ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών"

Transcript

1 ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Εµβάθυνση στην πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π ΕΙΓΜΑ (Ν < Ν Π ) ειγµατοληψία Συµπύκνωση πληροφορίας ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εµφανιστεί µια τιµή σε συγκεκριµένο διάστηµα Σε τι τιµή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα Εκτίµηση πιθανοτικών µεγεθών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυµµετρίας Μοντελοποίηση ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανοµής Στατιστικές δοκιµές καταλληλότητας

2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.75 ) ΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ.75 -Χ.5 ) ΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ.5 ) ΜΕΓΕΘΟΣ.5*(Χ.75 -Χ.5 ) ΕΩΣ 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.5 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ Μέση τιµή X i i= = Τυπική απόκλιση ( Xi ) i= s = ιασπορά s Συντελεστής διασποράς s Τρίτη ροπή 3 ( Xi ) ( 3 ) i= µ = Τέταρτη ροπή 4 ( Xi ) ( 4 ) i= µ = ( 3) Συντελεστής ασυµµετρίας µ Cs = ( ) 3/ ( µ ) ( ) ( ) 3 ( 4) Συντελεστής κύρτωσης * µ Ck = ( )*( )*( 3)* µ Μέγιστη τιµή M T. = ma{ X, X,..., X } Ελάχιστη τιµή. i= = i = ET.. mi{ X, X,..., X} Χ..Χ : Οι τιµές της µεταβλητής : Αριθµός δεδοµένων δείγµατος ( )

3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4 ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Παροχή (m3/s) Χρόνος (έτη) Συχνότητα (%) Ετήσια παροχή (m 3 /s) Απόλυτη συχνότητα ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) 8 4 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέση τιµή < Μέση τιµή Τυπική απόκλιση = Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας = Συντελεστή ασυµµετρίας = Συντελεστής κύρτωσης = Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέση τιµή =Μέση τιµή Τυπική απόκλιση < Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας = Συντελεστή ασυµµετρίας = Συντελεστής κύρτωσης = Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέση τιµή = Μέση τιµή Τυπική απόκλιση = Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας = -Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης = Συντελεστη κύρτωσης Συντελεστής ασυµµετρίας > Τιµές µεταβλητής Συντελεστής ασυµµετρίας < Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μ.Τ. = Μ.Τ. Τ.Α. = Τ.Α. Σ.Α. = Σ.Α. = Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστής κύρτωσης 5 Τιµές µεταβλητής Συντελεστής κύρτωσης 3 3

4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αθροιστική συχνότητα (%) Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική πιθανότητα (%) 4

5 ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών Weibull Normal LogNormal Galto Epoetial Gamma PearsoIII LogPearsoIII Gumbel Ma EV -Ma Gumbel Mi Weibull GEV Ma GEV Mi Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Mi (k spec.) Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική καταν οµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% Κανονική κατανοµή (Gauss) Kατανοµή Gumbel µεγίστων ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Περίοδος επαναφοράς (έτη) Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 5% %.3%.% Ετήσια παροχή (m3/s) Ανηγµένη µεταβλητή Gauss.%.3% % 5% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανοµής (%) 5

6 Αριθµός κλάσεων (k): 5 Αριθµός παραµέτρων κανονικής κατανοµής: 4 ΟΚΙΜΗ χ Βαθµοί ελευθερίας κατανοµής χ : 5-- Πιθανότητα κλάσης (p i ): % Θεωρητικός αριθµός σηµείων κλάσης (Ν*p i ): 3/5= Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αριθµός σηµείων ανά κλάση (Ν i ) Αθροιστική πιθανότητα (%) 5 Κλάση N i 7 5 N*p i (N i -N*p i ) /N*p i,7,7 D =,33 % % % % % ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ. Η µεταβλητή χ ακολουθεί την κατανοµή χ µε βαθµούς ελευθερίας. Από τα δεδοµένα του δείγµατος υπολογίζεται η στατιστική παράµετρος D 3. Η µηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σηµαντικότητας α αν D<χ α 8 Πιθανότητα (%) 4 D =,33 Q. = 4. Q.5 =. Q. = 9. Το D (.33) είναι µικρότερο από 4το χ 8 α για τα συνήθη επίπεδα σηµαντικότητας % (9.), 5% (.), % (4.). Άρα η µηδενική υπόθεση Μεταβλητή (Η χ ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή στα συνήθη επίπεδα σήµαντικότητας

7 ΟΚΙΜΗ Kolmogorov-Smirov Βασίζεται στη διαφορά µεταξύ της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής F ()και του παρατηρηµένου αθροιστικού ιστογράµµατος F*() F*(Χ (i) )=i/ όπου είναι η i µεγαλύτερη παρατηρηµένη τιµή σεδείγµα µε µέγεθος Από τα δεδοµένα του δείγµατος υπολογίζεται η στατιστική παράµετρος D D = ma i= ( i) ( i) i ( i) [ F *( X ) F( X ) ] = ma F( X ) Η µηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σηµαντικότητας α αν D<c i= ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ c Μέγεθος α=. α=.5 α=. δείγµατος >4./ /.3/ /.3/ / ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανοµή Σε δείγµα τιµών Χiµε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ ηπαράµετρος z=(xi-µ)/σ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µ=, σ= είγµα έχειµ=, σ=5 και ακολουθεί κανονική κατανοµή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιµής Χi=5 z=(5-)/5= Ποια είναι η τιµή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ =.5 έτη F=-(/.5)=,333 F=84,% Πίνακας (,) z=, F=,843 F=33.3% Πίνακας (,) Για F=-.333 z=.43 Για F=.333 z=-.43 z= Τ=(-,843)= έτη z=-.43 (Xi-)/5=-.43 άρα Xi=7.8 7

8 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 95% Κανονική κατανοµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% % % % %

9 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ α% ( Τ) ( Τ) ma mi = ( Τ) + z = ( Τ) z + α / + α / S S T T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής S T σˆ N η τυπική απόκλιση του T S T ˆ σ = δ Ν Η τυπική απόκλιση του δείγµατος Οαριθµός των Ν παρατηρήσεων του δείγµατος ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Κανονική κατανοµή Χ(Τ)ma=X(T)+z( +a)/ ) *S T. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%.5. (+a)/ (+a)/ Χ(Τ)mi=X(T)-z( +a)/ ) *S T Χ() Χ(Τ)=m+Z (-/T) *s 5 T=, -/T =99%, z 99% =.33 a=95% +a/=97.5% z 97.5% =.9 9

10 ΙΑΚΙΝ ΥΝΕΥΣΗ Η πιθανότητα R να πραγµατοποιηθεί µέσα σε έτη τιµή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ Πιθανότητα µη υπέρβασης σε ένα έτος: F=-F =(-/Τ) Πιθανότητα µη υπέρβασης σε έτη: (-/Τ) Πιθανότητα υπέρβασης σε έτη ( ιακινδύνευση): R=-(-/Τ) Παράδειγµα Τ= έτη = έτη R=-(-/) =.5=5% Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανοµής f µ.5*( ) σ ( ) = e πσ F µ ( ) σ ( ) = e π d ( Τ) ( Τ) ma mi = ( Τ) + z = ( Τ) z + α / + α / S S T T Όρια εµπιστοσύνης S T ˆ σ = δ Ν Κ( T ) δ = + K( T ) = Z( / T ) S T ητυπικήαπόκλισητου T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής όταν το επίπεδο είναι α% σˆ ητυπικήαπόκλισητουδείγµατος N οαριθµός των παρατηρήσεων του δείγµατος

11 f ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Πυκνότητας Συνάρτηση Κατανοµής Πιθανότητας l µ Υ ( ) σ Υ X ( ) = * e πσ Y F Εκτίµηση παραµέτρων (µέθοδος ροπών) l s µ Υ ( σ Υ X ( ) = * e s πσ Y ) Sl = l( + S / l = l S l / z l Χειρισµός της κατανοµής l = zs + l = l l S zs l l + l = e Z η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c =, 45 a =,8 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = ae a( c) e a ( c ) F X ( ) = e e Συνάρτηση Κατανοµής a ( c) l( l F ) l( l( / T )) ( T ) = c = c a a Όρια εµπιστοσύνης ( T ) + k( T )* = k ( T ) = * l( l( / T )) S ( T ) + T, = ( T ) ± +.39* k( T ).* k( ) S

12 ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c = +, 45 a =,8 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = ae a( c) e a ( c ) Συνάρτηση Κατανοµής F X ( ) = e e a ( c ) l( l( F ) l( l(/ T )) ( T ) = c + = c + a a σ µ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) Γ( + ) + = k Γ( + ) k µ c = Γ( + ) k ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL f X Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ( ) = Συνάρτηση Κατανοµής F X k c *( ) c ( ) = e k e ( / c) k k ( / c) / [ ] k / l( F ) = c *[ l(/ T )] k ( T ) = c * µ, σ µέση τιµή και τυπική απόκλιση του δείγµατος c, κ παράµετροι της κατανοµής Weibull Γ() συνάρτηση Γάµα

13 f X ΚΑΤΑΝΟΜΗ LOG PEARSON III Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ( ) = κ λ *l( c) Γ( κ) κ e λ(l c) Συνάρτηση Κατανοµής F X ( ) = e c κ λ Γ ( κ ) * (l s c ) κ e λ (l s c ) ds Χειρισµός της κατανοµής z l = S l l = zs zs l l l + l l + = e Το Ζ υπολογίζεται από πίνακες µε βάση την πιθανότητα εµφάνισης και το συντελεστή ασυµµετρίας της l ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ PEARSON III Μ.Α. Μιµίκου, Τεχνολογία υδατικών πόρων, Σελίδες

14 ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ p( / N) N p q N! = p!( N )! p N N = * *( ) Ηδιωνυµική κατανοµή δίνει την πιθανότητα να έχουµε επιτυχίες σε Ν δοκιµές όπου p η πιθανότητα επιτυχίας κάθε δοκιµής και q=-p η πιθανότητα αποτυχίας κάθε δοκιµής Παράδειγµα Η πιθανότητα να εµφανιστεί η τιµή µε πιθανότητα %, 3 φορές σε 5 χρόνια είναι (5!/(3!*!))*.^3*.8^ (5-3) =.5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Μέγιστες ετήσιες παροχές Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών Weibull Normal LogNormal Galto Epoetial PearsoIII LogPearsoIII Gumbel Ma EV-Ma Gumbel Mi Weibull GEV Ma GEV Mi Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Mi (k spec.) Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%

15 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κανονικής κατανοµής Weibull Normal ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ιστοσύνης 95% ΚΑΤΑΝΟΜΗ Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή λογαριθµοκανονικής κατανοµής Weibull LogNormal ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%

16 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κατανοµής Gumbel µεγίστων Weibull Gumbel Ma ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κατανοµής Gumbel ελαχίστων Weibull Gumbel Mi ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%

17 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κατανοµής Log-Pearso II Weibull LogPearsoIII ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5% ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρµογή κατανοµής Weibull Weibull Weibull ειγµατικά όρια 95% Όρια διαστήµατος εµπιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Καν ον ική κατανοµή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%

18 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσµατα δοκιµής χ (5 κλάσεις) a=% a=5% a=% a Παράµετρος Κανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 Κανονική (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 Λογαριθµοκανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,4%,7 Galto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, Εκθετική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 3,7 Εκθετικήl(L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,5% 4, Γάµµα ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 Pearso III ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, LogPearsoIII ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΑΤ-Ma (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 ΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,% 8,33 ΑΤ-Mi (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 ΑΤ3-Mi (Weibull) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5%,7 ΓΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Mi ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 9,7%,7 Pareto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,7%, ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,7%, ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,9% 9,33 ΑΤ-Mi ( L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 ΑΤ3-Mi ( L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5%,7 Pareto (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Ma (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 9,7% 4,7 ΓΑΤ-Mi (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,3% 3, ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,4%,7 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,3% 3, ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσµατα δοκιµής χ ( κλάσεις) a=% a=5% a=% a Παράµετρος Κανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 57,%, Κανονική (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 57,%, Λογαριθµοκανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,5% 7, Galto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,8%, Εκθετική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,% 8, Εκθετικήl(L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,3% 5, Γάµµα ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 5,8% 5, Pearso III ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,8%, LogPearsoIII ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,%, ΑΤ-Ma (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 5,8% 5, ΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,7% 9, ΑΤ-Mi (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,% 8, ΑΤ3-Mi (Weibull) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9%,8 ΓΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,8%, ΓΑΤ-Mi ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 7,%,8 Pareto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 4,4 ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 4,4 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 3, ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 5,8% 5, ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 3,8% 8,4 ΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 5,8% 5, ΑΤ3-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9%,8 Pareto (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 4,4 ΓΑΤ-Ma (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,%, ΓΑΤ-Mi (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 4,3%,8 ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 4,4 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 57,%, 8

19 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσµατα δοκιµής Kolmogorov-Smirov a=% a=5% a=% a DMa Κανονικήl ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 9,9%,8 Κανονική (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 9,9%,8 Λογαριθµοκανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 78,%, Galto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 Εκθετική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 8,%,9 Εκθετικήl(L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 49,%,4 Γάµµα ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 98,5%,8 Pearso III ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,4%,7 LogPearsoIII ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 55,%,4 ΑΤ-Ma (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 95,5%,9 ΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,%,4 ΑΤ-Mi (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 4,%,5 ΑΤ3-Mi (Weibull) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,%, ΓΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 ΓΑΤ-Mi ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,%, Pareto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 97,%,8 ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,5%,7 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,%,7 ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5%,9 ΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 4,%,5 ΑΤ3-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 99,9%, Pareto (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 97,5%,8 ΓΑΤ-Ma (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 54,7%,4 ΓΑΤ-Mi (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 7,%, ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 78,8%, ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 7,%, ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Στατιστικά χαρακτηριστικά και παράµετροι Πλήθος 3 Μέση τιµή 7,93 Τυπική απόκλιση 48,4 3ηκεντρικήροπή 589,9 Συντελεστής ασυµ.,9 Μέση τιµήτουy=l() 5,45 Τυπ. αποκλ. y=l(), Τρίτη κεντρ. ροπή -//- -,8 Ασυµετρία -//- -,4 ΛογΚανονική my 5,48 ΛογΚανονική sy,5 Galto my,4 Galto sy, Galto c -38,9 Εκθετική c 4,47 Εκθετική λ, Γάµµαλ 3,38 Γάµµακ, Pearso III κ 8,34 Pearso III λ, Pearso III c -55,79 Λογ Pearso III κ 5,8 Λογ Pearso III λ 8,39 Λογ Pearso III c,4 ΑΤ- (Gumbel) Ma λ 5,8 ΑΤ- (Gumbel) Ma ψ,78 ΑΤ- Ma κ,9 ΑΤ- Ma λ, ΑΤ- (Gumbel) Mi λ 5,8 ΑΤ- (Gumbel) Mi ψ,93 ΑΤ-3 (Weibull) Mi κ,5 ΑΤ-3 (Weibull) Mi λ,5 ΓΑΤ Ma κ -,9 ΓΑΤ Ma λ 8, ΓΑΤ Ma ψ,3 ΓΑΤ Mi κ,5 ΓΑΤ Mi λ,77 ΓΑΤ Mi ψ,9 Pareto κ,4 Pareto λ 8,7 Pareto ψ,5 LΡοπή: L 7,93 LΡοπή: L 84,8 LΡοπή: L3 3,4 LΡ-Κανονική m 7,93 LΡ-Κανονική s 49,37 LΡ-Εκθετική c 4,38 LΡ-Εκθετική λ, LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Ma λ,58 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Ma ψ,7 LΡ-ΑΤ- Ma κ,39 LΡ-ΑΤ- Ma λ 7,44 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Mi λ,58 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Mi ψ,8 LΡ-ΑΤ-3 (Weibull) Mi κ,53 LΡ-ΑΤ-3 (Weibull) Mi λ 3,8 LΡ-ΓΑΤ Ma κ -, LΡ-ΓΑΤ Ma λ,99 LΡ-ΓΑΤ Ma ψ,5 LΡ-ΓΑΤ Mi κ, LΡ-ΓΑΤ Mi λ,35 LΡ-ΓΑΤ Mi ψ,8 LΡ-Pareto κ,44 LΡ-Pareto λ 97,5 LΡ-Pareto ψ,3 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) κ,5 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) λ 9,58 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) ψ, ΓΑΤ Mi (κκαθ.) κ,5 ΓΑΤ Mi (κκαθ.) λ 35,7 ΓΑΤ Mi (κκαθ.) ψ,4 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) κ,5 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) λ 3,7 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) ψ,88 LΡ-ΓΑΤ Mi (κκαθ.) κ,5 LΡ-ΓΑΤ Mi (κκαθ.) λ 37, 9

20 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίµηση παραµέτρων θεωρητικών κατανοµών A B C D E F G H 4 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ 7,93 5,45 4 ΤΥΠ. ΑΠΟΚ 48,4, 4 TA DIOR 4,4,59 43 Σ.,54, 44 ΣΑ,9 -,4 45 Σ.ΚΥΡΤ -, -,47 4 ΜΕΓΙΣΤΗ,,43 47 ΕΛΑΧΙΣΤΗ 59,5 4,9 48 ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΙΜΩΝ 3 3 /(,78*$B$4) ΚΑΝΟΝΙΚΗ GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ 5 µ 7,93 α,9 53 σ 4,4 c 7, $B$4-,45*$B$ LN($B$5)-$B$^/ (B4/B4)^+-EXP(GAMMALN(+/F))/(EXP(GAMMALN(+/F)))^ 59 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ WEIBULL, my 5,483 5,45 k,948,4 σy,5,587 C 37,8 3, SQRT(LN(+$B$53^/$B$5^)) B4/EXP(GAMMALN(+/F)) /(,78*$B$4) GUMBELL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ 74 α,9 75 c 338, $B$4+,45*$B$4 79 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών A B C D E F G H I J K L M NORMDIST(B7;$B$5;$B$53;TRUE) -EXP(-EXP($I$5*(B7-$I$53))) -,7^(-((B7/$F$)^$F$)) -A8/($A$37+) EXP(-EXP(-$F$5*(B7-$F$53))) NORMDIST(LN(B7);$B$;$B$;TRUE) ΑΠΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Σ.Α.= -.4 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ GUMBEL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ WEIBULL LOGPEARSON K,,,,,,43,97,99,97,,97,98,975,7 (C8-$C$4)/$C$4 5,33,94,98,9,,95,9, ,7,9,9,94,,94,94,4 4 49,9,87,93,9,98,9,9,9, 5 45,,84,89,89,93,89,88, 4,,,8,83,84,85,8,83, ,9,77,75,79,73,8,7, ,5 5,85,74,7,75,,77,7,8 9 35, 5,78,7,4,7,59,73,7,57 3, 5,74,8,,7,54,9,4,49 9,8 5,9,5,5,3,5,,,4 93,3 5,8,,5,3,49,5,,,39 3 7,3 5,,58,5,57,43,,54, 4 7,9 5,,55,49,5,4,59,54, 5 58,3 5,55,5,4,53,39,5,5,7 5 5,53,48,44,5,37,54,49,3 7 49,9 5,5,45,44,5,37,53,49, 8 44,3 5,5,4,4,49,35,5,47,5,8 9 9, 5,44,39,38,44,3,4,43 -,3 3 5,3,35,3,35,,37,3 -,4 8 5,9,3,,8,,8,3 -,44, 5,8,9,,,9,,4 -,4 3 4,5 4,95,,8,7,,4,9, -,8 4 9,5 4,8,3,,4,5,,7 -, 5 3,9 4,8,9,5,3,4,9, -,8 5,5 4,75,,4,,3,7,4 -, 7 5,4 4,,3,3,9,,5, -,35 8,9 4,3,,,8,,5, -,39 9 8, 4,4,,,,,,8 -,7 3 59,5 4,9,3,7,3,8,,4,5 -,33

21 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών,,8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ,,4, ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ GUMBEL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ WEIBULL LOGPEARSON, TIMH ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίµηση τιµών και ορίων εµπιστοσύνης 95% και 99% O P Q R S T U V W X Y Z ΤΙΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 3 Τ= Τ=5 Τ= Τ=5 Τ= Τ= NORMINV(U4;$B$5;$B$53) 4 F=,5,8,9,98,99,999 5 ΚΑΝΟΝΙΚΗ 7,9 395,8 4, 57,9,7 74, $F$53-LN(-LN(U4))/$F$5 GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ 49, 378, 43, 5,7 73, 994, 7 GUMBELL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ 9,9 39,9 433,7 494, 5, 558,8 $I$53+LN(-LN(-U4))/$I$5 8 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ 4, 37, 457,8 74,4 773,3 34,5 9 WEIBULL 55, 393, 47,3 9,9 74, 83, EXP(NORMINV(U4;$B$;$B$)) LOGPEARSON 75,4 38, 48,5 44,9 83,9 953,5 Κ -,898 -,898,8,8,8,3987 $F$*(-LN(-U4))^(/$F$) ΑΠΟ ΠΙΝΑΚΕΣ Σ.Α.= -.4 EXP($C$4+$C$4*U) ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 95% Z.975=,9 7 ΖU,,84,8,54,3 3,9 NORMSINV(U4) 8 9 ΚΑΝΟΝΙΚΗ 35, 45,7 53, 5, 73,3 849,8 U5+$R$*(SQRT(+(U7^)/)*($B$4/SQRT($B$48))),7 335, 389, 48,7 5, 598, GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ 3 KT -,4,7,35,594 3,38 4,938 -,45-,78*LN(-LN(U4)) 4 73,4 49,3 59, 74,5 835,9 48, 5 4,5 33,8 47,9 5,8, 839,8 U+($B$4/SQRT($B$48))*(+,39*U3+,*U3^)^,5 7 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ 9,9 48,8 7,8 97,8 58,7 879, 8 95, 87,5 344,8 45, 5, 84, EXP(NORMINV(U4;$B$;$B$)+$R$*(SQRT(+(U7^)/)*($C$4/SQRT($C$48)))) 3

22 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίµηση τιµών και ορίων εµπιστοσύνης 95% Παροχή (m 3 /s) 8 4 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ,,, 3, 4, Ανηγµένη µεταβλητή Ζ Παροχή (m 3 /s) 5 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟ- ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 5,,, 3, 4, Ανηγµένη µεταβλητή Ζ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίµηση τιµών και ορίων εµπιστοσύνης 95% ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παροχή (m 3 /s) 8 4,,, 3, 4, 5, Ανηγµένη µεταβλητή K

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 9 ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 2: Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση ακραίων υδρολογικών τιμών 2.1. Πιθανοτική Ανάλυση Ακραίων Τιμών Καθ. Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τις αρχές και μεθόδους της στατιστικής, τις οποίες παρουσιάσαμε ήδη στο κεφάλαιο 3, σε ένα από τα πιο τυπικά

Διαβάστε περισσότερα

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Αποσπάσµατα από το βιβλίο «Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» της Καθηγήτριας Μ.Α.Μιµίκου Γ έκδοση, 2006

Αποσπάσµατα από το βιβλίο «Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» της Καθηγήτριας Μ.Α.Μιµίκου Γ έκδοση, 2006 Αποσπάσµατα από το βιβλίο «Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» της Καθηγήτριας Μ.Α.Μιµίκου Γ έκδοση, 006 Κεφάλαιο 3 Κατανοµές Πιθανοτήτων Υδρολογικών Μεταβλητών Η πιθανολογική υδρολογική ανάλυση στηρίζεται στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ

Δημήτρης Κουτσογιάννης. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Έκδοση 4 Αθήνα 1997 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Δημήτρης Κουτσογιάννης Επίκουρος Καθηγητής Τομέας Υδατικών Πόρων

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TE Αρχές Ψηφιακών Συστημάτων Επικοινωνίας και Προσομοίωση Εαρινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 2ο: Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας Σύγχρονες τάσεις στην εκτίµηση ακραίων βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων 13-15 Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας ηµήτρης Κουτσογιάννης και Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ... 25 1.3 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III):

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III): I Α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ίνονται τρείς οµάδες τιµών Οµάδα (I): 0

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n) ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΚΑΙ Ι ΙΩΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουµε την απόδοση και την επιτυχία των υποψηφίων η µερησίων δηµοσίων και ιδιωτικών λυκείων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Ζημιοκατανομές και Θεωρία Ακραίων Τιμών

Ζημιοκατανομές και Θεωρία Ακραίων Τιμών Ζημιοκατανομές και Θεωρία Ακραίων Τιμών Χατζηκωνσταντής Παναγιώτης ΜΑΕ/07023 Τμήμα Στατιστικής Επιστήμης και Ασφαλίσεων Υγείας M.Sc. Aναλογιστικής Επιστήμης και Risk Mgemet Πανεπιστήμιο Πειραιώς (2007)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς.

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς. Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς Θέμα 1 Σε θέση ποταμού, όπου πρόκειται να κατασκευαστεί ταμιευτήρας,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13

Περιεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 Περιεχόµενα Πρόλογος... 11 Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 1.1 Εισαγωγή...13 1.2 ειγµατοχώρος και γεγονότα...18 1.3 Τεχνικές απαρίθµησης...20 1.4 Μεταθέσεις στοιχείων διαφορετικών ειδών

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 2 3 1 2 2 0 3 3 4 6 5 10 6 11 7 7 8 6 9 3 10 2 4 Εάν έχουµε οµαδοποιηµένη µεταβλητή τότε είναι το σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων τα οποία ορίζονται από α) ΑΒ, όπου Α το άνω δεξί άκρο της κλάσης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ Σίµων-Μιχαήλ Παπαλεξίου Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αν. Καθηγητής Αθήνα, Σεπτέµβριος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδρολογία

Κεφάλαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδρολογία Κεφάαιο 6 Τυπικές συναρτήσεις κατανομής στην τεχνική υδροογία Στο κεφάαιο αυτό περιγράφουμε τις τρεις βασικές οικογένειες συναρτήσεων κατανομής που χρησιμοποιούνται στην τεχνική υδροογία. Η πρώτη περιαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα