Σενάριο με το λογισμικό modellus Πηγή: ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σενάριο με το λογισμικό modellus Πηγή: http://www.dapontes.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=229&itemid=50 ΠΡΟΛΟΓΟΣ"

Πλούτων Αξιώτης
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σενάριο με το λογισμικό modellus Τίτλος: Πότε δύο τρένα έχουν την ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους; Πηγή: ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε μια πρώτη φάση μελέτης του λογισμικού Modellus όλοι μας έχουμε την τάση να καταπιανόμαστε με τα παραδοσιακά θέματα από τη θεωρία της Φυσικής και των Μαθηματικών. Έτσι, κυριαρχούν ορισμένα θέματα από τη Μηχανική όπως η δημιουργία ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, η ταλάντωση και η σύνθεσή τους, η ελεύθερη πτώση, η σχετική κίνηση, το εγκάρσιο κύμα αλλά και από άλλες περιοχές όπως για παράδειγμα η μοντελοποίηση του φαινομένου της ραδιενέργειας, η εκφόρτιση ενός πυκνωτή, η διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος κ.λ.π. Όμως, η παιδαγωγική αξιοποίηση του Modellus αποκτάει πολύ μεγαλύτερο ενδιαφέρον όταν αντιμετωπίζουμε πραγματικές «προβληματικές καταστάσεις» και έτσι είμαστε υποχρεωμένοι να μοντελοποιήσουμε την κατάσταση και να καταστρώσουμε τις κατάλληλες εξισώσεις καθώς και τις συνθήκες ελέγχου που τελικά θα μας οδηγήσουν στη λύση του προβλήματος. Σ αυτήν την περίπτωση ο δρόμος είναι δύσβατος μια και τι πιο πολλές φορές απαιτείται η χρήση εντολών ελέγχου (if.then ) και ένας πιο προσεκτικός προσδιορισμός των μεταβλητών, των παραμέτρων και των εξισώσεων. Το πρόβλημα αποτελεί την αφετηρία μας σε μια διδασκαλία με τη χρήση ανοιχτού πληροφορικού περιβάλλοντος που έχει στο κέντρο της την ενασχόληση των μαθητών με την «Επίλυση Προβλημάτων». Από την άλλη, η χρήση του περιβάλλοντος χαρτί μολύβι εξακολουθεί να παραμένει απαραίτητη όπως και η γνώση των δυνατοτήτων του Modellus. Ο λύτης δεν έχει παρά να μοντελοποιήσει την κατάσταση και να καταστρώσεις τις κατάλληλες εξισώσεις. Τα υπόλοιπα, δηλαδή τους υπολογισμούς και τη δημιουργία γραφικών παραστάσεων και πινάκων αναλαμβάνει να πραγματοποιήσει το ίδιο το λογισμικό. Σ αυτό το σημείο, έρχεται ξανά ο λύτης και αναζητάει την επιθυμητή λύση, ερμηνεύοντας τις γραφικές παραστάσεις και τους πίνακες τιμών. Σε όλη τη διαδικασία ο λύτης ενός προβλήματος έχει στη διάθεσή του πολλές αναπαραστάσεις του ίδιου φαινομένου κάτι που τον βοηθάει να ελέγχει την πορεία του αλλά και να επιβεβαιώνει την ορθότητα της λύσης. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ «Δύο ευθύγραμμες σιδηροτροχιές τέμνονται σχηματίζοντας ορθές γωνίες. Δύο τρένα κινούνται ταυτόχρονα προς το σημείο τομής των σιδηροτροχιών. Το ένα έχει ξεκινήσει από κάποιο σταθμό που απέχει 40 χιλιόμετρα από το σημείο τομής, και το άλλο από κάποιο σταθμό που απέχει 50 χιλιόμετρα από το ίδιο σημείο. Το πρώτο τρένο έχει ταχύτητα 800 μέτρα ανά λεπτό και το δεύτερο 600 μέτρο ανά λεπτό. Σε πόσα λεπτά μετά την αναχώρησή τους θα έχουν οι αμαξοστοιχίες την ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους; Υπολογίστε τη συγκεκριμένη απόσταση» (Από το βιβλίο του Yakov Perelman «Διασκεδαστικά Μαθηματικά» Μέρος 2: Άλγεβρα, εκδόσεις Κάτοπτρο, 2001)

Στο διάγραμμα παρουσιάζονται, συνοπτικά, οι πιο σημαντικές φάσεις της προσέγγισή μας : Η ΠΡΩΤΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟ ΧΑΡΤΙ-ΜΟΛΥΒΙ είναι υπόθεση του λύτη.

Οι εξισώσεις κίνησης των δύο τρένων ως προς το σύστημα αναφοράς xoy δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Ένα από τα ζητούμενα του προβλήματος είναι ο χρόνος που χρειάζεται ώστε «οι αμαξοστοιχίες να

2 Στο διάγραμμα παρουσιάζονται, συνοπτικά, οι πιο σημαντικές φάσεις της προσέγγισή μας : Η ΠΡΩΤΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟ ΧΑΡΤΙ-ΜΟΛΥΒΙ είναι υπόθεση του λύτη. Φανταζόμαστε ότι οι δύο σιδηροτροχιές αποτελούν τους κάθετους άξονες x και y. Τα δύο τρένα κινούνται στους δύο άξονες με ταχύτητες 600 m/min = 0.6 km/min και 800 m/min = 0.8 km/min αντίστοιχα. Οι εξισώσεις κίνησης των δύο τρένων ως προς το σύστημα αναφοράς xoy δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Ένα από τα ζητούμενα του προβλήματος είναι ο χρόνος που χρειάζεται ώστε «οι αμαξοστοιχίες να βρεθούν στην ελάχιστη απόσταση d μεταξύ τους». Από τη γεωμετρία του σχήματος και με την εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τα παραπάνω δεδομένα, δηλαδή οι δύο εξισώσεις κίνησης x1 και y1 που αναφέρονται στην κίνηση των δύο τρένων και η σχέση υπολογισμού της απόστασης d, αποτελούν τις σχέσεις που θα γράψουμε στο παράθυρο «Μοντέλο» του Modellus.

Με κλικ στο κουμπί <Διερμηνεία> το πρόγραμμα αναγνωρίζει τις τρεις εξισώσεις με τις τέσσερις μεταβλητές {x1, y1, d, t} του προβλήματος.

) και έτσι μπορούμε να έχουμε στη διάθεσή μας τις γραφικές παραστάσεις και τους πίνακες τιμών αυτών των μεταβλητών.

ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΡΕΝΩΝ Για να πραγματοποιήσουμε την προσομοίωση των δύο τρένων που κινούνται στους κάθετους άξονες, θεωρούμε τα τρένα ως υλικά σημεία.

3 Με κλικ στο κουμπί <Διερμηνεία> το πρόγραμμα αναγνωρίζει τις τρεις εξισώσεις με τις τέσσερις μεταβλητές {x1, y1, d, t} του προβλήματος. Στη συνέχεια, καθώς θα τρέξουμε το πρόγραμμα, υπολογίζονται οι τιμές των μεταβλητών {x1, y1, d} για τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής t (0, 1, 2, 3, 4,.) και έτσι μπορούμε να έχουμε στη διάθεσή μας τις γραφικές παραστάσεις και τους πίνακες τιμών αυτών των μεταβλητών. Η τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής προσδιορίζονται μέσα από ένα πλαίσιο με όνομα <Επιλογές> που αναδύεται στην οθόνη μας με κλικ στο αντίστοιχο κουμπί του παραθύρου με όνομα <Έλεγχος> : ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΡΕΝΩΝ Για να πραγματοποιήσουμε την προσομοίωση των δύο τρένων που κινούνται στους κάθετους άξονες, θεωρούμε τα τρένα ως υλικά σημεία. Το Modellus μας επιτρέπει να δημιουργούμε σωματίδια στην οθόνη <Παρουσίαση> με κλικ στο κουμπί <Σωματίδιο> και στη συνέχεια κλικ στην οθόνη. Έτσι, φτιάχνουμε πρώτα το τρένο σωματίδιο1 οπότε εμφανίζεται η καρτέλα των χαρακτηριστικών του σωματιδίου1 οπότε επιλέγουμε εκείνα τα χαρακτηριστικά που επιθυμούμε να έχει αυτό το σωματίδιο. Πιο συγκεκριμένα, πρέπει να επιλέξουμε τις μεταβλητές που χαρακτηρίζουν το σωματίδιο1 τόσο στον άξονα χ όσο και στον άξονα y καθώς και τις αντίστοιχες κλίμακες. Στην περίπτωσή μας, επιλέγουμε τη μεταβλητή x1 στον οριζόντιο άξονα και 0 (σταθερά) στον κατακόρυφο και για κλίμακα 1 Pixel = 0.5. Το τελευταίο σημαίνει ότι το x1 αναπαριστάνεται με: Μονάδα μήκους (προσομοίωσης) = 2 pixels (οθόνης)

τις μεταβλητές που χαρακτηρίζουν το σωματίδιο2, τόσο στον άξονα χ όσο και στον άξονα y καθώς και τις αντίστοιχες κλίμακες.

4 Το πρόγραμμα υπολογίζει τις τιμές του x1 για τις διάφορες τιμές του χρόνου t και τοποθετεί το σωματίδιο1 στην αντίστοιχη θέση. Στη συνέχεια, φτιάχνουμε το τρένο σωματίδιο2 που πρέπει να κινείται στον άξονα y, οπότε εμφανίζεται η καρτέλα με τα χαρακτηριστικά που επιθυμούμε να έχει το σωματίδιο2 Πρέπει να επιλέξουμε, και εδώ, τις μεταβλητές που χαρακτηρίζουν το σωματίδιο2, τόσο στον άξονα χ όσο και στον άξονα y καθώς και τις αντίστοιχες κλίμακες. Στην περίπτωσή του σωματιδίου2, επιλέγουμε τη μεταβλητή y1 στον κατακόρυφο άξονα και 0 (σταθερά) στον οριζόντιο και για κλίμακα στον κατακόρυφο, 1 Pixel = 0.5, ίδια με αυτή που διαλέξαμε για το x1. Το τελευταίο σημαίνει ότι το y1 αναπαριστάνεται με: Μονάδα μήκους (προσομοίωσης) = 2 pixels (οθόνης) Μετά τις παραπάνω ενέργειες, στην οθόνη <Παρουσίαση> διαθέτουμε τα δύο τρένα - σωματίδια με τα αντίστοιχα συστήματα αναφοράς. Με κλικ και σύρσιμο μεταφέρουμε το σύστημα αναφοράς του σωματιδίου2 στο σύστημα αναφοράς του σωματιδίου1 έτσι ώστε τα δύο συστήματα να συμπίπτουν ακριβώς. Μ αυτόν τον τρόπο πετυχαίνουμε, με το τρέξιμο της εφαρμογής, την προσομοίωση της κίνησή τους ως προς ένα κοινό σύστημα αναφοράς. ΤΡΕΞΙΜΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Η πρώτη φάση της δουλειάς μας τελειώνει εδώ. Τώρα μπορούμε να τρέξουμε την εφαρμογή μας από το παράθυρο <Έλεγχος>. Στο παράθυρο <Παρουσίαση> βλέπουμε τα δύο σωματίδια τρένα να κινούνται το καθένα με σταθερή ταχύτητα στους δύο άξονες και μόλις ολοκληρωθεί ο χρόνος που επιλέξαμε στο παράθυρο <Έλεγχος> η προσομοίωση σταματάει. Η απάντηση στο ερώτημα «Πόσος χρόνος περνάει μέχρι να βρεθούν τα δύο τρένα στην ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους» μπορεί να δοθεί μόνο αν ζητήσουμε το άνοιγμα του

Αν καλέσουμε το παράθυρο <Πίνακας τιμών> και επιλέξουμε την εμφάνιση τιμών των μεταβλητών t, x1, y1 και d τότε είναι εύκολο να

5 παραθύρου <Γράφημα>. Σ αυτό επιλέγουμε τη μεταβλητή d στον κατακόρυφο άξονα και τη μεταβλητή t στον οριζόντιο. Τώρα, βλέποντας και μόνο την μορφή της γραφικής παράστασης, πλησιάζουμε προς τη λύση. Αν καλέσουμε το παράθυρο <Πίνακας τιμών> και επιλέξουμε την εμφάνιση τιμών των μεταβλητών t, x1, y1 και d τότε είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι για t=62 λεπτά η απόσταση μεταξύ των δύο τρένων παίρνει την ελάχιστη τιμή d = 16 km. Η επίλυση του προβλήματος στο χαρτί μολύβι Ακολουθώντας παρόμοιους συλλογισμούς με αυτούς της προκαταρκτικής φάσης (με το Modellus)

6 έχουμε τρεις εξισώσεις x1=50-0.6t y1=40-0.8t οπότε μετά από πράξεις παίρνουμε την εξίσωση t t d = 0 και κατά τα γνωστά t= 62 (+/-) d Επειδή η διακρίνουσα οφείλει να είναι θετική θα πρέπει d > 0 ή κατ ελάχιστον d = 0 Βρίσκουμε d = 16 και t = 62. Η λύση του προβλήματος δεν τελειώνει εδώ μια και θα χρειαστεί να κάνουμε τη γνωστή διερεύνηση. Βιβλιογραφία [1] Yakov Perelman (2001). «Διασκεδαστικά Μαθηματικά» Μέρος 2: Άλγεβρα, εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα. [2] Παρουσίαση του λογισμικού Modellus στην ιστοσελίδα

οφείλει να είναι θετική θα πρέπει d 2-256 > 0 ή κατ ελάχιστον d 2-256 = 0 Βρίσκουμε d = 16 και t = 62.

Σχετικά έγγραφα

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων. Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ. Γραφική παράσταση τριωνύµου

Σενάριο 10. Ελάχιστη Απόσταση δυο Τρένων Γνωστική περιοχή: Άλγεβρα Α' Λυκείου. Η συνάρτηση ψ= αχ 2 +βχ+γ Γραφική παράσταση τριωνύµου Εξισώσεις κίνησης. Θέµα: To προτεινόµενο θέµα αφορά την µελέτη της µεταβολής