Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τις αρχές και μεθόδους της στατιστικής, τις οποίες παρουσιάσαμε ήδη στο κεφάλαιο 3, σε ένα από τα πιο τυπικά προβλήματα της στατιστικής υδρολογίας: στην ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής. Η υπό μελέτη υδρολογική μεταβλητή μπορεί να είναι οποιαδήποτε: βροχόπτωση ή απορροή, μέση ή μέγιστη, ετήσια ή μηνιαία, κτλ. Η ανάλυση περιλαμβάνει συνήθως τα εξής τρία βήματα: 1. Συμπύκνωση του δείγματος. Αυτή γίνεται είτε με αριθμητικό τρόπο, χρησιμοποιώντας ορισμένους αντιπροσωπευτικούς στατιστικούς δείκτες, είτε με γραφικό τρόπο, χρησιμοποιώντας ιστογράμματα και εμπειρικές συναρτήσεις κατανομής. 2. Προσαρμογή θεωρητικού μοντέλου. Αυτή περιλαμβάνει την επιλογή κατάλληλης συνάρτησης κατανομής για τη μεταβλητή, εκτίμηση των παραμέτρων της και στατιστικό έλεγχο της προσαρμογής. 3. Στατιστική πρόγνωση. Ανάλογα με το σκοπό της μελέτης, η πρόγνωση αποσκοπεί στην εκτίμηση της τιμής της μεταβλητής για δεδομένη περίοδο επαναφοράς. Η εκτίμηση αυτή μπορεί να είναι είτε σημειακή είτε εκτίμηση διαστήματος. Παρόλο που η τυπική αυτή στατιστική ανάλυση εφαρμόζεται για κάθε τύπο θεωρητικού μοντέλου, στα παραδείγματα αυτού του κεφαλαίου θα κάνουμε χρήση μόνο της κανονικής κατανομής, την οποία έχουμε ήδη μελετήσει στο εδάφιο Στο αμέσως επόμενο κεφάλαιο θα δώσουμε

2 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής το θεωρητικό υλικό καθώς και αντίστοιχα παραδείγματα για όλες τις άλλες συναρτήσεις κατανομής που χρησιμοποιούνται στην τεχνική υδρολογία. 5.1 Στατιστικά χαρακτηριστικά δείγματος Με τον όρο στατιστικά χαρακτηριστικά δείγματος εννοούμε διάφορους στατιστικούς δείκτες που συνοψίζουν σε λίγους αριθμούς τις πιο χαρακτηριστικές ιδιότητες του δείγματος. Διακρίνουμε δύο κατηγορίες στατιστικών χαρακτηριστικών. Η πρώτη περιλαμβάνει τις δειγματικές ροπές και τα παράγωγά τους χαρακτηριστικά. Συγκεκριμένα περιλαμβάνει: (α) τη δειγματική μέση τιμή, η οποία, όπως είδαμε, αποτελεί παράμετρο θέσης. (β) τη δειγματική διασπορά και τους παράγωγους δείκτες διασποράς (τυπική απόκλιση και συντελεστή μεταβλητότητας). (γ) την τρίτη κεντρική ροπή και το συντελεστή ασυμμετρίας. Η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει απλούστερους στατιστικούς δείκτες που ο υπολογισμός τους προϋποθέτει τη διάταξη του δείγματος σε φθίνουσα ή αύξουσα σειρά και γι αυτό εδώ αναφέρονται ως συνοπτικά χαρακτηριστικά διατεταγμένου δείγματος. Πρόκειται για την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του δείγματος, τη διάμεσο (παράμετρος θέσης), το άνω και κάτω τεταρτημόριο και το διατεταρτημοριακό πλάτος (παράμετρος διασποράς). Οι δειγματικές ροπές και τα παράγωγά τους χαρακτηριστικά υπολογίζονται με εφαρμογή των αντίστοιχων εκτιμητριών που έχουν δοθεί στο κεφάλαιο 3. Οι αντίστοιχοι τύποι δίνονται επίσης συγκεντρωμένοι στον Πίν. 5.1, και μάλιστα σε μορφή απλούστερη για υπολογισμούς. Δίνονται ακόμη οι συντελεστές διόρθωσης μεροληψίας (στήλη 3), με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιαστούν οι απλές εκτιμήσεις (στήλη 2) προκειμένου να υπολογιστούν οι αντίστοιχες αμερόληπτες εκτιμήσεις. Στον Πίν. 5.1 δίνεται επίσης και ο τρόπος εύρεσης των συνοπτικών χαρακτηριστικών του διατεταγμένου δείγματος.

3 5.5.1 Στατιστικά χαρακτηριστικά δείγματος 105 Πίν. 5.1 Τυπικά χαρακτηριστικά δείγματος και τρόπος υπολογισμού τους Στατιστικός δείκτης Απλή εκτίμηση Συντελεστής διόρθωσης μεροληψίας 1. Δειγματικές ροπές και παράγωγα χαρακτηριστικά Μέση τιμή x = 1 n x i Διασπορά s X = xi ( x 2 i) n n 1 = xi x n 2 2 Τυπική απόκλιση s X Συντελεστής μεταβλητότητας C v = sx X x Τρίτη κεντρική ( 3) µ X = x i ( x i )( x i ) ( x 2 3 i ) ροπή n + n n 1 = x xs x n i 3 X Συντελεστής ασυμμετρίας Cs = µ 3) X X 3 s X 2. Συνοπτικά χαρακτηριστικά διατεταγμένου δείγματος Ελάχιστη τιμή = min(,,, ) ( xmin x x x n Μέγιστη τιμή = max(,,, ) Διάμεσος Κάτω τεταρτημόριο Άνω τεταρτημόριο Διατεταρτημοριακό εύρος xmax x x x n 3 n n 1 n n 1 n n 1 n 2 ( n 1)( n 2) βλ. εδάφιο x 0.5 : Ο μεσαίος όρος του διατεταγμένου δείγματος, ή για άρτιο μέγεθος δείγματος, ο μέσος όρος των δύο μεσαίων όρων του. x 0.25 : Η διάμεσος του τμήματος του δείγματος που περιλαμβάνει τις τιμές x i x^0.5. x 0.75 : Η διάμεσος του τμήματος του δείγματος που περιλαμβάνει τις τιμές x i x^0.5. δ X = x x

4 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Τα συνοπτικά χαρακτηριστικά του διατεταγμένου δείγματος μπορούν να απεικονιστούν και με τη μορφή απλού διαγράμματος, της συνοπτικής παράστασης δείγματος (στη διεθνή βιβλιογραφία αναφέρεται ως box plot), όπως αυτό του Σχ. 5.1 (σ. 111). Ένα τέτοιο διάγραμμα περιλαμβάνει ένα κεντρικό ορθογώνιο κουτί και δύο κατακόρυφες κεραίες πάνω και κάτω από το κουτί. Όλα αυτά τα στοιχεία απεικονίζονται σε κατάλληλη κατακόρυφη κλίμακα. Για τη σχεδίαση ακολουθούνται οι εξής οδηγίες (Hirsch et al., 1993, σ ): 1. Η μεσαία γραμμή του κουτιού αντιπροσωπεύει τη διάμεσο του δείγματος. 2. Η κάτω γραμμή (βάση) του κουτιού αντιπροσωπεύει το κάτω τεταρτημόριο του δείγματος. 3. Η πάνω γραμμή (οροφή) του κουτιού αντιπροσωπεύει το άνω τεταρτημόριο του δείγματος. 4. Ορίζεται το βοηθητικό μέγεθος βήμα το οποίο είναι 1.5 φορές το διατεταρτημοριακό πλάτος. 5. Η κάτω κεραία εκτείνεται από τη βάση του κουτιού μέχρι τη μικρότερη τιμή του δείγματος που βρίσκεται μέσα στα όρια ενός βήματος από τη βάση του κουτιού. 6. Η άνω κεραία εκτείνεται από την οροφή του κουτιού μέχρι τη μεγαλύτερη τιμή του δείγματος που βρίσκεται μέσα στα όρια ενός βήματος από την οροφή του κουτιού. 7. Τιμές του δείγματος που βρίσκονται έξω από τα όρια των κεραιών και απέχουν 1-2 βήματα από τη βάση ή την οροφή του κουτιού χαρακτηρίζονται ως εξωτερικές και σημειώνονται στο διάγραμμα με το σύμβολο. 8. Τιμές του δείγματος που βρίσκονται έξω από τα όρια των κεραιών και απέχουν περισσότερο από 2 βήματα από τη βάση ή την οροφή του κουτιού χαρακτηρίζονται ως μακρινές εξωτερικές και σημειώνονται στο διάγραμμα με το σύμβολο. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του δείγματος σημειώνονται στη συνοπτική παράσταση δείγματος είτε ως όρια των κεραιών, εφόσον δεν απέχουν περισσότερο από ένα βήμα από τα όρια

5 5.5.1 Στατιστικά χαρακτηριστικά δείγματος 107 του κουτιού, είτε διαφορετικά ως εξωτερικές ή μακρινές εξωτερικές τιμές. Η συνοπτική παράσταση ενός δείγματος δίνει με πολύ σαφή τρόπο τη γενική στατιστική εικόνα του, απεικονίζοντας ταυτόχρονα χαρακτηριστικά θέσης (διάμεσος), διασποράς (διατεταρτημοριακό πλάτος) και ασυμμετρίας. Η συμμετρία ή ασυμμετρία του δείγματος αναγνωρίζεται από θέση της μεσαίας γραμμής σε σχέση με τις βάσεις του κουτιού, καθώς και από τη σύγκριση των μηκών των κεραιών. Ακόμη το διάγραμμα δίνει πληροφορίες για το πόσο κοντά στην κανονική κατανομή είναι ένα δείγμα. Αν η μεταβλητή του δείγματος είναι κανονική, τότε αναμένεται κατ αρχήν συμμετρική εικόνα του διαγράμματος, και επίσης δεν αναμένονται εξωτερικές και μακρινές εξωτερικές τιμές, παρά μόνο με συχνότητες 1 στα 100 και 1 στα σημεία, αντίστοιχα. Εφαρμογή 5.1 Στον Πίν. 5.2 δίνεται το δείγμα των ετήσιων απορροών της λεκάνης του ποταμού Ευήνου ανάντη του υδρομετρικού σταθμού Πόρος Ρηγανίου. * Ζητείται ο υπολογισμός των στατιστικών χαρακτηριστικών του και η σχεδίαση της συνοπτικής παράστασής του. Πίν. 5.2 Δείγμα ετήσιου όγκου απορροής (σε hm 3 ) στη θέση Πόρος Ρηγανίου του ποταμού Ευήνου. Υδρολογ. έτος Όγκος απορροής Υδρολογ. έτος Όγκος απορροής Υδρολογ. έτος Όγκος απορροής * Η θέση Πόρος Ρηγανίου βρίσκεται σε αρκετή απόσταση κατάντη του φράγματος Αγίου Δημητρίου, το οποίο εντάσσεται στο σύστημα υδατικών πόρων που χρησιμοποιείται για την ύδρευση της Αθήνας. Το δείγμα των απορροών του Πόρου Ρηγανίου χρησιμοποιήθηκε (μετά από κατάλληλη αναγωγή) για τη μελέτη του ταμιευτήρα Αγίου Δημητρίου. Υπενθυμίζεται ότι η μονάδα hm 3 σημαίνει κυβικά εκατόμετρα (1 hm 3 = (100 m) 3 = m 3 ).

6 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής α. Δειγματικές ροπές και παράγωγα χαρακτηριστικά Αν και σήμερα ο υπολογισμός των ροπών γίνεται αυτόματα με υπολογιστές ή αριθμομηχανές, εδώ εκθέτουμε για διδακτικούς λόγους τον υπολογισμό των στατιστικών χαρακτηριστικών με το χέρι. Πίν. 5.3 Βοηθητικοί υπολογισμοί για την Εφαρμογή 5.1. i x i 2 x i 3 x i Άθροισμα Ο υπολογισμός των αθροισμάτων x, x 2 και x 3 γίνεται στον Πίν Έχουμε x = , x 2 = και x 3 = Η μέση τιμή του δείγματος είναι Η διασπορά είναι x = x / n = / 21 = hm 3 s 2 X = x 2 / n - x 2 = / = (hm 3 ) 2

7 5.5.1 Στατιστικά χαρακτηριστικά δείγματος 109 η τυπική απόκλιση s X = = hm 3 και ο συντελεστής μεταβλητότητας Η τρίτη κεντρική ροπή είναι C^ v X = s X / x = / = 0.29 μ^(3) X = x 3 / n 3 x s 2 X x 3 = = / = (hm 3 ) 3 και ο συντελεστής ασυμμετρίας C^ s X = μ^(3) X / s 3 X = / = 0.31 Οι συντελεστές διόρθωσης μεροληψίας είναι: (α) για τη διασπορά n / (n 1) = 21 / 20 = (β) για την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβλητότητας (κατά προσέγγιση) n / (n 1) = 1.05 = και (γ) για την τρίτη κεντρική ροπή (και κατά προσέγγιση για το συντελεστή ασυμμετρίας, βλ. εξίσωση 3.28) n 2 / [(n 1) (n 2)] = 21 2 / (20 19) = 1.16 β. Συνοπτικά χαρακτηριστικά διατεταγμένου δείγματος Το δείγμα, διατεταγμένο σε φθίνουσα σειρά, φαίνεται στον Πίν Από τον πίνακα αυτό υπολογίζονται άμεσα τα συνοπτικά χαρακτηριστικά διατεταγμένου δείγματος, τα οποία δίνονται στον Πίν H διάμεσος είναι η 11η στη σειρά (μεσαία) τιμή του διατεταγμένου δείγματος, ενώ το κάτω και άνω τεταρτημόριο είναι η 16η και 6η στη σειρά τιμή, αντίστοιχα.

8 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Πίν. 5.4 Στατιστικά χαρακτηριστικά (ροπές και παράγωγα χαρακτηριστικά) του δείγματος του ετήσιου όγκου απορροής (σε hm 3 ) στη θέση Πόρος Ρηγανίου του ποταμού Ευήνου. Στατιστικός δείκτης Απλή εκτίμηση Συντελεστής διόρθωσης μεροληψίας Αμερόληπτη εκτίμηση Μέση τιμή x = x / n = x = Διασπορά s 2 X = x 2 n / n 2 x = = 1.05 n 1 s*2 X = Τυπική n s X = απόκλιση n 1 = s* X Συντελεστής μεταβλητότητας C^ v X = s X / n x = 0.29 n 1 = C^ *v X 0.29 Τρίτη κεντρική ροπή Συντελεστής ασυμμετρίας µ^(3) X = x 3 /n 3x s 2 X x 3 = n 2 (n 1)(n 2) =1.16 µ^*(3) X = C^ s X = µ^(3) X / s 3 X = (n 1)(n 2) =1.16 C^ *s X 0.36 Πίν. 5.5 Διατεταγμένο (σε φθίνουσα σειρά) δείγμα ετήσιου όγκου απορροής (σε hm 3 ) στη θέση Πόρος Ρηγανίου του ποταμού Ευήνου. Α/Α Όγκος Όγκος Όγκος Α/Α Α/Α απορροής απορροής απορροής γ. Σχεδίαση συνοπτικής παράστασης δείγματος Ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφηκε στην ενότητα 5.1 και χρησιμοποιώντας τα συνοπτικά χαρακτηριστικά διατεταγμένου δείγματος (Πίν. 5.4) σχεδιάζουμε εύκολα το διάγραμμα του Σχ Το βήμα της συνοπτικής παράστασης είναι = 441 hm 3 και επομένως η μέγιστη τεταγμένη της άνω κεραίας είναι = 1315 n 2

9 5.5.2 Ιστογράμματα 111 hm 3. Δεδομένου, όμως, ότι η μέγιστη τιμή του δείγματος είναι 1064 hm 3, η άνω κεραία πρέπει να εκτείνεται μέχρι αυτή την τιμή. Αντίστοιχα, η ελάχιστη τεταγμένη της κάτω κεραίας είναι = 139 hm 3. Δεδομένου, όμως, ότι η ελάχιστη τιμή του δείγματος είναι 217 hm 3, η κάτω κεραία πρέπει να εκτείνεται μέχρι αυτή την τιμή. Πίν. 5.6 Συνοπτικά χαρακτηριστικά του διατεταγμένου δείγματος του ετήσιου όγκου απορροής (σε hm 3 ) στη θέση Πόρος Ρηγανίου του ποταμού Ευήνου. Στατιστικός δείκτης Εκτίμηση Ελάχιστη τιμή x^max = min(x 1,, x n ) = 217 Μέγιστη τιμή x^max = max(x 1,, x n ) = 1064 Διάμεσος x^0.5 = x (11) = 715 Κάτω τεταρτημόριο x^0.25 = x (16) =580 Άνω τεταρτημόριο x^0.75 = x (6) = 874 Διατεταρτημοριακό εύρος d^x = x^ x^0.25 = 294 Ετήσιος όγκος απορροής [hm 3 ] Μέγιστη τιμή (1064) Άνω τεταρτημόριο (874) Διάμεσος (715) Κάτω τεταρτημόριο (580) Ελάχιστη τιμή (217) 0 Σχ. 5.1 Συνοπτική παράσταση δείγματος (box plot) για το παράδειγμα της εφαρμογής Ιστογράμματα Ένα άλλο τρόπο γραφικής παράστασης ενός δείγματος παρέχουν τα ιστογράμματα, τα οποία προϋποθέτουν την κατάταξη των τιμών του δείγμα-

10 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής τος σε k διαστήματα μεγέθους Δ. Έστω ότι το i διάστημα έχει όρια c i και c i+1 = c i + Δ και ότι ο αριθμός των τιμών του δείγματος που βρίσκονται στο i διάστημα, δηλαδή αυτών που ικανοποιούν τη σχέση c i x < c i+1, είναι n i. Ορίζουμε ως ιστόγραμμα την κλιμακωτή συνάρτηση ( ) ϕ x ni = c x c i k n i < i+ = 1 1,, (5.1) της οποίας η γραφική παράσταση έχει τη μορφή του Σχ Συχνά η συνάρτηση του ιστογράμματος ορίζεται με απλούστερους τρόπους ως φ(x) = n i /n, ή και φ(x) = n i. Για τις τελευταίες χρησιμοποιούμε τους όρους ιστόγραμμα σχετικής συχνότητας και ιστόγραμμα απόλυτης συχνότητας, αντίστοιχα. Προς αποφυγή σύγχυσης, για τη συνάρτηση της (5.1) χρησιμοποιούμε και τον όρο ιστόγραμμα πυκνότητας συχνότητας. Προκειμένου να καταρτίσουμε το ιστόγραμμα, αρχικά επιλέγουμε τον αριθμό των διαστημάτων k. Κατά κανόνα λαμβάνουμε k = ln n / ln 2 και την τιμή που προκύπτει τη στρογγυλεύουμε προς τα πάνω. Το μέγεθος των διαστημάτων Δ το παίρνουμε ίσο για όλα τα διαστήματα (αν και για το ιστόγραμμα πυκνότητας συχνότητας είναι επιτρεπτά και άνισα διαστήματα). Εφαρμογή 5.2 Να σχεδιαστεί το ιστόγραμμα για το δείγμα της Εφαρμογής 5.1. Ο αριθμός των κλάσεων θα πρέπει να ληφθεί k = ln 21 / ln 2 = 4.4. Στρογγυλεύοντας προς τα πάνω, επιλέγουμε 5 κλάσεις. Το διάστημα μεταβολής των τιμών της μεταβλητής στο δείγμα είναι το [217, 1064]. Στρογγυλεύοντας, παίρνουμε για διάστημα μεταβολής το [200, 1100] με Δ = ( ) / 5 = 180. Οι υπόλοιποι υπολογισμοί δίνονται σε πινακοποιημένη μορφή στον Πίν. 5.7 και το ιστόγραμμα παρουσιάζεται στο Σχ Για λόγους σύγκρισης έχει χαραχτεί και η θεωρητική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής (βλ. ενότητα 5.4).

11 5.5.3 Εμπειρική συνάρτηση κατανομής 113 Πίν. 5.7 Υπολογισμοί για το ιστόγραμμα της Εφαρμογής 5.2. A/A Όρια κλάσεων Απόλυτη συχνότητα n i Σχετική συχνότητα n i / n Πυκνότητα συχνότητας φ = n i / (n ) Πυκνότηταπιθανότητας f X (x ) [hm 3 ] Ετήσιος όγκος απορροής, x [hm 3 ] Σχ. 5.2 Ιστόγραμμα για το παράδειγμα της εφαρμογής 5.2. Με διακεκομμένη γραμμή έχει χαραχτεί (για σύγκριση) η πυκνότητα πιθανότητας της κανονικής κατανομής N(725, 211.5). 5.3 Εμπειρική συνάρτηση κατανομής Όπως το ιστόγραμμα είναι το εμπειρικό αντίστοιχο της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, έτσι έχουμε και εμπειρικό αντίστοιχο της συνάρτησης κατανομής, το οποίο λέγεται εμπειρική συνάρτηση κατανο-

12 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής μής. Μια τέτοια εμπειρική συνάρτηση μπορεί κατ αρχήν να κατασκευαστεί από ένα ιστόγραμμα, με ολοκλήρωσή του ως προς x, οπότε προκύπτει μια αύξουσα τεθλασμένη που αντιστοιχεί σε κάποιο είδος συνάρτησης κατανομής. Ωστόσο, η εισαγωγή της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής μπορεί να γίνει με αμεσότερο και αντικειμενικότερο τρόπο, χωρίς τη μεσολάβηση του ιστογράμματος, το οποίο έχει κάποιο βαθμό υποκειμενικότητας λόγω της αυθαίρετης επιλογής των διαστημάτων και των ορίων τους Κλασική εμπειρική συνάρτηση κατανομής Έστω η τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση κατανομής F(x) και το δείγμα της X 1, X 2,, X n. Συμβολίζουμε με X (1) τη μεγαλύτερη από τις μεταβλητές του δείγματος, X (2) την αμέσως μικρότερη, κοκ., έτσι ώστε οι μεταβλητές X (1) X (2) X (n) να παριστάνουν το δείγμα διατεταγμένο σε φθίνουσα σειρά. Οι X (1), X (2),, X (n) λέγονται και διατεταγμένες στατιστικές συναρτήσεις. Σύμφωνα με τον κλασικό τρόπο, η εμπειρική συνάρτηση κατανομής είναι κλιμακωτή και ορίζεται από τη σχέση () Fx n = n x (5.2) όπου n x είναι ο αριθμός των τιμών του δείγματος που δεν υπερβαίνουν την τιμή x. Η F ( x ) αποτελεί σημειακή εκτίμηση της άγνωστης συνάρτησης κατανομής του πληθυσμού F(x) Θέσεις σχεδίασης Ονομάζουμε θέση σχεδίασης (plotting position) q i της τιμής x (i) του διατεταγμένου δείγματος την εμπειρική πιθανότητα υπέρβασης της τιμής αυτής. Με βάση τον κλασικό τρόπο ορισμού της εμπειρικής κατανομής, για x = x (1) θα έχουμε n x = n, και γενικότερα για x = x (i) θα έχουμε n x = n + 1 i. Κατά συνέπεια η εμπειρική συνάρτηση κατανομής είναι ( ) n i i = + 1 i = 1,, n (5.3) n Fx ()

13 5.5.3 Εμπειρική συνάρτηση κατανομής 115 οπότε η θέση σχεδίασης, δηλαδή η εμπειρική πιθανότητα υπέρβασης είναι ( ()) ( ()) i qi = F x i = F x i = i = 1,, n (5.4) n Παρατηρούμε ότι για n = 1 η πιο πάνω εξίσωση δίνει μηδενική πιθανότητα υπέρβασης. Έτσι, αν για παράδειγμα έχουμε ένα δείγμα ετήσιων βροχοπτώσεων με μέγιστη τιμή x (1) = 1800 mm, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι η πιθανότητα ετήσιας βροχόπτωσης μεγαλύτερης από 1800 mm είναι μηδενική. Αυτό φυσικά είναι εσφαλμένο συμπέρασμα. Για την άρση του παραπάνω προβλήματος χρησιμοποιούμε την τυχαία μεταβλητή ( ) ( ) Ui = F1 X() i = 1 F X() i (5.5) Μια σημειακή εκτίμηση αυτής της μεταβλητής αποτελεί ταυτόχρονα και εκτίμηση της q i. Κατ αρχήν δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τιμές της U i από το δείγμα δεδομένου ότι η F(x) είναι άγνωστη συνάρτηση. Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι η κατανομή της U i είναι ανεξάρτητη της F(x) και έχει μέση τιμή * i EU [ i ] = (5.6) n + 1 και διασπορά [ ] Var U i = in ( i+ 1) ( n+ 1) ( n+ 2) 2 (5.7) Ακριβέστερα και σύμφωνα με την ορολογία του κεφαλαίου 3, πρόκειται για πρόγνωση της μεταβλητής, εφόσον η U i είναι τυχαία μεταβλητή και όχι παράμετρος. Προκύπτει από τη συνάρτηση κατανομής των διατεταγμένων στατιστικών συναρτήσεων (βλ. πχ. Papoulis, 1990, σ ) μετά από κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής. * Για την ακρίβεια η U i έχει συνάρτηση κατανομής βήτα (βλ. εδάφιο με παραμέτρους i και n i + 1.

14 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Η απλούστερη εκτίμηση της U i είναι η μέση τιμή της, δηλαδή i qi = (5.8) n + 1 η οποία είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως θέση σχεδίασης Weibull ή αμερόληπτη ως προς την πιθανότητα υπέρβασης θέση σχεδίασης. Ο δεύτερος χαρακτηρισμός οφείλεται στην ιδιότητά της: q i = E[U i ] = E[F(X (i) )]. Παρατηρούμε ότι με αυτή την εκτίμηση έχει αρθεί το πρόβλημα του μηδενισμού της q i για i = 1. Πράγματι για i = 1 έχουμε q i = 1 / (n + 1) και για i = n, q i = n / (n + 1). Η εξίσωση (5.8) είναι η πιο διαδεδομένη για την εκτίμηση εμπειρικών πιθανοτήτων υπέρβασης στην τεχνική υδρολογία, αλλά δεν είναι η μοναδική. Άλλες παρόμοιες εξισώσεις έχουν αναπτυχθεί με στόχο να δίνουν αμερόληπτες εκτιμήσεις ποσοστημορίων, δηλαδή να ικανοποιούν (κατά προσέγγιση) τη συνθήκη ( i) = [ i ] = [ ( i) ] 1 1 F q E X() E F U (5.9) Στην περίπτωση αυτή η εκτίμηση, αντίθετα από αυτήν της (5.8), δεν είναι ανεξάρτητη της συνάρτησης κατανομής F(x). Πάντως στην πράξη οι διάφορες εξισώσεις που έχουν αναπτυχθεί εκφράζονται με το γενικό τύπο q i = i a n+ 1 2a (5.10) όπου a σταθερά (<1). Ο τύπος αυτός είναι αντισυμμετρικός με την έννοια ότι q i = 1 q n+1 i και εμπεριέχει, ως ειδική περίπτωση (a = 0), και την (5.8). Στον Πίν. 5.8 δίνονται οι συνηθέστεροι στην τεχνική υδρολογία τύποι υπολογισμού της θέσης σχεδίασης μαζί με τις αντίστοιχες τιμές της σταθεράς a. Η εφαρμογή των διάφορων σχέσεων δίνει πρακτικά τα ίδια αποτελέσματα, εκτός από τις πολύ μικρές του i και ιδίως για i = 1, όπου διαφοροποιούνται αισθητά. Η τιμή για i = 1 έχει μεγάλη σημασία για την τεχνική υδρολογία, γιατί δίνει την εμπειρική περίοδο επαναφοράς της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος, δηλαδή την T 1 = 1 / q 1. Η διαφοροποίηση του T 1 για τους διάφορους τύπους φαίνεται στον Πίν. 5.8.

15 5.5.3 Εμπειρική συνάρτηση κατανομής 117 Πίν. 5.8 Εναλλακτικοί τύποι υπολογισμού εμπειρικών πιθανοτήτων υπέρβασης * Όνομα Weibull Blom Cunnane Gringorten Hazen Τύπος q i = i n + 1 i n i 0.4 n i 0.44 n i 0. 5 n Σταθερά a = Περίοδος επαναφοράς μέγ. τιμής T 1 = Εφαρμοσιμότητα 0 n + 1 Όλες οι κατανομές, αμερόληπτη εκτίμηση πιθανότητας υπέρβασης n Κανονική κατανομή, αμερόληπτη εκτίμηση ποσοστημορίων n Μεγάλο εύρος κατανομών, κατά προσέγγιση αμερόληπτη εκτίμηση ποσοστημορίων n Κατανομή Gumbel n Εμπειρική εκτίμηση ιστορικής αξίας. σήμερα τείνει να εγκαταλειφθεί Χαρτιά πιθανότητας Έχοντας εκτιμήσει τη θέση σχεδίασης κάθε τιμής του δείγματος με κάποιον από τους παραπάνω τρόπους, διαθέτουμε ένα σύνολο από n σημεία (x (i), q i ) ή (x (i), 1 q i ), τα οποία μπορούν να παρασταθούν γραφικά ώστε να πάρουμε μια εικόνα της συνάρτησης κατανομής. Αυτό μπορεί κατ αρχήν να γίνει σε κοινό ή μιλιμετρέ χαρτί, οπότε θα προκύψει ένα γράφημα παρόμοιο με αυτό του Σχ. 2.1 ή του Σχ. 2.3β, με τη διαφορά ότι, αντί της κλιμακωτής ή της συνεχούς γραμμής, θα έχουμε απλώς ένα σύνολο από σημεία. Όμως, στην τεχνική υδρολογία, επειδή η πληροφορία που παρέχει ένα τέτοιο διάγραμμα είναι πολύ ουσιαστική, είμαστε πιο συστηματικοί στη σχεδίασή του. Συγκεκριμένα, επιδιώκουμε, μέσω κατάλληλων μετασχηματισμών των αξόνων, να δώσουμε ευθύγραμμη * Βλ. και Stedinger et al. (1993) όπου δίνονται και άλλοι τύποι. Βλ. κεφάλαιο 6.

16 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής διάταξη στα σημεία. Αυτό εξυπηρετεί διάφορους σκοπούς, όπως την ευκολότερη σχεδίαση, τη σαφέστερη σύγκριση θεωρητικής και εμπειρικής κατανομής, την ευκολότερη γραφική επέκταση έξω από τα όρια του δείγματος κ.ά. Χαρτιά στα οποία έχουν σχεδιαστεί οι άξονες με κατάλληλους μετασχηματισμούς, ώστε τα γραφήματα συγκεκριμένων συναρτήσεων κατανομής να παριστάνονται ως ευθείες, λέγονται χαρτιά πιθανότητας. Τέτοια χαρτιά συνήθως υπάρχουν έτοιμα (όπως το λογαριθμικό χαρτί) αλλά μπορούν και να κατασκευαστούν εύκολα. Ας πάρουμε για παράδειγμα την κανονική κατανομή N(μ, σ). Αν παραστήσουμε γραφικά τη συνάρτηση F(x) με οριζόντιο άξονα h = F και κατακόρυφο v = x, τότε θα προκύψει ένα γράφημα μορφής. Γνωρίζουμε όμως ότι x = µ + σ z F, όπου z F το F-ποσοστημόριο της τυποποιημένης κανονικής κατανομής N(0, 1). Κατά συνέπεια, αν θέσουμε στον οριζόντιο άξονα h = z F, τότε η εξίσωση του γραφήματος θα είναι v = μ + σ h, η οποία παριστάνει ευθεία. Αυτό ισοδυναμεί με το μετασχηματισμό του οριζόντιου άξονα h = zf = F 1 0 ( F), όπου F 1 0 () η αντίστροφη της τυποποιημένης κανονικής συνάρτησης κατανομής. Με άλλους κατάλληλους μετασχηματισμούς του οριζόντιου ή/και του κατακόρυφου άξονα μπορούμε να πετύχουμε ευθειοποίηση των γραφημάτων άλλων συναρτήσεων κατανομής, όπως αναλυτικότερα θα δούμε στο κεφάλαιο 6. Επειδή υπάρχει ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των μεγεθών F και z F, η βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα μπορεί να γίνει σε μονάδες F αντί z F, πράγμα που διευκολύνει τη διαδικασία κατάρτισης της γραφικής παράστασης. Ακόμη, η βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα μπορεί να γίνει ως προς την πιθανότητα υπέρβασης F 1 = 1 F ή ως προς την περίοδο επαναφοράς T = 1 / F 1. Ένα παράδειγμα χαρτιού κανονικής κατανομής φαίνεται στο Σχ. 5.3, όπου μάλιστα φαίνονται ταυτόχρονα δύο βαθμονομήσεις του οριζόντιου άξονα, ως προς z F και ως προς F 1. Η γραφική παράσταση του σημειοσυνόλου της εμπειρικής συχνότητας υπέρβασης (x (i), q i ) σε χαρτί κανονικής κατανομής (δηλαδή h = z1 q, v = x i ()) i θα δίνει μια περίπου ευθύγραμμη διάταξη των σημείων αν η κατανομή του πληθυσμού X είναι κανονική. Έτσι η γραφική παράσταση αυτή μας προσφέρει ένα γραφικό τρόπο ελέγχου της κανονικότητας ως προς την κατανομή ενός δείγματος. Τα παραπάνω διευκρινίζονται με το παράδειγμα που ακολουθεί.

17 5.5.3 Εμπειρική συνάρτηση κατανομής 119 Ετήσιος όγκος απορροής, x [hm 3 ] Εφαρμογή 5.3 Να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν σε χαρτί κανονικής κατανομής οι εμπειρικές πιθανότητες υπέρβασης για το δείγμα της Εφαρμογής 5.1. Για τον υπολογισμό των εμπειρικών πιθανοτήτων υπέρβασης θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους Weibull (αμερόληπτη εκτίμηση πιθανότητας υπέρβασης) και Blom (αμερόληπτη εκτίμηση ποσοστημορίων κανονικής κατανομής, βλ. και Πίν. 5.8). Οι υπολογισμοί είναι απλούστατοι και προϋποθέτουν την κατάταξη του δείγματος σε φθίνουσα σειρά (βλ. Πίν. 5.5). Πινακοποίησή τους δίνεται στον Πίν Οι δύο τελευταίες στήλες κανονικά δεν είναι απαραίτητες αλλά έχουν συμπεριληφθεί για λόγους πληρότητας. Χρειάζονται μόνο στην περίπτωση που δεν διατίθεται κατάλληλα γραμμογραφημένο χαρτί κανονικής κατανομής (όπως αυτό του Σχ. 5.3), οπότε απεικονίζονται οι παρατηρημένες τιμές της μεταβλητής x i συναρτήσει των τιμών της τυποποιημένης κανονικής μεταβλητές z 1 qi. Οι τελευταίες είτε βρίσκονται από τον πίνακα της κανονικής κατανομής (Πίν. Π1), είτε υπολογίζονται με αριθμητικές μεθόδους (βλ. εδάφιο και Παράρτημα 6.Α). Η απεικόνιση των εμπειρικών πιθανοτήτων υπέρβασης του δείγματος έγινε στο Σχ Για λόγους σύγκρισης έχει χαραχτεί και η θεωρητική συνάρτηση κανονικής κατανομής (βλ. ενότητα 5.5.4) Πιθανότητα υπέρβ ασης, F 1X (x ) Ανηγμένη μεταβ λητή Gauss, z Σχ. 5.3 Εμπειρική συνάρτηση κατανομής κατά Weibull (ρόμβοι) και Blom (σύμβολα ) σε χαρτί κανονικής κατανομής, για το παράδειγμα της Εφαρμογής 5.3. Με συνεχή γραμμή απεικονίζεται η κανονική συνάρτηση κατανομής N(725, 211.5) και με διακεκομμένες τα αντίστοιχα όρια εμπιστοσύνης 95% (βλ. και Εφαρμογή 5.4 καθώς και Εφαρμογή 5.6).

18 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Πίν. 5.9 Υπολογισμοί εμπειρικών πιθανοτήτων υπέρβασης για την Εφαρμογή 5.3. A/A Τιμή μεταβλητής Εμπειρική πιθανότητα υπέρβασης Τιμή τυποποιημένης κανονικής μεταβλητής i q i = n+1 q i = i n+0.25 z 1 qi z 1 qi Weibull Blom Weibull Blom n = Επιλογή και προσαρμογή θεωρητικής συνάρτησης κατανομής Αφού εκτελέσουμε τα προηγούμενα, τα οποία αφορούν στη συμπύκνωση του δείγματος. είμαστε σε θέση να κάνουμε και κάποιες στατιστικές εκτιμήσεις ή προγνώσεις. Για παράδειγμα από ένα δείγμα ετήσιων παροχών μήκους 20 ετών μπορούμε να βρούμε τη μέση υπερετήσια παροχή (ίση με το μέσο όρο του δείγματος) ή την παροχή περιόδου επαναφοράς 10

19 5.5.4 Επιλογή και προσαρμογή θεωρητικής συνάρτησης κατανομής 121 ετών (περίπου ίση με τη δεύτερη σε μέγεθος τιμή του δείγματος), κτλ. Ωστόσο η εμβέλεια αυτών των εκτιμήσεων ή προγνώσεων είναι περιορισμένη. Έτσι δεν μπορούμε, στο παράδειγμά μας, να εκτιμήσουμε την παροχή περιόδου επαναφοράς 100 ετών, αφού δεν υπάρχει τρόπος επέκτασης έξω από τα όρια των 20 ετών που καλύπτει το δείγμα. Επίσης δεν μπορούμε να κάνουμε εκτιμήσεις διαστήματος για τα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν. Τα παραπάνω προβλήματα δεν θα υπήρχαν αν ξέραμε τη συνάρτηση κατανομής του πληθυσμού. Γενικά, η κατανομή του πληθυσμού μπορεί να είναι οποιαδήποτε συνάρτηση που υπακούει στους περιορισμούς (2.4). Η ακριβής γνώση της συνάρτησης κατανομής του πληθυσμού θα απαιτούσε να έχουμε μετρήσει τον ίδιο τον πληθυσμό στο σύνολό του, ή πρακτικώς να έχουμε ένα δείγμα πολύ μεγαλύτερο από τη χρονική εμβέλεια των εκτιμήσεων που πρόκειται να κάνουμε. Βεβαίως αυτό δεν μπορεί ποτέ να πραγματοποιηθεί, και έτσι η λύση που μένει είναι να υποθέσουμε ένα πιθανοτικό μοντέλο για τον πληθυσμό. Με τον όρο πιθανοτικό μοντέλο εννοούμε μια από τις τυπικές συναρτήσεις κατανομής της θεωρίας πιθανοτήτων που έχουν ένα συγκεκριμένο και σχετικώς απλό μαθηματικό τύπο. Το πιο τυπικό παράδειγμα είναι η κανονική κατανομή με συνάρτηση που δίνεται από τη (2.61). Άλλα παραδείγματα θα δοθούν στο κεφάλαιο 6. Βεβαίως, η χρήση ενός πιθανοτικού μοντέλου αποτελεί πάντα μια προσέγγιση της πραγματικότητας. Οι κατανομές των υδρολογικών μεταβλητών ποτέ δεν ταυτίζονται με τις απλές κατανομές της θεωρίας πιθανοτήτων. Στην επιλογή του κατάλληλου μοντέλου μας οδηγούν τα ακόλουθα: 1. Η πιθανοθεωρία. Σε μερικές περιπτώσεις υπάρχουν θεωρητικοί λόγοι για τους οποίους μια συγκεκριμένη υδρολογική μεταβλητή αναμένεται να ακολουθεί συγκεκριμένο τύπο κατανομής. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα, η ετήσια βροχόπτωση μιας περιοχής με πλούσιες βροχοπτώσεις αναμένεται να ακολουθεί κανονική κατανομή (βλ. και εδάφιο 2.8.1). 2. Η γενική υδρολογική εμπειρία. Σε πολλές περιπτώσεις η υδρολογική εμπειρία έχει δείξει ότι συγκεκριμένες υδρολογικές μεταβλητές ακολουθούν συγκεκριμένους τύπους κατανομής, αν και δεν υπάρχουν σαφείς πιθανοθεωρητικοί λόγοι που να οδηγούν στις τελευταίες. Για

