ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών"

Transcript

1 ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων

2 ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται είτε από συλλογισμό είτε από επαγωγή (Αναλυτικά Πρότερα, Βιβλίο 2, Κεφαλαίο 23) Η αποδάσωση προκαλεί αύξηση του συντελεστή απορροής Δεδομένο Μοντέλο Συλλογισμός Deduction Αναμενόμενα δεδομένα Η πλημμυρική απορροή αυξάνεται με την αποδάσωση Η πλημμυρική απορροή αυξάνεται με την αποδάσωση Επαγωγικό Μοντέλο Επαγωγή Induction Παρατηρημένα δεδομένα Έχει παρατηρηθεί ότι σε αποδασωμένες λεκάνες αυξάνεται η πλημμυρική απορροή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Δεδομένα (γεγονότα, φαινόμενα) Συλλογισμός Deduction Επαγωγή Induction Συλλογισμός Deduction Επαγωγή Induction Υπόθεση (εικασία, θεωρία, μοντέλο) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

3 ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες μέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας βασίζονται στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική δεδομένου ότι: Η τύχη είναι άμεσα συνδεδεμένη με τα υδρολογικά φαινόμενα (πλημμύρες, ξηρασίες) με αποτέλεσμα να περιγράφονται σε μικρό ή μεγάλο βαθμό από τη θεωρία των πιθανοτήτων Η τεχνική υδρολογία στηρίζεται σε μετρήσεις φυσικών μεταβλητών που η επεξεργασία τους προϋποθέτει τη χρήση στατιστικών μεθόδων (έλεγχος των σφαλμάτων των μετρήσεων, συμπλήρωση ελλείψεων ιστορικών δειγμάτων και κυρίως επέκταση χρονοσειρών) Η λήψη αποφάσεων για το σχεδιασμό και τη βέλτιστη λειτουργία των υδραυλικών έργων και των υδατικών συστημάτων γενικότερα, γίνεται πάντοτε υπό καθεστώς αβεβαιότητας, η οποία μπορεί να ποσοτικοποιηθεί με την θεωρία των πιθανοτήτων Σημειώνεται ότι η χρήση των πιθανοτήτων δεν μπορεί να υποκαταστήσει την έλλειψη μετρήσεων των υδρολογικών μεταβλητών ή την έλλειψη αξιοπιστίας σε αυτές, χωρίς τις οποίες είναι αδύνατη η εφαρμογή οποιασδήποτε προσέγγισης.

4 Χρονική κλίμακα ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Προσδιοριστική - Στατιστική - Στοχαστική προσέγγιση Προσέγγιση της απορροής Προσδιοριστική Στατιστική Στοχαστική Χωρική κλίμακα Ικανοποιητική μοντελοποίηση Ανεπαρκής μοντελοποίηση

5 ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΗ ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΕΝΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ Προσδιοριστική - Στατιστική προσέγγιση Σύστημα που περιγράφεται μόνο από τη μεταβλητή X t από τη σχέση: X t =k*x t-1 *(1-x t-1 ) όπου t ο χρόνος Χρονική εξέλιξη Χ1 t, X2 t Με ελάχιστα διαφορετικές αρχικές συνθήκες X1 o =.661 X2 o =.66 και για k=3.7 Χρονική εξέλιξη Χ1 t -X2 t

6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήμα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π Δειγματοληψία ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εμφανιστεί μια τιμή σε συγκεκριμένο διάστημα Σε τι τιμή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα ΔΕΙΓΜΑ (Ν Δ < Ν Π ) Συμπύκνωση πληροφορίας Εκτίμηση πιθανοτικών μεγεθών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυμμετρίας Μοντελοποίηση ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανομής Στατιστικές δοκιμές καταλληλότητας

7 ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.75 ) ΔΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ.75 -Χ.25 ) ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ.5 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.25 ) 1.5*(Χ.75 -Χ.25 ) ΕΩΣ 3* (Χ.75 -Χ.25 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ.75 -Χ.25 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ

8 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ n Μέση τιμή (ροπή τάξης 1) X i i 1 x n Τυπική απόκλιση n ( Xi x) i 1 sx n 1 Διασπορά (κεντρική ροπή τάξης 2) 2 s x Συντελεστής διασποράς sx x Τρίτη ροπή Τέταρτη ροπή Συντελεστής ασυμμετρίας Συντελεστής κύρτωσης Μέγιστη τιμή Ελάχιστη τιμή C k x C s x n ( 3 ) i 1 x n ( 4 ) i 1 x ( X x) i n ( X x) i n ( 3 ) 2 x n ( 2 ) 3 / 2 ( ) ( n 1) ( n 2 ) x 3 ( 4 ) n * x ( n 1) * ( n 2 ) * ( n 3 ) * n M. T. max{ X 1, X 2 i 1 3 4,..., X E. T. min{ X, X,..., X } i n Χ1..Χn : Οι τιμές της μεταβλητής n : Αριθμός δεδομένων δείγματος n n } ( 2 ) x

9 Συχνότητα (%) Απόλυτη συχνότητα Αθροιστική συχνότητα (%) Παροχή (m3/s) Συχνότητα (%) Απόλυτη συχνότητα 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ 12 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Χρόνος (έτη) 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ Ετήσια παροχή (m 3 /s) Ετήσια παροχή (m 3 /s) Ετήσια παροχή (m 3 /s)

10 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) Αθροιστική συχνότητα (%) 1 8 ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) 3 35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ιστόγραμμα σχετικής συχνότητας ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ Αθροιστικό ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ιστόγραμμα ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Αθροιστική συχνότητα (%) Αθροιστική συχνότητα (%)

11 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Χ τυχαία μεταβλήτη Συνάρτηση κατανομής (πιθανότητα μη υπέρβασης) H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μικρότερη ή ίση της δεδομένης τιμής x F X ( x) F X ( P( X ) F x) X ( x) F X ( ) 1 Πιθανότητα υπέρβασης H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μεγαλύτερη της δεδομένης τιμής x F 1X P( X x) 1 F X ( x) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X ( X ) dfx ( x) dx

12 ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ FX ( x) Ν: το σύνολο των στοιχείων του δείγματος n x : o αριθμός των τιμών του δείγματος που δεν υπερβαίνουν την τιμή χ n x N F x (8)=18/25=.72=72% F 1 (8)=7/25=.28=28% Όμως: F x (1)=25/25=1=1% F 1 (1)=/25==% F X ( x) Για αυτό: N n x 1

13 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέση τιμή 1 < Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1 = Τυπική αποκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1 = Συντελεστή ασυμμετρίας 2 = Συντελεστής κύρτωσης 1 = Συντελεστη κύρτωσης 2 ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέση τιμή 1 =Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1 < Τυπική αποκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1 = Συντελεστή ασυμμετρίας 2 = Συντελεστής κύρτωσης 1 = Συντελεστη κύρτωσης 2 Τιμές μεταβλητής Τιμές μεταβλητής ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέση τιμή 1 = Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1 = Τυπική αποκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1 = -Συντελεστή ασυμμετρίας 2 Συντελεστής κύρτωσης 1 = Συντελεστη κύρτωσης 2 ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μ.Τ. 1 = Μ.Τ. 2 Τ.Α. 1 = Τ.Α. 2 Σ.Α. 1 = Σ.Α. = Συντελεστής κύρτωσης 5 Συντελεστής ασυμμετρίας > Συντελεστής ασυμμετρίας < Συντελεστής κύρτωσης 2 Συντελεστής κύρτωσης 3 Τιμές μεταβλητής Τιμές μεταβλητής

14 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ Περίοδος επαναφοράς,τ μιας δεδομένης τιμής x της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι ο μέσος αριθμός χρονικών διαστημάτων (εν προκειμένω υδρολογικών ετών) που μεσολαβεί μεταξύ 2 διαδοχικών εμφανίσεων της τυχαίας μεταβλητής με μέγεθος μεγαλύτερο ή ίσο της δεδομένης τιμής x. Πιθανότητα υπέρβασης σε ένα έτος: Πιθανότητα μη υπέρβασης σε ένα έτος: Πιθανότητα μη υπέρβασης σε n έτη: F 1 =1/Τ F=1-F 1 =(1-1/Τ) (1-1/Τ) n Διακινδύνευση είναι η πιθανότητα R να πραγματοποιηθεί μέσα σε n έτη τιμή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ. Πιθανότητα υπέρβασης σε n έτη (Διακινδύνευση): R=1-(1-1/Τ) n Παράδειγμα Τ=5 έτη, n=1 έτη R=1-(1-1/5) 1 =.18=18%

15 Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Αθροιστική πιθανότητα (%)

16 25 ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Φειδωλία (Parsimony) και Αποτελεσματικότητα (Efficiency) Παρατηρημένα δεδομένα Y Προσαρμογή Υ=f(X): 1. Συνάρτησης 5 ου βαθμου 2. Συνάρτησης 1 ου βαθμου X Υ=.38*Χ 5-4.2*Χ *Χ *Χ *Χ Υ=3.6*Χ+.8

17 ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Φειδωλία (Parsimony) και Αποτελεσματικότητα (Efficiency) Πρόβλεψη συνάρτησης 5 ου βαθμού Για Χ=1.5 Υ=2.43 Για Χ=4.5 Υ= Για Χ=5.5 Υ=55.6 Για Χ=6. Υ=

18 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανομής f ( x) 2 1 e x.5*( 2 ) F( x) 1 2 x 1 x 2 ( ) 2 e xdx x( x( ) ) max min x( x( ) ) z z (1 (1 )/ 2 )/ 2 S S T T Όρια εμπιστοσύνης S T ˆ 1 ( T) 2 2 K ( T) Z(1 1/ T ) S T η τυπική απόκλιση του x T Z (1+α)/2 η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής όταν το επίπεδο είναι α% ˆ N η τυπική απόκλιση του δείγματος ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος

19 Βήματα Προσαρμογής Κανονικής Κατανομής 1. Εύρεση στατιστικών χαρ/κών δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). 2. Κατάταξη δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 4. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). 5. Εύρεση τυποποιημένης μεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε F. 6. Εκτίμηση τιμών μεταβλητής από τα Ζ. X x Z * 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. 8. Έλεγχος x 2 για την καταλληλότητα της κατανομής. S x

20 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

21 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x) (%) για Ζ 3.9

22 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x) (%) για -3.9 Ζ -.1

23 ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανομή Σε δείγμα τιμών Χi με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ η παράμετρος z=(xi-μ)/σ ακολουθεί κανονική κατανομή με μ=, σ=1 (τυπική κανονική κατανομή) Δείγμα έχει μ=1, σ=5 και ακολουθεί κανονική κατανομή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιμής Χi=15 z=(15-1)/5=1 Ποια είναι η τιμή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ = 1.5 έτη F=1-(1/1.5)=,333 F=84,1% Πίνακας (,1) z=1, F=,8413 F=33.3% Πίνακας (,1) Για F= z=.43 Για F=.333 z=-.43 z=1 Τ=1/(1-,8413) 6 έτη z=-.43 (Xi-1)/5=-.43 άρα Xi=7.85

24 Ετήσια παροχή (m3/s) ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Περίοδος επαναφοράς (έτη) Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 5% 16% 2.3%.2% Ανηγμένη μεταβλητή Gauss.2% 2.3% 16% 5% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανομής (%)

25 Βήματα ελέγχου x 2 1. Υπολογίζονται οι παράμετροι της κατανομής που πρόκειται να προσαρμοστεί (για την κανονική κατανομή r=2, μ και σ). 2. Χωρίζεται το δείγμα των στοιχείων σε k ισοπίθανες κλάσεις (κριτήριο συνήθως να έχω τουλάχιστον 5 στοιχεία σε κάθε κλάση). 3. Υπολογίζεται ο βαθμός ελευθερίας της κατανομής ν= k-r Υπολογίζεται η πιθανότητα (p i ) μίας τυχαίας τιμής της κατανομής x 2 να ανήκει σε κάθε κλάση (γι αυτό χρειάζεται τουλάχιστον μία παρατήρηση σε κάθε κλάση). 5. Προσδιορίζεται το Z που αντιστοιχεί στην αθροιστική πιθανότητα κάθε κλάσης και τα όρια των κλάσεων. 6. Υπολογίζεται ο αναμενόμενος (θεωρητικός) αριθμός παρατηρήσεων για κάθε κλάση με τη συγκεκριμένη κατανομή, E i = n*p i (πολλαπλασιάζεται το p i με το μέγεθος του δείγματος n).

26 Βήματα ελέγχου x 2 7. Γίνεται καταμέτρηση των πραγματικών παρατηρήσεων N i από το δείγμα που πέφτουν μέσα σε κάθε κλάση. 8. Υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος, D (όταν η τιμής είναι πολύ μεγάλη, αναμένεται ότι η κατανομή δεν προσαρμόζεται καλά στη x 2 ). D = Σ[(N i -E i ) 2 / Ε i ] 7. Συγκρίνεται η τιμή της παραμέτρου D με την τιμή που προκύπτει από τους πίνακες x 2 για το συγκεκριμένο ν και συγκεκριμένες πιθανότητες - επίπεδα σημαντικότητας α x 2 α. 8. Η μηδενική υπόθεση (ότι το δείγμα ακολουθεί τη θεωρητική κατανομή στην οποία προσαρμόστηκε (π.χ. την κανονική)) γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α, αν D< x 2 α.

