Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Transcript

1 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012

2 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija) je uredjena četvorka D = X, Form, Ax, R, gde je X neprazan skup simbola, tzv. azbuka, Form je neprazan skup nekih reči nad X, tzv. skup formula, Ax je neprazan podskup skupa Form, tzv. aksiome, R je neprazan skup tzv. pravila izvodjenja, oblika ρ = A 1,A 2,...,A n B, gde su A 1, A 2,..., A n, B neke formule. U tom slučaju kažemo da formula B sledi iz A 1, A 2,..., A n na osnovu pravila ρ. Za D kažemo da je aksiomatska formalna teorija (ili aksiomatski (deduktivni) sistem) ako postoji algoritam za odlučivanje koja formula jeste, a koja nije aksioma.

3 Deduktivni sistemi 2 Definicija Neka je D = X, Form, Ax, R neki deduktivni sistem. Dokaz (u D) je konačan niz formula A 1, A 2,..., A n takav da je u tom nizu svaka formula aksioma ili sledi iz ranijih formula u nizu na osnovu nekog pravila izvodjenja iz R. U tom slučaju kažemo da je A 1, A 2,..., A n dokazni niz za A n (ili samo dokaz za A n ). Formula B je teorema u D ako postoji dokaz za B. U tom slučaju pišemo D B ili samo B. Sa Th (D) obeležavamo skup svih teorema deduktivnog sistema D. Za deduktivni sistem D kažemo da je odlučiv ako postoji algoritam za odlučivanje koja formula jeste, a koja nije teorema te teorije.

4 Deduktivni sistemi 3 Definicija Neka je D = X, Form, Ax, R neki deduktivni sistem, Σ Form, B Form. Kažemo da je B sintaktička posledica od Σ (ili da Σ dokazuje B) ako postoji konačan niz formula A 1, A 2,..., A n u kome je A n = B, tako da je svaka formula u tom nizu aksioma, ili iz Σ ili sledi iz ranijih formula u tom nizu po nekom pravilu izvodjenja iz R. U tom slučaju kažemo da je taj niz dokazni niz za B iz Σ i pišemo Σ D B ili samo Σ B. Formule iz skupa Σ zovemo hipoteze, a za B kažemo da je zaključak. Sa Cons(Σ) obeležavamo skup svih sintaktičkih posledica od Σ. Za skup formula Σ kažemo da je deduktivno zatvoren skup ako je Cons(Σ) = Σ.

5 Deduktivni sistemi 4 Teorema Neka je D = X, Form, Ax, R neki deduktivni sistem. Tada za sve Σ, Σ 1, Σ 2 Form važi:.1 Σ Cons(Σ);.2 Ako je Σ 1 Σ 2 onda Cons(Σ 1 ) Cons(Σ 2 );.3 Cons(Cons(Σ)) = Cons(Σ). Teorema (Teorema kompaktnosti (sintaktička verzija)) Neka je D = X, Form, Ax, R neki deduktivni sistem. Tada za sve Σ Form i sve A Form važi: Σ A akko postoji konačan Σ 0 Σ tako da je Σ 0 A.

6 Iskazni račun 1 Definicija Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, Form, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, Form je skup iskaznih formula definisan nad skupom iskaznih veznika {, }, Ax = Ax 1 Ax 2 Ax 3, gde su Ax 1, Ax 2, Ax 3 skupovi formula definisani pomoću tzv. šema aksioma (dakle, A, B, C Form): Ax 1 : A (B A) Ax 2 : (A (B C)) ((A B) (A C)) Ax 3 : ( A B) (B A) R = {MP}, (tzv. modus ponens), MP : A,A B B.

7 Iskazni račun 2 Lema U iskaznom računu H za sve formule A Form važi A A. Teorema (Teorema dedukcije) Neka je Σ Form, A, B Form. Tada Σ {A} B akko Σ A B. Lema A B, B C A C

8 Iskazni račun 3 Lema A, A B A A, A A A B B A A B, A B B A, B A B A, B (A B) A, B A B A, B A B (A B) A (A B) B

9 Iskazni račun 4 oznaka A B je zamena za formulu (A B), oznaka A B je zamena za formulu A B, oznaka A B je oznaka za formulu (A B) (B A). Lema a) A B A b) A B B c) A, B A B

10 Pravila izvodjenja iskaznog računa 1 Modus Ponens MP : A, A B B Tranzitivnost implikacije Kontradiktorne hipoteze Dvojna negacija TRANZ : A B, B C A C KONTR : A, A B DN1 : A A, DN2 : A A

11 Pravila izvodjenja iskaznog računa 2 Kontrapozicija B A KP1 : A B, KP2 : A B B A Suprotne pretpostavke Sinteza implikacije Negacija implikacije NI1 : SP : A B, A B B SI2 : (A B) A A, B (A B) (A B), NI2 : B

12 Pravila izvodjenja iskaznog računa 3 Rastavljanje konjunkcije K1 : A B A,, K2 : A B B Sinteza konjunkcije SK : A, B A B

13 Kompletnost 1 Lema Neka je A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka formula i neka su a 1, a 2,..., a n {, }. Ako je a = A(a 1, a 2,..., a n ), tada važi p 1 a 1, p 2 a 2,..., p n a n A a. Dokaz: Indukcijom pa složenosti formule (sinteza implikacije!) Teorema (Mala teorema kompletnosti) Za svaku iskaznu formulu A = A akko A.

14 Kompletnost 2 Teorema (Odlučivost iskaznog računa) Iskazni račun H je odlučiv tj. postoji algoritam koji za svaku iskaznu formulu A odlučuje o tome da li je A teorema iskaznog računa. Teorema (Pouzdanost iskaznog računa H) Za sve skupove formula Σ i sve formule A važi: ako Σ A onda Σ = A. Definicija Za skup formula Σ kažemo da je neprotivrečan ako ne postoji formula A tako da je Σ A i Σ A. U suprotnom kažemo da je Σ protivrečan.

15 Kompletnost 3.1 Ako je skup formula Σ protivrečan, onda se iz Σ može izvesti bilo koja formula tj. Cons(Σ) = Form..2 Skup formula Σ je neprotivrečan akko je skup svih posledica Cons(Σ) neprotivrečan. Teorema Neka je Σ skup formula, A neka formula. Tada Σ A akko je Σ { A} protivrečan skup formula. Teorema Svaki skup formula koji ima model je neprotivrečan.

16 Kompletnost 4 Definicija Za neprotivrečan skup formula Σ kažemo da je maksimalno neprotivrečan ako nije sadržan ni u jednom neprotivrečnom skupu različitim od sebe tj. ako je Γ neprotivrečan skup i Σ Γ onda mora Σ = Γ. Primetimo da je svaki maksimalno neprotivrečan skup formula deduktivno zatvoren. Teorema Neka je Σ maksimalno neprotivrečan skup formula. Tada:.1 A Σ akko A Σ.2 A B Σ akko (A Σ i B Σ)

17 Kompletnost 5 Teorema (Lindenbaum) Svaki neprotivrečan skup formula je sadržan u nekom maksimalno neprotivrečnom skupu formula. Dokaz: Definišemo Σ = Σ 1 Σ 2 Σ n Σ n+1... Σ 1 = Σ, { Σn {A Σ n+1 = n }, ako je skup Σ n {A n } konzistentan, Σ n, u suprotnom Tada je Γ = n 1 Σ n traženi skup formula.

18 Kompletnost 6 Teorema Svaki neprotivrečan skup formula ima model. Dokaz: Neka je Σ neprotivrečan skup formula. Zbog Teoreme Lindenbauma znamo da postoji maksimalno neprotivrečan skup Γ koji sadrži Σ. Ako nadjemo model za Γ, to će ujedno biti i model za Σ. Model τ definišimo na sledeći način: τ(p i ) = akko p i Γ. Dokažimo da je τ = Γ. Zapravo, dokazaćemo više: za svaku formulu A τ = A akko A Γ. (Indukcijom po složenosti A.)

19 Kompletnost 7 Teorema (Teorema kompletnosti za iskazni račun) Za sve skupove formula Σ i sve formule A, Σ = A akko Σ A. Teorema (Teorema kompaktnosti za iskaznu logiku) Skup iskaznih formula Σ ima model ako i samo ako svaki konačan podskup od Σ ima model.