5. Karakteristične funkcije
|
|
|
- Πάν Γλυκύς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10
2 Definicija Karakteristična funkcija ϕ X slučajne promenljive X, odnosno njene raspodele, definiše se sa ϕ X (t) = E e itx. Ako X ima neprekidnu raspodelu sa funkcijom gustine f, tada je ϕ X (t) = + a ako X ima diskretnu raspodelu, onda je e itx f (x) dx, ϕ X (t) = k e itk P(X = x k ). Karakteristična funkcija je dvostrana Furijeova transformacija funkcije gustine (sa e itx umesto e itx ). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 2 / 10
3 Definicija Karakteristična funkcija ϕ X slučajne promenljive X, odnosno njene raspodele, definiše se sa ϕ X (t) = E e itx. Ako X ima neprekidnu raspodelu sa funkcijom gustine f, tada je ϕ X (t) = + a ako X ima diskretnu raspodelu, onda je e itx f (x) dx, ϕ X (t) = k e itk P(X = x k ). Karakteristična funkcija je dvostrana Furijeova transformacija funkcije gustine (sa e itx umesto e itx ). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 2 / 10
4 Primeri Za Bernulijevu slučajnu promenljivu sa verovatnoćom uspeha p, ϕ(t) = e it 1 p + e it 0 (1 p) = pe it + (1 p). Primer 113 Za X Poiss (λ), ϕ(t) = + k=0 ( e itk λ λk + λe it ) k e k! = e λ k! k=0 Primer 114 Za Z N (0, 1): ϕ Z (t) = 1 + 2π = e λ e λeit = e λ(eit 1). e itx x2 2 dx = = e t 2 2. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 3 / 10
5 Primeri Za Bernulijevu slučajnu promenljivu sa verovatnoćom uspeha p, ϕ(t) = e it 1 p + e it 0 (1 p) = pe it + (1 p). Primer 113 Za X Poiss (λ), ϕ(t) = + k=0 ( e itk λ λk + λe it ) k e k! = e λ k! k=0 Primer 114 Za Z N (0, 1): ϕ Z (t) = 1 + 2π = e λ e λeit = e λ(eit 1). e itx x2 2 dx = = e t 2 2. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 3 / 10
6 Primeri Za Bernulijevu slučajnu promenljivu sa verovatnoćom uspeha p, ϕ(t) = e it 1 p + e it 0 (1 p) = pe it + (1 p). Primer 113 Za X Poiss (λ), ϕ(t) = + k=0 ( e itk λ λk + λe it ) k e k! = e λ k! k=0 Primer 114 Za Z N (0, 1): ϕ Z (t) = 1 + 2π = e λ e λeit = e λ(eit 1). e itx x2 2 dx = = e t 2 2. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 3 / 10
7 Osobine karakteristične funkcije Karakteristična funkcija je definisana za svaku slučajnu promenljivu X (za razliku od matematičkog očekivanja) Raspodela je jedinstveno odred ena svojom karakterističnom funkcijom. Znajući karakterističnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodele u diskretnom slučaju) možemo da nad emo primenom teoreme o inverziji (Teorema 5.1. u udžbeniku), ili češće preko tablica Furijeove transformacije. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 4 / 10
8 Osobine karakteristične funkcije Karakteristična funkcija je definisana za svaku slučajnu promenljivu X (za razliku od matematičkog očekivanja) Raspodela je jedinstveno odred ena svojom karakterističnom funkcijom. Znajući karakterističnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodele u diskretnom slučaju) možemo da nad emo primenom teoreme o inverziji (Teorema 5.1. u udžbeniku), ili češće preko tablica Furijeove transformacije. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 4 / 10
9 Osobine karakteristične funkcije Karakteristična funkcija je definisana za svaku slučajnu promenljivu X (za razliku od matematičkog očekivanja) Raspodela je jedinstveno odred ena svojom karakterističnom funkcijom. Znajući karakterističnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodele u diskretnom slučaju) možemo da nad emo primenom teoreme o inverziji (Teorema 5.1. u udžbeniku), ili češće preko tablica Furijeove transformacije. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 4 / 10
10 Osobine karakteristične funkcije Karakteristična funkcija je definisana za svaku slučajnu promenljivu X (za razliku od matematičkog očekivanja) Raspodela je jedinstveno odred ena svojom karakterističnom funkcijom. Znajući karakterističnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodele u diskretnom slučaju) možemo da nad emo primenom teoreme o inverziji (Teorema 5.1. u udžbeniku), ili češće preko tablica Furijeove transformacije. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 4 / 10
11 Momenti Definicija 4.9 Za slučajnu promenljivu X i prirodan broj k, moment reda k definiše se kao E X k, ukoliko postoji očekivanje slučajne promenljive X k. Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momenti reda k < n. Više o momentima može se (neobavezno) pročitati u odeljku 4.8 (stranice udžbenika). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 5 / 10
12 Momenti Definicija 4.9 Za slučajnu promenljivu X i prirodan broj k, moment reda k definiše se kao E X k, ukoliko postoji očekivanje slučajne promenljive X k. Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momenti reda k < n. Više o momentima može se (neobavezno) pročitati u odeljku 4.8 (stranice udžbenika). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 5 / 10
13 Momenti Definicija 4.9 Za slučajnu promenljivu X i prirodan broj k, moment reda k definiše se kao E X k, ukoliko postoji očekivanje slučajne promenljive X k. Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momenti reda k < n. Više o momentima može se (neobavezno) pročitati u odeljku 4.8 (stranice udžbenika). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 5 / 10
14 Osobine karakteristične funkcije - nastavak Teorema Za svaku slučajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ili kompleksna) broja a, b važi da je ϕ ax +b (t) = e ibt ϕ X (at) 2 Ako slučajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on može naći pomoću n-tog izvoda karakteristične funkcije u nuli: E X n = i n ϕ (n) (0) Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 6 / 10
15 Osobine karakteristične funkcije - nastavak Teorema Za svaku slučajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ili kompleksna) broja a, b važi da je ϕ ax +b (t) = e ibt ϕ X (at) 2 Ako slučajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on može naći pomoću n-tog izvoda karakteristične funkcije u nuli: E X n = i n ϕ (n) (0) Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 6 / 10
16 Osobine karakteristične funkcije - nastavak Teorema Za svaku slučajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ili kompleksna) broja a, b važi da je ϕ ax +b (t) = e ibt ϕ X (at) 2 Ako slučajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on može naći pomoću n-tog izvoda karakteristične funkcije u nuli: E X n = i n ϕ (n) (0) Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 6 / 10
17 Primeri Primer 114 Za X N (µ, σ 2 ) naći karakterističnu funkciju, znajući da je za standardnu normalnu raspodelu ϕ Z (t) = e t2 2. R: X = σz + µ = ϕ X (t) = e iµt ϕ Z (σt) = exp(iµt σ2 t 2 2 ) Primer 113 Naći Var X za X Poiss (λ), znajući da je ϕ X (t) = e λ(eit 1). R: E X = λ, E X 2 = i 2 ϕ (0) = λ 2 + λ. VarX = λ Primer Košijeva slučajna promenljiva, sa gustinom f (x) = 1 π(1 + x 2, < x < + ) nema matematičko očekivanje, a time ni momente višeg reda. Karakteristična funkcija je ϕ(t) = e t ; ova funkcija nema izvode u nuli. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 7 / 10
18 Primeri Primer 114 Za X N (µ, σ 2 ) naći karakterističnu funkciju, znajući da je za standardnu normalnu raspodelu ϕ Z (t) = e t2 2. R: X = σz + µ = ϕ X (t) = e iµt ϕ Z (σt) = exp(iµt σ2 t 2 2 ) Primer 113 Naći Var X za X Poiss (λ), znajući da je ϕ X (t) = e λ(eit 1). R: E X = λ, E X 2 = i 2 ϕ (0) = λ 2 + λ. VarX = λ Primer Košijeva slučajna promenljiva, sa gustinom f (x) = 1 π(1 + x 2, < x < + ) nema matematičko očekivanje, a time ni momente višeg reda. Karakteristična funkcija je ϕ(t) = e t ; ova funkcija nema izvode u nuli. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 7 / 10
19 Primeri Primer 114 Za X N (µ, σ 2 ) naći karakterističnu funkciju, znajući da je za standardnu normalnu raspodelu ϕ Z (t) = e t2 2. R: X = σz + µ = ϕ X (t) = e iµt ϕ Z (σt) = exp(iµt σ2 t 2 2 ) Primer 113 Naći Var X za X Poiss (λ), znajući da je ϕ X (t) = e λ(eit 1). R: E X = λ, E X 2 = i 2 ϕ (0) = λ 2 + λ. VarX = λ Primer Košijeva slučajna promenljiva, sa gustinom f (x) = 1 π(1 + x 2, < x < + ) nema matematičko očekivanje, a time ni momente višeg reda. Karakteristična funkcija je ϕ(t) = e t ; ova funkcija nema izvode u nuli. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 7 / 10
20 Zbir nezavisnih slučajnih promenljivih preko karakterističnih funkcija Teorema 5.3 Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, tada je ϕ X +Y (t) = ϕ X (t) ϕ Y (t). Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 8 / 10
21 Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri Primer 117 Za nezavisne slučajne promenljive X N (µ 1, σ1 2) i Y N (µ 2, σ2 2 ), naći raspodelu zbira X + Y. Primer 116 Ako su X 1 i X 2 nezavisne Puasonove slučajne promenljive sa parametrima λ 1 i λ 2 respektivno, naći raspodelu zbira X 1 + X 2 U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju. Neobavezno: Pogledajte primer 118 za još jedan sličan slučaj, i primer 119 kad raspodela zbira nije u istoj familiji. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 9 / 10
22 Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri Primer 117 Za nezavisne slučajne promenljive X N (µ 1, σ1 2) i Y N (µ 2, σ2 2 ), naći raspodelu zbira X + Y. Primer 116 Ako su X 1 i X 2 nezavisne Puasonove slučajne promenljive sa parametrima λ 1 i λ 2 respektivno, naći raspodelu zbira X 1 + X 2 U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju. Neobavezno: Pogledajte primer 118 za još jedan sličan slučaj, i primer 119 kad raspodela zbira nije u istoj familiji. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 9 / 10
23 Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri Primer 117 Za nezavisne slučajne promenljive X N (µ 1, σ1 2) i Y N (µ 2, σ2 2 ), naći raspodelu zbira X + Y. Primer 116 Ako su X 1 i X 2 nezavisne Puasonove slučajne promenljive sa parametrima λ 1 i λ 2 respektivno, naći raspodelu zbira X 1 + X 2 U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju. Neobavezno: Pogledajte primer 118 za još jedan sličan slučaj, i primer 119 kad raspodela zbira nije u istoj familiji. Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 9 / 10
24 Za vežbu: Zadaci , 113, 114, Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 10 / 10
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Verovatnoća i Statistika. I deo. Verovatnoća. Beleške Prof. Aleksandra Ivića
Verovatnoća i Statistika I deo. Verovatnoća Beleške Prof. Aleksandra Ivića 0.1 Slučajni doga - daji i osnovni pojmovi verovatnoće Matematička teorija verovatnoće je grana čiste matematike. Teorija verovatnoće
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Obrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Diferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
f n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti, tada je
Višekomponentne slučajne varijable Srednje vrijednosti i momenti Definicija srednje vrijednosti Ako između tri slučajne varijable postoji veza ζ = f (ξ, η) i ako su poznate sve relevantne gustoće vjerojatnosti,
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Ako je koeficijent korelacije blizak 1, ne mora značiti da su X i Y međusobno zavisne, već da postoji treća promenljiva Z od koje zavise X i Y.
Parcialni oeficient orelacie Ao e oeficient orelacie bliza 1, ne mora značiti da su X i Y međusobno zavisne, već da postoi treća promenliva Z od oe zavise X i Y. Definiše iš se parcialni i oeficient i
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Milana Vujkov POASONOV PROCES - MASTER RAD - Novi Sad, 2010.
Milana Vujkov POASONOV PROCES - MASTER RAD - Novi Sad, 21. 2 Sadržaj Predgovor 5 1 Uvodni pojmovi 7 1.1 Stohastički procesi........................ 7 1.2 Lanci Markova.......................... 1 2 Poasonovi
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi
Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije
Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo
Autori: Dr Biljana Popović, redovni profesor Prirodno matematičkog fakulteta u Nišu Mr Borislava Blagojević, asistent Gradjevinskog fakulteta u Nišu
Biblioteka: ACADEMIA Autori: Dr Biljana Popović, redovni profesor Prirodno matematičkog fakulteta u Nišu Mr Borislava Blagojević, asistent Gradjevinskog fakulteta u Nišu MATEMATIČKA STATISTIKA SA PRIMENAMA
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Predgovor 7. Uvod 8. 1 Uvod u teoriju verovatnoće Algebra dogad aja Aksiome teorije verovatnoće... 13
Sadržaj Predgovor 7 Uvod 8 1 Uvod u teoriju verovatnoće 11 11 Algebra dogad aja 12 12 Aksiome teorije verovatnoće 13 13 Metode zadavanja verovatnoće 16 131 Klasični metod 16 132 Metod zadavanja verovatnoće
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Karakteristične funkcije
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matea Spajić Karakteristične funkcije Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera u
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Matematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Sistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati