Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών"

Transcript

1 Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται είτε από συλλογισµό είτε από επαγωγή (Αναλυτικά Πρότερα, Βιβλίο, Κεφαλαίο 3) Η αποδάσωση προκαλεί αύξηση του συντελεστή απορροής εδοµένο Μοντέλο Συλλογισµός Deductio Αναµενόµενα δεδοµένα Ηπληµµυρική απορροή αυξάνεται µε την αποδάσωση Ηπληµµυρική απορροή αυξάνεται µε την αποδάσωση Επαγωγικό Μοντέλο Επαγωγή Iductio Παρατηρηµένα δεδοµένα Έχει παρατηρηθεί ότι σε αποδασωµένες λεκάνες αυξάνεται η πληµµυρική απορροή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ εδοµένα (γεγονότα, φαινόµενα) Συλλογισµός Deductio Επαγωγή Iductio Συλλογισµός Deductio Επαγωγή Iductio Υπόθεση (εικασία, θεωρία, µοντέλο) ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

2 ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΚΗ -ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ -ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Προσέγγιση της απορροής Προσδιοριστική Στατιστική Στοχαστική Χρονική κλίµακα Χωρική κλίµακα Ικανοποιητική µοντελοποίηση Ανεπαρκής µοντελοποίηση ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας βασίζονται στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική δεδοµένου ότι: Ητύχηείναιάµεσα συνδεδεµένη µε τα υδρολογικά φαινόµενα (πληµµύρες, ξηρασίες) µε αποτέλεσµαναπεριγράφονταισεµικρό ή µεγάλο βαθµόαπότη θεωρία των πιθανοτήτων Η τεχνική υδρολογία στηρίζεται σε µετρήσεις φυσικών µεταβλητών που η επεξεργασία τους προϋποθέτει τη χρήση στατιστικών µεθόδων Ηλήψηαποφάσεωνγιατοσχεδιασµό και τη βέλτιστη λειτουργία των υδραυλικών έργων και των υδατικών συστηµάτων γενικότερα, γίνεται πάντοτε υπό το καθεστώς αβεβαιότητας, ηοποίαµπορεί να ποσοτικοποιηθεί µε την θεωρία των πιθανοτήτων Σηµειώνεται ότι η χρήση των πιθανοτήτων δεν µπορεί να υποκαταστήσει τις µετρήσεις των υδρολογικών µεταβλητών χωρίς τις οποίες είναι αδύνατη η εφαρµογή οποιασδήποτε προσέγγισης.

3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π ΕΙΓΜΑ (Ν < Ν Π ) ειγµατοληψία Συµπύκνωση πληροφορίας ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εµφανιστεί µια τιµή σε συγκεκριµένο διάστηµα Σε τι τιµή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα Εκτίµηση πιθανοτικών µεγεθών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυµµετρίας Μοντελοποίηση ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανοµής Στατιστικές δοκιµές καταλληλότητας ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.75 ) ΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ.75 -Χ.5 ) ΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ.5 ) ΜΕΓΕΘΟΣ.5*(Χ.75 -Χ.5 ) ΕΩΣ 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.5 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ 3

4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ Μέση τιµή i i Τυπική απόκλιση ( i ) i s ιασπορά s Συντελεστής διασποράς s Τρίτη ροπή 3 ( i ) ( 3 ) i µ Τέταρτη ροπή 4 ( i ) ( 4 ) i µ ( 3) Συντελεστής ασυµµετρίας µ Cs ( ) 3/ ( µ ) ( ) ( ) 3 ( 4) Συντελεστής κύρτωσης * µ Ck ( )*( )*( 3)* µ Μέγιστη τιµή M T. ma{,,..., } Ελάχιστη τιµή. i i ET.. mi{,,..., } Χ..Χ : Οι τιµές της µεταβλητής : Αριθµός δεδοµένων δείγµατος ( ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4 ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Παροχή (m3/s) Χρόνος (έτη) Συχνότητα (%) Ετήσια παροχή (m 3 /s) Απόλυτη συχνότητα ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ Ετήσια παροχή (m 3 /s) 4

5 ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέση τιµή < Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέση τιµή Μέση τιµή Τυπική απόκλιση < Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέση τιµή Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας -Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Συντελεστής ασυµµετρίας > Τιµές µεταβλητής Συντελεστής ασυµµετρίας < Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μ.Τ. Μ.Τ. Τ.Α. Τ.Α. Σ.Α. Σ.Α. Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστής κύρτωσης 5 Τιµές µεταβλητής Συντελεστής κύρτωσης 3 Χτυχαίαµεταβλήτη Συνάρτηση κατανοµής H πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µικρότερη ήίσητηςδεδοµένης τιµής ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ P( ) ( ) ( + ) Πιθανότητα υπέρβασης H πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µεγαλύτερη της δεδοµένης τιµής Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Περίοδος επαναφοράς Ο µέσος αριθµός χρονικών διαστηµάτων που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών εµφανίσεων της τυχαίας µεταβλητής µε µέγεθος µεγαλύτερο ή ίσο της δεδοµένης τιµής P( ) d ( ) d T 5

6 ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ N Ν: το σύνολο των στοιχείων του δείγµατος : o αριθµός των τιµών του δείγµατος που δεν υπερβαίνουν την τιµήχ ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) (8)8/5.77% (8)7/5.88% Όµως: ()5/5% ()/5% Για αυτό: N + ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αθροιστική συχνότητα (%) Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%)

7 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική πιθανότητα (%) ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρµογή 6 θεωρητικών κατανοµών Weibull Normal LogNormal Galto Epoetial Gamma PearsoIII LogPearsoIII Gumbel Ma EV -Ma Gumbel Mi Weibull GEV Ma GEV Mi Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Mi (k spec.) Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική καταν οµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% Κανονική κατανοµή (Gauss) Kατανοµή Gumbel µεγίστων

8 ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Περίοδος επαναφοράς (έτη) Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 5% 6%.3%.% Ετήσια παροχή (m3/s) Ανηγµένη µεταβλητή Gauss.%.3% 6% 5% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανοµής (%) ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανοµή Σε δείγµα τιµών Χiµε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ ηπαράµετρος z(i-µ)/σ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µ, σ είγµα έχειµ, σ5 και ακολουθεί κανονική κατανοµή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιµής Χi5 z(5-)/5 Ποια είναι η τιµή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ.5 έτη -(/.5),333 84,% Πίνακας (,) z,, % Πίνακας (,) Για z.43 Για.333 z-.43 z Τ(-,843)6 έτη z-.43 (i-)/5-.43 άρα i7.8 8

9 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Τιµή αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής () (%) για τιµές της ανηγµένης µεταβλητής Ζ από -3 έως 3 () (%) 8 Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής 99.7% % 68.3% Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Υ ΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ Α Απόθεµα: hm 3 Μέση τιµή εισροής: hm 3 Τυπική απόκλιση εισροής:3 hm 3 Υ ΡΕΥΣΗ ΠΟΛΗΣ Μέση τιµή ζήτησης: hm 3 Τυπική απόκλιση ζήτησης: hm 3 ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΕΤΗΣΙΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΕΤΟΣ Μέση τιµή ΤΑΜ. Α ΤΑΜ. Β ΠΟΛΗ Τυπική απόκλιση 3 4 ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ Β Απόθεµα: hm 3 Μέση τιµή εισροής: hm 3 Τυπική απόκλιση εισροής:4 hm 3 ΑπΑ+ΑπΒ+ΕισΑ+ΕισΒ-Υδρ> ΑΣΤΟΧΙΕΣ ΟΧΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΟΧΙ ΟΧΙ Σύνολο αστοχιών: 8 Πιθανότητα αστοχίας: 8/8% ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Υ ΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ m(hm 3 ) s (hm 3 ) Q ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ Α 3 Q ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑ Β 4 ΖΗΤΗΣΗ ΠΟΛΗΣ ΑΠΟΘΕΜΑΤΑ 3 m(hm 3 ) s (hm 3 ) P αστοχίας (%) ρ(q A,Q B ) Q Α +Q Β 7 9 ρ(q A,Q B ) Q Α +Q Β 5 3 ρ(q A,Q B )- Q Α +Q Β

11 ΙΑΚΙΝ ΥΝΕΥΣΗ Η πιθανότητα R να πραγµατοποιηθεί µέσα σε έτη τιµή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ Πιθανότητα µη υπέρβασης σε ένα έτος: - (-/Τ) Πιθανότητα µη υπέρβασης σε έτη: (-/Τ) Πιθανότητα υπέρβασης σε έτη ( ιακινδύνευση): R-(-/Τ) Παράδειγµα Τ έτη έτη R-(-/).6565% Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανοµής f µ.5*( ) σ ( ) e πσ µ ( ) σ e π d ( Τ) ( Τ) ma mi ( Τ) + z ( Τ) z + α / + α / S S T T Όρια εµπιστοσύνης S T ˆ σ δ Ν Κ( T ) δ + K( T ) Z( / T ) S T ητυπικήαπόκλισητου T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής όταν το επίπεδο είναι α% σˆ ητυπικήαπόκλισητουδείγµατος N οαριθµός των παρατηρήσεων του δείγµατος