20 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής παράδειγμα, οι μηνιαίες απορροές πολύ συχνά ακολουθούν κατανομές γάμα ή λογαριθμοκανονικές (βλ. κεφάλαιο 6). 3. Η εξέταση του συγκεκριμένου δείγματος. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά του διαθέσιμου ιστορικού δείγματος μας βοηθούν στην επιλογή ή την απόρριψη συγκεκριμένου τύπου κατανομής. Για παράδειγμα, αν ο δειγματικός συντελεστής ασυμμετρίας έχει τιμή κοντά στο μηδέν, τότε μπορεί να επιλεγεί η κανονική (ή κάποια άλλη συμμετρική) κατανομή. Αντίθετα, αν ο συντελεστής ασυμμετρίας διαφέρει αρκετά από το μηδέν, θα πρέπει να αποκλειστεί η χρήση της κανονικής κατανομής. Βεβαίως, η καταλληλότητα ενός συγκεκριμένου τύπου κατανομής δεν εξασφαλίζεται με τα παραπάνω κριτήρια, τα οποία αποτελούν απλώς ενδείξεις καταλληλότητας. Ο ουσιαστικός έλεγχος της καταλληλότητας της κατανομής γίνεται εκ των υστέρων. Αφού υπολογιστούν και οι παράμετροί της, ελέγχεται ο βαθμός προσαρμογής της στην εμπειρική συνάρτηση κατανομής του δείγματος. Αυτό μπορεί να γίνει κατ αρχήν εμπειρικά, με βάση τη γραφική απεικόνιση της εμπειρικής και θεωρητικής συνάρτησης κατανομής στο κατάλληλο χαρτί πιθανότητας. Όμως, τα πλέον αξιόπιστα συμπεράσματα επιτυγχάνονται με τη βοήθεια των τυπικών στατιστικών ελέγχων, όπως διεξοδικά αναλύεται στην επόμενη ενότητα. Ενδείξεις καταλληλότητας της κανονικής κατανομής για υδρολογικές μεταβλητές Μέχρι τώρα έχουμε αναφερθεί αρκετές φορές σε ενδεικτικούς ελέγχους της καταλληλότητας της κανονικής κατανομής για την περιγραφή μιας υδρολογικής μεταβλητής. Παρακάτω κωδικοποιούμε όλες τις ενδείξεις καταλληλότητας της κανονικής κατανομής. 1. Αξιοποίηση κεντρικού οριακού θεωρήματος. Ελέγχεται κατά πόσον η υπό έλεγχο μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα πολλών επιμέρους συνιστωσών, οι οποίες θα πρέπει να εκπληρώνουν (έστω προσεγγιστικά) τις προϋποθέσεις του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Το κριτήριο αυτό είναι θεωρητικό και δεν απαιτεί αριθμητικούς υπολογισμούς 2. Αριθμητικός έλεγχος με βάση το συντελεστή ασυμμετρίας. Αν ο δειγματικός συντελεστής ασυμμετρίας είναι περίπου μηδενικός,

21 5.5.4 Επιλογή και προσαρμογή θεωρητικής συνάρτησης κατανομής 123 αυτό αποτελεί μια σοβαρή ένδειξη για την καταλληλότητα της κανονικής κατανομής. 3. Αριθμητικός έλεγχος με βάση το συντελεστή μεταβλητότητας. Έστω X μια τυχούσα υδρολογική μεταβλητή. Κατά κανόνα η X παίρνει μόνο θετικές τιμές ή μηδέν, γιατί οι αρνητικές τιμές δεν έχουν φυσικό νόημα. Αντίθετα, η κανονική κατανομή προβλέπει ότι η X μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές. Θεωρητικά, λοιπόν, η κανονική κατανομή δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει υδρολογικές μεταβλητές, παρά μόνο προσεγγιστικά. Για να είναι ικανοποιητική η προσέγγιση θα πρέπει η πιθανότητα P(X < 0) να είναι πολύ μικρή, ώστε να μπορεί να αγνοηθεί, ήτοι P(X < 0) q όπου q μια αποδεκτά μικρή τιμή πιθανότητας, π.χ. q < Αν Z = (X μ X ) / σ X είναι η αντίστοιχη τυποποιημένη κανονική μεταβλητή τότε θα πρέπει P(Z < μ X / σ X ) q. Αν z q είναι το q-ποσοστημόριο της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, τότε ισοδύναμα Cv X = σ X /μ X 1/z q. Για q = 0.02 έχουμε z q 2 οπότε Cv X 0.5. Αντίστοιχα, για q = έχουμε z q 4 οπότε Cv X Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι αν Cv X 0.25 έχουμε μια πολύ σοβαρή ένδειξη καταλληλότητας της κανονικής κατανομής. Αν Cv X > 0.5 τότε θα πρέπει να αποκλειστεί η χρήση της κανονικής κατανομής. Για ενδιάμεσες τιμές του συντελεστή μπορεί να είναι αποδεκτή η κανονική κατανομή αλλά με μικρότερο βαθμό προσέγγισης. 4. Γραφικός έλεγχος με βάση τη συνοπτική παράσταση δείγματος. Όπως αναφέρθηκε στο εδάφιο 5.1 τυχόν συμμετρικό διάγραμμα της συνοπτική παράστασης δείγματος, χωρίς αδικαιολόγητα μεγάλο αριθμό εξωτερικών ή μακρινών τιμών, αποτελεί ένδειξη καταλληλότητας της κανονικής κατανομής 5. Γραφικός έλεγχος με βάση την εμπειρική συνάρτηση κατανομής. Η ευθύγραμμη διάταξη της σημειοσειράς της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής, σχεδιασμένης σε χαρτί κανονικής κατανομής, αποτελεί σοβαρή ένδειξη της καταλληλότητας της κανονικής κατανομής. Τονίζουμε και πάλι ότι τα κριτήρια αυτά είναι απλές ενδείξεις και δεν μπορούν να θεωρηθούν ως στατιστική απόδειξη της καταλληλότητας της κανονικής κατανομής.

22 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Εφαρμογή 5.4 Να προσαρμοστεί η κανονική κατανομή στο δείγμα της Εφαρμογής 5.1. Η λύση αυτού του προβλήματος είναι πολύ απλή. Οι παράμετροι της κατανομής είναι (βλ. Εφαρμογή 5.1) μ = x = 725.0, σ = s X = (αποδεκτή είναι και η τιμή σ = s * X = 216.7). Η κανονική κατανομή με αυτές τις παραμέτρους έχει απεικονιστεί στο Σχ. 5.3 και η αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας στο Σχ Ο αναγνώστης μπορεί να διαπιστώσει ότι στο παράδειγμα που εξετάζουμε υπάρχουν όλες οι ενδείξεις καταλληλότητας της κανονικής κατανομής που αναφέρθηκαν στο παραπάνω ένθετο εδάφιο. Στην Εφαρμογή 5.5 θα δώσουμε τον πληρέστερο στατιστικό έλεγχο της καταλληλότητας της κανονικής κατανομής. 5.5 Έλεγχος προσαρμογής συνάρτησης κατανομής Αφού υιοθετήσουμε μια συγκεκριμένη συνάρτηση κατανομής για την περιγραφή μιας φυσικής μεταβλητής και υπολογίσουμε τις παραμέτρους της, ελέγχουμε στη συνέχεια την προσαρμογή της κατανομής αυτής στο συγκεκριμένο δείγμα που διαθέτουμε. Ο έλεγχος βασίζεται στη στατιστική θεωρία ελέγχου υποθέσεων, την οποία περιγράψαμε πολύ συνοπτικά στην ενότητα 3.5. Έχουν αναπτυχθεί διάφοροι τύποι στατιστικών δοκιμών που μπορούν να εφαρμοστούν στον έλεγχο προσαρμογής μιας κατανομής. Θα αναφερθούμε στην πιο κλασική από αυτές, τη δοκιμή χ 2. Άλλες στατιστικές δοκιμές με σημαντική εφαρμογή στην τεχνική υδρολογία είναι η δοκιμή Kolmogorov-Smirnov (βλ. π.χ. Benjamin and Cornell, 1970, σ Kottegoda, 1980, σ. 89) και η πιο πρόσφατη δοκιμή του συντελεστή συσχέτισης εμπειρικής πιθανότητας (βλ. π.χ. Stedinger et al., 1993, σ ) Η δοκιμή χ 2. Η δοκιμή χ 2 στηρίζεται στη σύγκριση της θεωρητικής συνάρτησης κατανομής με την κλασική εμπειρική συνάρτηση κατανομής. Η σύγκριση γίνεται σε ένα πεπερασμένο σύνολο επιλεγμένων σημείων x j, και όχι σε κάθε παρατηρημένη τιμή x i του δείγματος. Η μηδενική υπόθεση H 0 και η εναλλακτική Η 1 είναι

23 5.5.5 Έλεγχος προσαρμογής συνάρτησης κατανομής 125 H 0 : F(x j ) = F 0 (x j ) για κάθε j H 1 : F(x j ) F 0 (x j ) για κάποια j (5.11) όπου F(x) η άγνωστη πραγματική συνάρτηση κατανομής και F 0 (x) η κατανομή που έχει υποτεθεί. Η F 0 (x) μπορεί να είναι γνωστή πλήρως, και ως προς τη μαθηματική της μορφή και ως προς τις τιμές των παραμέτρων της, πριν από την εξέταση του συγκεκριμένου δείγματος. Στην περίπτωση αυτή η μηδενική υπόθεση λέγεται τέλεια. Συνηθέστερα όμως, οι τιμές των παραμέτρων υπολογίζονται από το δείγμα, οπότε μιλούμε για ατελή μηδενική υπόθεση. Τα σημεία ελέγχου x j, j = 0,, k χωρίζουν το πεδίο μεταβολής της τυχαίας μεταβλητής σε k κλάσεις, δηλαδή διαστήματα της μορφής (x 0, x 1 ], (x 1, x 2 ],, (x k 1, x k ]. Για τη δεδομένη συνάρτηση κατανομής F 0 (x) η πιθανότητα να βρεθεί ένα τυχαία επιλεγμένο σημείο στην κλάση K j = (x j 1, x j ] προφανώς είναι p j = F 0 (x j ) F 0 (x j 1 ) (5.12) και κατά συνέπεια το αναμενόμενο πλήθος σημείων του δείγματος που θα βρίσκονται στην εν λόγω κλάση είναι l j = n p j, όπου n το μέγεθος του δείγματος. Το μέγεθος l j λέγεται θεωρητικό δυναμικό της κλάσης, ενώ το πραγματικό πλήθος των σημείων του δείγματος, n j, που βρίσκονται μέσα στα όρια της κλάσης, λέγεται πραγματικό δυναμικό της κλάσης. Προφανώς, η μικρή απόσταση μεταξύ των μεγεθών n j και l j, δηλαδή η μικρή διαφορά n j n p j, αποτελεί συνηγορία υπέρ της καταλληλότητας της κατανομής F 0 (x j ) και της μη απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης. Η στατιστική συνάρτηση του Pearson που ορίζεται από την εξίσωση k (n q := j n p j ) 2 n p (5.13) j = 1 j συνεκτιμά τις διαφορές πραγματικού και θεωρητικού δυναμικού σε όλες τις κλάσεις. Αν η μηδενική υπόθεση είναι τέλεια, τότε η κατανομή της είναι η χ 2 με k 1 βαθμούς ελευθερίας. Στη συνηθέστερη περίπτωση της ατελούς μηδενικής υπόθεσης, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι

24 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής k r 1, όπου r είναι ο αριθμός των παραμέτρων που εκτιμώνται από το δείγμα. * Η παραλλαγή της δοκιμής χ 2 που αναπτύσσουμε εδώ είναι αυτή των ισοπίθανων κλάσεων, σύμφωνα με την οποία το θεωρητικό δυναμικό είναι ίδιο σε όλες τις κλάσεις. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση (5.13) απλοποιείται σε q:= k n k 2 nj n (5.14) j = 1 Η έκδοση αυτή έχει το πλεονέκτημα ότι δίνει μονοσήμαντα καθορισμένα όρια κλάσεων για δεδομένο αριθμό κλάσεων k. Για την επιλογή του αριθμού των κλάσεων k ισχύουν οι ακόλουθοι δύο αλληλοαντικρουόμενοι κανόνες: Υποχρεωτικά θα πρέπει k r + 2, όπου r είναι ο αριθμός των παραμέτρων της κατανομής που εκτιμώνται από το δείγμα. Γενικά συνιστάται (βλ. π.χ. Benjamin and Cornell, 1970, σ. 465 Kottegoda, 1980, σ. 88) το θεωρητικό δυναμικό των κλάσεων είναι μεγαλύτερο από 5, πράγμα που συνεπάγεται ότι k n / 5. Για μικρά δείγματα είναι δυνατό οι κανόνες αυτοί να μη μπορούν να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα, οπότε ικανοποιούμε μόνο τον πρώτο. Ο αλγόριθμος εφαρμογής της δοκιμής χ 2 περιγράφεται από τα ακόλουθα βήματα: 1. Επιλέγουμε τον αριθμό των κλάσεων k σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες. * Κανονικά, στην περίπτωση αυτή οι εκτιμήσεις των παραμέτρων πρέπει να γίνονται με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. ωστόσο, ο όρος αυτός δεν τηρείται στις εφαρμογές. Η επιλογή του κατάλληλου αριθμού κλάσεων γίνεται με τον τύπο (Mann and Wald, 1942 Williams, 1955 βλ. και Kottegoda, 1980, σ. 88): k = [(n 1) / z 1 α )] 0.4 όπου z 1 α το (1 α)-ποσοστημόριο της κανονικής κατανομής και α το επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου. Οι Kendall and Stuart (1973, σ. 455) δίνουν αναλυτικότερο τρόπο υπολογισμού του αριθμού κλάσεων, ο οποίος όμως ισχύει για μεγάλα δείγματα που σπάνια είναι διαθέσιμα στην τεχνική υδρολογία.

25 5.5.5 Έλεγχος προσαρμογής συνάρτησης κατανομής Χωρίζουμε το διάστημα πιθανότητας [0, 1] σε k ίσα υποδιαστήματα με όρια u j = j / k, (j = 0,, k). 3. Υπολογίζουμε τα όρια x j των κλάσεων (η τιμή x j είναι το u j -ποσοστημόριο της μεταβλητής). 4. Υπολογίζουμε το πραγματικό δυναμικό n j της κάθε κλάσης (το βήμα αυτό απλοποιείται αν το δείγμα έχει προηγουμένως καταταγεί σε φθίνουσα ή αύξουσα σειρά). 5. Από την (5.14) (ή την (5.13)) υπολογίζουμε την τιμή της στατιστικής συνάρτησης q του Pearson. 6. Για ένα αποδεκτό επίπεδο σημαντικότητας α υπολογίζουμε την κρίσιμη τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου q c = q 1 α. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε την κατανομή χ 2 για k r 1 βαθμούς ελευθερίας όπου r είναι ο αριθμός των παραμέτρων της κατανομής που εκτιμώνται από το δείγμα (βλ. Πίν. Π2 στο Παράρτημα). 7. Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση αν q > q c. Ο αλγόριθμος διευκρινίζεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. Εφαρμογή 5.5 Να ελεγχθεί η καταλληλότητα της κανονικής κατανομής για το δείγμα της Εφαρμογής 5.1. Στο συγκεκριμένο δείγμα προσαρμόστηκε ήδη (βλ. Εφαρμογή 5.4) η κανονική κατανομή με παραμέτρους μ = x = 725.0, σ = s X = Ο αριθμός των παραμέτρων της κατανομής είναι r = 2 και το μέγεθος του δείγματος n = 21. Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο αριθμός των κλάσεων k για τη δοκιμή χ 2 θα πρέπει να ικανοποιεί τις σχέσεις k = 4, k 21 / 5 = 4.2 οι οποίες συναληθεύουν για k = 4. Κατά συνέπεια επιλέγουμε k = 4. Οι υπολογισμοί των βημάτων 2-4 του παραπάνω αλγορίθμου κωδικοποιούνται στον Πίν Για τον υπολογισμό των ορίων της μεταβλητής χρησιμοποιήσαμε τον Πίν. Π1 (βλ. Παράρτημα) της κανονικής κατανομής. Για παράδειγμα, το άνω όριο της πρώτης κλάσης είναι x 1 = = 528.3

26 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Στο Σχ. 5.4 δίνουμε για διδακτικούς λόγους γραφική απεικόνιση των κλάσεων και του πραγματικού δυναμικού τους πάνω σε χαρτί κανονικής κατανομής. Πίν Βασικοί υπολογισμοί για τη δοκιμή χ 2 της Εφαρμογής 5.5. Κλάση Όρια πιθανότητας Όρια μεταβλητής Πραγματικό δυναμικό Από την (5.14) παίρνουμε q = (4/21) ( ) 21 = 0.52 Εξ άλλου για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 η κρίσιμη τιμή της μεταβλητής είναι q c = χ (1) = 3.84 (όπως προκύπτει από τον Πίν. Π2 για u = 1 α = 0.95 και βαθμούς ελευθερίας = = 1). Κατά συνέπεια ισχύει q < q c και δεν απορρίπτεται η κανονική κατανομή. Ετήσιος όγκος απορροής, x [hm 3 ] σημεία 4 σημεία 5 σημεία 6 σημεία Πιθανότητα υπέρβασης, F1X(x ) Ανηγμένη μεταβλητή Gauss, z Σχ. 5.4 Επεξηγηματικό σκαρίφημα για το παράδειγμα της Εφαρμογής 5.5.

27 5.5.6 Στατιστική πρόγνωση Στατιστική πρόγνωση Η στατιστική πρόγνωση στην τεχνική υδρολογία αφορά στην εκτίμηση της τιμής ενός υδρολογικού μεγέθους για δεδομένη πιθανότητα υπέρβασης (ή περίοδο επαναφοράς). Η πρόγνωση αυτή είναι αρκετά εύκολη από υπολογιστική άποψη, εφόσον έχει ήδη υιοθετηθεί και προσαρμοστεί ένα συγκεκριμένο πιθανοτικό μοντέλο για το μέγεθος που ενδιαφέρει. Για το σκοπό αυτό εφαρμόζονται όσα έχουν αναφερθεί στο κεφάλαιο 3. Ειδικότερα, η πρόγνωση μπορεί να είναι είτε σημειακή, είτε διαστήματος, όπως αναλυτικά φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. Εφαρμογή 5.6 Να υπολογιστεί ο μέγιστος και ο ελάχιστος ετήσιος όγκος απορροής εκατονταετίας στη λεκάνη του ποταμού Ευήνου ανάντη του υδρομετρικού σταθμού Πόρος Ρηγανίου, καθώς και τα όρια εμπιστοσύνης του 95% (βλ. και προηγούμενες Εφαρμογές αυτού του κεφαλαίου). Εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία που είχαμε εφαρμόσει στην Εφαρμογή Σημειώνουμε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι πολύ μικρό σε σχέση με τον υπολογιστικό ορίζοντα της εκατονταετίας και έτσι δεν περιμένουμε πολύ καλό βαθμό ακρίβειας στους υπολογισμούς μας. Θα υπολογίσουμε πρώτα τις σημειακές εκτιμήσεις. Για τον μέγιστο όγκο απορροής εκατονταετίας η πιθανότητα μη υπέρβασης είναι u = 1 1/100 = 0.99 και z u = (από τον Πίν. Π1 της κανονικής κατανομής του Παραρτήματος). Άρα η σημειακή εκτίμηση είναι x u = = Αντίστοιχα, για τον ελάχιστο όγκο απορροής εκατονταετίας η πιθανότητα μη υπέρβασης είναι u = 1 / 100 = 0.01 και z u = 2.326, άρα x u = = Προχωρούμε τώρα στον υπολογισμό των ορίων εμπιστοσύνης. Για γ = 95% και z (1+γ)/2 = 1.96, τα όρια για τον μέγιστο όγκο απορροής εκατονταετίας θα είναι:

28 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής.. x u = + = x u = + + = Αντίστοιχα, τα όρια για τον ελάχιστο όγκο απορροής εκατονταετίας θα είναι:.. x u = + = x u = + + = Παρατηρούμε ότι ο μέγιστος και ο ελάχιστος όγκος απορροής που έχουν καταγραφεί στο δείγμα (Πίν. 5.5) βρίσκονται ανάμεσα στα αντίστοιχα όρια εμπιστοσύνης του μέγιστου και ελάχιστου όγκου εκατονταετίας. Ειδικότερα, ο ελάχιστος όγκος απορροής των 217 hm 3 είναι μικρότερος από τη σημειακή πρόγνωση εκατονταετίας που δίνει η κανονική κατανομή (233.1 hm 3 ), γεγονός που αντανακλά το σημαντικό μέγεθος της ξηρασίας του υδρολογικού έτους Στο Σχ. 5.3 έχουμε απεικονίσει τα πιο πάνω αποτελέσματα, καθώς και μια σειρά σημειακών εκτιμήσεων και ορίων εμπιστοσύνης για άλλες τιμές της περιόδου επαναφοράς. Οι υπολογισμοί έγιναν με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω. Συνδέοντας τις τιμές των ορίων εμπιστοσύνης στο διάγραμμα αποκτούμε τις καμπύλες εμπιστοσύνης 95% της κατανομής

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής

Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής Η στατιστική είναι εφαρμοσμένος κλάδος της πιθανοθεωρίας ο οποίος ασχολείται με πραγματικά προβλήματα, επιδιώκοντας την εξαγωγή συμπερασμάτων βασισμένων σε παρατηρήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ανάλυση δύο τυχαίων μεταβλητών - Εκτιμήσεις ελάχιστων τετραγώνων

Κεφάλαιο 7 Ανάλυση δύο τυχαίων μεταβλητών - Εκτιμήσεις ελάχιστων τετραγώνων Κεφάλαιο 7 Ανάλυση δύο τυχαίων μεταβλητών - Εκτιμήσεις ελάχιστων τετραγώνων Στα κεφάλαια 5 και 6 δώσαμε τη μεθοδολογία για την ανάλυση μίας υδρολογικής μεταβλητής καθώς και τις πιο συνηθισμένες συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών

Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών Από την οπτική γωνία της θεωρίας πιθανοτήτων οι υδρολογικές διεργασίες είναι στοχαστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 9 ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Στατιστική. Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος V. Στατιστική. Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος V. Στατιστική Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Σημαντικές κατανομές δειγματοληψίας (Sampling distributions) Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Confidence

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 227035468 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 2 ο : Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 2016-2017 1 1. Περιγραφική Ανάλυση Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 5 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις για τις Παραμέτρους της Κανονικής Κατανομής Σταύρος Χατζόπουλος 08/05/207, 5/05/207 Εισαγωγή Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα