ΚΩ ΙΚΟΣ ΕΡΓΟΥ: 1272 Υ ΡΟΠΟΛΗ

Transcript

1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΘΑΛΗΣ ΚΩ ΙΚΟΣ ΕΡΓΟΥ: 1272 Υ ΡΟΠΟΛΗ Τίτλος ερευνητικού προγράµµατος: ιερεύνηση της αλληλεπίδρασης µεταξύ της Αστικής Ανάπτυξης και των Υποδοµών Νερού στην πόλη µε έµφαση σε καινοτόµες παρεµβάσεις κατανεµηµένης διαχείρισης Παραδοτέο Μέθοδος ανάδειξης βέλτιστης επιλογής Έκδοση 0.2 Ηµεροµηνία υποβολής Παραδοτέου:

2 Το παρόν κείµενο αποτελεί Παραδοτέο του έργου που υλοποιείται στο πλαίσιο της Πράξης «ΘΑΛΗΣ ΕΜΠ Υδρόπολις: ιερεύνηση της αλληλεπίδρασης µεταξύ της Αστικής Ανάπτυξης και των Υποδοµών Νερού στην πόλη µε έµφαση σε καινοτόµες παρεµβάσεις κατανεµηµένης διαχείρισης».

3 Ταυτότητα εγγράφου Τίτλος Σχετική Ε.Ε. Σχετική ράση Συντάχθηκε από Μέθοδος ανάδειξης βέλτιστης επιλογής 3: Εργαλείο υποστήριξης επιλογής τεχνολογιών 3.4: Μέθοδος ανάδειξης βέλτιστης επιλογής Ευάγγελο Ρόζο και Χρήστο Μακρόπουλο Ελέγχθηκε από Είδος Επίπεδο Σύντοµη περιγραφή Τεχνική Έκθεση ηµόσιο Αντικείµενο αυτής της δράσης είναι ο εντοπισµός της πλέον κατάλληλης µεθόδου αξιολόγησης εναλλακτικών τεχνολογιών και του πλέον κατάλληλου αλγορίθµου βελτιστοποίησης για το εν λόγω πρόβληµα. Κατά τη διάρκεια αυτής της δράσης µελετήθηκαν τόσο συµβατικές όσο και εξελικτικές πολυστοχικές µέθοδοι βελτιστοποίησης. Στις πολυκριτηριακές µεθόδους σκοπός δεν είναι η εύρεση µίας µοναδικής βέλτιστης λύσης αλλά ενός συνόλου επιλογών στο οποίο δεν µπορεί να βρεθεί καµία επιλογή που να υπερτερεί/υστερεί σε σχέση µε τις υπόλοιπες ταυτόχρονα ως προς όλα τα κριτήρια (Pareto-optimality). Αυτή η προσέγγιση είναι απαλλαγµένη από την υποκειµενικότητα που επιφέρει η επιλογή και η κατάστρωση της µεθόδου συνδυασµού των κριτηρίων στις συµβατικές µονοκριτηριακές µεθόδους. Έκδοση Ηµεροµηνία Αναθεωρήθηκε από Παρατηρήσεις Ιουνίου Σεπτεµβρίου 2014 Ευάγγελο Ρόζο

4 Περιεχόµενα Περίληψη... 6 Extended abstract Εισαγωγή Η έννοια της βελτιστοποίησης Γενική διατύπωση του προβλήµατος βελτιστοποίησης Η έννοια της εφικτότητας Μορφές πεδίων αναζήτησης Η επιφάνεια απόκρισης Ακρότατα Βελτιστοποίηση χωρίς περιορισµούς Βελτιστοποίηση µε περιορισµούς Συναρτήσεις ποινής Μέθοδοι αναζήτησης τοπικών ακροτάτων Γενική διατύπωση Τεχνικές έµµεσης αναζήτησης (µέθοδοι κλίσης) Αναλυτικός υπολογισµός ακροτάτων Μέθοδοι επιφάνειας απόκρισης (response surface methodology) Μέθοδοι άµεσης αναζήτησης Τεχνικές αναζήτησης σε πρότυπο Η µέθοδος κατερχόµενου απλόκου Εξελικτικοί αλγόριθµοι βελτιστοποίησης Εισαγωγή Η δοµή ενός εξελικτικού αλγόριθµου Βιβλιογραφική ανασκόπηση ΕΑ βελτιστοποίησης στη διαχείριση υδατικών πόρων 28 8 Βελτιστοποίηση µε χρήση Γενετικών αλγόριθµών Ιστορικά Η θεωρία Εξέλιξης των ειδών και η σχέση των ΓΑ µε αυτή Η Ανατοµία ενός προγράµµατος Γενετικών Αλγορίθµων Παράγοντες έλεγχου Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα γενετικών αλγορίθµων...37 Παραδοτέο Σελίδα i

5 9 Βελτιστοποίηση µε χρήση της νοηµοσύνης των σµηνών (Swarm Intelligence) Εισαγωγή Βελτιστοποίηση µε τη µέθοδο του σµήνους πουλιών (Particle Swarm Optimisation- PSO) Ιστορικά και εισαγωγικές έννοιες Το µαθηµατικό µοντέλο της PSO Βελτιστοποίηση µε χρήση προσοµοιωµένης ανόπτηση Υβριδικά σχήµατα βελτιστοποίησης Ο µονοκριτηριακός εξελικτικός αλγόριθµος βελτιστοποίησης ανόπτησης-απλόκου (EAS) Εισαγωγή: Θεµελιώδεις αρχές Βήµατα υπολογιστικής διαδικασίας Πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση Εισαγωγή Βασικές έννοιες πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης Ορισµός του προβλήµατος Βασικές έννοιες µετώπου Pareto και σχέσεις κυριαρχίας Επιθυµητή πορεία αναζήτησης αλγόριθµων βελτιστοποίησης Συνήθη ζητήµατα ανάπτυξης αλγορίθµων πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης...58 Ζήτηµα ανάθεσης καταλληλότητας και επιλογής...59 Ζήτηµα διατήρησης ποικιλοµορφίας...59 Ζήτηµα διατήρησης τον µη-κυριαρχούµενων (Ελιτισµός) ιαδικασία αναζήτησης και λήψης απόφασης Κατηγοριοποίηση αλγορίθµων πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης Πολυκριτηριακοί ΕΑ που συνδυάζουν ή συναθροίζουν τις αντικειµενικές συναρτήσεις Πολυκριτηριακοί ΕΑ που χρησιµοποιούν την µέθοδο των περιορισµών για την εύρεση το µετώπου Pareto Πολυκριτηριακοί ΕΑ που χρησιµοποιούν την έννοια, τις σχέσεις και το σύνολο Pareto Ο πολυκριτηριακός γενετικός αλγόριθµος NSGA-II Οι πολυκριτηριακοί αλγόριθµοι σµήνους πουλιών (Multiobjective Particle Swarm Optimisation) Γενικά...68 Παραδοτέο Σελίδα ii

6 15.2 Επιλογή και εξέλιξη οδηγών ιατήρηση και διασπορά µη κυριαρχούµενων λύσεων ιατήρηση της ποικιλοµορφίας και ταυτόχρονη εξέλιξη νέων λύσεων Βιβλιογραφική ανασκόπηση και περιγραφή ορισµένων πολυκριτηριακών αλγορίθµων PSO Ο πολυκριτηριακός εξελικτικός αλγόριθµος ανόπτησης-απλόκου (MEAS) Εισαγωγικά Γέννηση αρχικού πληθυσµού Ταξινόµηση πληθυσµού Ο έλεγχος της πυκνότητας του πληθυσµού Η εφικτότητα Η συνάρτηση ποινής και η τελική της έκφραση Μεµονωµένο σηµείο και αποτίµηση Χρήση προσοµοιωµένης ανόπτησης για τη διαδικασία επιλογής Χρονοδιάγραµµα προσοµοιωµένης ανόπτησης Η γέννηση των απογόνων Κριτήρια τερµατισµού...93 Βιβλιογραφία Πηγές...94 Παράρτηµα Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 3-1. Τυπικές µορφές δισδιάστατων χώρων αναζήτησης (Πηγή: Μακρόπουλος, 2012) Σχήµα 3-2. Απεικόνιση της επιφάνειας απόκρισης (αριστερά) και των ισοσταθµικών καµπυλών της (δεξιά) σε µη γραµµικό πρόβληµα δύο µεταβλητών (Πηγή: Ευστρατιάδης 2008, Μακρόπουλος 2012)...13 Σχήµα 4-1. Ολικό/Τοπικό ελάχιστο & Σηµείο σέλας (Πηγή: Ευστρατιάδης 2008, Μακρόπουλος 2012) Σχήµα 5-1. Γραφική απεικόνιση της στοχικής συνάρτησης f, της συνάρτησης ποινής p και της βοηθητικής συνάρτησης φ = f + p (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008) Σχήµα 6-1. Σχηµατική αναπαράσταση κινήσεων απλόκου στον διδιάστατο χώρο. α) ανάκλαση, β) επέκταση, γ) εξωτερική συµπίεση, δ) εσωτερική συµπίεση, ε) συρρίκνωση Σχήµα 7-1. Ταξινόµηση µεθόδων βελτιστοποίησης...27 Σχήµα 8-1. Κωδικοποίηση µεταβλητών σε ΓΑ...31 Παραδοτέο Σελίδα iii

7 Σχήµα 8-2.Ρουλέτα µε άνισα διαστήµατα για την επιλογή ατόµων προς αναπαραγωγή του πληθυσµού (Λυκοθανάσης, 2001)...33 Σχήµα 8-3. Τυπικό διάγραµµα ροής γενετικού αλγορίθµου (Ευστρατιάδης, 2008)...37 Σχήµα Απεικόνιση των σχέσεων κυριαρχίας και του µετώπου Pareto σε ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης δύο κριτηρίων (ελάχιστη τιµή 0 για τα δύο κριτήρια) Σχήµα Κατανοµή τεσσάρων λύσεων στο χώρο αναζήτησης (αριστερά) και στο χώρο αποτίµησης (δεξιά) σε πρόβληµα βελτιστοποίησης δύο κριτηρίων...57 Σχήµα 13-3.Γραφική απεικόνιση της µεθόδου των συντελεστών βαρύτητας...63 Σχήµα Γραφική απεικόνιση της µεθόδου περιορισµού...64 Σχήµα Γραφική αναπαράσταση της διαδικασίας του αλγορίθµου NSGA-II...65 Σχήµα Γραφική απεικόνιση του υπολογισµού απόστασης πυκνότητας...68 Σχήµα Για κάθε άτοµο ορίζεται ένας θύλακας (niche), προτιµώνται άτοµα µε λιγότερο πυκνούς θύλακες Σχήµα Αριστερά φαίνεται η περιοχή που κυριαρχείται από µία λύση. εξιά απεικονίζεται γραφικά η έννοια της ε-κυριαρχίας. Σε αυτή τη περίπτωση η περιοχή που κυριαρχείται επεκτείνεται κατά µία τιµή ανάλογη της παραµέτρου ε (η οποία ορίζεται από την χρήστη)...72 Σχήµα Γραφικό παράδειγµα της ε-κυριαρχίας για ένα εξωτερικό αρχείο. Η λύση 1 κυριαρχεί τη λύση 2 και για αυτό η λύση 1 προτιµάται. Οι λύσεις 3 και 4 δεν µπορούν να συγκριθούν, ωστόσο η λύση 3 είναι προτιµότερη αφού η λύση 3 είναι πλησιέστερα στο σηµείο (2ε,2ε). Η λύση 5 κυριαρχεί τη λύση 6 και για αυτό η λύση 5 προτιµάται. Η λύση 7 δεν είναι αποδεκτή αφού το κουτί που ανήκει (2ε,3ε). κυριαρχείτε από το (2ε,2ε)...73 Σχήµα Παράδειγµα ορισµού της ισχύος (σε παρένθεση) και της τάξης των µελών ενός υποθετικού πληθυσµού εννέα σηµείων, σε ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης δύο κριτηρίων (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008) Σχήµα ιακριτοποίηση του τρέχοντος πεδίου λύσεων σε θύλακες, µε βάση τον πληθυσµό του προηγούµενου παραδείγµατος (p = 10, = 3). Για κάθε θύλακα αναγράφεται ο κωδικός του Ι, ενώ για κάθε σηµείο αναγράφεται η τιµή του µέτρου πυκνότητας πi (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008) Σχήµα Γραφική απεικόνιση του εφικτού πεδίου, µε βάση τον πληθυσµό του προηγούµενου παραδείγµατος. Οι τιµές δίπλα σε κάθε σηµείο περιλαµβάνουν τους όρους κυριαρχίας ri* και εφικτότητας ξi της συνάρτησης ποινής, παραλείποντας, για απλούστευση, τον όρο πυκνότητας πi (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008)...84 Σχήµα Γεωµετρική ερµηνεία της διαδικασίας ανάκλασης, σε ένα πρόβληµα δύο µεταβλητών (Ευστρατιάδης, 2008)...87 Σχήµα Γραφική απεικόνιση της διαδικασίας πολλαπλής επέκτασης, σε ένα πρόβληµα δύο µεταβλητών (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008) Σχήµα Γεωµετρική ερµηνεία της εξωτερικής συµπίεσης, σε ένα πρόβληµα δύο µεταβλητών (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008) Σχήµα Γεωµετρική ερµηνεία των εφικτών µετασχηµατισµών κατά τη διαδικασίες εσωτερικής συµπίεσης του απλόκου, σε ένα πρόβληµα δύο µεταβλητών (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008) Σχήµα ιάγραµµα ροής των παραγωγικών διαδικασιών µιας γενιάς, στον πολυκριτηριακό εξελικτικό αλγόριθµο ανόπτησης-απλόκου (Ευστρατιάδης, 2008)...93 Παραδοτέο Σελίδα iv

8 Παραδοτέο Σελίδα v

9 Περίληψη Αντικείµενο αυτής της δράσης είναι ο εντοπισµός της πλέον κατάλληλης µεθόδου αξιολόγησης εναλλακτικών τεχνολογιών και του πλέον κατάλληλου αλγορίθµου βελτιστοποίησης για το εν λόγω πρόβληµα. Κατά τη διάρκεια αυτής της δράσης µελετήθηκαν τόσο συµβατικές όσο και εξελικτικές πολυστοχικές µέθοδοι βελτιστοποίησης (Genetic Algorithms, Simulated Annealing, Particle Swarm Optimisation). Στις πολυκριτηριακές µεθόδους σκοπός δεν είναι η εύρεση µίας µοναδικής βέλτιστης λύσης αλλά ενός συνόλου επιλογών στο οποίο δεν µπορεί να βρεθεί καµία επιλογή που να υπερτερεί/υστερεί σε σχέση µε τις υπόλοιπες ταυτόχρονα ως προς όλα τα κριτήρια (Pareto-optimality). Αυτή η προσέγγιση είναι απαλλαγµένη από την υποκειµενικότητα που επιφέρει η επιλογή και η κατάστρωση της µεθόδου συνδυασµού των κριτηρίων στις συµβατικές µονοκριτηριακές µεθόδους. Η χρήση εξελικτικών αλγορίθµων προτείνεται διότι οι αλγόριθµοι αυτοί δεν παγιδεύονται σε τοπικά ακρότατα (global optimisation techniques) και άρα είναι κατάλληλοι για προβλήµατα µε ιδιαίτερα ακανόνιστους χώρους λύσεων (Makropoulos and Butler, 2005), όπως είναι τα προβλήµατα επιλογής τεχνολογιών (οι οποίες αλλάζουν όχι µόνο τη λύση αλλά και τη δοµή του προς επίλυση προβλήµατος (Di Pierro, 2006)). Οι αλγόριθµοι οι οποίοι επιλέχθηκαν, υλοποιήθηκαν προγραµµατιστικά και εντάχθηκαν στο εργαλείο προσοµοίωσης του αστικού κύκλου του νερού ώστε να επιτρέπουν στον χρήστη την επιλογή βέλτιστων τεχνολογιών, για δεδοµένα κριτήρια βελτιστοποίησης στο πλαίσιο σεναρίων κλιµατικών τάσεων. Παραδοτέο Σελίδα 6

10 Extended abstract The objective of this action is to identify the most appropriate method of assessment of alternative technologies and the most appropriate optimization algorithm for this kind of problems. During this action both conventional and evolutionary multi-objective optimization methods were studied (Genetic Algorithms, Simulated Annealing, Particle Swarm Optimisation). Multi-criteria methods do not aim for a single optimal solution, but for a set of choices for which no set can be found that outperforms / falls behind them simultaneously in all criteria (Pareto-optimality). This approach is free from the subjectivity introduced by the selection and implementation of the method that combines the criteria in conventional single objective methods. An evolutionary algorithm was suggested because these algorithms are not trapped in local minima (global optimisation techniques) and thus are suitable for problems with solutions of particularly irregular space (Makropoulos and Butler, 2005), as the problems of the selection of technologies (in which not only the solution changes but also the structure of the problem to be solved (Di Pierro, 2006)). The most appropriate algorithms were implemented and integrated with the tool that simulates the urban water cycle in order to allow the user to select the best technologies for given optimization criteria under scenarios of climate trends. Παραδοτέο Σελίδα 7

11 1 Εισαγωγή Σύµφωνα µε τη ράση 3.4 (Μέθοδος ανάδειξης βέλτιστης επιλογής) αναζητούµε µία µέθοδο βελτιστοποίησης κατάλληλη να ανταποκριθεί στα ειδικά χαρακτηριστικά του προβλήµατος που µελετάµε στη δεδοµένη περίπτωση. Η προοπτική ανάπτυξης εργαλείων και µεθοδολογίας στην εν λόγω φάση έχει ως απαραίτητη στοχοθεσία τον εντοπισµό της πλέον κατάλληλης µεθόδου αξιολόγησης εναλλακτικών τεχνολογιών και του πλέον κατάλληλου αλγορίθµου βελτιστοποίησης για το πρόβληµα της προσοµοίωσης κύκλου νερού σε επίπεδο οικίας και γειτονιάς ( ράση 3.1). Στα πλαίσια της παρούσας αναφοράς εξετάζονται τα συγκριτικά πλεονεκτήµατα των εξελικτικών πολυκριτηριακών µεθόδων βελτιστοποίησης σε σχέση µε τις µονοκριτηριακές. Στις πολυκριτηριακές µεθόδους σκοπός δεν είναι η εύρεση µίας µοναδικής βέλτιστης λύσης αλλά ενός συνόλου επιλογών στο οποίο δεν µπορεί να βρεθεί καµία επιλογή που να υπερτερεί/υστερεί σε σχέση µε τις υπόλοιπες ταυτόχρονα ως προς όλα τα κριτήρια (Pareto-optimality). Βασικό εγχειρίδιο της περιγραφής αποτελεί η διδακτορική διατριβή του Ευστρατιάδη (2008). Η διερεύνηση ξεκινά από την απλή δοµή του προβλήµατος βελτιστοποίησης, που αφορά σε µη κυρτές βαθµωτές συναρτήσεις. Το ενδιαφέρον εστιάζεται στις τεχνικές ολικής αναζήτησης, για τις οποίες διατυπώνεται ένα πλαίσιο αλγοριθµικών απαιτήσεων (ευρωστία, αµεροληψία, γενικότητα, αποτελεσµατικότητα, αποδοτικότητα, εγγυηµένη σύγκλιση, ευκολία στη χρήση). Με βάση αυτό, αξιολογούνται οι υφιστάµενες µέθοδοι, αρκετές από τις οποίες εµπνέονται από συναφείς φυσικές (π.χ. προσοµοιωµένη ανόπτηση) και βιολογικές διεργασίες (π.χ. γενετικοί αλγόριθµοι) (Pierre, 1986). 2 Η έννοια της βελτιστοποίησης Όταν τίθεται κάποιο πρόβληµα προς επίλυση, η αντιµετώπισή του βασίζεται σε µια διαδοχή από εναλλακτικές αποφάσεις (decisions) και αξιολογήσεις (evaluations) των επιπτώσεων κάθε απόφασης. Αν κάθε µια από τις εναλλακτικές αποφάσεις που ικανοποιούν τους περιορισµούς του προβλήµατος, µπορεί να περιγραφεί από ένα σύνολο {x1, x2,..., xn}, και αν σε κάθε τέτοια περιγραφή µπορεί να αντιστοιχιστεί ένα πραγµατικό µέτρο επίδοσης (performance measure), τότε ως βέλτιστη (optimal) νοείται η απόφαση που µεγιστοποιεί το εν λόγω µέτρο. Στην πράξη, η βελτιστοποίηση (optimization) εφαρµόζεται σε προβλήµατα σχεδιασµού ή λειτουργίας συστηµάτων. Σύµφωνα µε τον ορισµό του Pierre (1986): Ένα σύστηµα είναι βέλτιστο ως προς ένα δεδοµένο µέτρο επίδοσης και ένα δεδοµένο σύνολο περιορισµών εφόσον λειτουργεί/αποδίδει τουλάχιστον ίσα αν όχι καλύτερα από κάθε άλλο σύστηµα που ικανοποιεί τους ίδιους περιορισµούς. Παραδοτέο Σελίδα 8

12 Η άρρηκτη σχέση µεταξύ των εννοιών «σύστηµα» και «βελτιστοποίηση» εξηγεί τον λόγο που η τελευταία απαντά και µε τον πρακτικά ισοδύναµο όρο ανάλυση συστηµάτων (systems analysis). Από µαθηµατική σκοπιά, βελτιστοποίηση (optimization) ονοµάζεται η διαδικασία εντοπισµού των ακροτάτων µιας συνάρτησης. Ειδικότερα, η διαδικασία εντοπισµού του ολικού ακροτάτου (µεγίστου ή ελαχίστου) της συνάρτησης στο πεδίο ορισµού X είναι γνωστή ως ολική βελτιστοποίηση (global optimization), ενώ η διαδικασία εντοπισµού ενός τοπικού ακροτάτου σε µια περιοχή του πεδίου X καλείται τοπική βελτιστοποίηση (local optimization). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης καλείται εφικτή περιοχή (feasible region) ή εφικτός χώρος (feasible (Γ.Ν., 1994) (Hooke R., 1961) (I.H., 1960) (Spendley W., 1962; Nelder J.A., 1965)space) ή χώρος αναζήτησης (search space) ή χώρος πολιτικής (policy domain), και συµβολίζεται µε X. Το πεδίο τιµών καλείται χώρος αποτίµησης (evaluation space), και συµβολίζεται µε F. Σε αρχικό αυτό στάδιο, θεωρούµε ότι το µέτρο επίδοσης είναι βαθµωτό µέγεθος, που σηµαίνει ότι σε για κάθε διάνυσµα x αντιστοιχεί µια πραγµατική τιµή P = f(x). Η τιµή αυτή αντιπροσωπεύει ένα καθολικό κριτήριο του υπό µελέτη συστήµατος ως προς τις µεταβλητές ελέγχου του. Το κριτήριο µπορεί να είναι ένα πραγµατικό, µετρήσιµο µέγεθος (π.χ. οικονοµικό όφελος, αξιοπιστία), ένας συνδυασµός πραγµατικών µεγεθών ή ακόµη και ένας εµπειρικός αριθµητικός δείκτης χωρίς φυσική ερµηνεία, αρκεί να είναι µοναδικός για κάθε x. Με βάση τις παραπάνω παραδοχές, το πρόβληµα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως: optp : = f ( x), x X (1) όπου ο τελεστής «opt» υποδηλώνει, ανάλογα βεβαίως µε την φυσική ερµηνεία του µέτρου Ρ, είτε την µεγιστοποίηση (maximization, συντ. max) είτε την ελαχιστοποίηση (minimization, συντ. min) της συνάρτησης f. Συνεπώς, η διατύπωση του προβλήµατος προϋποθέτει τον προσδιορισµό του τύπου του τελεστή βελτιστοποίησης, της συνάρτησης f και του πεδίου X. Επισηµαίνεται ότι ως στοχική συνάρτηση δεν νοείται κατ ανάγκη µια αναλυτική έκφραση. Στη γενική περίπτωση, πρόκειται για µια «διαδικασία» που επιστρέφει µια µοναδική τιµή συναρτήσει των τιµών κάποιων ορισµάτων, δηλαδή µια συνάρτηση (function) µε την υπολογιστική χροιά του όρου. Στα πλαίσια της εν λόγω συνάρτησης-function µπορεί να υλοποιείται ένα σύνολο πολύπλοκων υπολογιστικών διαδικασιών, όπως για παράδειγµα ένα µοντέλο προσοµοίωσης, το αποτέλεσµα της οποίας είναι ένας πραγµατικός αριθµητικός δείκτης που αποτιµά την επίδοση του συστήµατος ως προς τα αντίστοιχα ορίσµατα (µεταβλητές ελέγχου). Παραδοτέο Σελίδα 9

13 Με την κλασική µαθηµατική χροιά του όρου, η βελτιστοποίηση υποδηλώνει τον αναλυτικό εντοπισµό του ολικού ακροτάτου της συνάρτησης, µε υπολογισµό όλων των στάσιµων σηµείων της. Κάθε σηµείο µηδενισµού του διανύσµατος κλίσης µιας πολυµεταβλητής συνάρτησης f(x), δηλαδή κάθε x* in Χ για το οποίο: * * f ( x ) = gradf ( x ) = 0 (2) καλείται στάσιµο (stationary). Αυτό βεβαίως προϋποθέτει ότι τόσο η συνάρτηση όσο και µερικές της παράγωγοι µέχρι δεύτερης τάξης έχουν γνωστή αναλυτική έκφραση. Η διατύπωση όµως του προβλήµατος που έχουµε να επιλύσουµε δεν αντιστοιχεί στο πρόβληµα βελτιστοποίησης µιας συνεχούς συνάρτησης, όπως και τα περισσότερα προβλήµατα του πραγµατικού κόσµου. 3 Γενική διατύπωση του προβλήµατος βελτιστοποίησης Εφόσον Χ = Rn, που σηµαίνει ότι το πεδίο ορισµού ή, ισοδύναµα, ο χώρος αναζήτησης ταυτίζεται µε τον n-διάστατο ευκλείδιο χώρο, το πρόβληµα βελτιστοποίησης διατυπώνεται χωρίς περιορισµούς (unconstrained optimization), ενώ αν X in Rn, η διατύπωση γίνεται υπό περιορισµούς (constrained optimization). Στη γενική περίπτωση βελτιστοποίησης µε περιορισµούς, θεωρούµε ότι το πεδίο X περιγράφεται από ένα πλήθος µαθηµατικών περιορισµών (constraints) της µορφής: gx (, x,..., x), =, 0 (3) 1 2 n Στα µαθηµατικά µοντέλα, οι σχέσεις ισότητας αντιπροσωπεύουν, κατά κανόνα, εξισώσεις διατήρησης µάζας ή ενέργειας, πρόκειται δηλαδή για αυστηρά διατυπωµένους περιορισµούς που απορρέουν από φυσικούς νόµους. Η απλούστερη κατηγορία περιορισµών είναι σχέσεις της µορφής: lj xj u (4) j που εκφράζουν όρια διακύµανσης παραµέτρων ή περιορισµούς τύπου χωρητικότητας. Οι περιορισµοί ορίου αναφέρονται στην βιβλιογραφία και ως ρητοί (explicit). Όσον αφορά στους πιο πολύπλοκους ανισωτικούς περιορισµούς, αυτοί συνήθως δεν έχουν φυσική αντιστοίχιση, αλλά σχετίζονται µε τους στόχους και λειτουργικές απαιτήσεις του υπό µελέτη συστήµατος. 3.1 Η έννοια της εφικτότητας Κάθε διάνυσµα x in Rn που δεν επαληθεύει τους περιορισµούς του προβλήµατος βελτιστοποίησης θεωρείται µη εφικτό (non-feasible). Σε προβλήµατα µε περιορισµούς, το θεωρητικό ολικό ακρότατο της στοχικής συνάρτησης ενδέχεται να είναι µη εφικτό, εφόσον βρίσκεται εκτός των ορίων του χώρου αναζήτησης. Στην περίπτωση αυτή, ζητείται το σηµείο όπου µεγιστοποιείται/ελαχιστοποιείται η τιµή της συνάρτησης εντός του εφικτού Παραδοτέο Σελίδα 10

14 χώρου. Συχνά, η υπό περιορισµούς βέλτιστη λύση κείται στο όριο του εφικτού χώρου, βρίσκεται δηλαδή στην τοµή κάποιων από τους περιορισµούς του προβλήµατος. Οι περιορισµοί αυτοί καλούνται δεσµευτικοί (binding), ενώ οι υπόλοιποι καλούνται χαλαροί (slack), δεδοµένου ότι δεν επηρεάζουν την επίλυση του προβλήµατος. Στην περίπτωση αυτή, κάθε εφικτό σηµείο που δεν επαληθεύει τους δεσµευτικούς περιορισµούς καλείται υποβέλτιστο (sub-optimal), ενώ κάθε µη εφικτό σηµείο που έχει καλύτερη επίδοση από το βέλτιστο καλείται υπερβέλτιστο (over-optimal). Η ύπαρξη περιορισµών εισάγει επιπλέον απαίτηση στη διαδικασία βελτιστοποίησης, αφού επιβάλλει την αναζήτηση εφικτών, αποκλειστικά, λύσεων. Αυτό σηµαίνει ότι οι κανόνες µετάβασης πρέπει να διατυπωθούν µε τρόπο τέτοιο ώστε να εξασφαλίζουν τη διερεύνηση εφικτών και µόνο περιοχών, µη επιτρέποντας την «παραβίαση» των ορίων του πεδίου X. Όπως θα εξηγηθεί στο επόµενο εδάφιο, η απαίτηση αυτή είναι σαφώς δυσκολότερο να επιτευχθεί όταν ο χώρος αναζήτησης είναι µη κυρτός. Σε κάθε περίπτωση, η ύπαρξη περιορισµών αυξάνει σηµαντικά την δυσχέρεια του προβλήµατος, όχι µόνο επειδή καθιστά τις σχετικές υπολογιστικές διαδικασίες σαφώς πιο πολύπλοκες αλλά και επειδή συνεπάγεται πολλαπλάσιο αριθµό δοκιµών σε σχέση µε την βελτιστοποίηση της ίδιας συνάρτησης, αλλά χωρίς περιορισµούς. 3.2 Μορφές πεδίων αναζήτησης Ανάλογα µε τον τύπο των περιορισµών, διαφοροποιείται η γεωµετρία του πεδίου αναζήτησης και, συνακόλουθα, η στρατηγική αναζήτησης λύσεων. Στα προβλήµατα βελτιστοποίησης, µπορούµε να διακρίνουµε τις εξής κατηγορίες πεδίων, και τους αντίστοιχους συνδυασµούς αυτών: συνεχή και διακριτά γραµµικά και µη γραµµικά κυρτά και µη κυρτά. Όλες οι παραπάνω κατηγοριοποιήσεις των χώρων αναζήτησης διακρίνονται στο Σχήµα 3-1 (Μακρόπουλος, 2012). Παραδοτέο Σελίδα 11

15 Σχήµα 3-1. Τυπικές µορφές δισδιάστατων χώρων αναζήτησης (Πηγή: Μακρόπουλος, 2012). 3.3 Η επιφάνεια απόκρισης Η γεωµετρική απεικόνιση της στοχικής συνάρτησης f(x) στο πεδίο αναζήτησης X καλείται επιφάνεια απόκρισης (response surface). Σε αντιστοιχία µε το πεδίο αναζήτησης, η επιφάνεια απόκρισης µπορεί να είναι συνεχής ή διακριτή, γραµµική ή µη γραµµική, και κυρτή ή µη κυρτή. Η κατανόηση της γεωµετρίας της επιφάνειας απόκρισης της στοχικής συνάρτησης θεωρείται κοµβική προϋπόθεση για τον επιτυχή χειρισµό του προβλήµατος βελτιστοποίησης. Σε συνεχή, µη γραµµικά προβλήµατα δύο διαστάσεων, η έννοια της επιφάνειας απόκρισης προσοµοιάζει ένα πραγµατικό τοπογραφικό ανάγλυφο. Για τον λόγο αυτό, στις σχετικές περιγραφές χρησιµοποιούνται όροι όπως «λόφοι» (hills), «κορυφές» (picks), «αυχένες» (saddles), «κοιλάδες» (valleys), «χαράδρες» (ridges) και «βυθίσµατα» (sinks), καθώς και χαρακτηρισµοί του αναγλύφου όπως «τραχύ» (rough) και «οµαλό» (smooth). Η διαδικασία αναζήτησης σε µη γραµµικά πεδία είναι αντίστοιχη του εντοπισµού του υψηλότερου ή χαµηλότερου σηµείου του αναγλύφου, µε δεδοµένα ότι σε κάθε σηµείο είναι δυνατός ο πλήρης προσδιορισµός του υψοµέτρου (δηλαδή της τιµής της συνάρτησης), χωρίς ωστόσο να υπάρχει η δυνατότητα «οπτικής εικόνας» του υπόλοιπου χώρου. Σε προβλήµατα περισσότερων διαστάσεων, αν και δεν είναι δυνατόν να υπάρξει Παραδοτέο Σελίδα 12

16 γεωµετρική εποπτεία του χώρου αναζήτησης παρά µόνο δισδιάστατων τοµών αυτού, υιοθετείται η ίδια ορολογία. Στο παράδειγµα του Σχήµα 3-2 (Μακρόπουλος, 2012), στο οποίο απεικονίζεται η επιφάνεια απόκρισης µιας µη κυρτής συνάρτησης, υπάρχουν ένα ολικό και ένα τοπικό ελάχιστο. Οι συναρτήσεις πολλών ακροτάτων αναφέρονται και ως πολυσχηµατικές (multimodal). Σχήµα 3-2. Απεικόνιση της επιφάνειας απόκρισης (αριστερά) και των ισοσταθµικών καµπυλών της (δεξιά) σε µη γραµµικό πρόβληµα δύο µεταβλητών (Πηγή: Ευστρατιάδης 2008, Μακρόπουλος 2012). 4 Ακρότατα 4.1 Βελτιστοποίηση χωρίς περιορισµούς Έστω συνάρτηση ορισµένη στο που είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού της και έχει συνεχείς µερικές παραγώγους δευτέρας τάξεως. Κάθε σηµείο µηδενισµού του διανύσµατος κλίσης της συνάρτησης καλείται στάσιµο όπως περιγράψαµε πριν. Στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι κυρτή, η f έχει µοναδικό στάσιµο σηµείο που αντιστοιχεί στο ολικό ακρότατο αυτής (ελάχιστο ή µέγιστο). Κατά συνέπεια, αν µια συνάρτηση ικανοποιεί την αναγκαία συνθήκη της στασιµότητας και την ικανή συνθήκη κυρτότητας, τότε παρουσιάζει µοναδικό (ολικό) ακρότατο στο σηµείο x*. Αν η συνάρτηση είναι µη κυρτή, τότε έχει περισσότερα του ενός στάσιµα σηµεία, καθένα από τα οποία µπορεί να είναι τοπικό ελάχιστο ή τοπικό µέγιστο ή σηµείο σέλας. Στο Σχήµα 4-1 διακρίνουµε αυτές τις περιπτώσεις. Παραδοτέο Σελίδα 13

17 Σχήµα 4-1. Ολικό/Τοπικό ελάχιστο & Σηµείο σέλας (Πηγή: Ευστρατιάδης 2008, Μακρόπουλος 2012). 4.2 Βελτιστοποίηση µε περιορισµούς T Έστω συνάρτηση f ( x ), µε k περιορισµούς της µορφής g( x) : = [ g1( x),..., gk ( x)] 0. Το * σηµείο x είναι η ολικά ελάχιστη λύση της f εφόσον ικανοποίει τους περιορισµούς και επιπλέον υπάρχει διάνυσµα µη αρνητικών συντελεστών λ = ( λ1,..., λ ) T k τέτοιο ώστε: λ g x = i = k i * i( ) 0 1,..., (5) df x dx * * ( ) T dg( x ) T + λ = 0 (6) dx Οι παραπάνω εκφράσεις, που είναι αναγκαίες προϋποθέσεις ύπαρξης ακροτάτου ενός προβλήµατος µε περιορισµούς, είναι γνωστές ως συνθήκες Kuhn-Tucker. Οι συνθήκες Kuhn-Tucker είναι ικανές και αναγκαίες για την ύπαρξη ολικού ελαχίστου της f, εφόσον τόσο η συνάρτηση όσο και οι περιορισµοί είναι κυρτές συναρτήσεις. Κάθε πρόβληµα βελτιστοποίησης µε περιορισµούς µπορεί να αναχθεί σε πρόβληµα χωρίς περιορισµούς, µε θεώρηση της βοηθητικής συνάρτησης: Παραδοτέο Σελίδα 14

18 T n ϕ(, x λ) = f() x + λ g() x, x R (7) * λ εδοµένου ότι igi( x ) = 0 για κάθε i, το ολικό ακρότατο της ταυτίζεται µε το ολικό * * * ακρότατο της f ( x ), δηλαδή ϕ( x, λ ) = f( x ). Η επίλυση του µετασχηµατισµένου προβλήµατος γίνεται θεωρώντας ως µεταβλητές ελέγχου τις αρχικές παραµέτρους x καθώς και τους συντελεστές λ (πολλαπλασιαστές Lagrange). 5 Συναρτήσεις ποινής Η ύπαρξη περιορισµών σε ένα µη γραµµικό πρόβληµα βελτιστοποίησης δυσχεραίνει εξαιρετικά την διαδικασία βελτιστοποίησης, καθώς προϋποθέτει: την αναλυτική έκφραση των παραγώγων της στοχικής συνάρτησης και των περιορισµών (ώστε να µπορούν να διατυπωθούν οι συνθήκες Kuhn-Tucker) την εύρεση των στάσιµων σηµείων της βοηθητικής συνάρτησης, δηλαδή των διανυσµάτων x* και λ* (αναγκαία συνθήκη στασιµότητας) την ισχύ της ικανής συνθήκης κυρτότητας. Εναλλακτικά, οι περιορισµοί ενσωµατώνονται στη στοχική συνάρτηση ως συναρτήσεις ποινής (penalty functions). Στην περίπτωση αυτή, ορίζεται ένα µετασχηµατισµένο πρόβληµα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς, της µορφής: k min ϕ( x) = f ( x) + p ( x) (8) p όπου i() x 0 p κατάλληλα ορισµένη συνάρτηση, τέτοια ώστε i() x = 0 g αν i( x) 0, και pi () x > 0 g αν i() x > 0. Μειονέκτηµα της παραπάνω προσέγγισης είναι: p ( ) ο αυθαίρετος ορισµός των συναρτήσεων i x i= 1 i p η ύπαρξη ασυνέχειας στο όριο του εφικτού χώρου (συνήθως δεχόµαστε i() x 0 p( ) 0 παραβιάζεται ο περιορισµός ή παραβιάζεται οριακά, και i x >> αλλιώς). αν δεν Στο Σχήµα 5-1 έχουµε τη γραφική απεικόνιση της στοχικής συνάρτησης f, της συνάρτησης ποινής p και της βοηθητικής συνάρτησης φ = f + p. Γενικά, η ενσωµάτωση όρων ποινής στην στοχική συνάρτηση δηµιουργεί µια έντονη παραµόρφωση της επιφάνειας απόκρισης. Για τον λόγο αυτό, η διαµόρφωση των συναρτήσεων ποινής προϋποθέτει µια αρχική διερεύνηση των επιπτώσεων στη συµπεριφορά του αλγορίθµου βελτιστοποίησης. Όταν κάποιος όρος ποινής, που αναφέρεται σε συγκεκριµένο περιορισµό, είναι υπερβολικά µεγάλος σε σχέση µε το µέτρο επίδοσης του προβλήµατος, προκύπτει ο κίνδυνος πρόωρης σύγκλισης σε µια λύση που απλά ικανοποιεί τον περιορισµό, «αδιαφορώντας» για τον ήσσονος σηµασίας όρο της αρχικής στοχικής συνάρτησης. Από την άλλη πλευρά, όταν ο όρος ποινής είναι πολύ Παραδοτέο Σελίδα 15

19 µικρός σε σχέση µε το µέτρο επίδοσης, τότε η υπολογιστική διαδικασία δυσκολεύεται να εντοπίσει εφικτές περιοχές. Στην πράξη, δεν είναι δυνατός ο χειρισµός µεγάλου πλήθους περιορισµών µέσω συναρτήσεων ποινής. Σχήµα 5-1. Γραφική απεικόνιση της στοχικής συνάρτησης f, της συνάρτησης ποινής p και της βοηθητικής συνάρτησης φ = f + p (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008). 6 Μέθοδοι αναζήτησης τοπικών ακροτάτων 6.1 Γενική διατύπωση Η αναλυτική επίλυση του τυπικού προβλήµατος µη γραµµικής βελτιστοποίησης, που βασίζεται στις κλασικές µαθηµατικές µεθόδους, περιορίζεται σε ένα εξαιρετικά µικρό εύρος πρακτικών εφαρµογών, όπου είναι γνωστές οι εκφράσεις της στοχικής συνάρτησης και των παραγώγων της µέχρι δεύτερης τάξης, καθιστώντας δυνατό τον υπολογισµό των στάσιµων σηµείων της αλλά και των οριζουσών του εσσιανού µητρώου. Στη µη γραµµική βελτιστοποίηση αναπτύχθηκαν επαναληπτικές τεχνικές που έχουν ως βάση το θεωρητικό υπόβαθρο των κλασικών µαθηµατικών, και ειδικότερα την θεµελιώδη έννοια της κλίσης στον ευκλείδειο χώρο. Οι τεχνικές αυτές χειρίζονται µε πλήρη επιτυχία κυρτές επιφάνειες απόκρισης, δηλαδή προβλήµατα µοναδικών ακροτάτων, χωρίς ωστόσο να εγγυώνται τον εντοπισµό του ολικού ακροτάτου µη κυρτών (πολυσχηµατικών) συναρτήσεων. Λόγω του παραπάνω χαρακτηριστικού, αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως µέθοδοι τοπικής αναζήτησης (local search) ή µέθοδοι αναρρίχησης (hill-climbing). Ανάλογα µε την διατύπωση της συνάρτησης διαταραχής, οι µέθοδοι τοπικής αναζήτησης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: Παραδοτέο Σελίδα 16

20 µέθοδοι κλίσης, µέθοδοι άµεσης αναζήτησης. Η πρώτη οµάδα αλγορίθµων, που ιστορικά προηγήθηκε της δεύτερης, για τη διατύπωση των κανόνων µετάβασης απαιτεί την πληροφορία των µερικών παραγώγων πρώτης, και για ορισµένα σχήµατα έως και δεύτερης τάξης. Αντίθετα, η δεύτερη οµάδα αλγορίθµων δεν απαιτεί την γνώση των παραγώγων της συνάρτησης, καθώς χρησιµοποιούν απλουστευµένα γεωµετρικά υποκατάστατα του µαθηµατικού προτύπου της κλίσης. 6.2 Τεχνικές έµµεσης αναζήτησης (µέθοδοι κλίσης) Οι τεχνικές έµµεσης αναζήτησης, γνωστές και ως µέθοδοι κλίσης, στηρίζουν τη λειτουργία τους στις ιδιότητες του διαφορικού λογισµού, για τον εντοπισµό κάποιου τοπικού ακρότατου. Κατά τη διάρκεια της αναζήτησης, οι παράγωγοι 1 ης και 2 ης τάξης της στοχικής συνάρτησης παρέχουν στον αλγόριθµο πληροφορίες για τον τρόπο που αυτός θα κινηθεί στην επιφάνεια απόκρισης. Η παράγωγος 1 ης τάξης παρέχει πληροφορίες για την κατεύθυνση κατά την οποία η f παρουσιάζει το µεγαλύτερο βαθµό µείωσης (κατεύθυνση πλέον απότοµης κατάβασης) και µε τον µηδενισµό της υποδεικνύει τον εντοπισµό ενός στάσιµου σηµείου. Εφόσον έχει εντοπιστεί ένα στάσιµο σηµείο, από τις τιµές των παραγώγων 2 ης τάξης προκύπτει αν αυτό είναι τοπικό µέγιστο, τοπικό ελάχιστο ή σηµείο σέλλας Αναλυτικός υπολογισµός ακροτάτων Ο αναλυτικός υπολογισµός των ακροτάτων µιας συνάρτησης είναι εφικτός εφόσον διατίθενται αναλυτικές µαθηµατικές εξισώσεις τόσο για τη συνάρτηση f όσο και για τις παραγώγους αυτής. Μια πραγµατική συνάρτηση f(x) ορισµένη στο Χ R n παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο (local minimum) στο σηµείο x* X όταν υπάρχει περιοχή Χ 0 Χ του x* τέτοια ώστε για κάθε x Χ 0 να ισχύει: f ( x*) < f ( x ) (9) Αντίστοιχος είναι και ο ορισµός για το τοπικό µέγιστο (local maximum). Κάθε σηµείο τοπικού ελαχίστου ή τοπικού µεγίστου καλείται τοπικό ακρότατο (local extreme), ενώ όταν Χ 0 Χ το ακρότατο χαρακτηρίζεται ως ολικό (global). Έστω f(x) συνάρτηση ορισµένη στο R n η οποία είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού της και έχει συνεχείς µερικές παραγώγους 1 ης και 2 ης τάξης. Τότε ως κλίση ή βαθµίδα της f(x) ορίζεται: f f f f ( x) = gradf ( x ) = ( x), ( x),..., ( x) (10) x1 x2 xn T Παραδοτέο Σελίδα 17

21 ηλαδή, η κλίση της συνάρτησης είναι ένα διάνυσµα το οποίο έχει συντεταγµένες τις µερικές παραγώγους της συνάρτησης (διανυσµατική συνάρτηση). Εφόσον η κλίση στο σηµείο x* είναι ίση µε το µηδέν, δηλαδή: f ( x*) = gradf ( x*) = 0 (11) τότε το σηµείο x* είναι τοπικό ακρότατο. Σε αντίθετη περίπτωση το παραπάνω µέγεθος υποδεικνύει την κατεύθυνση πλέον απότοµης µεταβολής της f κοντά στο x 0. Ωστόσο, για να χαρακτηριστεί ένα σηµείο x* ως ελάχιστο, µέγιστο ή σηµείο σέλλας (saddle point) απαιτείται ο υπολογισµός των µερικών παραγώγων 2 ης τάξης της συνάρτησης. Με την υπόθεση ότι οι µερικές παράγωγοι 2 ης τάξης της f είναι συνεχής κοντά και γύρω από το σηµείο υπολογισµού τους ορίζεται το εσσιανό (Hessian) µητρώο: f f f L 2 x1 xx 1 2 xx 1 n f f f L 2 H = x2x1 x2 x2xn M M O M f f f K 2 xx n 1 xx n 2 x n (12) Αν Η i (x) είναι η i υπο-ορίζουσα του εσσιανού µητρώου, η οποία προκύπτει µε αφαίρεση των n - i τελευταίων γραµµών και στηλών του, τότε: Αν Η i (x*) > 0 για κάθε i, το x* είναι τοπικό ελάχιστο Αν Η i (x*) > 0 για κάθε i, και sign(η i ) = sign(-1) i το x* είναι τοπικό ελάχιστο Αν Η i (x*) 0 για κάθε i και δεν ισχύει καµία από τις παραπάνω συνθήκες, το µπορεί να είναι στάσιµο σηµείο αλλά δεν είναι ούτε ελάχιστο ούτε µέγιστο. Το σηµείο αυτό ονοµάζεται σηµείο σέλλας, δηλαδή η τοµή επιπέδων που το ένα παρουσιάζει µέγιστο και το άλλο ελάχιστο. Αν Αν Η i (x*) = 0 για κάθε i τότε δεν µπορεί να εξαχθεί συµπέρασµα. Αν η συνάρτηση είναι κυρτή και ικανοποιούνται η πρώτη ή η δεύτερη από τις παραπάνω συνθήκες, τότε έχει µοναδικό στάσιµο σηµείο που αντιστοιχεί στο ολικό ακρότατο αυτής (είτε µέγιστο είτε ελάχιστο). Αν δεν ισχύει το κριτήριο κυρτότητας τότε η συνάρτηση έχει παραπάνω από ένα στάσιµα σηµεία και χαρακτηρίζεται ως πολυκόρυφη ή πολυσχηµατική Μέθοδοι επιφάνειας απόκρισης (response surface methodology) Στις µεθόδους επιφάνειας απόκρισης (response surface methodology) χρησιµοποιούνται µαθηµατικές και στατιστικές τεχνικές για την ανάλυση και προσοµοίωση πολύπλοκων διεργασιών που είναι συνάρτηση πολλών παραµέτρων. Οι µέθοδοι αυτές βρίσκουν Παραδοτέο Σελίδα 18

22 εφαρµογή στη βελτιστοποίηση πολύπλοκων µοντέλων προσοµοίωσης τόσο διακριτών όσο και συνεχών παραµέτρων, για τα οποία δεν υπάρχει αναλυτική µαθηµατική σχέση που να αποδίδει την απόκρισης του συστήµατος. Γενικά, τα µοντέλα επιφάνειας απόκρισης επιχειρούν να προσοµοιώσουν τη συµπεριφορά ενός συστήµατος µε τη προσαρµογή γραµµικών και µη γραµµικών σχέσεων (µοντέλα παλινδρόµησης), που συνδέουν τις αποκρίσεις του συστήµατος, y, µε τις n παραµέτρους του, x n ={X 1, X 2,, X n }. Έτσι, ένα γραµµικό µοντέλο 1 ης τάξης θα δίνεται από τη σχέση: y= a0 + a1x1+ a2x anxn + ε (13) όπου α i, για i = 0,, n, συντελεστές παλινδρόµησης και ε το σφάλµα µετρήσεων ή ο θόρυβος. Με τον ίδιο τρόπο µπορούν να κατασκευαστούν και µη γραµµικά µοντέλα ανώτερων τάξεων. Για την προσαρµογή συνήθως χρησιµοποιούνται τεχνικές παλινδρόµησης και νευρωνικά δίκτυα. Απώτερος στόχος των µεθόδων αυτών είναι η κατασκευή και εξερεύνηση της γεωγραφίας της επιφάνειας απόκρισης και εν συνεχεία ο εντοπισµός της βέλτιστης απόκρισης του µοντέλου. Οι θεµελιώδεις αρχές της µεθοδολογίας διατυπώθηκαν από τους Box and Wilson (1951), οι οποίοι µελέτησαν το πρόβληµα εύρεσης του ελάχιστου µιας τετραγωνικής συνάρτησης που διαταράσσεται από τη παρουσία θορύβου. Η µεθοδολογία που γενικά ακολουθείται είναι η εξής (Fu and Healy, 1997): Αρχικά προσαρµόζεται ένα γραµµικό µοντέλο για την χονδροειδή περιγραφή µιας µεγάλης περιοχής της επιφάνειας απόκρισης και στη συνέχεια εντοπίζονται οι περιοχές που ενδέχεται να περιέχουν τοπικά ακρότατα. Για την λεπτοµερέστερη εξερεύνηση των περιοχών αυτών επιχειρείται η προσαρµογή αναλυτικότερων, µη γραµµικών µοντέλων υψηλότερων τάξεων. Στις µαθηµατικές σχέσεις που προκύπτουν από τη προσαρµογή, εφαρµόζεται µια κλασσική τεχνική βελτιστοποίησης. Συχνά εφαρµόζεται η µέθοδος πλέον απότοµης κατάβασης (Azadivar, 1999; Heller and Staats, 1973). Ο αλγόριθµος βελτιστοποίησης παράγει καινούργια σηµεία µέχρι να αποδειχτεί πως το µαθηµατικό µοντέλο που έχει προσαρµοστεί είναι ακατάλληλο για την περαιτέρω περιγραφή του εφικτού χώρου. Εν συνεχεία προσαρµόζεται ένα νέο µαθηµατικό µοντέλο και η διαδικασία επαναλαµβάνεται µέχρι τον εντοπισµό του τοπικού ακρότατου. Οι Azadivar και Talavage (1980) επισηµαίνουν πως η παραπάνω µεθοδολογία είναι πιο αποτελεσµατική από την απευθείας εφαρµογή µεθόδων κλίσης σε προβλήµατα που η επιφάνεια απόκρισης είναι σχετικά οµαλή, αλλά αποτυγχάνει πλήρως σε προβλήµατα που η επιφάνεια απόκρισης της στοχική συνάρτησης χαρακτηρίζεται από µη οµαλό ανάγλυφο, µε έντονες κορυφογραµµές και επίπεδες επιφάνειες. Το µεγάλο µειονέκτηµα της µεθόδου είναι ότι απαιτείται µεγάλο πλήθος από προσοµοιώσεις τόσο κατά τη κατασκευή της µαθηµατικής σχέσεις, όσο και κατά την βελτιστοποίησή του. 6.3 Μέθοδοι άµεσης αναζήτησης Οι τεχνικές άµεσης αναζήτησης (direct search methods) χρησιµοποιούνται ευρέως για τη βελτιστοποίηση µοντέλων προσοµοίωσης, καθώς για την εφαρµογή τους δεν απαιτούν τη Παραδοτέο Σελίδα 19

23 γνώση της αναλυτικής σχέσης της συνάρτησης και την εκτίµηση των παραγώγων αυτής. Η επαναληπτική διαδικασία εξελίσσεται βασιζόµενη απλά στον υπολογισµό της τιµής της στοχικής συνάρτησης για κάποιο δεδοµένο σύνολο τιµών των µεταβλητών απόφασης. Το γεγονός δε, ότι οι κανόνες διερεύνησης του εφικτού χώρου δεν βασίζονται απλά στις τιµές της συνάρτησης αλλά στη σχετική τους διάταξη, καθιστά τις εν λόγω µεθόδους ως τις πλέον κατάλληλες για προβλήµατα τα οποία χαρακτηρίζονται από την παρουσία θορύβου Τεχνικές αναζήτησης σε πρότυπο Ο όρος τεχνικές άµεσης αναζήτησης προέρχεται από τους Hooke and Jeeves (1961), οι οποίοι στην πρωτοποριακή εργασία τους διετύπωσαν την µέθοδο άµεσης αναζήτησης σε πρότυπο (direct pattern search method). Η µέθοδός τους βασίζεται στην ιδέα ότι αν σε κάποια διεύθυνση έχει εντοπιστεί µια λύση που βελτιώνει την τρέχουσα βέλτιστη τότε η αναζήτηση θα πρέπει να συνεχιστεί προς την κατεύθυνση αυτή. Ο αλγόριθµος ξεκινά µε την επιλογή ενός συνόλου από διακεκριµένα σηµεία του εφικτού χώρου, τα οποία στην ουσία αποτελούν τους κόµβους ενός θεωρητικού πλέγµατος. Το πλέγµα συντελεί έναν υπερκύβο, ο οποίος διαµορφώνεται από τους άξονες e, i i = 1,, n. Σε κάθε επανάληψη k, έχουµε ένα σηµείο αναφοράς (base point) x [k] R n, ένα διάνυσµα d [k] R n που είναι το µήκος της µετατόπισης (step length) κατά την τελευταία επανάληψη, k-1, και ένα νέο µήκος h [k]. Σε κάθε επανάληψη εκτελούνται και ελέγχονται δυο ειδών κινήσεις. Μια κίνηση µε χρήση του ήδη υπάρχοντος µήκους µετατόπισης (pattern step) και µια κίνηση µε καινούργια διερευνητικά µήκη (exploratory steps). Η πρώτη ισοδυναµεί µε διπλασιασµό του προηγούµενου βήµατος και παράγει ένα νέο ενδιάµεσο σηµείο y [k] = x [k] + d [k], µε την ελπίδα ότι αυτό θα βελτιώνει την τιµή της συνάρτησης και άρα θα επιταχύνει τον αλγόριθµο. Στη συνέχεια, από το νέο σηµείο y [k] εκτελείται µια σειρά από διαδοχικά βήµατα σύµφωνα µε το καινούργιο µήκος µετατόπισης h [k] κατά τη διεύθυνση που ορίζουν οι άξονες e, i i = 1,, n, του συστήµατος συντεταγµένων. Αν το βήµα κατά κάποια διεύθυνση i παράγει σηµείο που βελτιώνει τη τιµή της στοχικής συνάρτησης, τότε η τρέχουσα λύση x [k] αντικαθίσταται από την z [k] = x [k] + h [k] e i και στην επόµενη επανάληψη το µήκος µετακίνησης τίθεται ίσο µε z [k] x [k]. Στην περίπτωση που δεν επιτευχθεί βελτίωση της λύσης, το µήκος της µετακίνησης, h [k], υποδιπλασιάζεται και η διαδικασία επανεκτελείται. Η επαναληπτική διαδικασία τερµατίζεται όταν η τιµή του µήκους λαµβάνει πολύ µικρή τιµή (θεωρητικά µηδενική) και δεν εντοπίζεται σηµείο που να βελτιώνει τη τιµή της τρέχουσας λύσης. Η µέθοδος αναζήτησης σε πρότυπο απαιτεί σε κάθε επανάληψη τον υπολογισµό της στοχικής συνάρτησης από n + 1 έως 2n + 1 φορές. Γενικά, η µέθοδος είναι αργή στη σύγκλισή της αλλά συγκλίνει πάντοτε σε τοπικό ακρότατο. Οι Bell and Pike (1966) για τη βελτίωση της ταχύτητας του αλγορίθµου προτείνουν µια παραλλαγή της µεθόδου, σύµφωνα µε την οποία οι διερευνητικές κινήσεις εκτελούνται πρώτα κατά τις δυο διευθύνσεις στις οποίες έχει επιτευχτεί βελτίωση της λύσης στα δυο τελευταία βήµατα. Οι Arnold and Beyer (2003) αξιολόγησαν τη συµπεριφορά του κλασικού αλγορίθµου των Hooke and Jeeves στην σφαιροειδή συνάρτηση, υπό την παρουσία θορύβου, και Παραδοτέο Σελίδα 20

24 παρατήρησαν πως η µέθοδος συγκλίνει πολύ γρήγορα σε κάποιο µη στάσιµο σηµείο. Αποδίδουν δε το γεγονός αυτό στη ραγδαία µείωση του µήκους µετατόπισης h [k] από τις πρώτες επαναλήψεις, λόγω της επικράτησης του θορύβου στη διαδικασία. Για την αντιµετώπιση αυτών των προβληµάτων οι δυο µελετητές προτείνουν τον επαναϋπολογισµό του τρέχοντος σηµείου αναφοράς όταν δεν επιτυγχάνεται βελτιώσει της λύση προς κάποια διεύθυνση, υποδιπλασιασµό του µήκους µετακίνησης µε πιθανότητα 0.25 και αντικατάσταση της τρέχουσας λύσης από κάποια καλύτερη µε πιθανότητα 0.5. Οι τροποποιήσεις αυτές δίνουν στον αλγόριθµο µεγαλύτερη ευελιξία και βελτιώνουν αισθητά την επίδοσή του. 6.4 Η µέθοδος κατερχόµενου απλόκου Το άπλοκο είναι ένα γεωµετρικό κυρτό σχήµα, µη µηδενικού όγκου, το οποίο ορίζεται από ένα σύνολο n + 1 σηµείων στον n-διάστατο χώρο, R n. Εποµένως, το σχήµα του απλόκου είναι τρίγωνο σε χώρο δυο διαστάσεων, R 2, τετράεδρο σε χώρο τριών διαστάσεων, R 3, κ.τ.λ.. Η πρώτη µέθοδος βελτιστοποίησης που κάνει χρήση του απλόκου, για την εξερεύνηση του εφικτού χώρου, αποδίδεται στους Spendley, Hext και Himsworth (1962). Κίνητρο για τους τρεις µελετητές αποτέλεσε το γεγονός, ότι µέχρι εκείνη την εποχή, οι αλγόριθµοι άµεσης αναζήτησης απαιτούσαν από 2n έως 2 n υπολογισµούς της στοχικής συνάρτησης για να καθοριστεί η µετακίνηση προς το επόµενο βήµα. Ταυτόχρονα, παρατήρησαν πως για τον προσδιορισµό της διεύθυνσης που βελτιστοποιεί τη συνάρτηση δεν χρειάζονται περισσότεροι από n + 1 υπολογισµοί της (Lewis et al., 2000). Στον κλασικό αλγόριθµο των Spendley et al. (1962) το αρχικό άπλοκο διαµορφώνεται από n + 1 κορυφές, για κάθε µια από τις οποίες υπολογίζεται η τιµή της στοχικής συνάρτησης. Η κορυφή µε τη χειρότερη τιµή (µεγαλύτερη για προβλήµατα ελαχιστοποίησης) εντοπίζεται και αντικαθίσταται από την αντιδιαµετρική της, ως προς το κεντροειδές των υπολοίπων κορυφών. Η στοιχειώδης αυτή κίνηση ονοµάζεται ανάκλαση και έχει ως αποτέλεσµα τον σχηµατισµό ενός νέου απλόκου που έχει µεν καινούργια διεύθυνση, αλλά διατηρεί τον όγκο του αρχικού. Αν το καινούργιο σηµείο είναι το χειρότερο, συγκρινόµενο µε τα υπόλοιπα n σηµεία, τότε επιλέγεται για ανάκλαση αυτό µε την αµέσως χειρότερη επίδοση, έτσι ώστε να αποφευχθεί η επιστροφή στην προηγούµενη κατάσταση και άρα η ανακύκλωση των ίδιων λύσεων. Βασιζόµενοι στην µεθοδολογία των Spendley et al., οι Nelder και Mead (1965) διατύπωσαν ένα νέο αλγόριθµο ο οποίος επιτρέπει την προσαρµογή του απλόκου στην επιφάνεια απόκρισης της εκάστοτε στοχικής συνάρτησης. Προς την κατεύθυνση αυτή, οι δυο µελετητές εκτός από την ανάκλαση εισήγαγαν τρεις ακόµα κινήσεις, την επέκταση (expansion), τη συµπίεση (contraction) και τη συρρίκνωση (shrinkage). Όπως θα δούµε στη συνέχεια, κάθε µια από τις κινήσεις αυτές παίζει το δικό της σηµαντικό ρόλο στη διαδικασία ανεύρεσης του βέλτιστου σηµείου και τελικά καταφέρνει να επιταχύνει σηµαντικά τον αρχικό αλγόριθµο των Spendley et al.. Οι κινήσεις που εκτελεί το άπλοκο στον αλγόριθµο Nelder-Mead δίνονται γραφικά στην εικόνα που ακολουθεί Σχήµα 6-1 Παραδοτέο Σελίδα 21

25 x 2 x 2 g x r x r x e x w = x 3 x 1 x 3 x 1 (a) (b) x 2 x 2 x 2 x c x r x s,2 x 3 x 1 x c x 3 x 1 x 3 x s,3 x 1 (c) (d) (e) Σχήµα 6-1. Σχηµατική αναπαράσταση κινήσεων απλόκου στον διδιάστατο χώρο. α) ανάκλαση, β) επέκταση, γ) εξωτερική συµπίεση, δ) εσωτερική συµπίεση, ε) συρρίκνωση. Ο αλγόριθµος Nelder-Mead (1965) περιγράφεται από τα εξής βήµατα: Έστω ότι στην αρχή της k επανάληψης είναι γνωστές οι n + 1 κορυφές του απλόκου, {x 1, x 2,, x n+1 }, και οι αντίστοιχες τιµές της στοχικής συνάρτησης, {f 1 (x), f 2 (x),, f n+1 (x)}. Οι κορυφές τοποθετούνται σε αύξουσα σειρά, ως προς τη τιµή της στοχικής συνάρτησης, και εντοπίζεται η καλύτερη λύση, x 1,η χειρότερη λύση, x n+1, καθώς και η αµέσως χειρότερη λύση, x n. f ( x) f ( x)... f ( x ) f + ( x) (14) 1 2 n n 1 Υπολογίζεται το κεντροειδές, x,των n καλύτερων κορυφών σύµφωνα µε τη σχέση: 1 n j n j = 1 x = x (15) Εκτελείται ένα βήµα ανάκλασης της χειρότερης κορυφής, x n+1, ως προς το κεντροειδές, x, µέσω της σχέσης: x = 2x x (16) r n+ 1 και υπολογίζεται η τιµή της στοχικής συνάρτησης, f r = f(x r ), στο νέο σηµείο. Από αυτό το σηµείο και έπειτα, ο αλγόριθµος ακολουθεί διαφορετικά βήµατα ανάλογα µε τη τιµή της f r. Στις περισσότερες περιπτώσεις, ο αλγόριθµος αντικαθιστά τη χειρότερη κορυφή από ένα καλύτερο σηµείο, ενώ στη περίπτωση που δεν επιτυγχάνεται βελτίωση της λύσης το άπλοκο συρρικνώνεται γύρω από την τρέχουσα καλύτερη λύση γεγονός που σηµατοδοτεί τον εντοπισµό της γειτονιάς κάποιου στάσιµου σηµείου. Παραδοτέο Σελίδα 22

26 Αν, f r < f 1, δηλαδή η τιµή της συνάρτησης στη νέα κορυφή είναι καλύτερη από την τρέχουσα βέλτιστη τιµή, εκτελείται επέκταση προς την κατεύθυνση βελτίωσης της συνάρτησης που έχει εντοπιστεί. Το νέο σηµείο, x e, προκύπτει από τη σχέση: x = 2x x e r (17) Υπολογίζεται η τιµή της στοχικής συνάρτησης, f e = f(x e ), στο νέο σηµείο. Αν το νέο σηµείο είναι καλύτερο από το σηµείο που προέκυψε από ανάκλαση, δηλαδή f e < f r, τότε γίνεται αποδεκτό το σηµείο επέκτασης, x e,που αντικαθιστά την χειρότερη κορυφή, x n+1. Σε αντίθετη περίπτωση η χειρότερη κορυφή αντικαθίσταται από το σηµείο ανάκλασης, x r. Αν, f n < f r < f n+1, δηλαδή το σηµείο ανάκλασης, x r, είναι καλύτερο από το χειρότερο σηµείο, x n+1, αλλά χειρότερο από το αµέσως επόµενο χειρότερο σηµείο, x n, τότε πραγµατοποιείται εξωτερική συµπίεση του απλόκου, µε εφαρµογή τη σχέσης: x = x+ 0.5( x x ) (18) c Υπολογίζεται η τιµή της στοχικής συνάρτησης, f c = f(x c ), στο νέο σηµείο και αν f c < f r, τότε το νέο σηµείο, x c, γίνεται αποδεκτό και αντικαθιστά την χειρότερη κορυφή. Αν f r > f n+1, δηλαδή το νέο σηµείο είναι χειρότερο ακόµα και από τη τρέχουσα χειρότερη κορυφή, το άπλοκο εκτελεί εσωτερική συµπίεση, σύµφωνα µε τη σχέση: r x = x 0.5( x x ) (19) c Υπολογίζεται η τιµή της στοχικής συνάρτησης, f c = f(x c ), στο νέο σηµείο και εφόσον f c < f n+1, το νέο σηµείο, x c, γίνεται αποδεκτό και αντικαθιστά την χειρότερη κορυφή. Στην περίπτωση που κατά τα δυο προηγούµενα βήµατα δεν προκύψει σηµείο που να βελτιώνει την τιµή της στοχικής συνάρτησης, εκτελείται συρρίκνωση δηλαδή συµπίεση των κορυφών {x 2,, x n+1 } προς την κατεύθυνση της καλύτερης κορυφής x 1. Οι n κορυφές συρρικνώνονται σύµφωνα µε τη σχέση: r x = 0.5( x + x ) (20) s j 1 Η επιτυχία του κλασικού αλγορίθµου Nelder-Mead αποδεικνύεται από τις χιλιάδες αναφορές που τυγχάνει το πρωτότυπο άρθρο σε διαφορετικούς επιστηµονικούς τοµείς και εφαρµογές (Lewis et al., 2000). Τόσο η Torczon (1991) όσο και οι Lewis et al. (2000) επισηµαίνουν πως ο εν λόγω αλγόριθµος είναι ταχύτερος από οποιαδήποτε άλλη τεχνική άµεσης αναζήτησης. Στην ίδια διαπίστωση προχωρά και ο McKinnon (1998). Ωστόσο, οι παραπάνω µελετητές επισηµαίνουν µια σειρά από απλά µαθηµατικά προβλήµατα (κυρτών Παραδοτέο Σελίδα 23

27 συναρτήσεων) στα οποία ο αλγόριθµος αποτυγχάνει παταγωδώς, συγκλίνοντας σε µη στάσιµα σηµεία. Ταυτόχρονα, ως αδυναµία αντιµετωπίζεται και η µη ύπαρξη θεωρητικής τεκµηρίωσης για τη σύγκλιση της µεθόδου, γεγονός που αποδίδεται στην µεταβολή του σχήµατος και του όγκου του απλόκου (McKinnon, 1998; Torczon, 1991; Lagarias et al. 1996; Kelley, 1999). Για την περαιτέρω βελτίωση του αρχικού αλγορίθµου Nelder-Mead και την εξάλειψη των αδυναµιών που αυτός παρουσιάζει, έχουν κατά καιρούς προταθεί διάφορες τροποποιήσεις, πολλές από τις οποίες αφορούν σε προβλήµατα βελτιστοποίησης στοχαστικών µοντέλων προσοµοίωσης συνεχών µεταβλητών. Οι τροποποιήσεις αυτές αφορούν κατά κύριο λόγω την προστασία της διαδικασίας αναζήτησης από την επικράτηση του θορύβου, καθώς και σε τεχνικές που έχουν ως στόχο τον εντοπισµό και περιορισµό του. Παρά το γεγονός ότι ο αλγόριθµος απλόκου Nelder-Mead αρχικά αναπτύχθηκε για ντετερµινιστικές στοχικές συναρτήσεις, συχνά εφαρµόζεται τόσο σε προβλήµατα βαθµονόµησης στοχαστικών µοντέλων όσο και σε προβλήµατα στοχικών συναρτήσεων µε τη παρουσία θορύβου (Tomick, 1985; Barton and Ivey, 1996). Το πλεονέκτηµα του αλγορίθµου Nelder-Mead έναντι άλλων µεθόδων άµεσης αναζήτησης, έγκειται στο ότι οι κανόνες διερεύνησης, και άρα η πορεία που θα ακολουθήσει ο αλγόριθµος, δεν βασίζονται στις απόλυτες τιµές της συνάρτησης αλλά στη σχετική διάταξη αυτών. Συνεπώς, οι µικρές στοχαστικές διαταραχές (perturbations), που δεν προκαλούν αλλαγές στην κατάταξη των λύσεων, έχουν µικρή επίδραση στην απόδοση του αλγορίθµου (Barton and Ivey, 1996). Ωστόσο, όταν η διαφορά στις τιµές των λύσεων οφείλεται κατά κύριο λόγο στο στοχαστικό κοµµάτι της συνάρτησης, η πιθανότητα σύγκλισης σε ένα µη στάσιµο σηµείο αυξάνει. Η τελευταία περίπτωση συναντάται συχνά όταν το άπλοκο, ύστερα από διαδοχικές συρρικνώσεις και συµπιέσεις, έχει φτάσει σε κάποια περιοχή της επιφάνειας απόκρισης που είναι σχετικά επίπεδη (συνήθως στη γειτονιά κάποιου στάσιµου σηµείου). Εκτενή ανάλυση πάνω στους µηχανισµούς που οδηγούν σε εσφαλµένη σύγκλιση του αλγορίθµου Nelder-Mead, υπό το καθεστώς θορύβου έχει γίνει από τους Barton and Ivey (1996). Οι δυο ερευνητές, µελέτησαν τις πιθανότητες µετάβασης για τις διάφορες κινήσεις του απλόκου (π.χ. πιθανότητα να εκτελεστεί συρρίκνωση στο βήµα k, όταν στο βήµα k-1 έχει εκτελεστεί συµπίεση) και έδειξαν πως στη περίπτωση που στη διαδικασία κυριαρχεί ο θόρυβος, η πιθανότητα να µειωθεί ο όγκος του απλόκου είναι διπλάσια από την πιθανότητα να αυξηθεί. Ταυτόχρονα, η πιθανότητα εµφάνισης είτε συρρίκνωσης είτε συµπίεσης από τα πρώτα στάδια του αλγορίθµου είναι µεγάλη και αυξάνει ραγδαία µε το πέρας των επαναλήψεων. Τα παραπάνω έχουν ως αποτέλεσµα το άπλοκο να χάνει τον όγκο του, και άρα την ικανότητα να κινείται αποτελεσµατικά, από τα πρώτα στάδια των επαναλήψεων. Για την προσαρµογή του κλασικού αλγορίθµου Nelder-Mead σε προβλήµατα που είναι έντονη η παρουσία θορύβου, έχουν κατά καιρούς προταθεί διάφορες βελτιώσεις. Οι σηµαντικότερες και πιο αποτελεσµατικές από αυτές είναι η προσαρµογή του αρχικού όγκου του απλόκου, οι διαδοχικές εκτελέσεις του αλγορίθµου µε χρήση της κορυφής που Παραδοτέο Σελίδα 24

28 προέκυψε ως βέλτιστη από την προηγούµενη προσπάθεια, και η προσαρµογή του συντελεστή συρρίκνωσης. Για τη µείωση της πιθανότητας να εκτελεστεί συµπίεση ή συρρίκνωση του απλόκου κατά τα αρχικά στάδια επαναλήψεων οι Barton και Ivey (1991) προτείνουν και αξιολογούν τρεις διαφορετικές τακτικές που βελτιώνουν την απόδοση του αλγορίθµου. Η πρώτη αφορά στον επαναϋπολογισµό της καλύτερης κορυφής του απλόκου, x 1, πριν την εκτέλεση συρρίκνωσης. Η τεχνική αυτή επαναφέρει το άπλοκο σε κάποια αρχική κατάσταση και αποτρέπει την κυριαρχία κάποιας λύσης που έχει χαρακτηριστεί ως βέλτιστη, λόγω του θορύβου ή λόγω κάποιας λανθασµένης µέτρησης. Η τακτική αυτή είναι παρόµοια µε το κανόνα n+1 που υιοθετούν οι Spendley et al. (1962), σύµφωνα µε τον οποίον αν η τρέχουσα βέλτιστη λύση δεν έχει αντικατασταθεί από κάποια καλύτερη έπειτα από n + 1 δοκιµές, τότε εκτελείται επαναϋπολογισµός της τιµής αυτής. Η ίδια λογική ακολουθείται και για τη συµπίεση, µε επαναϋπολογισµό των τιµών της συνάρτησης για τις κορυφές x r και x n. Τέλος, η χρήση συντελεστών συρρίκνωσης µε τιµές µεγαλύτερες του 0.5 (π.χ. 0.75, 0.90) αποσκοπεί στο να διατηρηθεί ο όγκος του απλόκου σχετικά µεγάλος, τουλάχιστον κατά τα πρώτα στάδια της αναζήτησης. Ο αλγόριθµος που προτάθηκε από τους Barton and Ivey (1996) ονοµάστηκε RS9 και υιοθετεί τον επαναϋπολογισµό της τρέχουσας βέλτιστης τιµής πριν την εκτέλεση συρρίκνωσης, και συντελεστή συρρίκνωσης ίσο µε 0.9. Οι Tomick, Arnold and Barton (1995) επιχείρησαν την περαιτέρω βελτίωση του αλγορίθµου RS9, λαµβάνοντας µέτρα για τη µείωση της επικράτησης του θορύβου στη διαδικασία αναζήτησης. Προς αυτή την κατεύθυνση, για την εύρεση της επίδοσης, f i (x), κάθε κορυφής i του απλόκου εκτέλεσαν επαναλαµβανόµενες σηµειακές δειγµατοληψίες. Τελικά, η τιµή της στοχικής συνάρτησης προκύπτει ως ο µέσος όρος των ανεξάρτητων δειγµάτων. Το µήκος του δείγµατος που παράγεται δεν είναι σταθερό αλλά µεταβάλλεται σε κάθε επαναληπτικό βήµα σύµφωνα µε κάποιο στατιστικό έλεγχο που εξετάζει τη διασπορά των τιµών της συνάρτησης στις κορυφές του απλόκου. Όπως αποδείχτηκε µια τέτοια προσέγγιση υπερτερεί τόσο του κλασικού αλγορίθµου όσο και του αλγορίθµου RS9 (Tomick et al., 1995). Οι Humphrey and Wilson (2000) για την βαθµονόµηση στοχαστικών µοντέλων προσοµοίωσης πρότειναν ένα σχήµα βελτιστοποίησης το οποίο ενσωµατώνει τρεις διαδοχικές ανεξάρτητες εκτελέσεις (φάσεις) του αλγορίθµου Nelder-Mead. Οι τρεις λύσεις που προκύπτουν συγκρίνονται, και ως βέλτιστη λύση για το πρόβληµα επιλέγεται η καλύτερη εξ αυτών. Στην αρχή της διαδικασίας, οι κορυφές του απλόκου παράγονται µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να µεγιστοποιείται ο όγκος του, ενώ στην αρχή των επόµενων φάσεων η παραγωγή των κορυφών γίνεται µε σηµείο αναφοράς τη βέλτιστη λύση της προηγούµενης φάσης. Με αυτό τον τρόπο η βέλτιστη λύση της προηγούµενης δοκιµής προστατεύεται και το άπλοκο ξεκινά την αναζήτηση κοντά στη γειτονία κάποιου ακρότατου. Τέλος, για κάθε φάση υιοθετείται διαφορετικός συντελεστής συρρίκνωσης. Αρχικά, η τιµή του συντελεστή ταυτίζεται µε αυτή του κλασικού αλγορίθµου Nelder-Mead, δηλαδή ίση µε 0.5, ενώ στις δυο επόµενες φάσεις ο συντελεστής παίρνει τιµές 0.7 και 0.9, αντίστοιχα. Με τη τροποποίηση αυτή αποφεύγεται η σύγκλιση σε κάποιο µη βέλτιστο σηµείο λόγω επικράτησης του θορύβου. Παραδοτέο Σελίδα 25

29 Μια άλλη τεχνική άµεσης αναζήτησης βασιζόµενη στο άπλοκο είναι η µέθοδος πολυδιάστατης αναζήτησης (multi-directional search). Η µέθοδος αυτή διατυπώθηκε από την Torczon (1991) και στην πραγµατικότητα αποτελεί µια παραλλαγή του κλασικού αλγορίθµου Nelder-Mead. Η εµπειρική σύγκριση της αποτελεσµατικότητας των δυο αλγορίθµων έδειξε πως η µέθοδος πολυδιάστατης αναζήτησης είναι πιο αποτελεσµατική σε προβλήµατα που η στοχική συνάρτηση υπόκειται σε θόρυβο ή σφάλµατα (Arnold και Beyer, 2003). Η Torczon (1991) παρατήρησε πως το κύριο πρόβληµα του αλγορίθµου Nelder-Mead είναι ο γρήγορος εκφυλισµός του απλόκου, που έχει σαν αποτέλεσµα τη σύγκλιση της µεθόδου σε µη στάσιµα σηµεία. Για αυτό το λόγο, στον αλγόριθµο που προτείνει οι κορυφές του απλόκου παραµένουν αναλλοίωτες και µεταβάλλεται µόνο το σχήµα του. Σε κάθε επανάληψη ολόκληρο το άπλοκο (όχι µόνο µια κορυφή όπως στον αλγόριθµο Nelder- Mead) είτε ανακλάται είτε περιστρέφεται είτε συµπιέζεται. Συνεπώς, κάθε επανάληψη απαιτεί τον υπολογισµό της στοχικής συνάρτησης 2n + 1 φορές. Οι Arnold and Beyer (2003) µελετώντας την επίδοση του αλγορίθµου στη σφαιροειδή συνάρτηση παρατήρησαν πως ο αλγόριθµος πολυδιάστατης αναζήτησης µπορεί να µην εκφυλίζεται µε την παρουσία θορύβου, αλλά δεν συγκλίνει µε σιγουριά σε κάποιο σηµείο. Αυτό οφείλεται στην τακτική επέκτασης/συµπίεσης της µεθόδου, σύµφωνα µε την οποία η κίνηση της επέκτασης είναι αποδεκτή εφόσον τουλάχιστον µια από τις n καινούργιες κορυφές που παράγονται τόσο από επέκταση όσο και από ανάκλαση βελτιώνουν τη τρέχουσα λύση. Για µεγάλη ένταση του θορύβου και για µεγάλες διαστάσεις του προβλήµατος η πιθανότητα να συµβεί αυτό είναι πολύ µεγάλη. Συνεπώς, κάτω από αυτές τις συνθήκες η µέθοδος εκτελεί πιο συχνά επέκταση από ότι συµπίεση. Γενικότερα, η µέθοδος πολυδιάστατης αναζήτησης κρίνεται αποτελεσµατικότερη για την εξερεύνηση επίπεδων και οµαλών επιφανειών απόκρισης, ενώ σε περιπτώσεις ανώµαλων επιφανειών όπου η προσαρµογή του απλόκου είναι δύσκολη παρουσιάζει δυσκολίες. 7 Εξελικτικοί αλγόριθµοι βελτιστοποίησης 7.1 Εισαγωγή Μια ευρέος διαδεδοµένη κατηγορία αλγορίθµων βελτιστοποίησης είναι οι εξελικτικοί αλγόριθµοι (ΕΑ). Οι ΕΑ αποτελούν υποκατηγορία στοχαστικών µεθόδων αναζήτησης, το πεδίο εφαρµογής των ΕΑ ποικίλει από προβλήµατα αναζήτησης, βελτιστοποίησης και µηχανικής έως βιοµηχανικές εφαρµογές (Holland, 1975; Goldberg, 1989). Κύριο χαρακτηριστικό των ΕΑ είναι η χρήση ενός πληθυσµού λύσεων ο όποιος εξελίσσεται κάνοντας χρήση κάποιον τελεστών εξέλιξης/διαφοροποίησης. Καταυτόν τον τρόπο οι λύσεις διαφοροποιούνται µεταξύ τους κατά την διάρκεια των επαναλήψεων έτσι ώστε ο αλγόριθµος να καταλήξει σε µια βέλτιστη λύση. Στόχος των ΕΑ είναι η εύρεση της ολικής βέλτιστης λύσης και ταυτόχρονα η αποφύγει εγκλωβισµού σε τοπικά ακρότατα (τοπικά βέλτιστες λύσεις). Το Σχήµα 7-1 παρουσιάζει µια ταξινόµηση µεθόδων βελτιστοποίησης. Παραδοτέο Σελίδα 26

30 Σχήµα 7-1. Ταξινόµηση µεθόδων βελτιστοποίησης Σηµαντικά πλεονεκτήµατα των ΕΑ είναι ότι 1) έχουν διευρυµένο πεδίο εφαρµογής και είναι κατάλληλοι για προβλήµατα υψηλής πολυπλοκότητας (γραµµικά ή µη) λόγω τον εξελικτικών στρατηγικών που ενσωµατώνουν και επιπρόσθετα η φύση του προβλήµατος δεν επηρεάζει σηµαντικά την ταχύτητα σύγκλισης τους. Αντίθετα οι συµβατικές µέθοδοι έχουν περιορισµένο πεδίο εφαρµογής (όπως για παράδειγµα οι µέθοδοι επίλυσης γραµµικών προβληµάτων εφαρµόζονται σε γραµµικά προβλήµατα). 2) εν είναι απαραίτητη η ανάπτυξη υποθέσεων για τον χώρο ορισµού του προβλήµατος. 3) Είναι κατάλληλοι για προβλήµατα τύπου «µαύρου κουτιού (Black box models)» δηλαδή δεν διαθέτουν αναλυτική µαθηµατική λύση. 4) Μπορούν να εκµεταλλευτούν σύγχρονες υπολογιστικές τεχνικές για την αυξήσουν την απόδοση τους και άρα να µειώσουν τον χρόνο εύρεσης της βέλτιστης λύσης π.χ. συστάδες υπολογιστών (παραλληλισµός ΕΑ). 7.2 Η δοµή ενός εξελικτικού αλγόριθµου Η γενική δοµή ενός ΕΑ στηρίζεται στη λογική πως σε κάποιον πληθυσµό ατόµων (individuals) ασκείτε πίεση από το «περιβάλλον» και έτσι προκαλείτε η φυσική επιλογή του καταλληλότερου (επιβίωση) ατόµου. Αυτό οδηγεί στην αύξηση της καταλληλότητας (fitness) του πληθυσµού. Όσον αφορά τη βελτιστοποίηση η καταλληλότητα εκφράζεται µέσο της αντικειµενικής συνάρτησης (objective function). Με αυτή τη λογική λύσεις οι οποίες παρουσιάζουν υψηλή καταλληλότητα επιλέγονται από τον αλγόριθµο για να εξελιχθούν και να δηµιουργήσουν την επόµενη γενιά. Η δηµιουργία της επόµενης γενιάς γίνεται κατά κανόνα µε χρήση µαθηµατικών τελεστών, όπως επανασυνδιασµό (recombination) και µετάλλαξη (mutation). Καταυτόν τον τρόπο δηµιουργείται ένα νέο σύνολο λύσεων (offsprings) το οποίο ανταγωνίζεται το αρχικό (parents). Όπως αναφέρθηκε και προηγούµενος οι λύσεις που θα αποτελούν το νέο σύνολο της επόµενης γενιάς αξιολογούνται βάση της καταλληλόλητας τους η οποία προκύπτει από την αντικειµενική συνάρτηση. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνετε εωσότου βρεθεί η βέλτιστη λύση. Οι ΕΑ εντάσσονται στην κατηγορία των στοχαστικών αλγορίθµων µιας και πολλά από τα στοιχεία που τους απαρτίζουν είναι στοχαστικά. Π.χ. τα άτοµα τα οποία θα µεταλλαχθούν επιλέγονται τυχαία ή κατά τη διαδικασία επιλογής για επανασυνδιασµό τα άτοµα µε µεγαλύτερη καταλληλότατα έχουν περισσότερες πιθανότητες να επιλεχθούν. Παραδοτέο Σελίδα 27

31 7.3 Βιβλιογραφική ανασκόπηση ΕΑ βελτιστοποίησης στη διαχείριση υδατικών πόρων Στον τοµέα της διαχείρισης των υδατικών πόρων, και στον ακαδηµαϊκό χώρο τα τελευταία χρόνια στην Ελλάδα έχουν γίνει τρεις διδακτορικές διατριβές που προσπαθούν να λύσουν ένα σχετικό πρόβληµα, αποκλειστικά ή µη µε ΕΑ. Η Πεταλά (2004) χρησιµοποίησε ΕΑ για τη βελτιστοποίηση της διαχείρισης υπόγειων υδροφορέων. Με συνδυασµό της µεθόδου των οριακών στοιχείων και ΕΑ βελτιστοποιήθηκε η απόληψη νερού από γεωτρήσεις ώστε να µην παρατηρείται το φαινόµενο της υφαλµύρωσης. Ο Ευστρατιάδης (2008) ανέπτυξε εξελικτικά σχήµατα για την αντιµετώπιση ενός πολύ επίκαιρου προβλήµατος στην επιστήµη των υδατικών πόρων, της βαθµονόµησης των υδρολογικών µοντέλων µε βάση πολλά κριτήρια αξιολόγησης της αποδοτικότητάς τους. Ακόµη, ο Παναγόπουλος (2010) προτείνει µία νέα µεθοδολογία, βασισµένη σε εξελικτικές µεθόδους πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης, µε σκοπό τον περιορισµό της ρύπανσης των επιφανειακών υδάτων λεκάνης απορροής από τις αγροτικής προέλευσης ενώσεις θρεπτικών του αζώτου νιτρικών (Ν-ΝΟ3) και του φωσφόρου (P). Πέραν του Ελλαδικού χώρου η χρήση αλγορίθµων βελτιστοποίησης στους υδατικούς πόρους είναι ιδιαίτερα διαδεδοµένη. Οι Labadie (2004), Baltar (2007), Nicklow et al. (2010) και Adeyemo (2011) παρουσιάζουν σε δηµοσιεύσεις τους εκτενείς ανασκοπήσεις εφαρµογών ΕΑ σε ζητήµατα διαχείρισης υδατικών πόρων. Οι Oliveira και Loucks (1997) προτείνουν µια προσέγγιση για τον προσδιορισµό των κανόνων λειτουργιάς ταµιευτήρων κάνοντας χρήση ΕΑ και καταλήγουν στον συµπέρασµα πως η χρήση ΕΑ βοήθα στο να ξεπεραστούν προβλήµατα που αντιµετωπίζονταν µε την χρήση παραδοσιακών µαθηµατικών µεθόδων. Επίσης ο Chen το 2003 επιτυχώς έκανε χρήση ΕΑ σε συνδυασµό µε ένα µοντέλο προσοµοίωσης ταµιευτήρων για την βελτιστοποίηση των δεκαήµερων κανόνων λειτουργιάς ενός συστήµατος ταµιευτήρων στην Ταιβάν. Ο Tang et al. (2005) παρουσιάζει µια ανασκόπηση πολυκριτηριακών αλγόριθµων µε πεδίο εφαρµογής την βαθµονόµηση υδρολογικών µοντέλων. Οι Reis et al. (2005 και 2006) έκαναν χρήση ΕΑ σε συνδυασµό µε γραµµικό προγραµµατισµό για τον καθορισµό της βέλτιστης λειτουργίας ενός συστήµατος ταµιευτήρων. Οι Kim et al. (2006) βελτιστοποίησαν µε τη βοήθεια ΕΑ ένα σύστηµα πολλαπλών ταµιευτήρων µε αντικρουόµενα κριτήρια. Ακόµη οι Makropoulos C. και Butler D. το 2005 παρουσίασαν σε άρθρο τους µια υπολογιστική τεχνική για την επίλυση χωρικών πολυκριτηριακών προβληµάτων στον τοµέα της αστικής διαχείρισης υδάτων. Οι Farmani R. et al. το 2006 έκαναν χρήση ΕΑ για τον σχεδιασµό και την επιχειρησιακή λειτουργία δικτύων διανοµής νερού. Επίσης οι Preis και Ostfeld το 2007 χρησιµοποίησαν ΕΑ για να προβλέψουν την απορροή και ποιότητα των υδάτων σε επίπεδο λεκάνης απορροής. Ακόµη ο Chang (2008) έκανε χρήση των ΕΑ για τη βελτιστοποίηση ενός ταµιευτήρα στην Ταιβάν έναντι των πληµµύρων. Τα αποτελέσµατα έδειξαν πως η χρήση του ΕΑ µπορούσε να µειώσει τις ζηµιές από τις πληµµύρες ενώ ταυτόχρονα βοηθούσε στην αύξηση των αποθεµάτων του ταµιευτήρα για µελλοντική χρήση. Ακόµη οι Di Pierro et al. το 2009 µε τη βοήθεια των ΕΑ διεξήγαγαν πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση για τον βέλτιστο σχεδιασµό δικτύων διανοµής νερού. Τα αποτελέσµατα της µελέτης έδειξαν πως η χρήση των ΕΑ θα µπορούσε να επεκταθεί στον σχεδιασµό µεγάλων Παραδοτέο Σελίδα 28

32 υδρευτικών δικτύων. Τέλος οι Tsoukalas and Makropoulos, 2012 χρησιµοποίησαν έναν πολυκριτηριακό ΕΑ σε συνδυασµό µε το υδρολογικό/διαχειριστικό µοντέλο WEAP21 για την βελτιστοποίηση συστήµατος ταµιευτήρων και εξέτασαν την αποδοτικότητα τους υπό συνθήκες αβεβαιότητας. 8 Βελτιστοποίηση µε χρήση Γενετικών αλγόριθµών 8.1 Ιστορικά Η πρώτη εµφάνιση των Γενετικών Αλγορίθµων (ΓΑ) χρονολογείται στις αρχές του 1950 όταν διάφοροι επιστήµονες από το χώρο της βιολογίας αποφάσισαν να χρησιµοποιήσουν υπολογιστές στην προσπάθειά τους να προσοµοιώσουν πολύπλοκα βιολογικά συστήµατα (Γεωργόπουλος κ.α., 1999). Η συστηµατική τους ανάπτυξη όµως, που οδήγησε στην µορφή µε την οποία είναι σήµερα γνωστοί, πραγµατοποιήθηκε στις αρχές του 1970 από τον John Holland (Holland, 1975) και τους συνεργάτες του στο Πανεπιστήµιο του Michigan, σε µια προσπάθεια να αντιµετωπιστούν προβλήµατα βασισµένα στις αρχές της αποτίµησης και της κληρονοµικότητας. Οι Γενετικοί Αλγόριθµοι αποτελούν ένα µαθηµατικό εργαλείο µε ευρύ πεδίο εφαρµογής και διέπονται από τεχνικές βελτιστοποίησης που βασίζονται στις αρχές της φυσικής επιλογής και της γενετικής (Goldberg, 1989). Οι γενετικοί αλγόριθµοι δεν απαιτούν γνώση ή πληροφορία για την κλίση του χώρου αναζήτησης και δεν επηρεάζονται από πιθανές ασυνέχειες στο χώρο αναζήτησης και είναι πολύ αποτελεσµατικοί σε µεγάλης κλίµακας προβλήµατα βελτιστοποίησης, ιδίως όταν οι σχετικές συναρτήσεις παρουσιάζουν πολλά ακρότατα ή ασυνεχείς παραγώγους (Michalewicz, 1996). Η αξία της µεθόδου έγκειται στην απλότητα και την ικανότητα της να χρησιµοποιείται αποτελεσµατικά σε διάφορες επιστηµονικές έρευνες από οικονοµολόγους, χηµικούς, µαθηµατικούς και µηχανικούς. 8.2 Η θεωρία Εξέλιξης των ειδών και η σχέση των ΓΑ µε αυτή Η θεωρία της Εξέλιξης των Ειδών (Evolution of Species), που αναπτύχθηκε από τον αρβίνο στα µέσα του περασµένου αιώνα, προκάλεσε µεγάλη αναστάτωση, αφού ερχόταν σε σύγκρουση µε τις επικρατούσες θρησκευτικές αντιλήψεις περί προέλευσης της ζωής. Με την πάροδο ενός και πλέον αιώνα, ο θόρυβος αυτός δεν έχει κοπάσει πλήρως, όµως η θεωρία έχει γίνει αποδεκτή από το σύνολο των επιστηµόνων γιατί κατόρθωσε να πείσει και να δώσει ικανοποιητικές απαντήσεις σε θεµελιώδη ερωτήµατα. Σκοπός της θεωρίας αυτής είναι να δώσει µια εξήγηση για το φαινόµενο της ζωής, την προέλευσή της και τις βασικές λειτουργίες της. Με δεδοµένο το ότι η βασική ιδέα που κρύβεται πίσω από τους ΓΑ είναι η µίµηση των µηχανισµών της φύσης, τα κυριότερά σηµεία της θεωρίας εξέλιξης των ειδών που σχετίζονται και ερµηνεύουν τον τρόπο λειτουργίας των ΓΑ είναι τα εξής : εν υπάρχει αντικειµενική βάση διαχωρισµού των ζωντανών οργανισµών σε ανώτερους και κατώτερους. Παραδοτέο Σελίδα 29

33 Σε κάθε βιολογικό είδος, µερικά άτοµα αφήνουν περισσότερους απογόνους σε σύγκριση µε τα υπόλοιπα και έτσι τα κληροδοτούµενα χαρακτηριστικά των αναπαραγωγικά επιτυχηµένων ατόµων γίνονται περισσότερα στην επόµενη γενιά. Οι δυσκολίες, τα εµπόδια και οι αντιξοότητες που παρουσιάζονται κατά τη διάρκεια της ζωής των οργανισµών είναι οι παράγοντες που καθορίζουν ποιοι από αυτούς θα κατορθώσουν να επιζήσουν και να πολλαπλασιαστούν. Έτσι, µε την αλλαγή του περιβάλλοντος και των συνθηκών διαβίωσής τους, αλλάζουν και τα χαρακτηριστικά τους, προσπαθώντας να προσαρµοστούν κάθε φορά, µε στόχο την εξασφάλιση της επιβίωσής τους. Αυτή η αλλαγή όµως, που συµβαίνει στα χαρακτηριστικά των ατόµων, είναι αλλαγή στα χρωµοσώµατά τους (chromosomes), που είναι πολύπλοκα οργανικά µόρια που κωδικοποιούν τη δοµή και τα χαρακτηριστικά τους. Τα χρωµοσώµατα αποτελούνται από µικρότερα µέρη, γνωστά ως γονίδια (genes). Το σύνολο της γενετικής πληροφορίας που είναι κωδικοποιηµένο στα γονίδια ονοµάζεται γονότυπος (genotype). Η δηµιουργία ενός νέου οργανισµού περιλαµβάνει την αποκωδικοποίηση των χρωµοσωµάτων. Το αποκωδικοποιηµένο περιεχόµενο ενός συγκεκριµένου χρωµοσώµατος καλείται φαινότυπος (phenotype). Κυρίαρχες λειτουργίες του φαινοµένου της εξέλιξης είναι η διασταύρωση (crossover) και η µετάλλαξη (mutation). Κατά τη µετάλλαξη γίνεται µε τυχαίο τρόπο αλλαγή της δοµής των χρωµοσωµάτων, συνήθως από λανθασµένη αντιγραφή βιολογικών µορίων ή από εξωγενείς παράγοντες (π.χ. ακτινοβολία), έχοντας ως άµεσο αποτέλεσµα αλλαγή σε κάποιο χαρακτηριστικό. Η µετάλλαξη µπορεί να προκαλέσει βελτιώσεις και, χωρίς αµφιβολία, µερικά λάθη που έγιναν αποτέλεσαν σηµαντικό παράγοντα για την προοδευτική εξέλιξη της ζωής. Το προϊόν της αναπαραγωγής είναι ένας νέος οργανισµός, τα χρωµοσώµατα του οποίου αποτελούνται από γονίδια που προέρχονται τα µισά από τον πατέρα και τα µισά από την µητέρα. Έτσι, για κάθε χαρακτηριστικό, το νέο άτοµο έχει πάρει ένα γονίδιο από κάθε γονέα. Μερικές φορές, τα δύο αυτά γονίδια συµφωνούν µεταξύ τους, όσον αφορά την "τιµή" που θα δώσουν στο χαρακτηριστικό, π.χ. γαλάζιο χρώµα µατιών, ενώ άλλες φορές δεν συµφωνούν, π.χ. το ένα υποδεικνύει καστανό χρώµα µατιών και το άλλο γαλάζιο. Στη δεύτερη περίπτωση, κυριαρχεί η "τιµή" ενός γονιδίου (π.χ. του καστανού), και αγνοείται η "τιµή" του άλλου, µολονότι µπορεί να περάσει σε επόµενες γενιές. Το γονίδιο που τελικά καθορίζει το χαρακτηριστικό λέγεται κυρίαρχο ή επικρατέστερο (dominant) και το άλλο υπολειπόµενο (recessive). Γονίδια που διεκδικούν την ίδια θέση σε ένα χρωµόσωµα (δηλαδή που είναι υπεύθυνα για το ίδιο χαρακτηριστικό), λέγονται αλληλόµορφα (alleles). Όλος αυτός ο µηχανισµός της φυσικής επιλογής φάνηκε ιδιαίτερα ελκυστικός για τον John Holland, πρωτοπόρο των ΓΑ, στις αρχές της δεκαετίας του '70. Ο Holland φαντάστηκε ότι κάποιες ιδέες και λειτουργίες που εφαρµόζει η φύση στα συστήµατά της θα µπορούσαν να έχουν αποτελέσµατα, αν ενσωµατώνονταν σε αλγόριθµους για υπολογιστές, ώστε να προκύψουν νέες αποδοτικές τεχνικές επίλυσης δύσκολων προβληµάτων. Αποτέλεσµα Παραδοτέο Σελίδα 30

34 αυτής της εργασίας του Ηolland ήταν οι ΓΑ, µια καινούρια εξελισσόµενη και πολλά υποσχόµενη τεχνική αναζήτησης και βελτιστοποίησης. 8.3 Η Ανατοµία ενός προγράµµατος Γενετικών Αλγορίθµων Ένας ΓΑ για ένα συγκεκριµένο πρόβληµα πρέπει να αποτελείται από τα παρακάτω πέντε συστατικά (Michalewicz, 1996);( Λυκοθανάσης, 2001): Μια γενετική αναπαράσταση των πιθανών λύσεων του προβλήµατος. Ένα τρόπο δηµιουργίας ενός αρχικού πληθυσµού των πιθανών λύσεων. Μια συνάρτηση στόχου - αξιολόγησης ( ή αποτίµησης ), που παίζει το ρόλο του περιβάλλοντος κατατάσσοντας τις λύσεις µε βάση την καταλληλότητά τους. Γενετικές λειτουργίες οι οποίες µεταβάλλουν τη σύνθεση των απογόνων. Τιµές για τις διάφορες παραµέτρους που χρησιµοποιεί ένας γενετικός αλγόριθµος όπως το µέγεθος του πληθυσµού και οι πιθανότητες εφαρµογής των γενετικών λειτουργιών. Γενετική αναπαράσταση Οι παράµετροι προς βελτιστοποίηση παριστάνονται συνήθως µε µορφή συµβολοσειράς προκειµένου να προσαρµοστούν πιο εύκολα οι γενετικές διαδικασίες. Ο τρόπος αναπαράστασης παίζει σηµαντικό ρόλο στην ακρίβεια και στον χρόνο υπολογισµού ενός γενετικού αλγορίθµου και ο συνήθης τρόπος αναπαράστασης είναι ο δυαδικός, δηλαδή συµβολοσειρές αποτελούµενες από δύο στοιχεία, το 0 και το 1. Ο αριθµός των συµβόλων της σειράς ονοµάζεται µήκος της συµβολοσειράς. Η αναπαράσταση µπορεί να γίνει επίσης χρησιµοποιώντας διάνυσµα ακέραιων ή πραγµατικών αριθµών, µε κάθε ακέραιο ή πραγµατικό αριθµό να αντιπροσωπεύει µια παράµετρο (Λυκοθανάσης, 2001). Στο Σχήµα 8-1 παρατίθενται παραδείγµατα κωδικοποίησης προβληµάτων προς επίλυση µε ΓΑ. Η πρώτη περίπτωση είναι µία δυαδική συµβολοσειρά, ενώ οι δύο επόµενες είναι απεικονίσεις πραγµατικών αριθµών (ακεραίων και δεκαδικών), που προφανώς στα αντίστοιχα προβλήµατα που αναφέρονται τα γονίδια ταυτίζονται µε τις πραγµατικές τιµές των µεταβλητών που αναπαριστούν. ηµιουργία αρχικού πληθυσµού Σχήµα 8-1. Κωδικοποίηση µεταβλητών σε ΓΑ Παραδοτέο Σελίδα 31

35 Στην αρχή της διαδικασίας βελτιστοποίησης, οι γενετικοί αλγόριθµοι απαιτούν ένα σύνολο αρχικών λύσεων, δηλαδή τη δηµιουργία ενός αρχικού πληθυσµού. Αυτό µπορεί να γίνει µε δυο τρόπους, είτε δηµιουργώντας τυχαίες λύσεις µε µια γεννήτρια τυχαίων αριθµών (αυτό συµβαίνει όταν δεν είναι γνωστή από πριν η περιοχή όπου εµφανίζεται η βέλτιστη λύση ή όταν πρόκειται να ελεγχθεί η απόδοση ενός γενετικού αλγορίθµου), είτε γνωρίζοντας την περιοχή της βέλτιστης λύσης οπότε και οδηγούµαστε σε αυτήν σε λιγότερο χρόνο. Συνάρτηση στόχου Η συνάρτηση στόχου διαδραµατίζει τον ρόλο του περιβάλλοντος αξιολογώντας τις λύσεις και τους περιορισµούς του προβλήµατος µε κριτήριο την προσαρµοστικότητά τους. Όταν οι περιορισµοί είναι κρίσιµοι και δεν επιτρέπεται να παραβιαστούν, µπορεί µε κατάλληλο σχεδιασµό είτε να απορρίπτονται από την αρχή οι λύσεις που παραβιάζουν τους περιορισµούς είτε να παίρνουν µία ποινή στη βαθµολογία τους. Εποµένως τα χρωµοσώµατα θα αναπαράγονται ή θα απορρίπτονται µε ένα επί πλέον κριτήριο βιωσιµότητας, αυτό της ικανοποίησης των περιορισµών. Γενετικές διαδικασίες Οι κυριότερες γενετικές διαδικασίες είναι η επιλογή, η διασταύρωση και η µετάλλαξη. Συχνά χρησιµοποιούνται και άλλες διαδικασίες µε συνηθέστερη αυτή της αντιµετάθεσης. Σε ένα πρόγραµµα γενετικών αλγορίθµων δεν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιηθούν όλες οι διαδικασίες καθώς κάθε µία δρα ανεξάρτητα από τις άλλες. Η επιλογή και ο σχεδιασµός των διαδικασιών εξαρτάται από το πρόβληµα και τον τρόπο αναπαράστασης. Επιλογή Ένα είδος καταλαµβάνει σε µια περιοχή µια συγκεκριµένη έκταση ανάλογα µε τα άλλα ανταγωνιστικά είδη που είναι εγκατεστηµένα στην ίδια περιοχή. Αποτελείται από έναν αριθµό ατόµων τα οποία, πολλαπλασιαζόµενα εκθετικά, δρουν µεταξύ τους επίσης ανταγωνιστικά προσπαθώντας να καταλάβουν όσο το δυνατό µεγαλύτερο χώρο στην επικράτεια τους. Όταν οι απαιτούµενοι για την ύπαρξη τους πόροι δεν θα είναι πλέον επαρκείς ο ρυθµός ανάπτυξης τους θα µειωθεί, επιφέροντας κατά κάποιο τρόπο ισορροπία στον αριθµό του αναπαραγόµενου πληθυσµού, µε αποτέλεσµα την ανάπτυξη έντονου ανταγωνισµού µεταξύ των ατόµων για την εξασφάλιση της ζωής. Η φυσική επιλογή θα ενεργήσει έτσι ώστε τα πιο εύρωστα άτοµα να επιβιώσουν και να µεταβιβάσουν το πλεονέκτηµα της ευρωστίας τους στους απογόνους τους. Αν θεωρηθεί ότι ο πληθυσµός θα παραµείνει ίδιος στην επόµενη γενιά, θα είναι ωστόσο στο σύνολο του "βελτιωµένος", αφού θα περιλαµβάνει περισσότερα άτοµα εφοδιασµένα µε το πλεονέκτηµα της προσαρµογής. Ο στόχος της διαδικασίας της επιλογής είναι να αναπαράγει περισσότερα αντίγραφα των ατόµων των οποίων οι τιµές αξιολόγησης είναι υψηλότερες από εκείνες των οποίων οι τιµές είναι χαµηλές. Αξίζει να σηµειωθεί ότι µε τη διαδικασία της επιλογής οδηγούµαστε σε µια πιο ευνοϊκή περιοχή για την εύρεση των βέλτιστων λύσεων και αυτό συµβαίνει σε σύντοµο χρονικό διάστηµα. Εντούτοις, η ποικιλοµορφία του πληθυσµού πρέπει να διατηρηθεί για να αποφευχθεί η πρόωρη τοπική σύγκλιση και για να φθάσει στη ολική βέλτιστη λύση. Στους γενετικούς αλγορίθµους εµφανίζονται κυρίως δύο διαδικασίες Παραδοτέο Σελίδα 32

36 επιλογής: η επιλογή ανάλογα µε την αξία αποτίµησης (τροχός της ρουλέτας µε άνισα διαστήµατα), (Σχήµα 8-2) και η επιλογή ανάλογα µε την κατάταξη (διαγωνισµόςtournament). Η πρώτη µέθοδος επιλογής χρησιµοποιήθηκε από τον Holland και βασίζεται στην αναλογία της αξίας αποτίµησης. Η τεχνική που χρησιµοποιείται συνήθως για να την παραστήσει είναι εκείνη της ρουλέτας µε τα άνισα διαστήµατα (Goldberg, 1989). Σύµφωνα µε αυτή, οι αξίες αποτίµησης των ατόµων εκφράζονται από τα διαστήµατα µιας νοητής ρουλέτας. Η επιλογή ενός ατόµου για την επόµενη γενιά γίνεται µε τυχαία περιστροφή της ρουλέτας µέσω της οποίας επιλέγεται ένα διάστηµα και κατά συνέπεια ένα συγκεκριµένο άτοµο. Είναι προφανές ότι οι πιθανότητες επιλογής είναι ανάλογες του εύρους του διαστήµατος, και κατά συνέπεια της αξίας του ατόµου. Αφού κάθε άτοµο έχει µια αξία, ο πληθυσµός παρουσιάζει µια συνολική αξία που προκύπτει αθροιστικά από τις αξίες των ατόµων του. Έτσι κάθε άτοµο στατιστικά θα αναπαραχθεί τόσες φορές όσες αντιστοιχούν στον λόγο της αξίας του ως προς τη συνολική αξία του πληθυσµού. Όσο µεγαλύτερη αξία έχει ένα άτοµο σε σχέση µε τη συνολική αξία, τόσους περισσότερους απογόνους θα αφήσει. Σύµφωνα µε τη δεύτερη µέθοδο επιλογής, κάθε άτοµο παράγει ένα συγκεκριµένο αριθµό απογόνων ανάλογα µε την κατάταξη της αξίας αποτίµησης του και όχι µε την τιµή. Επιλέγεται δηλαδή τυχαία ένας προκαθορισµένος αριθµός χρωµοσωµάτων και συγκρίνονται οι συναρτήσεις αξιολόγησής τους. Αυτό µε την καλύτερη τιµή περνάει στον ενδιάµεσο πληθυσµό. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για αριθµό ίσο προς το µέγεθος του αρχικού πληθυσµού, σχηµατίζοντας έτσι έναν ενδιάµεσο πληθυσµό ίσου µεγέθους προς τον αρχικό. Η µέθοδος αυτή βοηθάει στην αποτροπή φαινοµένων γρήγορης σύγκλισης. Τέλος, ας αναφερθεί ότι µε τις διαδικασίες επιλογής που προαναφέρθηκαν δεν εξασφαλίζεται πλήρως ότι το καλύτερο χρωµόσωµα θα περάσει από την προηγούµενη γενεά στον ενδιάµεσο πληθυσµό. Γι αυτό το λόγο, πολλοί κώδικες που ακολουθούν τη λεγόµενη επιλεκτική προσέγγιση (elitist approach), περιλαµβάνουν ειδική διαδικασία ενσωµάτωσης ενός τουλάχιστον αντιγράφου του καλύτερου χρωµοσώµατος στον ενδιάµεσο πληθυσµό. Αφού σχηµατισθεί ο ενδιάµεσος πληθυσµός, επιλέγονται τυχαία κάποια από τα µέλη του για να υποστούν τις διαδικασίες της διασταύρωσης και της µετάλλαξης, ενώ τα υπόλοιπα περνούν αυτούσια στην επόµενη γενιά. Σχήµα 8-2.Ρουλέτα µε άνισα διαστήµατα για την επιλογή ατόµων προς αναπαραγωγή του πληθυσµού (Λυκοθανάσης, 2001) Παραδοτέο Σελίδα 33

37 ιασταύρωση Είναι µια απλή λειτουργία (γενετικός τελεστής) ανταλλαγής γενετικού υλικού, µεταξύ δύο ατόµων (γονέων) του πληθυσµού, που ζευγαρώνουν µε τυχαίο τρόπο δηµιουργώντας έτσι δύο νέα χρωµοσώµατα. Στόχος της είναι η νέα γενιά που θα προκύψει µετά την εφαρµογή της να περιλαµβάνει άτοµα που θα διαφέρουν από τους γονείς τους και θα φέρουν συνδυασµό των καλύτερων χαρακτηριστικών τους. Κατά τη διασταύρωση αποσπώνται κοµµάτια από ένα άτοµο (γονιό) και αλλάζουν θέση µε τα αντίστοιχα κοµµάτια του άλλου ατόµου. Η διασταύρωση των γονιδίων µεταξύ δυο χρωµοσωµάτων που αποτελούν ζεύγος περιγράφεται στους Γενετικούς Αλγόριθµους ως εξής: Έστω ότι τα δύο χρωµοσώµατα- γονείς είναι οι συµβολοσειρές: Γονέας A Γονέας B και η διασταύρωση συµβαίνει στη θέση 5, δηλαδή το τµήµα των πέντε πρώτων γονιδίων θα ανταλλαγεί: Τα χρωµοσώµατα απόγονοι που θα προκύψουν είναι: Απόγονος A Απόγονος B Η διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω ονοµάζεται διασταύρωση ενός σηµείου, συχνά ωστόσο εφαρµόζεται και η διασταύρωση πολλαπλών σηµείων. Να σηµειωθεί ότι είναι τυχαίο το ποιά χρωµοσώµατα θα σχηµατίσουν ζεύγη για να διασταυρωθούν µεταξύ τους, όπως επίσης τυχαία είναι και η θέση της διασταύρωσης. Μετάλλαξη Είναι η λειτουργία (γενετικός τελεστής) που ενεργεί σε ένα µόνο χρωµόσωµα κάθε φορά. Καθώς αντιγράφονται δυαδικά ψηφία από το γονέα στον απόγονο, επιλέγεται τυχαία µε µικρή πιθανότητα - τη λεγόµενη πιθανότητα µετάλλαξης - ένα ψηφίο και αντιστρέφεται (από 0 σε 1 και το αντίστροφο). Λειτουργεί ως ασφαλιστική δικλείδα για τις περιπτώσεις, κατά τις οποίες η επιλογή ή η διασταύρωση, ενδεχοµένως, οδηγήσουν σε απώλεια κάποιων πολύτιµων γενετικών πληροφοριών. Στη φύση συµβαίνει τυχαία και µπορεί να είναι πλεονεκτική ή µη-πλεονεκτική για το άτοµο στον αγώνα του για επιβίωση, σε αντίθεση µε τη φυσική επιλογή η οποία στηρίζεται στο νόµο των πιθανοτήτων. Η Παραδοτέο Σελίδα 34

38 συσσώρευση πολλών τέτοιων µεταλλάξεων προς την κατεύθυνση της βελτίωσης οδηγεί στην εξέλιξη. Η µετάλλαξη µπορεί να συµβεί σε οποιοδήποτε γονίδιο οποιουδήποτε χρωµοσώµατος. Η πιθανότητα να συµβεί στην φύση είναι µικρότερη από 0,00001 και έπαιξε σηµαντικό ρόλο στην εξέλιξη των ειδών γιατί υπήρχε τεράστιος διαθέσιµος χρόνος για να συµβεί. Στους γενετικούς αλγορίθµους βέβαια, που αποτελούν µια προσοµοίωση της εξελικτικής διαδικασίας της φύσης, µια τόσο µικρή πιθανότητα δεν θα είχε νόηµα γιατί η συµβολή της στην εξέλιξη ενός πληθυσµού θα ήταν σχεδόν µηδαµινή. Συνήθως θεωρούµε την πιθανότητα µετάλλαξης µεταξύ 0,01 και 0,001. Η διαδικασία της µετάλλαξης οδηγεί το χρωµόσωµα στην διερεύνηση νέων περιοχών βοηθώντας έτσι τον αλγόριθµο να αποφύγει πρόωρη σύγκλιση και να ανακαλύψει την ολική βέλτιστη λύση. Στους δυαδικούς Γενετικούς Αλγορίθµους η µετάλλαξη ενός γονιδίου σηµαίνει µετατροπή τού 0 σε 1 και αντιστρόφως. Αν για παράδειγµα το χρωµόσωµα έχει τη µορφή : η τιµή του στο δυαδικό σύστηµα θα είναι ίση µε Μια µετάλλαξη που θα συνέβαινε στο δεύτερο γονίδιο του χρωµοσώµατος θα έδινε τη µεταλλαγµένη µορφή: µε τιµή Αν η αξία επιβίωσης του συγκεκριµένου χρωµοσώµατος εξαρτάται από τη µεγάλη του τιµή τότε η µετάλλαξη θα δράσει πλεονεκτικά και το µεταλλαγµένο χρωµόσωµα έχει αυξηµένες πιθανότητες να επιλεγεί στην επόµενη γενιά. Αντίθετα, αν η αξία επιβίωσης είναι ανάλογη µε τη χαµηλή τιµή όπως για παράδειγµα συµβαίνει στην περίπτωση ελαχιστοποίησης µιας συνάρτησης, τότε αυτή η µετάλλαξη για το συγκεκριµένο χρωµόσωµα δεν αποφέρει πλεονέκτηµα και οι πιθανότητες να επιβιώσει το νέο άτοµο στην επόµενη γενιά µειώνονται. Αντιµετάθεση Η αντιµετάθεση είναι µια διαδικασία για την περαιτέρω βελτίωση της απόδοσης των γενετικών αλγορίθµων και εφαρµόζεται σε ζεύγη διαδοχικών θέσεων (γονίδια) ενός χρωµοσώµατος. Μπορεί να επιλεγεί κάθε θέση εκτός της τελευταίας. Εάν µια τιµή επιλεγεί και ισούται µε 1, τότε µετατρέπεται σε 0, ενώ το επόµενο γονίδιο τίθεται αυτοµάτως ίσο µε 1. Το αντίθετο συµβαίνει εάν η επιλεχθείσα τιµή ισούται αρχικά µε 0. Αναλυτικότερα τα ακόλουθα συµβαίνουν όσον αφορά τα διάφορα ζεύγη γονιδίων: 11 µετατρέπεται σε µετατρέπεται σε µετατρέπεται σε µετατρέπεται σε 10 Παραδοτέο Σελίδα 35

39 Για τις δύο πρώτες περιπτώσεις η διαδικασία είναι ισοδύναµη της µετάλλαξης µόνο στην επιλεγµένη θέση. Στις τελευταίες όµως αντιστοιχεί σε µετάλλαξη και των δυο γονιδίων. Το τελευταίο βήµα της διαδικασίας εφαρµογής του ΓΑ σε ένα πρόβληµα βελτιστοποίησης περιλαµβάνει, εκτός από τον ορισµό των γενετικών τελεστών που περιγράφηκε, τον καθορισµό του µεγέθους του πληθυσµού και του κριτηρίου τερµατισµού της αναζήτησης. Μεγάλος πληθυσµός συνεπάγεται µεγάλη ικανότητα ψαξίµατος του εφικτού χώρου αλλά ταυτόχρονα µεγάλο υπολογιστικό φόρτο. εν υπάρχει κάποιος κανόνας που να συσχετίζει το µέγεθος του πληθυσµού µε το κάθε πρόβληµα, γενικά θα µπορούσε να λεχθεί όµως ότι ο πληθυσµός πρέπει να έχει µέγεθος αυστηρά µεγαλύτερο του αριθµού των µεταβλητών µε µία τάση ο λόγος µεταξύ των δύο να µειώνεται όσο οι µεταβλητές πληθαίνουν. Όσον αφορά το κριτήριο τερµατισµού της διαδικασίας βελτιστοποίησης, αυτό µπορεί να είναι είτε ένας συγκεκριµένος και µεγάλος αριθµός γενιών, είτε ένα ανώτατο όριο που εκφράζει το ποσοστό βελτίωσης της συνάρτησης στόχου µετά από συγκεκριµένο αριθµό παραγωγής γενιών, είτε ακόµα ένα ανώτατο όριο χρόνου, όπου δεν παρατηρείται η ελάχιστη επιθυµητή βελτίωση της συνάρτησης στόχου. Επειδή σε µία διαδικασία αναζήτησης ο ΓΑ πολύ πιθανόν να κάνει κάποιο άλµα στη βελτίωση της συνάρτησης στόχου µετά από αρκετό χρόνο, δηλαδή µετά από πολλές συνεχόµενες επαναλήψεις όπου δεν παρουσίαζε σηµαντική πρόοδο, θεωρείται ότι το πιο εγγυηµένο κριτήριο τερµατισµού για την προσέγγιση της ολικά βέλτιστης λύσης/λύσεων είναι η δηµιουργία ενός αρκετά µεγάλου αριθµού γενιών (Παναγόπουλος, 2010). Με βάση τα ανωτέρω µπορεί να γίνει µία σύνοψη και ανακεφαλαίωση της λειτουργίας των ΓΑ στο Σχήµα 8-3. Σύµφωνα µε αυτό, για τη λύση ενός προβλήµατος βελτιστοποίησης (µονό ή πολυκριτηριακό) γεννάται ένας αρχικός πληθυσµός από πιθανές λύσεις, οι οποίες αξιολογούνται ταυτόχρονα ως προς την καταλληλότητά τους µέσω της στοχικής/ων συνάρτησης/εων. Στη συνέχεια επιλέγονται µε κάποια µέθοδο τα καλύτερα άτοµα του πληθυσµού από την δεξαµενή ζευγαρώµατος, ως γονείς για ζευγάρωµα και αναπαραγωγή του πληθυσµού. Οι γενετικές διαδικασίες (διασταύρωση, µετάλλαξη) ορίζουν τον τρόπο αναπαραγωγής και τη γέννηση του νέου πληθυσµού προς αξιολόγηση, ενώ τα πιο ισχυρά άτοµα µεταφέρονται αυτούσια στο νέο πληθυσµό (ελιτισµός). Ελέγχεται το κριτήριο τερµατισµού του αλγόριθµου και η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου αυτό ικανοποιηθεί. Μετά τον τερµατισµό το άτοµο/άτοµα µε την καλύτερη επίδοση αποτελούν τη βέλτιστη/ες λύση/σεις του προβλήµατος, ενώ µετά από µεγάλο χρονικό διάστηµα ο τελικός πληθυσµός µπορεί να περιλαµβάνει πολλά αντίγραφα του καταλληλότερου ατόµου και σίγουρα άτοµα µε µεγάλο βαθµό καταλληλότητας σχεδόν στο σύνολό του (Παναγόπουλος, 2010). ηµιουργία αρχικού πληθυσµού Υπολογισµός αντικειµενικής συνάρτησης (καταλληλότητα) Εφαρµογή εξελικτικών τελεστών (Επιλογή, διασταύρωση, µετάλλαξη ελιτισµός, κ.α.) Παραδοτέο Σελίδα 36 Κριτήρια τερµατισµού? Όχι

40 Σχήµα 8-3. Τυπικό διάγραµµα ροής γενετικού αλγορίθµου (Ευστρατιάδης, 2008) 8.4 Παράγοντες έλεγχου Στους παράγοντες ελέγχου ενός γενετικού αλγορίθµου περιλαµβάνονται το µέγεθος του πληθυσµού και οι πιθανότητες διασταύρωσης και µετάλλαξης. Έχουν γίνει αρκετές έρευνες προκειµένου να προσδιοριστεί η επιρροή των παραγόντων αυτών στην απόδοση των γενετικών αλγορίθµων. Τα κύρια συµπεράσµατα είναι τα ακόλουθα: Μεγάλο µέγεθος πληθυσµού οδηγεί σε ταυτόχρονη επεξεργασία πολλών λύσεων και αυξάνει το χρόνο υπολογισµού ανά επανάληψη. Με δεδοµένη όµως την χρησιµοποίηση πολλών δειγµάτων, η πιθανότητα σύγκλισης στην βέλτιστη λύση είναι υψηλότερη από την χρησιµοποίηση µικρού µεγέθους πληθυσµού. Το ποσοστό διασταύρωσης καθορίζει τη συχνότητα της διαδικασίας διασταύρωσης. Είναι χρήσιµο στην έναρξη της διαδικασίας βελτιστοποίησης να ανακαλυφθεί µια ευνοϊκή περιοχή. Μικρή συχνότητα διασταυρώσεων µειώνει την ταχύτητα σύγκλισης σε µια τέτοια περιοχή. Αν η συχνότητα είναι πολύ µεγάλη, οδηγεί στον κορεσµό γύρω από µια λύση. Όσον αφορά την πιθανότητα µετάλλαξης, µεγάλες τιµές εισάγουν µεγάλη ποικιλοµορφία στον πληθυσµό κάτι που µπορεί να προκαλέσει αστάθεια. Αφ' ετέρου, είναι συνήθως δύσκολο για έναν γενετικό αλγόριθµο να βρει ολική βέλτιστη λύση µε πολύ µικρό ποσοστό µετάλλαξης. 8.5 Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα γενετικών αλγορίθµων Οι Γενετικοί Αλγόριθµοι έχουν πολλές εφαρµογές ιδιαίτερα σε προβλήµατα που περιγράφουν πολύπλοκά συστήµατα, είτε βιολογικά, είτε φυσικά, είτε τέλος τεχνητά. Η ευρωστία που τους χαρακτηρίζει οφείλεται στα πλεονεκτήµατα που παρουσιάζουν Παραδοτέο Σελίδα 37

41 σε σχέση µε άλλες µεθόδους βελτιστοποίησης. Τα βασικότερα είναι τα εξής (Γεωργόπουλος και Λυκοθανάσης, 1999), (Ζορµπά, 2003): Μπορούν να λύσουν δύσκολα προβλήµατα γρήγορα και αξιόπιστα. Ένας από τους σηµαντικούς λόγους χρήσης των ΓΑ είναι η µεγάλη τους αποδοτικότητα. Τόσο η θεωρία, όσο και η πράξη έχουν δείξει ότι προβλήµατα που έχουν πολλές, δύσκολα προσδιορισµένες λύσεις µπορούν να αντιµετωπιστούν καλύτερα από ΓΑ Είναι δε αξιοσηµείωτο ότι συναρτήσεις που παρουσιάζουν µεγάλες διακυµάνσεις και καθιστούν ανεπαρκείς άλλες µεθόδους στην εύρεση των ακροτάτων τους, για τους ΓΑ δεν αποτελούν σηµεία δυσχέρειας. Μπορούν εύκολα να συνεργαστούν µε τα υπάρχοντα µοντέλα και συστήµατα. Οι ΓΑ προσφέρουν το σηµαντικό πλεονέκτηµα της χρήσης τους µε προσθετικό τρόπο στα µοντέλα που χρησιµοποιούνται σήµερα, µη απαιτώντας την επανασχεδίασή τους. Μπορούν εύκολα να συνεργαστούν µε τον υπάρχοντα κώδικα, χωρίς µεγάλο κόπο. Αυτό συµβαίνει, διότι χρησιµοποιούν µόνο πληροφορίες της διαδικασίας ή συνάρτησης που πρόκειται να βελτιστοποιήσουν, δίχως να ενδιαφέρει άµεσα ο ρόλος της µέσα στο σύστηµα ή η όλη δοµή του συστήµατος. Είναι εύκολα επεκτάσιµοι και εξελίξιµοι. Όπως θα γίνει σαφές στα επόµενα κεφάλαια, οι ΓΑ δεν αντιστέκονται σε αλλαγές, επεκτάσεις και µετεξελίξεις, ανάλογα µε την κρίση του σχεδιαστή. Σε πολλές εφαρµογές, έχουν αναφερθεί λειτουργίες των ΓΑ που δεν είναι δανεισµένες από τη φύση ή που έχουν υποστεί σηµαντικές αλλαγές, πάντα προς όφελος της απόδοσης. Παραλλαγές στο βασικό σχήµα δεν είναι απλά αναγκαίες, αλλά σε ορισµένες περιπτώσεις επιβάλλονται. Μπορούν να συµµετέχουν σε υβριδικές µορφές µε άλλες µεθόδους. Αν και η ισχύς των ΓΑ είναι µεγάλη, σε µερικές ειδικές περιπτώσεις προβληµάτων, όπου άλλες µέθοδοι συµβαίνει να έχουν πολύ υψηλή αποδοτικότητα, λόγω εξειδίκευσης, υπάρχει η δυνατότητα χρησιµοποίησης ενός υβριδικού σχήµατος ΓΑ µε άλλη µέθοδο. Αυτό είναι αποτέλεσµα της µεγάλης ευελιξίας των ΓΑ Εφαρµόζονται σε πολύ περισσότερα πεδία από κάθε άλλη µέθοδο. Το χαρακτηριστικό που τους εξασφαλίζει αυτό το πλεονέκτηµα είναι η ελευθερία επιλογής των κριτηρίων που καθορίζουν την επιλογή µέσα στο τεχνικό περιβάλλον. Έτσι, ΓΑ µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην οικονοµία, στο σχεδιασµό µηχανών, στην επίλυση µαθηµατικών εξισώσεων, στην εκπαίδευση Νευρωνικών "δικτύων και σε πολλούς άλλους τοµείς. εν απαιτούν περιορισµούς στις συναρτήσεις που επεξεργάζονται. Ο κύριος λόγος που καθιστά τις παραδοσιακές µεθόδους δύσκαµπτες και ακατάλληλες για πολλά προβλήµατα είναι η απαίτησή τους για ύπαρξη προϋποθέσεων, όπως ύπαρξη παραγώγων, συνέχεια, όχι "θορυβώδεις" συναρτήσεις κ.τ.λ. Τέτοιου είδους ιδιότητες είναι αδιάφορες για τους ΓΑ πράγµα που τους κάνει κατάλληλους για µεγάλο φάσµα προβληµάτων. Παραδοτέο Σελίδα 38

42 εν ενδιαφέρει η σηµασία της υπό εξέταση πληροφορίας. Η µόνη "επικοινωνία" του ΓΑ µε το περιβάλλον του είναι η συνάρτηση στόχου. Αυτό εγγυάται την επιτυχία του ανεξάρτητα από την σηµασία του προβλήµατος. Βέβαια, δε σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν άλυτα προβλήµατα για τους ΓΑ Όπου όµως δεν τα καταφέρνουν, η αιτία είναι η φύση του χώρου που ερευνούν και όχι το πληροφοριακό περιεχόµενο του προβλήµατος. Είναι η µόνη µέθοδος που κάνει ταυτόχρονα εξερεύνηση του χώρου αναζήτησης και εκµετάλλευση της ήδη επεξεργασµένης πληροφορίας. Ο συνδυασµός αυτός σπάνια συναντάται σε οποιαδήποτε άλλη µέθοδο. Με το τυχαίο ψάξιµο γίνεται καλή εξερεύνηση του χώρου, αλλά δεν γίνεται εκµετάλλευση της πληροφορίας. Αντίθετα, µε το hill-climbing γίνεται καλή εκµετάλλευση της πληροφορίας, αλλά όχι καλή εξερεύνηση. Συνήθως τα δύο αυτά χαρακτηριστικά είναι ανταγωνιστικά και το επιθυµητό είναι να συνυπάρχουν και τα δύο προς όφελος της όλης διαδικασίας. Οι ΓΑ επιτυγχάνουν το βέλτιστο συνδυασµό εξερεύνησης και εκµετάλλευσης, πράγµα που τους κάνει ιδιαίτερα αποδοτικούς και ελκυστικούς. Επιδέχονται παράλληλη υλοποίηση. Οι ΓΑ µπορούν να εκµεταλλευτούν τα πλεονεκτήµατα των παράλληλων µηχανών, αφού λόγω της φύσης τους, εύκολα µπορούν να δεχτούν παράλληλη υλοποίηση. Το χαρακτηριστικό αυτό αυξάνει ακόµη περισσότερο την απόδοσή τους, ενώ σπάνια συναντάται σε ανταγωνιστικές µεθόδους. Ωστόσο υπάρχουν και ορισµένα µειονεκτήµατα τα οποία αναφέρονται στη συνέχεια: Η αδυναµία παροχής εγγυήσεων εύρεσης της βέλτιστης λύσης. Αυτό σηµαίνει ότι τις περισσότερες φορές, δεν υπάρχει βεβαιότητα ότι ο ΓΑ µας έδωσε την καλύτερη λύση. Ο µεγάλος αριθµός αξιολογήσεων καταλληλότητας όπως και η τυχόν πολυπλοκότητα της συνάρτησης αποτίµησης, ακριβώς επειδή αυτή υπολογίζεται για κάθε χρωµόσωµα κάθε γενιάς, συνεπάγεται σηµαντικό υπολογιστικό χρόνο. Η µη αξιοποίηση ειδικότερων πληροφοριών σ' ένα συγκεκριµένο πρόβληµα µπορεί να περιορίσει αισθητά την απόδοση της έρευνας. Προβλήµατα εξοικείωσης µε τη γενετική. Εκείνο που συµβαίνει µε τους ΓΑ είναι ότι µιµούνται µε αφαιρετικό τρόπο κάποιες διαδικασίες που παρατηρούνται στη φύση, χωρίς να ενδιαφέρει σε µεγάλο βαθµό λεπτοµέρειας η λειτουργία τους. Επιπλέον, το µέλλον και η εξέλιξη των ΓΑ δεν εξαρτώνται σε καµία περίπτωση από τις αντίστοιχες θεωρίες της Βιολογίας. Το αρχικό µοντέλο είναι δανεισµένο από εκεί, όµως η εφαρµογή του στα Τεχνητά Συστήµατα έγινε µε πλήθος διαφοροποιήσεων, προσαρµογών και "παρεκτροπών" µε στόχο πάντα τη βελτίωση της απόδοσης. Παραδοτέο Σελίδα 39

43 9 Βελτιστοποίηση µε χρήση της νοηµοσύνης των σµηνών (Swarm Intelligence) 9.1 Εισαγωγή Η συλλογική συµπεριφορά εντόµων και οργανισµών αποτέλεσε έµπνευση της νοηµοσύνη σµηνών (Swarm Intelligence-SI), η οποία αποτελεί πεδίο της Τεχνητής Νοηµοσύνης (Artificial Intelligence-AI), πιο συγκεκριµένα ασχολείται µε τη δηµιουργία ενός πλήθους αυτόνοµων παρατηρητών. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα εντόµων που λειτουργούν σε οµάδες είναι τα µυρµήγκια, οι τερµίτες, οι µέλισσες και οι σφήκες. Επίσης, τα σµήνη πουλιών και οι οµάδες ψαριών, αποτελούν αντίστοιχα παραδείγµατα ζωντανών οργανισµών που αλληλεπιδρούν µεταξύ τους και συνθέτουν µια οργανωµένη κοινωνία. Η ελλιπής γνώση του µηχανισµού συµπεριφοράς και αλληλεπίδρασης µεταξύ τους αποτέλεσαν τον λόγο που συνάρπαζαν επί δεκαετίες διάφορους ερευνητές. Ποιο συγκεκριµένα παρόλο που τα µεµονωµένα άτοµα τέτοιων ειδών δεν αποτελούν εξελιγµένες ή ιδιαίτερα ευφυής µορφές ζωής, µέσω συνεργασίας, η οµάδα, είναι σε θέση να επιτύχει περίπλοκες διαδικασίες. Η κατευθυνόµενη οµαδική συµπεριφορά αναδύεται µέσω σχετικά απλών ενεργειών και αλληλεπιδράσεων µεταξύ των ατόµων της κοινωνίας. Πολλές από τις δραστηριότητες που εκτελούνται από αυτές τις κοινωνίες είναι αυτόοργανωµένες, υπό την έννοια ότι λειτουργούν δίχως την ύπαρξη καθολικού αρχηγού ή κάποιου µηχανισµού κεντρικού ελέγχου. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελεί ο αρµονικά διατεταγµένος τρόπος που κινείται ένα σµήνος από πέρδικες, θυµίζοντας, καµιά φορά, µια αξιοθαύµαστη χορευτική χορογραφία. Κάθε µεµονωµένο άτοµο προσπαθεί να κινείται παράλληλα µε την οµάδα του, διατηρώντας τη θέση του µεταξύ των πλησιέστερων γειτόνων του, ενώ παράλληλα προσπαθεί να αποφύγει κάθε είδους σύγκρουση µε τα υπόλοιπα άτοµα. Εν ολίγοις, προσαρµόζει τις κινήσεις του ώστε να βρίσκεται διαρκώς σε συντονισµό µε το υπόλοιπο σµήνος. εν υπάρχει αρχηγός που να επιβάλλει µελλοντικό προορισµό, αντιθέτως κάθε άτοµο προσπαθεί να συντονιστεί και να προχωρήσει µόνο του. Οποιοδήποτε πουλί µπορεί να βρίσκεται στην αρχή, στη µέση ή στο τέλος της οµάδας. Η συµπεριφορά αυτή προωθεί υποσυνείδητα διάφορους µηχανισµούς όπως αυτοάµυνας (ιδιαίτερα για τα άτοµα που βρίσκονται στο µέσο) ή οµαδικής αναζήτησης τροφής (ουσιαστικά κάθε πουλί εκµεταλλεύεται τα µάτια και την παρατηρητικότητα κάθε µέλους της οµάδας). Συνοψίζοντας τα παραπάνω, η Νοηµοσύνη των Σµηνών, είναι ουσιαστικά η συλλογική νοηµοσύνη οµάδων που αποτελούνται από αυτόνοµους παρατηρητές. Οι παρατηρητές αυτοί αποτελούν υποσυστήµατα τα οποία αλληλεπιδρούν µε το περιβάλλον τους, το οποίο συνήθως περιέχει παρόµοιους (από άποψη χαρακτηριστικών) παρατηρητές, αλλά καθένας αντιδρά σχετικά ανεξάρτητα από τους υπόλοιπους. εν υφίσταται καθολικό σχέδιο ή ηγέτης της οµάδας ο οποίος να προσδιορίζει τις µελλοντικές κινήσεις της αγέλης (Blum and Li, 2008). Παραδοτέο Σελίδα 40

44 9.2 Βελτιστοποίηση µε τη µέθοδο του σµήνους πουλιών (Particle Swarm Optimisation- PSO) Ιστορικά και εισαγωγικές έννοιες Οι Kennedy και Eberhart (1995, 2001) πρότειναν για πρώτη φορά τη βελτιστοποίηση σµήνους ατόµων. Η βασική ιδέα προήλθε από την οµαδική λειτουργία σµήνους πουλιών που εντάσσεται στο ευρύτερο αντικείµενο της νοηµοσύνη Σµηνών (Swarm Intelligence- SI). Ο αλγόριθµος στηρίζεται στη συµπεριφορά και την αλληλεπίδραση των ατόµων της οµάδας πραγµατοποιώντας µια πολυδιάστατη έρευνα του χώρου λύσεων. Ο αλγόριθµος ενσωµατώνει τις έννοιες του πληθυσµού, των γενεών και της απονοµής απόδοσης σε κάθε άτοµο ξεχωριστά ακλουθώντας µια λογική παρόµοια των ΓΑ. Ορόσηµο της µεθόδου είναι πως τα άτοµα του πληθυσµού επηρεάζονται από τα γειτονικά τους καθώς και από το/α ολικό/α βέλτιστα ολόκληρου του πληθυσµού (σµήνους). Σηµαντικό πλεονέκτηµα της µεθόδου είναι πως τα άτοµα έχουν «µνήµη» και επωφελούνται από τις µέχρι τώρα εµπειρίες τους. Το χαρακτηριστικό αυτό συναντάτε και στους ΓΑ γνωστό ως ελιτισµός. Αρχικά ο αλγόριθµος PSO χρησιµοποιήθηκε για βαθµονόµηση νευρωνικών δικτύων (Eberhart et al., 1996), ωστόσο σύντοµα έγινε αρκετά δηµοφιλείς σε προβλήµατα βελτιστοποίησης πραγµατικών αριθµών (Eberhart, and Kennedy, 1995; Engelbrecht, 2002). Σύµφωνα µε Angeline (1998) και Reyes-Sierra and Coello (2006) οι δύο κύριες διαφορές µεταξύ των αλγορίθµων PSO και ενός τυπικού ΕΑ είναι οι εξής: Οι ΕΑ στηρίζονται σε τρείς µηχανισµούς: κωδικοποίηση παραµέτρων, επιλογή ατόµων και εφαρµογή εξελικτικών τελεστών. Οι αλγόριθµοι PSO στηρίζονται σε δύο µηχανισµούς µιας και δεν υπάρχει άµεσος µηχανισµός επιλογής. Ο µηχανισµός επιλογής αντικαθιστάτε από ορισµένα άτοµα του πληθυσµού (τα ως τώρα βέλτιστα) που οδηγούν την αναζήτηση. Επίσης δεν υπάρχει η έννοια των απογόνων όπως αυτή ορίζεται στους ΕΑ. Η δεύτερη διαφορά αφορά µεταξύ PSO και ΕΑ αφορά τον τρόπο που διαχειρίζονται τα άτοµα. Στους PSO αλγορίθµους χρησιµοποιείτε ο τελεστής της ταχύτητας (velocity) που καθορίζει την κατεύθυνση του ατόµου. Ο τελεστής αυτός µπορεί να παροµοιαστεί µε τον τελεστή της µετάλλαξης αλλά µε κάποια κατεύθυνση, η οποία υπολογίζεται χρησιµοποιώντας την καλύτερη θέση του συγκεκριµένου ατόµου αλλά και την καλύτερη έως τώρα θέση του πληθυσµού (σµήνους). Αν η κατεύθυνση του ατοµικού βέλτιστου είναι παρόµοια µε του οδηγού τότε η δυνητική γωνία διεύθυνσης είναι µικρή. Μία µεγάλη γωνία ευνοεί την εξερεύνηση του χώρου λύσεων. Σε αντίθεση οι ΕΑ χρησιµοποιούν τον τελεστή της µετάλλαξης που µπορεί να κατευθύνει ένα άτοµο προς οποιαδήποτε διεύθυνση. Αυτός ο περιορισµός της PSO οδήγησε αργότερα στην ενσωµάτωση ενός τελεστή µετάλλαξης παρόµοιο µε αυτών τον τυπικών ΕΑ. Παραδοτέο Σελίδα 41

45 Κατά τους Reyes-Sierra and Coello (2006) οι κύριοι λόγοι που κατέστησαν δηµοφιλείς τους PSO αλγορίθµους είναι: Ο κύριος αλγόριθµος PSO είναι αρκετά απλός και ευθύς (αφού στην πρωτότυπη έκδοση του χρησιµοποίει µόνο έναν τελεστή για τη δηµιουργία νέων ατόµων). Επιπλέον υπάρχουν πολλοί PSO αλγόριθµοι ανοιχτού κώδικα διαθέσιµη στο διαδίκτυο (π.χ. Οι αλγόριθµοι PSO αποδείχθηκαν πολύ αποτελεσµατικοί σε πληθώρα εφαρµογών ενώ ταυτόχρονα παρέχουν χαµηλό υπολογιστικό κόστος και πολυπλοκότητα (Engelbrecht, 2005; Kennedy and Eberhart, 2001) Το µαθηµατικό µοντέλο της PSO Αρχικά ο γεννάτε ένας τυχαίος αρχικός πληθυσµός στον εφικτό χώρο λύσεων κατά το δυνατόν πιο οµοιόµορφα. Έπειτα υπολογίζεται η καταλληλότητα των ατόµων µε τη βοήθεια της αντικειµενικής συνάρτησης. Σε κάθε άτοµο του πληθυσµού αντιστοιχείτε ένα διάνυσµα θέσης και ένα διάνυσµα ταχύτητας. Στο τέλος κάθε επανάληψης του αλγορίθµου αποθηκεύεται το καλύτερο διάνυσµα θέσης και υπολογίζεται η νέα ταχύτητα για κάθε συντεταγµένη. Οι Sumathi and Surekha (2010) πρότειναν την παρακάτω σχέση (21) για τον υπολογισµό της νέας ταχύτητας v i. Η νέα θέση του ατόµου x i στην γενιά t Η νέα θέση του ατόµου x i στην γενιά t υπολογίζεται µε βάση την εξίσωση (22) και καθορίζει προς τα πού θα κατευθυνθεί το κάθε άτοµο µε βάση την προσωπική του µνήµη αλλά και µε βάση την καλύτερη θέση που έχει βρεθεί το σµήνος (πληθυσµός). v ( t) = w* v ( t 1) + C1* r1*( x x ) + C2* r2*( x x ) i i pbesti i gbesti i (21) x () t = x ( t 1) + v () t (22) i i i Όπου: w: ένας συντελεστής αδράνειας που χρησιµοποιείται για να ελέγξει την επίδραση των προηγούµενων ταχυτήτων στην τωρινή ταχύτητα του ατόµου. r1 και r2 τυχαίοι αριθµοί από οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. C1 και C2: θετικές σταθερές που λέγονται συντελεστής αυτοαναγνώρισης (coefficient of self-recognition) και συντελεστής της κοινωνικής συνιστώσας (coefficient of the social component), αντίστοιχα. x pebsti : η µέχρι τώρα βέλτιστη θέση του ατόµου. x gebsti : η έως τώρα ολικά βέλτιστη λύση (γνωστό και ως «οδηγός»). Το µέγεθος του σµήνους: αποτελεί έναν από τους σηµαντικότερους παράγοντες που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Για τις περισσότερες πρακτικές εφαρµογές, η βέλτιστη επιλογή είναι µεταξύ 20 και 40 ατόµων. Βέβαια, ακόµα και 10 άτοµα είναι ικανά να παράγουν Παραδοτέο Σελίδα 42

46 ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Σε περίπτωση δύσκολων προβληµάτων, το πλήθος των ατόµων µπορεί να φτάσει και µεταξύ 100 µε 200. Συντελεστής αδράνειας w: αποτελεί πολύ σηµαντικό παράγοντα όσον αφορά τη ταχύτητα µε την οποία συγκλίνει ο αλγόριθµος. Αυτό που κάνει ο συντελεστής αδράνειας είναι να «ελέγχει» την επίδραση του ιστορικού των ταχυτήτων στην επόµενη. Ρυθµίζει το ποσοστό που εξαρτάται η επόµενη ταχύτητα των ατόµων τόσο από την άµεση (κοντινή) γειτονιά του ατόµου, όσο και από όλο το πληθυσµό. Πιο συγκεκριµένα, µεγάλος συντελεστής αδράνειας συνεπάγεται εξερεύνηση σε αποµακρυσµένες περιοχές, ενώ µικρός επικεντρώνει την εξερεύνηση στη γειτονιά του ατόµου. Μια στρατηγική που υιοθετείται συνήθως είναι η επιλογή σχετικά µεγάλου συντελεστή αδράνειας στις αρχικές γενιές (προκειµένου να βοηθηθεί η καθολική εξερεύνηση), ο οποίος σταδιακά µειώνεται (µε το πέρασµα κάποιων γενιών) προκειµένου να προωθηθεί η τοπική εξερεύνηση στις περιοχές που έχουν βρεθεί. Οι συντελεστές αυτοαναγνώρισης και κοινωνικής συνιστώσας C1 και C2: δεν είναι και τόσο κρίσιµοι για την σύγκλιση της PSO. Συνήθως, επιλέγονταν και οι δύο να είναι ίσες µε 2, αλλά ορισµένα πειράµατα απέδειξαν ότι θέτοντάς και τις δύο ίσες µε 1.49 µπορεί να εξάγει ακόµα καλύτερα αποτελέσµατα. Τελευταία, έχουν αναπτυχθεί θεωρίες που υποστηρίζουν ότι τα αποτελέσµατα βελτιώνονται ακόµη περισσότερο αν επιλεγεί µεγαλύτερος συντελεστής αυτοαναγνώρισης c 1 σε σχέση µε το συντελεστή κοινωνικής συνιστώσας c 2, µε το περιορισµό το άθροισµά τους να είναι ίσο µε 4. Κριτήρια τερµατισµού: µπορεί να είναι είτε η περάτωση συγκεκριµένου αριθµού γενιών, είτε κάποιο άλλο κριτήριο την απόσταση µεταξύ των λύσεων διαδοχικών γενεών. Ο αλγόριθµος 1 περιγράφει σε µορφή ψευδοκώδικα ένα τυπικό αλγόριθµο PSO. Αρχικά δηµιουργείται ο αρχικός πληθυσµός (γραµµή 1) ο οποίος περιέχει τη θέση και τις ταχύτητες των ατόµων. Έπειτα υπολογίζονται τα pbest για κάθε άτοµο και εντοπίζεται ο οδηγός (Leader) (γραµµή 2). Στη συνέχεια εωσότου συµπληρωθεί ο µέγιστος αριθµός γενεών τα άτοµα «πετάνε» εξερευνώντας τον εφικτό χώρο λύσεων ανανεώνοντας τις θέσεις τους (γραµµή 6-8). Όπως αναφέρθηκε και προηγούµενος ο οδηγός (Leader) µπορεί να είναι το gbest (έως τώρα ολικά βέλτιστη λύση) άτοµο ολόκληρου του σµήνους. Ωστόσο αυτό εξαρτάτε από την κοινωνική τοπολογία του σµήνους (Kennedy and Eberhart, 2001). Αλγόριθµος 1: Ψευδοκώδικας ενός τυπικού αλγορίθµου PSO. 1: ηµιουργία σµήνους (Πληθυσµός) Παραδοτέο Σελίδα 43

47 2: Εντοπισµός του Leader (οδηγού) 3: generation=0 4: While generation <max generation do 5: For each particle (άτοµο) do 6: updateposition()//flight (σχέσεις (21) και (22)) 7: Evaluation() 8: Update Pbest() 9: End for 10: Update Leader() 11: Generation ++ 12: End While 10 Βελτιστοποίηση µε χρήση προσοµοιωµένης ανόπτηση Η προσοµοιωµένη ανόπτηση είναι µια ευρετική µέθοδος αναζήτησης, που υιοθετεί πιθανοτικούς κανόνες για τον εντοπισµό του ολικού βέλτιστου. Το όνοµα και η φιλοσοφία της µεθόδου προέρχονται από τη διαδικασία της φυσικής ανόπτησης, η οποία είναι µια τεχνική ψύξης ενός υλικού (π.χ. µετάλλου), υπό ελεγχόµενες συνθήκες, µε στόχο την επίτευξη της ολικά ελάχιστης ενέργειας του συστήµατος. Καθώς το µέταλλο ψύχεται η αρχικά υψηλή κινητικότητα των µορίων περιορίζεται και αρχίζει η δηµιουργία κρυστάλλων. Για να περιέλθει το υλικό (σύστηµα) σε κατάσταση τέλειας κρυσταλλοποίησης και άρα ελάχιστης ενέργειας, απαραίτητη προϋπόθεση είναι ο αργός ρυθµός ψύξης. Σε αντίθετη περίπτωση, το υλικό µεταβαίνει σε ενδιάµεσες καταστάσεις, υψηλότερης ενέργειας µε τα µόριά του να αποκτούν πολυκρυσταλλική ή άµορφη δοµή. Οι Metropolis et al. (1953) προσπάθησαν να προσοµοιώσουν την παραπάνω διαδικασία και να προβλέψουν τη κατάσταση ισορροπίας, µε την ολικά ελάχιστη ενέργεια, µέσω των νόµων της στατιστικής θερµοδυναµικής. Η πιθανότητα να µεταβεί ένα θερµοδυναµικό σύστηµα µε θερµοκρασία Τ, από την ενεργειακή κατάσταση Ε 1 στη κατάσταση Ε 2 θα δίνεται από τη σχέση: E2 E1 p = exp κt (23) όπου κ η σταθερά Boltzman. Εφόσον η µετάβαση γίνεται σε κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας, δηλαδή Ε 2 < Ε 1, η πιθανότητα µετάβασης γίνεται µεγαλύτερη της µονάδας και τίθεται ίση µε 1. ηλαδή είναι πάντοτε αποδεκτή η µετάβαση σε κατάσταση χαµηλότερης Παραδοτέο Σελίδα 44

48 ενέργειας. Ωστόσο, είναι δυνατή και η µετάβαση σε κατάσταση υψηλότερης ενέργειας µε πιθανότητα p. Οι Kirkpatrick et al. (1983) και ο Cerny (1985) διέκριναν ότι υπάρχει αναλογία µεταξύ των διαφόρων καταστάσεων στις οποίες µπορούν να βρεθούν τα θερµοδυναµικά συστήµατα και των πιθανών καταστάσεων από τις οποίες µπορεί να περάσει η διαδικασία αναζήτησης έως τον εντοπισµό του ολικά βέλτιστου. Σε αυτά τα πλαίσια, η στοχική συνάρτηση θεωρείται το µαθηµατικό αντίστοιχο της ενέργειας, µε την θερµοκρασία να παίζει το ρόλο κάποιας παραµέτρου που ελέγχει την διαδικασία βελτιστοποίησης. Η µέθοδος προσοµοιωµένης ανόπτησης αναπτύχθηκε, στις αρχές της δεκαετίας του 1980, από τους Kirkpatrick et al. (1983), οι οποίοι διετύπωσαν µια γενική µεθοδολογία για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων συνδυαστικής βελτιστοποίησης, στα οποία ο χώρος αναζήτησης είναι διακριτός. Η καινοτοµία της µεθόδου έγκειται στο ότι κατά τη διάρκεια της αναζήτησης, εκτός από τα βήµατα που βελτιώνουν τη τιµή της στοχικής συνάρτησης (κατάβαση), γίνονται δεκτά και ορισµένα βήµατα ανάβασης, σύµφωνα µε κάποια συγκεκριµένη συνάρτηση πιθανότητας p(t). Η µέθοδος προσπαθεί να εντοπίσει τη βέλτιστη τιµή της στοχικής συνάρτησης f : S R από ένα σύνολο διακριτών λύσεων S, και περιγράφεται ως εξής: Στη γειτονιά της τρέχουσας λύσης x παράγεται µε την εφαρµογή µιας προσδιοριστικής ή τυχαίας µεθόδου ένα νέο σηµείο y και υπολογίζεται η µεταβολή στη τιµή της στοχικής συνάρτησης f. Αν η µεταβολή είναι αρνητική η λύση γίνεται αποδεκτή σε κάθε περίπτωση, ενώ αν f > 0 η λύση γίνεται αποδεκτή µε βάση κάποιο πιθανοτικό κριτήριο p(x, y, T). Η συνήθης επιλογή για τη πιθανότητα p(x, y, T) είναι το πιθανοτικό κριτήριο των Metropolis et al. (1983), το οποίο για T > 0 δίνεται από τη σχέση: 1,εάν f( y) < f( x) p( xy,, T) = ( f( y) f( x)) (24) exp, εάν f ( y) > f( x) T Εκτός από την παραπάνω σχέση που απορρέει από τους νόµους της θερµοδυναµικής, κατά καιρούς έχουν χρησιµοποιηθεί και άλλα κριτήρια αποδοχής. Οι Johnson et al. (1989) προτείνουν την απλή σχέση (25) που προσεγγίζει την εκθετική των Metropolis, µε µικρότερο υπολογιστικό φόρτο. 1,εάν f( y) < f( x) p( xy,, T) = ( f( y) f( x)) (25) 1 +, εάν f ( y) > f( x) T Παρόµοια είναι και το κριτήριο που υιοθετούν οι Brandimarte et al. (1987), ενώ οι Ogbu and Smith (1990) και οι Vakharia and Chang (1990) χρησιµοποιούν πιθανότητες που είναι ανεξάρτητες της µεταβολής της στοχικής συνάρτησης, f(y) f(x). Στα πρώτα στάδια της αναζήτησης η θερµοκρασία του συστήµατος είναι υψηλή και η πιθανότητα επιλογής µη βέλτιστων λύσεων µεγάλη. Ωστόσο όσο η διαδικασία προχωρά, η Παραδοτέο Σελίδα 45

49 θερµοκρασία του συστήµατος µειώνεται µε αποτέλεσµα να γίνεται µικρότερη η πιθανότητα αποδοχής λύσεων που χειροτερεύουν τη τιµή της συνάρτησης. Τόσο η αρχική θερµοκρασία του συστήµατος όσο και ο ρυθµός µε τον οποίο αυτή µειώνεται παίζουν καθοριστικό ρόλο στην επιτυχή λειτουργία του αλγορίθµου. Η συνάρτηση που χρησιµοποιείται συνήθως για τη ρύθµιση του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης και της µείωσης της θερµοκρασίας είναι η: T = λt [ k+ 1] [ k] (26) όπου λ συντελεστής που λαµβάνει τιµές στο διάστηµα (0, 1). Οι τιµές του συντελεστή λ συνήθως κυµαίνονται στο διάστηµα [0.80, 0.99], ενώ τιµές κοντά στη µονάδα εξασφαλίζουν αργεί µείωση της θερµοκρασίας και άρα µεγαλύτερη διερεύνηση του εφικτού χώρου και πιο αργή σύγκλιση του αλγορίθµου. Ο συντελεστής λ µπορεί να οριστεί, επίσης, συναρτήσει της µέγιστης και ελάχιστης θερµοκρασίας, Τ max και Τ min, και του µέγιστου πλήθους δοκιµών, Μ: λ M 1 Tmin = max T (27) Συχνά χρησιµοποιείται επίσης και η συνάρτηση µείωσης των Lundy and Mees (1986): T [ k+ 1] [ k ] T = (28) [ k ] 1 + βt όπου β συντελεστής που λαµβάνει µικρές τιµές. Για την βελτίωση του αλγορίθµου έχουν κατά καιρούς διατυπωθεί διαφορετικά σχήµατα για τη ρύθµιση του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης. Οι Press et al. (1992) προτείνουν τη σχέση: [ k+ 1] T = T [0] (1 k/ K) a (29) όπου Τ [0] η αρχική θερµοκρασία, k η τρέχουσα επανάληψη και Κ ο µέγιστος επιτρεπόµενος αριθµός επαναλήψεων. Η παράµετρος α είναι µια σταθερά µε τυπικές τιµές 1, 2 ή 4, η επιλογή της οποίας εξαρτάται από τη στατιστική κατανοµή των λύσεων και τη γεωγραφία της εφικτής περιοχής. Ο Dowsland (1993) προτείνει ένα πιο πολύπλοκο χρονοδιάγραµµα ανόπτησης µε δυο σκέλη. Στην περίπτωση που η νέα λύση γίνεται δεκτή η θερµοκρασία µειώνεται σύµφωνα µε τη σχέση (29), ενώ όταν η λύση απορρίπτεται η θερµοκρασία αυξάνει σύµφωνα µε τη σχέση: Παραδοτέο Σελίδα 46

50 T [ k + 1] [ k ] T = (30) [ k ] 1 γt Ιδιαίτερα σηµαντική παράµετρος για την επιτυχία της µεθόδου είναι το µήκος των κύκλων θερµικής ισορροπίας, δηλαδή ο αριθµός επαναλήψεων για τον οποίον η θερµοκρασία παραµένει αµετάβλητη. Η παράµετρος αυτή, συνήθως, εκφράζεται ως συνάρτηση του µεγέθους του εφικτού χώρου ή της θερµοκρασίας, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η αποτελεσµατική διερεύνηση των εφικτών λύσεων. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε τη γεωµετρική ή αριθµητική αύξηση του µήκους µε το πέρας των επαναλήψεων. Για τη γρήγορη σύγκλιση του αλγορίθµου, στα πρώτα στάδια της διαδικασίας το µήκος των κύκλων είναι µικρό και ξοδεύεται µικρός υπολογιστικός φόρτος, ενώ όταν θα έχει εντοπιστεί κάποια περιοχή έλξης είναι σηµαντική η λεπτοµερέστερη εξερεύνησή της, ώστε να εντοπιστεί το ολικά βέλτιστο σηµείο. Παρά το γεγονός ότι ο αλγόριθµος προσοµοιωµένης ανόπτησης χρησιµοποιείται κατά βάση για προβλήµατα διακριτών τιµών, δεν είναι λίγες οι τροποποιήσεις που έχουν κατά καιρούς προταθεί για τη γενίκευση και εφαρµογή του σε προβλήµατα συνεχών µεταβλητών. Αυτό προϋποθέτει την επιλογή κάποιας διεύθυνσης και κάποιου βήµατος για την παραγωγή ενός νέου σηµείου y από το ήδη υπάρχον x. Η επιλογή των παραπάνω µεγεθών γίνεται είτε µέσω προσδιοριστικών είτε µέσω στοχαστικών κανόνων αναζήτησης. Στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχει πλήθος εργασιών µε θέµα τη θεωρητική σύγκλιση του αλγορίθµου σε προβλήµατα συνεχών µεταβλητών. Από αυτές αναφέρουµε χαρακτηριστικά τις εργασίες των Locatelli (2000), Yang (2000) και Belisle et al. (1993). Η εφαρµογή του αλγορίθµου προσοµοιωµένης ανόπτησης σε προβλήµατα βελτιστοποίησης υπό το καθεστώς θορύβου έχει απασχολήσει αρκετά τους ερευνητές. Η αβεβαιότητα µεταφέρεται τόσο στο µέγεθος της µεταβολής της στοχικής συνάρτησης, f, όσο και στη πιθανότητα αποδοχής ή απόρριψης µιας καινούργιας λύσης p(x, y, T). Επιπλέον, επηρεάζεται έντονα η πορεία του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης και ο ρυθµός µείωσης της θερµοκρασίας. Η προφανής λύση για τη µείωση της επιρροής του θορύβου στα παραπάνω µεγέθη είναι η εκτέλεση δειγµατοληψιών σε κάθε σηµείο του εφικτού χώρου που εξετάζεται. Ωστόσο, µια τέτοια προσέγγιση αυξάνει κατά πολύ τον υπολογιστικό φόρτο της µεθόδου, καθώς θα απαιτούνταν πολλές επαναλήψεις για τη µείωση της αβεβαιότητας ιδιαίτερα στις περιοχές των ακρότατων όπου η επιφάνεια απόκρισης είναι επίπεδη. Αντί αυτού, είναι προτιµότερη η χρήση ενός τροποποιηµένου κριτηρίου αποδοχής της λύσης. Σύµφωνα µε το κριτήριο αυτό, στη περίπτωση που επιτυγχάνεται βελτίωση της λύσης, δεν εξετάζεται αν f < 0 αλλά αν f < σρ, όπου σ η τυπική απόκλιση του θορύβου (ή κάποια εκτίµηση αυτής) και ρ κάποιος συντελεστής ανοχής. Με αυτό τον τρόπο µειώνεται η πιθανότητα να απορρίψουµε µια λύση που στη πραγµατικότητα προκαλεί αρνητική µεταβολή του µεγέθους f. Οι Gutjahr and Pflug (1996) µελέτησαν τις συνθήκες κάτω από τις οποίες επιτυγχάνεται θεωρητική σύγκλιση του αλγορίθµου προσοµοιωµένης ανόπτησης σε προβλήµατα διακριτού χώρου, υπό τη παρουσία θορύβου στις τιµές της στοχικής συνάρτησης. Όπως Παραδοτέο Σελίδα 47

51 απέδειξαν, θεωρητική σύγκλιση του αλγορίθµου δεν γίνεται να επιτευχθεί αν ο θόρυβος δεν ακολουθεί κανονική κατανοµή µε τη διασπορά να µειώνεται γρήγορα όσο προχωρά το χρονοδιάγραµµα ανόπτησης. Για τη µείωση της διασποράς προτείνουν τη λήψη δείγµατος σε κάθε σηµείο και τον υπολογισµό της στοχικής συνάρτησης από το µέσο όρο αυτού. Στα πρώτα στάδια, το δείγµα µπορεί αν είναι µικρότερο καθώς γίνεται πιο αδροµερής εξερεύνηση του χώρου, ενώ όσο η θερµοκρασία µειώνεται λαµβάνονται µεγαλύτερα δείγµατα για την µείωση της διασποράς του θορύβου. Σε παρόµοια αποτελέσµατα καταλήγουν και οι Gelfand and Mitter, ακολουθώντας την ίδια τακτική δειγµατοληψιών (1989). Τροποποιηµένες εκδόσεις του κλασικού αλγορίθµου προσοµοιωµένης ανόπτησης, µε επαναληπτικές δειγµατοληψίες στη θέση της τρέχουσας, x, καθώς και της υποψήφιας νέας λύσης, y, προτείνουν και οι Alrefaei και Andradottir (1999) και οι Fox και Heine (1995). Στις εργασίες των µελετητών αυτών για την αποδοχή ή απόρριψη µιας καινούργιας λύσης ελέγχεται αποκλείστηκα το πιθανοτικό κριτήριο (2-36) και όχι αν η µεταβολή f είναι θετική ή αρνητική. Επιπλέον, οι τιµές της στοχικής συνάρτησης στα δύο σηµεία (αρχικό σηµείο - καινούργια λύση) προκύπτει ως ο µέσος όρος ανεξάρτητων δειγµατοληψιών, οι οποίες µπορούν να συνεχίζονται και σε επόµενες επαναλήψεις. Για παράδειγµα, αν η καινούργια λύση απορριφτεί, τότε στο επόµενο επαναληπτικό βήµα εκτελείται πάλι τυχαία δειγµατοληψία στο αρχικό σηµείο και η τιµή της στοχικής συνάρτησης προκύπτει ως ο µέσος όρος του συνολικού σηµειακού δείγµατος, όπως αυτό προέκυψε και από τα δυο επαναληπτικά βήµατα. Στον αλγόριθµο των Alrefaei και Andradottir (1999) το µήκος του σηµειακού δείγµατος που λαµβάνεται υπόψη είναι σταθερό για όλα τα επαναληπτικά βήµατα, ενώ στον αλγόριθµο των Fox και Heine (1995) το µήκος αυξάνει µε το πέρας της διαδικασίας συναρτήσει του τρέχοντος επαναληπτικού βήµατος και του συνολικού δείγµατος που έχει ληφθεί από προηγούµενα βήµατα για ένα δεδοµένο σηµείο. 11 Υβριδικά σχήµατα βελτιστοποίησης Ο όρος υβριδικός αφορά σχήµατα βελτιστοποίησης που συνδυάζουν επιµέρους στοιχεία από διαφορετικές προσεγγίσεις, ώστε να προκύπτουν όσο το δυνατόν πιο εύρωστοι αλγόριθµοι. Συνήθως επιδιώκεται ένας συνδυασµός που να εµπεριέχει τα πλεονεκτήµατα των τοπικών επιλυτών στις κυρτές περιοχές της επιφάνειας απόκρισης και των στοχαστικών στις έντονα µη κυρτές (Ευστρατιάδης, 2008). Οι υβριδικοί αλγόριθµοι (γενετικοί/εξελικτικοί) κατηγοριοποιούνται σε τέσσερα διακριτά σχήµατα: δύο φάσεων, σειριακοί, ρητοί, παράλληλοι. Παράλληλα, έχουν αναπτυχθεί µέθοδοι όπως αυτή της ανόπτησης-απλόκου, της αποτρεπτικής αναζήτησης, των πολυπληθυσµιακών εξελικτικών τεχνικών (µέθοδος SCE), κτλ. Περισσότερες αναλυτικές πληροφορίες γι αυτές µπορούν να βρεθούν στη διδακτορική διατριβή του Ευστρατιάδη (2008). Παραδοτέο Σελίδα 48

52 12 Ο µονοκριτηριακός εξελικτικός αλγόριθµος βελτιστοποίησης ανόπτησης-απλόκου (EAS) 12.1 Εισαγωγή: Θεµελιώδεις αρχές Ο εξελικτικός αλγόριθµος ανόπτησης-απλόκου αναπτύχθηκε από τον Ευστρατιάδη (2001) και αποτελεί µια ευρετική πιθανοτική µέθοδο ολικής βελτιστοποίησης, που συνδυάζει στοιχεία από ένα ευρύ φάσµα µεθοδολογιών και τεχνικών βελτιστοποίησης. Η λογική του αλγορίθµου στηρίζεται στην σύζευξη της στοχαστικής µεθόδου προσοµοιωµένης ανόπτησης µε την ντετερµινιστική µέθοδο άµεσης αναζήτησης Nelder-Mead, για την αποτελεσµατικότερη και ταχύτερη διερεύνηση του εφικτού χώρου λύσεων. Όπως είδαµε σε προηγούµενες ενότητες, η πρώτη µέθοδος εγγυάται στατιστική σύγκλιση στο ολικό βέλτιστο µε την ικανότητα απεγκλωβισµού από τοπικά ακρότατα, ενώ η δεύτερη εγγυάται τον εντοπισµό µιας περιοχής έλξης γρήγορα και µε ακρίβεια. Ο συνδυασµός των δυο παραπάνω µεθόδων συνθέτει µια νέα τεχνική ολικής βελτιστοποίησης που εκµεταλλεύεται την προσοµοιωµένη ανόπτηση για την αδροµερή διερεύνηση του εφικτού χώρου και το άπλοκο για την παραγωγή νέων σηµείων. Η πρώτη προσπάθεια σύζευξης των δυο παραπάνω αναγνωρισµένων µεθόδων αποδίδεται στους Press et al. (1992), οι οποίοι προσάρµοσαν µια στρατηγική ανόπτησης στον κλασικό αλγόριθµο Nelder-Mead, µε σκοπό να προσδώσουν στον αλγόριθµο την ικανότητα να απεγκλωβίζεται από τοπικά ακρότατα. Σύµφωνα µε τον προτεινόµενο αλγόριθµο, σε κάθε επανάληψη εκτελείται ένας τυπικός κύκλος Nelder-Mead, µε τη κατάταξη των λύσεων, και άρα την επιλογή της επόµενης κίνησης, να γίνεται αφού προστεθεί στις τιµές της συνάρτησης µια λογαριθµικά κατανεµηµένη τυχαία µεταβλητή ανάλογη της θερµοκρασίας Τ. Ταυτόχρονα, κάθε νέο σηµείο που παράγεται έχει αυξηµένη πιθανότητα αποδοχής αφού στη τιµή της συνάρτησης αφαιρείται µια παρόµοια ποσότητα. Με αυτό τον τρόπο γίνονται πάντα αποδεκτά τα βήµατα που βελτιώνουν την τιµή της συνάρτησης, ενώ γίνονται αποδεκτά και κάποια βήµατα που την χειροτερεύουν. Για την περαιτέρω βελτίωση του αλγορίθµου των Press et al (1992), οι Pan and Wu (1998) υιοθέτησαν την εκτέλεση δοκιµαστικών βηµάτων επέκτασης του απλόκου προς την κατεύθυνση που χειροτερεύει την τιµή της συνάρτησης (ανάβαση), κάθε φορά που γίνεται αποδεκτή µια µη βέλτιστη λύση µε βάση το κριτήριο Metropolis. Με αυτό τον τρόπο επιτυγχάνεται ο γρήγορος απεγκλωβισµός του απλόκου από κάποιο τοπικό ακρότατο και η µετακίνησή του σε κάποια γειτονική περιοχή έλξης Βήµατα υπολογιστικής διαδικασίας Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται τα βήµατα που εκτελεί ο εξελικτικός αλγόριθµος ανόπτησης-απλόκου, όπως αυτά περιγράφονται από τον Ευστρατιάδη (2008). Κατά συνθήκη θεωρείται το πρόβληµα ελαχιστοποίησης µιας βαθµωτής συνάρτησης n µεταβλητών. Ως δεδοµένα εισόδου ο αλγόριθµος δέχεται: Παραδοτέο Σελίδα 49

53 Το µέγεθος του πληθυσµού, m, m n+1. Τα διανύσµατα [x min, x max ] και [x low, x up ] που περιγράφουν τα εσωτερικά και εξωτερικά όρια του πεδίου αναζήτησης, αντίστοιχα. Τις δυο παραµέτρους του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης, λ και β. Την πιθανότητα µετάλλαξης p m. To µέγιστο πλήθος υπολογισµού της στοχικής συνάρτησης Μια τιµή για το κριτήριο σύγκλισης Κατά την έναρξη του αλγορίθµου παράγεται ένας αρχικός πληθυσµός P [0] που αποτελείται από m n + 1 σηµεία, οµοιόµορφα κατανεµηµένα σε κάποιο εσωτερικό πεδίο του εφικτού χώρου [x min, x max ]. Οι συντεταγµένες κάθε σηµείου i γεννώνται ως τυχαίοι αριθµοί από µια οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [x i min, x i max ]. Σε κάθε σηµείο, υπολογίζεται η τιµή της στοχικής συνάρτησης και, στη συνέχεια, ορίζεται η αρχική θερµοκρασία ως η διαφορά µεταξύ της µέγιστης και ελάχιστης τιµής, δηλαδή: T = max{ f,..., f } min{ f,..., f } [0] [0] [0] [0] [0] 1 p 1 p (31) Έστω P [k] ο πληθυσµός της k γενιάς, που αποτελείται από ένα σύνολο {x 1 [k],, x 1 [k] }. Σε κάθε επανάληψη k η υπολογιστική διαδικασία περιλαµβάνει τα ακόλουθα βήµατα: Βήµα 1 ο : Υπολογίζονται τα στατιστικά χαρακτηριστικά του πληθυσµού, δηλαδή η µέση τιµή, µ x, και η τυπική απόκλιση, σ x, των συντεταγµένων. Βήµα 2 ο : Από τον πληθυσµό επιλέγονται µε τυχαίο τρόπο n + 1 σηµεία, τα οποία διαµορφώνουν ένα άπλοκο S = {s 1, s 2,, s n +1 }. Τα σηµεία τοποθετούνται σε αύξουσα σειρά, έτσι ώστε η κορυφή s 1 να αντιστοιχεί στο σηµείο µε την καλύτερη τιµή στοχικής συνάρτησης και η κορυφή s n +1 στο σηµείο µε τη χειρότερη. Βήµα 3 ο : Από το υποσύνολο {s 2,, s n +1 } που περιλαµβάνει όλες τις κορυφές του απλόκου εκτός από την καλύτερη, επιλέγεται µια κορυφή w προς αντικατάσταση, σύµφωνα µε το κριτήριο Metropolis. Το σηµείο w θα ορίζεται ως η συµβατικά χειρότερη λύση και είναι αυτό που µεγιστοποιεί τη συνάρτηση: g() s = f() s + ut (32) όπου u τυχαίος αριθµός από οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, 1], και Τ η τρέχουσα θερµοκρασία του συστήµατος. Στα πρώτα στάδια των επαναλήψεων, η θερµοκρασία του συστήµατος είναι υψηλή και η επίδραση του τυχαίου όρου ut στην επιλογή είναι σηµαντική. Όσο η διαδικασία αναζήτησης προχωρά, η επίδραση του τυχαίου όρου µειώνεται και στην οριακή περίπτωση, T 0, η κορυφή που αντικαθίσταται είναι πάντα η πραγµατικά χειρότερη, που σηµαίνει ότι η διαδικασία ακολουθεί τη λογική του αλγορίθµου Nelder-Mead. Παραδοτέο Σελίδα 50

54 Βήµα 4 ο : Το άπλοκο ανακλάται ως προς την κορυφή w, γεννώντας ένα νέο σηµείο r 0 σύµφωνα µε τη σχέση: r = g+ (0.5 + u)( g w) 0 (33) όπου u τυχαίος αριθµός από οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, 1] και g το κεντροειδές των n καλύτερων κορυφών του απλόκου: n+ 1 = 1 g ( s w ) (34) i n i= 1 Βήµα 5 ο : Αν ισχύει f(r 0 ) < f(w), το νέο σηµείο r 0 αντικαθιστά τη συµβατικά χειρότερη κορυφή w. Στην περίπτωση που επιπλέον ισχύει η συνθήκη f(r 0 ) < f(x 1 ), δηλαδή από την ανάκλαση προκύπτει λύση καλύτερη από την τρέχουσα βέλτιστη στο άπλοκο, δοκιµάζονται διαδοχικά βήµατα επέκταση. Τα βήµατα επέκταση εκτελούνται στη διεύθυνση ελαχιστοποίησης της συνάρτησης που έχει εντοπιστεί, δηλαδή στην κατεύθυνση της ανάκλασης r 0 - g, σύµφωνα µε την αναδροµική σχέση: r = g+ η ( r g ) (35) s s 0 Όπου η s = η s-1 + u, µε η 0 = 1. Η επέκταση συνεχίζεται όσο εντοπίζονται εφικτές λύσεις που βελτιώνουν τη τιµή της συνάρτησης. Αντίθετα, στη περίπτωση που ισχύει η συνθήκη f(r 0 ) > f(x 1 ), το αλγόριθµος εκτελεί εξωτερική συµπίεση του απλόκου σύµφωνα µε τη σχέση: r = g+ ( u)( r g ) (36) 1 0 Εφόσον το νέο σηµείο r 1 είναι καλύτερο από το σηµείο r 0, δηλαδή f(r 1 ) < f(r 0 ), το αντικαθιστά. Βήµα 6 ο : Αντίθετα, στην περίπτωση που η ανάκλαση δεν παράγει σηµείο που να βελτιώνει την τιµή της συνάρτησης, δηλαδή f(r 0 ) > f(w), δοκιµάζεται µια άλλη πορεία που περιλαµβάνει είτε συµπίεση είτε συρρίκνωση είτε διαδοχικά βήµατα επέκτασης προς την κατεύθυνση που χειροτερεύει τη συνάρτηση. Για την επιλογή της κίνησης που θα εκτελεστεί, ο αλγόριθµος ελέγχει το κριτήριο Metropolis για τα σηµεία r 0 και w. Συγκεκριµένα ελέγχεται αν: f( r ut) > f( w + ut) 0 (37) Εφόσον το παραπάνω κριτήριο ισχύει, το σηµείο από ανάκλαση απορρίπτεται για δεύτερη φορά και ο αλγόριθµος εκτελεί εσωτερική συµπίεση σύµφωνα µε τη σχέση: r = g ( u)( g w) 1 (38) Παραδοτέο Σελίδα 51

55 Αν το νέο σηµείο είναι καλύτερο από την συµβατικά χειρότερη κορυφή του απλόκου, τότε την αντικαθιστά. Σε αντίθετη περίπτωση, δηλαδή αν f(r 1 ) > f(w) τότε εκτελείται συρρίκνωση του απλόκου γύρω από την καλύτερη κορυφή του x 1, ώστε s i = 0.5(s 1 + s i ) για κάθε i = 2,, n + 1. Ο αλγόριθµος µεταβαίνει στο βήµα 9. Οι δυο τελευταίες κινήσεις προκαλούν µείωση του όγκου του απλόκου και σύγκλιση του πληθυσµού στη γειτονιά κάποιου τοπικού ακροτάτου. Αυτό ενεργοποιεί το µηχανισµό µείωσης της θερµοκρασίας κατά έναν συντελεστή λ, που είναι παράµετρος του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης. Βήµα 7 ο : Εφόσον το σηµείο από ανάκλαση γίνεται αποδεκτό σύµφωνα µε το κριτήριο (37), ο αλγόριθµος ενεργοποιεί το µηχανισµό διαφυγής από τοπικό ακρότατο. Ο µηχανισµός αυτός περιλαµβάνει διαδοχικά βήµατα επέκτασης προς την κατεύθυνση µεγιστοποίησης της συνάρτησης, δηλαδή βήµατα αναρρίχησης. Τα βήµατα εκτελούνται βάσει της (35) παράγοντας νέα σηµεία. Εφόσον είτε κάποιο από αυτά τα σηµεία είναι καλύτερο από το r 0 είτε βρεθεί ένα τουλάχιστον ζεύγος σηµείων για τα οποία ισχύει f(x s+1 ) > f(x s ), το r 0 αντικαθίσταται στον πληθυσµό. Η στρατηγική αυτή έχει στόχο τον απεγκλωβισµό του απλόκου από τη γειτονιά κάποιου τοπικού ακροτάτου και δίνει στον αλγόριθµο τη δυνατότητα να εξερευνήσει άλλες γειτονικές περιοχές. Βήµα 8 ο : Στην περίπτωση που κατά το βήµα 7 δεν αντικατασταθεί το σηµείο ανάκλασης r 0 από κάποιο καλύτερο σηµείο, εκτελείται µετάλλαξη. Ο τελεστής µετάλλαξης βασίζεται στη γέννηση ενός τυχαίου σηµείου εκτός του εύρους µιας τυπικής απόκλισης γύρω από τη µέση τιµή του τρέχοντος πληθυσµού, δηλαδή εκτός του εύρους [µ x - σ x, µ x + σ x ]. Η παραγωγή των συντεταγµένων γίνεται ως εξής: x = µ ± ( σ + ud ) i i i i (39) όπου µ i η µέση τιµή του πληθυσµού για τη συντεταγµένη i, όπου σ i η τυπική απόκλιση του πληθυσµού για τη συντεταγµένη i, u τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, 1] και d i η απόσταση που υπολείπεται µέχρι τα όρια του εφικτού χώρου. Το πρόσηµο + ή επιλέγεται τυχαία, µε ίση πιθανότητα. Αν είναι θετικό τότε η συντεταγµένη γεννάται από µια οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [µ i + σ i, x i max ], διαφορετικά γεννάται στο διάστηµα [x i min, µ i - σ i ]. Η διαδικασία αυτή αποσκοπεί στη γέννηση αποµακρυσµένων, σε σχέση µε το µέσο όρο του πληθυσµού, σηµείων και εξασφαλίζει µεγαλύτερη διασπορά των λύσεων για την αποτελεσµατική διερεύνηση του εφικτού χώρου. Αν το σηµείο που παράγεται από µετάλλαξη υπερτερεί του σηµείου ανάκλασης τότε γίνεται αποδεκτό, σε αντίθετη περίπτωση γίνεται αποδεκτό µε πιθανότητα p m. Βήµα 9 ο : Στο τέλος κάθε επανάληψης εντοπίζεται η καλύτερη, f min, και χειρότερη, f max, λύση στον πληθυσµό και ελέγχεται αν η θερµοκρασία ξεπερνά την τιµή β (f max - f min ), όπου β 1 παράµετρος του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης. Με αυτό τρόπο η Παραδοτέο Σελίδα 52

56 θερµοκρασία εµποδίζεται να λάβει υπερβολικά υψηλές τιµές, κάτι που θα επιβράδυνε σηµαντικά τον αλγόριθµο. Η διαδικασία αναζήτησης ολοκληρώνεται µε δυο τρόπους: Όταν η σχετική βελτίωση της τιµής της στοχικής συνάρτησης από γενιά σε γενιά γίνει µικρότερη από κάποια ανοχή (κριτήριο σύγκλισης) Όταν ξεπεραστεί ένας προβλεπόµενος αριθµός υπολογισµού της στοχικής συνάρτησης (κριτήριο τερµατισµού). Η ανοχή (εκφρασµένη ως ποσοστό) και ο µέγιστος αριθµός δοκιµών αποτελούν επίσης παραµέτρους εισόδου του αλγορίθµου. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρµογές, το δεύτερο κριτήριο είναι αυτό που οδηγεί στον τερµατισµό της διαδικασίας, καθώς η πολυπλοκότητα του προβλήµατος και ο µεγάλος αριθµός παραµέτρων δεν επιτρέπουν την επίτευξη σύγκλισης, παρά µόνο µετά από εξαιρετικά µεγάλο αριθµό δοκιµών. 13 Πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση 13.1 Εισαγωγή Στην περίπτωση που ένα πρόβληµα βελτιστοποίησης περιλαµβάνει περισσότερα από ένα κριτήρια (αντικειµενικές συναρτήσεις) τότε το πρόβληµα καλείτε πολυκριτηριακό. Η χρήση πολυκριτηριακών µεθόδων βελτιστοποίησης είναι συχνά απαραίτητη µιας και τα περισσότερα «πραγµατικά» ή πρακτικά προβλήµατα εµπεριέχουν πολλαπλά και συχνά αντικρουόµενα κριτήρια. Κατά συνέπεια οι τεχνικές µονοκριτηριακής βελτιστοποίησης έχουν περιορισµένη εφαρµογή αφού όλα τα κριτήρια είναι επίσης σηµαντικά. Παρόλο που σε ορισµένες περιπτώσεις καθίσταται δυνατή η ενσωµάτωση όλων των αντικειµενικών συναρτήσεων σε µία, αυτό δεν αποτελεί τον κανόνα λόγω της άγνωστης φύσης των προβληµάτων, του µη γραµµικών χώρου, της ελλιπής γνώσης του εφικτού χώρου λύσεων και την επιθυµία λήψης απόφασης εκ τον υστέρων. Η χρήση πολλαπλών κριτηρίων απαιτεί την ταυτόχρονη βελτιστοποίηση τους. Κάτι τέτοιο οδηγεί στην διεύρυνση του εφικτού χώρου λύσεων αλλά και στην αύξηση των πιθανών λύσεων. Οι λύσεις αυτές είναι βέλτιστες υπό την έννοια ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις στο χώρο των λύσεων που να είναι καλύτερες από αυτές, δηλαδή δεν µπορεί να υπάρξει ένα καθολικό κριτήριο που να ορίσει µία από αυτές ως καλύτερη. Σκοπός της πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης είναι η εύρεση ενός συνόλου βέλτιστων λύσεων, το σύνολο αυτό καλείται Pareto βέλτιστο σύνολο. Τέλος αξίζει να σηµειωθεί πως τις τελευταίες δεκαετίες η χρήση µεθόδων πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης και η εφαρµογή τους σε «πραγµατικά» προβλήµατα ολοένα και αυξάνεται. Παραδοτέο Σελίδα 53

57 13.2 Βασικές έννοιες πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης Ορισµός του προβλήµατος Κωδικός έργου: 1272 Στόχος της πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης είναι η ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση ή µεγιστοποίηση των αντικειµενικών συναρτήσεων δοσµένων κάποιων περιορισµών. Γενικότερα περιλαµβάνει n µεταβλητές ελέγχου (ή σχεδιασµού), m αντικειµενικές συναρτήσεις και k περιορισµούς (Zitzler και Thiele, 1999). Οι αντικειµενικές συναρτήσεις και οι περιορισµοί συναρτώνται από τις µεταβλητές ελέγχου. Γενικά ένα Μ-διάστατο πολυκριτηριακό πρόβληµα βελτιστοποίησης µε n µεταβλητές ελέγχου, x D, όπου D αποτελεί τον εφικτό χώρο απόφασης διατυπώνεται µαθηµατικά ως εξής: max/ min f ( x), m=1,2...m m µε περιορισµούς: g (x) 0 ή g (x) 0, j=1,2...j j j h ( x) = 0, k=1,2...k k ( L) ( U) xi xi x i, i=1,2...n n ( ) ( ) Τα και ορίζουν τον χώρο απόφασης D και αποτελούν τα κάτω και άνω όρια των x L i x U i µεταβλητών ελέγχου. Με βάση την παραπάνω διατύπωση έχουµε ένα πρόβληµα Μ κριτηρίων, J περιορισµών ανισότητας και K περιορισµών ισότητας. Όλες οι λύσεις x D που ικανοποιούν τους περιορισµούς καλούνται εφικτές (feasible solutions). Σε αντίθεση µε τα µονοκριτηριακά προβλήµατα οι λύσεις αποδίδονται πλέον µε ένα διάνυσµα λύσεων. Έτσι για τη σύγκριση των λύσεων και εισάγετε η έννοια του µετώπου Pareto και της κυριαρχίας κατά Pareto Βασικές έννοιες µετώπου Pareto και σχέσεις κυριαρχίας Αν υποθέσουµε ότι το πρόβληµα που µελετάµε αξιολογείται ως προς δύο αντικρουόµενα κριτήρια, τότε οι εφικτές λύσεις µπορούν να παρασταθούν ως σηµεία σε διάγραµµα δύο αξόνων, µε κάθε ένα να αποτελεί µία λύση που διαµορφώνει µε συγκεκριµένο τρόπο τα δύο µέτρα επίδοσης των κριτηρίων. Στο Σχήµα 13-1 τα τελευταία απεικονίζονται στους άξονες x και y ως οι συναρτήσεις f1 και f2. Στην πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση υπεισέρχεται η έννοια της κυριαρχίας µεταξύ των διαφόρων εφικτών λύσεων που αναλύεται µε βάση το σχήµα αυτό. n Παραδοτέο Σελίδα 54

58 Σχήµα Απεικόνιση των σχέσεων κυριαρχίας και του µετώπου Pareto σε ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης δύο κριτηρίων (ελάχιστη τιµή 0 για τα δύο κριτήρια). Υποθέτοντας ότι η επιθυµητή πορεία της βελτιστοποίησης είναι η εύρεση λύσεων κοντά στην αρχή των αξόνων δηλαδή ότι τα µέτρα επίδοσης πρέπει να ελαττώνονται ταυτόχρονα και έχοντας ως βάση µία υποθετική λύση Α (Σχήµα 13-1), το πρόβληµα της βελτιστοποίησης περιγράφεται µε βάση τις υποπεριοχές του σχήµατος ως εξής: Η υποπεριοχή πάνω δεξιά από το σηµείο Α (εντός της κόκκινης διακεκοµµένης περιοχή), περιλαµβάνει επιλογές που κυριαρχούνται από την επιλογή αναφοράς (λύση Α) δηλαδή παρουσιάζουν χειρότερα (µεγαλύτερα) µέτρα επίδοσης για τα δύο κριτήρια από την λύση Α (fa<f). Επιπλέον, οι περιοχές µε τα µπλε σηµεία πάνω αριστερά και κάτω δεξιά από το σηµείο Α περιλαµβάνουν επιλογές που χαρακτηρίζονται αδιάφορες ως προς την αντίστοιχη επιλογή αναφοράς καθότι οι λύσεις αυτές είναι µεν καλύτερες από την Α για ένα κριτήριο, αλλά χειρότερες ως προς το άλλο (fa~ f). Με τη βοήθεια του Σχήµα 13-1 ορίζεται και µία ακόµα σχέση κυριαρχίας, του Α, ως προς µία λύση που πιθανά να βρίσκεται πάνω στις γραµµές του κόκκινου τετραγώνου που τέµνονται µε το Α. Σε αυτήν την περίπτωση η εκάστοτε λύση είναι χειρότερη από την Α για το ένα µόνο κριτήριο και ίση ως προς το άλλο και τότε λέγεται ότι η λύση Α κυριαρχεί ασθενώς ως προς τη λύση αυτή. Η έννοια της κυριαρχίας επιτρέπει τον χαρακτηρισµό ορισµένων λύσεων ως βέλτιστων, σύµφωνα µε τους ακόλουθους ορισµούς: Παραδοτέο Σελίδα 55

59 «Ένα εφικτό σηµείο x* στο χώρο αναζήτησης είναι βέλτιστο εφόσον δεν υπάρχει κανένα άλλο εφικτό σηµείο x, τέτοιο ώστε f(x) f(x*), δηλαδή δεν υπάρχει εφικτό σηµείο που κυριαρχεί επ αυτού» (πηγή: Ευστρατιάδης, 2008: 55) ή «Το σηµείο x* είναι βέλτιστο εφόσον δεν υπάρχει εφικτό σηµείο x το οποίο να µπορεί να βελτιώσει το ένα κριτήριο f1, χωρίς ταυτόχρονα να χειροτερέψει το άλλο κριτήριο f2» (πηγή: Ευστρατιάδης, 2008: 55). Με βάση το Σχήµα 13-1 ο ορισµός αυτός αληθεύει για όλα τα σηµεία που ενώνονται µε τη κόκκινη συνεχή γραµµή. Πρόκειται δηλαδή για σηµεία, που ως προς το Α, παρουσιάζουν καλύτερη επίδοση για ένα κριτήριο και χειρότερη για ένα άλλο (αδιάφορα ως προς το Α), αλλά δεν ανήκουν στις περιοχές αδιάφορων λύσεων καθότι κάτω από αυτά δεν υπάρχουν άλλα σηµεία µε ικανοποιητικότερη επίδοση, που να δίνουν δηλαδή µέτρα επίδοσης µικρότερα για τις δύο συναρτήσεις (κριτήρια) σε σχέση µε το Α (fa>f). Το σύνολο των εν λόγω σηµείων ονοµάζεται σύνολο µη κυριαρχούµενων (non-dominated) ή µη κατώτερων (non-inferior) σηµείων, και είναι γνωστό ως σύνολο Pareto βέλτιστων σηµείων (Pareto set) αποτελώντας προφανώς ένα υποσύνολο του πεδίου ορισµού της δικριτηριακής συνάρτησης. Τα σηµεία του συνόλου Pareto είναι αδιάφορα µεταξύ τους, ενώ κάθε ένα από αυτά είτε κυριαρχεί, είτε είναι αδιάφορο ως προς κάθε άλλο σηµείο του εφικτού χώρου αναζήτησης. Στο πρόβληµα δύο κριτηρίων (m = 2, Σχήµα 13-1), ως µέτωπο Pareto καλείται η καµπύλη που ενώνει το σύνολο των Pareto λύσεων και είναι γνωστή ως καµπύλη αντιστάθµισης (tradeoff curve), αποτελώντας το κάτω όριο του πεδίου ορισµού (Zitzler και Thiele, 1999). Στην περίπτωση που το πρόβληµα περιλαµβάνει περισσότερα των δύο κριτηρίων, το µέτωπο απεικονίζεται ως µια υπερεπιφάνεια διάστασης m Επιθυµητή πορεία αναζήτησης αλγόριθµων βελτιστοποίησης Η αναζήτηση του ολικού ακρότατου ή του ολικού µετώπου Pareto υλοποιείται µέσω µιας διαδικασίας που ακολουθεί ένας αλγόριθµος και η επιτυχία της εξαρτάται έντονα από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της επιφάνειας απόκρισης, το πλήθος των µεταβλητών απόφασης, από το διατιθέµενο χρόνο για την πραγµατοποίηση δοκιµών, αλλά σε µεγάλο βαθµό από τα χαρακτηριστικά (δυνατότητες) του ίδιου του αλγόριθµου. Οι µέθοδοι ολικής βελτιστοποίησης που διατίθενται σήµερα οµαδοποιούνται σε κατηγορίες, ακολουθώντας την ιστορική τους εξέλιξη και έχουν ενδελεχώς αναλυθεί στη βιβλιογραφία. Τα δύο βασικά χαρακτηριστικά των µεθόδων ή αλγοριθµικών σχηµάτων είναι η αποτελεσµατικότητα (effectiveness) και η αποδοτικότητα (efficiency). Τα χαρακτηριστικά αυτά εκφράζουν την ικανότητα του αλγόριθµου να προσεγγίζει τη βέλτιστη ή το σύνολο των βέλτιστων λύσεων µε επιτυχία και σε εύλογο χρονικό διάστηµα. Η αποτελεσµατικότητα µεταφράζεται ως η ικανότητα του αλγόριθµου να µην εγκλωβίζεται σε τοπικά ακρότατα µε ενσωµάτωση ποικιλίας στρατηγικών µετάβασης από σηµείο σε σηµείο του χώρου αναζήτησης, ώστε να είναι ικανός να εντοπίζει ή να προσεγγίζει το ολικό βέλτιστο. Η αποδοτικότητα σχετίζεται µε την εξοικονόµηση υπολογιστικού φόρτου και µεταφράζεται ως η ικανότητα του αλγόριθµου να ανακαλύπτει σύντοµα την επιθυµητή πορεία αναζήτησης. Είναι προφανές ότι η αποτελεσµατικότητα και η αποδοτικότητα είναι Παραδοτέο Σελίδα 56

60 αντικρουόµενες, δηλαδή όσο πιο καλά προσεγγίζει ένας αλγόριθµος το βέλτιστο µέτωπο Pareto, τόσο περισσότερο υπολογιστικό χρόνο χρειάζεται. Θα λέγαµε ότι η ταυτόχρονη µεγιστοποίηση των δύο αυτών χαρακτηριστικών αποτελεί και το µεγάλο στόχο στην ανάπτυξη αλγοριθµικών σχηµάτων. Ένα επίσης σηµαντικό χαρακτηριστικό των αλγόριθµων είναι η τυχαιότητα κατά την διάρκεια της αναζήτησης δηλαδή η αποδοχή ακόµα και µη επιθυµητής πορείας κάποιες φορές ή αλλιώς αποδοχή λύσεων που είναι χειρότερες από τις υφιστάµενες, ώστε να δίνεται η δυνατότητα να αναζητούνται λύσεις σε διαφορετικές περιοχές του χώρου αναζήτησης. Το γεγονός αυτό δεν υπονοεί µια ανεξέλεγκτη πορεία, αλλά µια ελεγχόµενη διαδικασία, στην οποία οι µεταβολές συµβαίνουν µε συστηµατικό τρόπο που ενσωµατώνει και στοχαστικούς κανόνες. Η τυχαιότητα αποτελεί θεµελιώδη έννοια κάθε µεθόδου ολικής βελτιστοποίησης, και όχι µόνο εµποδίζει τον εγκλωβισµό σε τοπικά ακρότατα, αλλά εξασφαλίζει και την αναγκαία ευελιξία για την κίνηση σε έντονα µη κυρτούς χώρους (Makropoulos, 2003). Τα κριτήρια µε τα οποία αποτιµάται η επιτυχία µιας πολυκριτηριακής αναζήτησης σχετίζονται µε τη θέση και τον αριθµό των βέλτιστων λύσεων κατά Pareto που αποτελούν το εν λόγω µέτωπο (Deb, 2001). Η θέση εκφράζεται µε τη σύγκλιση του τελικού πληθυσµού προς το πραγµατικό µέτωπο Pareto, ενώ η ποσότητα µε την οµοιόµορφη κάλυψη του µετώπου, δηλαδή την ανάπτυξη ενός καλά κατανεµηµένου πληθυσµού κατά µήκος του. Για την εξασφάλιση των ανωτέρω είναι απαραίτητη η τήρηση της σχέσης της κυριαρχίας ώστε ο πληθυσµός να κατευθύνεται προς το µέτωπο Pareto, καθώς και η µεγιστοποίηση της διασποράς των λύσεων στο χώρο αναζήτησης και αποτίµησης, ώστε οι λύσεις να είναι αντιπροσωπευτικές των δυνατών εναλλακτικών επιλογών από το σύνολο των εφικτών λύσεων του προβλήµατος. Το τελευταίο σηµαίνει ότι µη κατώτερες λύσεις που είναι συγκεντρωµένες στην ίδια περιοχή του εφικτού χώρου και ταυτόχρονα απεικονίζονται στην ίδια περιοχή του µετώπου Pareto, παρέχουν µικρή επιπρόσθετη πληροφορία (µία είναι αρκετή), ενώ αντίθετα, λύσεις µε µακρινές αποστάσεις στο χώρο αναζήτησης και κοντινές στο χώρο αποτίµησης (και το αντίστροφο) παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον καλύπτοντας µεγάλο εύρος των εφικτών λύσεων του προβλήµατος. Περισσότερο αντιληπτό γίνεται αυτό στο Σχήµα Σχήµα Κατανοµή τεσσάρων λύσεων στο χώρο αναζήτησης (αριστερά) και στο χώρο αποτίµησης (δεξιά) σε πρόβληµα βελτιστοποίησης δύο κριτηρίων. Παραδοτέο Σελίδα 57

61 Στο ανωτέρω σχήµα απεικονίζονται οι µη κατώτερες λύσεις ενός υποθετικού προβλήµατος δύο µεταβλητών απόφασης και δύο αντικειµενικών συναρτήσεων. Τα σηµεία xα και xb, και τα αντίστοιχα µέτρα επίδοσης, fα και fb, βρίσκονται σε πολύ κοντινή απόσταση, οπότε ένα από τα δύο, µπορεί να αγνοηθεί, προς όφελος της µεγιστοποίησης της διασποράς των µη κατωτέρων λύσεων του προβλήµατος. Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας µε κάποιον τρόπο έναν όρο ποινής στο µέτρο καταλληλότητας αυτού, κάτι που είναι υποκειµενικό, ωστόσο οι αλγόριθµοι νέας γενιάς κατορθώνουν να το αντιµετωπίζουν. Αντίθετα, το σηµείο xc, που επίσης βρίσκεται στην γειτονιά των xα και xb, απεικονίζεται σε εντελώς διαφορετική περιοχή του προσεγγιστικού µετώπου Pareto. Αυτό σηµαίνει ότι µεταβάλλοντας ελάχιστα τις τιµές των µεταβλητών ελέγχου, αλλάζουν σηµαντικά οι τιµές των κριτηρίων, πράγµα που συνεπάγεται µεγάλη ευαισθησία των µεταβλητών του συστήµατος που περιγράφει το πρόβληµα βελτιστοποίησης. Ακριβώς αντίστροφη είναι η συµπεριφορά της λύσης xd, που ενώ απεικονίζεται στην ίδια περιοχή του µετώπου Pareto µε την xc, οι αντίστοιχες τιµές των µεταβλητών ελέγχου διαφέρουν σηµαντικά. Στην περίπτωση αυτή, οι µεταβλητές παρουσιάζουν πολύ µικρή ευαισθησία ως προς τα κριτήρια βελτιστοποίησης. Αν εξαιρέσουµε λοιπόν ένα εκ των δύο πρώτων σηµείων, xα και xb, ο αλγόριθµος βελτιστοποίησης επιθυµούµε να ανακαλύπτει όλα τα υπόλοιπα σηµεία δίνοντας αποτελέσµατα που καλύπτουν σε µεγάλο βαθµό το χώρο αναζήτησης, αλλά και προκαλούν αποτελέσµατα σε όλο το εύρος του πεδίου αποτίµησης (Παναγόπουλος, 2010) Συνήθη ζητήµατα ανάπτυξης αλγορίθµων πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης Στην πολυκριτηριακή λοιπόν βελτιστοποίηση σκοπός είναι ο εντοπισµός ενός αντιπροσωπευτικού αριθµού µη κατώτερων λύσεων µε βάση τις οποίες είναι δυνατή µια προσεγγιστική χάραξη του µετώπου Pareto και ειδικότερα στην περίπτωση ελαχιστοποίησης στην οποία αναφερόµαστε, το µέτωπο αυτό είναι επιθυµητό να βρίσκεται όσο το δυνατόν εγγύτερα στην αρχή των αξόνων, να προσεγγίζει δηλαδή το ολικό µέτωπο Pareto που περιλαµβάνει το σύνολο των µη κυριαρχούµενων λύσεων του πεδίου τιµών. Όπως θα αναλυθεί περισσότερο παρακάτω για να επιτευχθεί η προσέγγιση του ολικού µετώπου Pareto θα πρέπει ο αλγόριθµος βελτιστοποίησης να έχει τέτοια χαρακτηριστικά και να του δίνεται ο απαραίτητος χρόνος ώστε να µην αφήνει ανεξερεύνητες περιοχές του χώρου αναζήτησης και συνεπώς να µην εγκλωβίζεται σε τοπικά µέτωπα Pareto που ορίζονται σε αντιστοιχία µε τα τοπικά ακρότατα των µονοκριτηριακών προβληµάτων. Για τους παραπάνω λόγους ένας αλγόριθµος πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης έχει συνήθως τους εξής στόχους: 1) ελαχιστοποίηση της απόστασης του µετώπου Pareto από το βέλτιστο µέτωπο Pareto, 2) καλή κατανοµή (συνήθως οµοιόµορφη) των λύσεων στο µέτωπο Pareto, 3) Μεγιστοποίηση της έκτασης του µετώπου Pareto, δηλαδή κάλυψη οσο το δυνατόν µεγαλύτερου εύρους λύσεων. Με βάση τα παραπάνω προκύπτει Α) το ζήτηµα της ανάθεσης σε κάθε άτοµο µιας της συνάρτησης καταλληλότητας και επιλογής και Β) το ζήτηµα διατήρησης της ποικιλοµορφίας του πληθυσµού προκειµένου να επιτευχθεί η επιθυµητή κατανοµή του µετώπου Pareto και να αποφευχθεί ο εγκλωβισµός σε τοπικά Παραδοτέο Σελίδα 58

62 µέτωπα Pareto Γ) το ζήτηµα διατήρησης τον µη-κυριαρχούµενων λύσεων. Για την αντιµετώπιση των παραπάνω ζητηµάτων έχουν αναπτυχθεί διάφορες τεχνικές εκ των οποίον οι πιο διαδεδοµένες παρουσιάζονται στις επόµενες υποενότητες. Ζήτηµα ανάθεσης καταλληλότητας και επιλογής Στην περίπτωση της πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης η αντικειµενική συνάρτηση και συνάρτηση καταλληλότητας δεν ταυτίζονται πάντα. Μια τεχνική είναι η ενοποίηση των αντικειµενικών συναρτήσεων, πρόκειται για µια συνήθη τακτική όπου γίνεται ενοποίηση των αντικειµενικών συναρτήσεων σε µια παραµετροποιηµένη αντικειµενική συνάρτηση. Παραδείγµατα τέτοιον µεθόδων είναι οι αλγόριθµοι των Hajela and Lin (1992) και Ishibuchi and Murata (1996) που χρησιµοποίησαν τη µέθοδο της βαριοθέτησης. Κατά αυτόν τον τρόπο η βελτιστοποίηση κατευθύνεται προς διαφορετικές κατευθύνσεις. Μειονέκτηµατα αυτής της προσέγγισης είναι ο υπολογιστικός χρόνος, η δυσκολία εντοπισµού του βέλτιστου µετώπου Pareto σε µη κυρτές επιφάνειες και η πόλωση προς τα ακραία τµήµατα της επιφάνειας (Veidhuizen, 1999). Μία διαφορετική προσέγγιση είναι η αντιµετώπιση των αντικειµενικών συναρτήσεων ξεχωριστά όπου σε αντίθεση µε τις µεθόδους ενοποίησης αντικειµενικών συναρτήσεων αυτή η κατηγορία αλγορίθµων εναλλάσσει αντικειµενικές συναρτήσεις κατά την φάση της επιλογής. Παραδείγµατα τέτοιον αλγορίθµων αποτελούν οι αλγόριθµοι των Schaffer (1985) και Kursawe (1991). Οι τεχνικές αυτές παρουσιάζουν τα ίδια µειονεκτήµατα µε τις τεχνικές ενοποίησης των αντικειµενικών συναρτήσεων αφού και οι δυο µετατρέπουν το πρόβληµα σε µονοκριτηριακό (Horn, 1997). Τέλος, µια εναλλακτική και πιο σύγχρονη προσέγγιση είναι η άµεση χρήση των εννοιών της Pareto κυριαρχίας (Goldberg, 1989). Σε αυτή τη περίπτωση τα άτοµα του πληθυσµού κατατάσσονται µε βάση της σχέσεις κυριαρχίας που έχουν µεταξύ τους και κατατάσσονται ανάλογα σε τάξης. Κατά αυτών τον τρόπο υπολογίζεται και η καταλληλότητα του κάθε ατόµου. Ζήτηµα διατήρησης ποικιλοµορφίας Στόχος των τεχνικών αυτών είναι η οµοιόµορφη προσέγγιση του βέλτιστου µετώπου Pareto έτσι ώστε τελικά να καλύπτετε το δυνατόν περισσότερο εύρος λύσεων. Επίσης ένας άλλος λόγος είναι αποφυγή της πρόωρης σύγκλισης του αλγόριθµου. Συνήθεις τακτικές είναι: Μοίρασµα καταλληλότητας (Goldberg and Richardson, 1987; Srinivas and Deb, 1994), αποµόνωση µε βάση την απόσταση (Ryan, 1995; Laumans, 1999), υπερπροσδιορισµός (Goldberg, 1994), επανεκκίνηση (Fonseca and Fleming, 1998) και πληθυσµοποίση (De Jong, 1975) Ζήτηµα διατήρησης τον µη-κυριαρχούµενων (Ελιτισµός) Ο ελιτισµός (De Jong, 1975) αντιµετωπίζει το πρόβληµα που εµφανίζεται κατά τη διάρκεια της βελτιστοποίησης και της εφαρµογής των εξελικτικών τελεστών υπάρχει περίπτωση να «χαθούν» καλές λύσεις. Ένας τρόπος αντιµετώπισης του προβλήµατος είναι ο συνδυασµός Παραδοτέο Σελίδα 59

63 του παλαιού πληθυσµού, µε τους απογόνους που παράγονται, και στη συνέχεια η εφαρµογή µιας ντετερµινιστικής διαδικασίας επιλογής. Εναλλακτικά, χρησιµοποιείται ένας δευτερεύων πληθυσµός, ο οποίος συντηρεί τις καλές λύσεις που έχουν αντιγραφεί στο νέο πληθυσµό. Ένα δηµοφιλές κριτήριο που χρησιµοποιείται είναι αυτό της κυριαρχίας. Ο δευτερεύων πληθυσµός πραγµατοποιεί συγκρίσεις µόνο για την εκάστοτε προσέγγιση του συνόλου Pareto, κατά αυτόν τον τρόπο εξοικονοµούνται υπολογιστικοί πόροι. Τα µέλη του δευτερεύοντος πληθυσµού που είναι κυριαρχούµενα, διαγράφονται από τον πληθυσµό. Οι περισσότεροι πολυκριτηριακοί εξελικτικοί αλγόριθµοι χρησιµοποιούν ένα συνδυασµό κυριαρχίας και πυκνότητας ώστε να διαλέξουν τα άτοµα εκείνα που θα στελεχώσουν το δευτερεύων πληθυσµό της κάθε γενιάς. Υπάρχει όµως το ενδεχόµενο, η εφαρµογή αυτής της τεχνικής να οδηγήσει στο πρόβληµα της επιδείνωσης, δηλαδή τα άτοµα που βρίσκονται στο δευτερεύον πληθυσµό σε µια δεδοµένη γενιά, να κυριαρχούνται από άτοµα τα οποία απάρτιζαν το δευτερεύον πληθυσµό σε διαφορές προηγούµενες γενιές και απερρίφθησαν στην συνέχεια. Πρόσφατα, αναπτύχθηκε µια τεχνική η οποία έχει τη δυνατότητα να εξασφαλίζει την αποφυγή αυτού του προβλήµατος και ταυτόχρονα να διατηρείται ένα ποικίλο σύνολο Pareto (Laumanns, 2002) ιαδικασία αναζήτησης και λήψης απόφασης Όσον αφορά την επίλυση πολυκριτηριακών προβληµάτων δυο είναι τα συνηθέστερα προβλήµατα που συναντώνται, η αναζήτηση και η λήψη απόφασης. Το πρώτο αφορά τη διαδικασία βελτιστοποίησης και την εύρεση των Pareto-βέλτιστων λύσεων. Το δεύτερο αφορά την επιλογή µιας λύσεις από το σύνολο των Pareto-βέλτιστων λύσεων. Ωστόσο αυτά τα δύο πολλές φορές συνδυάζονται και επηρεάζει το ένα το άλλο, π.χ. όταν οι αντικειµενικές συναρτήσεις ενοποιούνται. Γενικά διακρίνονται τρείς κατηγορίες (Marler and Arora, 2004). Εκ τον προτέρων λήψη απόφασης : Οι αντικειµενικές συναρτήσεις του προβλήµατος ενοποιούνται σε µία παραµετρική αντικειµενική συνάρτηση, η οποία περιλαµβάνει πληροφορίες προτεραιότητας, δίνοντας βάρος σε συγκεκριµένες αντικειµενικές συναρτήσεις. Εκ τον υστέρων λήψη απόφασης: Η βελτιστοποίηση πραγµατοποιείται, χωρίς πληροφορίες προτεραιότητας. Το αποτέλεσµα της αναζήτησης είναι ένα σύνολο (ιδανικών Pareto-βέλτιστων) υποψήφιων λύσεων, από το οποίο γίνεται και η τελική επιλογή της λύσης. Λήψη απόφασης κατά τη διάρκεια της αναζήτησης: Η προτεραιότητα ως προς τις αντικειµενικές συναρτήσεις, δηλώνεται κατά τη διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Ύστερα από κάθε βήµα βελτιστοποίησης, παίρνουµε ένα αριθµό βέλτιστων λύσεων, µε βάση των οποίων δίνονται επιπλέον πληροφορίες προτεραιότητας και αντίστοιχα καθοδηγείται η αναζήτηση. Η ενοποίηση πολλαπλών αντικειµενικών συναρτήσεων σε ένα κριτήριο βελτιστοποίησης, έχει το πλεονέκτηµα πως επιτρέπει την εφαρµογή στρατηγικών που χρησιµοποιούνται σε Παραδοτέο Σελίδα 60

64 προβλήµατα µονοκριτηριακής βελτιστοποίησης. Μειονέκτηµα ωστόσο αποτελεί πως απαιτεί εκ τον προτέρον γνώση του τοµέα εφαρµογής, η οποία είναι σπάνια διαθέσιµη. Το πρόβληµα αυτό αντιµετωπίζεται µε την πραγµατοποίηση της αναζήτησης πριν από τη λήψη απόφασης. Ένα ακόµα πρόβληµα της µεθόδου αυτής, καθώς και της τρίτης κατηγορίας αλγορίθµων, µπορεί να είναι η οπτικοποίηση και η παρουσίαση των µη κυριαρχούµενων συνόλων για προβλήµατα βελτιστοποίησης µε περισσότερες δυο διαστάσεις (στόχους). Η λήψη απόφασης σε ένα πολυκριτηριακό πρόβληµα έγκειται σε µεγάλο βαθµό στην κρίση του µελετητή/ερευνητή και είναι υποκειµενική. Σε αντίθεση µε την εκ των προτέρων απόδοση βαρών στα κριτήρια ώστε τελικά από το σύνολο των ισοδύναµων λύσεων Pareto να προκύπτει η µία και µοναδική βέλτιστη, η επιλογή της καλύτερα συµβιβαστικής λύσης προτιµάται να γίνεται µετά την αναζήτηση, µε επιλογή από το σύνολο των µη κυριαρχούµενων λύσεων. Μεγάλη σηµασία για την ορθότητα κάθε λήψης απόφασης έχει βέβαια ο σωστός καθορισµός του µετώπου που καθορίζεται από τη γεωµετρία του. Η τελευταία είναι άγνωστη στα περισσότερα προβλήµατα, κατά συνέπεια η χάραξή του γίνεται πάντα κατά προσέγγιση, εντοπίζοντας όσο το δυνατόν πιο πολλές µη κατώτερες λύσεις Κατηγοριοποίηση αλγορίθµων πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης Η συνηθέστερη µέθοδος κατηγοριοποίησης των εξελικτικών αλγόριθµων πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης σχετίζεται µε την µηχανισµό επιλογής που χρησιµοποιείται. Γενικά µπορεί να διακριθούν σε τρείς ευρείς κατηγορίες: Πολυκριτηριακοί ΕΑ που συνδυάζουν ή συναθροίζουν τις αντικειµενικές συναρτήσεις Πολυκριτηριακοί ΕΑ που χρησιµοποιούν την µέθοδο των περιορισµών για την εύρεση το µετώπου Pareto Πολυκριτηριακοί ΕΑ που χρησιµοποιούν την έννοια, τις σχέσεις και το σύνολο Pareto Πολυκριτηριακοί ΕΑ που συνδυάζουν ή συναθροίζουν τις αντικειµενικές συναρτήσεις Η χρήση δύο ή περισσότερων κριτηρίων σε µία κοινή καθολική αριθµητική έκφραση αποτίµησης µπορεί να γίνει υποκειµενικά µε απόδοση βαρών στα επιµέρους µέτρα επίδοσης µετατρέποντας έµµεσα το πρόβληµα σε µονοκριτηριακό. Στην περίπτωση αυτή καθίσταται υποχρεωτική η επανάληψη της υπολογιστικής διαδικασίας πολλές φορές, ώσπου να εντοπιστεί ικανοποιητικός αριθµός λύσεων που είναι αντιπροσωπευτικές ενός συνόλου από βέλτιστες, µε διαφορετικές τιµές για τα βάρη (wi) των κριτηρίων (fi), συνδυασµοί που µπορεί να οδηγήσουν σε πολύ διαφορετικά αποτελέσµατα του συνολικού Παραδοτέο Σελίδα 61

65 µέτρου επίδοσης f. Η παρακάτω σχέση περιγράφει ένα τέτοιο πρόβληµα µε τις µεταβλητές να έχουν ήδη οριστεί: n f = w f + w f w f µε w = n n i i= 1 (40) Η µέθοδος αυτή, αν και απλή, δίνει ένα µονοσήµαντο αποτέλεσµα και αδυνατεί πολλές φορές να εντοπίσει κάποιες πιθανές λύσεις, δηµιουργώντας έντονα µη οµαλές επιφάνειες απόκρισης εξαιτίας της ενσωµάτωσης κριτηρίων διαφορετικής κλίµακας σε µια ενιαία αριθµητική έκφραση. Όταν λοιπόν πρόκειται για µη σύµµετρα κριτήρια το συνολικό µέτρο επίδοσης δεν έχει φυσικό νόηµα και αυτό προϋποθέτει την εκ των προτέρων διαδικασία της κανονικοποίησης (standardization) των επιµέρους µέτρων επίδοσης (Makropoulos et al., 2007). Η διαδικασία αυτή µπορεί για παράδειγµα να πραγµατοποιηθεί µε διαίρεση των επιµέρους µέτρων µε το εκ των προτέρων γνωστό ελάχιστο µέτρο επίδοσης κάθε κριτηρίου ώστε τα επιµέρους µέτρα επίδοσης fi της Εξίσωσης (40) να εκφράζουν όλα µία απόλυτη σύγκλιση µε τη βέλτιστη τιµή τους (µονάδα). Ακόµα και έτσι όµως, εµπεριέχεται έντονη υποκειµενικότητα ως προς την έκφραση των µέτρων επίδοσης των κριτηρίων. Επίσης σηµαντικό µειονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ότι αδυνατεί να παράγει το βέλτιστο σύνολο Pareto για µη κυρτές επιφάνειες λύσεων. Έστω τα βάρη w 1, w 2 και η λύση x που µεγιστοποιεί την συνάρτηση w y= w1f1(x) + w2f2(x) η οποία εύκολα µετατρέπεται σε f 1 2( x) = f1( x) y. w + w Έτσι 2 2 w µπορεί να ορισθεί µια ευθεία µε κλίση 1 στον χώρο των λύσεων (Σχήµα 13-3) και w 2 σταθερό όρο y. w 2 Γραφικά, η διαδικασία βελτιστοποίησης αντιστοιχεί µε µετακίνηση αυτής της γραµµής προς τα πάνω µέχρι να µην υπάρχει εφικτό αντικειµενικό διάνυσµα πάνω από αυτή και τουλάχιστον ένα εφικτό αντικειµενικό διάνυσµα (στην εικόνα είναι το Α και το D) να βρίσκεται πάνω σε αυτή. Τα σηµεία B και C δεν πρόκειται ποτέ να µεγιστοποιούν την f. Εάν η κλίση της γραµµής αυξηθεί, το D πετυχαίνει µεγαλύτερη τιµή για την f (πάνω διακοπτόµενη γραµµή), ενώ εάν η κλίση µειωθεί, το Α έχει µεγαλύτερη τιµή της f από το Β και το D (κάτω διακοπτόµενη γραµµή). Παραδοτέο Σελίδα 62

66 Σχήµα 13-3.Γραφική απεικόνιση της µεθόδου των συντελεστών βαρύτητας Σε κάθε περίπτωση, σε αυτή τη µορφή βελτιστοποίησης οι εναλλακτικές λύσεις αξιολογούνται µόνο ως προς τη συνάθροιση αυτών µέσω της ολικής αντικειµενικής συνάρτησης. Αυτό οδηγεί πάντα στην απώλεια σηµαντικής πληροφορίας στην αξιολόγηση των διαφόρων πτυχών του προβλήµατος, µε αδυναµία π.χ. να εντοπιστεί το µέγεθος της υποβάθµισης ενός κριτηρίου όταν κάποιο άλλο βελτιώνεται (αντικρουόµενα), που πιθανά να οδηγούσε σε διαφορετική πορεία αναζήτησης και αποδοχής των παραγόµενων λύσεων. Τα ανωτέρω ζητήµατα οδήγησαν τις τελευταίες δεκαετίες σε αντιµετώπιση τέτοιων προβληµάτων µέσω πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης, δηλαδή µε ταυτόχρονη αναζήτηση πολλών ισοδύναµων βέλτιστων λύσεων, όπως θα παρουσιαστεί στη συνέχεια. Λόγω των αδυναµιών µιας προσέγγισης µετατροπής του πολυκριτηριακού προβλήµατος σε µονοκριτηριακό, θεωρείται ότι η αντιµετώπιση µε βάση την εξίσωση (40) µπορεί να εφαρµοστεί µόνο βοηθητικά, και περισσότερο για σύγκριση µε την παροχή υποστήριξης για τη λήψη απόφασης που έχει πραγµατοποιηθεί εκ των προτέρων µε βάση την πολυκριτηριακή ανάλυση. Από µόνη της η εν λόγω προσέγγιση δε θα µπορούσε παρά να δώσει µία αυθαίρετη και εκ των προτέρων καθορισµένη συµβιβαστική λύση που θεωρείται η καλύτερη, χωρίς επαρκή πληροφορία για τον ανταγωνισµό των κριτηρίων, παρά µόνο µετά από το επίπονο στάδιο των πολυάριθµων δοκιµών µε εναλλακτικές τιµές για τα επιµέρους βάρη Πολυκριτηριακοί ΕΑ που χρησιµοποιούν την µέθοδο των περιορισµών για την εύρεση το µετώπου Pareto Μία άλλη τεχνική, η οποία δεν πολώνεται µόνο προς το κυρτό τµήµα των Paretoβέλτιστων λύσεων, µετατρέπει τις k-1 από τις k αντικειµενικές συναρτήσεις σε περιορισµούς. Η συνάρτηση που αποµένει, η οποία επιλέγεται τυχαία, είναι η αντικειµενική συνάρτηση του προβλήµατος βελτιστοποίησης ενός αντικειµενικού στόχου που προκύπτει. max y = f ( x) = f ( x) subject to: e ( x) = f ( x) e, (1 i k, i h) x X f 1 h i i Παραδοτέο Σελίδα 63

67 Σχήµα Γραφική απεικόνιση της µεθόδου περιορισµού Τα κατώτερα όρια ε i είναι οι παράµετροι που µεταβάλλονται από τον αλγόριθµο βελτιστοποίησης προκειµένου να βρεθούν οι πολλαπλές Pareto-βέλτιστες λύσεις. Η µέθοδος περιορισµών (Σχήµα 13-4) µπορεί να βρει λύσεις που προκύπτουν από το µη κυρτό τµήµα του εφικτού χώρου λύσεων. Θέτοντας h=1 και ε=r (συνεχής γραµµή), η λύση Α καθίσταται µη εφικτή ως προς το εκτεταµένο σύνολο περιορισµών, ενώ το διάνυσµα απόφασης Β µεγιστοποιεί την f. Στο Σχήµα 13-4 φαίνεται επίσης ένα µειονέκτηµα αυτής της τεχνικής. Εάν τα κατώτερα όρια δεν επιλεγούν κατάλληλα (ε 2 =r ), το νέο σύνολο εφικτών λύσεων που προκύπτει µπορεί να είναι κενό, δηλαδή το πρόβληµα της απλής βελτιστοποίησης να µην έχει λύση. Προκειµένου να αποφευχθεί αυτή η περίπτωση, πρέπει να είναι γνωστό εκ των προτέρων ένα κατάλληλο εύρος τιµών για την ε i Πολυκριτηριακοί ΕΑ που χρησιµοποιούν την έννοια, τις σχέσεις και το σύνολο Pareto Οι αλγόριθµοι που ανήκουν στην κατηγορία αυτή χρησιµοποιούν άµεσα τις έννοιες της Pareto κυριαρχίας (Goldberg, 1989) για τις διαδικασίες υπολογισµού της καταλληλότητας και επιλογής των ατόµων. Οι αλγόριθµοι τις κατηγορίας αυτής συνήθως χρησιµοποιούν τεχνικές διαβάθµισης των λύσεων και διατήρησης ποικιλίας του πληθυσµού. Κάποιες από αυτές αναφέρθηκαν σε προηγούµενες ενότητες. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα αυτής της κατηγορίας αλγορίθµων είναι οι αλγόριθµου Pure Pareto Ranking (Goldberg, 1989), Multi- Objective Evaluation Genetic Algorithm (MOGA - Fonseca and Fleming, 1993), Non- Dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA - Srinivas and Deb, 1994), Niched Pareto Genetic Algorithm (NPGA Horn et al., 1994), Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA - Zitzler and Thiele, 1999), Pareto Archived Evolution Strategy (PAES - Knowles and Corne, 2000), Micro Genetic Algorithm for Multi-Objective Optimization (Coello Coello, 2001), General Multi-Objective Program (GENMOP Knarr et al., 2003), Multiobjective Particle Swarm Optimization (MOPSO - Coello Coello et al., 2004), Multiobjective Evolutionary Annealing-Simplex (MEAS Ευστρατιάδης, 2008) και Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm-ΙΙ (NSGA-ΙΙ - Deb et al., 2002). Παραδοτέο Σελίδα 64

68 14 Ο πολυκριτηριακός γενετικός αλγόριθµος NSGA-II Κωδικός έργου: 1272 Οι Deb et al. το 2002 ανέπτυξαν τον πολυκριτηριακό γενετικό αλγόριθµο NSGA-II ο οποίος αποτελεί την εξέλιξη του NSGA (Srinivas and Deb, 1994), σηµαντική εξέλιξη αποτελεί η ενσωµάτωση της στρατηγικής του ελιτισµού και ενός µηχανισµού για τη διατήρηση της ποικιλοµορφίας. Βασικά τµήµατα είναι το κύριο µέρος του αλγορίθµου, η ταξινόµηση των µη κυριαρχουσών λύσεων και η διατήρηση της διακριτότητας των λύσεων. Ο αλγόριθµος ξεκινάει µε έναν αρχικό πληθυσµό P t µεγέθους Ν, ο οποίος αποτελεί την βάση για την δηµιουργία του πληθυσµού των απογόνων Q t µεγέθους Ν, κατόπιν εφαρµογής των γενετικών τελεστών. Στη συνεχεία οι δυο πληθυσµοί P t και Q t συνδυάζονται και σχηµατίζουν το σύνολο R t µεγέθους 2Ν. Έπειτα τα άτοµα του πληθυσµού ταξινοµούνται µε βάση τις έννοιες της Pareto κυριαρχίας. Αφού ταξινοµηθεί ο πληθυσµός, ο νέος πληθυσµός συµπληρώνεται από λύσεις διαφόρων µη κυριαρχούµενων µετώπων. Η συµπλήρωση ξεκινάει µε τα άτοµα που ανήκουν στο πρώτο τη τάξη µέτωπο Pareto και συνεχίζει µε τον επόµενο εωσότου συµπληρωθεί ο νέος πληθυσµός µεγέθους Ν. Τα άτοµα (λύσεις) που δεν συµπεριλήφθησαν στο νέο πληθυσµό διαγράφονται. Η παραπάνω διαδικασία παρουσιάζεται γραφικά στο Σχήµα Σχήµα Γραφική αναπαράσταση της διαδικασίας του αλγορίθµου NSGA-II Το κύριο µέρος του αλγορίθµου Αρχικά ο αλγόριθµος δηµιουργεί έναν τυχαίο αρχικό πληθυσµό (συνήθως µε οµοιόµορφο τρόπο) ο οποίος ταξινοµείται σε «τάξης» ή επίπεδα που εκφράζουν την µη κυριαρχία. Παραδοτέο Σελίδα 65

69 Έπειτα για κάθε άτοµο υπολογίζεται η καταλληλότητα η οποία εκφράζει το επίπεδο µη κυριαρχίας (µικρότερο = καλύτερο). Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση της τιµής καταλληλότητας. Στη συνέχεια για την παράγωγη των απογόνων Q t µεγέθους Ν χρησιµοποιούνται οι γενετικοί τελεστές επιλογής, ανασχεδιασµού και µετάλλαξης σε συνδυασµό µε τον τελεστή της πληθυσµιακής απόστασης (Crowding distance) για την διασφάλιση της ποικιλοµορφίας των ατόµων. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται εωσότου ικανοποιηθεί κάποιο από τα κριτήρια τερµατισµού. Αναλυτικότερα: Βήµα 1: Συνδυασµός των πληθυσµών γονέων και απογόνων και δηµιουργία του R = P Q t, Ταξινόµηση του Rt, και αναγνώριση των µετώπων F i,, i=1,2,,k. t t Βήµα 2: ηµιουργείτε ο νέο πληθυσµός P t + 1 εκτελείτε Pt + 1 = Pt + 1 F ι µέχρι Pt+ 1 + Ft+ 1 >Ν και i=i+1. = και ο µετρητής i=1. Στη συνέχει Βήµα 3: Εκτελείτε η διαδικασία της ταξινόµησης σε συνδυασµό τον τελεστή της πληθυσµιακής απόστασης (Crowding distance) για την διασφάλιση της ποικιλοµορφίας των ατόµων. χρησιµοποιώντας τις τιµές απόστασης πυκνότητας του ταξινοµηµένου F i µετώπου, στον P t+1 πληθυσµό. Βήµα 4: ηµιουργείτε ο πληθυσµός απογόνων Q t+1 µε βάση τον P t+1 χρησιµοποιώντας τους γενετικούς τελεστές επιλογής, ανασχεδιασµού και µετάλλαξης. Ταξινόµηση των µη κυριαρχουσών λύσεων Επιπλέον ο NSGA-II ενσωµατώνει µια µέθοδο η οποία µειώνει το υπολογιστικό κόστος ταξινόµησης των λύσεων. Η νέα διαδικασία υπολογίζει δύο ποσότητες για κάθε ένα από τα άτοµα του υπάρχων πληθυσµού. Αρχικά υπολογίζεται ο αριθµός n p που αποτελεί το πλήθος των λύσεων που κυριαρχούν τη συγκεκριµένη λύση p και έπειτα το σύνολο S p, στο οποίο αποθηκεύονται οι αύξοντες αριθµοί των λύσεων που κυριαρχεί η λύση p. Καταυτόν τον τρόπο αυτό, όλες οι λύσεις που ανήκουν στο βέλτιστο µέτωπο Pareto θα έχουν n p = 0 και τις τοποθετούµε σε ένα σύνολο που ονοµάζετε Q, το οποίο αντιπροσωπεύει όλες τις λύσεις του έως τώρα Pareto βέλτιστου µετώπου. Σε κάθε ένα από τα άτοµα που ανήκουν στο σύνολο Q αντιστοιχεί, όπως προαναφέραµε ένα διάνυσµα S p. Σε κάθε ένα από τα άτοµα που βρίσκονται στα S p των ατόµων του Q µειώνουµε το αντίστοιχο n p κατά ένα. Με τον τρόπο αυτό, αν σε κάποιο/α από τα άτοµα αυτά το n p προκύψει ίσο µε µηδέν, αυτό σηµαίνει πως το άτοµο αυτό ανήκει στο δεύτερο µη κυριαρχούµενο µέτωπο και το τοποθετούµε στο σύνολο Q 2. Επαναλαµβάνοντας τη παραπάνω διαδικασία για κάθε ένα από τα µέλη του Q 2 και τοποθετώντας όσα άτοµα αποκτήσουν n p = 0 στο σύνολο Q 3 προκύπτει το τρίτο κατά σειρά µη κυριαρχούµενο µέτωπο. Συνεχίζοντας τη διαδικασία τοποθετούµε τελικώς όλα τα άτοµα του πληθυσµού Παραδοτέο Σελίδα 66

70 σε διαφορετικές τάξεις που αντιπροσωπεύουν τα άτοµα που κυριαρχούνται από 0,1,2 κ.ο.κ. άτοµα του παρόντος πληθυσµού. Η διαδικασία αύτη µειώνει δραστικά τον απαιτούµενο υπολογιστικό χρόνο ενώ παρέχει το ίδιο αποτέλεσµα µε την αντίστοιχη του NSGA (Srinivas and Deb, 1994). ιατήρηση της διακριτότητας των λύσεων Στόχος της διαδικασίας αυτής είναι να συνδράµει στην εύρεση ενός συνόλου Pareto λύσεων τι οποίο να είναι όσο το δυνατόν πιο διακριτό. Ο παρόν αλγόριθµος χρησιµοποιεί µια τεχνική η οποία ονοµάζεται Crowding distance (πληθυσµιακή απόσταση). Η τεχνική αυτή µας δίνει ένα µέτρο απόστασης µεταξύ δύο ατόµων ενός πληθυσµού. Η διαδικασία ξεκινάει µε την ταξινόµηση κατά αύξουσα σειρά του πληθυσµού των ατόµων σύµφωνα µε την αντικειµενική συνάρτηση f για k=1,2 m ξεχωριστά. Στη συνέχεια αναθέτουµε µια k µεγάλη τιµή ή άπειρη στις οριακές λύσεις x (i) κάθε αντικειµενικής συνάρτησης και για όλες τις άλλες ενδιάµεσες λύσεις χρησιµοποιείτε η παρακάτω σχέση: d kx( j) = f (x ) f (x ) k ( j+ 1) k ( j 1) f kmax f kmin (41) Όπου f kmax και f kmin είναι η µέγιστη κα ελάχιστη τιµή κάθε αντικειµενικής συνάρτησης για k=1,2 m. Η συνολική πληθυσµιακή απόσταση είναι ίση µε το συνολικό άθροισµα των αποστάσεων όλες τις αντικειµενικές συναρτήσεις d κάθε λύσης x x (i) (i) του πληθυσµού d kx(i) f του προβλήµατος: k d. xi () dkxi () k f k της συγκεκριµένης λύσης σε = (42) Στην Σχήµα 14-2, απεικονίζεται γραφικά ο τρόπος υπολογισµού του πρόβληµα µε δύο αντικειµενικές συναρτήσεις για µια λύση x (j). Η τιµή του d για ένα x (i) d είναι x (i) ανάλογη µε το ήµισυ της περιµέτρου του κυβοειδούς (ορθογώνιο µε διακεκοµµένες γραµµές) που συνδέει δύο γειτονικές λύσεις του x (j). Σηµαντικό πλεονέκτηµα αυτής της µεθόδου είναι η µικρός υπολογιστικός φόρτος και η χαµηλή πολυπλοκότητα. Παραδοτέο Σελίδα 67

71 Σχήµα Γραφική απεικόνιση του υπολογισµού απόστασης πυκνότητας 15 Οι πολυκριτηριακοί αλγόριθµοι σµήνους πουλιών (Multiobjective Particle Swarm Optimisation) 15.1 Γενικά Σύµφωνα µε τους Reyes-Sierra and Coello (2006) για να µπορούν οι αλγόριθµοι PSO να αντιµετωπίσουν πολυκριτηριακό προβλήµατα πρέπει να ληφθούν υπόψη τα έξης: Πως θα γίνει η επιλογή των ατόµων-οδηγών. Πως θα διατηρήσουν της µη-κυριαρχούµενες λύσεις. Πως θα διατηρήσουν την ποικιλοµορφία του σµήνους (πληθυσµού) για να αποφύγουν την πρόωρη σύγκλιση. Όπως αναφέρθηκε και σε προηγούµενη ενότητα για τον καθορισµό του οδηγού σηµαντικός παράγοντας είναι η τοπολογία των γειτονιών του. Στην πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση µε PSO κάθε άτοµο µπορεί να έχει ένα σύνολο οδηγών από το οποίο επιλέγετε ένας για την εξέλιξη του ατόµου. Συνήθως το σύνολο των οδηγών αποθηκεύεται σε ένα ξεχωριστό εξωτερικό αρχείο (repository). Στο αρχείο αυτό αποθηκεύονται οι µηκυριαρχούµενες λύσεις που έχουν βρεθεί έως τώρα. Οι λύσεις αυτές χρησιµοποιούνται ως οδηγοί για την εξέλιξη των ατόµων του σµήνους. Παρακάτω δίνεται ένας τυπικός πολυκριτηριακούς αλγορίθµου PSO σε µορφή ψευδοκώδικα. Αρχικά δηµιουργείτε ο αρχικός πληθυσµός (σµήνος). Έπειτα εντοπίζονται οι µη-κυριαρχούµενες λύσεις που αποτελούν το σύνολο των οδηγών (leaders) και αποθηκεύεται σε ένα ξεχωριστό εξωτερικό αρχείο (repository). Στη συνέχεια υπολογίζεται Παραδοτέο Σελίδα 68

72 η ποιότητα των οδηγών µε χρήση κάποιο µέτρου ποιότητας και ανατίθεται (συνήθως) ένας οδηγός για κάθε άτοµο του σµήνους. Σε κάθε γενιά και για κάθε άτοµο επιλέγεται ένας οδηγός και το άτοµο εξελίσσεται. Σε πολλές περιπτώσεις χρησιµοποιείται και τελεστής µετάλλαξης (Mutation/turbulence). Έπειτα υπολογίζονται οι αντικειµενικές συναρτήσεις για κάθε άτοµο και τα αντίστοιχα pbest ανανεώνονται. Ένα νέο άτοµο αντικαθιστά το αντίστοιχο του pbes t αν το κυριαρχεί. Στη συνέχεια αφού έχουν υπολογισθεί όλα τα άτοµα το σύνολο των οδηγών (leaders) ανανεώνεται. Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται έως ότου συµπληρωθεί το µέγιστο επιτρεπτό νούµερο γενεών. Αλγόριθµος 2: Ψευδοκώδικας ενός τυπικού πολυκριτηριακού αλγορίθµου PSO. 1: ηµιουργία σµήνους (Πληθυσµός) 2: Εντοπισµός των Leaders (οδηγών) and store in external archive(repository) 3: Εκτίµηση ποιότητας των Leaders (οδηγών) 4: generation=0 5: While generation <max generation do 6: For each particle (άτοµο) do 7: Select Leader (επιλογή οδηγού) 8: updateposition()//flight (σχέσεις (21) και (22)) and Mutation/turbulence () 9: Evaluation() 10: Update Pbest() 11: End for 12: Update Leaders and store in external archive(repository) 13: Εκτίµηση ποιότητας των Leaders (οδηγών) 14: Generation ++ 15: End While Παραδοτέο Σελίδα 69

73 Με βάση τα παραπάνω είναι εµφανές πως προκύπτουν κάποια ζητήµατα σχεδιασµού πολυκριτηριακών PSO αλγορίθµων. Οι Pudido (2005) και Reyes-Sierra and Coello (2006) αναφέρουν τα εξής: Επιλογή και εξέλιξη οδηγών (leaders) Πως γίνετε η επιλογή ενός οδηγού από το σύνολο των µη-κυριαρχούµενων λύσεων οι οποίες είναι εξίσου καλές? Πρέπει να γίνεται τυχαία επιλογή ή ένα γίνει εισαγωγή ενός επιπλέον κριτηρίου? Πως επιλέγονται τα άτοµα που παραµένουν στο εξωτερικό αρχείο (repository) σε κάθε επανάληψη? Εξέλιξη και δηµιουργία νέων λύσεων Πως επιτυγχάνετε οι διασπορά νέων λύσεων: εξέλιξη µε βάση της εξισώσεις (21) και (22) και τελεστής µετάλλαξης (Mutation/turbulence) 15.2 Επιλογή και εξέλιξη οδηγών Ένας τρόπος να αντιµετωπιστεί το πρόβληµα των οδηγών είναι η µετατροπή του πολυκριτηριακού προβλήµατος σε µονοκριτηριακό. Ωστόσο κάτι τέτοιο οδηγεί σε προβλήµατα που συζητήθηκαν σε προηγούµενη ενότητα, όπως η αδυναµία εύρεσης του µη κυρτών µετώπων Pareto. Όπως αναφέρθηκε και προηγούµενος η επιλογή του οδηγού αποτελεί σηµείο κλειδί για το σχεδιασµό πολυκριτηριακών αλγορίθµων PSO. Η πιο άµεση προσέγγιση είναι να θεωρηθεί κάθε µη-κυριαρχούµενη λύση οδηγός και από αυτό το σύνολο να επιλεγεί ένας νέος οδηγός. Καταυτόν τον τρόπο ένα µέτρο ποιότητας καθορίζει πόσο καλός είναι ένας οδηγός. Πολλοί συγγραφείς προτείνουν µέτρα ποιότητας που αφορούν την πυκνότητα των λύσεων. ύο συνήθεις τακτικές είναι η µέθοδος πυκνότητας του πλησιέστερου γείτονα (Nearest neighbor density estimator Deb et al., 2002) και η µέθοδος πυκνότητας πυρήνα (Kernel density estimator- Goldberg and Richardson, 1987; Deb and Goldberg, 1989). Μέθοδος πυκνότητας του πλησιέστερου γείτονα (Nearest neighbor density estimator) Η µέθοδος αυτή µας δίνει µια εκτίµηση του πόσο κοντά (πυκνά) είναι οι πλησιέστεροι γείτονες (άτοµα) ενός ατόµου. Το µέτρο αυτό όπως παρουσιάστηκε και σε προηγούµενη ενότητα εκτιµάει την περίµετρο του κυβοειδούς που διαµορφώνεται από τους πλησιέστερους γείτονες. Μέθοδος πυκνότητας πυρήνα (Kernel density estimator) Παραδοτέο Σελίδα 70

74 Κάθε άτοµο µοιράζεται πληροφορίες µε άλλα άτοµα, η καταλληλότητα κάθε ατόµου µειώνεται ανάλογα µε τον αριθµό και την πυκνότητα (πιο κοντά) των ατόµων που το περιβάλλον δεδοµένης µιας περιµέτρου. Η «γειτονιά» ενός ατόµου ορίζεται µε µία παράµετρο σ share που ορίζει την ακτίνα της «γειτονιάς». Οι γειτονίες αυτές ονοµάζοντε θύλακες (niches - Σχήµα 15-1). Σχήµα Για κάθε άτοµο ορίζεται ένας θύλακας (niche), προτιµώνται άτοµα µε λιγότερο πυκνούς θύλακες ιατήρηση και διασπορά µη κυριαρχούµενων λύσεων Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, είναι σηµαντικό να διατηρούνται οι µηκυριαρχούµενες λύσεις που βρέθηκαν κατά τη διάρκεια της αναζήτησης ούτος ώστε να είναι δυνατή η παρουσίαση τους στο τέλος της επαναληπτικής διαδικασίας. Κάτι τέτοιο είναι χρήσιµο και για θεωρητικούς λόγους (Rudolph, 1998). Ο πιο απλός και ευθύς τρόπος για να επιτευχθεί κάτι τέτοιο είναι χρήση ενός εξωτερικού αρχείου (repository). Η εγγραφή στοιχείων (ατόµων/λύσεων) σε αυτό το αρχείο θα επιτρέπετε αν και µόνο αν (α) αποτελεί µη-κυριαρχούµενη λύση σε σχέση µε τα περιεχόµενα του αρχείου (β) αν κυριαρχεί κάποιο από τα άτοµα του αρχείο (σε αυτή τη περίπτωση το κυριαρχούµενο άτοµα διαγράφεται). Το µειονέκτηµα αυτής της προσέγγισης είναι η συνεχείς και γρήγορη αύξηση του µεγέθους του αρχείου. Κάτι τέτοιο αποτελεί σηµαντικό παράγοντα αφού το αρχείο ανανεώνετε σε κάθε γενιά. Κατά αυτόν τον τρόπο η υπολογιστική διαδικασία µπορεί να γίνει ιδιαίτερα χρονοβόρα. Στην χειρότερη υπολογιστικά περίπτωση όπου όλα τα άτοµα του σµήνους πληρούν τις προϋποθέσεις για την είσοδο στο εξωτερικό αρχείο ο υπολογιστικός χρόνος για την ανανέωση του αρχείο έχει πολυπλοκότητα της τάξης του O(kN 2 ), όπου Ν το µέγεθος του σµήνους και k ο αριθµός των αντικειµενικών συναρτήσεων. Έτσι αν αυτό συµβαίνει σε κάθε γενιά (Μ) η πολυπλοκότητα γίνεται O(kΜN 2 ). Κυρίως λοιπόν για πρακτικούς λόγους το εξωτερικό αρχείο περιορίζεται (Coello Coello et al., 2002), αυτό καθιστά απαραίτητη τη χρήση ενός επιπρόσθετου κριτηρίου για την επιλογή των µη-κυριαρχούµενων λύσεων που θα εισαχθούν στο αρχείο. Συνήθεις τακτικές που χρησιµοποιούνται σε πολυκριτηριακούς ΕΑ είναι η συσταδοποίηση (clustering - Zitzler Παραδοτέο Σελίδα 71

75 and Thiele, 1999) και η χρήση γεωγραφικών σχηµάτων που τοποθετούν τις µηκυριαρχούµενες λύσεις σε κελία έτσι ώστε να ευνοούν λιγότερα πυκνά κελία κατά τη διαγραφή ενός στοιχείου από το αρχείο (Knowles and Corne, 2000). Γενικά είναι χρήσιµο να χρησιµοποιούνται τρία εξωτερικά αρχεία: ένα για την αποθήκευση των ολικά βέλτιστων λύσεων, ένα για την αποθήκευση των ατοµικών βέλτιστων λύσεων και ένα για την αποθήκευση των τοπικά βέλτιστων λύσεων (αν υπάρχουν). Στην πράξη λίγοι συγγραφείς αναφέρουν την χρήση περισσότερων του ενός εξωτερικού αρχείου. Εκτός από την χρήση του εξωτερικού αρχείου είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί τελεστής πρόσθετης επιλογής κατά τον οποίο οι γονείς ανταγωνίζονται µε τους απογόνους τους και τα µη-κυριαρχούµενα άτοµα επιλέγονται. Σε αυτή την περίπτωση PSO αλγορίθµων η πρόσθετη διαδικασία επιλογής εµπεριέχει την επιλογή από δύο συγχωνευµένα διαδοχικά σµήνη (πληθυσµούς). Πρόσφατα ερευνητές πρότειναν την χρήση ασθενή κριτηρίων κυριαρχίας. Το κύριο κριτήριο κυριαρχίας που χρησιµοποιήθηκε είναι η ε-κυριαρχία από τους Laumanns et al. (2002). Η έννοια της ε-κυριαρχίας απεικονίζεται γραφικά στο Σχήµα Η ε-κυριαρχία στους πολυκριτηριακούς PSO αλγορίθµους δρα ως φίλτρο για τον καθορισµό τον λύσεων που θα εγγραφούν στο εξωτερικό αρχείο. Σχήµα Αριστερά φαίνεται η περιοχή που κυριαρχείται από µία λύση. εξιά απεικονίζεται γραφικά η έννοια της ε-κυριαρχίας. Σε αυτή τη περίπτωση η περιοχή που κυριαρχείται επεκτείνεται κατά µία τιµή ανάλογη της παραµέτρου ε (η οποία ορίζεται από την χρήστη). Χρησιµοποιώντας την ε-κυριαρχία ορίζεται ένα σύνολο κουτιών µεγέθους ε όπου µόνο µία µη-κυριαρχούµενη λύση µπορεί να εγγραφεί σε κάθε κουτί. Αυτό απεικονίζεται γραφικά στο Σχήµα 15-3 για δύο αντικειµενικές συναρτήσεις. Η χρήση της ε-κυριαρχίας όπως προτείνεται από τους Laumanns et al. (2002) εγγυάται πως οι λύσεις που διατηρούνται είναι µη-κυριαρχούµενες αναφορικά µε όλες τις λύσεις που δηµιουργούνται κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του αλγορίθµου. Αξίζει να σηµειωθεί πως το µέγεθος του εξωτερικού αρχείου εξαρτάτε από το την τιµή ε που ορίζει ο χρήστης. Οι Mostaghim and Teich (2003) βρήκαν πως η χρήση της ε-κυριαρχίας είναι ιδιαίτερα αποδοτική συγκριτικά µε υπάρχουσες µεθόδους συσταδοποίησης όσον αφορά τον υπολογιστικό χρόνο, τη σύγκλιση του αλγορίθµου και την διατήρηση της ποικιλοµορφίας. Παραδοτέο Σελίδα 72

76 Σχήµα Γραφικό παράδειγµα της ε-κυριαρχίας για ένα εξωτερικό αρχείο. Η λύση 1 κυριαρχεί τη λύση 2 και για αυτό η λύση 1 προτιµάται. Οι λύσεις 3 και 4 δεν µπορούν να συγκριθούν, ωστόσο η λύση 3 είναι προτιµότερη αφού η λύση 3 είναι πλησιέστερα στο σηµείο (2ε,2ε). Η λύση 5 κυριαρχεί τη λύση 6 και για αυτό η λύση 5 προτιµάται. Η λύση 7 δεν είναι αποδεκτή αφού το κουτί που ανήκει (2ε,3ε). κυριαρχείτε από το (2ε,2ε) ιατήρηση της ποικιλοµορφίας και ταυτόχρονη εξέλιξη νέων λύσεων Ένα σηµαντικό χαρακτηριστικό των PSO αλγορίθµων είναι η γρήγορη σύγκληση. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι ιδιαίτερα θετικό αρκεί να µην είναι πρόωρη η σύγκλιση. Η πρόωρη σύγκλιση προκαλείται από την έλλειψη ποικιλοµορφίας µεταξύ των ατόµων του σµήνους. Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως είναι δυνατόν να διατηρηθεί η ποικιλοµορφία κατά τη διαδικασία επιλογής οδηγών. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί µε τους δύο παρακάτω µηχανισµούς εξέλιξης και δηµιουργίας νέων λύσεων. Ενηµέρωση των θέσεων. Η χρήση διαφορετικών τοπολογιών γειτονίας καθορίζει πόσο γρήγορα µεταφέρεται η πληροφορία στο σµήνος (µέσο των οδηγών). Επίσης η τοπολογία καθορίζει πόσο γρήγορα χάνεται η ποικιλοµορφία στο σµήνος. Συνοπτικά τοπολογίες οι οποίες ορίζουν γειτονίες µικρότερες από το µέγεθος του σµήνους για κάθε άτοµο µπορούν να διατηρήσουν την διασπορά των λύσεων και άρα να ενισχύσουν την ποικιλοµορφία για περισσότερο χρόνο. Επίσης η ποικιλοµορφία µπορεί να ελεγχθεί µε την παράµετρο w (συντελεστής αδράνειας) της εξίσωσης (21) που παρουσιάσθηκε στην ενότητα Η παράµετρος w χρησιµοποιείτε για τον έλεγχο του αντίκτυπου των προηγούµενων ταχυτήτων στην παρούσα ταχύτητα. Έτσι η παράµετρος αυτή επηρεάζει την ικανότητα ισορροπίας του αλγορίθµου µεταξύ ολικής και τοπικής εξερεύνησης (Shi and Eberhart, 1998). Μία µεγάλη τιµή της παραµέτρου αυτής ευνοεί την εξερεύνηση του χώρου ενώ µια µικρή την τοπική εξερεύνηση. Η τιµή της παραµέτρου w µπορεί να µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της εξερεύνησης. Οι Shi and Eberhart (1999) υποστίριξαν πως µια γραµµική Παραδοτέο Σελίδα 73

77 µείωση του συντελεστή w κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του αλγορίθµου ενισχύει την αποτελεσµατικότητα του. Αργότερα οι Zheng et al. (2003) προτείνουν την αύξηση του συντελεστή w κατά τη διάρκεια της αναζήτησης διότι µεγάλες τιµές του w οδηγούν σε σταθεροποίηση του αλγορίθµου. Η χρήση της ταχύτητας και της τρέχουσας θέσης για τον υπολογισµό της νέας θέσης είναι παρόµοια µε τη διαδικασία της µετάλλαξης στους ΕΑ µε τη διαφορά ότι η «µετάλλαξη» στους PSO καθοδηγείται από την εµπειρία των ατόµων και των γειτόνων τους. Οι Shi and Eberhart (1999) παροµοιάζουν τον τελεστή «µετάλλαξης» των PSO µε τη «συνείδηση». Η χρήση του τελεστή µετάλλαξης (ή αναταραχής/turbulence) Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως κατά την εξέλιξη των ατόµων χρησιµοποιείται ένας τελεστής µετάλλαξης µε «συνείδηση», ωστόσο οι Kennedy and Eberhart (1995) αναφέρουν πως µερικές φορές είναι χρήσιµη η «ασυνείδητη» ή τυχαία εξέλιξη των ατόµων. Η «ασυνείδητη» µετάλλαξη αναφέρεται και ως αναταραχή (turbulence - Fieldsend and Singh, 2002). Γενικά όταν το σµήνος ακινητοποιείται -δηλαδή όταν οι ταχύτητες των ατόµων πλησιάζουν το µηδέν- είναι αδύνατον να δηµιουργηθούν νέες λύσεις οι οποίες να απεγκλωβίσουν τον αλγόριθµο. Αυτή η συµπεριφορά µπορεί να οδηγήσει τον αλγόριθµο σε κάποιο τοπικό ακρότατο και να τον εγκλωβίσει. Αφού το ολικά βέλτιστο άτοµο καθοδηγεί (προσελκύει) όλα τα άτοµα του σµήνους είναι δυνατόν να οδηγήσει τα άτοµα εκτός της τρέχουσας θέσης µεταλλάσσοντας ένα άτοµο το οποίο γίνει το νέο ολικό βέλτιστο. Αυτός ο µηχανισµός βοηθάει τον αλγόριθµο να αποφύγει τα τοπικά ακρότατα και ταυτόχρονα επιταχύνει την αναζήτηση (Stacey et al., 2003). Η χρήση του τελεστή µετάλλαξης είναι ιδιαίτερα σηµαντική για τον απεγκλωβισµό από τοπικά βέλτιστα ενώ ταυτόχρονα ενισχύει τις δυνατότητες αναζήτησης του αλγορίθµου Βιβλιογραφική ανασκόπηση και περιγραφή ορισµένων πολυκριτηριακών αλγορίθµων PSO Οι δηµοσιεύσεις των Mostaghim and Teich (2003), Reyes-Sierra and Coello (2006), Durillo et al. (2009) και Mohankrishna et al. (2012) παρέχουν µια πλήρης βιβλιογραφική ανασκόπηση καθώς και αναλυτική περιγραφή των πολυκριτηριακών αλγορίθµων PSO. Στο παρόν υποκεφάλαιο θα αναφερθούµε εν συντοµία σε ορισµένους πολυκριτηριακούς αλγορίθµους PSO. Η προσεγγίσεις που ακολουθούν βασίζονται και χρησιµοποιούν την έννοια της κυριαρχίας κατά Pareto. Η βασική ιδέα που συναντάται στους παρακάτω αλγόριθµους είναι η επιλογή των οδηγών από τα µη-κυριαρχούµενα άτοµα του σµήνους. Ωστόσο κάθε αλγόριθµος επιλέγει τους οδηγούς ελαφρός διαφορετικά διότι η επιλογή εξαρτάται από τις επιπρόσθετες πληροφορίες που προσφέρουν οι µηχανισµοί του αλγορίθµου. Παραδοτέο Σελίδα 74

78 Non-dominated Sorting PSO: Ο συγκεκριµένος αλγόριθµος NSPSO (li, 2003) υιοθετεί τους κύριους µηχανισµούς του NSGA-II (Deb et al., 2002) σε έναν αλγόριθµο PSO. Σε αυτή τη προσέγγιση όταν ένα άτοµο ανανεώσει τη θέση του αντί να γίνει σύγκριση της θέσης του µόνο µε την pbes t λύση του ατόµου γίνεται σύγκριση µε όλες τις pbes t λύσης τους σµήνους αλλα και µε όλα τα νέα άτοµα. Έπειτα ο NSPSO επιλέγει (κάνοντας χρήση της έννοιας της µη-κυριαρχίας) µεταξύ όλων των ατόµων για το σχηµατισµό του σµήνους της νέας γενιάς. Επίσης σε αυτή τη προσέγγιση οι οδηγοί επιλέγονται τυχαία από το σύνολο των οδηγών (αποθηκευµένοι σε ένα εξωτερικό αρχείο) µε βάση δύο µηχανισµούς: τη µέθοδο πυκνότητας του πλησιέστερου γείτονα και τη µέθοδο πυκνότητας πυρήνα. Σε αυτή την περίπτωση µετάλλαξη πραγµατοποιείται σε κάθε επανάληψη αλλά µόνο στο άτοµο µε τη µικρότερη τιµή πυκνότητας. SigmaMOPSO: Στον αλγόριθµο αυτό προτείνεται η λεγόµενη SIGMA µέθοδος (Mostaghim and Teich, 2003) στην οποία διαλέγονται οι καλύτερες τοπικές οδοί κάθε ατόµου προκειµένου να βελτιωθεί η σύγκλιση προς το Pareto µέτωπο καθώς και η κατανοµή του. Η χρήση της SIGMA επιτυγχάνει την αύξηση της πίεσης κατά τη διαδικασία της επιλογής µε αποτέλεσµα να επιταχύνεται η σύγκλιση προς το βέλτιστο σύνολο. Παράλυτα, βασικό µειονέκτηµα είναι η πρώιµη σύγκλιση σε τοπικά βέλτιστα. Ακόµη, χρησιµοποιείται η διαδικασία της µετάλλαξης (αναταραχής), µόνο που στη περίπτωση αυτή εφαρµόζεται στις θέσεις των ατόµων. Optimized MOPSO: Τα κύρια χαρακτηρίστηκα του OMOPSO (Sierra and Coello Coello, 2005) είναι η χρήση της µεθόδου Crowding distance (πληθυσµιακή απόσταση) για την επιλογή των οδηγών και ο συνδυασµός δύο τελεστών µετάλλαξης για να επιταχύνουν την σύγκλιση του αλγόριθµου. Επίσης ο OMOPSO χρησιµοποίει και την έννοια της ε-κυριαρχίας για να περιορίσει τις λύσεις που παράγονται από τον αλγόριθµο. Another MOPSO: Ο αλγόριθµος AMOPSO (Toscano and Coello, 2004) χρησιµοποίει την έννοια της Pareto κυριαρχίας για να καθορίσει την κατεύθυνση της «πτήσης» του ατόµου. Οι συγγραφείς υιοθετούν τεχνικές συστηµατοποίησης για να χωρίσουν τον πληθυσµό σε υπό-σµήνη. Αυτό έχει ως στόχο την καλύτερη κατανοµή των λύσεων στον εφικτό χώρο σχεδιασµού. Κάθε υπό-σµήνος έχει τους δικούς του οδηγούς (µη-κυριαρχούµενες λύσεις). Σε κάθε υπόσµήνος εκτελείτε ένας PSO αλγόριθµος (οι οδηγοί επιλέγονται τυχαία) και σε κάποιο σηµείο τις διαδικασίας τα υπό-σµήνη ανταλλάσουν πληροφορίες: γίνεται ανταλλαγή οδηγών µεταξύ των σµηνών για να µεταβάλλουν την διαδικασία επιλογής. Επίσης αυτή η προσέγγιση δεν χρησιµοποίει εξωτερικό αρχείο αφού ο ελιτισµός επιτυγχάνεται µέσο της ανταλλαγής οδηγών. Παραδοτέο Σελίδα 75

79 Comprehensive Learning MOPSO: Ο αλγόριθµος MOCLPSO (Huang et al, 2006) ενσωµατώνει την έννοια της Pareto κυριαρχίας για την επιλογή των οδηγών από ένα µη-κυριαρχούµενο εξωτερικό αρχείο. Σε αυτή τη προσέγγιση χρησιµοποιείται η µέθοδος Crowding distance (πληθυσµιακή απόσταση) για τον υπολογισµό της πυκνότητας των λύσεων από την στιγµή που το εξωτερικό αρχείο αποκτήσει το µέγιστο δυνατό του µέγεθος. Υπολογίζονται οι τιµές της πληθυσµιακής απόστασης για όλα τα άτοµα του αρχείου και έπειτα ταξινοµούνται από τη µεγαλύτερη στη µικρότερη. Τα άτοµα µε τις µικρότερες τιµές απόστασης αντικαθιστώνται. Σε αυτή την περίπτωση οι οδηγοί επιλέγονται τυχαία από το εξωτερικό αρχείο µηκυριαρχούµενων λύσεων. 16 Ο πολυκριτηριακός εξελικτικός αλγόριθµος ανόπτησηςαπλόκου (MEAS) 16.1 Εισαγωγικά Σαν συνέχεια του µονοκριτηριακού εξελικτικού αλγόριθµου βελτιστοποιήσης ανόπτησηςαπλόκου (EAS - Ευστρατιάδης, 2008) αναπτύχθηκε ο πολυκριτηριακός εξελικτικός αλγόριθµος ανόπτησης-απλόκου (Multiobjective Evolutionary Annealing-Simplex, στο εξής MEAS) ο οποίος αποτελεί ένα νέο σχήµα πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης, που είναι σε µεγάλο βαθµό πρωτότυπο (Ευστρατιάδης, 2008). Η µέθοδος αποσκοπεί στην παραγωγή αντιπροσωπευτικών µη κατωτέρων λύσεων από το µέτωπο Pareto, που είναι ταυτόχρονα αποδεκτές από την «οπτική γωνία» της εκάστοτε εφαρµογής. Κατά συνέπεια, είναι κατάλληλη για προβλήµατα επιχειρησιακού σκοπού, στα οποία αναζητείται όχι το πλήρες, κατ ανάγκη, µέτωπο Pareto, αλλά πρόσφοροι συµβιβασµοί µεταξύ των ανταγωνιστικών κριτηρίων, σε µια υποπεριοχή αυτού. Το παρόν κεφάλαιο στηρίζεται στην διδακτορική διατριβή του Ευστρατιάδη (2008). Η υπολογιστική διαδικασία εκτελείται, όπως και στη µονοκριτηριακή µέθοδο, σε στάδια (γενιές), και περιλαµβάνει δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση ή φάση αποτίµησης, ορίζεται ένα βαθµωτό µέτρο ποινής, που εξαρτάται από την θέση κάθε σηµείου στο πεδίο τιµών F, αλλά και την θέση όλων των υπόλοιπων µελών του πληθυσµού σε σχέση µε το εν λόγω σηµείο. Κατά συνέπεια, για την αποτίµηση της καταλληλότητας συγκρίνεται η επίδοση όλων των σηµείων µεταξύ τους και σε σχέση µε όλα τα κριτήρια του προβλήµατος. Για κάθε σηµείο εισάγεται µια συνάρτηση ποινής, που περιλαµβάνει έναν όρο κυριαρχίας r i *(P), έναν όρο πυκνότητας π i (P) και έναν όρο εφικτότητας ξ i, δηλαδή: ϕ = ϕ π ξ (43) * i( P) [r i ( P), i(p), i] Ο πρώτος όρος αποτιµά την κατά Pareto καταλληλότητα κάθε µέλους του πληθυσµού, λαµβάνοντας υπόψη τις κυρίαρχες, κυριαρχούµενες και αδιάφορες λύσεις ως προς αυτό. Ο δεύτερος όρος αποτιµά την επίδοση του ατόµου µε βάση τη διασπορά του πληθυσµού Παραδοτέο Σελίδα 76

80 στη γειτονιά του. Τέλος, ο τρίτος όρος αποτιµά την καταλληλότητα του ατόµου, µε βάση εξωτερικούς περιορισµούς που θέτει ο χρήστης, µε στόχο την απόρριψη λύσεων µε ακραία επίδοση, δηλαδή εξαιρετικά καλή ως προς ορισµένα κριτήρια αλλά απαράδεκτα χαµηλή ως προς τα υπόλοιπα. Η διαδικασία αποτίµησης αποσκοπεί στη δηµιουργία µιας υβριδικής επιφάνειας απόκρισης, πάνω στην οποία πραγµατοποιείται η αναζήτηση νέων λύσεων για την τρέχουσα γενιά, δηλαδή η παραγωγή των απογόνων. Η επιφάνεια αυτή αναδιαµορφώνεται σε κάθε γενιά, αφού µε την αντικατάσταση έστω και ενός µέλους της προηγούµενης γενιάς αλλάζει η ταξινόµηση των σηµείων στο πεδίο F, µε βάση την έννοια της κυριαρχίας. Με τον τρόπο που ορίζεται η συνάρτηση ποινής, ήτοι η στοχική συνάρτηση του µετασχηµατισµένου προβλήµατος, προκύπτει ένα συνεχές πεδίο, που µπορεί να εξερευνηθεί µε συµβατικές τεχνικές αναζήτησης ακροτάτων. Η παραγωγή των απογόνων αποτελεί το ζητούµενο της δεύτερης φάσης, που καλείται φάση εξέλιξης. Σε κάθε γενιά, παράγεται ένας απόγονος που αντικαθιστά τον γονέα που επιλέγεται µε µια στρατηγική προσοµοιωµένης ανόπτησης. Ο µηχανισµός επιλογής κατευθύνει την εξελικτική διαδικασία προς την αποδεκτή υποπεριοχή του µετώπου Pareto, η οποία περιέχει αντιπροσωπευτικούς συµβιβασµούς, µεταξύ των οποίων µπορεί εύκολα να υποδειχθεί ο πλέον πρόσφορος, προστατεύοντας ωστόσο τις εκάστοτε µη κατώτερες λύσεις. Η αναπαραγωγή γίνεται είτε µε συνδυασµό λύσεων, στο πρότυπο ενός απλόκου, είτε µέσω µετάλλαξης. Οι µετασχηµατισµοί του απλόκου παρουσιάζουν αρκετές οµοιότητες µε τις συναφείς διαδικασίες του µονοκριτηριακού αλγορίθµου ανόπτησηςαπλόκου, µε τη θεµελιώδη, ωστόσο, διαφορά ότι εµποδίζεται η σύγκλιση των σηµείων γύρω από ένα ακρότατο. Πράγµατι, στην προκειµένη περίπτωση είναι επιβεβληµένη η διατήρηση της διασποράς του πληθυσµού, ώστε ο τελικός πληθυσµός να περιλαµβάνει µη κατώτερες εφικτές λύσεις του προβλήµατος, οµοιόµορφα κατανεµηµένες στο πεδίο F. Τέλος, στη διαδικασία µετάλλαξης υιοθετούνται δύο εναλλακτικά σχήµατα, µε σκοπό την ελεγχόµενη παραγωγή κοντινών και αποµακρυσµένων λύσεων Γέννηση αρχικού πληθυσµού Με βάση το σκεπτικό που αναπτύχθηκε προηγουµένος, για κάθε µία από τις n µεταβλητές ελέγχου, ο χρήστης προσδιορίζει το «εξωτερικό» και «εσωτερικό» πεδίο ορισµού, που υποδηλώνει το φυσικά και επιθυµητά, αντίστοιχα, όρια διακύµανσης των µεταβλητών. Ο αρχικός πληθυσµός παράγεται από µια οµοιόµορφη κατανοµή, µέσα στο εσωτερικό πεδίο ορισµού. Το µέγεθος του πληθυσµού p ορίζεται από τον χρήστη, και πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη: ώστε να είναι δυνατή η διαµόρφωση ενός τουλάχιστον απλόκου. p n + 1 (44) Το µέγεθος του πληθυσµού αποτελεί την πλέον καθοριστική παράµετρο εισόδου του αλγορίθµου. Σε αντίθεση µε µια εξελικτική µέθοδο ολικής βελτιστοποίησης, όπου δεν Παραδοτέο Σελίδα 77

81 ενδιαφέρει η κατανοµή του πληθυσµού στο πέρας της υπολογιστικής διαδικασίας, παρά µόνο η θέση της καλύτερης λύσης (η οποία λαµβάνεται ως εκτιµήτρια του ολικού ακροτάτου), στον πολυκριτηριακό εξελικτικό αλγόριθµο κάθε µέλος του τελικού πληθυσµού οφείλει να αντιστοιχεί σε µια βέλτιστη Pareto λύση. Συνεπώς, αν ο χρήστης επιδώκει µια αδροµερή περιγραφή του µετώπου µη κατωτέρων λύσεων, µπορεί να ορίσει µικρό µέγεθος πληθυσµού, ενώ αν επιδιώκει µια πιο λεπτοµερή περιγραφή, είναι υποχρεωµένος να χρησιµοποιήσει µεγάλο µέγεθος. Προφανώς, όσο αυξάνει το µέγεθος του πληθυσµού, τόσο πιο ακριβής (αλλά και πιο χρονοβόρα) είναι η προσέγγιση του µετώπου Pareto Ταξινόµηση πληθυσµού Έστω ένα σύνολο (πληθυσµός) P αποτελούµενο από p σηµεία (λύσεις) από το πεδίο ορισµού Χ, όπου σε κάθε λύση i αντιστοιχούν m τιµές κριτηρίων {fi1, fi2,, fim}, των οποίων ζητείται, κατά σύµβαση, η ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση. Αρχικά, δηµιουργείται ένα µητρώο κυριαρχίας D, διάστασης p p, µε στοιχεία πάνω από την διαγώνιο, που δίνονται από την σχέση: d ij m = a k = 1 ijk, για i>j (45) ενώ τα στοιχεία κάτω από την διαγώνιο υπολογίζονται από τη σχέση: ij m d m a = k = 1 ijk, για i>j (46) όπου: a ijk = 1 αν ik jk 1 αν fik > f jk f f (47) Με βάση το µητρώο D, µπορεί να καταµετρηθεί εύκολα ο αριθµός των κυριαρχούµενων και κυρίαρχων λύσεων ως προς τη λύση i, αφού η συνθήκη dij = m υποδηλώνει ότι η λύση i κυριαρχεί επί της λύσης j, καθώς υπερτερεί ως προς το σύνολο των κριτηρίων, ενώ αντίθετα η συνθήκη dij = 0 υποδηλώνει ότι η λύση i κυριαρχείται από την λύση j. Τέλος, η συνθήκη 0 < dij < m υποδηλώνει ότι οι λύσεις i και j είναι µεταξύ τους αδιάφορες. Στη συνέχεια, εισάγονται δύο δίτιµοι (binary) δείκτες. Ο πρώτος δείκτης χρησιµοποιείται για την καταµέτρηση των κυριαρχούµενων λύσεων και ορίζεται ως: a ijk = 1 αν ik jk 1 αν fik > f jk f f (48) Ο δεύτερος δείκτης χρησιµοποιείται για την καταµέτρηση των αδιάφορων λύσεων και ορίζεται ως: Παραδοτέο Σελίδα 78

82 1 vij ( m) = 0 αν 0 < dij < m αν d = 0 ή d = m ij ij (49) Για κάθε λύση i εισάγεται ένα µέτρο ταξινόµησης, που περιλαµβάνει ένα ακέραιο και ένα δεκαδικό µέρος. Το ακέραιο µέρος υπολογίζεται µε βάση την έννοια της ισχύος. Συγκεκριµένα: Η ισχύς κάθε λύσης i ισούται µε τον αριθµό των σηµείων επί των οποίων κυριαρχεί, δηλαδή: s i p = µ ij( m) j= 1 (50) Από τον ορισµό της ισχύος προκύπτει ότι 0 si m 1, όπου η συνθήκη si = m 1 υποδηλώνει ότι η λύση i ελαχιστοποιεί ταυτόχρονα όλα τα κριτήρια, οπότε κείται στο κάτω αριστερά όριο του πεδίου αποτίµησης, ενώ η συνθήκη si = 0 υποδηλώνει ότι η λύση i κείται στο πάνω δεξιά όριο του πεδίου αποτίµησης, οπότε είτε κυριαρχείται είτε είναι αδιάφορη έναντι όλων των υπόλοιπων λύσεων. Το ακέραιο µέρος του µέτρου ταξινόµησης καλείται τάξη, και ισούται µε το άθροισµα της ισχύος όλων των σηµείων από τα οποία αυτή κυριαρχείται, δηλαδή: r i p = µ ij( m) sj j= 1 (51) Όλες οι µη κυριαρχούµενες λύσεις, έχουν µηδενική τάξη. Παραδοτέο Σελίδα 79

83 Σχήµα Παράδειγµα ορισµού της ισχύος (σε παρένθεση) και της τάξης των µελών ενός υποθετικού πληθυσµού εννέα σηµείων, σε ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης δύο κριτηρίων (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008). Στο παράδειγµα του Σχήµα 16-1 εξηγείται η διαδικασία υπολογισµού της ισχύος και, στη συνέχεια, της τάξης ενός υποθετικού πληθυσµού εννέα σηµείων, σε ένα δισδιάστατο πεδίο αποτίµησης. Πάνω και δεξιά από κάθε σηµείο ορίζεται ένα επίπεδο διαφορετικού χρώµατος, που υποδηλώνει την αντίστοιχη τιµή της ισχύος. Η αλληλουχία των επιπέδων δηµιουργεί ένα µεγάλο πλήθος αποχρώσεων, που αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιµές του µέτρου τάξης. Το µέτρο αυτό υποδηλώνει τη σχετική θέση του σηµείου στο πεδίο αποτίµησης και εκφράζει όχι µόνο την σχέση κυριαρχίας κάθε σηµείου ως προς τον υπόλοιπο πληθυσµό, αλλά και, σε κάποιο βαθµό, την «πυκνότητα» του πληθυσµού σε σχέση µε το σηµείο αναφοράς. Συνεπώς, µεταξύ δύο λύσεων που έχουν την ίδια σχέση κυριαρχίας (είναι δηλαδή αδιάφορες µεταξύ τους), το µικρότερο µέτρο τάξης (ήτοι τη µικρότερη ποινή) έχει αυτή που γειτνιάζει µε τον µικρότερο αριθµό σηµείων. Με τον τρόπο αυτό, στη λύση αυτή αποδίδεται αυξηµένη πιθανότητα επιβίωσης, ευνοώντας την αναζήτηση σε περιοχές του εφικτού χώρου που δεν έχουν διερευνηθεί επαρκώς. Αντιστοιχώντας µια τάξη ri σε κάθε σηµείο xi in P, δηµιουργείται πάνω στον εφικτό χώρο µια διακριτή επιφάνεια απόκρισης, η γεωµετρία της οποίας εξαρτάται από τη σχετική θέση των µελών του πληθυσµού στο πεδίο αποτίµησης F. Αν αλλάξει η θέση ενός έστω σηµείου, µε συνέπεια την διαφοροποίηση της σχέσης κυριαρχίας του ως προς τα υπόλοιπα µέλη του πληθυσµού, τότε η µορφή της επιφάνειας µεταβάλλεται ανάλογα. Αν και η διαδικασία ορισµού της τάξης παρέχει ένα ευρύ φάσµα, γίνεται περαιτέρω διάκριση των λύσεων, µε την προσθήκη ενός δεκαδικού όρου, που έχει νόηµα στα προβλήµατα µε περισσότερα από δύο κριτήρια. Στην περίπτωση αυτή, εισάγεται ένα επιπλέον µέτρο, ώστε να συγκρίνει λύσεις που χαρακτηρίζονται, από µαθηµατική άποψη, ως αδιάφορες. Ας υποτεθεί ένα τρισδιάστατο πολυκριτηριακό πρόβληµα, και δύο εφικτές επιλογές Α και Β, µε τιµές κριτηρίων (α1, α2, α3) και (β1, β2, β3), αντίστοιχα. Σύµφωνα µε τον ορισµό της κυριαρχίας, αν ισχύει α1 < β1, α2 < β2, και α3 > β3, τότε οι επιλογές Α και Β είναι µεταξύ τους αδιάφορες, δηλαδή Α ~ Β. Ωστόσο, από πρακτική άποψη, η επιλογή Α είναι πιο επιθυµητή σε σχέση µε την Β, αφού υπερτερεί στα δύο από τα τρία κριτήρια. Με βάση το παραπάνω σκεπτικό, µπορούµε να ορίσουµε µια σχέση υπεροχής µεταξύ των δύο επιλογών, αντιστοιχώντας έναν λόγο αδιαφορίας 1/3 για την λύση Α και 2/3 για την λύση Β (µεγαλύτερος για την υποδεέστερη λύση, αφού εκφράζει ποινή). Η διαδικασία γενικεύεται για έναν πληθυσµό p σηµείων, εισάγοντας τον µέσο λόγο αδιαφορίας κάθε λύσης i, που ορίζεται ως: Παραδοτέο Σελίδα 80

84 r ' = i p ν ( md ) ij j= 1 p j= 1 ν ( m) ij ji (52) Η παραπάνω σχέση εκφράζει το µέσο ποσοστό των κριτηρίων έναντι των οποίων υπολείπεται κάθε µέλος του πληθυσµού σε σχέση µε όλες τις αδιάφορες ως προς αυτό λύσεις, και είναι αδιάστατο µέγεθος, δηλαδή 0 < ri < 1. Επισηµαίνεται ότι το άθροισµα των νij(m) στον παρονοµαστή εκφράζει το πλήθος των αδιάφορων λύσεων σε σχέση µε το σηµείο αναφοράς i. Ο δεκαδικός όρος ri προστίθεται στον ακέραιο ri, διαµορφώνοντας έτσι ένα πραγµατικό (όχι όµως συνεχές) µέτρο ποινής ri*, που αποτιµά την καταλληλότητα κάθε σηµείου, λαµβάνοντας υπόψη την σχετική του θέση στο πεδίο F. Τονίζεται ότι όταν το πρόβληµα βελτιστοποίησης περιλαµβάνει δύο µόνο κριτήρια, τότε για όλα τα µη κατώτερα µέλη του πληθυσµού ισχύει ri* = 0.50, καθώς δεν υπάρχει τρόπος διάκρισης των αδιάφορων λύσεων, µε βάση τον λόγο αδιαφορίας. Αντίθετα, σε προβλήµατα τριών κριτηρίων και άνω, εισάγεται ένα επιπλέον αριθµητικό κριτήριο, αυξάνοντας έτσι την ποικιλία τιµών ως προς το µέτρο αποτίµησης του εκάστοτε πληθυσµού λύσεων Ο έλεγχος της πυκνότητας του πληθυσµού Σύµφωνα µε όσα αναλύσαµε προηγουµένως διαπιστώθηκε ότι, σε ορισµένες τουλάχιστον περιπτώσεις, ενώ η διαδικασία έτεινε προς µια ικανοποιητικά οµοιόµορφη κατανοµή σηµείων πάνω στο µέτωπο Pareto, στα τελικά στάδια διατάρασε την εν λόγω κατανοµή, καθώς οι σχετικά πιο απόµακρες λύσεις έλκονταν στις πυκνότερες περιοχές του µετώπου. Το φαινόµενο αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι όλες οι µη κατώτερες λύσεις, ανεξαρτήτως της θέσης τους στο µέτωπο Pareto, είχαν το ίδιο µέτρο επίδοσης. Επιπρόσθετα, τόσο οι µηχανισµοί αναπαραγωγής όσο και οι συναρτήσεις µετάλλαξης, επειδή χρησιµοποιούν την έννοια του κεντροειδούς, είναι στατιστικά πιο πιθανό να γεννήσουν απογόνους στην περιοχή που συσσωρεύονται τα περισσότερα µέλη του πληθυσµού. Για το λόγο αυτό, εισάγαµε έναν επιπλέον όρο στη συνάρτηση ποινής, µε σκοπό την προστασία των αποµακρυσµένων λύσεων και, συνακόλουθα, τη διατήρηση µιας καλής διασποράς του πληθυσµού. Παραδοτέο Σελίδα 81

85 Σχήµα ιακριτοποίηση του τρέχοντος πεδίου λύσεων σε θύλακες, µε βάση τον πληθυσµό του προηγούµενου παραδείγµατος (p = 10, = 3). Για κάθε θύλακα αναγράφεται ο κωδικός του Ι, ενώ για κάθε σηµείο αναγράφεται η τιµή του µέτρου πυκνότητας πi (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008). Η υπολογιστική διαδικασία που ακολουθείται βασίζεται στη λογική κατασκευής ενός πλέγµατος στο πεδίο αποτίµησης F, κάθε στοιχείο του οποίου ορίζει έναν θύλακα όπου καταµετράται το αντίστοιχο πλήθος σηµείων (Σχήµα 16-2). Το όρια του πλέγµατος καθορίζονται µε βάση τις τρέχουσες ακραίες τιµές των κριτηρίων στον πληθυσµό. Ο αλγόριθµος χρησιµοποιεί µια τυπική διακριτοποίηση = 10, µε βάση την οποία ορίζεται ο θύλακας κάθε σηµείου, στον οποίο αντιστοιχεί ένας κωδικός. Ο κωδικός αυτός είναι ένας µοναδικός ακέραιος αριθµός, που υπολογίζεται από τη σχέση: m min max min i = { + int[ ( j( i) j ) /( j j )]} j= 1 I j f x f f f (53) όπου fjmax = max {fj(x1), fj(x2),, fj(xp)} και fjmin = min {fj(x1), fj(x2),, fj(xp)}. ύο ή περισσότερα σηµεία µε κοινό κωδικό ανήκουν στον ίδιο θύλακα και θεωρούνται γειτονικά. Με εφαρµογή ενός απλού ελέγχου, προσδιορίζεται το πλήθος των γεινόνων ni κάθε σηµείου i, και βάσει αυτού ορίζεται ένα µέτρο πυκνότητας ως εξής: π = ( n 1)/ p (54) i i Το παραπάνω µέτρο εκφράζει τον αριθµό των γειτόνων κάθε ατόµου, ως ποσοστό του πληθυσµού. Στην ιδεατή περίπτωση, µετά το πέρας της εξελικτικής διαδικασίας, όλος ο Παραδοτέο Σελίδα 82

86 πληθυσµός πρέπει να έχει κατανεµηθεί οµοιόµορφα σε υποπεριοχές του µετώπου Pareto, που συνεπάγεται ότι σε κάθε θύλακα θα περιέχονται p / σηµεία Η εφικτότητα Στη διαδικασία αποτίµησης, κάθε εφικτή λύση του προβλήµατος διανυσµατικής βελτιστοποίησης, δηλαδή κάθε σηµείο x in Χ, µε τις αντίστοιχες τιµές κριτηρίων f(x) in F που προκύπτουν, θεωρείται αποδεκτό. Ωστόσο, δεν είναι πάντοτε επιθυµητοί όλοι οι συνδυασµοί τιµών κριτηρίων, ακόµα και αν αυτοί είναι, από µαθηµατική άποψη, βέλτιστοι. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελεί η περίπτωση ακραίων περιοχών του µετώπου Pareto, στις οποίες εντοπίζονται λύσεις που υπερτερούν σηµαντικά ως προς κάποια από τα κριτήρια, παρουσιάζοντας ωστόσο πολύ κακή επίδοση ως προς άλλα κριτήρια. Για τον λόγο αυτό, εισάγεται η έννοια του εφικτού πεδίου αποτίµησης Fe, που είναι ένα τµήµα του πραγµατικού πεδίου F. Αυτό περιγράφεται µέσω ενός διανύσµατος e = (e1, e2,, em), το οποίο ορίζει ο χρήστης, εισάγοντας έτσι έναν εξωτερικό περιορισµό στην διαδικασία αναζήτησης λύσεων. Το i στοιχείο του συνοριακού διανύσµατος e εκφράζει τη µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή του αντίστοιχου κριτηρίου, και αποσκοπεί στην παραγωγή ενός τελικού πληθυσµού λύσεων {x1, x2,, xp}, που θα είναι βέλτιστες κατά Pareto, και θα ικανοποιούν ταυτόχρονα τη συνθήκη αποδοχής: f ( x ) e (55) j i j για κάθε µέλος i = 1,, p και για κάθε κριτήριο j = 1,, m. Στην ιδεατή περίπτωση, ο τελικός πληθυσµός θα κείται ακριβώς πάνω στο εσωτερικό υπο-µέτωπο Fe* του συνολικού µετώπου Pareto F*. Τονίζεται ότι αν για κάποιο κριτήριο j δεν τίθεται η ανάγκη προσδιορισµού µιας ανώτερης αποδεκτής τιµής, τότε αρκεί να θεωρηθεί µια µεγάλη εικονική τιµή του αντίστοιχου στοιχείου ej, τέτοια ώστε να εξασφαλίζεται η γέννηση εφικτών σηµείων σε όλο το φάσµα του πεδίου ορισµού του προβλήµατος, Χ. Η συνθήκη αποδοχής εξασφαλίζεται µε την προσθήκη ενός επιπλέον όρου ποινής, για κάθε λύση που κείται εκτός του υποπεδίου Fe sub F. Για τον λόγο αυτό, εισάγεται ένας ακόµη δίτιµος δείκτης, που ορίζεται ως: 1 ε j( xi) = 0 αν f ( x ) > e αν f ( x ) e j i j j i j (56) Για κάθε λύση i, υπολογίζεται η αθροιστική απόσταση από το σύνορο e, µε βάση τη σχέση: ξ m 2 i = ε j( xi)[ f j( xi) e j ] (57) j= 1 Η συνθήκη ξi = 0 υποδηλώνει ότι η λύση i βρίσκεται εντός των ορίων του επιθυµητού υποπεδίου Fe, και συνεπώς χαρακτηρίζεται εφικτή. Παραδοτέο Σελίδα 83

87 16.6 Η συνάρτηση ποινής και η τελική της έκφραση Η τελική συνάρτηση ποινής δίνεται από τη σχέση: ϕ = r * + π + ξ (1+ ϕ ) (58) i i i i 0 όπου φ0 η µέγιστη ποινή µεταξύ των µελών του πληθυσµού, δηλαδή: ϕ0 = max{ r * + π, i= 1,..., p} (59) i Η συνάρτηση (58) εξασφαλίζει ότι στις µη αποδεκτές λύσεις του πληθυσµού (ξi > 0), λόγω της προσθήκης του όρου φ0, αποδίδεται µεγαλύτερη ποινή, ανεξάρτητα αν είναι κυρίαρχες (ri = 0) ή όχι (ri > 0) στο τρέχον σύνολο λύσεων Ρ. Επισηµαίνεται ότι η συνθήκη φi < 1 υποδηλώνει ένα σηµείο που είναι ταυτόχρονα εφικτό και µη κυριαρχούµενο. Στο γραφικό παράδειγµα (Σχήµα 16-3) απεικονίζονται οι τιµές της συνάρτησης ποινής για τον υποθετικό πληθυσµό του Σχήµα 16-3, µε την θεώρηση ενός εφικτού πεδίου τιµών που ορίζεται από το διάνυσµα e = (e1, e2). Παρατηρείται ότι όλες οι µη εφικτές λύσεις έχουν ποινή µεγαλύτερη από τη µέγιστη ποινή των σηµείων που βρίσκονται εντός της αποδεκτής περιοχής (φ0 = 4.5). Τα σηµεία που είναι ταυτόχρονα µη κατώτερα (Pareto βέλτιστα) και αποδεκτά έχουν τιµή ποινής φ = 0.5, όπου το µέγεθος 0.5 υποδηλώνει το µέσο πλήθος κριτηρίων έναντι των οποίων υπερτερούν σε σχέση µε όλες τις αδιάφορες ως προς αυτά λύσεις. i Σχήµα Γραφική απεικόνιση του εφικτού πεδίου, µε βάση τον πληθυσµό του προηγούµενου παραδείγµατος. Οι τιµές δίπλα σε κάθε σηµείο περιλαµβάνουν τους όρους κυριαρχίας ri* και εφικτότητας ξi της συνάρτησης ποινής, παραλείποντας, για απλούστευση, τον όρο πυκνότητας πi (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008). Παραδοτέο Σελίδα 84

88 16.7 Μεµονωµένο σηµείο και αποτίµηση Κάθε φορά που παράγεται ένα νέο σηµείο, συγκρίνεται η επίδοσή του σε σχέση µε τον υφιστάµενο πληθυσµό, και υπολογίζονται οι όροι ri*, πi και ξi της συνάρτησης ποινής. Στην περίπτωση αυτή, δεν υπολογίζεται εκ νέου η τάξη των υφιστάµενων λύσεων, µε βάση τη θέση του νέου σηµείουν στο πεδίο αποτίµησης. Αυτό γίνεται για την εξοικονόµηση υπολογιστικού φόρτου, και µε την θεώρηση ότι η αντικατάσταση ενός µόλις ατόµου στον τρέχοντα πληθυσµό δεν αλλοιώνει σηµαντικά τα χαρακτηριστικά της επιφάνειας απόκρισης που δηµιουργεί η βαθµωτή συνάρτηση ποινής φ(x) πάνω στο πεδίο αναζήτησης Χ Χρήση προσοµοιωµένης ανόπτησης για τη διαδικασία επιλογής Σε κάθε γενιά k παράγεται ένας και µόνο απόγονος, αντικαθιστώντας κάποιο µέλος του πληθυσµού στο οποίο αποδίδεται η µικρότερη πιθανότητα επιβίωσης. Η γεννήτρια διαδικασία καλεί τον τελεστή αναπαραγωγής και, σε περίπτωση που δεν επιτευχθεί µια βελτιωµένη λύση, τον τελεστή µετάλλαξης. Ο µηχανισµός επιλογής βασίζεται σε µια στρατηγική προσοµοιωµένης ανόπτησης. Συγκεκριµένα: Η αντίστοιχη των γενετικών αλγορίθµων δεξαµενή αναπαραγωγής αποτελείται από ένα πολυγονεϊκό πρότυπο n + 1 σηµείων, δηλαδή ένα άπλοκο S = {s1, s2,, sn + 1}, οι κορυφές του οποίου επιλέγονται τυχαία µέσα από τον τρέχοντα πληθυσµό Ρ, µε τον περιορισµό ότι εµπεριέχουν ένα τουλάχιστον κυριαρχούµενο άτοµο (ri > 0). Σε κάθε κορυφή ορίζεται µια τροποποιηµένη συνάρτησης ποινής φ (x), που αποτελείται από τον προσδιοριστικό όρο φi, και µια στοχαστική συνιστώσα, που είναι ανάλογη της θερµοκρασίας, δηλαδή: ϕ '( χ) = ϕ( χ) + ut[k] (60) όπου u τυχαίος οµοιόµορφος αριθµός στο διάστηµα [0, 1] και Τ[k] η επίκαιρη τιµή της θερµοκρασίας. Ο πρώτος όρος της τροποποιηµένης συνάρτησης ευνοεί την επιλογή λύσεων προς αντικατάσταση που είναι κατά µείζονα λόγο µη εφικτές, κατά δευτερεύοντα λόγο κυριαρχούµενες, και κατά τριτεύοντα λόγο ανήκουν σε θύλακες µε µεγάλη πυκνότητα πληθυσµού. Ο δεύτερος όρος παρέχει την απαιτούµενη τυχαιότητα-ευελιξία, ώστε να εµποδίζεται ο εγκλωβισµός της διαδικασίας σε τοπικά µέτωπα Pareto (όπως αντίστοιχα συµβαίνει µε την περίπτωση των τοπικών ακροτάτων). Με την πρόοδο της εξελικτικής διαδικασίας, η θερµοκρασία µειώνεται (χωρίς ωστόσο να µηδενίζεται), και αντίστοιχα µειώνεται η βαρύτητα του τυχαίου όρου. Συνεπώς, η τροποποιηµένη συνάρτηση ποινής φ (x), που στην κλίµακα κάθε γενιάς ισοδυναµεί µε τη στοχική συνάρτηση ενός ισοδύναµου προβλήµατος ολικής βελτιστοποίησης, χρησιµοποιείται ώστε να διασπείρει οµοιόµορφα τον πληθυσµό στην κατεύθυνση του εφικτού υποµετώπου Fe*, εξασφαλίζονταςωστόσο την αναγκαία τυχαιότητα, που επιβάλλεται για τον χειρισµό των σύνθετων πολυκριτηριακών προβληµάτων. Παραδοτέο Σελίδα 85

89 16.9 Χρονοδιάγραµµα προσοµοιωµένης ανόπτησης Το χρονοδιάγραµµα ανόπτησης περιγράφει τη στρατηγική αυτόµατης ρύθµισης της θερµοκρασίας, µε τρόπο ώστε να εξασφαλίσει ικανοποιητική ταχύτητα σύγκλισης, δηλαδή ούτε υπερβολικά γρήγορη, κάτι που ενέχει τον κίνδυνο εγκλωβισµού σε τοπικά µέτωπα µη κατωτέρων λύσεων, ούτε υπερβολικά αργή, κάτι που είναι σε βάρος της αποδοτικότητας του αλγορίθµου. Το χρονοδιάγραµµα χρησιµοποιεί τρεις παραµέτρους ελέγχου που ορίζει ο χρήστης, συγκεκριµένα έναν µειωτικό συντελεστή λ, έναν πολλαπλασιαστικό συντελεστή β, και µια ελάχιστη τιµή Τmin. Η αρχική θερµοκρασία του συστήµατος τίθεται ίση µε την διαφορά µεταξύ της µέγιστης, φmax, και της ελάχιστης, φmin, τιµής της συνάρτησης ποινής φ(x) στον αρχικό πληθυσµό, δηλαδή: T[0] = ϕ max[0] ϕ min[0] (61) Κατά την εξελικτική διαδικασία, κάθε φορά που εντοπίζεται µια βελτιωµένη λύση που αντικαθιστά τον πρόγονό της στον επίκαιρο πληθυσµό, η θερµοκρασία της επόµενης γενιάς µειώνεται σύµφωνα µε τη σχέση: Tk [ + 1] = λτ [k] (62) όπου λ < 1 η πρώτη παράµετρος του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης. Στο πέρας των παραγωγικών διαδικασιών κάθε γενιάς, αφού δηλαδή εντοπιστεί µια νέα λύση που αντικαθιστά τον γονέα της στον πληθυσµό, γίνονται δύο έλεγχοι, ώστε να εξασφαλιστεί ότι η επίκαιρη θερµοκρασία δεν είναι ούτε υπερβολικά υψηλή ούτε υπερβολικά χαµηλή. Συγκεκριµένα, ελέγχεται αν η θερµοκρασία υπερβαίνει µια οριακή τιµή, που ισούται µε ένα πολλαπλάσιο της µέγιστης διαφοράς τιµών ποινής στον πληθυσµό, δηλαδή: T βϕ ( ϕ ) [ k] [ k] [ k] max min (63) όπου β > 1 η δεύτερη παράµετρος του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης. Αν η παραπάνω συνθήκη δεν ικανοποιείται, τότε η θερµοκρασία τίθεται ίση µε την οριακή τιµή β (φmax[k] φmin[k]). Ο δεύτερος έλεγχος αφορά στην ελάχιστη επιτρεπόµενη τιµή της θερµοκρασίας, που δεν µπορεί να είναι µικρότερη από την ποσότητα Τmin, όπου Τmin << 1 η τρίτη παράµετρος του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης. Όταν η θερµοκρασία φτάσει την οριακή αυτή τιµή, τότε αυξάνεται τεχνητά µέχρι την τιµή Τ[k] = 1. Με τον τρόπο αυτό, εισάγεται η απαιτούµενη τυχαιότητα στη διαδικασία επιλογής, εφόσον µετά από σχετικά µικρό αριθµό γενιών εντοπιστεί ένας πληθυσµός που περιλαµβάνει τοπικά µη κατώτερες λύσεις που είναι ταυτόχρονα εφικτές, οπότε ισχύει φmax < 1, άρα και Τ < 1. Σε µια τέτοια περίπτωση, δεν αρκούν οι προσδιοριστικοί µηχανισµοί για τον εντοπισµό του πραγµατικού Παραδοτέο Σελίδα 86

90 µετώπου Pareto. Η εν λόγω στρατηγική είναι γνωστή ως επανανόπτηση (re-annealing) και χρησιµοποιείται για να προστατέψει τη διαδικασία βελτιστοποίησης από πρόωρη σύγκλιση Η γέννηση των απογόνων Μετά την τυχαία επιλογή των κορυφών του απλόκου S = {s1, s2,, sn + 1} από τον πληθυσµό (τέτοια ώστε να περιλαµβάνει µία τουλάχιστον κυριαρχούµενη λύση), εντοπίζονται η αντικειµενικά καλύτερη, η αντικειµενικά χειρότερη και η συµβατικά χειρότερη κορυφή του. Ως αντικειµενικά καλύτερη νοείται η κορυφή στην οποία ελαχιστοποιείται η συνάρτηση ποινής φ(x), ενώ ως αντικειµενικά χειρότερη νοείται η κορυφή στην οποία µεγιστοποιείται η εν λόγω συνάρτηση (τα σηµεία αυτά, κατά σύµβαση, είναι τοποθετηµένα πρώτα και τελευταία, αντίστοιχα, στο σύνολο S). Τέλος, ως συµβατικά χειρότερη νοείται η κορυφή στην οποία µεγιστοποιείται η τροποποιηµένη συνάρτηση ποινής φ (x), και είναι υποψήφια να αντικατασταθεί κατά την εξελικτική διαδικασία. Σχήµα Γεωµετρική ερµηνεία της διαδικασίας ανάκλασης, σε ένα πρόβληµα δύο µεταβλητών (Ευστρατιάδης, 2008). Η συµβατικά χειρότερη κορυφή, που συµβολίζεται µε w, ανακλάται ως προς το κεντροειδές g όλων των υπόλοιπων κορυφών του απλόκου, µε βάση τη σχέση: r0 = g+ (0.5 + u)*( g w) (64) όπου u τυχαίος οµοιόµορφος αριθµός στο διάστηµα [0, 1] και: n+ 1 1 ( i ) n i= 1 g = s w (65) Η γεωµετρική ερµηνεία του παραπάνω µετασχηµατισµού φαίνεται στo Σχήµα Ειδικότερα, µε παχιά γραµµή απεικονίζεται η περιοχή γέννησης του σηµείου ανάκλασης, που είναι ένα ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ των σηµείων rmin και rmin, ενώ το σηµείο rmean ταυτίζεται µε τη θέση της γεωµετρικής ανάκλασης, που υλοποιεί η αυθεντική Παραδοτέο Σελίδα 87

91 µέθοδος Nelder-Mead. Τα εν λόγω σηµεία παράγονται για τιµές του τυχαίου όρου u = 0, 1 και 0.5, αντίστοιχα. Ο απόγονος r0 αποτιµάται και ανάλογα µε την ποινή φ(r0) που του αποδίδεται, προκύπτουν οι ακόλουθες περιπτώσεις: (1) Αποδοχή ανάκλασης και τερµατισµός Αν το σηµείο ανάκλασης r0 είναι εφικτό, µη κυριαρχούµενο και καλύτερο από την αντικειµενικά χειρότερη κορυφή του απλόκου, δηλαδή φ(r0) < φ(sn + 1), την αντικαθιστά απευθείας στον πληθυσµό, η θερµοκρασία του συστήµατος µειώνεται κατά τον συντελεστή λ, οπότε ολοκληρώνεται η εξελικτική διαδικασία της τρέχουσας γενιάς. (2) Αποδοχή ανάκλασης και περαιτέρω εξέλιξη Αν το r0 είναι καλύτερο από τη συµβατικά χειρότερη κορυφή, δηλαδή φ(r0) < φ(w), χωρίς ωστόσο να είναι ταυτόχρονα εφικτό και µη κυριαρχούµενο, τότε αντικαθιστά το w, και η θερµοκρασία µειώνεται κατά τον συντελεστή λ. Στη συνέχεια, ανάλογα µε την επίδοση του r0, επιχειρείται η παραγωγή βελτιωµένων απογόνων του στην κατεύθυνση της ανάκλασης, είτε µε επέκταση (βήµα 2α) είτε µε εξωτερική συµπίεση του απλόκου (βήµα 2β). (2α) Πολλαπλή επέκταση απλόκου Αν στο βήµα 2 ο απόγονος r0 που παράγεται µέσω ανάκλασης είναι καλύτερος από την αντικειµενικά καλύτερη κορυφή, δηλαδή φ(r0) < φ(s1), υλοποιείται το σχήµα πολλαπλής επέκτασης του εξελικτικού αλγορίθµου ανόπτησης-απλόκου, ήτοι: rs = g + ξs(0 r g) (66) ξ όπου s = ξs 1 + u, µε ξ 0 = 1. Η επέκταση του απλόκου συνεχίζεται όσο παράγονται ϕ( r) ( εφικτές λύσεις που βελτιώνουν την τιµή της συνάρτησης ποινής, δηλαδή s < ϕ rs 1), rs X µε. Σε κάθε τέτοια περίπτωση, ο επίκαιρος απόγονος, rs, αντικαθιστά τον αµέσως προηγούµενο, rs 1, στον πληθυσµό, και η θερµοκρασία του συστήµατος µειώνεται κατά τον συντελεστή λ. Η διαδικασία συνεχίζεται µέχρι να εντοπιστεί µια εφικτή µη κατώτερη λύση στον πληθυσµό, µέχρι δηλαδή φ(rs) < 1, και µε την προϋπόθεση ότι δεν παραβιάζονται τα όρια του εφικτού χώρου. ιαφορετικά, αν έστω και αν µία συντεταγµένη του νέου σηµείου βρεθεί εκτός των επιτρεπόµενων ορίων (εσωτερικών ή εξωτερικών, ανάλογα µε τη διατύπωση του προβλήµατος) τότε η επέκταση σταµατά, η εν λόγω συντεταγµένη τίθεται ακριβώς ίση µε την οριακή τιµή, ενώ οι υπόλοιπες συντεταγµένες διατηρούν την αρχική τους τιµή (Σχήµα 16-5). (2β) Εξωτερική συµπίεση απλόκου Αν στο βήµα 2 ο απόγονος r0 που παράγεται µέσω ανάκλασης είναι χειρότερος από την αντικειµενικά καλύτερη κορυφή, δηλαδή φ(r0) > φ(s1), το άπλοκο συµπιέζεται εξωτερικά, Παραδοτέο Σελίδα 88

92 παράγοντας ένα τυχαίο σηµείο µεταξύ του κεντροειδούς, g, και του σηµείου ανάκλασης, r0, σύµφωνα µε τη σχέση: c= g+ ( u)*( r0 g) (67) Η γεωµετρική ερµηνεία της εξωτερικής συµπίεσης φαίνεται στo Σχήµα 16-6 γενικότερα, µε παχιά γραµµή απεικονίζεται η περιοχή γέννησης του απογόνου, που είναι ένα ευθύγραµµο τµήµα µεταξύ των σηµείων cmin και cmax, ενώ το σηµείο cmean ταυτίζεται µε τoν µετασχηµατισµό που υλοποιεί η αυθεντική µέθοδος Nelder-Mead (το σηµείο αυτό κείται ακριβώς στο µέσο του τµήµατος που ορίζουν το κεντροειδές, g, και το σηµείο γεωµετρικής ανάκλασης, rmean). Τα cmin, cmax, και cmean παράγονται για τιµές του τυχαίου όρου u = 0, 1 και 0.5, αντίστοιχα. Αν φ(c) < φ(r0), τότε η εξωτερική συµπίεση είναι επιτυχής και το c αντικαθιστά το r0 στον πληθυσµό, η θερµοκρασία του συστήµατος µειώνεται κατά τον συντελεστή λ, και ολοκληρώνεται η εξελικτική διαδικασία της τρέχουσας γενιάς. Σχήµα Γραφική απεικόνιση της διαδικασίας πολλαπλής επέκτασης, σε ένα πρόβληµα δύο µεταβλητών (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008). Παραδοτέο Σελίδα 89

93 Σχήµα Γεωµετρική ερµηνεία της εξωτερικής συµπίεσης, σε ένα πρόβληµα δύο µεταβλητών (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008). (3) Απόρριψη ανάκλασης και συµπίεση Αν το σηµείο ανάκλασης r0 είναι χειρότερο ακόµα και από τη συµβατικά χειρότερη κορυφή του απλόκου, δηλαδή φ(r0) > φ(w), επιχειρείται η παραγωγή ενός βελτιωµένου απογόνου είτε µε συµπίεση του απλόκου είτε µέσω µετάλλαξης. Οι δύο διαδικασίες πραγµατοποιούνται µε συχνότητες 1 pm και pm, αντίστοιχα, όπου pm < 1 η πιθανότητα µετάλλαξης, που αποτελεί παράµετρο του αλγορίθµου. Για την επιλογή της σχετικής διαδικασίας παράγεται ένας τυχαίος οµοιόµορφος αριθµός u στο διάστηµα [0, 1], και εφόσον u > pm, εκτελείται το βήµα 3α, διαφορετικά εκτελείται το βήµα 4. Σχήµα Γεωµετρική ερµηνεία των εφικτών µετασχηµατισµών κατά τη διαδικασίες εσωτερικής συµπίεσης του απλόκου, σε ένα πρόβληµα δύο µεταβλητών (Πηγή: Ευστρατιάδης, 2008). Παραδοτέο Σελίδα 90

94 (3α) Εσωτερική συµπίεση απλόκου Η εσωτερική συµπίεση είναι η µοναδική κίνηση µε την οποία µειώνεται εγγυηµένα ο όγκος του απλόκου, και ως εκ τούτου η διασπορά του πληθυσµού στο πεδίο αναζήτησης Χ. Ο µετασχηµατισµός, όπως φαίνεται στο Σχήµα 16-7, αριστερά, αποσκοπεί στη γέννηση ενός τυχαίου σηµείου στο τµήµα µεταξύ της συµβατικά χειρότερης κορυφής, w, και του κεντροειδούς, g, σύµφωνα µε τη σχέση: c= g ( u)( g r) (68) Αν φ(c) < φ(w), τότε η εσωτερική συµπίεση θεωρείται επιτυχής και το c αντικαθιστά τη συµβατικά χειρότερη κορυφή w στον πληθυσµό, η θερµοκρασία του συστήµατος µειώνεται κατά τον συντελεστή λ, και η εξελικτική διαδικασία της τρέχουσας γενιάς ολοκληρώνεται. ιαφορετικά, δοκιµάζεται ένας εναλλακτικός µετασχηµατισµός, που έλκει τη συµβατικά χειρότερη κορυφή, w, στην κατεύθυνση της βέλτιστης κορυφής, s1 (βήµα 3β). (3β) Έλξη στην κατεύθυνση της βέλτιστης κορυφής Εφόσον αποτύχει η εσωτερική συµπίεση του απλόκου προς την κατεύθυνση του κεντροειδούς, τότε εκτελείται µια αντίστοιχη τυχαία κίνηση, αλλά προς την κατεύθυνση της αντικειµενικά καλύτερης κορυφής, s1, µε εφαρµογή της σχέσης: c= s1 + (0.5u 0.25)( s1 w) (69) Ο παραπάνω µετασχηµατισµός, η γεωµετρική ερµηνεία του οποίου φαίνεται στo Σχήµα 16-7, δεξιά, γίνεται πάντοτε αποδεκτός, δηλαδή το c αντικαθιστά τη συµβατικά χειρότερη κορυφή w, ακόµα και αν δεν επιτυγχάνεται βελτίωση της τιµής της συνάρτησης ποινής. Βεβαίως, αν µόνο αν φ(c) < φ(w), η θερµοκρασία του συστήµατος µειώνεται κατά τον συντελεστή λ. Τονίζεται ότι αν u > 0.5, το νέο σηµείο γεννάται εντός των ορίων του απλόκου, διαφορετικά γεννάται εκτός αυτού (στην οριακή περίπτωση που u = 0.5, το νέο σηµείο ταυτίζεται µε την κορυφή s1). Με τον τρόπο αυτό, υπάρχει 50% πιθανότητα αύξησης του όγκου του αρχικού σχήµατος, ανεξάρτητα αν αυτό οδηγεί ή όχι σε βελτιωµένη λύση. Υπενθυµίζεται ότι στον µονοκριτηριακό αλγόριθµο, αντί της παραπάνω κίνησης υλοποιείται ολική συµπίεση του απλόκου (στην πραγµατικότητα υποδιπλασιασµός του µήκους των ακµών του), καθώς όλες οι κορυφές του έλκονται στην πλευρά της καλύτερης λύσης. (4) Απόρριψη ανάκλασης και µετάλλαξη Ο αλγόριθµος ενσωµατώνει δύο εναλλακτικούς τελεστές µετάλλαξης, µεγάλης και µικρής κλίµακας, που εκτελούνται µε ίση συχνότητα, 50%. Για τον σκοπό αυτό, παράγεται ένας τυχαίος οµοιόµορφος αριθµός u στο διάστηµα [0, 1], και εφόσον u > 0.5 καλείται ο Παραδοτέο Σελίδα 91

95 πρώτος τελεστής µετάλλαξης (βήµα 4α), διαφορετικά καλείται ο δεύτερος τελεστής (βήµα 4β). Το σηµείο που γεννάται µέσω µετάλλαξης, και συµβολίζεται µε m, αντικαθιστά εκ κατασκευής τη συµβατικά χειρότερη κορυφή w στον πληθυσµό, είτε επιτυγχάνεται είτε όχι βελτίωση της τιµής της συνάρτησης ποινής. Βεβαίως, στην πρώτη περίπτωση, δηλαδή αν φ(m) < φ(w), τότε η θερµοκρασία του συστήµατος µειώνεται κατά τον συντελεστή λ. (4α) Μετάλλαξη µεγάλης κλίµακας Ο τελεστής µετάλλαξης µεγάλης κλίµακας αποσκοπεί στην ελεγχόµενη γέννηση ενός απογόνου m, µε τρόπο ώστε να αυξηθεί η διασπορά του πληθυσµού. Η γεννήτρια συνάρτηση κάθε συντεταγµένης δίνεται από την σχέση: mj = µ j ± [1 + N(0,1)] σ j (70) όπου µj και σj η µέση τιµή και τυπική απόκλιση, αντίστοιχα, της συντεταγµένης j στον τρέχοντα πληθυσµό, και Ν(0, 1) τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί κατανοµή Gauss. Ο τελεστής + ή επιλέγεται τυχαία, µε πιθανότητα 50%. (4β) Μετάλλαξη µικρής κλίµακας Ο τελεστής µετάλλαξης µικρής κλίµακας αποσκοπεί στην ελεγχόµενη γέννηση ενός απογόνου m, στη γειτονιά της συµβατικά χειρότερης κορυφής w. Η γεννήτρια συνάρτηση κάθε συντεταγµένης δίνεται από την σχέση: m j w +Ν x w u = w w x u max j (0,1)( j j) / 3 αν 0.5 min j Ν(0,1)( j j ) / 3 αν > 0.5 (71) όπου Ν(0, 1) τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί κατανοµή Gauss και u τυχαίος οµοιόµορφος αριθµός στο διάστηµα [0, 1]. Στο διάγραµµα ροής (Σχήµα 16-8) συνοψίζεται η παραγωγική διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω. Μέσα από ένα πολυσύνθετο σχήµα εξέλιξης, που περιλαµβάνει γεννήτριες συναρτήσεις και ελέγχους, προκύπτει ένας κάθε φορά απόγονος που αντικαθιστά τη συµβατικά χειρότερη κορυφή του απλόκου. Κάθε φορά που εντοπίζεται µια βελτιωµένη λύση, η θερµοκρασία του συστήµατος µειώνεται κατά τον παράγοντα λ. Αυτό σηµαίνει ότι, στην επόµενη γενιά, η επίδραση της τυχαιότητας του τελεστή επιλογής θα είναι ελαφρά µικρότερη σε σχέση µε την τρέχουσα. Παραδοτέο Σελίδα 92

96 Σχήµα ιάγραµµα ροής των παραγωγικών διαδικασιών µιας γενιάς, στον πολυκριτηριακό εξελικτικό αλγόριθµο ανόπτησης-απλόκου (Ευστρατιάδης, 2008) Κριτήρια τερµατισµού Μετά την ολοκλήρωση των παραγωγικών διαδικασιών υπολογίζονται οι συναρτήσεις ποινής και τα στατιστικά χαρακτηριστικά του πληθυσµού στο πεδίο αποτίµησης (µέση τιµή και τυπική απόκλιση). Τέλος, ελέγχεται η τιµή της θερµοκρασίας ως προς τα κριτήρια του χρονοδιαγράµµατος ανόπτησης. εξελικτική διαδικασία κριτήρια τερµατισµού: διακόπτεται εφόσον ικανοποιούνται ταυτόχρονα τα ακόλουθα όλα τα µέλη του πληθυσµού είναι εφικτά, δηλαδή ξi = 0 για κάθε i = 1,, p όλα τα µέλη του πληθυσµού είναι βέλτιστα Pareto, δηλαδή ri* < 1 για κάθε i = 1,, p το πλήθος των δοκιµών έχει ξεπεράσει µια οριακή τιµή. Μετά τον τερµατισµό της διαδικασίας, ο αλγόριθµος επιστρέφει τις τιµές των συντεταγµένων και των κριτηρίων του επίκαιρου πληθυσµού, δηλαδή το σύνολο και µέτωπο Pareto, αντίστοιχα. Παραδοτέο Σελίδα 93