Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ενότητα: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Common Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους

3 Αναλογικά Φίλτρα - Ταξινόμηση 4 Φίλτρα ενός πόλου ( ου βαθμού) 5 Βαθυπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού 6 Υψιπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού 7 3 Ολοπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού 8 4 Άσκηση 5 Άσκηση Φίλτρα δύο πόλων ( ου βαθμού) Βαθυπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού Υψιπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού 4 3 Ζωνοπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού 5 4 Ζωνοφρακτικό φίλτρο δευτέρου βαθμού 6 5 Ολοπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού 7 ΤΟ LC ΚΥΚΛΩΜΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 9 Υλοποίηση μηδενικών διέλευσης 9 Υλοποίηση βαθυπερατής συνάρτησης 3 Υλοποίηση υψιπερατής συνάρτησης 4 Υλοποίηση ζωνοπερατής συνάρτησης 5 Υλοποίηση ζωνοφρακτικής συνάρτησης 6 Υλοποίηση ολοπερατής συνάρτησης 7 Άσκηση Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 3 Πρόβλημα Πρόβλημα Πρόβλημα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3 3

4 Αναλογικά Φίλτρα - Ταξινόμηση Τα ηλεκτρονικά φίλτρα χρησιμοποιούνται για την επιλεκτική καταπίεση ή, αντίστοιχα, διέλευση ενός εύρους συχνοτήτων Τα φίλτρα διακρίνονται σε διάφορες κατηγορίες: - Τα βαθυπερατά φίλτρα επιτρέπουν την διέλευση ενός εύρους συχνοτήτων με αρχή την DC συνιστώσα του σήματος, και καταπιέζουν τις υψηλότερες συχνότητες - Τα υψιπερατά φίλτρα επιτρέπουν την διέλευση συχνοτήτων από μια συχνότητα και πάνω, ενώ καταπιέζουν τις χαμηλότερες συχνότητες Στην πράξη τα υψιπερατά φίλτρα δεν έχουν άπειρο εύρος ζώνης λόγω των περιορισμών που επιβάλλονται από τα ηλεκτρονικά κυκλώματα με τα οποία τα υλοποιούμε - Τα ζωνοπερατά φίλτρα επιτρέπουν την διέλευση ενός εύρους μεταξύ δύο συχνοτήτων, ενώ καταπιέζουν όλες τις άλλες συχνότητες, είτε υψηλότερες είτε χαμηλότερες - Τα ζωνοφρακτικά φίλτρα καταπιέζουν ένα εύρος μεταξύ δύο συχνοτήτων, ενώ επιτρέπουν την διέλευση όλων των άλλων συχνοτήτων, είτε υψηλότερων είτε χαμηλότερων - Τα ολοπερατά φίλτρα επιτρέπουν την διέλευση όλων των συχνοτήτων και χρησιμοποιούνται με στόχο τον καθορισμό των χαρακτηριστικών φάσης ενός σήματος Όπως και τα υψιπερατά, τα ολοπερατά φίλτρα δεν έχουν άπειρο εύρος ζώνης λόγω των περιορισμών που επιβάλλονται από τα ηλεκτρονικά κυκλώματα με τα οποία τα υλοποιούμε Σημειώνεται ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός οποιουδήποτε συστήματος, άρα και των φίλτρων, ορίζεται ως η απόκριση του συστήματος, δηλαδή ο λόγος του σήματος εξόδου προς το σήμα εισόδου στο πεδίο των συχνοτήτων: Vo() Vo( j), T( j) V() V( j) i Η συνάρτηση μεταφοράς είναι μιγαδικός αριθμός, δηλαδή έχει μέτρο και φάση: T( j) T( j) exp( j( )) Επίσης, πολύ συχνά, η συνάρτηση μεταφοράς είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση της μορφής M am a a N b b M M N N i 4

5 Σε μια τέτοια περίπτωση θα πρέπει N M, αλλιώς θα είναι T( j) όταν Το κέρδος και η εξασθένηση ενός συστήματος σε db ορίζονται από τις εξισώσεις: G( j) log T( j), A( j) log T( j) Όπως φαίνεται στο Σχήμα, το σήμα εξόδου ενός συστήματος στο πεδίο των συχνοτήτων δίνεται από το γινόμενο του σήματος εισόδου επί την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος Έτσι, στο παρατηρούμε την επίδραση του πλάτους της συνάρτησης μεταφοράς στο πλάτος του σήματος εξόδου συναρτήσει της συχνότητας, ενώ στο παρατηρούμε την επίδραση και του πλάτους και της στροφής φάσης της συνάρτησης μεταφοράς στο σήμα εξόδου για μια συχνότητα Σχήμα : Το σήμα εξόδου ενός συστήματος στο πεδίο των συχνοτήτων δίνεται από το γινόμενο του σήματος εισόδου επί την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος: (α) απεικόνιση πλατών συναρτήσει της συχνότητας (β) απεικόνιση μιγαδικών σε μια συχνότητα μόνο Συνεπώς, το μέτρο του σήματος εξόδου θα είναι το γινόμενο του μέτρου του σήματος εισόδου επί το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς, ενώ η φάση του σήματος εξόδου θα είναι το άθροισμα της φάσης του σήματος εισόδου επί την στροφή φάσης του συστήματος (ή, ισοδύναμα, επί την φάση της συνάρτησης μεταφοράς): V ( j) T( j) V ( j), ( ) ( ) ( ) O in O T in Φίλτρα ενός πόλου ( ου βαθμού) Η γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς για τα φίλτρα ενός πόλου (στην βιβλιογραφία αναφέρονται ως πρώτου βαθμού, ενός πόλου ή πρώτης τάξης) δίνεται από την εξίσωση a a Η συνάρτηση αυτή αναφέρεται ως διγραμμική συνάρτηση μεταφοράς επειδή αποτελείται από μια γραμμική συνάρτηση στον αριθμητή και μια γραμμική 5

6 συνάρτηση στον παρονομαστή Η φυσική συχνότητα συντονισμού της διγραμμικής συνάρτησης είναι η συχνότητα του πόλου της, δηλαδή Επίσης, περιέχει ένα a μηδενικό διέλευσης στο σημείο Τέλος, το κέρδος υψηλών συχνοτήτων της a είναι ίσο με a Βαθυπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού Όπως φαίνεται από το Σχήμα, η συνάρτηση μεταφοράς ενός βαθυπερατού φίλτρου πρώτου βαθμού δίνεται από την εξίσωση a Σχήμα : Βαθυπερατά φίλτρα ου βαθμού Το φίλτρο αυτό μπορεί να υλοποιηθεί με παθητικά στοιχεία, όπως φαίνεται στο σχήμα Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι ίση με Άρα θα ισχύει / C / C / C C / C A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 3(α) 6

7 , T( j( )), T( j) C Επίσης, μπορεί να υλοποιηθεί με ενεργά στοιχεία όπως φαίνεται στο σχήμα, οπότε η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι ίση με Άρα θα ισχύει // () C C C T C / C, T( j( )), C T( j) Υψιπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού Όπως φαίνεται από το Σχήμα Σχήμα 3, η συνάρτηση μεταφοράς ενός υψιπερατού φίλτρου πρώτου βαθμού δίνεται από την εξίσωση a Το φίλτρο αυτό μπορεί να υλοποιηθεί με παθητικά στοιχεία, όπως φαίνεται στο σχήμα Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι ίση με Άρα θα ισχύει C / C C / C, T( j( )), T( j) C Επίσης, μπορεί να υλοποιηθεί με ενεργά στοιχεία όπως φαίνεται στο σχήμα, οπότε η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι ίση με Άρα θα ισχύει / C / C C / C, C T( j( )), ( ) T j 7

8 Σχήμα 3: Υψιπερατά φίλτρα ου βαθμού 3 Ολοπερατό φίλτρο πρώτου βαθμού Όπως φαίνεται από το Σχήμα Σχήμα 4, η συνάρτηση μεταφοράς ενός ολοπερατού φίλτρου πρώτου βαθμού δίνεται από την εξίσωση a, a Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς θα είναι ίσο με T( j) a j j, αλλά επειδή j j, τελικά θα ισχύει ότι T( j) a A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 3(β) 8

9 Άρα, το φίλτρο αυτό επιτρέπει την διέλευση όλων των συχνοτήτων και επιδρά μόνο στο προφίλ φάσης του σήματος εισόδου Σχήμα 4: Ολοπερατά φίλτρα ου βαθμού 3 Το φίλτρο αυτό μπορεί να υλοποιηθεί με παθητικά στοιχεία, όπως φαίνεται στο σχήμα Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι ίση με / C C / C C ( C ) ( C ) / C C C ( C ) C / C Άρα θα ισχύει ενώ θα έχουμε επίπεδο κέρδος ίσο με 5 C 3 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 3(γ) 9

10 Επίσης, μπορεί να υλοποιηθεί με ενεργά στοιχεία όπως φαίνεται στο σχήμα Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι ρεύμα i ρέει μέσω της από τον ακροδέκτη V προς τον ακροδέκτη u Ισχύει: V i i V i V V i i Επίσης, V i u, αλλά u u, αφού διαφορετικά V, οπότε V i u Όμως, αφού προκύπτει ότι / C u Vi Vi / SC C, V V i V i u V Vi C V V C C V C V ( C ) C i i Άρα, και επίπεδο κέρδος = C / C / C 4 Άσκηση Υλοποιήστε υψιπερατό φίλτρο με =kω, ωο=^4, και κέρδος υψηλών συχνοτήτων = ΛΥΣΗ: Κέρδος υψηλών = /=, και αφού =kω, παίρνουμε =kω Επίσης, ωο=/*c, οπότε παίρνουμε ^4=/*^3*C => C=*^-7 = *^-6 => C=μF

11 5 Άσκηση Σχεδιάστε ενεργό ολοπερατό φίλτρο με ολίσθηση φάσης 9 μοίρες για ωο=^3 ΛΥΣΗ: ωο = /C, έστω =kω, οπότε C=/*^3*^3 => C=μF Επιλέγουμε για ομοιομορφία =kω Φίλτρα δύο πόλων ( ου βαθμού) Η γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς για τα φίλτρα δύο πόλων δίνεται από την εξίσωση a aa ( / Q) Η συνάρτηση αυτή αναφέρεται ως διτετράγωνη συνάρτηση μεταφοράς Οι φυσικές συχνότητες (ή πόλοι) αυτής της συνάρτησης δίνονται από την εξίσωση 4 4 Q Q p p, Q 4Q Η διακρίνουσα του τριωνύμου του παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς θα δίνεται από την εξίσωση ιακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 4Q Αν τότε η συνάρτηση μεταφοράς έχει δύο πραγματικούς πόλους Αν τότε η συνάρτηση μεταφοράς έχει έναν διπλό πραγματικό πόλο 3 Αν Αν τότε η συνάρτηση μεταφοράς έχει δύο (συζυγείς) μιγαδικούς πόλους Αυτό συμβαίνει όταν Q Q, 4Q 4Q 4 οπότε θα ισχύει ότι p, p j Q 4Q

12 Σχήμα 5: Μιγαδικοί πόλοι στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο 4 Το Σχήμα 5 απεικονίζει την 3 η περίπτωση όπου έχουμε δύο μιγαδικούς πόλους Και για τους δύο πόλους θα ισχύει ότι η απόστασή τους από την αρχή των αξόνων θα είναι ίση με Επίσης, η απόστασή τους από τον κατακόρυφο άξονα θα είναι ίση με Η απόσταση αυτή εκφράζει την επιλεκτικότητα του φίλτρου (μεγάλο Q Q συνεπάγεται μικρή απόσταση από τον κατακόρυφο άξονα και ταυτόχρπονα μεγάλη επιλεκτικότητα), αλλά επίσης εκφράζει και το περιθώριο ευστάθειας (μεγάλο Q συνεπάγεται μικρή απόσταση, η οποία συνεπάγεται μικρότερο περιθώριο ευσταθούς λειτουργίας, άρα είναι πιο εύκολο να παρουσιαστεί ταλάντωση) Ο συντελεστής Q ονομάζεται συντελεστής ποιότητας του φίλτρου Ακόμη σημειώνεται ότι τα μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς καθορίζονται από τον αριθμητή, επομένως ο αριθμητής του κλάσματος είναι εκείνος που καθορίζει το είδος του φίλτρου (βαθυπερατό, υψιπερατό, ζωνοπερατό, ζωνοφρακτικό, ολοπερατό) Βαθυπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού Όπως φαίνεται από το Σχήμα 6, η συνάρτηση μεταφοράς ενός βαθυπερατού φίλτρου δευτέρου βαθμού δίνεται από την εξίσωση a ( / Q) a Παρατηρούμε ότι το κέρδος DC είναι ίσο με T (), ενώ υπάρχουν δύο μηδενικά διέλευσης καθώς, δηλαδή ισχύει ότι ( T (j ) 4 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 5

13 Σχήμα 6: Βαθυπερατά φίλτρα ου βαθμού 5 Η κορυφή που εμφανίζεται στο σχήμα παρουσιάζεται μόνο όταν Q /, ενώ η απόκριση του φίλτρου για Q / είναι πολλαπλώς επίπεδη επειδή τότε ισχύει ότι max Επίσης ισχύει ότι ja Q T ( ), οπότε T ( )/Tmax Έτσι, προκύπτει 4Q ότι όταν Q / τότε T ( )/Tmax 5 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 6(α) 3

14 Υψιπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού Όπως φαίνεται από το Σχήμα 7, η συνάρτηση μεταφοράς ενός υψιπερατού φίλτρου δευτέρου βαθμού δίνεται από την εξίσωση a ( / Q) Παρατηρούμε ότι το κέρδος DC είναι ίσο με T (), και μάλιστα υπάρχουν δύο μηδενικά διέλευσης στο Από την άλλη, στις υψηλές συχνότητες ισχύει ότι T(j ) a ( Σχήμα 7: Υψιπερατά φίλτρα ου βαθμού 6 Το υψιπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού χαρακτηρίζεται από δυαδικότητα σε σχέση με το βαθυπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού Έτσι, κορυφή εμφανίζεται μόνο όταν Q /, ενώ η απόκριση για Q / είναι πολλαπλώς επίπεδη, επειδή τότε ισχύει ότι max 6 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 6(β) 4

15 3 Ζωνοπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού Όπως φαίνεται από το Σχήμα 8, η συνάρτηση μεταφοράς ενός ζωνοπερατού φίλτρου δευτέρου βαθμού δίνεται από την εξίσωση a ( / Q) Παρατηρούμε ότι τόσο το κέρδος DC όσο και το μέτρο της απόκρισης στις υψηλές συχνότητες είναι ίσα με T(j ) Επίσης, υπάρχει μια κορυφή στο σημείο max Σχήμα 8: Ζωνοπερατά φίλτρα ου βαθμού 7 Το εύρος ζώνης του φίλτρου καθορίζεται από τις συχνότητες όπου η απόκριση έχει μέτρο ακριβώς το 77 του μέγιστου μέτρου της (άρα, η ισχύς εξόδου γίνεται ακριβώς η μισή, αφού η τετραγωνική ρίζα του 5 είναι το 77) Οι συχνότητες ημίσειας ισχύος του φίλτρου δίνονται από την εξίσωση 7 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 6(γ) 5

16 οπότε το εύρος ζώνης θα είναι ίσο με, /4Q, Q BW Q Παρατηρούμε ότι όσο το Q αυξάνεται τόσο το εύρος ζώνης μειώνεται, άρα το φίλτρο γίνεται πιο επιλεκτικό 4 Ζωνοφρακτικό φίλτρο δευτέρου βαθμού Όπως φαίνεται από το Σχήμα 9, η συνάρτηση μεταφοράς ενός ζωνοφρακτικού φίλτρου δευτέρου βαθμού δίνεται από την εξίσωση a Q ( / ) Σχήμα 9: Ζωνοφρακτικά φίλτρα ου βαθμού 8 8 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 6(δ) 6

17 Ουσιαστικά, δηλαδή, ισχύει ότι a Επίσης, παρατηρούμε ότι τόσο το κέρδος DC όσο και το μέτρο της απόκρισης στις υψηλές συχνότητες είναι ίσα με T(j ) a Επίσης, υπάρχει ένας διπλός μηδενισμός στο σημείο min Το εύρος ζώνης του φίλτρου είναι BW Q Παρατηρούμε ότι, όπως και στην περίπτωση του ζωνοπερατού φίλτρου, όσο το Q αυξάνεται τόσο το εύρος ζώνης μειώνεται, δηλαδή το φίλτρο γίνεται πιο επιλεκτικό 5 Ολοπερατό φίλτρο δευτέρου βαθμού Όπως φαίνεται από το Σχήμα, η συνάρτηση μεταφοράς ενός ολοπερατού φίλτρου δευτέρου βαθμού δίνεται από την εξίσωση T ( / Q) () a Q ( / ) 7

18 Σχήμα : Ολοπερατά φίλτρα ου βαθμού 9 ηλαδή ισχύει ότι a και a ( / Q) Το ολοπερατό φίλτρο έχει ένα επίπεδο κέρδος ίσο με a, και επηρεάζει μόνο το προφίλ φάσης του σήματος εξόδου 9 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 6(ζ) 8

19 ΤΟ LC ΚΥΚΛΩΜΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Σχήμα : Το LC κύκλωμα συντονισμού δεύτερου βαθμού Στο Σχήμα παρουσιάζεται ένα LC κύκλωμα συντονισμού δευτέρου βαθμού Παρατηρούμε ότι αποτελείται από μια αντίσταση, έναν πυκνωτή και ένα πηνίο σε παράλληλη σύνδεση, ενώ μια διέγερση από πηγή ρεύματος ή τάσης μπορεί να εφαρμοστεί σε διάφορα σημεία του κυκλώματος Για να βρούμε τις φυσικές συχνότητες του κυκλώματος (ή συχνότητες συντονισμού), πρέπει να το διεγείρουμε με τέτοιο τρόπο που να μην αλλάζουμε τη δομή του Όσον αφορά τη φυσική απόκριση του κυκλώματος, μια πηγή τάσης ισοδυναμεί με βραχυκύκλωμα, ενώ μια πηγή ρεύματος ισοδυναμεί με ανοιχτοκύκλωμα Αν επιλέξουμε να συνδέσουμε μια πηγή ρεύματος όπως στο σχήμα, τότε η απόκριση του κυκλώματος δίνεται από την αντίσταση V O I, δηλαδή VO L V / C I Y L C LC L I C LC O ( / ) ( / ) / / / Συγκρίνοντας τον παρονομαστή της απόκρισης και τον παρονομαστή της συνάρτησης φίλτρων δευτέρου βαθμού ( / Q), παρατηρούμε ότι / LC και ότι / Q/ C Q C Συνεπώς, αν έχουμε προδιαγραφές για τα και Q τότε μπορούμε να προχωρήσουμε άμεσα σε σχεδίαση του συντονισμένου κυκλώματος και επιλογή τιμών υλοποίησης για τα στοιχεία του Υλοποίηση μηδενικών διέλευσης Όπως προαναφέρθηκε, τα μηδενικά διέλευσης καθορίζουν το είδος του φίλτρου Άρα, το ισοδύναμο πρόβλημα μπορεί να εκφραστεί ως εξής: πού θα μπει η τάση διέγερσης του LC κυκλώματος συντονισμού ώστε να πάρουμε την επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς (βαθυπερατή, υψιπερατή, ζωνοπερατή κλπ); A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 7 9

20 Όπως φαίνεται και από το κύκλωμα, οποιοσδήποτε κόμβος μπορεί να αποσυνδεθεί από γη και να συνδεθεί σε μια πηγή τάσης, οπότε το κύκλωμα παίρνει τη μορφή διαιρέτη τάσης και ισχύει ότι V () Z() Y() V() Z () Z () Y() Y () i Παρατηρούμε ότι τα μηδενικά διέλευσης είναι οι τιμές του για τις οποίες μηδενίζεται η Z () χωρίς να μηδενίζεται η Z () ταυτόχρονα, και οι τιμές του για τις οποίες απειρίζεται η Z () χωρίς να απειρίζεται η Z () ταυτόχρονα Με άλλα λόγια, η έξοδος μηδενίζεται όταν η Z () συμπεριφέρεται σαν βραχυκύκλωμα ή όταν η Z () συμπεριφέρεται σαν ανοιχτοκύκλωμα Υλοποίηση βαθυπερατής συνάρτησης Στο Σχήμα φαίνεται η απαραίτητη συνδεσμολογία για την υλοποίηση βαθυπερατής συνάρτησης Ο κόμβος x συνδέεται με την πηγή τάσης, και από τον διαιρέτη τάσης που σχηματίζεται προκύπτει ότι Y() / L Y() Y() (/ L) (/ ) C / L / L ( / L) ( / ) C / L / C / LC / / C LC Σχήμα : Γενική μορφή και υλοποίηση βαθυπερατής συνάρτησης με το LC κύκλωμα συντονισμού δεύτερου βαθμού Άρα, με τον τρόπο αυτό υλοποιείται ένα βαθυπερατό φίλτρο A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήματα 8(α) και 8(β)

21 3 Υλοποίηση υψιπερατής συνάρτησης Στο Σχήμα 3 φαίνεται η απαραίτητη συνδεσμολογία για την υλοποίηση υψιπερατής συνάρτησης Ο κόμβος y συνδέεται με την πηγή τάσης, και από τον διαιρέτη τάσης που σχηματίζεται προκύπτει ότι Y() C Y() Y() (/ L) (/ ) C C C L C L C ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) / / C LC Άρα, με τον τρόπο αυτό υλοποιείται ένα υψιπερατό φίλτρο Σχήμα 3: Υλοποίηση υψιπερατής και ζωνοπερατής συνάρτησης με το LC κύκλωμα συντονισμού δεύτερου βαθμού 4 Υλοποίηση ζωνοπερατής συνάρτησης Στο Σχήμα 3 φαίνεται η απαραίτητη συνδεσμολογία και για την υλοποίηση ζωνοπερατής συνάρτησης Ο κόμβος z συνδέεται με την πηγή τάσης, και από τον διαιρέτη τάσης που σχηματίζεται προκύπτει ότι Y( ) / / Y( ) Y( ) ( / L) ( / ) C ( / L) ( / ) C / / C L C C LC ( / ) ( / ) / / Άρα, με τον τρόπο αυτό υλοποιείται ένα ζωνοπερατό φίλτρο A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήματα 8(γ) και 8(δ)

22 5 Υλοποίηση ζωνοφρακτικής συνάρτησης Στο Σχήμα 4 φαίνεται η απαραίτητη συνδεσμολογία για την υλοποίηση ζωνοφρακτικής συνάρτησης Οι κόμβοι x και y συνδέονται με την πηγή τάσης, και από τον διαιρέτη τάσης που σχηματίζεται προκύπτει ότι Y () C / L C / L Y ( ) Y ( ) ( / L) ( / ) C ( / L) ( / ) C / / L C C LC C L LC ( / ) ( / ) / / Άρα, με τον τρόπο αυτό υλοποιείται ένα ζωνοφρακτικό φίλτρο Σχήμα 4: Υλοποίηση ζωνοφρακτικής και ολοπερατής συνάρτησης με το LC κύκλωμα συντονισμού δεύτερου βαθμού 3 6 Υλοποίηση ολοπερατής συνάρτησης Στο Σχήμα 4 φαίνεται η απαραίτητη συνδεσμολογία και για την υλοποίηση ολοπερατής συνάρτησης Η τάση εξόδου λαμβάνεται ως διπολικό σήμα με θετικό και αρνητικό πόλο Θα ισχύει ότι V () / / C O Vi ( ) / C/ L / C/ LC / C/ LC / C / C/ LC / C/ LC / C/ LC Άρα, με τον τρόπο αυτό υλοποιείται ένα ολοπερατό φίλτρο 3 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήματα 8(ε) και 8(στ)

23 7 Άσκηση 7 Σχεδιάστε δευτεροβάθμιο βαθυπερατό φίλτρο, με πολλαπλώς επίπεδη απόκριση και συχνότητα 3dB ίση με khz ΛΥΣΗ: Πολλαπλώς επίπεδο -> Q / Επίσης, max, άρα MaxGain = DC Gain = προκύπτει ότι a / Στην συχνότητα T ( j ) a ( / Q) j a Q a Άρα, στην συγκεκριμένη περίπτωση (και μόνο) ισχύει Άρα, επιλέγοντας C=nF παίρνουμε / LC L L 6 C 9 3 db Η Επίσης, Q 4 Q C 3 9 C 77 kω 8 Άσκηση 8 ΛΥΣΗ: Σχεδιάστε ζωνοφρακτικό φίλτρο με 6 Hz με εύρος ζώνης 3dB ίσο με Hz Από σχήμα ζωνοφρακτικού φίλτρου, βλέπουμε ότι Q C BW C, άρα 3 db / BW3 db / Q Όμως, C C 6 Άρα, με MΩ, παίρνουμε BW3dB μf, καθώς επίσης L L 77 6 LC C 6 kh!!! Παρατηρούμε ότι απαιτείται μια πολύ μεγάλη αυτεπαγωγή 3

24 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Πρόβλημα 33 Για το κύκλωμα του σχήματος, βρείτε τα L () και L(j ), τη συχνότητα για μηδενική φάση βρόχου και το λόγο / για να προκύψουν ταλαντώσεις 4 ΛΥΣΗ: Πρόκειται για κύκλωμα θετικής ανάδρασης, με κέρδος ανοιχτού βρόχου ίσο με ui A () ( ) και συντελεστή ανάδρασης ίσο με (), όπου τα ui, u o u ορίζονται όπως στο παρακάτω σχήμα το οποίο απεικονίζει το δικτύωμα ανάδρασης: o Από την ανάλυση του δικτυώματος ανάδρασης προκύπτει ότι i Cu, ενώ επίσης u u i u u Cu i i i u ui Επίσης, θα ισχύει ότι i i Cui Η εξίσωση ρευμάτων δίνει i 4 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα Π33 4

25 u u i i i i Cu Cu i Cu ταλαντωτή (τάση εισόδου δικτυώματος ανάδρασης) είναι ίση με ui Cui i uo u u o ui Cui C C i i i i, οπότε η τάση εξόδου του i ui ui u o u i Cu i u i 3ui Cui C C uo C 3C 3C u C C i ui C / C u 3 3 o C C C C Το κέρδος βρόχου είναι ίσο με / C L A () () () ( ) 3 C C L j j / C ( ) ( ) 3 j C C Άρα, για να έχουμε φάση ίση με μηδέν θα πρέπει για να έχουμε έναρξη ταλαντώσεων θα πρέπει C C, ενώ j / C L j ( ) ( ) ( ) 3 3 j 3 C 5

26 3 Πρόβλημα 37 Στο κύκλωμα του σχήματος 8 προσθέτουμε μια αντίσταση = kω σε σειρά με τον πυκνωτή C που συνδέεται στον κόμβο εισόδου του ενισχυτή (όπως στο σχήμα παρακάτω) Αν αγνοήσουμε το κύκλωμα περιορισμού πλάτους ταλάντωσης, βρείτε το κέρδος βρόχου Αβ σπάζοντας το βρόχο στον κόμβο Χ Βρείτε την τιμή της f για να ξεκινήσουν οι ταλαντώσεις και τη συχνότητά τους 5 ΛΥΣΗ: uo «Σπάμε» τον βρόχο στο Χ και βρίσκουμε το κέρδος βρόχου L () A () () u Ισχύει διαδοχικά: X u, i u i u u C u C 3 ( ) 3, 5 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 38 6

27 i u i u u, C u u i 5 i i 4 i 5 C, i5 u u u 3u u u6 u3 u6 u u6 u, C C C C C C i u u 3u u i, C C u 4u u i8 i5 i7 i8, 3 C C i8 3u 4u u ux u6 ux C C C C u u u u C C C 6u 5u u ux u C C C Σε αυτό το σημείο παρατηρούμε ότι: u O f u u L () u O X f 6 5 C C C Ο παρονομαστής γίνεται: C 6C 5C , οπότε C C C C L () f C C C C 6 5 L () 3 f C C 3 C 3 Άρα, η συνάρτηση μεταφοράς στην μόνιμη κατάσταση θα είναι ίση με 7

28 L( j) 3 3 f j 3 3 6j 5j j 3 3 C C C L( j) f 3 j 5j 3 6 j 3 3 C C C Άρα, ταλάντωση θα έχουμε εκεί όπου η φάση είναι ίση με, δηλαδή C C 6 C 6 C Στην συχνότητα αυτή, για να έχουμε ταλάντωση, θα πρέπει να ισχύει 3 f j f L( j ) 5j 3 5 j C C f 6 f 6 f L( j ) C C 6C 6 6 Οπότε, θα πρέπει f L( j ) 9 f 9 8

29 33 Πρόβλημα 337 Θεωρήστε το κύκλωμα του χρονιστή 555 που φαίνεται στο σχ 7 Βραχυκυκλώστε τους ακροδέκτες κατωφλίου και σκανδαλισμού και συνδέστε τους με μια τάση εισόδου u i Επαληθεύστε ότι η χαρακτηριστική μεταφοράς του κυκλώματος είναι η ίδια με ενός δισταθούς πολυδονητή αναστρέφουσας χαρακτηριστικής με κατώφλια VTL ( / 3) VCC και VTH ( / 3) VCC, και επίπεδα εξόδου και V CC 6 ΛΥΣΗ: Έστω ότι αρχικά ui V Θα είναι =, S=, οπότε θα είναι Q=, άρα u TH O Κατόπιν, υποθέτουμε ότι το u i γίνεται VTL ui VTH Θα είναι =, S=, οπότε η έξοδος παραμένει σταθερή δηλαδή Q= και άρα uo Κατόπιν, υποθέτουμε ότι το γίνεται Q= και άρα uo VCC u i γίνεται ui V TL Θα είναι =, S=, οπότε η έξοδος Τέλος, αν μετά το u i γίνει ξανά VTL ui VTH έξοδος παραμένει σταθερή δηλαδή Q= και άρα uo VCC, θα είναι πάλι =, S=, οπότε η Η χαρακτηριστική μεταφοράς του κυκλώματος θα δίνεται από το παρακάτω σχήμα: 6 A Sedra, K Smith, «Μικροηλεκτρονικά Κυκλώματα», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η έκδοση, Αθήνα : Σχήμα 37 9

30 3

31 4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3