Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( ) Παραγγελίες : τηλ.

Transcript

1

2 Γιώργος Μπαρακλιανός τηλ ( mparakgeo@gmail.com ) Κώστας Τζάλλας τηλ ( tzallask@gmail.com ) Παραγγελίες : τηλ mparakgeo@gmail.com Messenger : Giorgos Mparaklianos

3 Πρόλογος Το βιβλίο περιέχει 500 θέματα Άλγεβρας Β Λυκείου, που ακολουθούν την ύλη του σχολικού βιβλίου. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν επαναληπτικά θέματα εφ όλης της ύλης. Η μελέτη και επίλυση των θεμάτων από τον μαθητή αποτελεί ένδειξη πλήρους κατανόησης της αντίστοιχης ύλης. Ελπίζουμε η προσπάθειά μας αυτή να οδηγήσει τον μαθητή στην επιτυχία. Οι συγγραφείς Γιώργος Μπαρακλιανός Κώστας Τζάλλας

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γραμμικά Συστήματα Μη Γραμμικά Συστήματα...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες.... Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Αναγωγή στο ο Τεταρτημόριο Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας α...0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4. Πολυώνυμα Διαίρεση Πολυωνύμων Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές...44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5. Εκθετική Συνάρτηση Λογάριθμοι Λογαριθμική Συνάρτηση...80 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ". ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λανθασμένη : y α. Αν D η ορίζουσα του συστήματος ώστε y D 6D 9, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. β. Σε ένα γραμμικό σύστημα (Σ) δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και y ισχύει y y y D D D D D, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση τη y,,. γ. Ισχύει 0 3 για κάθε. δ. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το. ε. Αν ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, y και μοναδική λύση έχει ορίζουσες DD,, D ώστε D D, DD και 4 3 y συστήματος είναι η y,,. D D, τότε η λύση του y 0 στ. Δίνεται το σύστημα : και η ορίζουσά y 0 3 του D, που ικανοποιεί την εξίσωση D D D. Ισχύει ότι το (Σ) έχει μοναδική λύση τη y, 0,0. y 4

6 ζ. Αν ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, y έχει ορίζουσα D, τέτοια ώστε η συνάρτηση f να έχει πεδίο D ορισμού το, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. η. Αν το σημείο,, ανήκει στη ευθεία με εξίσωση, τότε ανήκει και στην ευθεία με εξίσωση y. θ. Η ευθεία με εξίσωση : y τέμνει τον άξονα στο σημείο,0 και τον άξονα yy στο σημείο 0, ι. Η εξίσωση y είναι γραμμική για κάθε. Δίνεται η εξίσωση y με.. α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση () είναι γραμμική. β. Για : i. να βρείτε την τιμή λ για την οποία η εξίσωση () παριστάνει οριζόντια ευθεία. ii. να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση () παριστάνει κατακόρυφη ευθεία. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση : y,. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε). β. Αν γνωρίζουμε ότι : i. να δείξετε ότι. ii. να κάνετε τη γραφική παράσταση της ευθείας (ε). 5

7 iii. να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που περικλείεται από την ευθεία (ε) και τους άξονες και y y. Να λύσετε τα συστήματα : α. β. γ. y 3y 4 3 y y 0 y 3 y y 3 6 y δ. 4 0 y ε. στ. y 3 y 5 y 3 3 y 3 α. Να λύσετε αλγεβρικά και γραφικά το σύστημα y :. y β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής Α των ευθειών :y 4, y : και έχει συντελεστή διεύθυνσης. Τί γνωρίζετε για την ευθεία (ε); 6

8 γ. Να κάνετε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των ευθειών, και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που περικλείεται από αυτές και τον κατακόρυφο άξονα yy. Δίνεται το γραμμικό σύστημα y :. Αν το σύστημα 3y y 3 : είναι ισοδύναμο με το (Σ ) να 3 y υπολογίσετε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α και β. Να λύσετε τις εξισώσεις : α. β. γ. δ Να λύσετε τα συστήματα : y α. y 3 y 4 7

9 β. γ. y 3 y 4 y 0 y y 5 y 3 Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις : y, : y 0 α. Να αποδείξετε ότι για κάθε οι ευθείες έχουν μοναδικό σημείο τομής. β. Αν η ευθεία με εξίσωση σημείο τομής των και του λ.. και 3 : y 5 0 διέρχεται από το να υπολογίσετε την τιμή γ. Έστω 0, 0 και με 0 0 y0 0 ορισμού της συνάρτησης f y y η μοναδική λύση του συστήματος των ευθειών. Να βρεθεί το πεδίο. 0 Δίνεται το σύστημα y :, y 8. α. Υπάρχει τιμή του λ για την οποία το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο ; β. Αν, y είναι η μοναδική λύση του συστήματος (Σ), 0 0 i. να λύσετε την εξίσωση 0 4 y0,

10 ii. να λύσετε την ανίσωση 3y γ. Έστω ότι το σύστημα (Σ) έχει άπειρες λύσεις y,. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία ανήκουν τα και y, ώστε τα σημεία y, να βρίσκονται στο πρώτο τεταρτημόριο του συστήματος συντεταγμένων. Δίνεται το παραμετρικό σύστημα y :,. y α. Να δείξετε ότι για κάθε το (Σ) έχει μοναδική λύση. β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των λύσεων του συστήματος (Σ). γ. Αν 0, y 0 λύση του (Σ) και ισχύει 0 y0 0y0, να βρείτε την τιμή του λ. : y Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις, : y α. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών και β. Να υπολογίσετε τους, ώστε το σύστημα y 3 : 3y ευθειών και... να έχει την ίδια λύση με το σύστημα γ. Αν DD,, D είναι οι ορίζουσες του συστήματος των ευθειών και y, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 3 f DD D D D y y. Ένα κινητό κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση α και αρχική ταχύτητα v 0. Αν γνωρίζουμε ότι 9

11 η εξίσωση κίνησης δίνεται από τον τύπο S t v0 t t, t 0, tmin, Skm το κινητό τη χρονική στιγμή t min βρίσκεται σε απόσταση km δεξιά από την αρχή και ότι ταχύτητα του κινητού. S 3 7km, να βρείτε την επιτάχυνση και την αρχική Θεωρούμε ένα κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή και y αντίστοιχα. Αν y και y 4, να λύσετε (με αγνώστους 7 και y) την εξίσωση. y y Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β. Αν είναι γνωστό ότι το σημείο, ανήκει στην ευθεία : y 3 και ότι τα α και β είναι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε τις τιμές των α και β. 3 0,, Ο Πέτρος έχει στο πορτοφόλι του 4 χαρτονομίσματα των 0 και 0 μόνο. Τα ανταλλάσσει στην τράπεζα με 7 χαρτονομίσματα των 50. Πόσα χαρτονομίσματα των 0 είχε στο πορτοφόλι του ; Η Μαρία αγόρασε από ένα μαγαζί δύο ζευγάρια παπούτσια στην περίοδο των εκπτώσεων με έκπτωση 0% και 40% αντίστοιχα. Αν μετά την έκπτωση πλήρωσε 50, ενώ πριν την έκπτωση θα πλήρωνε 0, να βρείτε ποια ήταν η αρχική τιμή για κάθε ζευγάρι από τα παπούτσια που αγόρασε. 0