27 Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΔΟΚΙΜΗ x 2 για κανονική κατανομή Αριθμός κλάσεων (k): 5 Αριθμός παραμέτρων κανονικής κατανομής: 2 4 Βαθμοί ελευθερίας κατανομής χ 2 : Πιθανότητα κλάσης (p i ): 1/5=2% Θεωρητικός αριθμός σημείων κλάσης (Ν*p i ): 3*.2= Αριθμός σημείων ανά κλάση (Ν i ) Αθροιστική πιθανότητα (%) 5 Κλάση N i N*p i =Ε i (N i -Ε i ) 2 /Ε i,167,167 D =,33 2 % 2 % 2 % 2 % 2 %

28 Πιθανότητα (%) 1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ 1. Η μεταβλητή χ 2 ακολουθεί την κατανομή χ 2 με 2 βαθμούς ελευθερίας 2. Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D 3. Η μηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<χ 2 α D =,33 Q.1 = 4.6 Q.5 = 6. Q.1 = Μεταβλητή χ2 Το D (.33) είναι μικρότερο από το χ 2 α για τα συνήθη επίπεδα σημαντικότητας 1% (9.2), 5% (6.), 1% (4.6). Άρα η μηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή στα συνήθη επίπεδα σήμαντικότητας.

29 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ x 2 Μ.Α. Μιμίκου, Τεχνολογία υδατικών πόρων, Σελίδες

30 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ x 2

31 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής x 2 (5 κλάσεις) a=1% a=5% a=1% a Παράμετρος D Κανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 26,4% 2,67 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 16,% 3,67 Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 13,5% 4, Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 1,6% 8,33 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5% 1,67 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 19,7% 1,67 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,7% 1, ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,7% 1, ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,9% 9,33 ΑΤ1-Min ( L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 ΑΤ3-Min ( L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5% 1,67 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 9,7% 4,67 ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,3% 3, ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 26,4% 2,67 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,3% 3,

32 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής x 2 (6 κλάσεις) a=1% a=5% a=1% a Παράμετρος D Κανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2, Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2, Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,5% 7,6 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2, Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,6% 8, Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 13,3% 5,6 Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,2 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2, Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,% 6, ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,2 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 2,7% 9,2 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,6% 8, ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9%,8 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2, ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 67,%,8 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,4 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,4 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 2,2% 3,2 ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,2 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 3,8% 8,4 ΑΤ1-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,2 ΑΤ3-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9%,8 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,4 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,2% 6, ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,3% 2,8 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,1% 4,4 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2,

33 ΔΟΚΙΜΗ Kolmogorov-Smirnov Βασίζεται στη διαφορά μεταξύ της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής F x (x) και του παρατηρημένου αθροιστικού ιστογράμματος F*(x) F*(Χ (i) )=i/n όπου είναι η i μεγαλύτερη παρατηρημένη τιμή σε δείγμα με μέγεθος n Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D D max i n 1 F *( X ( i) ) Fx( X max Fx( X Η μηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<c ( i) ) i n 1 i n ( i) ) ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ c Μέγεθος α=.1 α=.5 α=.1 δείγματος >4 1.22/n 1/2 1.36/n 1/2 1.63/n 1/2

34 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής Kolmogorov-Smirnov a=1% a=5% a=1% a DMax Κανονικήl ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 96,9%,8 Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 96,9%,8 Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 78,1%,11 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 18,2%,19 Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 49,2%,14 Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 98,5%,8 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,4%,7 Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 55,1%,14 ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 95,5%,9 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,%,24 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,6%,15 ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 1,%,6 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 1,%,6 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 97,%,8 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,5%,7 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,2%,7 ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,2%,7 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 2,5%,19 ΑΤ1-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,6%,15 ΑΤ3-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,9%,6 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 97,5%,8 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 54,7%,14 ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 76,2%,11 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 78,8%,11 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 76,2%,11

35 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,5% ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κανονικής κατανομής Weibull Normal Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπιστοσύνης ΚΑΝΟΝΙΚΗ 95% ΚΑΤΑΝΟΜΗ Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Καν ον ική καταν ομή

