ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Transcript

1 ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π ΕΙΓΜΑ (Ν < Ν Π ) ειγµατοληψία Συµπύκνωση πληροφορίας ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εµφανιστεί µια τιµή σε συγκεκριµένο διάστηµα Σε τι τιµή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα Εκτίµηση πιθανοτικών µεγεθών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυµµετρίας Μοντελοποίηση ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανοµής Στατιστικές δοκιµές καταλληλότητας

2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.75 ) ΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ.75 -Χ.5 ) ΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ.5 ) ΜΕΓΕΘΟΣ.5*(Χ.75 -Χ.5 ) ΕΩΣ 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.5 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ Μέση τιµή X i i= = Τυπική απόκλιση ( Xi ) i= s = ιασπορά s Συντελεστής διασποράς s Τρίτη ροπή 3 ( Xi ) ( 3 ) i= µ = Τέταρτη ροπή 4 ( Xi ) ( 4 ) i= µ = ( 3) Συντελεστής ασυµµετρίας µ Cs = ( ) 3/ ( µ ) ( ) ( ) 3 ( 4) Συντελεστής κύρτωσης * µ Ck = ( )*( )*( 3)* µ Μέγιστη τιµή M T. = ma{ X, X,..., X } Ελάχιστη τιµή. i= = i = ET.. mi{ X, X,..., X} Χ..Χ : Οι τιµές της µεταβλητής : Αριθµός δεδοµένων δείγµατος ( )

3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4 ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Παροχή (m3/s) Χρόνος (έτη) Συχνότητα (%) Ετήσια παροχή (m 3 /s) Απόλυτη συχνότητα ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) 8 4 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέση τιµή < Μέση τιµή Τυπική απόκλιση = Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας = Συντελεστή ασυµµετρίας = Συντελεστής κύρτωσης = Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέση τιµή =Μέση τιµή Τυπική απόκλιση < Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας = Συντελεστή ασυµµετρίας = Συντελεστής κύρτωσης = Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέση τιµή = Μέση τιµή Τυπική απόκλιση = Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας = -Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης = Συντελεστη κύρτωσης Συντελεστής ασυµµετρίας > Τιµές µεταβλητής Συντελεστής ασυµµετρίας < Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μ.Τ. = Μ.Τ. Τ.Α. = Τ.Α. Σ.Α. = Σ.Α. = Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστής κύρτωσης 5 Τιµές µεταβλητής Συντελεστής κύρτωσης 3 3

4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αθροιστική συχνότητα (%) Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική πιθανότητα (%) 4

5 ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών Weibull Normal LogNormal Galto Epoetial Gamma PearsoIII LogPearsoIII Gumbel Ma EV -Ma Gumbel Mi Weibull GEV Ma GEV Mi Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Mi (k spec.) Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική καταν οµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% Κανονική κατανοµή (Gauss) Kατανοµή Gumbel µεγίστων ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Περίοδος επαναφοράς (έτη) Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 5% %.3%.% Ετήσια παροχή (m3/s) Ανηγµένη µεταβλητή Gauss.%.3% % 5% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανοµής (%) 5

6 Αριθµός κλάσεων (k): 5 Αριθµός παραµέτρων κανονικής κατανοµής: 4 ΟΚΙΜΗ χ Βαθµοί ελευθερίας κατανοµής χ : 5-- Πιθανότητα κλάσης (p i ): % Θεωρητικός αριθµός σηµείων κλάσης (Ν*p i ): 3/5= Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αριθµός σηµείων ανά κλάση (Ν i ) Αθροιστική πιθανότητα (%) 5 Κλάση N i 7 5 N*p i (N i -N*p i ) /N*p i,7,7 D =,33 % % % % % ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ. Η µεταβλητή χ ακολουθεί την κατανοµή χ µε βαθµούς ελευθερίας. Από τα δεδοµένα του δείγµατος υπολογίζεται η στατιστική παράµετρος D 3. Η µηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σηµαντικότητας α αν D<χ α 8 Πιθανότητα (%) 4 D =,33 Q. = 4. Q.5 =. Q. = 9. Το D (.33) είναι µικρότερο από 4το χ 8 α για τα συνήθη επίπεδα σηµαντικότητας % (9.), 5% (.), % (4.). Άρα η µηδενική υπόθεση Μεταβλητή (Η χ ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή στα συνήθη επίπεδα σήµαντικότητας

7 ΟΚΙΜΗ Kolmogorov-Smirov Βασίζεται στη διαφορά µεταξύ της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής F ()και του παρατηρηµένου αθροιστικού ιστογράµµατος F*() F*(Χ (i) )=i/ όπου είναι η i µεγαλύτερη παρατηρηµένη τιµή σεδείγµα µε µέγεθος Από τα δεδοµένα του δείγµατος υπολογίζεται η στατιστική παράµετρος D D = ma i= ( i) ( i) i ( i) [ F *( X ) F( X ) ] = ma F( X ) Η µηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σηµαντικότητας α αν D<c i= ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ c Μέγεθος α=. α=.5 α=. δείγµατος >4./ /.3/ /.3/ / ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανοµή Σε δείγµα τιµών Χiµε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ ηπαράµετρος z=(xi-µ)/σ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µ=, σ= είγµα έχειµ=, σ=5 και ακολουθεί κανονική κατανοµή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιµής Χi=5 z=(5-)/5= Ποια είναι η τιµή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ =.5 έτη F=-(/.5)=,333 F=84,% Πίνακας (,) z=, F=,843 F=33.3% Πίνακας (,) Για F=-.333 z=.43 Για F=.333 z=-.43 z= Τ=(-,843)= έτη z=-.43 (Xi-)/5=-.43 άρα Xi=7.8 7

8 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 95% Κανονική κατανοµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% % % % %

9 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ α% ( Τ) ( Τ) ma mi = ( Τ) + z = ( Τ) z + α / + α / S S T T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής S T σˆ N η τυπική απόκλιση του T S T ˆ σ = δ Ν Η τυπική απόκλιση του δείγµατος Οαριθµός των Ν παρατηρήσεων του δείγµατος ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Κανονική κατανοµή Χ(Τ)ma=X(T)+z( +a)/ ) *S T. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%.5. (+a)/ (+a)/ Χ(Τ)mi=X(T)-z( +a)/ ) *S T Χ() Χ(Τ)=m+Z (-/T) *s 5 T=, -/T =99%, z 99% =.33 a=95% +a/=97.5% z 97.5% =.9 9

10 ΙΑΚΙΝ ΥΝΕΥΣΗ Η πιθανότητα R να πραγµατοποιηθεί µέσα σε έτη τιµή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ Πιθανότητα µη υπέρβασης σε ένα έτος: F=-F =(-/Τ) Πιθανότητα µη υπέρβασης σε έτη: (-/Τ) Πιθανότητα υπέρβασης σε έτη ( ιακινδύνευση): R=-(-/Τ) Παράδειγµα Τ= έτη = έτη R=-(-/) =.5=5% Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανοµής f µ.5*( ) σ ( ) = e πσ F µ ( ) σ ( ) = e π d ( Τ) ( Τ) ma mi = ( Τ) + z = ( Τ) z + α / + α / S S T T Όρια εµπιστοσύνης S T ˆ σ = δ Ν Κ( T ) δ = + K( T ) = Z( / T ) S T ητυπικήαπόκλισητου T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής όταν το επίπεδο είναι α% σˆ ητυπικήαπόκλισητουδείγµατος N οαριθµός των παρατηρήσεων του δείγµατος

11 f ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Πυκνότητας Συνάρτηση Κατανοµής Πιθανότητας l µ Υ ( ) σ Υ X ( ) = * e πσ Y F Εκτίµηση παραµέτρων (µέθοδος ροπών) l s µ Υ ( σ Υ X ( ) = * e s πσ Y ) Sl = l( + S / l = l S l / z l Χειρισµός της κατανοµής l = zs + l = l l S zs l l + l = e Z η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c =, 45 a =,8 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = ae a( c) e a ( c ) F X ( ) = e e Συνάρτηση Κατανοµής a ( c) l( l F ) l( l( / T )) ( T ) = c = c a a Όρια εµπιστοσύνης ( T ) + k( T )* = k ( T ) = * l( l( / T )) S ( T ) + T, = ( T ) ± +.39* k( T ).* k( ) S

12 ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c = +, 45 a =,8 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = ae a( c) e a ( c ) Συνάρτηση Κατανοµής F X ( ) = e e a ( c ) l( l( F ) l( l(/ T )) ( T ) = c + = c + a a σ µ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) Γ( + ) + = k Γ( + ) k µ c = Γ( + ) k ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL f X Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ( ) = Συνάρτηση Κατανοµής F X k c *( ) c ( ) = e k e ( / c) k k ( / c) / [ ] k / l( F ) = c *[ l(/ T )] k ( T ) = c * µ, σ µέση τιµή και τυπική απόκλιση του δείγµατος c, κ παράµετροι της κατανοµής Weibull Γ() συνάρτηση Γάµα

13 f X ΚΑΤΑΝΟΜΗ LOG PEARSON III Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ( ) = κ λ *l( c) Γ( κ) κ e λ(l c) Συνάρτηση Κατανοµής F X ( ) = e c κ λ Γ ( κ ) * (l s c ) κ e λ (l s c ) ds Χειρισµός της κατανοµής z l = S l l = zs zs l l l + l l + = e Το Ζ υπολογίζεται από πίνακες µε βάση την πιθανότητα εµφάνισης και το συντελεστή ασυµµετρίας της l ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ PEARSON III Μ.Α. Μιµίκου, Τεχνολογία υδατικών πόρων, Σελίδες

14 ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ p( / N) N p q N! = p!( N )! p N N = * *( ) Ηδιωνυµική κατανοµή δίνει την πιθανότητα να έχουµε επιτυχίες σε Ν δοκιµές όπου p η πιθανότητα επιτυχίας κάθε δοκιµής και q=-p η πιθανότητα αποτυχίας κάθε δοκιµής Παράδειγµα Η πιθανότητα να εµφανιστεί η τιµή µε πιθανότητα %, 3 φορές σε 5 χρόνια είναι (5!/(3!*!))*.^3*.8^ (5-3) =.5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Μέγιστες ετήσιες παροχές Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών Weibull Normal LogNormal Galto Epoetial PearsoIII LogPearsoIII Gumbel Ma EV-Ma Gumbel Mi Weibull GEV Ma GEV Mi Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Mi (k spec.) Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%

15 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κανονικής κατανοµής Weibull Normal ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ιστοσύνης 95% ΚΑΤΑΝΟΜΗ Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή λογαριθµοκανονικής κατανοµής Weibull LogNormal ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%

16 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κατανοµής Gumbel µεγίστων Weibull Gumbel Ma ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κατανοµής Gumbel ελαχίστων Weibull Gumbel Mi ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%

17 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κατανοµής Log-Pearso II Weibull LogPearsoIII ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κατανοµής Weibull Weibull Weibull ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Καν ον ική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%

18 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσµατα δοκιµής χ (5 κλάσεις) a=% a=5% a=% a Παράµετρος Κανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 Κανονική (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 Λογαριθµοκανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,4%,7 Galto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, Εκθετική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 3,7 Εκθετικήl(L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,5% 4, Γάµµα ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 Pearso III ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, LogPearsoIII ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΑΤ-Ma (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 ΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,% 8,33 ΑΤ-Mi (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 ΑΤ3-Mi (Weibull) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5%,7 ΓΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Mi ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 9,7%,7 Pareto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,7%, ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,7%, ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,9% 9,33 ΑΤ-Mi ( L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 ΑΤ3-Mi ( L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5%,7 Pareto (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Ma (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 9,7% 4,7 ΓΑΤ-Mi (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,3% 3, ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,4%,7 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,3% 3, ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσµατα δοκιµής χ ( κλάσεις) a=% a=5% a=% a Παράµετρος Κανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 57,%, Κανονική (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 57,%, Λογαριθµοκανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,5% 7, Galto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,8%, Εκθετική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,% 8, Εκθετικήl(L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,3% 5, Γάµµα ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 5,8% 5, Pearso III ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,8%, LogPearsoIII ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,%, ΑΤ-Ma (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 5,8% 5, ΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,7% 9, ΑΤ-Mi (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,% 8, ΑΤ3-Mi (Weibull) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9%,8 ΓΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,8%, ΓΑΤ-Mi ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 7,%,8 Pareto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 4,4 ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 4,4 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 3, ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 5,8% 5, ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 3,8% 8,4 ΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 5,8% 5, ΑΤ3-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9%,8 Pareto (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 4,4 ΓΑΤ-Ma (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,%, ΓΑΤ-Mi (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 4,3%,8 ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 4,4 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 57,%, 8

19 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσµατα δοκιµής Kolmogorov-Smirov a=% a=5% a=% a DMa Κανονικήl ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 9,9%,8 Κανονική (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 9,9%,8 Λογαριθµοκανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 78,%, Galto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 Εκθετική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 8,%,9 Εκθετικήl(L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 49,%,4 Γάµµα ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 98,5%,8 Pearso III ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,4%,7 LogPearsoIII ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 55,%,4 ΑΤ-Ma (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 95,5%,9 ΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,%,4 ΑΤ-Mi (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 4,%,5 ΑΤ3-Mi (Weibull) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,%, ΓΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 ΓΑΤ-Mi ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,%, Pareto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 97,%,8 ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,5%,7 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5%,9 ΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 4,%,5 ΑΤ3-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,9%, Pareto (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 97,5%,8 ΓΑΤ-Ma (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 54,7%,4 ΓΑΤ-Mi (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 7,%, ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 78,8%, ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 7,%, ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Στατιστικά χαρακτηριστικά και παράµετροι Πλήθος 3 Μέση τιµή 7,93 Τυπική απόκλιση 48,4 3ηκεντρικήροπή 589,9 Συντελεστής ασυµ.,9 Μέση τιµήτουy=l() 5,45 Τυπ. αποκλ. y=l(), Τρίτη κεντρ. ροπή -//- -,8 Ασυµετρία -//- -,4 ΛογΚανονική my 5,48 ΛογΚανονική sy,5 Galto my,4 Galto sy, Galto c -38,9 Εκθετική c 4,47 Εκθετική λ, Γάµµαλ 3,38 Γάµµακ, Pearso III κ 8,34 Pearso III λ, Pearso III c -55,79 Λογ Pearso III κ 5,8 Λογ Pearso III λ 8,39 Λογ Pearso III c,4 ΑΤ- (Gumbel) Ma λ 5,8 ΑΤ- (Gumbel) Ma ψ,78 ΑΤ- Ma κ,9 ΑΤ- Ma λ, ΑΤ- (Gumbel) Mi λ 5,8 ΑΤ- (Gumbel) Mi ψ,93 ΑΤ-3 (Weibull) Mi κ,5 ΑΤ-3 (Weibull) Mi λ,5 ΓΑΤ Ma κ -,9 ΓΑΤ Ma λ 8, ΓΑΤ Ma ψ,3 ΓΑΤ Mi κ,5 ΓΑΤ Mi λ,77 ΓΑΤ Mi ψ,9 Pareto κ,4 Pareto λ 8,7 Pareto ψ,5 LΡοπή: L 7,93 LΡοπή: L 84,8 LΡοπή: L3 3,4 LΡ-Κανονική m 7,93 LΡ-Κανονική s 49,37 LΡ-Εκθετική c 4,38 LΡ-Εκθετική λ, LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Ma λ,58 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Ma ψ,7 LΡ-ΑΤ- Ma κ,39 LΡ-ΑΤ- Ma λ 7,44 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Mi λ,58 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Mi ψ,8 LΡ-ΑΤ-3 (Weibull) Mi κ,53 LΡ-ΑΤ-3 (Weibull) Mi λ 3,8 LΡ-ΓΑΤ Ma κ -, LΡ-ΓΑΤ Ma λ,99 LΡ-ΓΑΤ Ma ψ,5 LΡ-ΓΑΤ Mi κ, LΡ-ΓΑΤ Mi λ,35 LΡ-ΓΑΤ Mi ψ,8 LΡ-Pareto κ,44 LΡ-Pareto λ 97,5 LΡ-Pareto ψ,3 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) κ,5 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) λ 9,58 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) ψ, ΓΑΤ Mi (κκαθ.) κ,5 ΓΑΤ Mi (κκαθ.) λ 35,7 ΓΑΤ Mi (κκαθ.) ψ,4 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) κ,5 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) λ 3,7 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) ψ,88 LΡ-ΓΑΤ Mi (κκαθ.) κ,5 LΡ-ΓΑΤ Mi (κκαθ.) λ 37, 9

20 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίµηση παραµέτρων θεωρητικών κατανοµών A B C D E F G H 4 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ 7,93 5,45 4 ΤΥΠ. ΑΠΟΚ 48,4, 4 TA DIOR 4,4,59 43 Σ.,54, 44 ΣΑ,9 -,4 45 Σ.ΚΥΡΤ -, -,47 4 ΜΕΓΙΣΤΗ,,43 47 ΕΛΑΧΙΣΤΗ 59,5 4,9 48 ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΙΜΩΝ 3 3 /(,78*$B$4) ΚΑΝΟΝΙΚΗ GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ 5 µ 7,93 α,9 53 σ 4,4 c 7, $B$4-,45*$B$ LN($B$5)-$B$^/ (B4/B4)^+-EXP(GAMMALN(+/F))/(EXP(GAMMALN(+/F)))^ 59 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ WEIBULL, my 5,483 5,45 k,948,4 σy,5,587 C 37,8 3, SQRT(LN(+$B$53^/$B$5^)) B4/EXP(GAMMALN(+/F)) /(,78*$B$4) GUMBELL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ 74 α,9 75 c 338, $B$4+,45*$B$4 79 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών A B C D E F G H I J K L M NORMDIST(B7;$B$5;$B$53;TRUE) -EXP(-EXP($I$5*(B7-$I$53))) -,7^(-((B7/$F$)^$F$)) -A8/($A$37+) EXP(-EXP(-$F$5*(B7-$F$53))) NORMDIST(LN(B7);$B$;$B$;TRUE) ΑΠΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Σ.Α.= -.4 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ GUMBEL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ WEIBULL LOGPEARSON K,,,,,,43,97,99,97,,97,98,975,7 (C8-$C$4)/$C$4 5,33,94,98,9,,95,9, ,7,9,9,94,,94,94,4 4 49,9,87,93,9,98,9,9,9, 5 45,,84,89,89,93,89,88, 4,,,8,83,84,85,8,83, ,9,77,75,79,73,8,7, ,5 5,85,74,7,75,,77,7,8 9 35, 5,78,7,4,7,59,73,7,57 3, 5,74,8,,7,54,9,4,49 9,8 5,9,5,5,3,5,,,4 93,3 5,8,,5,3,49,5,,,39 3 7,3 5,,58,5,57,43,,54, 4 7,9 5,,55,49,5,4,59,54, 5 58,3 5,55,5,4,53,39,5,5,7 5 5,53,48,44,5,37,54,49,3 7 49,9 5,5,45,44,5,37,53,49, 8 44,3 5,5,4,4,49,35,5,47,5,8 9 9, 5,44,39,38,44,3,4,43 -,3 3 5,3,35,3,35,,37,3 -,4 8 5,9,3,,8,,8,3 -,44, 5,8,9,,,9,,4 -,4 3 4,5 4,95,,8,7,,4,9, -,8 4 9,5 4,8,3,,4,5,,7 -, 5 3,9 4,8,9,5,3,4,9, -,8 5,5 4,75,,4,,3,7,4 -, 7 5,4 4,,3,3,9,,5, -,35 8,9 4,3,,,8,,5, -,39 9 8, 4,4,,,,,,8 -,7 3 59,5 4,9,3,7,3,8,,4,5 -,33

21 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών,,8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ,,4, ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ GUMBEL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ WEIBULL LOGPEARSON, TIMH ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίµηση τιµών και ορίων εµπιστοσύνης 95% και 99% O P Q R S T U V W X Y Z ΤΙΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 3 Τ= Τ=5 Τ= Τ=5 Τ= Τ= NORMINV(U4;$B$5;$B$53) 4 F=,5,8,9,98,99,999 5 ΚΑΝΟΝΙΚΗ 7,9 395,8 4, 57,9,7 74, $F$53-LN(-LN(U4))/$F$5 GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ 49, 378, 43, 5,7 73, 994, 7 GUMBELL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ 9,9 39,9 433,7 494, 5, 558,8 $I$53+LN(-LN(-U4))/$I$5 8 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ 4, 37, 457,8 74,4 773,3 34,5 9 WEIBULL 55, 393, 47,3 9,9 74, 83, EXP(NORMINV(U4;$B$;$B$)) LOGPEARSON 75,4 38, 48,5 44,9 83,9 953,5 Κ -,898 -,898,8,8,8,3987 $F$*(-LN(-U4))^(/$F$) ΑΠΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Σ.Α.= -.4 EXP($C$4+$C$4*U) ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 95% Z.975=,9 7 ΖU,,84,8,54,3 3,9 NORMSINV(U4) 8 9 ΚΑΝΟΝΙΚΗ 35, 45,7 53, 5, 73,3 849,8 U5+$R$*(SQRT(+(U7^)/)*($B$4/SQRT($B$48))),7 335, 389, 48,7 5, 598, GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ 3 KT -,4,7,35,594 3,38 4,938 -,45-,78*LN(-LN(U4)) 4 73,4 49,3 59, 74,5 835,9 48, 5 4,5 33,8 47,9 5,8, 839,8 U+($B$4/SQRT($B$48))*(+,39*U3+,*U3^)^,5 7 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ 9,9 48,8 7,8 97,8 58,7 879, 8 95, 87,5 344,8 45, 5, 84, EXP(NORMINV(U4;$B$;$B$)+$R$*(SQRT(+(U7^)/)*($C$4/SQRT($C$48)))) 3

22 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίµηση τιµών και ορίων εµπιστοσύνης 95% Παροχή (m 3 /s) 8 4 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ,,, 3, 4, Ανηγµένη µεταβλητή Ζ Παροχή (m 3 /s) 5 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟ- ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 5,,, 3, 4, Ανηγµένη µεταβλητή Ζ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίµηση τιµών και ορίων εµπιστοσύνης 95% ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παροχή (m 3 /s) 8 4,,, 3, 4, 5, Ανηγµένη µεταβλητή K