Â» LIGO (

Transcript

1 Ø 53 Ø 3 Å Ð Vol.53 No º ACTA ASTRONOMICA SINICA May, 01 OJ87 ± «3.5 ³» ËÅ ÏÎ Í ( ÃÀÒ Ò«Ò Ò ÚÌÞ 3006) Í Ò OJ87 ± Âµ µ Ï Ð µ «Ð À ¼ Þ É Í ÅÂ Û 3.5 Æ» Ð¼ ÁÆ OJ87 ÐÀ Ó º µë Þ»»Á Æ» 3.5 ÐË À ² Đ.5 Ð ³ Ë Ø Ü Đ Ñ Æ Ï ÉÆÙ ÞÀ Å Ê ÆÉÆ Ð Ü» 7 Ë ÆÉÄÐ ÅÅ»Á ¾¾ Ð OJ87 Ò ÐÀ ¼ À Û Å ¼ ³³Æ Í Ë Å»³ É Ü Å Í³¹Ç 0 «Å Þ Ð 3.5» ¼ ÏÌ Ð ÂÇ Æ Ð Â Ð Ï ³Ð 3.5 Ç «Í Á Ê Â µð ÓØ Ð Û ÅÂ Ì¾¾ Ö Û OJ87 Ð Â «½Á OJ87, Á É Â ¾Â Æ¾ ² º Æ¾ Ì ½ P135; A 1 ÇÄ Â» LIGO ( VIRGO [1] ß Ñ Ä LCGT [] LISA ( shane/sensitivity/makecurve.html) Parkes Array [3] Ò Ð Á Î Á Î Æ Á Æ Á Î Ñ Ï Î º Ñ Ò Î ÐÌ Ù»ÐÙ º Á ÁÀ Ñ º Å Æ ²È Õ ÁÀ Ð Î ÆÆ Ý Ñ À [ 6] ² Ã Ö ÀÒÚµÈ ( )» ÚÚµÈ ( ) Ò yzh@ustc.edu.cn

2 186 «Ò 53 ½ÊÕ Ï ÁÀ ½ ÕºÀ ÏÑ»ß ÅºÀ ß Ïº Ñ Á ß ÒÁ ÚÎ Á Ú ºÖ (PN) º Ú 3.5PN [7 15]. Ö z = BL Å OJ87, ÎÛ Å Î Î Á Ì Ð Ì ± m 1 = M, m = M, 1 yr, Á ÆÆ ÈÃ Ò Ë ¹ ¾ Ò [16 3]. Á»ß É Ú Ö [16 17] Þ PN Ú ± Ö.5PN Á ß Å Ú Õ ËÕ Á Ä Ö.5PN Ë Æ É.5PN Ú [18 0] ºÀ Î [0] Ú 3PN. Å»Ð ¹ Ú 3.5PN, Ð É 3PN Æ 3.5PN Ë Æ OJ87 ± ÌĐ Ë «ÄÊ Ð Ð»ß Ð Û Á ÇÂ Ê Ð Æ Û È Õ Æ Ê Ð Ð ² Ê Ð Û È Ã Æ Å Ý È Ø Ç Ê Ð À Û ½Ì Ð Ð È ¼ ÁÀË² []. ÌÊ Ð Û ÁÀË Æ È È Ø Ý Ø ¼ ½ ÕÝÀ Ò¾ Ø ½ ÁÆ Ãß Û Ò [3, 7] Þ Ö»Ð ½ É È Ø Ý Ë ÈÃ ÝÀ ¾ ºÀ 3.5PN»ß ½ Î 3 È Ø Î È Ý ¾ ß OJ87 Ä ÈÙ Ä ºÖ»ß ß Á ± ß 3.5PN Ê»ÐÐ Å OJ87 Ñ Ð»ßº ß»ßº Ö ÐÕ È Ú Ú ÐºÀ»ß 3.5PN [8 15]. Ê Ð Ì ÐÌ 1/16, ß ºÖ Á Ê Ð Ê Ý Ð» ß º 3.5PN»ß [1,15] dv dt = Gm r [(1 + A 1PN + A PN + A.5PN + A 3PN + A 3.5PN )e r + (B 1PN + B PN + B.5PN + B 3PN + B 3.5PN )v], (1) Î x Ì Ð Ê Ð ÊÎ r x ÐÀ e r = x/r Î v dx dt Ð Á Ù m = m 1 + m Ð Ì Ú

3 3 ¼ ÓÅ OJ87 Ó ĐÁ ÜÅ 3.5 ¼Ø 187 A ipn B ipn ºÖ Æ Ð A 1PN = 1 [ c 3ṙ ν + v + 3νv Gm ] r ( + ν), () Î ν m 1 m /(m 1 + m ) ÒÌ Ì v = v, ṙ e r v. A PN = 1 [ 15ṙ ν c 5ṙ ν 9ṙ νv + 6ṙ ν v + 3νv ν v ) Gm ( ṙ 5ṙ ν ṙ ν 13νv + ν v + G m r r A 3PN = A 3.5PN = 1 c 6 A.5PN = 1 ( c 5 ṙνv 5 [ 35ṙ6 ν ṙ6 ν 16 Gm r 175ṙ6 ν ṙ ν v 136ṙν 15 ( ν )], (3) G m ), () r + 15ṙ νv 5ṙ ν 3 v 135ṙ ν v + 55ṙ ν 3 v 15ṙ νv + 11νv ν v ν 3 v 6 + Gm (79ṙ ν 69ṙ ν 30ṙ ν 3 11ṙ νv + r ) 16ṙ ν v + 0ṙ ν 3 v + 75νv + 8ν v 10ν 3 v + G m ( r ṙ + 717ṙ ν + 11ṙ ν 7ṙ ν ṙ νπ 087νv + ν 3 v νπ v ) + G3 m 3 ( 6 r ν ) ] 71ν + 1νπ, 1 16 [ ( ) 1 Gm 366ṙνv c 7 + 1ṙν v 11v νṙ 3 1ν v ṙ νṙ 5 + r 35 G m ( 69ṙνv r 7ṙv ν + 9νṙ ν ṙ 3 ) G 3 m 3 ( ) ] 3956ṙν r ṙν, 35 5 Î 3.5 Æ A 3.5PN È «Ô ṙ, [1, 15] Õ ÈÅ ± ÆË B 3PN = B PN = 1 c [ 9ṙ 3 ν B 1PN = 1 c ( ṙ + ṙν + 3ṙ 3 ν 15ṙνv B.5PN = 1 ( 8νv Gm c 5 5 r [ 1 c 6 5ṙ5 ν + 15ṙ 5 ν + 15ṙ5 ν 3 8 1ṙ 3 ν 3 v 65ṙνv ( Gm 39ṙ 3 ν r 6 G m r ṙ3 ν ṙν v + Gm r + ν ṙν v + 6ṙν 3 v + (5) (6) ), (7) ( ṙ + 1ṙν )] + ṙν, (8) G m ), (9) r + 1ṙ 3 νv 111ṙ3 ν v ) + 18ṙ 3 ν 3 15ṙνv 7ṙν v 10ṙν 3 v + ) ], ( ṙ 589ṙν + 5ṙν + 8ṙν 3 13ṙνπ 80 3 (10)

4 188 «Ò 53 B 3.5PN = [ 1 Gm ( 66νv c 7 1ν v r 35 5 G m ( 16νv r + 18ν v 8νṙ G 3 m 3 ( r ν ) ] 10ν νv ṙ 5 + 1ν v ṙ ) 10νṙ + ) ν ṙ 15 Ï A ipn, B ipn ²À Õ À«Ô v Ö ṙ (¹ c = 1), Å ²À Õ À v, ṙ, vṙ, Ö Gm/r.»Ð ÁÎ Ë A.5PN, A 3.5PN, B.5PN, B 3.5PN É Ð ÈÀÈ «Ô ν, Å Ë A 1PN, A PN, A 3PN, B 1PN, B PN, B 3PN ¹ÕÈÀ Æ È«Ô ν. Ð ÏË Ë Ä Ù Ê Ä Ì ν Á ºÀ 3.5 ºÖ Ñ Ð OJ87 Ð Ý Ê Ð»ß ÚÈ»Ð¹ÞÐ (r, φ), (1) É Î v = ṙe r +r φe φ, e φ φ É Î Ú ºÝ Ú ÐÊ Ð»ß Ä r 0, ṙ 0, φ 0, φ 0,»ß ± r = r(t), φ = φ(t). Ê Ð ¾ Ò Ë ¾ Ý»Ð OJ87 Ð ÈÃ ² ÖÈ Ø Î ºÀ ¾ 3 Đ ÃÅÀÈ Å OJ87 Æ «Í [,,7,9], 1 yr Ý Õ Ê Ë ß Ê 1 yr Ñ OJ87 Ñ Ð [18 3]. ßÎ Ê Ð¹Ê Æ Û À È ² Ý Ð [0,,31]. Ö Á Ú ß Á Î ÚÀ Ð ÈÃ ¼ ½Ê ¹ [8 9]. Ñ Ð Ë OJ87, È ± ÈÅÙ ÐÔ [6,9]. Ð Ê Ð Ð Û ² Ã Æ Ð Å Î È Ø Î [] «Ä Ð Û ÁÔ Ð Đ Û Ê ÐÆÆ È Ð Õ Ê Ð»ß (11)»ß ½ É Ê Õ Ô ² Đ À Û È Ð Ô ÌÊ Ð Æ Û Î ÈÃ Ê Ð ĐÀ Û Ð È τ dyn. À Æ È t 0 Ê Ê Ð º ¼ Ð È Ð Á¼ À Å []. Ð Ð È Ø t d = τ dyn + t 0. Ð Û Ð È τ dyn Ò ¼ t 0 ÙÅ Ê Ð Ù Î Ð t 0 À Ð Ð È Ø t d [] 3 Î À Ù É R ¹ ÄÈ τ dyn t 0 Ä t d ß R É ½ R ÌÈ t d R É Á ºÖ [7]. Å»ÐÅ OJ87

5 3 ¼ ÓÅ OJ87 Ó ĐÁ ÜÅ 3.5 ¼Ø 189 ÛºĐ R Ä Ì Á Ï ºÖ ¾ [3] 1 ß [7] 3,»Ð À t d R À É t d = R , (1) Î t d yr R Ê Ð Ð Ûº ( 0Gm 1 /c ) ß Æ ºÝ Ú Ä r 0, ṙ 0, φ 0, φ0,»ð ± Ú (1), r = r(t), φ = φ(t). Ê Ð Û φ(t i ) = nπ (n = 0, 1,,...), È ÈÃ t i, ß Ù É R i. ¾ (1) ºÀ È Ø t d Ä Ú ÚÀ ÈÃ Á OJ87 7 Ê Ð È Ã Â Ý OJ87 ¾»Ð [19, ] ºÀ Ûº 7 Ê ÈÃ 1 Î 1 µ Table 1 Observed outburst times Outburst time Estimated uncertainty(yr) ± ± ± ± ± ± Î 1 ÈÃ Ä , ß»Ð Ú Ú ÈÃÄÅ Ý Ë Ë ÚÎ Ý 6 Ê ÈÃ Ñ Ð Õ Ë ÈÃ 1 Ê È ( ) yr Ã ( ), Ñ Ð z = Å Ú ÚÀ ÈÃ ÈÃ Ä δt 1,..., δt 6. Î À Û º»Ð½ Û Ì ¾ S 6 (δt i ) ÛÌ Ú ÈÃ È i=1 ÃÀ ±ÛÌ ß»Ð Û ÈÃ (t = 0) r 0 = (Gm 1 /c ), ṙ 0 = 0, φ 0 = (Ð Á Ω), φ 0 = arc/(gm 1 /c 3 ). (Gm 1 /c ) = Au, È (Gm 1 /c 3 ) = d. È»ÐºÀ OJ87 Ê Ð Ð»ß 1 3 Á Á Ú ß Å Î À 7 Ù b, c,d, e, f, g, h, ÈÃ ºÊ Ð Æ Û

6 190 «Ò Y / (Gm 1 /c ) g a: b: c: d: i e c. a h f d X / (Gm 1 /c ) b e: f: g: h: i: ¼Ø OJ87 ÑÁ Ô À Y = 0 Ý Fig.1 The 3.5 post-newtonian (PN) order orbit of OJ87. The horizontal line Y = 0 represents the accretion disk.»ð ÅºÀ OJ87 ¾. OJ87 Table The orbital parameters of OJ87 Orbital parameter m 1 Value M m P e a M yr pc Ω at Ψ /period Î ÐÌ m 1, m,»ðï [0] ºÀ Ä P e a Ψ ß ß Î Ê Ð»ß Õµ ³»Ð ½ e = (r max r min )/(r max + r min ), a = (r max + r min )/. À P Ä»ÐÕµ ÁÑ Ê É ¹ÛÌ Ä È Ñ Ð z = Å ÚÀ Ñ Ð Õ Ä ( ), ºÀ Î P Ä ß Ψ Ý ÁÑ Ê É ¹ÛÌÄÈ Ò ¼»ß ± Á Ï ¾ ÕÝÈ Æ Ò»ÐºÀ ¾ Ä Ì 1971 «0 Ä Õ Ï¾ Í ÐºÀ È Ø Ä ºÖ ³ Ð Ê Ð Ä Ý Ù v Ê Ä Û Đ Ð Û È v ÛÌ

7 3 ¼ ÓÅ OJ87 Ó ĐÁ ÜÅ 3.5 ¼Ø c. Å Ð ÛºÈ v Û 0.57c. Î v Ä 0.11c. Ñ Ð Á Ø Á Ë º ³ v Ä Ú P a e ÝÈ Ü Ì Ψ ÝÈ t = yr È (3 33 ½), Û Ä Ψ 77 /period, r min = 9.69Gm 1 /c. Ý Ψ Ý È Ì t = yr È ß Ψ = 0, r min = 6.9Gm 1 /c. À Ψ Ä ÐÊ Ð ß É ß Ý»Ð Ù φ(t) ÛÒ Ψ É φ(t) Ý È t = yr È Û Ä Ý ÓÙ Ì Ð Ù» Ö Ñ ÐÐ ² Ö 3.5 ½ Á Ú Ö ½½ Ä Ú ÐÀ t = yr ÁÉ Ì 0.58 yr. È ³ r 6.6Gm 1 /c, º Ð Ñ Gm 1 /c, v Ä 0.65c. È Ñ Ð º Å ² 8 Orbit of OJ87 at Late Stages Y / (Gm 1 /c ) X / (Gm 1 /c ) 3.5 ¼Ø OJ87 Ñ Á (t = yr) Fig. The 3.5PN order orbit of OJ87 at late stages (t = yr) 5.5PN 3.5PN ¹ Ú É 3PN 3.5 Ë Æ Î»Ð À Đ ¹ Ì A 1PN 0.13, A PN 0.03, A.5PN 10 5, A 3PN 10 3, A 3.5PN 10 6 ; B 1PN 0., B PN 0.007, B.5PN 10, B 3PN 10, B 3.5PN ± ¹ ÊÅ Ì A.5PN Ì Ì A 3PN ;

8 19 «Ò 53 ÏÖÕ B.5PN B 3PN Ì A.5PN B.5PN È «Ô ν ÐÉ Ò Ú Ä A 3.5PN A.5PN Ì B 3.5PN B.5PN Ì Á Ê Ð»ß ÄËÕ 3.5 Ç.5 1/10. ± Ä ËÕ.5 Æ 3.5 Æ ÁÎ Ë Æ [8 11,13 1]. ½ Õ À 3.5PN Ä»Ð 3 ÎºÀ.5PN Ú OJ87 ¾ 3.5PN Äß Ï¾ Ì 1971 «À 0 Ä Á À ± Ì.5PN ß ÙÌ Ï 3 ² º Table 3 The orbital parameters of post-newtonian approximation e a Ψ P.5PN pc /period yr 3.5PN pc /period yr 3.5PN 3.5PN ± ÚÀ Ý Û Đ 3.5PN.5PN ± 150 º ÀÝ È È ÎÛÎ Õ Ë.5PN Ü Y / (Gm 1 /c ) a X / (Gm 1 /c ) b X / (Gm 1 /c ) 3 3.5PN.5PN ÜÂÑ OJ87 Á Ñ ÌÀ 3.5PN, ÚÀ.5PN. Ý Y = 0 ÃÀ Fig. 3 The orbits of 3.5PN (solid) compared with.5pn (dots). The horizontal line Y = 0 represents the accretion disk. Ä ÆÀ Æ ß½Ô Æ Ë Æ Á Ç.5 Æ¼ Ë Æ ¼ Á ß»Ð Ú Ä Ë Æ Ð Î Ý É 3.5 ºÖ Ú Ñ ÐÀ r(t) ÄÝÈ Ì ÁÉ À ¼Û.5 Æ 3.5 Æ Ë Æ Ú Ä r(t) Ä

9 3 ¼ ÓÅ OJ87 Ó ĐÁ ÜÅ 3.5 ¼Ø 193 Ý.5 Æ 3.5 Æ Á ß Ð Æ without.5pn and 3.5PN radiative terms r / (Gm 1 /c ) t / (Gm 1 /c 3 ) t / (Gm 1 /c 3 ) Fig. OJ87 ÑÁ r(t) ÞÊ ÑÜÔ The evolution of OJ87 s radius r(t) ß Ä»Ð 3.5 Æ Ù r φ É.5 Æ ÎÁ 5 6. Ð 3.5 ÆÕÅ É ÕÞÞ Õ Ð 3.5 ÆÐ ½ Î ² É Á Å Ì ³ Æ ÆÆ Ú Ò de/dt Ë.5 Æ Ò de/dt < 0, Á 3.5 Æ de/dt > 0,.5 Æ 3.5 Æ ÐºÀ de/dt < 0, Á 3.5 ÆÉ Ë ½ Ò»Ð ¾Ã Ö.0x x x x10-5 A.5PN 0.0.0x x10 3 t / (Gm 1 /c 3 ) 5.0x x10-6 A 3.5PN 0.0.0x x10 3 t / (Gm 1 /c 3 ) Fig.5 5 Í A 3.5PN A.5PN Ñ The coefficients of dissipative terms, A.5PN (left), and A 3.5PN (right)

10 19 «Ò 53 B.5PN B 3.5PN 1.x x10-5.0x x x x x x x10 3 t / (Gm 1 /c 3 ) t / (Gm 1 /c 3 ) 6 Í B 3.5PN B.5PN Ñ Fig.6 The coefficients of dissipative terms, B.5PN (left), and B 3.5PN (right) Ò ¾ Ú 3.5PN Ú Ú È ± Ê.5PN. Ä 3.5PN Ú Ú ¾ S , Å.5PN S Á ÚÆ Ö OJ87 Ñ Ð»ßº ÐÌ Ê ÐÌ ß ºÖ ÄÊ Ð Ê Ý Ð»ß Ê Ð Û È Ø»Ð½ É È ÆÆ Ú 3.5 ºÖ»ß ± r = r(t), φ = φ(t), Ú ß ² ¼ OJ87 ÛºÈ 7 Ê Ð ÈÃ ÛÌ À Ä r 0, ṙ 0, φ 0, φ0 Ý Ú Ú ²²ÐÀ ºÀ È ¾ Ä P e a ß Ψ. Á Ø É ÝÈ Ò ÛÒ Ç ÝÈ Å Ì ³ ß Å Æ ½ Û Ý Ì ÈÑ Ð º 3.5PN ÚÁ ÇÎ Ï ½ ½ Ä Ú ¼ Ä»Ð ºÖ ÚÀ»ß ± ¼ ÛÌ Ë Û È 3.5PN ¾ Ì.5PN º Ö ºÀ»ß Đ ± Ì Ý È ÛÎ ± 3.5PN ß.5PN ± Ë Ì.5 Æ 3.5 Æ Á ÅÚ.5 Æ 10 5, Å 3.5 Æ 10 6, Ð 3.5 Æ Ä.5 1/10. Å ½ Ù ß 3.5 Æ.5 Æ ÎÁ ² 3.5 Æ Å²ß É Á Å Ì ³ ÆÆ Ú Ò Ä Ð.5 Æ Ò 3.5 Æ

11 3 ¼ ÓÅ OJ87 Ó ĐÁ ÜÅ 3.5 ¼Ø 195 Ò Å.5 Æ 3.5 ÆÉ Ò º»Ð ¹Ö ¼ [1] Acernese F, Amico P, Al-Shourbagy M, et al. CQGrav, 005, : S869 [] Kuroda K, The LCGT Collaboration. CQGrav, 006, 3: S15 [3] Manchester R N. ChJAA, 006, 6: 139 [] Hulse R A, Taylor J H. ApJ, 1975, 195: L51 [5] Taylor J H, Fowler L A, McCulloch P M. Natur, 1979, 77: 37 [6] Taylor J H, Weisberg J M. ApJ, 198, 53: 908 [7] Wagoner R V, Will C M. ApJ, 1976, 10: 76 [8] Iyer B R, Will C M. PhRvL, 1993, 70: 113 [9] Iyer B R, Will C M. PhRvD, 1995, 5: 688 [10] Jaranowski P, Schäfer G. PhRvD, 1997, 55: 71 [11] Pati M E, Will C M. PhRvD, 00, 65: [1] Blanchet L. LRR, 006, 9: [13] Königsdörffer C, Faye G, Schäfer G. PhRvD, 003, 68: [1] Nissanke S, Blanchet L. CQGrav, 005, : 1007 [15] Blanchet L. CRPhy, 007, 8: 57 [16] ß Ó Æ Ó¹ Ó «Ò 010, 51: 38 [17] Sun Y T, Liu J Y, Liu J Z, et al. ChA&A, 011, 35: 13 [18] Valtonen M J, Mikkola S, Merritt D, et al. IAU, 009, 61: 130 [19] Valtonen M J, Mikkola S, Merritt D, et al. ApJ, 010, 709: 75 [0] Valtonen M J, Mikkola S, Lehto H J, et al. CeMDA, 010, 106: 35 [1] Sillanpää A, Haarala S, Valtonen M J, et al. ApJ, 1988, 35: 68 [] Lehto H J, Valtonen M J. ApJ, 1996, 60: 07 [3] Sundelius B, Wahde M, Lehto H J, et al. ASP Conference Series, 1996, 110: 99 [] Sundelius B, Wahde M, Lehto H J, et al. ApJ, 1997, 8: 180 [5] Valtonen M J, Lehto H J. ApJ, 1997, 81: L5 [6] Valtonen M J, Lehto H J, Sillanpää A, et al. ApJ, 006, 66: 36 [7] Valtonen M J, Nilsson K, Sillanpää A, et al. ApJ, 006, 63: L9 [8] Valtonen M J. ApJ, 007, 659: 107 [9] Valtonen M J, Lehto H J, Nilsson K, et al. Natur, 008, 5: 851 [30] Valtonen M, Kidger M, Lehto H, et al. A&A, 008, 77: 07 [31] Valtonen M J. RMxAA, 008, 3: [3] Valtonen M J, Nilsson K, Villforth C, et al. ApJ, 009, 698: 781 The Orbit of Binary Black Hole OJ87: A 3.5th Post-Newtonian Order Calculation WU Shu-guang ZHANG Yang FU Zheng-wen ( Key Laboratory for Researches in Galaxies and Cosmology, Department of Astronomy, University of Science and Technology of China, Hefei 3006) ABSTRACT Supermassive binary black hole OJ87 is a strong gravitational radiation source. To detect the signal of its gravitational wave, the knowledge of the waveform will

12 196 «Ò 53 be of great help, which is mainly determined by the orbital motion of the binary. For this purpose, we carry out a detailed calculation of the orbital motion of OJ87, using the post- Newtonian (PN) approximation up to 3.5th order within the framework of general relativity. Our result is one order higher than the previous work made by others. As a radiation process, there is a time delay from the instance when the secondary black hole impacts on the accretion disk of the primary to the moment of the optical outburst. This time delay has to be taken into account when we try to fit the calculated orbit to the observed outburst times. Adopting a linear relation between the time delay and the impact distance as an empirical model, we fit the calculated orbit to the observed data of the recent seven outbursts of OJ87, obtain the solution of its orbital motion, and give the important orbital properties, including the averaged orbital parameters. By analyzing the result of 3.5PN order calculation of the binary system, we find some interesting features. The precession rate of secondary black hole is shown to increase to a maximum, and then to decrease at late stages, and to eventually turn into a negative value. This result might indicate the breakdown of 3.5PN approximation at late stages when a more accurate calculation is needed. More interestingly, as a main finding of this paper, we discover that the dissipative terms of.5th order and 3.5th order have opposite signs. This implies that the 3.5th order term itself does not radiate, but absorbs energy. However, the sum of the two terms still radiates gravitational waves outward. This is confirmed by the change rate of the energy of the system. Our results of the orbit of binary black hole OJ87 up to 3.5PN can be further used to calculate its radiated gravitational waves. Key words quasars: individual: OJ87, galaxy: kinematics and dynamics, gravitation: post-newtonian approximation, gravitational waves