(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π"

Transcript

1 Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν μικρό αριθμό τιμών, ανεπαρκών για μια σωστή εκτίμηση της έντασης και της έκτασης τους, τόσο στο χώρο όσο και στο χρόνο. Οι παράμετροι αυτές είναι απαραίτητες για τη μελέτη των υδατικών πόρων μιας περιοχής αλλά και τον σχεδιασμό των τεχνικών έργων σε αυτή. Ωστόσο, η στατιστική τους επεξεργασία, επιτρέπει την προβολή τους στο χρόνο και στο χώρο και την επίτευξη προβλέψεων για την παρουσία τους. Έτσι, στη συνέχεια δίνονται οι βασικές στατιστικές έννοιες και επεξεργασίες που θεωρήθηκαν απαραίτητες για την ολοκληρωμένη παρουσίαση της ύλης του παρόντος βιβλίου.. Στατιστικές έννοιες.. Ο αριθμητικός μέσος όρος Ο αριθμητικός μέσος όρος δίνεται από τη σχέση: n xi n i = x= x,x,...x n οι τιμές της μεταβλητής Χ (.).. Η τυπική απόκλιση Η τυπική απόκλιση (standard deviation, s ή σ) εκφράζει την απόκλιση των τιμών μιας μεταβλητής (x ) γύρω από τον μέσο όρο ή τη μέση τιμή της ( ή μ) και δίνεται α πό τις σχέσεις: s = s ή σ = σ (.) (.3) (.4). Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας Οι τιμές των υδρολογικών παραμέτρων, όπως είναι οι βροχοπτώσεις και οι απορροές, ακολουθούν την κανονι- 3

2 κή κατανομή. Η κανονική κατανομή έχει κωδωνοειδή μορφή και είναι συμμετρική ως προς τις ουρές της που προσεγγίζουν ασυμπτωτικά τον οριζόντιο άξονα (Εικ..). Η κορυφή της ταυτίζεται με τη μέση τιμή και τη διάμεσο, ενώ η περιοχή που παρουσιάζει την μεγαλύτερη πυκνότητα τιμών βρίσκεται και αυτή στο μέσο της κατανομής. Εικόνα. Η συνάρτηση της πυκνότητας πιθανότητας της α. κανονικής κατανομής και β. τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Η κανονική κατανομή έχει ως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την παρακάτω σχέση που είναι γνωστή και ως νόμος του Gauss: px ( ) = e σ π x µ σ x η τιμή της στατιστικής μεταβλητής Χ, μ ο μέσος όρος, σ η τυπική απόκλιση (.5) Στην Εικόνα., το εμβαδό (Α) του σκιαγραφημένου χώρου εκφράζει την πιθανότητα η παράμετρος Χ να πάρει μια τιμή μεταξύ των τιμών α και β, δηλαδή Α=P(α Χ b). Εισάγοντας στην παραπάνω σχέση (.5) την παράσταση της ανοιγμένης μεταβλητής: (.6) προκύπτει μια τροποποιημένη κανονική κατανομή που ονομάζεται τυποποιημένη κανονική κατανομή (standard normal distribution), έχει μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση και συμβολίζεται με N (0,). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: (.7) Στη η Ζ=0, θέση η Ζ=0, καμη καμπύλη της τυποποιημένης οποιημένης κανονικής κανονι κατανομής παρουσιάζει μέγιστη τιμή που είναι ίση 0,4 ( µ) z = x σ p( z) = e π με (Εικ...β). Ο πίνακας της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, δίνει την πιθανότητα P(Z z) για όλα τα z από 0 έως 3,0 (Πίν..), με βήμα 0,0, δηλαδή τα εμβαδά των σκιαγραφημένων χωρίων που ορίζονται μεταξύ των τιμών 4 z

3 0 έως 3 και της καμπύλης της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Θεωρητικά έπρεπε να περιλαμβάνονται οι τιμές της μεταβλητής z από 0 έως +, επομένως, οι τιμές του πίνακα να αντιστοιχούν στις τιμές της αθροιστικής πιθανότητας που κυμαίνονται από 0,5 μέχρι. Λόγω συμμετρίας, τα εμβαδά για z < 0 ( <z 0) μπορούν εύκολα να βρεθούν εάν υπολογιστεί η πιθανότητα P(Z z) για z>0 με τη βοήθεια του Πίνακα, και έπειτα υπολογιστεί το συμμετρικό χωρίο P(Z z). Με αυτά τα δεδομένα ο Gumbel ανέπτυξε τη στατιστική μέθοδο της κατανομής πιθανότητας των ακραίων τιμών για την ανάλυση της συχνότητας επανεμφάνισης ακραίων τιμών, όπως π.χ. οι ακραίες τιμές μιας πλημμύρας. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας των ακραίων τιμών, μεγίστων ή ελαχίστων, οι οποίες λαμβάνονται από μια σειρά Ν δειγμάτων στο καθένα εκ των οποίων υπάρχουν m τιμές, βρέθηκε πως τείνει προς μία οριακή (ασυμπτωτική) μορφή όταν ο αριθμός των τιμών m του κάθε δείγματος αυξάνει απεριόριστα (Σακκάς, 004). Στην περίπτωση μιας αρχικής κατανομής εκθετικού τύπου, όπως είναι η κατανομή Gauss, η οριακή τιμή των ακραίων τιμών ονομάζεται Κατανομή τύπου Ι ή Κατανομή κατά Gumbel. Η πυκνότητα πιθανότητας των μεγίστων τιμών δίνεται από τη σχέση: p( x) c y ( y+ e ) ( < x <+ ) = e (.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (.8), δίνεται από τη σχέση: p( X x) = e e y (.9) y μία ανηγμένη μεταβλητή, η οποία προκύπτει ως x η τιμή της μεταβλητής Χ και α, c παράμετροι των οποίων οι τιμές υπολογίζονται από τις εξισώσεις: α = γ c µ (.0) c = 6 σ π γ είναι η σταθερά Euler, η οποία ισούται με 0,5776, μ ο μέσος όρος και σ η τυπική απόκλιση των τιμών της μεταβλητής Χ (Σακκάς, 004) (.) z 0,0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , ,597 0,5595 0,5994 0,539 0,5790 0,5388 0, , 0, , , ,557 0, ,5596 0, , ,574 0, , 0,5796 0,5837 0, , , ,5987 0,6057 0,6064 0,606 0,6409 0,3 0,679 0,67 0,655 0,6930 0, , , ,6443 0, ,6573 0,4 0,6554 0,6590 0,6676 0, , , ,6774 0,6808 0, , ,5 0,6946 0, , ,7094 0, , ,76 0,7566 0,7904 0,740 0,6 0,7575 0,7907 0,7337 0, ,7389 0,745 0, , ,7575 0,

4 0,7 0, ,765 0,7644 0, , , , , ,7830 0,7854 0,8 0,7884 0,7903 0, , , ,8034 0,805 0, ,8057 0,837 0,9 0,8594 0,8859 0,8 0,838 0,8639 0,8894 0,8347 0, , ,8389,0 0,8434 0, ,8464 0, , ,8534 0, , , ,864, 0, , , , ,8786 0, , , ,8800 0,8898, 0, , , , ,895 0, ,8967 0, , ,9047,3 0,9030 0, , ,9084 0, ,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,4 0,994 0,9073 0,90 0,9364 0,9507 0,9647 0,9786 0,99 0, ,9389,5 0,9339 0, , , ,938 0, ,9406 0,9479 0,9495 0,94408,6 0,9450 0, , , , , ,9554 0,9554 0,9535 0,95449,7 0, , ,9578 0,9588 0, , , ,9664 0,9646 0,9637,8 0, , ,9656 0, ,967 0, , ,9696 0, ,9706,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0, , ,9765 0,97670,0 0,9775 0, ,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0, , ,984 0,9869, 0,984 0,9857 0, ,9834 0,9838 0,984 0,9846 0, , ,98574, 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , ,98899,3 0,9898 0, , ,9900 0, ,9906 0, ,99 0,9934 0,9958,4 0,9980 0,990 0,994 0,9945 0,9966 0,9986 0, ,9934 0, ,9936,5 0, , ,9943 0, , ,9946 0, ,9949 0, ,9950,6 0, , , , , , , ,996 0,9963 0,99643,7 0, , , , , ,9970 0,997 0,9970 0,9978 0,99736,8 0, ,9975 0, , , ,9978 0, , ,9980 0,99807,9 0,9983 0,9989 0,9985 0,9983 0, ,9984 0, ,9985 0, ,9986 3,0 0, , , , ,9988 0, , , , ,99900 Πίνακας. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Ν (0,)... Ανάλυση συχνότητας Σύμφωνα με τον Σακκά (004), η ανάλυση συχνότητας των υδρολογικών φαινομένων αρχίζει με την επεξεργασία των αρχικών υδρολογικών μετρήσεων, για να καταλήξει στον προσδιορισμό της συχνότητας ή πιθανότητας εμφάνισης συγκεκριμένου μεγέθους του υπό μελέτη υδρολογικού φαινομένου. Με την προϋπόθεση ότι κάθε παρατηρούμενη τιμή ή στοιχείο του δείγματος είναι ανεξάρτητο όλων των άλλων στοιχείων, δεν λαμβάνεται υπόψη η χρονολογική σειρά εμφάνισης των διαφόρων μεγεθών του υδρολογικού φαινομένου. Επιπλέον, τα προς ανάλυση υδρολογικά δεδομένα θα πρέπει να είναι: α) σχετικά, β) επαρκή σε αριθμό και γ) ακριβή και δ) ομοιογενή. Βασική έννοια και στόχος στην ανάλυση συχνότητας αποτελεί ο καθορισμός της περιόδου επαναφοράς (Τ) ορισμένου μεγέθους ενός υδρολογικού φαινομένου και ορίζεται ως το μέσο χρονικό διάστημα, εντός του οποίου το συγκεκριμένο φαινόμενο θα εμφανιστεί μόνο μία φορά με τιμή ίση ή μεγαλύτερη της δοθείσας (Σακκάς, 004). Για τον υπολογισμό της, τα δεδομένα ταξινομούνται σε φθίνουσα τάξη. Εάν Ν είναι ο αριθμός των ετών, για τα οποία υπάρχουν Μ παρατηρήσεις (x, x,..., x m,...x M ) μιας υδρολογικής μεταβλητής Χ, τότε η Περίοδος επαναφοράς δίνεται από τη σχέση: Ν + Τ = m m=,,..., Μ ο αύξων αριθμός της τιμής x m στη διατεταγμένη σειρά των τιμών της Χ. (.) 6

5 Η περίοδος επαναφοράς εκφράζεται σε έτη. Εάν η περίοδος επαναφοράς της τιμής x μιας υδρολογικής μεταβλητής είναι Τ έτη, τότε η πιθανότητα υπερβάσης, δηλαδή εμφάνισης τιμής ίσης (ή μεγαλύτερης όταν πρόκειται για μέγιστες τιμές ή μικρότερης όταν πρόκειται για ελάχιστες τιμές) θα είναι μία φορά σε περίοδο επαναφοράς Τ, δηλαδή: PX ( x) = και συνεπώς: = = PX ( x) PX ( x) (.3) (.4) Η ανάλυση συχνότητας με τη χρήση του παράγοντα συχνότητας βασίστηκε στην παρατήρηση του Chow (95) ότι η τιμή x μιας στατιστικής μεταβλητής Χ, η οποία παριστάνει το μέγεθος ενός υδρολογικού φαινομένου, μπορεί να απαρτίζεται από την τιμή του μέσου όρου της μεταβλητής και από την απόκλιση Δx που με τη σειρά της, για μια απλή προσέγγιση, ισούται με το γινόμενο σκ ή sk της απόκλισης επί ένα παράγοντα Κ που ονόμασε παράγοντα συχνότητας, δηλαδή: x = µ + σk = x + sk (.5) Κ συντελεστής ο οποίος αποτελεί συνάρτηση της περιόδου επαναφοράς της θεωρούμενης τιμής x και των χαρακτηριστικών του είδους της κατανομής. Στην κανονική κατανομή πιθανότητας ο παράγοντας συχνότητας υπολογίζεται από τη σχέση: x µ x x K = = σ s (.6) Στην περίπτωση της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας ακραίων τιμών τύπου Gumbel, ο παράγοντας συχνότητας δίνεται από τη σχέση: K = (.7) Οι παράμετροι,σ n συνιστούν αντίστοιχα την προσδοκώμενη μέση τιμή και τυπική απόκλιση των ανηγμένων ακραίων τιμών και αποτελούν θεωρητικές ποσότητες, το μέγεθος των οποίων εξαρτάται μόνο από το μέγεθος του δείγματος n και η τιμή τους δίνεται από πίνακα (Πίν..). Η τιμή της στατιστικής μεταβλητής Χ, η οποία προσδιορίζεται από την εξίσωση., αποτελεί τη μέση τιμή, δηλαδή την επικρατέστερη τιμή της στατιστικής μεταβλητής Χ για περίοδο επαναφοράς Τ. Τα παραπάνω ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι οι πιθανές τιμές της υδρολογικής μεταβλητής Χ με περίοδο επαναφοράς Τ εμφανίζουν κανονική κατανομή γύρω από τη μέση τιμή. Στην περίπτωση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εμπειρική μέθοδος για τον προσδιορισμό των ορίων εμπιστοσύνης της ανάλυσης συχνότητας. Το τυπικό σφάλμα της παραπάνω τιμής υπολογίζεται από την ακόλουθη γενική σχέση: S ln ln = n s δ K N + y n 7

6 (.8) s η τυπική απόκλιση της κατανομής των στοιχείων του δείγματος Ν το πλήθος των στοιχείων του δείγματος δ K ο παράγοντας τυπικού σφάλματος ο οποίος εξαρτάται από το είδος της χρησιμοποιούμενης κατανομής και ειδικότερα από το παράγοντα συχνότητας n σ n 0,0 N σ n 0,0 N σ n 0,0 0 0,4950 0, ,54530, ,5560,9060 0, , ,54580, ,55630,950 0, , ,54630, ,55650, , , ,54680, ,55670, ,5000, ,54730, ,55680, ,580, ,54770, ,55700, ,5570, ,5480, ,5570, ,580, ,54854, ,55740, ,500, ,54890, ,55760, ,500, ,54930, ,55780, ,5355, ,54970, ,55800,9800 0,550, ,5500, ,5580,9870 0,5680, ,55040, ,55830, ,5830, ,55080, ,55850, ,5960, ,550, ,55860, ,53086, ,5550,70 9 0,55870, ,5300, ,5580, ,55890, ,5330, ,5508, ,5590, ,53430, ,5540, ,5590, ,53530, ,5570, ,55930, ,536, ,55300, ,55950, ,5370, ,55330, ,55960, ,53800, ,55350, ,55980, ,53880, ,55380, ,55990, ,53960, ,55400, ,5600, ,54034, ,55430, ,5646, ,5400, ,55450, ,5675, ,5480, ,55477, ,56878, ,5440, ,55500, ,56993, ,54300, ,5550, ,5744, ,5436, ,55550, ,5740, ,5440, ,55570, ,57377, ,54480, ,55590, ,57450,685 Πίνακας. Τιμές των ανηγμένων παραμέτρων yn και σn της κατανομής των ακραίων τιμών για διάφορες τιμές μεγέθους (n) του δείγματος. 8

7 Σύμφωνα με τον Σακκά (004), η ανάλυση συχνότητας των υδρολογικών φαινομένων αρχίζει με την νακας. Τιμές των ανηγμένων παραμέτρων yn και σ n της κατανομής των ακραίων τιμών για διάφορες ές μεγέθους επεξεργασία (n) του των δείγματος. αρχικών υδρολογικών μετρήσεων, για να καταλήξει στον προσδιορισμό της συχνότητας ή πιθανότητας εμφάνισης συγκεκριμένου μεγέθους του υπό μελέτη υδρολογικού φαινομένου. Με την προϋπόθεση ότι κάθε παρατηρούμενη τιμή ή στοιχείο του δείγματος είναι ΈΈτσι ανεξάρτητο για την όλων κανονική των άλλων κατανομή στοιχείων, και δεν την λαμβάνεται κατανομή υπόψη ακραίων η χρονολογική τιμών σειρά ισχύουν: εμφάνισης των κανονική διαφόρων κατανομή: Έτσι μεγεθών για την κανονική του υδρολογικού κατανομή και φαινομένου. την κατανομή Επιπλέον, ακραίων τιμών τα προς ισχύουν: ανάλυση υδρολογικά δεδομένα θα πρέπει i) η κανονική να είναι: κατανομή: α) σχετικά, β) επαρκή σε αριθμό και γ) ακριβή και δ) ομοιογενή. Βασική έννοια και στόχος στην ανάλυση συχνότητας αποτελεί ο καθορισμός της περιόδου Z επαναφοράς (Τ) ορισμένου μεγέθους ενός δ ( ) N = υδρολογικού + φαινομένου και ορίζεται ως το μέσο χρονικό διάστημα, εντός του οποίου το συγκεκριμένο φαινόμενο θα εμφανιστεί μόνο μία φορά με τιμή ίση ή μεγαλύτερη της δοθείσας (Σακκάς, 004). Για τον υπολογισμό της, τα δεδομένα (. ταξινομούνται σε φθίνουσα τάξη. Εάν Ν είναι ο αριθμός των ετών, για τα οποία υπάρχουν (.9) Μ ου: παρατηρήσεις ( x, x,..., x m,..., xm ) μιας υδρολογικής μεταβλητής Χ, τότε η Περίοδος επαναφοράς η ανοιγμένη Z η ανοιγμένη μεταβλητή της της κανονικής κατανομής, η οποία αντιστοιχεί η οποία σε αντιστοιχεί περίοδο επαναφοράς σε περίοδο Τ ετών ii) η δίνεται κατανομή από τη ακραίων σχέση: τιμών: επαναφορά τών ii) η κατανομή ακραίων τιμών: Ν + Τ = δ ( bk, K ) GM = + m+ (.) (.6) ΌΌπου: ΌΌπου: (.0) m=,,..., Μ ο αύξων αριθμός της τιμής x b συντελεστής ο οποίος για συνήθεις περιπτώσεις m στη διατεταγμένη σειρά των τιμών της Χ. ισούται με,3 Κ ο παράγοντας b συντελεστής Η περίοδος συχνότητας ο οποίος επαναφοράς για συνήθεις εκφράζεται περιπτώσεις σε ισούται έτη. με Εάν,3η περίοδος επαναφοράς της τιμής x μιας υδρολογικής Κ ο παράγοντας μεταβλητής συχνότητας είναι Τ έτη, τότε η πιθανότητα υπερβάσης, δηλαδή εμφάνισης τιμής ίσης (ή μεγαλύτερης Τα όρια όταν εμπιστοσύνης πρόκειται των για αναλύσεων μέγιστες τιμές συχνότητας ή μικρότερης δίνονται όταν πρόκειται από τις σχέσεις: για ελάχιστες τιμές) θα είναι μία Τα όρια φορά εμπιστοσύνης σε περίοδο των επαναφοράς αναλύσεων Τ, συχνότητας δηλαδή: δίνονται από τις σχέσεις: x = max( x + Z x a a = max( x + Z S ) PX ( x) = (.7) (.) (.3) και συνεπώς: x K = max( x + Z a S ) = = PX ( x) PX ( x) (.)(.8) (.4) ΌΌπου: Ζ η ανηγμένη μεταβλητή της κανονικής κατανομής που αντιστοιχεί στο επιθυμητό επίπεδο εμπιστοσύνης Ζ η ανηγμένη μεταβλητή της κανονικής κατανομής P(x k x x α ) που αντιστοιχεί στο επιθυμητό επίπεδο.. ΈΈλεγχος καταλληλότητας μιας συνάρτησης κατανομής εμπιστοσύνης P( xk x xa ) = a Μια συνάρτηση κατανομής της αθροιστικής πιθανότητας είναι δυνατόν να προσαρμόζεται περισσότερο.. Έλεγχος ή λιγότερο καταλληλότητας στα διαθέσιμα μιας υδρολογικά συνάρτησης δεδομένα. κατανομήςθα πρέπει ωστόσο να διερευνάται εάν και κατά πόσο περιγράφει ικανοποιητικά τον πληθυσμό από τον οποίο προέρχεται ένα δείγμα. Στη Μια συνάρτηση κατανομής της αθροιστικής πιθανότητας είναι δυνατόν να προσαρμόζεται περισσότερο ή λιγότερο περιγράφονται στα διαθέσιμα υδρολογικά δύο μέθοδοι δεδομένα. στατιστικού Θα πρέπει ωστόσο ελέγχου, να διερευνάται οι οποίες είναι εάν και ο κατά έλεγχος πόσο περιγράφει X (Dubreil, συνέχεια 974) ικανοποιητικά και ο έλεγχος τον πληθυσμό Kolmogorov-Smirnov από Κριτήρια τον οποίο (K-S) προέρχεται (Haan, αξιολόγησης ένα 977). δείγμα. Ο Στη πρώτος συνέχεια είναι περιγράφονται κατάλληλος δύο για μέθοδοι συνεχείς και στατιστικού για διακριτές ελέγχου, μεταβλητές, οι οποίες ενώ είναι ο δεύτερος έλεγχος X μόνο (Dubreil, για 974) συνεχείς και ο κατανομές. έλεγχος Kolmogorov-Smirnov (K-S) (Haan, 977). Ο πρώτος είναι κατάλληλος για συνεχείς και για διακριτές μεταβλητές, ενώ ο δεύτερος μόνο για Για τον έλεγχο του X υπολογίζεται η τιμή X της κατανομής x που δίνεται από τη σχέση συνεχείς κατανομές. o Κριτήριο (Σακκάς, Για τον 004): αξιολόγησης έλεγχο του X υπολογίζεται -Προσαρμογή η τιμή X o της κατανομής των νόμων x που δίνεται Gauss από και τη σχέση Gumbel (Σακκάς, στα 004): δεδομένα των βροχοπτώσεων της λεκάνης του Λούρου ΈΈπειτα από την συμπλήρωση των ελλιπών παρατηρήσεων k ( Oi Ei ) X και τον έλεγχο ομοιογένειας των o = βροχομετρικών σταθμών της λεκάνης του Λούρου = { } i ποταμού E (Πιν..3), ζητείται: i Να γίνει η προσαρμογή των ετήσιων τιμών των βροχοπτώσεων που δέχεται (.5) η λεκάνη στο νόμο του Gauss (Κανονική κατανομή). Να εξεταστεί αν οι μέγιστες ημερήσιες τιμές των βροχοπτώσεων προσαρμόζονται (.3) O i ο αριθμός στο των νόμο τιμών του του Gumbel δείγματος (Κατανομή που περιλαμβάνονται των ακραίων στις κλάσεις τιμών). των στοιχείων του δείγματος που δημιουργούνται Να γίνει για τον ανάλυση έλεγχο της συχνότητας πιθανότητας. E i ο θεωρητικά αναμενόμενος αριθμός παρατηρήσεων σε διάστημα I i, που προκύπτει από τη σχέση E i =NP i με Ν τον αριθμό των παρατηρήσεων Απάντηση Για τον έλεγχο Kolmogorov-Smirnov περί της καταλληλότητας 7 μιας συνεχούς κατανομής πιθανότητας, Ο Πίνακας.3 περιλαμβάνει τις μηνιαίες τιμές των βροχοπτώσεων που δέχεται κατά μέσο όρο η λεκάνη του Λούρου ποταμού τα τελευταία 4 χρόνια και προέκυψε από την συμπλήρωση των 9 ελλιπών παρατηρήσεων και τον έλεγχο ομοιογένειας των βροχομετρικών παρατηρήσεων. Με βάση τις ετήσιες τιμές, πλήθους Ν=4 τιμών, δημιουργήθηκαν 5 κλάσεις τιμών (Πιν..5). Για κάθε κλάση υπολογίστηκαν η πιθανότητα P (P=Νι/N) και η αθροιστική πιθανότητα S )

8 προσδιορίζεται η μέγιστη απόκλιση d των τιμών των συναρτήσεων S N (x) και F(x), η οποία ορίζεται από τη σχέση: d = max ( x ) S ( x) F( x) i N S N (x) οι τιμές της αθροιστικής πιθανότητας με βάση τις διατιθέμενες παρατηρήσεις x,x,...x N F(x) η αθροιστική πιθανότητα της προς έλεγχο κατανομής, για τιμές x= x i (i=,,...,n) του δείγματος (.4)..3 Ανάλυση παλινδρόμησης Στην ανάλυση των υδρολογικών δεδομένων πολλές φορές μια μεταβλητή συνδέεται με μια άλλη με μια συναρτησιακή σχέση, για παράδειγμα η σχέση μεταξύ του ετησίου ύψους της βροχόπτωσης και του αντίστοιχου ύψους της απορροής μιας υδρολογικής λεκάνης. Εάν η μία μεταβλητή π.χ. η Υ, μπορεί να θεωρηθεί τυχαία ενώ η άλλη π.χ. η Χ, μπορεί να μετρηθεί τότε η Υ ονομάζεται εξαρτημένη ενώ η Χ, ανεξάρτητη μεταβλητή. Η πιθανοκρατική συναρτησιακή σχέση των δύο μεταβλητών είναι δυνατόν να επιτρέπει τον προσδιορισμό των τιμών της μιας από την άλλη. Η διαδικασία προσδιορισμού ονομάζεται ανάλυση παλινδρόμησης (Regression analysis). Όταν οι μεταβλητές είναι δύο, η ανάλυση παλινδρόμησης είναι απλή, όταν είναι τρεις ή περισσότερες είναι πολλαπλή. Επιπλέον, εάν σε μοναδιαία μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής αντιστοιχεί σταθερή μεταβολή της εξαρτημένης τότε η παλινδρόμηση είναι γραμμική, εάν όχι τότε είναι μη γραμμική. Στην απλή γραμμική παλινδρόμηση (linear regression) μεταξύ των τιμών δύο μεταβλητών είναι δυνατόν τα σημεία να είναι διασπαρμένα κατά μήκος μιας νοητής ευθείας, η οποία καλείται γραμμή παλινδρόμησης της μεταβλητής Υ επί της Χ (regression line). Η νοητή αυτή ευθεία που μπορεί να προσδιοριστεί σχεδιαστικά, μπορεί επίσης να προσδιοριστεί με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Με τη μέθοδο αυτή, οι συντελεστές Α και Β της εξίσωσης της γραμμής παλινδρόμησης προσδιορίζονται με τρόπο ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών Υι της μεταβλητής Υ από τη γραμμή παλινδρόμησης να είναι το ελάχιστο δυνατό σύμφωνα με τις εξισώσεις: οι μέσες τιμές των μεταβλητών Y και X (.5) Ένα μέτρο της προσαρμογής της γραμμής παλινδρόμησης στα σημεία του διαγράμματος διασποράς είναι ο συντελεστής προσδιορισμού R (coefficient of determination) που υπολογίζεται από την εξίσωση: οι εκτιμώμενες τιμές Υ με βάση τη συναρτησιακή σχέση (.6) Η μελέτη της συνδιακύμανσης και συσχέτισης δύο μεταβλητών έγινε με χρήση των σχέσεων: r x, y = cov( X, Y) σ,σ x y 30

9 cov(x,y) η συνδιακύμανση των μεταβλητών X και Y σ x, σ y η τυπική απόκλιση και r x,y (.7) n cov( X, Y) = = ( x i i µ x )( yi µ y ) n μ x,μ y οι μέσοι όροι των μεταβλητών X και Y (.8) Οι υπόλοιποι συμβολισμοί όπως παραπάνω. 3

10 Βιβλιογραφία Chow, V.. (95) A General Formula for Hydrologic Frequency Analysis. rans. American Geophysical Union, 3, Dubreil, P. (974) Initiation a l analyse Hydrologique. Masson and Cie, (Eds), O.R.S..O.M, Paris, Haan, C.. (977) Statistical methods in Hydrology. Iowa State University Press, Ames. Iowa 5000, 348 pp. Κατσάνου, Κ. (0) Περιβαλλοντική Υδρογεωλογική μελέτη της λεκάνης του Λούρου ποταμού. Διδακτορική διατριβή. Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Γεωλογίας. Σακκάς, Γ.Ι. (004) Τεχνική Υδρολογία, Τόμος, Υδρολογία Επιφανειακών Υδάτων. Εκδόσεις Αϊβάζη, Θεσσαλονίκη, 787 σελ. 3

11 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης -Πιθανότητα υπέρβασης τιμής πλημμύρας Να υπολογιστεί η πιθανότητα η τιμή μιας πλημμύρας Χ, με περίοδο επαναφοράς Τ= 0 χρόνια να είναι μεγαλύτερη ή ίση με δεδομένη τιμή για τρία συνεχή έτη (n= 3). Απάντηση Η πιθανότητα η τιμή μιας μεταβλητής Χ να είναι μικρότερη ή ίση μιας δοθείσας x, για n περιόδους επαναφοράς, είναι. P(X x) n = P(X x) n Η παραπάνω σχέση σε συνδυασμό με την σχέση: γίνεται: και με αντικατάσταση προκύπτει: προκύπτει: PX ( x) = P( X x) n = n n n n n [ P( X x) ] = [ P( X x) ] P( X x) = [ P( X x) ] P( X x) = ( ) P ( X x) = ( ) 0 3 = 0,43 με τη χρήση του παράγοντ 33

12 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης -Προσαρμογή των νόμων Gauss και Gumbel στα δεδομένα των βροχοπτώσεων της λεκάνης του Λούρου Έπειτα από την συμπλήρωση των ελλιπών παρατηρήσεων και τον έλεγχο ομοιογένειας των βροχομετρικών σταθμών της λεκάνης του Λούρου ποταμού (Πιν..3), ζητείται: Να γίνει η προσαρμογή των ετήσιων τιμών των βροχοπτώσεων που δέχεται η λεκάνη στο νόμο του Gauss (Κανονική κατανομή). Να εξεταστεί αν οι μέγιστες ημερήσιες τιμές των βροχοπτώσεων προσαρμόζονται στο νόμο του Gumbel (Κατανομή των ακραίων τιμών). Να γίνει ανάλυση της συχνότητας πιθανότητας. Απάντηση Ο Πίνακας.3 περιλαμβάνει τις μηνιαίες τιμές των βροχοπτώσεων που δέχεται κατά μέσο όρο η λεκάνη του Λούρου ποταμού τα τελευταία 4 χρόνια και προέκυψε από την συμπλήρωση των ελλιπών παρατηρήσεων και τον έλεγχο ομοιογένειας των βροχομετρικών παρατηρήσεων. Με βάση τις ετήσιες τιμές, πλήθους Ν=4 τιμών, δημιουργήθηκαν 5 κλάσεις τιμών (Πιν..5). Για κάθε κλάση υπολογίστηκαν η πιθανότητα P (P=Νι/N) και η αθροιστική πιθανότητα. Το ιστόγραμμα συχνοτήτων (Εικ..), που κατασκευάστηκε από τα δεδομένα του Πίνακα.4, δείχνει ότι οι ετήσιες τιμές των βροχοπτώσεων προσαρμόζονται ικανοποιητικά στην κανονική κατανομή. Στη συνέχεια υπολογίστηκε η αθροιστική πιθανότητα για χαρακτηριστικές τιμές των ετησίων βροχοπτώσεων. Για το σκοπό αυτό, οι τιμές τυποποιήθηκαν σύμφωνα με την εξίσωση.6 και για κάθε μια από αυτές υπολογίστηκε η αθροιστική πιθανότητα. Όπως φαίνεται από τον Πίνακα.5, οι τιμές P(Z z) που υπολογίστηκαν προσαρμόζονται ικανοποιητικά στην κανονική κατανομή. Ο έλεγχος της προσαρμογής των τιμών μιας υδρολογικής μεταβλητής στην κανονική κατανομή μπορεί επίσης να γίνει με τη χρήση του πιθανολογικού χάρτη κατανομής (Εικ..3). ΕΤΟΣ Ι Φ Μ Α Μ Ι Ι Α Σ Ο Ν Δ ΕΤΗΣΙΑ 970 4,68 5,5 49,96 86,90 53,04 68,4 48,94,8 65, 76,3 9,4 9,74 459, ,70 6,6 359,8 50,78 6,80 8,4 7,46 33,48 35,86 7,88 9,78 7,6 786, , 98,8 04,4 6,00 84,56 4,34 83,96 8,96 60,90 365,08 8,44 64,66 76, ,84 98,66 44,08 88,88,60 3,4 4,90 0,6 8,0 87,80 95,3 370,0 884, ,76 85,06 9,60 43,00 68,7 9,78,4,68 39,94 373,0 6,58 4,4 877, ,4 56,6 96,96 55,96 93,54 37,50 37,60 0, 5,78 50,0 0,04 36,6 74, ,80,90 33,3 09,60 68,8 7,6 97,7 5,98 4,8 03,84 355,0 358,04 776, ,9 03,3 38,36 4,98 7,94 33,54 5,30 3,9 3,48 36,60 35,48 05,44 38, ,74 54,4 5,94 54,54 59,54 4,50 0,00 7,0 63,08 85,30 3,0 3,08 80, , 63,9 4,80 56,58 98,80 65,00 6, 56,0 4,90 35,06 89,8 6,76 976,90 980,6 9, 308,30 7,46 87,0 53,74 4,6 48,46 9,48 3,90 73,34 395, 964,46 98,90 30,04 78,3 75,66 66,9 54,98 8,84 4,4 8,5 43,3 4,6 637,4 07, ,60 07,34 70, 4,9 80,4 5,40 8,7 6,44 58,3 7,96 33,9 504,6 703, ,80 78,88 05,40 7,6 73,80 74,4 85,38 34,7 3,3 7,8 67,86 34,64 45, ,98 77,40 49,5 00,76 6,86 9,0 4,68 3,74 89,80 9,34 6,9 88,64 370, ,60 73,6,90 8,44 30,88 8,8 8, 5,6 7,06 60,50 457,48 85,8 576, ,58 400,90 95,88 84,90 3,64 69,46 3,0,86 7,56,67 65,0 86, 5, ,58 77,70 08,83 40,56 3,6 8, 39,94 8,60 5,58 4,74 436,84 80,04 8, ,0 34,66,6 88,7 0,46 7,70 9,6 8, 55,3 90,70 309,88 04,8 300,74 989,74 8,64 69,9 49,08 95,48 59,04 63,60 7,96 45,76 39,80 99,30 07,50 97, ,88 68,06 5,48 0,46 65,70 0,4 6,8 63,6 0,8 86,78 3,0 50,98 97, ,00 39, 64,8 4,6 03,68 0,44 5,0 55,40 4,66 40,8 39,66 79,34 6, ,66 35,70 3, 70,34 56,90 47,6 95,04 6,94 3,30 46,6 4,8 36,0 305, ,60 6,36 64,86 78,4 87,38 4,56,98 5,5 53,34 5,04 346,84 330,4 350, ,3 50,34 0,8 68,38 55,06 39,70 66,80 33,9 38,38 4,74 47,30 38,0 53,96 34

13 995 69,0 43,5 94,68 78,38 48,38 6,44 56,0 87,3 57,8 5,8 9,4 456,70 795, ,74 84,8 7,48 3,56 56,58 43,80 6,4 45,06 45,6 85,8 453, 48,36 00, ,8 86,34 03,44 38,78 9,4 6,86 38, 53,0,06 36,59 55,40 335,80 483, ,0 09, 56,76 4,56 03,3 48,98 0,08 33,8 7,58 6,8 405,30 9,50 58, ,6 75,38 07,88 48,06 47,48 0,44 76,48 3,5 37,6 38,3 94,0 45,04 95, ,30 88,90 9,78 7,98 8,8 7,6 5,50 8,5 37,84 5,4 8,06 65,6 037,6 00 8,08 7,60 69,8 7,30 49,84 0,48 6,70 3,4 53,58 0,0 80,50 89,84 83, ,90 46,38 00,0 36,50 98,,34 79,6 79,70 8,36 99,7 5,34 348,40 74, ,96 4,30 5,06 49,46 43,8 4,74 35,70 64,74 83,5 383,46 80,84 0,48 5, ,90 37,40 97,0 4,60,0 45,4 47,8,90 3,66 85,06 60,3 69,87 694, ,4 35,5,96 75,38 47,38 90,64 54,80 3,58 83,98 6,74 99,40 578,06 95, ,98 99,48 64,68 3,78 4,7 3,5 6,50 63,6 50,68 79,0 69,68 04,80 57, ,0 36,86 7,56 73,4,94 5,80 0,4 7,4 64,0 64,5 33,38 38,7 38, , 67,4 76,6 60,4 3,30 76,74 30,4 8,00 04,0 0,6 94,30 390,70 47, ,3 87,8 344,0 73,00 46,8 77,60 47,4 57,4 48,8 37,00 363,30 37,30 486, ,58 353,38 9,5 5,0 90,30 5,30 76,75 0,00 85,4 460,7 407,05 74,8 5,9 Πίνακας.3 Μηνιαίες τιμές των βροχοπτώσεων της λεκάνης του Λούρου. Κλάσεις Συχνότητα (Ni) P=Ni/N Ρ(Χ<x) P(mm) Z=(P- M)/S ,05 0, ,3-0,39 0, ,097 0,.300-0,95-0,33 0, ,048 0, ,66-0,5 0, , 0, ,37-0,4 0, ,073 0, ,08-0,03 0, ,46 0, , 0,08 0, ,05 0, ,50 0,9 0, ,46 0, ,79 0,9 0, ,097 0, ,08 0,36 0, ,097 0, ,048 0, ,05 0, Z(P) F(ZP) Ελάχιστο.037,6 Μέγιστο.5, ,048 Μέσος όρος, P.66,7 Τυπική απόκλιση, s 345,6 N= 4 P=.67,0 s= 346,0 Πίνακας.4 Η Κανονική Κατανομή των ετήσιων βροχοπτώσεων στο μέσο υψόμετρο της λεκάνης του Λούρου. 35

14 Εικόνα. Προβολή των τιμών του Πίνακα.4. Εικόνα.3 Προβολή των ετήσιων τιμών βροχόπτωσης της λεκάνης του Λούρου στο πιθανολογικό διαγράμματα της κανονικής κατανομής (Κατσάνου, 0). Εάν τα δεδομένα, οι ετήσιες τιμές βροχόπτωσης, προσαρμόζονται ικανοποιητικά στην κανονική κατανομή τότε η προβολή τους σε διάγραμμα γίνεται επί μιας ευθείας γραμμής. Στη συνέχεια εξετάζεται αν οι μέγιστες ημερήσιες τιμές των βροχοπτώσεων προσαρμόζονται στην κατανομή των ακραίων τιμών, στο νόμο του Gumbel. Ο Πίνακας.5 δίνει τις μέγιστες ημερήσιες τιμές των βροχοπτώσεων του κάθε μήνα των ετών της λεκάνης του Λούρου. Ι Φ Μ Α Μ Ι Ι Α Σ Ο Ν Δ max m Max 97 77,5 4,0 68,5 4,0 53,5 0,0 6,0 0,0 8,0, 50,0 4,4 8,0 45,0 38, ,0 5,0 65,0 35, 7,0 0,0 7,8 8,5 5,0 04,3 35,0 30,0 04,3 44,5 9, ,5 40,0 35, 8, 6,0 3, 7,8,0 39,0 45,0 85,3 7,0 45,0 3 38,8, ,0 43, 5, 56,5 9,0 3,5 0,0 4,0 4,0 47,5 39,3 30,0 56,5 4 6,0 9, ,0 49,5 53,5,0 0,8 4,0 4,5 5,0 6,0 5,0 38,0 47,3 53,5 5 3,4 7, ,4 30, 36,0 3, 3,8 0,9 3,4 8,0 4,8 44,0 59,0 48,8 59,0 6 3,0 6, ,0 48,5 9,5 3,0 4,7 6,5 0,0, 69,,6 3, 6,5 69, 7 0, 5, ,3 39,0,3 65, 3,0 30,0 0,0 0,0 43,0 37, 84,0 74, 84,0 8 07,7 4, ,8 45,5 4,0 8,8 30, 5,0 0,8 3,0 0,7 5,0 43,0 5,5 58,8 9 04,3 4, ,5 33,9 60,5 49,5 4,0 9,0 0,8 5,7 4,5 46,7 6, 49,0 6, 0 0,0 3, ,3 69,3 7,8 5,8 37,3 9,5 0,0 3,0 3,0 7,9 4,7 7,0 7,9 99,0 3, ,3 38,0 65,9 3,4 3, 5,4 0,0,4 5,7 85,6 59,9 88,5 88,5 98,5 3, ,7 47,7 7,3 9,3 4, 3,6 5,0,5 53,7 3,4 5,5 64, 3,4 3 88,5, ,9 49,6 9,8 9,8 7,0 7,6 0,0 34,0 37,5 3,0 34,, 70,9 4 85,0, , 47, 46, 4,0 9, 0,0 0,3 4,4 8,7 47, 98,5 0,0 98,5 5 84,0, ,6 6,3 3,3,0 7,7 4,7,3,8 6,7 44,8 33,8 38,0 6,3 6 8,4, ,0 39,5 40,3 0,0 33,7 79,0 3,0 6,, ,7 63,3 07,7 7 8,0,4 36

15 988,0 57,7 44,0 9,5 0,0 7,0 0,0 3,8 7,3 8,4 49,9 56,5 8,4 8 80,4, 989 0,0 3,6 4,9 43,5 5,9 40,5 0,5 6,7 8, 58, 49,3 3,0 58, 9 76,4,00 990,7 5, 0,7 4,8 9,8 0,0 0,0 3,7 7,5 57, 8,0 45,5 57, 0 73,8, ,8 46,9 6,0 6,0 8,5 0,0 6,0,5 7,8 3,0 44,5 45,0 44,5 7,9, ,6 38,5 3,0 0,0 6,0 7,0 0,0 4,5 5,0 56,0 40,5 37,5 56,0 70,9, ,0 4,5 8,7,0 0,0,5, 66,0 0,0 9,0 0, 46,7 0, 3 69,, ,6 8,,5 0,0 5,0 85,0 7,0 0,0 0,0 5,0 40,0 36,5 85,0 4 67,0, ,0 64,0 5,0 43,5 4,0 3,5,5 0,0 0,0,0 67,0 49,0 67,0 5 66,0, ,0 45,0, 63,5 9,0,0 4,0,0 38,3 50,0 59,5 8,0 63,5 6 63,5, ,0 54,8 78,8 55, 47,3 4,7 6,0,0 5,0 30,0 5,0 4,5 6,0 7 6,3, ,6 95,0 8,6 4,0,5 6,6,5 7,7 45,6 99,0 34,4 99,0 8 6,, ,3 8,6 55,7,3,4 8,0 4,5 3,5 8,7 0,0 57,0 58,7 0,0 9 59,0, , 33,4 8,7 0, 8,4 6,6 5,5, 6,0 9,9 43,0 33,0 43, ,8,7 00 4, 3, 35,0 36,4 5,4,,3 0,0 9, 0,9 34,5 66,0 66,0 3 58,,3 00 5,0 9,5,4 8,0 8,7 4,0 0,5 9,0 85, 3,0 36,7 74,0 3,0 3 57,, , 3,4 39,0 0,4 5,8 7,4 0,6 4,5 49,3 73,8 7,7 68,0 73, ,5, ,6 4,4 74,5,7 8,6 8,6 0, 8,0 40,4 0,5 40,7 80,4 80, ,0, ,0 5, 3,0 3,4 6,0 6,9,0 0,8 35, 37, 36,6 76,4 76, ,0, ,4 59,5 37,7 7,8 9,5 9,0 4, 39,0 50,4 3,0 38,8 57,0 38, ,5, ,6 5,0 8,0 30,3 0,0 0, 0,0 4,0 40, 54,0 5,0 9, 54, ,0,03 Πίνακας.5 Μέγιστες ημερήσιες τιμές των βροχοπτώσεων του κάθε μήνα των ετών της λεκάνης του Λούρου. Οι μέγιστες τιμές των ετών διατάσσονται κατά φθίνουσα σειρά και για κάθε μία τιμή υπολογίζεται η περίοδος επαναφοράς με τη σχέση. (βλ. τις δύο τελευταίες στήλες του Πίνακα.5). Ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση της χρονοσειράς των ετησίων μεγίστων υπολογίστηκαν από τις σχέσεις.-.4 και είναι = 83 και s= 6,85. Σύμφωνα με τον Πίνακα. οι παράμετροι που συνιστούν αντίστοιχα την προσδοκώμενη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των ανηγμένων ακραίων τιμών και αποτελούν θεωρητικές ποσότητες, το μέγεθός των οποίων εξαρτάται μόνο από το μέγεθος του δείγματος, είναι: = 0,548 και σ n =,339. Με βάση τα δεδομένα και τις σχέσεις.3,. και.4, υπολογίζονται για διάφορες περιόδους επαναφοράς ο παράγων συχνότητας Κ, η μέση τιμή, δηλαδή η επικρατέστερη τιμή της στατιστικής μεταβλητής P για περίοδο επαναφοράς Τ και το τυπικό σφάλμα της παραπάνω τιμής S για επίπεδο εμπιστοσύνης 99,8%. Η ανηγμένη μεταβλητή της κανονικής κατανομής Ζ, για επίπεδο εμπιστοσύνης 99,8%, λαμβάνεται από τον Πίνακα. και είναι ίση με Ζ= 3. Έτσι με χρήση των σχέσεων.7 και.8 υπολογίζονται το ανώτερο και κατώτερο όριο εμπιστοσύνης που παρατίθενται στον Πίνακα.6 (στήλες 7, 8). Ο έλεγχος της προσαρμογής των ακραίων τιμών μιας υδρολογικής μεταβλητής στην κατανομή τύπου Ι κατά Gumbel μπορεί επίσης να γίνει και με τη χρήση του Πιθανολογικού χάρτη της κατανομής (Εικ..4). Εάν τα δεδομένα, οι ακραίες τιμές βροχόπτωσης, προσαρμόζονται ικανοποιητικά στην κατανομή κατά Gumbel τότε η προβολή τους σε διάγραμμα γίνεται επί μιας ευθείας γραμμής (Εικ..4). Τ (έτη) Κ δ G S ZS () () (3) (4) (5) (6) (7) (8),0 -,866 33,96,5 6,69 0,06 54,0 3,89-0,546 78,85 0,9 4,0,03 90,88 66,8 3 0,383 9,55,4 5,45 6,35 07,90 75,9 4 0,60 99,67,49 6,59 9,78 9,45 79,89 5 0, ,69,70 7,50,49 8,8 83,0 0,5068 3,46,34 0,3 30,93 54,39 9,53 0,46 40,50,97 3, 39,35 79,85 0,5 30, ,3 3,34 4,75 44,6 94,57 06,05 40, , 3,6 5,9 47,74 04,97 09,48 50,9633 6,57 3,8 6,8 50,45 3,0, 37

16 00 3,579 79,0 4,44 9,6 58,84 37,94 0,6 00 4,96 95,57 5,08,4 67,4 6,8 8, , ,9 5,45 4,06 7,7 77,36 33, ,8050,0 5,7 5, 75,66 87,67 36, ,000 7,30 5,9 6, 78,37 95,68 38, ,630,63 6,09 6,86 80,59 30, 4, ,990 5,8 6,3 7,49 8,46 307,74 4, ,469 8,44 6,35 8,03 84,08 3,53 44, ,508 3,3 6,46 8,5 85,5 36,75 45, ,638 33,73 6,55 8,93 86,80 30,53 46, , ,6 8,67 38,8 4,85 403, 73,4 Πίνακας.6 Επιμέρους αποτελέσματα του Κριτηρίου αξιολόγησης. Εικόνα.4 Προβολή των μεγίστων τιμών ημερήσιας βροχόπτωσης της λεκάνης του Λούρου στο πιθανολογικό διαγράμματα της κατανομής των ακραίων τιμών τύπου Ι (Κατσάνου, 0). 38

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 2 ο : Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τις αρχές και μεθόδους της στατιστικής, τις οποίες παρουσιάσαμε ήδη στο κεφάλαιο 3, σε ένα από τα πιο τυπικά

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α)

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α) Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Αγ. Νικόλαος), Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σελίδα 1 από 13 5η Εργαστηριακή Άσκηση Σκοπός: Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση στοχεύει στην εκμάθηση κατασκευής γραφημάτων που θα παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ

Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ Στον παρακάτω πίνακα, δίνονται τα ετήσια ύψη βροχών όπως μετρήθηκαν σε δυο γειτονικούς βροχομετρικούς σταθμούς χ και ψ για την περίοδο 1990-2001. Ζητείται: 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2011-2012 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Άσκηση 1: Μια τράπεζα ενδιαφέρεται να μελετήσει την αποταμιευτική συμπεριφορά των πελατών της. Θεωρείται ως δεδομένο ότι η ετήσια αποταμίευση των πελατών της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή Σχέσεις Έντασης Διάρκειας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 3Α: Η Κανονική Κατανομή Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα επαναληπτικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 9 ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Γένεση Μετακινήσεων

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Γένεση Μετακινήσεων Γένεση Μετακινήσεων Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος ppapant@upatras.gr Πάτρα, 2017 Εισαγωγή Αθροιστικά μοντέλα (Aggregate models) Ανάλυση κατά ζώνη πόσες μετακινήσεις ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o ΙΩΑΝΝΗΣ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ Εφαρμογές Ποσοτικές Ανάλυσης με το Excel 141 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση Δεδομένων Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αριάδνη Αργυράκη ΣΤΑΔΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ 1.ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ: - Καθορισμός στόχων έρευνας - Ιστορικό περιοχής 2 4.

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III):

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III): I Α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ίνονται τρείς οµάδες τιµών Οµάδα (I): 0

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Υδραυλικών Έργων Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ 3 η Διάλεξη : Μορφοποίηση Δεδομένων Φώτιος Π. Μάρης, Αναπλ. Καθηγητής Δ.Π.Θ. Πηγή: Τίτλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 1. Οργάνωση και Γραφική παράσταση στατιστικών δεδομένων 2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (1/13) στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον

Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον Δρ Μ.Σπηλιώτη Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον οποίο το μέγεθος αυτό απαντάται με ίση ή μεγαλύτερη τιμή. Για τον υπολογισμό του ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα