Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet. Preddiplomski studij GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO. 9. predavanje. Temeljenje na stijeni
|
|
|
- Φόρκυς Καλογιάννης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Preddiplomski studij GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO 9. predavanje Temeljenje na stijeni
2 SADRŽAJ PREDAVANJA Temeljenje na stijeni Uvod Raspodjela naprezanja ispod djelujućih sila Nosivost temelja Nosivost temelja na stijenskom pokosu Duboko temeljenje
3 Ponašanje temelja mora se provjeriti u odnosu na sva tri uvjeta koja su neovisna jedno o drugom. UVOD Proračun temeljenja na stijeni obuhvaća 3 različita aspekta djelovanja temelja: Nosivost stijenske mase, koja osigurava da se neće dogoditi slom stijenske mase ili njeno puzanje ispod temelja Slijeganje temelja koje proizlazi iz elastičnih i neelastičnih deformacija stijenske mase i stiskanja mekših slojeva koji se nalaze u stijenskoj masi Stabilnost temelja uslijed posmičnog sloma blokova stijenske mase formiranog po presjecajućim diskontinuitetima u opterećenom području ispod temelja
4 UVOD (b) (a) U slučaju temelja samca na stijeni (a), primarni zadatak je odrediti dopuštenu nosivost stijenske mase i predviđenu veličinu slijeganja; dok je kod temelja upornjaka mosta na vrhu stijenskog pokosa (b) u kvalitetnoj stijeni bitno i da su blokovi stijene ispod temelja, formirani pomoću diskontinuiteta, stabilni. Slika (c) prikazuje posljedice sloma stijenske mase uzrokovanog zbog prekoračenja sva tri uvjeta. (c)
5 UVOD Ova tri uvjeta se mogu iskazati na način da temelj kao konstrukcija mora zadovoljiti dva granična stanja: 1. Granično stanje nosivosti - opterećenje od gornje konstrukcije mora biti manje od nosivosti odnosno dopuštenog opterećenja temeljne konstrukcije. U ovu kategoriju ulazi i treći uvjet, tj. stabilnost stijenskih blokova ispod temelja. 2. Granično stanje uporabivosti - slijeganja konstrukcije uzrokovana deformacijom temeljne stijene moraju biti manja od dopuštenih slijeganja za konstrukciju.
6 UVOD Pri projektiranju temelja na stijeni treba uzeti u obzir sljedeće značajke: Krutost i čvrstoću stijenske mase i dopušteno slijeganje gornje konstrukcije. Prisutnost slabih slojeva, otapanja, rasjeda i slično ispod temelja. Prisutnost naslaga i diskontinuiteta (ispuna, kontinuitet, širina, razmak). Stanje rastrošenosti i razlomljenosti stijene. Promjena prirodnog stanja naprezanja uzrokovano izgradnjom. Razinu i tlakove podzemne vode.
7 UVOD Nestabilnost temelja može biti inicirana aktiviranjem već postojećih diskontinuiteta ili stvaranjem ploha diskontinuiteta pod utjecajem vanjskih opterećenja. Budući da se opterećenje od konstrukcije prenosi na stijenu, vrlo je važno analizirati interakciju stijena konstrukcija. NESTABILNOST ZBOG POSTOJEĆIH DISKONTINUITETA NESTABILNOST ZBOG UTJECAJA VANJSKIH OPTEREĆENJA Nestabilnost uzrokovana gravitacijom u odnosu na nestabilnost uzrokovanu vanjskim silama
8 UVOD Pojednostavljeni prikaz dijagrama toka kod analize interakcije stijena - konstrukcija
9 UVOD Model ponašanja stijenske mase u proračunu plitkog temelja ovisi o efektu mjerila ( odnos dimenzija temelja prema položaju i razmaku diskontinuiteta). Prema tome, temeljenje možemo razmatrati kao temeljenje na kontinuiranoj ili diskontinuiranoj sredini. Modeli ponašanja mogu se razvrstati u 5 grupa: 1. grupa stijensku masu promatramo kao intaktnu stijenu koja je homogena, izotropna, kontinuirana i linearno elastična 2. i 3. grupa stijensku masu promatramo kao nehomogenu, anizotropnu, diskontinuiranu i nelinearno elastičnu 4. i 5. grupa zbog velikog broja diskontinuiteta, stijensku masu možemo razmatrati kao uvjetno homogenu i izotropnu
10 RASPODJELA NAPREZANJA ISPOD DJELUJUĆIH SILA Boussinesq (1883) i Cerruti (1882) su izveli jednadžbe raspodjele naprezanja ispod CHILE poluprostora za ravninski slučaj vertikalnog i horizontalnog linijskog opterećenja. CHILE poluprostor: kontinuirani, homogeni, izotropni, linearnoelastičan Radijalno naprezanje na udaljenosti r od linijskog opterećenja R i pod nagibom θ u odnosu na ravninu djelovanja iznosi: r 2Rcos r Analiza donje granice nosivosti temeljnog tla s pripadajućom Mohrovom kružnicom
11 RASPODJELA NAPREZANJA ISPOD DJELUJUĆIH SILA Silu koja djeluje u proizvoljnom nagibu u odnosu na površinu poluprostora možemo razdijeliti na horizontalnu i vertikalnu komponentu i pomoću Boussinesquove i Cerrutijeve jednadžbe doći do raspodjele naprezanja. sila Ukoliko je stijenska masa presječena sa sustavom diskontinuiteta, tada postoji mogućnost da neće moći podnijeti ni tlačno ni posmično naprezanje bez obzira na veličinu danog opterećenja. Konture radijalnog naprezanja u poluprostoru od linijskog opterećenja pod nagibom
12 RASPODJELA NAPREZANJA ISPOD DJELUJUĆIH SILA U slučaju slojevitosti stijenske mase i pojave diskontinuiteta, oblik konture radijalnog naprezanja se mijenja, a radijalna naprezanja se prenose u veće dubine Konture radijalnog naprezanja s ravninama diskontinuiteta u različitim smjerovima Konture radijalnog naprezanja za izotropnu stijenu i različitim nagibima u odnosu na vertikalnu ravninu modelsko ispitivanje
13 NOSIVOST TEMELJA 1. PRISTUP ODREĐIVANJU NOSIVOSTI TEMELJA Za ilustraciju pristupa određivanja nosivosti temeljnog tla, razmatrati će se ravninski slučaj linijski opterećenog temelja. Postoje dva različita pristupa rješavanju ovakvog problema: 1.1. izračun nosivosti iz ravnoteže sila na pretpostavljeni raspored diskretnih blokova, i 1.2. izračun dosizanja nosivosti iz pretpostavljene distribucije naprezanja ispod opterećene zone. Oba gore spomenuta pristupa se primjenjuju u teoriji plastičnosti.
14 NOSIVOST TEMELJA Dva osnovna teorema plastične analize iz teorije plastičnosti su: a) Teorem gornje granice. Pri procjeni sile plastičnog sloma izjednačavanjem promjene disipacije unutrašnje energije sa promjenom rada vanjskih sila, pri bilo kojem pretpostavljenom mehanizmu diskretnih blokova - dana procjena će rezultirati višoj ili točnoj vrijednosti sile sloma. b) Teorem donje granice. Ukoliko možemo odrediti distribuciju naprezanja u konstrukciji, pri čemu je ta distribucija u unutrašnjoj ravnoteži kao i u ravnoteži s vanjskim silama, pri čemu su ta naprezanja manja od kritičnog naprezanja pri kojem počinje popuštanje, tada će stijenska masa sigurno nositi dane vanjske sile.
15 NOSIVOST TEMELJA Rješenje analize gornje granice slijedi iz pretpostavljenog rasporeda diskretnih blokova i određivanja pripadajućih sila (metoda 1.1.). Korištenje analize gornje granice koristi se kod proračuna temelja kod kojega je nestabilnost uvjetovana pomacima krutih stijenskih blokova uzduž već postojećih diskontinuiteta. Pristup koji se u analizi koristi je primjena koncepta virtualnog rada, po kojemu se pomoću izračuna ravnoteže djelujućeg rada uspostavlja ravnoteža djelujućih sila.
16 NOSIVOST TEMELJA Rješenje analize donje granice slijedi iz analize otpornosti stijene na pretpostavljeni raspored naprezanja (metoda 1.2.). Korištenje analize donje granice koristi se kod proračuna temelja kod kojega je nestabilnost uvjetovana popuštanjem jako opterećene slabe stijene. Osnova metode jest određivanje mogućnosti nastanka lokalnog plastičnog sloma. Temeljna stijena se podijeli na mrežu računskih kvadratnih elemenata i razmatraju se naprezanja koja djeluju na bokove elemenata u odnosu na prikladni kriterij popuštanja kao i lokaliteti nastanka plastičnog sloma.
17 NOSIVOST TEMELJA 2. METODE ODREĐIVANJE NOSIVOSTI TEMELJA U PRAKSI Ovisno o modelu ponašanja stijenske mase, postoje različiti načini određivanja nosivosti stijenske mase za temelje na stijeni (probno opterećenje, korištenje iskustvenih tablica, numeričke metode, i zatvorena analitička rješenja) PROBNO OPTEREĆENJE je najpouzdanija metoda određivanja nosivosti temelja na stijenskoj masi; ako se očekuju relativno velika slijeganja, velik je broj elemenata koji utječu na nosivost te posebno ako se radi o problemu koji promatramo kao anizotropan. Međutim, zbog relativne skupoće isplativa su samo kod značajnih građevina kao štu su veliki mostovi, lučne brane, nuklearne elektrane i sl.
18 NOSIVOST TEMELJA 2.2. KORIŠTENJE ISKUSTVENIH PUBLICIRANIH TABLICA za određene tipove stijenske mase karakteristično je kod jednostavnih konstrukcija na relativno dobrim stijenskim masama. Pretpostavljene vrijednosti nosivosti određene su s relativno velikom rezervom, ali problem je što za istu stijensku masu postoje znatne razlike u vrijednostima prema različitim propisima. U propisima su vrijednosti nosivosti stijenske mase najčešće dovedene u korelaciju s jednoosnom tlačnom čvrstoćom monolitne stijene, RQD indeksom ili nekom od klasifikacija stijenske mase (RMR, Q).
19 NOSIVOST TEMELJA Eurocod 7:Geotechnical design, Part 1: General rules, Annex E, ENV :1995 Određivanje nosivosti je zasnovano na podjeli stijena prema tablici uz pretpostavku da konstrukcija može podnijeti slijeganje koje je manje od 0,5 % širine temelja.
20 NOSIVOST TEMELJA Pretpostavljena nosivost kvadratnog temelja na stijeni Pretpostavljena nosivost temelja određuje se prema gornjim dijagramima za različite skupine stijene. Vrsta stijene za svaku skupinu prikazana je u prethodnoj tablici.
21 NOSIVOST TEMELJA 2.3. NUMERIČKE METODE koriste se kod složenih situacija u diskontinuiranoj stijenskoj masi. Takve metode zahtijevaju uporabu odgovarajućih parametara čvrstoće i deformabilnosti stijenske mase koje je potrebno izmjeriti. Prednost takve metode jest u tome što se proračunom mogu obuhvatiti utjecaji širine temelja, dubine temeljenja, te slojevitost odnosno općenito utjecaj diskontinuiteta. Uz određena pojednostavljenja moguće je umjesto numeričkih metoda koristiti i zatvorena analitička rješenja. Međutim, takva pojednostavljenja daju značajna odstupanja od stvarnog stanja pa su prikladna samo za manje značajne građevine.
![Soil [MN /m²] [-] 6.70 0. 000 5.60 0. 000 3.60 0. 000 3.70 0. 000 1.70 0. 000 3.50 0. 000 3.00 0. 000 5.50 0. 000 20.00 0. 000 30.00 0. 000 40.00 0. 000 6.](/docs-images/79/78879002/images/22-1.jpg "00 NOSIVOST TEMELJA 16 0 M aterial E d G S [kn /m ²] [m ] [k N/m ³] [-] [m ] D es ign ation 14 0 3.2 000 * 1 0 + 7 0.200 25.00 0.20 0 0.00 P o dna p loc a 3.2 000 * 1 0 + 7 0.800 25.00 0.20 0 1.")
22 Soil [MN /m²] [-] NOSIVOST TEMELJA 16 0 M aterial E d G S [kn /m ²] [m ] [k N/m ³] [-] [m ] D es ign ation * P o dna p loc a * G reda * Tem e ljne s tope * D ilatac ija Calculation basis IK E A Rug v ic a Co ns tr. m o d. m ethod Ve rs c hieb ung w Dim e ns ions : - lengths [m ] - forc es [k N ] - dis pla ce m ent w [cm ] - c ons tr. m od. E s [M N/m ²] E s Prikaz rezultata numeričkog modeliranja, slijeganje temeljne ploče Prikaz rezultata numeričkog modeliranja, raspodjela naprezanja ispod temelja
23 NOSIVOST TEMELJA 2.4. ZATVORENA ANALITIČKA RJEŠENJA primjenjuju se u kontinuiranoj sredini a) Kod izrazito razlomljene stijenske mase, koja se može promatrati kao kvazihomogena, javlja se mehanizam loma vrlo sličan onom u tlu, pa se za proračun granične nosivosti mogu primjenjivati teorije razvijene za tlo.
24 NOSIVOST TEMELJA Nosivost stijene za takav, opći posmični slom stijenske mase može se procijeniti pomoću Buisman-Terzaghijevog izraza za nosivost. Izraz se koristi za duge kontinuirane temelje s omjerom duljine i širine većim od 10. q = cn c γbn γ + γdn q q - nosivost tla γ - efektivna težina stijene B - širina temelja D - dubina baze temelja c - kohezija stijenske mase N c, N γ, N q - faktori nosivosti N c = 2 N (Nφ + 1) N γ = N ( 2 N 1) N q = 2 N N φ = tg 2 (45 + φ/2) φ - kut unutarnjeg trenja stijenske mase
25 NOSIVOST TEMELJA b) Kod slabo cementiranih sedimentnih stijena ili izrazito poroznih stijena, mehanizam sloma se može opisati kao kolaps strukture pora. Ispod opterećene površine u takvim je stijenama lom vidljiv kao utiskivanje u stijenu.
26 NOSIVOST TEMELJA c) Kod čvrstih, malo poroznih i krutih stijena, koje imaju malu vlačnu čvrstoću, mehanizam sloma se može opisati širenjem vlačnih pukotina. U početku nanošenja opterećenja na temelj odnos naprezanja i deformacije može se izraziti linearno elastičnim modelom. Kada naprezanje u stijenskoj masi ispod temelja u nekom smjeru dosegne vlačnu čvrstoću počinje razvoj vlačnih pukotina.
27 NOSIVOST TEMELJA Daljnjim povećanjem opterećenja pukotine se umnožavaju zbog čega se javlja zdrobljena zona ispod temelja. Zbog učinka dilatacije, zdrobljeni se klin ispod temelja širi bočno, uzrokujući pojavu radijalnih pukotina. Daljnjim širenjem te pukotine mogu izbiti na površinu u okolini temelja, pa se time formira izbačeni klin.
28 Goodman (1989.) NOSIVOST TEMELJA Model proračuna granične nosivosti plitkog temelja na stijenskoj masi Proračun granične nosivosti plitkog temelja na homogenoj izotropnoj čvrstoj stijeni prema modelu sa slike do. Za slučaj c) Goodman je odredio graničnu nosivost za plitki temelj prema Mohr- Coulombovom i Hoek-Brownovom kriteriju čvrstoće. Ako promatramo zdrobljeno područje ispod temelja (područje A na slici), kao stup pridržan okolnom stijenom (područje B), tada najveći horizontalni otpor koji može pružiti područje B odgovara jednoosnoj tlačnoj čvrstoći stijenske mase (q u ). Čvrstoća zdrobljene stijenske mase ispod temelja prikazana je donjom krivuljom A, a čvrstoća okolne stijene prikazana je gornjom krivuljom B.
29 NOSIVOST TEMELJA Goodman prema Mohr-Coulombovom zakonu čvrstoće Granična nosivost plitkog temelja na stijenskoj masi: q f q u tg q dop q F f s q f granična nosivost stijenske mase q dop dopušteno opterećenje temelja q u jednoosna tlačna čvrstoća stijenske mase φ* kut unutrašnjeg trenja za zdrobljenu stijenu F s faktor sigurnosti
30 Goodman prema Hoek-Brownom zakonu čvrstoće Granična nosivost plitkog temelja na stijenskoj masi: q f granična nosivost stijenske mase σc jednoosna tlačna čvrstoća stijenske mase m b, s, a parametri stijenske mase a a c a a c a a c c b f s s s m q NOSIVOST TEMELJA
31 Xiao-Li, Jian-Hua(2005) NOSIVOST TEMELJA Granična nosivost plitkog temelja, za stijensku masu čija se čvrstoća može opisati Hoek-Brownovim kriterijem: q u 0.5 s cn q0 Nq 0.5 B0 N q N σ, N q, N γ faktori nosivosti q 0 površinsko opterećenje temelja B 0 širina temelja γ jedinična težina stijenske mase Za temelj na površini površinsko opterećenje je q 0 i ako se analizira materijal bez težine γ=0, izraz postaje: q u s 0. 5 cn
32 NOSIVOST TEMELJA Za pet vrsta stijena, malo poremećenu stijensku masu (D HB =0,1), te neke karakteristične vrijednosti GSI indeksa, proračunati su faktori nosivosti N σ. Geološki indeks čvrstoće Parametar intaktne stijeneovisi o stijeni koja gradi stijensku masu te o njezinim mehaničkim svojstvima Faktori nosivosti N σ za 5 vrsta stijena D HB - faktor poremećenosti stijenske mase
33 NOSIVOST TEMELJA Ako iz razmatranja isključimo analizu utjecaja slijeganja, kada je određena granična nosivost, sljedeći korak je utvrđivanje dopuštenog opterećenja. Ta vrijednost mora biti manja od granične nosivosti da bi se osigurala prihvatljiva razina rizika od loma temelja. Serrano i Olalla predložili su globalni faktor sigurnosti koji je određen na osnovi vjerojatnosti pojave loma temelja, a za stijenske mase kod kojih je primjenjiv Hoek-Brownov kriterij čvrstoće. Predloženi faktor sigurnosti treba obuhvatiti: Statističko variranje parametara stijenske mase s kojima je izvršen proračun granične nosivosti. Stupanj s kojim model loma stijenske mase upotrijebljen u proračunu odgovara stvarnom stanju.
34 NOSIVOST TEMELJA Globalni faktor sigurnosti izražen je kao umnožak: F F p F m F m parcijalni faktor kojim se razmatra mogućnost pojave krtog loma, ovisi o jednoosnoj tlačnoj čvrstoći stijenske mase (σ c ), vrsti stijene ( m 0 ) te veličini temelja. 100MPa F c 12.5MPa F c m m F p parcijalni faktor koji uzima u obzir statističko variranje parametara stijenske mase ( jednoosna tlačna čvrstoća, parametar stijene m 0, RMR). Dijagram za određivanje parcijalnog faktora F p Dopušteno opterećenje stijenske mase dobiva se dijeljenjem granične nosivosti s globalnim faktorom sigurnosti.
35 NOSIVOST TEMELJA NA STIJENSKOM POKOSU Za temelj na stijenskom pokosu s diskontinuitetima u jednom smjeru, Serano i Olalla odredili su 6 mogućih mehanizama sloma stijenske mase. Mehanizme sloma dobili su kombinacijoma dva tipa sloma: P slom po plohama diskontinuiteta, i R slom kroz stijensku masu Mehanizmi sloma po Serrano i Olalla
36 Serrano et al. (2000) NOSIVOST TEMELJA NA STIJENSKOM POKOSU Proračun granične nosivosti plitkog temelja na kvazihomogenoj stijenskoj masi, Serrano et al. (2000)
37 NOSIVOST TEMELJA NA STIJENSKOM POKOSU Serrano i ostali za određivanje granične nosivosti plitkog temelja također koriste Hoek-Brownov kriterij čvrstoće, ali uz pretpostavku posmičnog loma po plohi na kvazihomogenoj stijeni. Možemo reći da Serrano pretpostavlja kliznu plohu, dok Goodman čeka da se klizna ploha formira uslijed prevelikog opterećenja. Za stijensku masu bez težine, horizontalnu površinu stijenske mase oko temelja i vertikalno opterećenje temelja, vrijedi sljedeći izraz za graničnu nosivost plitkog temelja: q f q f granična nosivost stijenske mase β n, ζ n faktori koji ovise o kvaliteti stijenske mase N β faktor nosivosti (može se očitati iz tablice ili iz dijagrama) n N n n k k A n c 1 k A mb 1 a n 1 a A n A n 2 1 k 1 a a 1 n m b s A n
38 NOSIVOST TEMELJA NA STIJENSKOM POKOSU * 1 01 n h 1 n σ 1 - vertikalno geostatsko naprezanje na razini temelja Faktor nosivosti N β
39 NOSIVOST TEMELJA NA STIJENSKOM POKOSU Na idućim slikama prikazan je utjecaj nagiba međuslojnih diskontinuiteta na formiranje oblika loma, prema Duncanu. Ovisno o nagibu pukotina lom nastaje uzduž diskontinuiteta, kroz stijensku masu, ili kombinirano. Za nagib slojeva veći od oko 60 o u odnosu na horizontalu, svojstva posmične čvrstoće diskontinuiteta imaju manji utjecaj na veličinu granične nosivosti. Sa smanjenjem nagiba utjecaj posmične čvrstoće diskontinuiteta raste. a) ravninsko klizanje po jednoj pukotini b) klizanje klina formiranog od dvije pukotine
40 NOSIVOST TEMELJA NA STIJENSKOM POKOSU c) prevrtanje d) opći lom u izrazito razlomljenoj stijenskoj masi e) stabilni uvjeti s obzirom na položaj pukotinskog sustava f) stabilni uvjeti, ali debela ispuna može rezultirati značajnim slijeganjem
41 NOSIVOST TEMELJA NA STIJENSKOM POKOSU Zanimljiv je primjer temelja stupova starog/novog Masleničkog mosta. Temeljenje se izvodilo na vapnencu, a uslijed nepoznavanja principa izloženih u ovom predavanju, temelji su bili predimenzionirani i s velikim faktorom sigurnosti. Nakon rušenja mosta u Domovinskom ratu i odluke o ponovnoj gradnji nakon rata, postojeći temelji i okolna stijenska masa su ispitani i dokazana je njihova uporabivost za temelje novih stupova.
42 NOSIVOST TEMELJA NA STIJENSKOM POKOSU Na stijenskoj masi u okolini temelja provedena su inženjersko-geološka ispitivanja, laboratorijska ispitivanja uzoraka, te nerazorna geofizička ispitivanja (SASW). Usporedbom stijenske mase neposredno uz oštećeni temelj i referentne stijenske mase dokazano je da nije došlo do oštećenja temeljne stijene. Također je geofizičkim metodama utvrđena kvalitetna veza između dna temelja i stijenske mase. Dobivene nosivosti, odnosno dopuštena opterećenja na temelje veća su za više od 3 puta od projektom predviđenih opterećenja na temelje novog mosta.
43 DUBOKO TEMELJENJE U slučaju da temeljno tlo nema dovoljnu nosivost, ili je podložno velikim slijeganjima, opterećenja od konstrukcije potrebno je prenijeti u dubinu do stijenske mase. Opterećenje se na stijenu prenosi armiranobetonskim pilotima. Piloti se koriste ne samo kod temeljenja na tlu, nego i kod temeljenja na vrlo rastrošenoj stijenskoj masi, stijenskoj masi s malom krutošću i čvrstoćom, kao i kod velikih opterećenja na stijensku masu, u slučaju da se na većoj dubini nalazi kvalitetnija stijenska masa.
44 DUBOKO TEMELJENJE Kod temeljenja na stijeni koriste se dvije vrste pilota: bušeni piloti zabijani piloti Kod bušenih pilota, kroz tlo se izvodi bušotina koja se nastavlja u stijeni. U gotovoj bušotini izvodi se armiranobetonski pilot. Dubina dijela pilota u stijeni ovisi o opterećenju, dimenzijama pilota i karakteristikama stijenske mase, ali mora preći minimalnu granicu od 60 cm. Zabijani piloti se češće izvode kod pilota u tlu gdje najčešće završavaju u krutim šljuncima, ali mogu se izvoditi i kod podloge od mekših stijena. Bušeni pilot Zabijeni pilot
45 DUBOKO TEMELJENJE Za kratke pilote koji završavaju na vrhu sloja stijene je prihvatljivo zanemariti trenje po plaštu kroz tlo i pretpostaviti da se svo opterećenje prenosi na stijensku masu. Kod bušenih pilota uloženih (socketed) u bušotinu u stijenskoj masi, trenje između dijela bušotine u stijeni i pilota može biti značajno, i treba se uzeti u razmatranje. U prošlosti je kapacitet armiranobetonskih pilota u stijenskoj masi bio ograničen čvrstoćom betona. Uporabom novih betona visokih čvrstoća, kapacitet pilota u stijeni sada može biti kontroliran čvrstoćom i krutošću stijenske mase.
46 DUBOKO TEMELJENJE Piloti mogu djelovati i u grupi, spojeni naglavnom konstrukcijom. Naglavna konstrukcija prenosi i raspodjeljuje opterećenja od konstrukcije na pilote. Učinak djelovanja svakog zasebnog pilota u grupi je manji nego kod individualnog pilota, a opterećena zona stijenske mase je veća ispod grupe pilota.
47 DUBOKO TEMELJENJE Izraz za nosivost stijenske mase ispod vrha temelja dali su Serrano i Olalla prema Hoek-Brownovom kriteriju čvrstoće: gdje su: m c, 2 8 σ hp = β (N β - ζ) s β 8s m N β funkcija omjera duljine pilota u stijeni i pritiska nadsloja s β faktor oblika Linije sloma za različite načine izvedbe temelja
Q (promjenjivo) P (stalno) c uk=50 (kn/m ) =17 (kn/m ) =20 (kn/m ) 2k=0 (kn/m ) N 60=21 d=0.9 (m)
L = L 14.1. ZADATAK Zadan je pilot kružnog poprečnog presjeka, postavljen kroz dva sloja tla. Svojstva tla i dimenzije pilota su zadane na skici. a) Odrediti graničnu nosivost pilota u vertikalnom smjeru.
Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )
Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
BETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Osnovni elementi klizišta
STABILNOST KOSINA Klizište 1/ Klizanje kao geološki fenomen: - tektonski procesi - gravitacijske i hidrodinamičke sile 2/ Klizanja nastala djelovanjem ljudi: - iskopi, nasipi, dodatno opterećenje kosina
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
5. ANALIZE STABILNOSTI KOSINA
5. ANALIZE STABILNOSTI KOSINA 1 UVOD Analize stabilnosti kosine provode se radi utvrđivanja moguće pojave sloma u prirodnoj ili umjetnoj kosini ili radi utvrđivanja parametara čvrstoće materijala u kosinama
GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO
GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO POMOĆNI DIJAGRAMI, TABLICE I FORMULE ZA ISPIT dopunjeno za ak.god. 016/017 Slika 1. Parcijalni koeficijenti za GEO/STR za djelovanja, parametre materijala i otpore prema EC-7 Slika.
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
9.1. ZADATAK. Parametri tla: Dimenzije temelja: RJEŠENJE. a) Terzaghi. Granična nosivost tla ispod temelja prema Terzaghi-ju:
9.1. ZADATAK Za entrično opterećen temelj stalnom konentriranom silom, koji se nalazi na vooravno uslojenom tlu za koje su laboratorijskim mjerenjem oređeni parametri tla, treba oreiti: a) graničnu nosivost
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.09.2015. Saša Horvat SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
1. Uvod. Mehanika tla i stijena str. 1 PLITKI TEMELJI
Mehanika tla i stijena str. 1 PLITKI TEMELJI 1. Uvod Temelji su dijelovi konstrukcije preko kojih se ona oslanja o tlo. Preko njih se djelovanja na konstrukciju prenose na tlo. Kako je tlo u pravilu bitno
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU
MJERENJE MALIH DEFORMACIJA U LABORATORIJU RAZLOZI MJERENJA DEFORMACIJA U TLU Pri projektiranju dinamički opterećenih temelja treba odrediti sljedeće: kriterije ponašanja (dozvoljene amplitude, brzine,
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
PILOTI METODA DUBOKOG TEMELJENJA
PILOTI METODA DUBOKOG TEMELJENJA Toranj crkve Sv. Marka u Veneciji, temeljen na drvenim pilotima. Sagrañen oko 900 god., visine 100 m, nagnut 80 cm od vertikale Drveni piloti 1902. se srušio zbog loše
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
TOLERANCIJE I DOSJEDI
11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada
Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet. Preddiplomski studij GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO. 7. predavanje. Opis i čvrstoća diskontinuiteta
Sveučilište u Zagrebu Građevinski fakultet Preddiplomski studij GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO 7. predavanje Opis i čvrstoća diskontinuiteta SADRŽAJ PREDAVANJA Opis diskontinuiteta Čvrstoća diskontinuiteta OPIS
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?
Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti
TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II
TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
PRIJENOS VERTIKALNIH SILA KOD DUBOKIH TEMELJA
PRIJENOS VERTIKALNIH SILA KOD DUBOKIH TEMELJA Nosivost se može odrediti (prema EN 1997-1): - statičkim probnim opterećenjem - dinamičkim probnim opterećenjem (metoda dokazana usporedbom sa statičkim opterećenjem)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m
GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN
GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
6. Plan armature prednapetog nosača
6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
TEMELJENJE STUP PRO[IRENJE KOJE NIJE OBAVEZNO PRESJEK A-A TLOCRT A A. Temelji samci i temeljne trake TLOCRT TLOCRT KONSTANTNE DEBLJINE PROMJENJIVE
TEMELJENJE TEMELJ je dio konstrukcije koji omogućuje da se opterećenje sa "ležajeva" konstrukcije raspodjeli na toliku površinu tla, kolika je potrebna kako bi se postigla potrebna sigurnost od sloma tla,
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k