FGM FGM. 2- Modify Smoothed Particle Hydrodynamics. 1- Functionally graded material

Transcript

1 9 فصلنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک جامدات / تابستان / 1388 سال دوم / شماره اول تحلیل ارتعاشات آزاد و اجباري استوانههایی ازجنس مواد هدفمند به روش بدون المان 1 رسول مرادي دستجردي * 2 مهرداد فروتن 3 امیناالله پوراصغر * نویسنده مسي ول: Foroutan@raziacir چکیده در این تحقیق تحلیل ارتعاشات آزاد و اجباري در استوانههایی از جنس مواد هدفمند به روشهاي بدون المان و المان محدود بررسی شده است روش بدون المان استفاده شده مبتنی بر فرم ضعیف معادله حرکت است در این روش بدون المان از توابع شکل حداقل مربعات متحرك براي تقریب میدان تغییر مکان و از روش تبدیل براي اعمال شرایط مرزي اساسی استفاده شده است براي حل مسي له وابسته به زمان نیز روش تقاضل محدود مرکزي بهکار رفته است تغییرات خواص مواد در راستاي شعاعی و طبق رابطه کسر حجمی در نظر گرفته شده است در این مقاله اثر ضخامت استوانه توان کسر حجمی توزیع مواد و همچنین اثر نوع بارگذاري بر مولفههاي ارتعاشی این استوانهها بررسی شد نتایج حاصل از دو روش بدون المان و المان محدود با یکدیگر و با کارهاي قبلی منتشر شده مقایسه و مطابقت بسیار خوبی مشاهده شد واژههاي کلیدي: مواد هدفمند روش بدون المان حداقل مربعات متحرك ارتعاشات تابع تبدیل 1- کارشناس ارشد باشگاه پژوهشگران جوان دانشگاه آزاد اسلامی واحد خمینیشهر 2- استادیار گروه مهندسی مکانیک دانشکده فنی- مهندسی دانشگاه رازي کرمانشاه 3- دانشجوي کارشناسی ارشد گروه مهندسی مکانیک دانشکده فنی- مهندسی دانشگاه رازي کرمانشاه

2 تحلیل ارتعاشات آزاد و اجباري استوانههایی ازجنس مواد هدفمند به روش بدون المان 0 استوانهاي FGM با تکیهگاههاي ساده را تحت چهار نوع 1- مقدمه مواد هدفمند 1 ) (FGM نخستین بار در سال 1984 توسط دانشمندان علم مواد ژاپنی براي دست یافتن به موادي با مقاومت حرارتی بالا معرفی شد[ ١ ] این مواد ابتدا تنها در سفینههاي فضایی و راکتورهاي هستهاي کاربرد داشتند ولی اکنون در تجهیزات پزشکی و دندان پزشکی تجهیزات تبدیل انرژي ژنراتورهاي حرارتی و سنسورهاي حرارتی نیز استفاده میشوند[ ٢ ] این مواد اکثرا از ترکیب دو ماده مختلف که معمولا یکی فلز و دیگري سرامیک است ساخته میشوند به طوري که خواص ترکیب حاصل به طور یکنواخت تغییر میکند در نتیجه در این مواد جزء حجمی مواد تشکیل دهنده به صورت تابعی یکنواخت تغییر کرده و باعث ایجاد میکروساختار غیر یکنواخت و یک ماکروساختار با تغییرات پیوسته میشود بیشتر تحقیقات صورت گرفته بر روي FGMها در زمینه ترمو-الاستیک و آنالیز تنشهاي پسماند است اما در بسیاري از کاربردهاي این مواد تحلیل رفتار دینامیکی آنها نیز اهمیت ویژهاي پیدا میکند که برخی از این تحقیقات صورت گرفته در زمینه رفتار ارتعاشی و دینامیکی استوانههاي FGM و استوانههاي چند لایه به شرح ذیل است لوي و همکارانش [٣] از تي وري تقریب مرتبه اول لاو و روش ریتز براي بررسی اثر ثابت کسر حجمی و اثر شرایط مرزي روي فرکانسهاي طبیعی استوانههاي FGM استفاده کردند پرادهان و همکارانش [٤] در تحقیقی مشابه با استفاده از تي وري لاو ارتعاشات پوسته استوانه FGM را با شرایط تکیهگاهی مختلف تحلیل و ارتباط فرکانسهاي طبیعی به دست آمده با خواص مواد مورد نظر را بررسی کردند در این تحقیق خواص ماده در راستاي ضخامت و طبق تابع توانی مدرج شده بود کادولی و گانسان [٥] کمانش حرارتی و آنالیز ارتعاشات آزاد استوانه FGM را با استفاده از تي وري تغییر شکل برشی مرتبه اول و با بسط سري فوریه متغیرهاي جابهجایی در جهت محیطی اراي ه کردند حدادپور و همکارانش [٦] ارتعاشات آزاد پوستههاي شرایط مرزي صفحهاي مورد تحلیل قرار دادند آنها مشخصههاي مواد را وابسته به دما و متغیر در جهت ضخامت در نظر گرفتند و مسي له را به روش گالرکین حل کردند انصاري و درویزه [٧] ارتعاشات آزاد پوسته استوانه FGM را تحت شرایط مرزي متنوع به روش تحلیلی (حل دقیق) بررسی کردند فرمولهاي آنها بر پایه تي وري تغییر شکل برشی مرتبه اول پوستهها بود و تغییرات خواص مواد در راستاي شعاع طبق رابطه تابع توانی و وابسته به دما فرض شد در این کار اثر تغییر شرایط مرزي تغییرات توان کسر حجمی و تغییرات پارامترهاي هندسی روي مشخصههاي ارتعاشی بررسی شد تحلیل دینامیکی و تحلیل مشخصهه يا انتشار موج نیز تاکنون به چندین روش مختلف انجام شده است که از آن جمله میتوان به موارد زیر اشاره کرد شاکري مسي له [٨] و همکارانش ارتعاشات و سرعت انتشار موج شعاعی استوانه FGM با طول بینهایت را به کمک روشه يا محدود گالرکین و روش نیومارك تحلیل کردند یک المان آنها استوانه را به چند زیر استوانه که خواص مکانیکی در آنها ثابت فرض شده تبدیل کردند و تحلیل خود را انجام دادند حسینی و همکارانش [٩] مسي له فوق را با روش مشابهی حل کردند و یل در هر لایه خواص مواد را متغیر در نظر گرفتند عسگري و همکارانش [١٠] آنالیز دینامیکی استوانهاي که خواص مکانیکی در آن در دو راستاي شعاعی و محوري تغییر میکرد FGM) ٢D) و طول محدودي داشت را با روش اجزا محدود گالرکین و قسمت وابسته به زمان آن را با استفاده از روش نیومارك تحلیل کردند اما از معدود کارهاي انجام شده در زمینه انتشار موج در FGMها نیز میتوان به کار ژانگ و باترا [١١] اشاره کرد آنها با استفاده از روش 2 MSPH انتشار موج الاستیک را در یک صفحه FGM بررسی کردند در این مقاله در کاري جدید ارتعاشات آزاد و اجباري استوانهاي FGM به روش بدون المان (و همچنین المان 2- Modify Smoothed Particle Hydrodynamics 1- Functionally graded material

3 1 فصلنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک جامدات / تابستان / 1388 سال دوم / شماره اول محدود) بررسی شده است به این منظور خواص مکانیکی ماده در راستاي شعاع متناسب با تغییرات کسر حجمی مواد متغیر در نظر گرفته شده است در این تحقیق اثر ابعاد هندسی استوانه تاثیر نوع بارگذاري (تغییر دامنه تغییر تعداد سیکل و تغییر نرخ بارگذاري) و از همه مهمتر نوع تغییرات خواص مکانیکی ماده بر مشخصهه يا ارتعاشی استوانه FGM بررسی شده است براي حل مسي له وابسته به زمان نیز از روش تفاضل محدود مرکزي استفاده شده است از آنجایی که روشهاي بدون المانی که بر پایه فرم 1 ضعیف هستند نسبت به روشهایی که فاقد انتگرالگیري هستند 2 مانند روش کالوکیشن از پایداري و دقت بهتري برخوردار میباشند لذا از روش بدون المانی استفاده شده که مبتنی انتگرالگیري بر فرم ضعیف معادله حرکت براي است از فرم ضعیف از شبکه پسزمینه و روش انتگرالگیري عددي گوس استفاده شده است این روش بدون المان بر پایه توابع شکل 3 MLS است و چون توابع شکل MLS خاصیت دلتاي کرونیکر را ارضاء نمیکنند براي اعمال شرایط مرزي اساسی ابتدا از روش تبدیل و با تصحیح مقادیر توابع شکل در گرهها به که گونهاي خاصیت دلتاي کرونیکر ارضا شود استفاده شده و شرایط مرزي اساسی اعمال میشود لازم به ذکر است که روش بدون المان به کار گرفته شده در این مقاله تا حد زیادي به روش بدون المان گالرکین (EFG) شباهت دارد با این تفاوت که براي اعمال شرایط مرزي اساسی از روش تبدیل استفاده شده است استفاده از تابع تبدیل در این روش بدون المان موجب کاهش ابعاد دستگاه معادلات و متعاقب آن کاهش حجم محاسبات نسبت به روش EFG میشود در روش المان محدود به کار گرفته شده نیز از حالت المان محدود سازگار به علت دقت بالاتر و المانهاي مربعی دو خطی استفاده شده است با توجه به اینکه روشه يا عددي قابلیت انعطاف زیادي روي حل اینگونه مسایل دارند لذا این تحقیق و نتایج آن براي طراحی مخازن و یا لولهه يا تحت فشار از جنس مواد هدفمند بسیار مناسب است 2- معادلات حاکم با توجه به اینکه روش بدون المان به کار گرفته شده بر پایه فرم ضعیف معادله تعادل میباشد لذا فرم ضعیف معادله تعادل در قالب قانون کار مجازي به شکل زیر بیان میشود ( ) d v F u ds ( r) u u dv (1) در این معادله u F u و بهترتیب بردار تنش بردار کرنش بردار نیروي خارجی بردار جابهجایی و بردار شتاب میباشند قسمتی از مرز ناحیه است که نیروي سطحی F بر آن اثر میکند مو لفه هاي بردارهاي تنش و کرنش در مساي ل متقارن محوري بشکل زیر هستند,,,,,, r z rz r z, rz (2) همچنین مو لفه هاي کرنش برحسب مو لفه هاي جابهجایی به صورت زیر تعریف میشوند u r r r u z z z u, r r ur u, z rz z r (3) بردار تنش با بردار کرنش به شکل زیر در ارتباط است: = D (4) که در مساي ل متقارن محوري ماتریس تعریف میشود: D (5) طبق رابطه زیر 1 E D ( 1 )( 1 2 ) E E( r), ( r) 1 1 ( 1 2 ) 2 3- فرمولبندي روش بدون المان توابع شکل MLS (حداقل مربعات متحرك) توسط لانکستر و سالکاوسکاس [١٢] معرفی شدهاند بر اساس این تقریب متغیر میدان u(x) داخل ناحیه Ω در نقطه به صورت زیر تقریب زده میشود û i X = [r,z] u (Χ) Φ i ûi (6) بردار مقادیر مجازي گرهها است و طبق رابطه زیر تعریف میشود û u ˆ, uˆ,, uˆ 1 2 n (7) 1- weak form 2- Collocation Method 3- Moving Least Square

4 تحلیل ارتعاشات آزاد و اجباري استوانههایی ازجنس مواد هدفمند به روش بدون المان 2 تابع شکل MLS گره X i در نقطه X است که به M ( X) 1 ( X X ) ( i P i i ( X ) P ( X) w X ) ( 11) و (Χ) i صورت زیر نوشته میشود: (8) در رابطه فوق P(X) بردار پایه و M(X) ماتریس مماناند که P(X)=[١ r z] n Μ ( Χ ) w( Χ Χ i ) Ρ ( Χ i ) Ρ Τ ( Χ i ) i 1 طبق رابطه زیر تعریف میشوند: (9- الف) ب- ( براي ایجاد تابع شکل در این مقاله از تابع وزن اسپیلاین مرتبه / 3 4q 4q 4 wq 4 3 4q 4q 2 q 3 / 3 x xi q 9) سوم طبق رابطه زیر استفاده شده است q 0/ 5 0/ 5 q 1 q 1 ( 10) بردار جابهجایی u در رابطه (1) براي مساي ل متقارن محوري و بهوسیله توابع شکل MLS میشود طبق رابطه زیر تقریب زده u [ u r, u z ] Φ û uˆ ( u ˆr ) 1, ( uˆ z ) 1,( uˆ r ) n, ( uˆ z ) n 1 Φ n n (11) بطوریکه: (12) (13) با استفاده از رابطه (11) براي تقریب بردار جابهجایی بردار کرنش بوسیله ترمهاي مقادیر مجازي گرهها به صورت زیر ε Buˆ Φ1 r Φ 1 B r Φ 1 z بیان میشود (14) به طوري که ماتریس B به صورت زیر تعریف میشود که در رابطه فوق n تعداد گرههاي موثر است با جایگذاري روابط (4) (11) و (14) در رابطه (1) نتیجه زیر حاصل (ˆ) u ( B DB dv)ˆ u (ˆ) u (ˆ) u ( dv ) u ˆ Φ F ds میشود (16) معادله (16) بهازاي هر بردار (ˆu) دلخواه برقرار است بنابراین معادله (16) را میتوان به این صورت نوشت و سپس دستگاه Mu ˆ kuˆ f M dv, f F ds MLS معادلات را دستهبندي نمود k B DB dv (17) که در آن : از آنجایی که توابع شکل فاقد خاصیت دلتاي (18) کرونیکر هستند لذا معادله (17) برحسب میدان جابهجایی تعمیم یافته اراي ه شده است پس به منظور اعمال شرایط مرزي اساسی باید ماتریس سختی و بردار نیرو در معادله (17) به صورت مناسب تغییر یابند روش تبدیل یکی از مهمترین روشهاي اعمال شرایط مرزي اساسی است در این روش بعد از تصحیح توابع شکل (ایجاد خاصیت دلتاي کرونیکر براي تابع شکل) میتوان با منطقی شبیه منطق اجزاء محدود شرایط مرزي اساسی را اعمال نمود[ ١٣ ] به این منظور بردار جابهجایی مجازي در معادله (17) برحسب میدان جابهجایی U uˆ واقعی گرهها این چنین بیان میشود U ( u r ) 1,( uz ) 1,,( ur ) N,( uz ) N (19) (20) ماتریس ماتریس انتقال نامیده میشود و به صورت زیر 1( x١) ( x ) 1 N 1( x١) 1( xn ) 2( x1) 2( xn ) 2( x1) تعریف میگردد N ( x1) N ( xn ) 2( xn ) N ( x1) N ( xn ) (21) با جایگذاري رابطه (19) در رابطه (17) خواهیم داشت Φ1 z Φ1 r Φ2 r Φ2 r Φ2 z Φ2 z Φ2 r Φn r Φn r Φn z Φn z Φ n r (15)

5 ب- ب- 3 فصلنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک جامدات / تابستان / 1388 سال دوم / شماره اول M 1 U k Τ ١ U f (22) که به راحتی میتوان شرایط مرزي اساسی را با منطقی مشابه منطق روش اجزا محدود در رابطه (22) اعمال کرد مسي له از حل مقدار ویژه فرکانسهاي طبیعی و شکل مودهاي سیستم حاصل میشود لازم به تذکر است که با توجه به اینکه مسي له به صورت دو بعدي (متقارن محوري) تحلیل میشود و براي هر گره دو درجه آزادي در نظر گرفته شده است لذا فرکانسهاي حاصله نیز متناظر با شکل مودهاي حالت متقارن محوري هستند اگر نیروي وابسته به زمانی در معادله (22) اعمال شود با فرض اینکه میدان جابهجایی و میدان سرعت در لحظه اولیه برابر با صفر در نظر گرفته شود معادله حاصل به یک مسي له مقدار اولیه تبدیل میشود در این مقاله براي حل این مسي له مقدار اولیه روش تفاضل محدود مرکزي (که حالت خاصی از روش نیومارك است) به علت دقت بسیار بالا سادگی در روابط و مهمتر از همه صریح بودن دستگاه معادلات حاصله به کار گرفته شده است در این روش براي حل سیستم معادلات در هر استپ زمانی ابتدا بردار شتاب طبق رابطه سپس میدان جابهجایی طبق رابطه (23 (23- الف) ب- (23- الف) و ( به دست میآید u t M 1 [ f t k u t ] ب- (23 u t dt dt 2 u t 2u t u t dt ( بدین ترتیب میدان جابهجایی سرعت و شتاب در هر لحظه به دست میآید [١٤] در این استوانه خواص مکانیکی از لایه داخلی تا لایه خارجی طبق رابطه (24 ( فلا- 24) ( تغییر میکند n r ri V f ( r) ro r i P P i V f ( r) P o P i ( 24) در روابط فوق خارجی) V f n یک عدد ثابت بیانگر کسر حجمی ماده (جنس لایه صفر از بزرگتر (ثابت کسر حجمی) P بیانگر خواص مکانیکی ماده (مدول الاستیسیته چگالی و ضریب پواسون) و اندیسه يا لایههاي داخلی و خارجی جسماند i و o به ترتیب بیانگر شکل (1) تغییرات کسر حجمی ماده به کار رفته در شعاع خارجی استوانه را به ازاي توانه يا مختلف کسر حجمی نشان میدهد مشاهده میشود که با افزایش مقدار توان کسر حجمی درصد ماده به کار رفته در لایه خارجی کاهش مییابد 4- مثاله يا حل شده و نتایج آن براي تحلیل ارتعاشات استوانهه يا FGM استوانهاي با شعاع داخلی r i شعاع خارجی r o و طول L در نظر گرفته شده است (SiC) این استوانه از ترکیب سرامیک (سیلیکون کاربید) یا سیلیکون نیترید ) ٤ (Si ٣ N در لایه داخلی و فلز فولاد ضدزنگ (SUS٣٠٤) در لایه خارجی تشکیل شده است که خواص مکانیکی آنها در جدول (1) آمده است ماده جدول (1) خواص اجزا FGM E(GPa) خواص شکل (1) نمودار کسر حجمی ماده به کار رفته در سطح خارجی استوانه ارتعاشات آزاد استوانه FGM براي یک روش حل عددي چک کردن دقت همگرایی و قدرت روش بسیار مهم است لذا ابتدا همگرایی مسي له براي استوانه توپر با نسبت طول به شعاع = ٤ o L/r و از جنس یک ماده همگن با ضریب پواسون ٠=υ / ٣ در حالی که استوانه کاملا آزاد است بررسی شده است به این منظور در جدول صورت چهار (2) مقدار اول پارامتر فرکانس که به r o / G (که G مدول برشی میباشد) تعریف میشود دستهبندي شده و با مراجع مربوطه مقایسه شده است جوابها براي سه حالت آرایش گرهاي 16 6 ρ(kg/m ٣ ) ٣٢١٠ ٢٣٧٠ ٨١٦٦ ν 0/17 0/24 0/3177 ٤٢٧ 322/27 207/78 (SiC) (Si ٣ N ٤ ) (SUS٣٠٤)

6 و 3 تحلیل ارتعاشات آزاد و اجباري استوانههایی ازجنس مواد هدفمند به روش بدون المان 4 Si ٣N ٤ 1/6533 1/6533 2/2304 2/2309 2/4564 2/4570 2/8233 2/8225 3/4753 3/4741 ( r o c / Gc جدول (3) پنج مقدار پارامتر فرکانس ) اول براي استوانه FGM دو سر گیردار r i / r o= ٠ / ٥, L / r o =٣ n=١٠ 1/4373 1/4350 1/9790 1/9767 2/1549 2/1519 2/4962 2/4915 2/9397 2/9321 n=١ 0/9707 0/9708 1/3795 1/3798 1/5059 1/5062 1/7240 1/7236 1/9954 1/9945 n=٠ /١ 0/7537 0/7542 1/0433 1/0444 1/1537 1/1549 1/2950 1/2958 1/6116 1/6108 SUS٣٠٤ 0/7164 0/7166 0/9806 0/9808 1/0884 1/0887 1/2168 1/2166 1/5170 1/5150 Ω ١ Ω ٢ Ω ٣ Ω ٤ Ω ٥ و (که به ترتیب بیانگر تعداد گرهها در راستاهاي شعاعی و محوري میباشد) در روش بدون المان و المان محدود آورده شده است در حالی که از فرکانسه يا صفر که بیانگر حرکت جسم صلب است صرفنظر شده است از جدول (2) مشخص میشود که هر دو روش بدون المان و المان محدود به سرعت همگرا میشوند ضمن اینکه ملاحظه میشود همگرایی و دقت روش بدون المان نسبت به المان محدود خصوصا در فرکانسه يا بالاتر بیشتر است جدول (2) همگرایی و مقایسه چهار پارامتر فرکانس اول براي ارتعاشات (L/r تقارن محوري یک استوانه توپر همگن آزاد (٤ = روش حل Ω ٤ 3/ /84032 Ω ٣ 3/ /99490 Ω ٢ 2/ /89736 Ω ١ 1/ /24937 ٦١٦ ( r o c اول / Gc جدول (4) پنج مقدار پارامتر فرکانس ) براي استوانه FGM دو سر گیردار 3/ / / / / / / /24759 ١١٣١ r i / r o = ٠/٧٥, L / r o = ٣ Si ٣N ٤ n=١٠ n=١ n=٠/١ SUS٣٠٤ 1/6137 1/4280 0/9700 0/7313 0/6902 Ω ١ 1/6139 1/8532 1/8534 1/4262 1/6528 1/6510 0/9702 1/1433 1/1435 0/7320 0/8616 0/8624 0/6904 0/8119 0/8120 Ω ٢ 3/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / /24699 مرجع [١٥] مرجع [١٦] مرجع [١٧] ٢١٦١ 2/0158 2/0163 2/2045 2/2042 2/7094 2/7050 1/7861 1/7840 1/9594 1/9565 2/3974 2/3898 1/2428 1/2431 1/3584 1/3584 1/6644 1/6620 0/9518 0/9526 0/9498 1/0185 1/2533 1/2526 0/9004 0/9006 0/9536 0/9536 1/1780 1/1771 Ω ٣ Ω ٤ Ω ٥ ) در جدولهاي (3) و (4) پنج مقدار پارامتر فرکانس اول ( r o c / Gc براي استوانه FGM گیردار-گیردار که لایه داخلی آن سیلیکون نیترید و لایه خارجی آن فولاد ضد زنگ است به ازاي مقادیر مختلف توان کسر حجمی اراي ه شده است در این جداول تاثیر پارامتر هندسی نسبت شعاع داخلی به شعاع خارجی بر فرکانسها بررسی شده است از نتایج استنباط میشود افزایش ضخامت باعث افزایش مقدار فرکانس طبیعی می شود از طرفی از مقادیر اراي ه شده در جدولهاي (3) و (4) ملاحظه میشود مقادیر فرکانسها براي استوانه FGM بین مقادیر متناظر وقتی که استوانه از جنس سیلیکون کاربید خالص یا فولاد ضد زنگ خالص باشد محدود شده است از طرفی افزایش مقدار ثابت کسر حجمی باعث افزایش درصد حجمی سرامیک در استوانه و همچنین افزایش مدول الاستیسیته سیستم میشود در نتیجه سختی سیستم افزایش یافته و به دنبال آن مقدار به پارامتر فرکانس نیز افزوده میشود که مقادیر جداول ) نیز چنین روندي را نشان میدهند ارتعاشات اجباري استوانه FGM براي تحلیل ارتعاشات اجباري یک استوانه FGM با طول بلند (شرایط کرنش صفحهاي) در نظر گرفته شده است براي اینکه این استوانه حرکت جسم صلب نداشته باشد دو طرف استوانه در دو جهت مهار شده است در این مقاله تاثیر پارامترهایی نظیر توان کسر حجمی ماده FGM ضخامت استوانه و نوع بارگذاري بر ارتعاشات اجباري بررسی شده است براي بررسی این اثرات چهار مدل بارگذاري به صورت فشار به سطح داخلی استوانه اعمال میشود که به ترتیب در 4) روابط (25) تا (28) اراي ه شده است

7 5 فصلنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک جامدات / تابستان / 1388 سال دوم / شماره اول 5 P i 10sin ( t ) 0/ 5 P i 5sin ( t ) 0/ 5 Pi 10sin ( t ) 0/ Pi 2 Pi 10sin ( t ) 0/ Pi t 0/ 0006 t 0/ 0006 t 0/ t 0/ (25) (26) (27) (28) در روابط فوق P i MPa و t زمان برحسب ثانیه است فشار داخلی اعمالی به استوانه برحسب استوانه FGM با شعاع داخلی = ٠ / ٢٥ m i r خارجی = ٠ / ٥ m o r و شعاع که داراي طول بلند (شرایط کرنش صفحهاي) باشد را در نظر بگیرید در این استوانه خواص مکانیکی مواد تشکیل دهنده از سطح داخلی که سیلیکون کاربید خالص است تا سطح خارجی که فولاد ضدزنگ است طبق رابطه (24) تغییر میکند توان کسر حجمی در این رابطه برابر = ٠ /,١,١ ١٠ n در نظر گرفته میشود این استوانه تحت فشار داخلی وابسته به زمان طبق رابطه (25) قرار میگیرد تاریخچه زمانی جابهجایی (ارتعاشات) نقطهاي واقع در شعاع میانی استوانه = ٠ / ٣٧٥ m r در جهت شعاعی طبق شکل (2) است با مشاهده این شکل مشخص میشود که با افزایش توان کسر حجمی از 0/1 به 10 بهدلیل اینکه میزان سرامیک که داراي مدول الاستیسیته بالاتري است بیشتر میشود دامنه ارتعاشات کاهش مییابد شکل (2) ارتعاشات شعاعی نقطهاي واقع در شعاع میانی استوانه FGM تحت بارگذاري رابطه (25) اگر فشار داخلی وابسته به زمان استوانه FGM ذکر شده طبق رابطه (26) تغییر داده شود به طوري که دامنه تغییرات فشار داخلی نسبت به قبل تا نصف کاهش یابد ارتعاشات نقطهاي در شعاع میانی استوانه = ٠ / ٣٧٥ m r با مقدار توان کسر حجمی = ٠ / ١, ١, ١٠ n در شکل (3) اراي ه شده است از این شکل نیز کاهش دامنه ارتعاشات شعاعی بواسطه افزایش مقدار توان کسر حجمی قابل استنباط است از طرفی با مقایسه این شکل با شکل (2) ملاحظه میشود که با نصف شدن دامنه بارگذاري از ١٠ MPa به ٥ MPa دامنه ارتعاشات نیز تقریبا نصف میشود شکل (3) ارتعاشات شعاعی نقطهاي واقع در شعاع میانی استوانه FGM تحت بارگذاري رابطه (26) براي بررسی اثر تعداد سیکل بارگذاري بر ارتعاشات فشار داخلی وابسته به زمان طبق رابطه (27) اعمال میشود این مدل بارگذاري تا قبل از زمان ٦(ms) = /٠ t دقیقا شبیه بارگذاري رابطه (25) است ولی در زمانهاي بعد از آن بارگذاري حذف میشود با مقایسه جوابهاي حاصل از این دو مدل بارگذاري میتوان اثر تعداد سیکل را بر ارتعاشات این استوانه بررسی کرد ارتعاشات نقطهاي واقع در شعاع میانی این استوانه FGM در شکل شده (4) نشان داده است اثر افزایش توان کسر حجمی n مانند قبل کاهش دامنه ارتعاشات است در حالیکه براي اثر تعداد سیکل نیز میتوان بیان کرد که تا زمانی که نوع بارگذاري یکسان است (ms)) ٦ < ٠ / t) به دلیل اینکه نوع استوانه و شرایط آن یکسان است دو استوانه ارتعاشات یکسانی از خود

8 تحلیل ارتعاشات آزاد و اجباري استوانههایی ازجنس مواد هدفمند به روش بدون المان 6 نشان میدهند اما در لحظات پس از آن (ms)) ٦ > ٠ / t) براي مقدار توان کسر حجمی =,١ ١٠ n دامنه ارتعاشات استوانهاي که تحت بار سیکلیک قرار گرفته (شکل (2)) بزرگتر میشود در حالیکه براي = ٠ / ١ n عکس این قضیه اتفاق میافتد در نظر داشته باشید که این اتفاق میتواند به دلیل یکسان نبودن سرعت انتشار موج در این استوانهها باشد میشود که با افزایش ضخامت استوانه دامنه ارتعاشات استوانه کاهش مییابد شکل (5) ارتعاشات شعاعی نقطهاي واقع در شعاع میانی استوانه FGM تحت بارگذاري رابطه (28) شکل (4) ارتعاشات شعاعی نقطهاي واقع در شعاع میانی استوانه FGM تحت بارگذاري رابطه (27) براي بررسی اثر پریود بارگذاري (نرخ بارگذاري) فشار داخلی طبق رابطه (28) به شعاع داخلی استوانه اعمال میشود ارتعاشات شعاعی نقطه میانی این استوانه طبق شکل (5) خواهد بود از مقایسه دو شکل (4 و) (5) میتوان اثر این پارامتر نرخ بارگذاري را مشاهده نمود ملاحظه میشود که هر دو شکل در لحظاتی که بار به آنها اعمال میشود ارتعاشاتی متناسب با بارگذاري دارند و از طرفی مقدار ماکزیمم جابهجایی در استوانهاي که تحت بارگذاري با نرخ بیشتري قرار دارد بزرگتر از استوانه دیگر است لذا هرچه نرخ بارگذاري بالاتر باشد مقدار ماکزیمم جابهجایی نیز افزایش مییابد این بار ارتعاشات استوانهاي با شعاع داخلی = ٠ / ١٢٥ m i r شعاع خارجی = ٠ / ٥ m o r و طول بلند تحت فشار داخلی وابسته به زمان طبق رابطه (25) در نظر گرفته میشود خواص مکانیکی این استوانه مانند قبل تغییر میکند لذا از مقایسه ارتعاشات نقطه میانی این استوانه در شکل (6) با شکل (2) میتوان اثر تغییر ضخامت استوانه را بررسی کرد ملاحظه شکل (6) ارتعاشات شعاعی نقطهاي واقع در شعاع میانی استوانه FGM 5- نتیجهگیري ضخیمتر تحت بارگذاري رابطه (24) ارتعاشات آزاد و اجباري در یک استوانه FGM تحت فشار داخلی تحلیل شد تغییرات مواد در راستاي شعاع و به صورت ضریبی از کسر حجمی مواد بود براي مدلسازي و شبیهسازي معادلات حاکم روشهاي بدون المان و المان محدود به کار گرفته شد روش بدون المان مبتنی بر فرم ضعیف معادله حرکت بود و میدان تغییر مکان توسط توابع شکل MLS تقریب زده شده و شرایط مرزي اساسی به روش تبدیل اعمال شد در این تحقیق اثر توان کسر حجمی و شرایط هندسی و نوع بارگذاري بر پارامترهاي ارتعاشی سیستم به دست آمد از

9 7 فصلنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک جامدات / تابستان / 1388 سال دوم / شماره اول [٨] Shakeri M, Akhlaghi M, Hoseini SM, Vibration and radial wave propagation velocity in functionally graded thick hollow cylinder, Compos Struct, ٧٦, ٢٠٠٦, pp ١٧٤-١٨١ [٩] Hosseini SM, Akhlaghi M, Shakeri M, Dynamic response and radial wave propagation velocity in thick hollow cylinder made of functionally graded materials Int J Comput Aid Eng Software, ٢٤, ٢٠٠٧, pp ٢٨٨-٣٠٣ [١٠] Asgari M, Akhlaghi M, Hosseini S M, Dynamic analysis of two-dimensional functionally graded thick hollow cylinder with finite length under impact loading, Acta Mech, ٢٠٨, ٢٠٠٩, pp ١٦٣-١٨٠ [١١] Zhang GM, Batra RC, Wave propagation in functionally graded materials by modified smoothed particle hydrodynamics (MSPH) method, J Comput Phys, ٢٢٢, ٢٠٠٧, pp ٣٧٤-٣٩٠ [١٢] Lancaster P, Salkauskas K, Surface Generated by Moving Least Squares Methods, Math Comput, ٣٧, ١٩٨١, pp ١٤١-١٥٨ [١٣] Li S, Liu WK, Meshfree and particle methods and their applications, Appl Mech Rev, ٥٥, ٢٠٠٢, pp ١-٣٤ [١٤] Belytschko Liu W K, Belytschko, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, John Wiley & Sons, ٢٠٠٠, p ٣١٨ [١٥] Zhou D, Cheung YK, Lo SH, Au FK, ٣D vibration analysis of solid and hollow circular cylinders via Chebyshev Ritz method Comput Methods Appl Mech Engrg, ١٩٢, ٢٠٠٣, pp ١٥٧٥-١٥٨٩ [١٦] Hutchinson JR, Comments on, Accurate vibration frequencies of circular cylinders from three-dimensional analysis, J Acoust Soc Am, ١٠٠, ١٩٩٦, pp ١٨٩٤ ١٨٩٥ [١٧] Leissa AW, So J, Accurate vibration frequencies of circular cylinders from three dimensional analysis, J Acoust Soc Am, ٩٨, ١٩٩٥, pp ٢١٣٦ ٢١٤١ مقایسه نتایج به دست آمده از دو روش اجزا محدود و بدون المان با مراجع مذکور مشخص شد هر دو روش استفاده شده در این مقاله از دقت مناسبی برخورداراند و همچنین دقت روش بدون المان به مراتب بالاتر از روش المان محدود است همچنین نتایج به دست آمده پتانسیل بسیار خوبی براي طراحی و بهینهسازي چنین استوانههایی را دارا است فرکانسهاي طبیعی و مقادیر ماکزیمم دامنه جابهجاییها میتواند با انتخاب صحیح پروفیل توزیع مواد اصلاح شوند که از مهمترین نتایج در مواد FGM است 6- مراجع [١] Koizumi M, he concept of FGM Ceram, rans Function Graded Material, ٣٤, ١٩٩٣, pp ٣ ١٠ [٢] Kashtalyan M, hree-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates, Eur J Mech A Solid, ٢٣, ٢٠٠٤, pp ٨٥٣ ٨٦٤ [٣] Loy C, Lam KY, Reddy JN, Vibration of functionally graded cylindrical shells, Int J Mech Sci, ٤١, ١٩٩٩, pp ٣٠٩ ٣٢٤ [٤] Pradhan SC, Loy C, Reddy JN, Vibration characteristics of functionally graded cylindrical shells under various boundary conditions, Appl Acoust, ٦١, ٢٠٠٠, pp ١١١ ١٢٩ [٥] Kadoli R, Ganesan K, Buckling and free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells subjected to a temperaturespeciefied boundary condition, J Sound Vib, ٢٨٩, ٢٠٠٦, pp ٤٥٠ ٤٨٠ [٦] Haddadpour H, Mahmoudkhani S, Navazi HM, Free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells including thermal effects, hin-walled Structures, ٤٥, ٢٠٠٧, pp ٥٩١-٥٩٩ [٧] Ansari R, Darvizeh M, Prediction of dynamic behaviour of FGM shells under arbitrary boundary conditions, Compos Struct, ٨٥, ٢٠٠٨, pp ٢٨٤ ٢٩٢

10 تحلیل ارتعاشات آزاد و اجباري استوانههایی ازجنس مواد هدفمند به روش بدون المان 8