36 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% ΜΕΣΕΣ ΕΤΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρμογή 16 θεωρητικών κατανομών 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,5% Weibull Normal LogNormal Galton Exponential Gamma PearsonIII LogPearsonIII Gumbel Max EV2-Max Gumbel Min Weibull GEV Max GEV Min Pareto GEV-Max (k spec.) GEV-Min (k spec.) Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Καν ον ική καταν ομή Κανονική κατανομή (Gauss) Kατανομή Gumbel μεγίστων

37 x: τιμή της μεταβλητής μ: μέση τιμή σ: τυπική απόκλιση ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κανονική κατανομή NORMDIST(x ; μ ; σ ; TRUE) Επιστρέφει τη συνάρτηση κατανομής, F (από έως 1) x: τιμή της μεταβλητής μ: μέση τιμή σ: τυπική απόκλιση NORMDIST(x ; μ ; σ ; FALSE) Επιστρέφει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, f F: συνάρτηση κατανομής μ: μέση τιμή σ: τυπική απόκλιση NORMINV(F ; μ ; σ) Επιστρέφει την τιμή της μεταβλητής, x F: συνάρτηση κατανομής NORMSINV(F) Επιστρέφει την τιμή της τυποποιημένης μεταβλητής Z Z: τιμή της τυποποιημένης μεταβλητής NORMSDIST(Z) Επιστρέφει τη συνάρτηση κατανομής, F

38 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κατανομή x 2 F 1 : πιθανότητα υπέρβασης n: βαθμοί ελευθερίας CHIINV(F 1 ; n) Επιστρέφει την τιμή της μεταβλητής x: τιμή της μεταβλητής n: βαθμοί ελευθερίας CHIDIST(x ; n) Επιστρέφει την πιθανότητα υπέρβασης (από έως 1)

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 9 ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 2: Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση ακραίων υδρολογικών τιμών 2.1. Πιθανοτική Ανάλυση Ακραίων Τιμών Καθ. Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τις αρχές και μεθόδους της στατιστικής, τις οποίες παρουσιάσαμε ήδη στο κεφάλαιο 3, σε ένα από τα πιο τυπικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ

Δημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Έκδοση 4 Αθήνα 1997 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Επίκουρος Καθηγητής Τομέας Υδατικών Πόρων

Διαβάστε περισσότερα

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς.

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς. Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς Θέμα 1 Σε θέση ποταμού, όπου πρόκειται να κατασκευαστεί ταμιευτήρας,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. χρόνος σε min. 2. xa x. x x v

( ) 2. χρόνος σε min. 2. xa x. x x v ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον

Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον Δρ Μ.Σπηλιώτη Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον οποίο το μέγεθος αυτό απαντάται με ίση ή μεγαλύτερη τιμή. Για τον υπολογισμό του ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2011-2012 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου

Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου Ελένη Μαρία Μιχαηλίδη Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στόχοι εργασίας Διερεύνηση μηχανισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 2ο: Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα επαναληπτικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ... 25 1.3 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 8 Πλημμύρες όμβριες καμπύλες ρ. Θεοχάρης Μενέλαος

Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 8 Πλημμύρες όμβριες καμπύλες ρ. Θεοχάρης Μενέλαος Φυσικοί και Περιβαλλοντικοί Κίνδυνοι (Εργαστήριο) Ενότητα 8 Πλημμύρες όμβριες καμπύλες ρ. Θεοχάρης Μενέλαος 3.5.2 Όμβριες καμπύλες Οι όμβριες καμπύλες, όπως απλούστερα έχει καθιερωθεί να αποκαλούνται στην

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Συμπίεση Δεδομένων

Συμπίεση Δεδομένων Συμπίεση Δεδομένων 2014-2015 Κβάντιση Δρ. Ν. Π. Σγούρος 2 Αναλογικά Ψηφιακά Σήματα Αναλογικό Σήμα x t, t [t min, t max ], x [x min, x max ] Δειγματοληψία t n, x t x n, n = 1,, N Κβάντιση x n x(n) 3 Αλφάβητο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή Σχέσεις Έντασης Διάρκειας

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 2 ο : Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις. Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας Σύγχρονες τάσεις στην εκτίµηση ακραίων βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων 13-15 Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας ηµήτρης Κουτσογιάννης και Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ Σίµων-Μιχαήλ Παπαλεξίου Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αν. Καθηγητής Αθήνα, Σεπτέµβριος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα