDW με διάφορους συνδυασμούς της δύναμης p και του αριθμού γειτόνων n. G18 G19 G14 G16 G13 G07 G68 G05 G15 G04 G21 G20 G17 G12 G09 G10 G11 ± G18 G19 G14 G16 G13 G07 G68 G05 G15 G04 G21 G20 G17 G12 G09 G10 G11 G03 % Org. C dw > 1.33 % G03 G % G % % G18 G14 G68 G07 G13 (α) G21 G12 < 0.65 % ± G18 G14 G68 G07 (β) G13 G21 G12 G15 G15 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G03 % Org. C dw G03 > 1.33 % G % G % % < 0.65 % (γ) (δ) Εικ.Δ.20 Χωρικές κατανομές % Org. C dw (α) δύναμης 1 & 3 γειτόνων, (β) δύναμης 1 & 6 γειτόνων (γ) δύναμης 2 & 3 γειτόνων, (δ) δύναμης 2 & 6 γειτόνων 77

79 G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 ± G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 G15 G15 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G03 % Org. C dw G03 > 1.33 % G % G % % (α) < 0.65 % (β) G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 ± G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 G15 G15 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G03 % Org. C dw G03 > 1.33 % G % G % % (γ) < 0.65 % Εικ.Δ.21 Χωρικές κατανομές % Org. C dw (α) δύναμης 4 & 3 γειτόνων, (β) δύναμης 4 & 6 γειτόνων (γ) δύναμης 20 & 3 γειτόνων, (δ) δύναμης 20 & 6 γειτόνων (δ) 78

80 Στη συνέχεια παρουσιάζονται ενδεικτικά μερικές από τις χωρικές κατανομές του ME για διάφορους συνδυασμούς της δύναμης p και του αριθμού γειτόνων n. G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 ± G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 G15 G15 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G03 G03 G02 ME G02 < (α) > 0.1 (β) G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 ± G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 G15 G15 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G03 G03 G02 ME < > 0.1 (γ) (δ) Εικ.Δ.22 Χωρικές κατανομές ME (α) δύναμης 1 & 3 γειτόνων, (β) δύναμης 1 & 6 γειτόνων (γ) δύναμης 2 & 3 γειτόνων, (δ) δύναμης 2 & 6 γειτόνων G02 79

81 G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 ± G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 G15 G15 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G03 G03 G02 ME G02 < (α) > 0.1 (β) G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 ± G18 G14 G68 G07 G13 G21 G12 G15 G15 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G19 G05 G16 G04 G20 G17 G09 G10 G11 G03 G03 G02 ME G02 < > 0.1 (γ) Εικ.Δ.23 Χωρικές κατανομές ME (α) δύναμης 4 & 3 γειτόνων, (β) δύναμης 4 & 6 γειτόνων (γ) δύναμης 20 & 3 γειτόνων, (δ) δύναμης 20 & 6 γειτόνων (δ) 80