12 f ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Πυκνότητας Συνάρτηση Κατανοµής Πιθανότητας l µ Υ ( ) σ Υ * e πσ Y Εκτίµηση παραµέτρων (µέθοδος ροπών) l s µ Υ ( σ Υ ( ) * e s πσ Y ) Sl l( + S / l l S l / z l Χειρισµός της κατανοµής l zs + l l l S zs l l + l e Z η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c, 45 a,8 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f ae a( c) e a ( c ) e e Συνάρτηση Κατανοµής a ( c) l( l ) l( l( / T )) ( T ) c c a a Όρια εµπιστοσύνης ( T ) + k( T )* k ( T ) * l( l( / T )) S ( T ) + T, ( T ) ± +.396* k( T ).* k( ) S

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 9 ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 2: Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση ακραίων υδρολογικών τιμών 2.1. Πιθανοτική Ανάλυση Ακραίων Τιμών Καθ. Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τις αρχές και μεθόδους της στατιστικής, τις οποίες παρουσιάσαμε ήδη στο κεφάλαιο 3, σε ένα από τα πιο τυπικά

Διαβάστε περισσότερα

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου

Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου Διερεύνηση προσομοίωσης πλημμύρας για το σχεδιασμό σε λεκάνες χειμαρρικής δίαιτας Εφαρμογή στη λεκάνη του Σαρανταπόταμου Ελένη Μαρία Μιχαηλίδη Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στόχοι εργασίας Διερεύνηση μηχανισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας Σύγχρονες τάσεις στην εκτίµηση ακραίων βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων 13-15 Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας ηµήτρης Κουτσογιάννης και Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα επαναληπτικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2011-2012 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ

Δημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Έκδοση 4 Αθήνα 1997 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Επίκουρος Καθηγητής Τομέας Υδατικών Πόρων

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογική διερεύνηση της διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα

Υδρολογική διερεύνηση της διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα Ηµερίδα για την παρουσίαση του ερευνητικού έργου «ιερεύνηση των δυνατοτήτων διαχείρισης και προστασίας της ποιότητας της Λίµνης Πλαστήρα» Καρδίτσα 30 Μαρτίου 2002 Υδρολογική διερεύνηση της διαχείρισης

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογική διερεύνηση της διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα

Υδρολογική διερεύνηση της διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα Ηµερίδα για την παρουσίαση του ερευνητικού έργου «ιερεύνηση των δυνατοτήτων διαχείρισης και προστασίας της ποιότητας της Λίµνης Πλαστήρα» Καρδίτσα 30 Μαρτίου 2002 Υδρολογική διερεύνηση της διαχείρισης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ Σίµων-Μιχαήλ Παπαλεξίου Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αν. Καθηγητής Αθήνα, Σεπτέµβριος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Υδροηλεκτρικά Έργα. 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών. Ταμιευτήρες. Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης

Υδροηλεκτρικά Έργα. 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών. Ταμιευτήρες. Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου ηµήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μέρη της

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς.

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς. Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς Θέμα 1 Σε θέση ποταμού, όπου πρόκειται να κατασκευαστεί ταμιευτήρας,

Διαβάστε περισσότερα

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου

Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου Το υπολογιστικό σύστηµα Υδρονοµέας και η εφαρµογή του στην µελέτη των έργων εκτροπής του Αχελώου ηµήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τοµέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μέρη της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον

Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον Δρ Μ.Σπηλιώτη Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον οποίο το μέγεθος αυτό απαντάται με ίση ή μεγαλύτερη τιμή. Για τον υπολογισμό του ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες από προηγούμενα μαθήματα (επανάληψη)

Έννοιες από προηγούμενα μαθήματα (επανάληψη) Έννοιες από προηγούμενα μαθήματα (επανάληψη) Ξηρασία Δρ Μ.Σπηλιώτη Λειψυδρία Προσωρινή κατάσταση Φυσικά Αίτια Ξηρασία (drought) Ανθρωπογενή Αίτια Έλλειμμα Νερού (water shortage) Μόνιμη Ξηρότητα Λειψυδρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 Στην έξοδο λεκάνης απορροής µετρήθηκε το παρακάτω καθαρό πληµµυρογράφηµα (έχει αφαιρεθεί η βασική ροή):

ΑΣΚΗΣΗ 2 Στην έξοδο λεκάνης απορροής µετρήθηκε το παρακάτω καθαρό πληµµυρογράφηµα (έχει αφαιρεθεί η βασική ροή): ΑΣΚΗΣΗ 1 Αρδευτικός ταµιευτήρας τροφοδοτείται κυρίως από την απορροή ποταµού που µε βάση δεδοµένα 30 ετών έχει µέση τιµή 10 m 3 /s και τυπική απόκλιση 4 m 3 /s. Ο ταµιευτήρας στην αρχή του υδρολογικού

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα

Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα Διημερίδα για τη διαχείριση των υδατικών πόρων στη λίμνη Πλαστήρα Νεοχώρι Καρδίτσας 26-27 Ιανουαρίου 21 Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση

ιάρθρωση παρουσίασης 1. Ιστορικό διαχείρισης της λίµνης Πλαστήρα 2. Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 3. Μεθοδολογική προσέγγιση Ανδρέας Ευστρατιάδης, υποψήφιος διδάκτορας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών πόρων Ποσοτική και ποιοτική θεώρηση της λειτουργίας του ταµιευτήρα Πλαστήρα Περιβαλλοντικές Επιπτώσεις από Υδραυλικά

Διαβάστε περισσότερα

Συµβολή του Υδροσκοπίου στην επίλυση υδατικών

Συµβολή του Υδροσκοπίου στην επίλυση υδατικών Προς µια ορθολογική αντιµετώπιση των σύγχρονων υδατικών προβληµάτων: Αξιοποιώντας την Πληροφορία και την Πληροφορική για την Πληροφόρηση Υδροσκόπιο: Εθνική Τράπεζα Υδρολογικής & Μετεωρολογικής Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών 2 Εργαλεία διαχείρισης Για κάθε µελλοντική εξέλιξη και απόφαση, η πρόβλεψη αποτελεί το

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις Προς µια ορθολογική αντιµετώπιση των σύγχρονων υδατικών προβληµάτων: Αξιοποιώντας την Πληροφορία και την Πληροφορική για την Πληροφόρηση Υδροσκόπιο: Εθνική Τράπεζα Υδρολογικής & Μετεωρολογικής Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 13ο: Ξηρασία

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 13ο: Ξηρασία Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 13ο:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Αποσπάσµατα από το βιβλίο «Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» της Καθηγήτριας Μ.Α.Μιµίκου Γ έκδοση, 2006

Αποσπάσµατα από το βιβλίο «Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» της Καθηγήτριας Μ.Α.Μιµίκου Γ έκδοση, 2006 Αποσπάσµατα από το βιβλίο «Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» της Καθηγήτριας Μ.Α.Μιµίκου Γ έκδοση, 006 Κεφάλαιο 3 Κατανοµές Πιθανοτήτων Υδρολογικών Μεταβλητών Η πιθανολογική υδρολογική ανάλυση στηρίζεται στην

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Αδρανή 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Ποσοστό % 4,00% 2,00% 0,00% εβδοµάδες

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Αδρανή 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Ποσοστό % 4,00% 2,00% 0,00% εβδοµάδες ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Ένα σύνολο διαδοχικών δεδοµένων αποτελεί µια σειρά. εδοµένα που σχηµατίζουν σειρές προέρχονται γενικά από την καταγραφή της τιµής µιας µεταβλητής κατά την εξέλιξή της. Χρονοσειρά είναι η καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης Διάρθρωση ρ της παρουσίασης Εισαγωγή Στατιστική επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΡΟΓΑΙΑ. Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων. Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων

Υ ΡΟΓΑΙΑ. Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων. Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων Υ ΡΟΓΑΙΑ Λογισµικό ιαχείρισης Υδατικών Πόρων Υ ΡΟΝΟΜΕΑΣ: : Βέλτιστη διαχείριση υδροσυστηµάτων Υ ΡΟΓΑΙΑ: Υδρονοµέας Hydria Ζυγός Μοντέλο υδρολογικού ισοζυγίου λεκάνης Ρύπος Εκτίµηση ρυπαντικών φορτίων Ηριδανός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ... 25 1.3 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Ξηρασία (drought) Ξηρότητα (aridity)

Ξηρασία (drought) Ξηρότητα (aridity) Δρ Μ.Σπηλιώτη Λειψυδρία Προσωρινή κατάσταση Φυσικά Αίτια Ξηρασία (drought) Ανθρωπογενή Αίτια Έλλειμμα Νερού (water shortage) Μόνιμη κατάσταση Ξηρότητα (aridity) Λειψυδρία Ερημοποίηση (Desertification)

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Δ.Π.Μ.Σ.: «ΕΠΙΣΤΗΜΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» ΤΟΜΕΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Μάθημα: Διαχείριση Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 2ο: Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

Υδρονοµέας Σύστηµα υποστήριξης της διαχείρισης υδατικών πόρων

Υδρονοµέας Σύστηµα υποστήριξης της διαχείρισης υδατικών πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Υδρονοµέας Σύστηµα υποστήριξης της διαχείρισης υδατικών πόρων Γ. Καραβοκυρός Α. Ευστρατιαδης. Κουτσογιάννης Φεβρουάριος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών

Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών Από την οπτική γωνία της θεωρίας πιθανοτήτων οι υδρολογικές διεργασίες είναι στοχαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος =================================================================== ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ανάλυση δύο τυχαίων μεταβλητών - Εκτιμήσεις ελάχιστων τετραγώνων

Κεφάλαιο 7 Ανάλυση δύο τυχαίων μεταβλητών - Εκτιμήσεις ελάχιστων τετραγώνων Κεφάλαιο 7 Ανάλυση δύο τυχαίων μεταβλητών - Εκτιμήσεις ελάχιστων τετραγώνων Στα κεφάλαια 5 και 6 δώσαμε τη μεθοδολογία για την ανάλυση μίας υδρολογικής μεταβλητής καθώς και τις πιο συνηθισμένες συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογή προσομοίωσης Monte Carlo για την παραγωγή πλημμυρικών υδρογραφημάτων σε Μεσογειακές λεκάνες

Εφαρμογή προσομοίωσης Monte Carlo για την παραγωγή πλημμυρικών υδρογραφημάτων σε Μεσογειακές λεκάνες Εφαρμογή προσομοίωσης Monte Carlo για την παραγωγή πλημμυρικών υδρογραφημάτων σε Μεσογειακές λεκάνες Μαστροθεόδωρος Θεόδωρος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δεκέμβριος 2013 Σκοπός και διάρθρωση Μελέτη μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

Υδατικοί πόροι και έργα αξιοποίησης

Υδατικοί πόροι και έργα αξιοποίησης Σημειώσεις στο πλαίσιο του μαθήματος «Διαχείριση Υδατικών Πόρων» Υδατικοί πόροι και έργα αξιοποίησης Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΠΡΩΤΕΥΟΥΣΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τομέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας

Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Ημερίδα της ΕΥΔΑΠ για την Παγκόσμια Ημέρα Νερού Αθήνα, 22 Μαρτίου 2001 Συστήματα υποστήριξης αποφάσεων στη διαχείριση υδατικών πόρων: Η περίπτωση του υδροδοτικού συστήματος της Αθήνας Δημήτρης Κουτσογιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογική διερεύνηση λειτουργίας ταµιευτήρα Πλαστήρα

Υδρολογική διερεύνηση λειτουργίας ταµιευτήρα Πλαστήρα ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Παρουσίαση στα πλαίσια του µαθήµατος: «Περιβαλλοντικές Επιπτώσεις από Υδραυλικά Έργα» Υδρολογική διερεύνηση λειτουργίας ταµιευτήρα Πλαστήρα Ανδρέας Ευστρατιάδης,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΥΣΣΕΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Ο ΥΣΣΕΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ' Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης 2000-2006 Επιχειρησιακό Πρόγραµµα Ανταγωνιστικότητα ΝΑΜΑ ΕΜΠ ΕΥΑΚ ΑΕΙΦΟΡΙΚΗ MDS ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογική και ποιοτική θεώρηση της λειτουργίας του ταμιευτήρα Πλαστήρα

Υδρολογική και ποιοτική θεώρηση της λειτουργίας του ταμιευτήρα Πλαστήρα ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Περιβαλλοντικές Επιπτώσεις από Υδραυλικά Εργα Υδρολογική και ποιοτική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα