کاهش مرتبه سیستم های چند ورودی چند خروجی با استفاده از الگوریتم بهینه سازی توده ذرات فازی بهبود یافته

Transcript

1 همایش ملی برق و توسعه پایدار موسسه آموزش عالی خاوران کاهش مرتبه سیستم های چند ورودی چند خروجی با استفاده از الگوریتم بهینه سازی توده ذرات فازی بهبود یافته 1 سید محمد علم الهدایی 1- دانشجو کارشناسی ارشد برق کنترل دانشگاه آزاد اسالمی واحد مشهد گروه مهندسی برق مشهد ایران alamalhoda@mshdiau.ac.ir نام ارائهدهنده: سید محمد علم الهدایی خالصه در این مقاله روش الگوریتم بهینه سازی توده ذرات فازی بهبود یافته IFPSO برای کاهش مرتبه سیستم های چند ورودی چند خروجی پویای خطی مقیاس بزرگ به کار رفته است. روش حداقل سازی خطا که میانگین خطا بین مشخصههای پاسخ گذرای سیستم اصلی و کاهش مرتبه داده شده میباشد بوسیله IFPSO به کار برده شده است. این روش پیشنهادی پایداری مدل کاهش مرتبه یافته را اگر سیستم چند ورودی چند خروجی مرتبه باالی اصلی پایدار باشد تضمین مینماید. عملکرد روش پیشنهاد شده کاهش مرتبه سیستم چند ورودی چند خروجی با کمک یک مثال و نتایجی که با روشهای کاهش مرتبه مانند روش الگوریتم بهینه سازی توده ذرات گرفته شده در اصطالح دقت و سرعت همگرایی مقایسه شده است. نتایج نشان داده اند که این روش پیشنهادی نسبت به روش بهینه سازی تود ذرات و الگوریتم ژنتیک از نقطه نظر دقت همگرایی بهتر عمل کرده است. از اینرو این روش برای کاهش مرتبه سیستم های چند ورودی چند خروجی مناسب می باشد. کلمات کلیدی: یافته سیستم چند ورودی چندخروجی مدل کاهش مرتبه میانگین حداقل مربعات خطا الگوریتم بهینه سازی توده ذرات فازی بهبود.1 مقدمه در فرضیهی سیستم یکی از مهمترین چالش ها تقریب سیستمها بوسیله مدل مرتبه پایینتر میباشد. برای اینکه با استفاده از مددل مرتبده پدایینتر کداهش یافته پیاده سازی تحلیل شبیه سازی و طراحی سیستم های گوناگون آسانتر می شود. روشهای کاهش مرتبه گوناگون برای سیستم دامنه پیوسته خطدی به خوبی سیستمهای در دامنه فرکا نس قابل دسترسی هستند.به عالوه گسترش روشهای تک ورودی تک خروجی برای کاهش مرتبده سیسدتم هدای چند ورودی چند خروجی در [3-1] انجام شده است. روشهای کاهش مرتبه گوناگون در [8-4] در مبنای معیار خطای مربع انتگرال موجود میباشند. امروزه الگوریتمهای تکاملی برای حل بهینه سازی مسائل در زمینههای مختلف کاربردی به طور اساسی به خاطر توانایی آن در پیدا کردن یک راه حل بهینه و توانایی یافتن یک حل بهینهتر نزدیک حداقل ترین جواب سراسری رایج شدهاست. بر خالف روشهای ریاضی محض الگوریتمهای تکاملی به شرایطی که متغیرها در مسائل بهینه سازی پیوسته و متمایز باشد احتیاج ندارد فقط بده اینکده مسأله برای حل می تواند قابل محاسبه باشد نیاز دارد. در [9] از تکنیک بهینه سازی تدوده ذرات بدرای بدسدت آوردن یدک مددل کداهش مرتبده یافتده از سیستم های خطی مقیاس بزرگ تک ورودی تک خروجی استفاده شدهاست. در [01] مدل کردن کاهش مرتبه سیستم های پویای خطدی بدا اسدتفاده از 0 عنوان شغلی نویسنده اول 9pt) B) Nazanin

2 پرتو خاص بهینه سازی توده ذرات بررسی شده است. در [00] مدل کردن کاهش مرتبه سیستم های خطی MIMO به کمدک تکنیدک محاسدباتی ندرم مطالعه شده است. در [01] مدل کردن کاهش مرتبه سیستم های خطی چند متغیره به کمک الگوریتم PSO بررسی شده است. تالش حاضر به سمت بدست آوردن یک روش مناسب برای کاهش مرتبه بوده کده پارامترهدای صدورت و مخدرج بده صدورت پدارامتر آزاد در نظدر گرفته میشوند. روش پیشنهاد شده شامل جستجوی همه پارامترها برای حداقل نمودن میانگین مربعات خطا بین مشخصههای پاسخ گذرای سیسدتم اصدلی و سیستم مرتبه پایین مانند فراجهش زمان صعود زمان نشست و مقدار وزمان دامنه با استفاده از الگوریتم بهینده سدازی تدوده ذرات فدازی بهبدود یافتده [01] میباشد. IFPSO پس از مقدمه بخش دوم به معرفی الگوریتم بهینه سازی توده ذرات و نوع فازی بهبود یافته میپردازد. بخش سوم مقاله به ارائدهی یدک مثدال و مقایسده نتایج حاصل از آن با روش بهینه سازی توده ذرات PSO مربوط میشود. بخش چهارم نیدز به نتیجه گیری این مقاله اختصاص دارد. - الگوریتم بهینه سازی توده ذرات 1-- الگوریتم بهینه سازی توده ذرات استاندارد SPSO یکی از ابزارهایی که در این مقاله برای کاهش مرتبه سیستم به کار رفته است الگوریتم بهینده سدازی تدوده ذرات اسدتاندارد مدیباشدد. در ایدن روش ذرات به عنوان پارامترهای مجهول سیستم کاهش مرتبه یافته میباشدند.روش بهینده سدازی تدوده ذرات اسدتاندارد 3 SPSO نسدلی نسدبتا جدیدد از الگوریتمهای فرا اکنشافی ترکیبی است که مبتنی بر استعاره ای از تعامل اجتماعی یعنی هجوم پرندگان یا دسته مداهیهدا اسدت[ 14 ]. الگدوریتم بدا مقددار دهی اولیه به دسته ای از پرندگان به طور تصادفی در فضای جستجو که در آن هر پرنده یک"ذره" نامیدده شدده شدروع مدیشدود. ایدن "ذرات" بدا یدک سرعت خاص پرواز میکنند و پس از چند تکرار بهترین موقعیت سراسری را پیدا میکنند. در هر تکرار هر ذره میتواند بردار سرعت خود را بر اسداس حرکت و تاثیر بهترین موقعیت آن و همین طور بهترین موقعیت برای بهترین فرد تنظیم نماید. سپس این ذره به موقعیت محاسدبه شدده جدیدد پدرواز مدی- T T V i [ vi1vi.. vin xi1xi.. X i [ و ] xin کند. فرض کنید که فضای جستجو n- بعدی است و سپس موقعیت و سرعت ذرهi به ترتیدب بدا ] نشان داده میشود. تناسب هر ذره می تواند طبق تابع هدف مسئله بهینه سازی ارزیابی شود. بهترین موقعیت بازدید شده قبلی ذره i ذکر شده همدانطور کده بهترین موقعیت سراسری با مشخص شدهاست. موقعیت بهترین فرد از ازدحام به عنوان بهترین موقعیدت سراسدری ذکدر شدده T P i [ pi1 pi.. pin ] T. G [ g1g.. است ] n g در هر مرحله سرعت ذره و موقعیت جدیدش به شرح زیر تعیین میگردد: )1( Vi ( t 1) Vi ( t) c r1 ( Pi Xi ) cr ( G X ) 1 i )1( X ( t 1) V ( t) V ( t 1) i i i که در آن ω به عنوان وزن اینرسی نامیده میشود و تاثیر سرعت قبلی ذره بر سرعت فعلیاش را کنترل میکند. 1 وr r متغیرهای تصادفی توزیع شدده بده طور یکنواخت و به طور مستقل در محدوده [0,1] هستند. C1 و C پارامترهای ثابت مثبت هستند که ضدریب شدتاب نامیدده مدیشدوند و حدداکثر انددازه مرحله را کنترل میکنند. در SPSO معادله )1( برای محاسبه سرعت جدید بر اساس سرعت قبلی آن فاصله موقعیت کندونی آن از هدر دو مدورد هدم از بهترین موقعیت شخصی آن و هم از بهترین موقعیت سراسری آن از کل جمعیت مورد استفاده قرار گرفته است. سپس ذره به سوی یک موقعیدت جدیدد طبق معادله )( پرواز میکند. این فرایند تکرار میشود تا زمانی که به یک معیار توقف برسدد. درایدن الگوریتم معمدوال = c =1 c در نظرگرفتده مدی- شود. w ضریب اینرسی معموال از 1.9 تا 1.4 به صورت خطی تغیر میکند. Improved Fuzzy Particle Swarm Optimization 3 Standard Particle Swarm Optimization

3 -- الگوریتم IFPSO اگرچه SPSO پیشرفتهای مهمی با فراهم آوردن سرعت باالی همگرایی در مسائل خاص نشان داده است با ایدن حدال کمبودهدایی نیدز از خدود نشدان داده است. گاهی اوقات به دام افتادن در بهینه محلی آسان است و نرخ همگرایی در دوره بعدی تکامدل بده طدور قابدل مالحظده ای کداهش یافتده اسدت هنگام رسیدن به یک راه حل مطلوب نزدیک الگوریتم بهینه سازی را متوقف میکند و در نتیجه دقت الگوریتم به دست آمده محدود است[ 04 ]. روش های زیادی برای بهبود عملکرد SPSO به کمک تغییر ضریب اینرسی تالش کرده اند. ضریب اینرسی عامل مهمی در عملکرد PSO می باشدد کده توانایی جستجوی محلی و توانایی جستجوی سراسری را تعادل می دهدد. ضدریب اینرسدی بدزرگ تواندایی جسدتجوی سراسدری را بهبدود مدی بخشدد امدا همگرایی را کندتر می نماید. برعکس یک ضریب اینرسی کوچک توانایی جستجوی محلی را بهبود داده و منجر به رسدیدن بده نقطده بهینده محلدی مدی گردد. عالوه بر آن ضریب اینرسی کاهشی خطی و ضریب اینرسی کاهشی غیر خطی پیشنهاد شده اند [11-11]. با اینحال این الگوریتم های PSO را بهبود داده اند اما واقعا پروسه جستجو را بدون فیدبک گرفتن آنچه برازنددگی ذره از مقددار بهینده تخمدین زده شدده )واقعی( نمی توانند منتقل نمایند. برای غلبه بر این مشکل شی و ابرهارت [11] یک سیستم فازی بده صدورت پویدا بدرای تطبیدق ضدریب اینرسدی بده ندام FPSO ارائه نمودند. در نتیجه عملکرد الگوریتم PSO به خوبی بهبود داده شد. اما معرفی ضریب اینرسی یکسان برای همه ذرات و نادیده گرفتن تفاوت بین عملکرد ذرات یک پیشینه جانوران شبیه سازی بوده که به طور کلی یدک مدل بیولوژیکی دقیقی را نشان نمی دهد. در حالیکه ذرات بر طبق حاالت خود باید به طور متفاوت عمل نمایند. ذره ای که برازنددگی آن از مقددار بهینده واقعی دور می باشد یک سرعت بزرگ هنوز مورد نیاز است تا به صورت سراسری فضا را جستجو نمایدد و بندابراین ضدریب اینرسدی آن بایدد بده مقددار بزرگی تنظیم شود. بر عکس برای ذره ای که برازندگی آن نزدیک به مقدار بهینه واقعی است فقط یدک حرکدت کوچدک مدورد نیداز بدوده و بندابراین ضریب اینرسی باید به مقدار کوچک تنظیم گردد تا جستجوی محلی بهتری انجام دهد. اما ضریب اینرسی یکسان به حاالت بر عکس داده شده است. بر طبق نکات مذبور عملکرد FPSO با محاسبه ضریب اینرسی برای هر ذره بر طبق حاالت آن بهبدود داده شدد. بالنتیجده هدر ذره معاملده مختلفدی بدین توانایی سراسری و محلی خواهند داشت.بر طبق این یک منطق فازی برای هر ذره طراحی شده تا مقادیر بردار وزنی خروجی فراهم نمایدد. سیسدتم فدازی پیشنهادی دو ورودی دارد. اولین ورودی برازندگی نرمال بهترین موقعیت فعلی هر ذره )i (NFCBP نامیده می شود. این ورودی به صدورت زیدر تعیدین می شود: k k F( pest i ) FKN NFCBPi 1 F( pest i ) FKN )1( k F( که ) i pest برازندگی بهترین موقعی قبلدی ذره i ام در تکدرار k ام F KN جدواب بهینده شدناخته شدده و 1 F( pest i ) برازنددگی ذره i ام در تکرار اول که بدترین مقدار قابل قبول برازندگی الگوریتم IFPSO برای این ذره می باشد. ورودی دوم فازی مقدار فعلدی ضدریب وزندی اینرسدی بدرای ذره i ام w i می باشد. خروجی فازی مقدار تغییرات ضریب w i می باشد. باشند: هر متغیر فازی سه تابع عضویت به نام های (S) medium (M) small و (L) Large کوچدک متوسدط و بدزرگ دارد کده بده صدورت زیدر مدی μ S (x) = { μ M (x) = { x x 1 if x < x 1 x x 1 if x 1 x 0 if x < x x x 1 0 if x < x 1 x x 1 if x 1 x 1 if x < x )4( )1(

4 μ L (x) = { 0 if x < x 1 ( x x 1 ) if x x x 1 x x 1+x 1 ( x x ) if x 1+x x < x x x 1 0 if x < x )6( که μ نشان دهنده تابع عضویت 1 x و x ورودی های کریسپ )غیرفازی( قواعد فازی در جدول )1( داده شده است. جدول )1( قواعد فازی توابع عضویت برای ورودی ها و خروجی های فازی در IFPSO همانند شکلهای 1-0 میباشد. شکل 1. توابع عضویت مربوط به NFCBP شکل. توابع عضویت مربوط به ضریب اینرسی شکل 3. توابع عضویت مربوط به تغییرات ضریب اینرسی 3- توصیف مسئله ماتریس تابع تبدیل اصلی HOS مرتبه n دارای P ورودی و m خروجی به صورت معادله )7( است: 1 a 11(... a1 p [ G( ] Dn am1(... amp( که (] [G(] = [g ij و i=1,, m و j=1,, p یک ماتریس m*p میباشد. )7(

5 فرم کلی ( g ij به صورت رابطه )8( میباشد: a n ij 1 a0 a1s as... an1s gij )8( D n n n( 1 0 1s s... n1s s D( چند جمله ای مخرج مرتبه n از ماتریس انتقال برای تابع تبدیل اصلی بوده و ماتریس تابع تبدیل مرتبه کاهش یافتده مرتبده r دارای p ورودی و [ R( ] D 1 ( n 11 m p mp m خروجی به صورت رابطه )9( است: که ij(] [R(] = r] و i=1,, m و j=1,, p یک ماتریس m*p می باشد. فرم کلی ij(r به صورت رابطه )01( می باشد: تابع تبدیل مرتبه n به یک تدابع تبددیل r ij 1 0 1s s... n1s rij )01( D r r r 1 0 1s s... n1s s r( D چند جمله ای مخرج مرتبه r از ماتریس انتقال برای تابع تبدیل کاهش یافته می باشد. فرآیند کاهش از )9( مرتبه r کاهش یافته شامل دو مرحله زیر میباشد: مرحله )0(: ضرایب مخرج تابع تبدیل کاهش یافته به وسیله استفاده از الگوریتم بهینده سدازی محاسدبه مدیشدود.تابع هزینده میدانگین مجمدوع حدداقل مربعات اختالف مشخصه های پاسخ پله سیستم اصلی و سیستم کاهش یافته میباشد و به صورت رابطه )00( است: E=mean{ (w*(stepinfo(sys1)-stepinfo(sys)) } )00( که در آن stepinfo(sys1) و stepinfo(sys) به ترتیب مربوط به مشخصههای پاسخ پله سیستم اصلی و سیستم کاهش یافته میباشدد. کده در این تحقیق مشخصههای پاسخ پله شامل فراجهش زمان صعود زمان نشست و مقدار دامنه پاسخ میباشدد. بدرای اینکده اهمیدت برخدی از مشخصده هدای پاسخ پله را در نظر بگیریم وزن هایی با بردار w برای آن قرار داده شده است تا در نتیجه جواب بهبود حاصدل گدردد. الگدوریتم IFPSO بدرای حدداقل سازی این خطای مریعات به کار برده شده تا ضرایب مخرج تابع تبدیل کاهش مرتبه یافته به دست آید. مرحله 1: زمانیکه ضرایب مخرج تابع تبدیل کاهش مرتبه یافته بدست میآیند بدرای بدسدت آوردن ضدرایب صدورت آن از IFPSO اسدتفاده مدی شود. همچنین این الگوریتم در پی حداقل سازی میانگین حداقل مریعات خطا میباشد. )به کمک نگهداشتن ضرایب تابع تبددیل مخرجدی کده در مرحلده )0( بدست آمده است.( 4- مثال و شبیه سازی برای روش پیشنهادی یک مثال عددی از سیستم مرتبه باال )مرتبه ) 6 از [11] آورده شدده اسدت. و الگدوریتم پیشدنهادی بدرای بدسدت آوردن مددل کاهش یافته مرتبه 1 به کار برده میشود. یک سیستم با دو ورودی دو خروجی در نظر میگیریم: ( s 5) ( s 4) ( s 1)( s 10) ( s )( s 5) 1 a11( a1( [ G( ] )1( s 10 ( s 6) D6 a1( a( ( s 1)( s 10) ( s )( s 3) که (6 D چند جمله ای مخرج مشترک بوده به طوریکه سیستم MIMO یک سیستم مرتبه 6 به صورت )01( میباشد: D6 ( و ( s 1)( s )( s 3)( s 5)( s 10)( s 0) s 10060s 3491s 571s 41s s a s 18s 459s 38s s a s 3610s 76s 70s s a s 3660s 601s 41s s a s 1650s 331s 30s s الگوریتم پیشنهادی برای حداقل سازی تابع E در معادله 00 به کار میرود. انتگرال مربع خطا برای هر عنصر ij( r ماتریس تابع تبدیل کاهش یافتده محاسبه میشود. برای سیستم دو ورودی دو خروجی معادله E شامل 4 خطا E11,E1,E1,E برای هر جزء سیستم میباشد. در مثدال آورده شدده )1(

6 شبیه سازی برای یافتن ضرایب صورت و مخرج دو جزء سیستم کاهش یافته )s(1 مجموع E11,E1 محاسبه شده است. وr r 11)s( E1=E11+E1 )04( )01( در یک برنامه در نظر گرفتده شدده و خطدا E1 بده صدورت شددددددکل کلددددددی مدددددداتریس تددددددابع تبدددددددیل LOS مرتبدددددده 1 کدددددداهش یافتدددددده بدددددده صددددددورت زیددددددر مددددددی باشددددددد: 1 [ R( ] D r که) s ( D r چند چند جمله ای مخرج مشترک مدل کاهش یافته میباشد. الگوریتم های PSO IFPSO و GA برای یافتن مدل کاهش مرتبه بهینده به کار برده شدهاند. اندازه جمعیت بیشترین تعداد تکرار در هر دو الگوریتم به ترتیب برابر با 61 و 11 در نظر گرفته شددهاندد. در الگدوریتم بهینده سدازی توده ذرات ضریب اینرسی به صورت خطی از 1.9 تا 1.4 کاهش مییابد. در الگوریتم ژنیتک احتمال تقاطع و جهش بده ترتیدب برابدر بدا 1.8 و 1.0 در نظرگرفته شده است. تابع هدف میانگین حداقل مریعات خطا )00( در نظر گرفته شده است. در جدول 0 مقایسه بین این دو روش از نظدر خطدای بدسدت آمده آورده شده است. 1 ( نتیجه بدست آمده از سیستم کاهش یافته بدست آمده به صورت معادله )06( میباشد: D r ( = s s , 11(= s , 1(= 1.30 s+1.447, )61( =0.734s , (= s پاسخ پله مدلهای اصلی و کاهش مرتبه یافته برای الگوریتم IFPSO در شکلهای 7-4 آورده شدهاسدت. ایدن خطاهدا E بدرای هدر جدزء مداتریس تبدیل سیستم کاهش یافته در مقابل با سیستم اصلی محاسدبه شددهاسدت. E1 مجمدوع خطدای دو زیدر سیسدتم r11,r1 بدا E1. g1,g11 خطدا بدین g1,r1 و E خطا بین g,r میباشد. نتیج نشان داده اند که خطای بدسدت آمدده در روش پیشدنهادی IFPSO نسدبت بده روش PSO کمتدر بوده است در نتیجه این روش برای کاهش مرتبه سیستم چند متغیره دو ورودی دو خروجی موثر میباشد. شکل 4. پاسخ پله سیستم اصلی و سیستم کاهش مرتبه یافته با الگوریتم IFPSO برای E11 شکل 5. پاسخ پله سیستم اصلی و سیستم کاهش مرتبه یافته با الگوریتم IFPSO برای E1

7 شکل 6. پاسخ پله سیستم اصلی و سیستم کاهش مرتبه یافته با الگوریتم IFPSO برای E1 شکل 7. پاسخ پله سیستم اصلی و سیستم کاهش مرتبه یافته با الگوریتم IFPSO برای E جدول )( مقادیر حداقل خطاي مربعات بدست آمده بین مشخصه هاي پاسخ پله الگوریتم E1 E1 E الگوریتم ژنتیک [11] توده ذرات [01] توده ذرات فازی بهبدود یافته 5- نتیجه گیری در این مقاله یک روش مبتنی بر حداقل سازي خطا با به کارگیري الگوریتم بهینهه سهازي دهوده ترات یهازي بهبهود یایتهه معریی شد دا بتواند سیستمهاي چند ورودي چند خروجی مستقل از زمان را به سیستمی با مدل هاي کاهش مردبه پایدار دبدیل نماید. دطبیق پاسخ پله در این روش به صورت معقوالنه دضمین میشود. اختالف بین مشخصههاي پاسخ پلهه بهین سیستمهاي کاهش مردبه یایته و اصلی محاسبه شده است. از این نتایج واضح است که الگوریتم پیشنهادي نیز می دواند به عنوان روشی قابل قبول در کاهش مردبه سیستم هاي چند متغیره چند ورودي چند خروجی به کار رود زیهرا داراي دقهت

8 مناسبی نسبت به روشهاي PSO و GA میباشد. همچنین این روش پایداري مدل را دضمین مینماید زیرا طبق پاسهخهاي پله به دست آمده از سیستم کاهش مردبه یایته خطاي حالت دائم ناچیز بوده که نشان میدهد سیستم پایدار میباشد. 6. مراجع [1] S.Mukherjee and R.N. Mishra,'' Reduced order modeling of linear multivariale systems using an error minimization technique'', Journal of Franklin Inst., Vol. 35, No,, pp ,1998. [] S. S. Lama, R. Gorez and B. Bandyopadhyay New reduction technique y step error minimization for multivariale systems, Int. J. Systems Sci., Vol. 19, No. 6, pp ,1988. [3] R. Prasad, A. K. Mittal and S. P. Sharma A mixed method for the reduction of multivariale systems, Journal of Institute of Engineers, India, IE(I) Journal-EL, Vol. 85, pp ,005. [4] 4. C. Hwang Mixed method of Routh and ISE criterion approaches for reduced order modelling of continuous time systems, Trans. ASME, J. Dyn. Syst. Meas. Control, Vol. 106,pp [5] S. Mukherjee, and R.N. Mishra, Order reduction of linear systems using an error minimization technique, Journalof Franklin Inst., Vol. 33, No. 1, pp. 3-3, [6] N.N. Puri, and D.P. Lan, Stale model reduction y impulse response error minimization using Mihailov criterion and Pade s approximation, Trans. ASME, J. Dyn. Syst. Meas. Control, Vol. 110, pp , [7] P. Vile, and L.C. Calvez, On order reduction of linear systems using an error minimization technique, Journal of Franklin Inst., Vol. 37, pp , [8] G.D. Howitt, and R. Luus, Model reduction y minimization of integral square error performance indices, Journal of Franklin Inst., Vol. 37, pp , [9] S. Panda, J.S. Yadav, N.P. Padidar, and C. Ardil, Evolutionary Techniques for Model Order Reduction of Large Scale Linear Systems, Int. J. Applied Sci. Eng. Technol.5,pp.-8, 009. [10] G. Parmar, S. Mukherjee,, and R. Prasad. Reduced Order Modelling of Linear Dynamic Systems using Particle Swarm Optimized Eigen Spectrum Analysis, World Academy of Science, Engineering and Technology [11] Umme Salma,and K. Vaisakh, Reduced Order Modeling of Linear MIMO Systems Using Soft Computing Techniques, B.K. Panigrahi et al. (Eds.): SEMCCO 011, Part II, LNCS 7077, pp , 011. Springer-Verlag Berlin Heidelerg 011. [1] Dia Au-Al-Nadi, Othman MK Alsmadi, Zaer S Ao-Hammour. Reduced Order Modeling of Linear MIMO Systems Using Particle Swarm Optimization. The Seventh International Conference on Autonomic and Autonomous Systems. ICAS 011. [13] Alfi.A, Fateh,M.M.. Intelligent identification and control using improved fuzzy particle swarm optimization. Expert Systems with Applications; , 011. [14] Shi, Y., Eerhart, R.C. ''Parameter selection in particle swarm optimization.'' In Proceedings of the seventh annual conference on evolutionary programming, New York (pp ) [15] Chatterjee, A., & Siarry, P.Nonlinear inertia weight variation for dynamic adaptation in particle swarm optimization. Computer and Operation Research; 33, , 006. [16] Jiao, B., Lian, Z., & Gu, X. A.Dynamic inertia weight particle swarmoptimization algorithm. Chaos Solitons & Fractals; 37, , 008. [17] Ratnaweera, A., Halgamuge, S. K., & Watson, H. C. Selforganizing hierarchical particle swarm optimizer with time-varying acceleration coefficients. IEEE Transactions of Evolutionary Computation;8(3), 40 55, 004. [18] Yang, X., Yuan, J., Yuan, J., & Mao, H. A modified particle swarm optimizer with dynamic adaptation. Applied Mathematics and Computation; 189, , 007. [19] Shi, Y., & Eerhart, R. C. Fuzzy adaptive particle swarm optimization. In Proceedings of the congress on evolutionary computation; (pp ), 001. [0] G. Parmar, R. Prasad, and S. Mukherjee, Order reduction of linear dynamic systems using staility equation method and GA, International Journal of Computer, Information, and Systems Science,and Engineering, 009.