Cournotovský trh s tajnou informáciou

Transcript

1 Uvrza Komského v Braslav, Fakula mamaky, fyzky a formaky Couroovský rh s aou formácou DIPLOMOVÁ PRÁCA Pr Jaga Braslava 008

2 Couroovský rh s aou formácou DIPLOMOVÁ PRÁCA Pr Jaga UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A ŠTATISTIKY Ekoomcká a fačá mamaka Vdúc závrč rác Doc. RNDr. Já Pkár, PhD. Braslava 008

3 Prhlasum, ž som dlomovú rácu vyracoval samosa, ba s omocou lraúry uvd v zozam, kozulácí s vdúcm dlomov rác a vdomosí získaých očas šúda V Braslav dňa 8. aríla 008 Pr Jaga

4 Týmo sa chcm oďakovať vdúcmu svo dlomov rác Doc. RNDr. Jáov Pkárov, PhD., za všsraú odború omoc, možsvo cých romok a rád, ako a za ochou a odoru ravú r vdí rác.

5 ABSTRAKT Dvosuňový modl formačých ríraskov má ralscký rdoklad zvra sraég o rv fáz. J l ťažko rdsavľé ako frmy rúť zvrť svou sraégu, a akž ak u zvra, aká dôvryhodá áo formáca. Pro sa uvažu dosuňový modl odvodý od dvosuňového, kd rdoklad zvra sraég o rv fáz uvažovaý. V o rác aalyzovaý dosuňový modl a orovaý s výsldkam r dvosuňový. V dosuňovom modl budú frmy akuovať m formácí ako v dvosuňovom. Pr ríad hrogého duoolu sú ukázaé rozdly v závslos od aramrov a da a fak, ž frmy ak určuú svo sraég r dolvé modly. Kľúčové slová: olgool, Baysov kvlbrum, óra hr, zakú formácí, Couroovský rh

6 Obsah. Úvod Trhy Tóra hr Úvod do ór hr Základé omy z ór hr a dl Couroov duool z ohľadu ór hr Couroovsky rh s aou formácou Modl Ekvlbrum so hry Homogé frmy Blahoby Hrogéy duool Závr Lraúra

7 . Úvod Tóra hr ako samosaé odvv alkova mamaky sa začala rozvíať v rdsaych rokoch dvadsaho soroča a rvá vážša ublkáca z roku 944 Th Thory of Gams ad Ecoomc Bhavour. Časom sa óra hr sala vľm dôlžou súčasťou koóm a koomckých modlov o čom svdč a osm oblových c udlých za óru hr. Couroovský rh bol oísaý v dl Rsarchs o Mahmacal Prcls of Walh z roku 838 od Augusa Couro, fracúzskho mamaka, koóma a flozofa. Id o modl frm, koré vola možsvo rodukc a rhu. Frmy s sú rové čo sa ýka vlyvu a rhu, da žada má domaé osav. V o dlomov rác s v úvod kaol rdsavím aké rhy ozám, ch rozdly, v čom sa líša. V druh kaol s ovm o órí hr a zadfum s rôz kvlbrá orbé r ďalšu rácu. V r kaol, môžm u azvať a hlavou, kďž sa v budm vovať hlavému roblému o dlomov rác a o Couroovskému rhu s aou formácou. Budm uvažovať dosuňový a dvosuňový sochascký formačý modl. Id o o, ž frmy maú rsú formácu o vrz doyov fukcí a kuuú s formác o rhu. V dvosuňovom modly, korým sa zaobralo už vacro ublkácí, somňm asoň Possard [0], Vvs [] a Hwag [4],[5] sa frmy v rv fáz rozhoduú, koľko vsovať do rhu a v druh fáz, aké možsvo budú rodukovať. To rozhodua roba frmy a v dosuňovom modl, rozdl v om, ž v dvosuňovom modl sa o rv fáz zvra formác, rskív sraég osaých frm. Tda v dvosuňovom modl sa frmy rozhoduú koľko vsuú do rskumu rhu s ým, ž ásld bud zvré koľko vsoval a dosaú a zakúý sgál o rhu a a základ ýcho formácí urča výšku svo rodukc. V dosuňovom modl sa frma rozhodu o výšk vsící do rskumu rhu a ásld a základ zakúého sgálu určí výšku svo rodukc. Jdosuňovým modlom sa ako rvý zaobral Hauk a Hurks v ublkácí Scr Iformao Acquso Couro Marks. Dôvod rčo uvažovať a dosuňový modl vľm doduchý a o aký, ž v rax možé s rdsavť frmy, koré by 6

8 zvrňoval svo sraég. Tda dvosuňový modl, korý rdokladá zvr formácí o rv fáz z oho ohľadu rály. Takž kby a frmy zvrl svo sraég, ak oáz do ak mry možé m vrť. Ďal budm aalyzovať o modly, orovávať ch a hľadať ch kvlbrové sraég. Takž budm uvažovať rôz suác a rhu, a o č už rh s homogéym frmam albo hrogéy duool. 7

9 . Trhy Každý rh s určým ovarom sa vyzaču akou svoou charakrskou. V mulos sa vľa zámych mamakov a koóm zaobralo rhm a sažlo sa ch mamacky oísať. Kďž už a rvý ohľad vdo, ž as bud rozdl č hovorím o rhu s mrálym vodam, kd kokurca vľká a ramňov o clom sv vľa albo hovorím o rhu s auam, kd xsu koľko svových začk albo o rhu s roou, korý úl šcfcký. Pro mám a rôz modly, koré osuú rôz suác a rhu, č už oč frm, rlaívu vľkosť frm albo rôz odmky vsuu a rh. Dokoalá kokurca Jdá sa o rh kd vľa koč rdávaúcch, kuuúcch, a každý z ch malý a má výzam, da ko ako dvduala, č už kuuúc albo rdávaúc v ovlyvť rh. Hovorím o rhu kd frmy vyrábaú homogéy roduk, akž rdokladám ulové rasakčé áklady, da kuuúcmu do od koho výrobok kú a mu akž do ako ďalko za ým bud musť ísť, da sa rad výhrad ba cou. Ďalším rdokladom dokoalá formáca, da kuuúc v o ovar o, čo rdávaúc a voľý vsu a odchod z rhu rdávaúcm. O akomo rhu hovorím ako o dokoal kokurčom rhu. Po aalýz akéhoo rhu dosam, ž cy výrobkov sa rovaú hračým ákladom, koré sa akž rovaú rmrým ákladom a rh fkívy. Moool To rh sa vyzaču ým, ž a rhu l da frma. Tda doy daý a ouku, da cu a možsvo rodukc a rhu s urču da frma. Kďž sa frma sráva racoál, da saží sa maxmalzovať svo zsk, roduku aké možsvo r ak c aby sa hračé áklady roval hračým rímom. Trh šcfcký ým, ž vzká vysoká fkva, rvysoké cy, ízka rodukca a abormál vysoký zsk. Na rhu môžu vzkať rrodzé moooly, vdy kď vsué áklady a rh sú vľm 8

10 vysoké, aríklad Slovský lyárský rmysl, albo Slovské lkrár, kd by bolo as vľm fač áročé r kokurcu vybudovať č už ové lyovody albo lkrcké rozvody. Nrrodzé sú kď rrodzý dôvod a ho vzk, da vývoom sa sa, ž aká frma ovlád aký rh a č už cam albo ým sôsobom brá vsuu a rh kokurcí. Vlády sa saža ro mooolom bráť aríklad rgulácou c. Mooolscká kokurca To rh vľm odobý dokoal kokurčému rhu, rozdl ba v om, ž frmy vyrábaú homogé výrobky, al rôz. Tda každá frma sa vyzaču svoou začkou, čo zohráva úlohu a r kuuúcho, korý sa rozhodu a základ cy a akž začky. Vľm dobrým ríkladom rh ív albo ví, kd s kuuúc ochoý rlať za začku, al samozrm ž l o určú výšku. Tým, ž začka zohráva úlohu a omo rhu, dáva od a r vzk rklamy. Na rozdl od dokoal kokurčého rhu, frma môž byť v krákodobom horzo zsková, al z dlhodobého hľadska xsu zsk. Ca a rhu rová rmrým ákladom, al hračé áklady sú žš, da rh fkívy. Couroov olgool duool V aš rác sa budm ďal zaobrať Couroovským rhom, ro s o ňom ovm rošku vac. Augus Couro, fracúzsky flozof, mamak a koóm aísal v roku 838 dlo s ázvom Výskumy v mamackých rcíoch bohasva Rsarchs o Mahmacal Prcls of Walh. V omo dl sa zaobral už somíaým mooolom, dokoal kokurčým rhom akž zámym Couroovskym duoolom. Zavdol doyovú fukcu, o kor rdokladal, ž soá a klsaúca. Takž zavdol ákladovú fukcu. V omo dl sa doracoval k už somíaému výsldku, ž v moool s výrobca vybrá aké možsvo rodukc, ž hračé áklady sa rovaú hračým rímom. Couroov duool zosavý ako mamacký modl s dvom kokurčým výrobcam homogého roduku. Sráva sa oboch výrobcov ovlyvňu rh a da zskovosť oho druhého. Modl zosavý ak, ž každý z výrobcov rozhodu 9

11 o možsv rodukc, korá maxmalzu ho zsk, vzhľadom a a rozhodu ho kokura. Couro získal rš a akž ukázal, ž oo kvlbrum môž byť získaé ako rsčík dvoch rakčých krvk. Nskôr s rozvoom ór hr bolo ukázaé, čo rzovaé a v aslduúc kaol, ž o rformulovaí a kooraívu hru s možsvam ako so sragckým rozhoduam dosávam, ž Couroovo rš duoolu č é ako Nashovo kvlbrum. Ďalší výsldok čo dokázal v omo dl, ž čm oč frm a rhu väčší, ým a ca žša a rodukovaé možsvo vyšš. Uvažum raz Couroov duool: Mám frmy kd ca a q možsvo. Ca závslá od rozhoduí oboch výrobcov koľko budú vyrábať, da mám P q q. Nch C q ákladová fukca frmy. Každá frma sa saží maxmalzovať svo zsk, a ro dosávam zsk každ frmy: Čo maxmalzum a dosávam: π P q q q q π P q q q C q q P q q C q 0 q Z oho vľm doduché r kokré ákladové fukc a fukcu cy a rhu ovrť, ž sa dá o maxmum a vyadrť kvlbrové možsvá. Pr kokréu ákladovú fukcu v var v var P q q a b q q dosávam výsldok: q C q c q a vrzú doyovú fukcu a c q 3b Kďž my sa budm zaobrať olgoolom a s očom frm vyšším ako, v skrak s oíšm akýo rh. Na rhu vac ako da frma. Frmy sa srávaú závsl, da kooruú mdz sbou. Každá frma výzamá r rh a v ho ovlyvť. Poč frm a rhu fx daý a da a rsuuú a a odchádzaú frmy z rhu. Frmy súťaža ak, ž vola možsvo rodukc a o smulá, da žada frma zvýhodá akou formácou avyš. Každá frma sa sráva racoál a da sa saží maxmalzovať svo zsk. 0

12 Sacklbrgov olgool duool Takž azývaý a sacklbrgov vodcovský modl. J omovaý odľa mckého koóma Hrch Frhrr vo Sacklbrga, korý v roku 934 aísal dlo Mark Srucur ad Equlbrum kd sa voval a omuo modlu. Jdá sa o modl vľm odobý Couroovmu, kd frmy rozhoduú aké možsvo budú rodukovať. Na rozdl od Couroovho, frmy maú rovaké osav a rhu, al da frma domaá a osaé frmy raguú a rozhodu. Samozrm domaá frma v o svoom osaví a rhu a akž rozhodu aké, ž rdokladá, ž frmy budú ovlyvé rozhoduím. Tyckým ríkladom r frmu, korá domu rhu a osaé sa rsôsobuú srávau Slovaf. Tda v Sacklbrgovom duool frmy hraú smuláu hru, al da frmy sa rozhod v rv fáz, a ásld a základ rozhodua sa rozhoduú osaé frmy a rhu. Podob ako r Couroov duool dosam asldové a r o, kd frma domaá a r frmu asldový výraz, korý maxmalzu zsk. π q P q q C q q P q q 0 q q Frma ovlyvá rozhoduím frmy, a z oho dosávam zsk frmy v asldovom var: korý kď maxmalzum ak dosávam: π q P q q q π P q q q q C, q q q q q P q q C q q 0. q Už a rvý ohľad vdo, ž rozhodua v rdošlých dvoch duooloch sa líša. Pr kokré ákladové fukc a fukcu cy roblém ovrť, ž sa dá o maxmum a určť kvlbrové možsvá výroby. Brradov olgool duool To modl omovaý o fracúzskom mamakov Josh Lous Fracos Brradov. Od skôr somíaých modlov sa líš v om, ž frmy určuú cu a a základ možsvo. Základé charakrsky modlu sú asldové. Poč frm a rhu rodukuúcch homogéy výrobok asoň dva. Frmy kooruú. Frmy maú

13 rovaké hračé áklady, koré sú košaé. Doyová krvka lára. Frmy vola cy a o smulá a a základ oho rozhodua oom urča odľa doyov krvky výšku rodukc. Kuuúc sa rozhodu výhrad a základ cy, r zhod c sa doy rozdlí rovako. Výsldkom oho modlu, ž cy budú ako a dokoal kokurčom rhu, da ca výrobku sa bud rovať hračým ákladom.

14 3. Tóra hr 3.. Úvod do ór hr Hsóra ór hr saha ďalko do mulos kď sa ľuda zamýšľal ad rôzym karovým hram a odob, avšak óra hr ako vdá dsclía albo odvv alkova mamaky xsovala až do roku 98 kď začal ublkovať koľko rác Joh vo Numa, koré vyvrcholl dlom Th Thory of Gams ad Ecoomc Bhavour z roku 944, čím sa óra hr dosala do ovdoma. Ula ór hr vľm rozsahl, od alkova mamaky a koóm, cz bológu až o flozofu a socológu. V súčasos óra hr záma mdz lackou vrosťou amä zásluhou flmu A Bauful Md, korá osu žvo as avac sáaého človka v súvslos s órou hr Joha Nasha. Z ór hr bolo doosaľ udlých osm Noblových c, čo ž svdčí o obľub a výzamos oho odboru. Ako ázorý ríklad s uvdm as azámší ríklad z ór hr Väzňova dlma, a korom sa dá a óra hr vľm ľahko ochoť. Uvažum dvoch zločcov, korých olíca zakla. Každého dá do samosa cly. A dému v dokázať, ž šlo o ozbroú lúž a ro a o orbu aby sa asoň d z ch rzal. Môžu asať r rôz suác, buď sa rzá a d, v om ríad dosaú obaa roky väza ba za lúž. Ak sa rzaú obaa, v om ríad dosaú obaa o 8 rokov. A v rťom ríad sa rzá d a ako oľahčuúcu okolosť dosa rok a čo sa rzá dosa 5 rokov väza. Na rvý ohľad sa môž zdať, ž sa obaa rzaú a dosaú o roky, čo mmály súč. Z ohľadu ór hr sa rzaú obaa, kďž každý z väzňov sa a o ozrá ak, ž čo r ho alša rakca a rza sa, a akž rza sa druhého väzňa. Kďž v oboch ríadoch dosa m rokov kď sa rzá, ak sa obaa rzaú a dosaú o 8 rokov väza. 3

15 3.. Základé omy z ór hr a dl V órí hr sa môžu hry dlť odľa rôzych krérí. Jdým z krérí odľa formovaos hráčov. Pozám aríklad hry s úlou formácou, kd všc hráč maú o sb všky formác a maú as daú fukcu výla a rozdl od hr s úlou formácou, kd koré formác sú dosué r vškých hráčov. Ďal môžm hry rozdlť a hry s dokoalou formácou, kd každý hráč v, kd sa v daom okamhu hry achádza. A hry s dokoalou formácou, kd hráč musí vdť, kd sa v daom okamhu hry achádza. Ďal sa v hr môž vyskyovať áhoda, akž azývaá a ríroda, odľa čoho ž dlím hry a hry s soou a hry s soou. Posldým somíaým krérom sú hry so symrckou formácou, kd každý hráč ma rovakú formácu. V asymrckých hrách môžu mať korý z hráčov formačú výhodu. Ďalším krérom môž byť sôsob rozhodovaa sa hráčov. A o sú buď smulá albo skvčé dyamcké hry. My budm v ašom modl uvažovať smulá sa rozhodova hráčov frm, da všc hráč frmy sa rozhoduú araz. Pr skvčých dyamckých hrách sa hráč srdaú v ťahoch. Ďal rozlšum dv formy zásu hry a o v ormálom sragckom var a v xzívom var. Dfíca: rocu G N, S,{ u } azývam hrou v ormálom sragckom var, kd N {,... } moža hráčov, S S... S S rofl sraégí rčom S moža sraégí hráča, u : S R fukca výla hráča. Dfíca: Hrou v xzív form Γ azývam šscu { I, x, f, ι., A., P, u} kd: I {N,,...} moža hráčov, kd N hráč áhoda ríroda, x, f hrý srom daý možou vrcholov a rlácou rdchádzaa, ι. zobraz x I, koré každému rozhodovacmu vrcholu sromu rradí hráča, korý sa v ňom rozhodu, 4

16 A. - Ah moža vškých akcí, koré má hráč k dsozící v formač mož h, P rozdl možy vškých vrcholov a formačé možy, u fukca výla. Dfíca: Sackou Baysovou hrou v sragck form azývam äcu I,{ A } I,{ T } I,{ u} I,{ μ }, kd I I {,... } moža hráčov, A A... A A rofl akcí, kd A rofl hráča, T T... T T moža roflov yov hráčov, kd T moža yov hráča, u : A T R fukca výla hráča, μ T Δ T rsvdč hráča o rozdlí a mož : komlmárych roflov yov. V órí hr rozlšum r sraég a o čsé, zmšaé albo bhavorál. Hráč hrá čsé sraég ak volí svou sraégu s z možy sraégí S bz akkoľvk áhodos. Hráč hrá zmšaú sraégu ak hrá dolvé sraég s určou ravdodobosťou. Bhavorála sraéga rraďu každ formač mož rozdl s určým ravdodobosťam V ďalš čas rác budm využívať om rakca hráča, rskív alša rakca hráča albo rakčá fukca krvka, akž budm hľadať Nashov kvlbrum, Baysovo Nashovo kvlbrum a dokoalé Baysovo Nashovo kvlbrum. Dfíca: Hovorím, ž sraéga s S hráča alšou ho rakcou a komlmáry rofl sraégí s S ráv vdy, ak u s, s u s, s r všky s S, albo kvval s arg maxu s, s. s S 5

17 Dfíca: Mulfukcu dfovaú asldov BR s { s S : s volám rakčá mulfukca hráča. arg maxu s, s s S } Dfíca: Profl sraégí s s, s,..., s hry v sragckom var volám Nashov laí: kvlbrum v čsých sraégách ráv vdy, ak r každého hráča u s, s u s, s r všky s S,... albo kvval s arg maxu s, s, s S albo kvval s BR s. Jdoducho ovdaé, Nashov kvlbrum hry, aké kvlbrum, kd a d hráč môž získať ým, ž l o sám zmí sraégu. Dfíca: Profl sraégí v sack Baysov hr s., s.,..., s. azývam T Baysovým Nashovým kvlbrom r každého hráča a r každý ho y, ak laí: μ u, s, s μ u, a, s r všky a. T A Iak ovdaé, Baysov Nashov kvlbrum hry aké, koré maxmalzu očakávaý zsk výlau hráča, za rdokladu xsc svoho rsvdča o osaých hráčoch, ch rofloch a sraégách, koré budú hrať. Aby sm s mohl dfovať dokoalé Baysovo Nashovo kvlbrum, musím s arv dfovať kdy rofl sraégí skvč racoály. 6

18 Dfíca: Profl sraégí s azývam skvč racoálym vzhľadom a sysém rsvdčí μ, ak s vybr v každ rozhodovac mož racoálu akcu. Dfíca: Profl sraégí s a sysém rsvdčí μ vora dokoalé Baysovo Nashovo kvlbrum, ak sĺňaú: Hra má sysém rsvdčí, da v každ formač mož má hráč, korý sa v rozhodu, dobr dfovaé rsvdč μ. Všky formačé možy a kvlbrov cs, a vždy kď o možé a r osaé, sú kozsé s Baysovým ravdlom. Vzhľadom a daé rsvdč, sraég hráčov musa byť skvč racoál. 7

19 3.3. Couroov duool z ohľadu ór hr Uvažum ríklad ako v kaol o rhoch s Couroovým duoolom. N { frma, frma} - hráč S S [0, ] - sraég P q q a b q - vrzá doyová fukca q C q c q - ákladová fukca Mám úžkovú fukcu v var: u c q q, q P q q q Hľadám alšu rakčú fukcu hráčov a o asldov: maxu q, q max a b q q c q q S q S Z čoho dosávam asldové rakčé fukc: BR q a c q a b a c q BR q, b z čoho dosávam samozrm o sé rš ako sm dosal v rdchádzaúc čas o rác, výraz a o q a c q. Rš sa dá ásť a grafcky ako 3b rsčík rakčých fukcí, kd rsčík Nashov kvlbrum. Too rš s môžm ozrť a obrázku dol. Obr.: Grafcké rš Couroovho duoolu 8

20 4. Couroovsky rh s aou formácou 4.. Modl Pr roblmaku získavaa formácí č už a rhu, v ašom ríad Couroovskom, albo r ríad aukc, xsu a bolo ublkovaých vľa rôzych modlov. Kď hovorím o aukcí a o dvosuňovom modl, ak somňm aríklad od Mlgroma [6], kd v rv fáz získam formácu o c a v druh sa rozhodm o výšk svo ouky. Uvažum modl formačých ríraskov v Couroovskom rhu. Pr roblmaku rhu somňm modl od Ockflsa z roku 989, korý odobý modlu oužému am až a o, ž v ho modl sa dá o soú hru, al výška rodukvy má bár rozdl. Ďalší odlšý modl od Chag a L [], korý sa líš v om, ž frmy vyrábaú rôz výrobky, čž homogé ako v ašom oužom modl. Nam oužý modl vlas zovšobc modlov Possard [0], Vvs [] a Hwag [4] a vychádza z čláku Hauk a Hurks [3]. Uvažum sochascký modl formačých ríraskov da modl kd sa frma rozhodu koľko vsovať do rskumu rhu aby získala čo arsšu formácu, korú využ r rozhodovaí o svo rodukcí a ak omalzovala svo sráva sa a Couroovskom rhu. Mam oč frm a rhu. Ivrzá doyová fukca v var: θ, x kd x rodukca frmy, > 0 košaa a θ áhodý aramr so srdou hodoou μ a dsrzou σ a rrodz budm rdokladať, ž má ormál rozdl. Frma má kvadrackú ákladová fukcu v var: C, c, 0. x c x x Frma získava sgál s θ ε kd ε sú áhodé odchýlky so srdou hodoou 0 a varacou v a Cov θ, 0. / rsosť sgálu. Sgály raé frmam sú ε v 9

21 závslé odmé od θ a okrm rdokladám, ž E θ s odmé. To rdoklad ám dáva, ž E θ s E s s μ s μ, v kd σ / σ. v Všmm s, ž zaaľ čo dosahu hodoy od 0 do koča, od o 0. Pro s r zľahč budm ďal racovať s. Prdokladám, ž frma s môž kúť c-krá / v formácí o rhu a z oho dosávam, ž áklady a formác sú c C. σ V čom sa budm líšť od modlov oužých od Vvs, Hwaga a Possarda o, ž zaaľ čo o uvažuú l dvosuňový modl, my budm uvažovať a o dosuňovom modly. Dôvod ouža dosuňového modlu vyly z asldového oísaa dolvých modlov. Rozobrm s raz dolvé modly a ch sraég. V dvosuňovom modl sa frmy v rv fáz rozhodú koľko vsovať do formácí. Výška vsící dolvých frm sa sa v druh fáz vrou formácou a a základ o formác a zakúého sgálu každá frma určí výšku svo rodukc v druh fáz. Na základ oho môžm sraégu frmy zaísať ako dvocu,,, kd vyadru rsosť formácí a y, s osu výšku rodukc závsl od zakúého sgálu a od rsos, r korú sa rozhodl osaé frmy. Na rozdl od dvosuňového sa frmy v dosuňovom modl rozhoduú koľko vsovať do rsos formác. A ásld a základ zakúého sgálu sa rozhodú o výšk svo rodukc. Tda maú formácu o osaých frmách a ch rozhoduach v rv fáz ako o u dvosuňového modlu. Na základ oho môžm sraégu frmy zaísať ako dvocu,, kd vyadru rsosť formác a x y x s osu výšku rodukc a základ zakúého sgál a závslá od výšky vsící do formác, r korú sa rozhodl osaé frmy. Vráťm sa säť k dôvodu rčo uvažum a dosuňový modl a l dvosuňový. V dvosuňovom modl maú o rv fáz frmy ovosť zvrť 0

22 svo rozhodu a o rdoklad rály a srávy kďž rál doúť frmu aby zvrňovala svo sragcké rozhodua a kby a zvrla ak kd zaručé, ž zvrla rsé formác a l zavádza kokurcu. Pro uvažum dosuňový modl, korý sa zdá byť ovľa ralsckší.

23 4.. Ekvlbrum so hry Na ád dokoalého Baysovho Nashovho kvlbra r dvosuňový modl ám sačí oužť subsúcu výla π C, omocou kor rdukum dvosuňovú hru kd volím ba výšku rsos formácí. Z oho dosávam rakčé fukc r dolvé frmy, kd kvlbrum ádm ako rsčík ýcho rakčých fukcí. Ak rš vúoré ak ho dosam z rša súsavy rovíc, korú dosam o zdrvovaí rdošlého výrazu rového 0: π C' r všky. Kďž r dosuňový modl vybrám smulá rsosť formác a možsvo rodukc x, da sraéga každ frmy dvoca, mám možosť racovať s rakčou fukcou, avšak môžm oužť rísu sla rv odmky. Kľúčové s všmúť, ž ak dvoca, x čsé Nashovo kvlbrum dosuňov hry, ak musí byť x kvlbrom druhého suňa dvosuňov hry r zvolé. Too ám zač rduku oč kaddáov a rš dosuňov hry. Z oho mám, ž k aalýz oboch modlov sa musím arv zamrať a soé hry druhého suňa dvosuňového modlu. Mam vkor..., rsos formácí a uvažum soú hru druhého suňa. Nch fxá sraéga x s a s μ b r všky. Poom alšou rakcou frmy, aká, korá maxmalzu odmý očakávaý zsk: Tda hľadám akú sraégu E x s θ x s c x s s. x s ako drvácu rdošlého očakávaého zsku rovú 0. Z čoho dosam: x s E θ s E x s s c

24 c s b s a E s μ μ μ c b s s E a s μ μ μ c b s a s μ μ μ μ s a b, kd c b b μ a a a. 3 Po dosadí 3 do a o mrych úravách dosam, ž očakávaý zsk odmý sgálom rový. Nodmý zsk môžm očíať asldov: s s x s x E π ] [ s x Var s x E μ ε θ a b Var b - μ ε θ Var a b v a b σ σ b a. Z výrazov a 3 môžm vyočíať kvlbrovú sraégu a zaísať u ásld: ] [ μ s a b s x, kd b c b μ,, 4 3

25 a [ ] a [ ],, 5 Sysém 4 a 5 ma ráv do rš. Dôkaz oho vrda v čláku od Hauk a Hurks [3]. Traz uvažum dvosuňový modl. Dokoalé Baysovo kvlbrum, y, a musí byť slé, ž y, dé Nashovo kvlbum druh fázy r všky. Tda mám y, s b a [ ] s μ r všky. Ďal rdokladám, ž žada frma má dôvod a zmu formácí. Za rdokladu vúorého rša dosam π C' a: čo môžm a základ rdošlých výsldkov a o úravách rísať a σ a [ ] a [ ] C'. 6 Prdm a dosuňový modl. Nch, x čsé kvlbrum ak oom x musí byť kvlbrum druhého suňa dvosuňov hry. Túo sraégu môžm akž zaísať ako x s b a [ ] s μ. Podmkou odob ako sm somul a r dvosuňovom modl aby žada frma mala dôvod a vyboč. Zma oro dvosuňovému modlu, ž frma môž zmť výšku formácí a a rodukcu v d fáz. Ak frma zmí výšku formác z _ a ak sraéga bud vyzrať ako x s b a [ ] s μ a z oho s môžm všmúť, ž a [ ] závsí od a od. Ďal dosávam oäť za rdokladu vúorého rša asldové: σ a [ ] C'. 7 Tu vdľ slá odmka druhého rádu r maxmum, kďž ľavá sraa závslá od a ákladová fukca rýdzokovxá. Too sm vo všobcos 4

26 rukázal r dvosuňový modl, al r ríady, korým sa budm zaobrať o bolo už ukázaé r homogé frmy Vvs [] a r hrogé frmy Hwag [4]. Z výsldkov 6 a 7 vdím, ž r dosuňovú a dvosuňovú hru dosávam rovaké rša okaľ sú vúoré. Z výrazu 5 môžm dosať: a [ ] a [ ] a [ ] a [ ], z čoho vdo, ž môž byť žad a [ ] 0. Ak budm okračovať ďal, ak o zdrvovaí dosam: a [ ] a [ ] a [ ], z čoho mám, ak by bolo a / 0, oom by r všky lalo a / < 0 a o súhlasí s výrazom 5. Pro mám, ž a / > 0 a z oho ásld závr, ž rš dvosuňov hry vd k vyšš úrov formovaos frm. Ďalší výsldok odľa Hauk a Hurkso [3], ž kvlbrové výlay v dvosuňovom modly sú osro mš ako v dosuňovom, okaľ ulová formovaosť. Z rdchádzaúcch závrov vylýva, ž frmy ak môžu, s vybrú hrať dosuňovú hru. Avšak u vzká roblém, korý môžm rrovať roblému väzňov dlmy, kďž vždy xsu aký sôsob ako sa formovať o kokurcí a časoč ozať sraégu a alša rakca a o mať lšu formácu o rhu ž kokurca. Tda každá z frm sa saží byť formovaša a da mať výhodu a a zvýšť svo zsk. To fak vd k omu, ž frmy sa dosaú časom do úrov formácí kvlbra dvosuňov hry a ch zsk bud žší. 5

27 4.3. Homogé frmy Uvažum homogé frmy, da a c 0 r všky. Podľa Vvs [] Ekvlbrum musí byť symrcké, x s x s r všky, odkdy ákladová fukca rýdzo kovxá a dcká r všky frmy a sgály sú závsl a dcky rozdlé. Fak, ž kvllbrum r všky frmy symrcké ľahko ozorovaľý kďž sysém má l do rš a z oho vdím, ž r homogé frmy symrcké. Položm ˆ vkor formácí kd ˆ r všky. Uvažum kvlbrum x druhého suňa dvosuňov hry. Zo sysému vm, ž kvlbrová sraéga xsu. Mám x s b a [ˆ]ˆ s μ kd dosam asldov z b b b, 0 a z výrazu 4 o úravách: c b μ 8 a a dosam obdob ako r b a z výrazu 5 rové: a a z oho dosávam [ ^ ] ˆ a [ˆ] ˆ / 9 a akž o zdrvovaí _ ^ a [ ] ^. 0 6

28 Úrovň formácí budm hľadať za odmky kladého rša ako MPV C', kd MPV osu hračú hodou frmy ak zvýš svou úrovň formácí ak všky osaé frmy zachovaú svou úrovň, čo dosam dosadím výrazov 9 a 0 do výrazu 6 a o ásldých úravách v asldovom var: γ γ MPV σ γ γ 3 kd γ. Nvm dosať ako xlcé rš, vm dosať výsldok ba r ríad, ž oč frm d do koča. Uvažum raz dosuňový modl. Rš hľadám odob ako r dvosuňový modl ako záoré rš MPV C'. Subsúcou výrazu 9 do výrazu 7 dosam: σ MPV. A akž ravú srau rovú C' c / σ čo sm dosal zdrvovaím ákladov a formác. Dosadím do rovos dosam kvadrackú rovcu rm, z kor o vyrší dosam xlcé rš v var: max 0; σ σ c. c / Po zdĺhavých úravách môžm dosať, ž rozdl v hračých hodoách r dolvé modly asldový: 7

29 3 MPV MPV σ. Z oho už ľahko vdo, ž hračá hodoa v dvosuňovom modl vždy vyšša okaľ úrovň formácí vškých frm ulová. Takž vdo, ž ak oč frm d lm do koča ak dolvé fukc ku sb kovrguú. Z oho dôvodu v lm rozdl mdz rodukcou dvoch rôzych hr sa sráca. 8

30 4.4. Blahoby Frmy sa saža omocou získavaa formácí o rhu, rskív rsos doyu maxmalzovať svo zsk. Tda ak v rsš odhadúť doy a rhu, má a vyšší zsk. Sorbla akž získavaú z oho, ž doy a ouka sa rovaú albo sú vľm blízk. Oáz l za akých odmok albo dokdy š adobudu formácí o rsos doyu fkív r rh. Zrmé, ž vacásobý sý rskum rhu vykoaý rôzym frmam arall as fkívy a zbyočý a vd k fkívos rhu. Na druh sra ak frmy maú rsú formácu o rhu, da roduku vac, druhá m, čo síc vd k omu, ž solu odhadl sráv doy a rhu, al kďž rdokladám kovxú fukcu ákladov ak rmré áklady a rhu sú vyšš ako kby ob frmy sráv odhadl doy. To fak vd k fkívos a rhu. Dfíca: Prvá alša fkíva úrovň formácí aká úrovň formácí, korá maxmalzu blahoby kď frmy rodukuú blahoby maxmalzuúc možsvá a formác vškých frm môžu byť zhromaždé. J rrodzé, ž afkívša úrovň asáva r ríad kď frmy zdľaú avzáom svo formác o doy. Kďž dosaú až a odchýlky, koré sú z rovakého rozdla, rovakú formácu o doy, a rmr odchýlok d s arasaúcm očom frm k ul, kďž sú z ormálho rozdla so srdou hodoou ula, ým ádom a rmr sgálov dolvých frm d k skuočému doyu so zvyšuúcm sa očom frm. Frmy ako dosaú rovaký sgál a da rodukuú a r rovakých hračých ákladoch, da vzká fkva. Vvs [] ukázal, ž r áš ríad oo môž byť dosahué: Na kokurčom rhu so symrckým frmam s rýdzo kovxou ákladovou fukcou so súkromým formácam o som doy sraa čo sa ýka blahobyu oro l formovaom rhu. 9

31 Pr ríad košaých hračých ákladov áo fkíva úrovň možá, čo ukázal Palfry [7]. Dfíca: Druhá alša fkíva úrovň formácí aká úrovň formácí, korá maxmalzu blahoby, kď frmy oužú blahoby maxmalzuúcu rodukčú fukcu a formác môžu byť zhromaždé. Jd z výsldkov Vva [] a, ž v dokoal kokurcí bz agov má frma srávy druhý alší od a získa formácí. Tda ukázal, ž v dokoal kokurcí frmy dosahuú druhú alšu úrovň. Prdchádzaúc výsldok, ž v lm sa dosuňový a dvosuňový modl rovaú a z výsldku od Vva [] dosávam asldové: ak oč frm d dokoča, da r dokoal kokurčý rh, dosuňový modl vd k druh alš fkív úrov formácí. Dfíca: Tra alša fkíva úrovň formácí aká úrovň formácí, korá maxmalzu blahoby kď frmy oužú zsk maxmalzuúcu fukcu v ch rodukčom rozhoduí a formác môžu byť zhromaždé. Prvú alšu fkívu úrovň formácí možé dosahuť, kďž r frmy zmyslé a a xsu sôsob ako ch rúť dlť svo formác. Druhá alša fkíva úrovň rdokladá aké olcké saova, koré maxmalzuú blahoby. Iba ra alša fkíva úrovň založá čso a fk formácí, a ro bud aša aalýza založá a základ o dfíc. Clkový blahoby r daú rsosť formácí, r daé sgály, kď každá frma sa rad kvlbrovou sraégou rový: x s a s μ bμ odvodou z výrazov 8 a 9 θ TW, θ, s... s θ x s x s. 30

32 My môžm očíať očakávaý clkový blahoby, kď zobrm očakávaé sgály odmé θ a oom zobrm očakávaé θ. Z dfíc r ru alšu úrovň formácí mám, ž frmy sa rozhoduú a základ fukc maxmalzuúc zsk a ro dosávam, ž maxmum dosahué, kď hračý clkový blahoby sa rová clkovým hračým ákladom, ETW ' C' albo zavdím 3 3 MSV ETW ' / kd MSV hračá soločská hodoa formác a frmu, čž osu hračý doad a clkový blahoby, kď da frma zvýš svou rsosť formácí, a dosam rovosť: MSV ' 3 C' 3 kd MSV 3 5 / σ. 3 To, č frmy vzhľadom k r alš fkív úrov formácí vsuú vac albo m ako by mal, ám závsí od olohy krvk hračých ákladov, hrač soločsk hodoy a hrač súkrom hodoy r dolvé modly. O o oloh ám hovorí aslduúca lmma Hauk a Hurks [3]. Lmma: MSV > MPV vdy a l vdy ak < ˆ, kd ˆ /. ˆ < vdy a l vdy ak / > 3. MSV > MPV vdy a l vdy ak < ˆ, kd ˆ kladý korň kvadrack rovc [ / 3/ ] [ / ] / 0. Prdchádzaúca lmma ám hovorí, ž MSV a MPV krvky sa ríaú v bod ˆ, korý vdím, ž závsí od omru / a. Lmma ám akž hovorí o vzáom oloh krvk r väčš a mš. Ras omru / ám zvyšu fkvu rhu, a ro r dosaoč vľké /, da r dosaoč vľkú fkvu a rhu výroba r rôzych hračých ákladoch dosávam, ž ˆ > a z lmmy vylýva, ž hračá soločská hodoa sál ad hračou súkromou hodoou a da frmy budú 3

33 dosaoč vsovať do formácí. Pro r zvýš blahobyu soločos by mala zasahuť vláda a o ak, ž by odorovala formovaosť. Ďalšou aalýzou by mohlo byť do ak mry a akým sôsobom by mala vláda odorovať formác, č ramo zavdím doácí a formác albo vlasým rskumam rhu a ásldým zvrím rskumov. Z oho, ž hračá súkromá hodoa r dosuňovom modl mša, aavýš rová ako v dvosuňovom ám vylýva, ž dosuňový modl vd k vyšším doácám od šáu. Naoak r dosaoč malý omr / a k omu rísluš dosaoč vľkos rhu dosávam suácu zázorú a obrázku číslo rbraého z čláku Hauk a Hurks [3]. Tda rk ˆ lží a rval 0, a dosávam 3 rôz suác, koré závsa od očaoč soy a ákladov a formác. Obr.: Porova hračých ákladov a hrač súkrom hodoy. Prvý ríad C kď áklady a formác sú vysoké a očaočá soa ' rlaív ízka. Vdy dosávam ríad kdy frmy dosaoč vsuú a r zvýš blahobyu soločos by mal byť odorovaé formác, da vláda by 3

34 mala doovať rskum rhu. Takž mám, ž r dosuňový by mal byť doác vyšš ako r dvosuňový.. Druhý ríad C mdz rvým a druhým kď asáva rozdl mdz ' dosuňovým a dvosuňovým modl a o aký, ž r dosuňový asáva ríad dosaočého vsovaa do formácí a r dvosuňový aoak adbyočé vsova, ro r dosahu lšho blahobyu by mal byť udlé da a formác r dvosuňový. 3. Trí ríad C asáva r lacé áklady a formác a r rlaív vysokú ' 3 očaočú sou. Z obrázka vdo, ž r oba modly asáva ríad, ž frmy adbyoč vsuú do formácí o rhu, a ro r zvýš blahobyu soločos by mala vláda uvalť da a získava formácí. Z oho, ž hračá súkromá hodoa mša r dosuňový modl ako dvosuňový vylýva, ž daň a formác by mala byť vyšša v ríad dvosuňového modlu. 33

35 4.5. Hrogéy duool Uvažum ríad hrogého duoolu. J o ríad rozobraý akž Hwagom [4]. Ukážm, ž dosuňový modl má xlcé rš zaaľ čo dvosuňový ba mlcé. Takž ukážm, ž výsldok Hwaga [4] r dvosuňový modl vždy súhlasí s výsldkom dosuňového modlu. Takž uvažum oč frm a. Nch, dvoca formácí. Ekvlbrová sraéga odľa výrazov 4 a 5 oom asldová: x s b a [ ] s μ kd mám: a 4 Zdrvovaím výrazu dosam: μ c μ c b. 4 a 4 a ásldým dosadím výrazu do výrazu 6 za rdokladu vúorého rša dosávam: kd Φ σ Ψ C' 3, 3 Ψ Φ a Ψ 4. Takž ako r homogé frmy, ak u možé dosať xlcé rš, al ba mlcé a avyš u možé dosať xlcé rš a r rakčú fukcu. Využím vy o mlc fukc vm dokázať, ž rakčá fukca musí byť mooó klsaúca r áš ríad rčom sa odvolávam a vrd od Hwaga [4] r rvý suň dvosuňov hry, alša rakčá fukca mooó klsaúca. 34

36 Z drvác ákladov a formác a z rovos 3 vdím, ž r môžm dosať o úravách: < ' ' C C. 4 Zobraím kvadrackých korňov a dfovaím k k, môžm 4 rísať ako kd mám r E ] [0, dfovaé: E. 5 Túo krvku môžm azvať kvlbrovou krvkou. Pr dosuňový modl budm osuovať obdob. Výraz dosadím do 7 a o malých úravách dosam asldové kvlbrum: ' C Ψ Φ σ. 6 Podob ako r dvosuňový modl dosávam asldový výraz: ' ' C C a akž E. Z rdošlých dvoch výrazov vdím, ž ob rša do a dvosuňového modlov lža a s krvk a vľm ľahko vdo, ž r vúoré hodoy formácí mám asldovú rovosť >. Tda vdím, ž suň formácí r dvosuňový modl vyšší ako r dosuňový modl. Z výrazu 6 a z drvác ákladov o odmocí dosam asldové: 4 c σ čo môžm uravť a dosam asldovú rovosť: 4 c c σ σ, korá dfovaá ako vdo r / [0, c σ. 35

37 Pravú srau môžm ozačť ako fukcu, da fukca rm, kor výsldok hodoa. Fukcu môžm azvať akous sudorakčou krvkou, kďž sraégou každ frmy dvoca. Al ark omu kvlbrum môžm očíať ako rsčík sudorakčých krvk, al akž ako rsčík kvlbrov krvky s dou z sudorakčých krvk. R R Vdo, ž klsaúca a má vrkálu asymou. aoak rasúca. Kď s dám asldové ozač R E z výrazu 5 dosam odmku. Z rasúcos a klsaúcos krvk dosávam vyhuú a osačuúcu odmku r dé vúoré rš a o asldovú:, čo vľm dozač a doducho dokázaľé. Tda mám rovosť: 0 0 E 0 0 R > E 4 σ σ > c c z kor o zdĺhavých úravách dosávam odmku: σ < c. Ďal za rdokladu vúorého rša, vm rš ásť ako rsčík kvlbrov a sudorakč krvky, da: 4 c c σ σ z čoho o úravách dosam asldové rš: c c σ σ. Ďal sa budm zaobrať závslosťou od rôzych aramrov a o výsldky budm orovávať s výsldkam dvosuňového modlu dosahuým v čláku Hwag [4]. Prdokladam raz, ž >. Poom doduchým vyšram dosávam rôz vlasos. 36

38 . E rasúca a kokáva a sklo, da drváca mša ž. To výsldok dosam o zdrvovaí a doduch aalýz. To výsldok v súlad s dvosuňovým modlom kd kvlbrová krvka má vyšší sklo ako.. R klsaúca. Výsldok dosam o zdrvovaí fukc. 3. R sôsobuú osu adol: áras c, albo a aoak okls To výsldok dosávam o zdrvovaí dolvým aramram. albo σ. 4. E sa osu adol r áras. Výsldok dosam o zdrvovaí aramrom. Z rdchádzaúcch vlasosí môžm vyvodť aslduúc závry:. Z kokávos E, E 0 0 a E vylýva, ž, kd rovosť asáva l r. Tda mám závr, ž frma s žším skloom hračých ákladov získava vac formácí. To výsldok a v súlad s vrdím: ch a sú kvlbrové možsvá formácí adobudué frmam. Poom laí ><. Hwag [4] r dvosuňový modl. >< ak. Z oho, ž sudorakčá krvka sa osu ahor r zvýší očaoč soy o doy σ a osu adol r zvýší ákladov a formác c, a z oho, ž kvlbrová krvka závslá od ýcho dvoch aramrov dosávam, ž oba ríady vdú frmy k zvýšému zhromažďovau formácí. Z kokávos E a z oho, ž sklo mší ž da dosávam, ž r zvýší očaoč soy albo zíží ákladov frma s žším skloom hračých ákladov zvyšu formovaosť m agrsívš ž frma s vyšším skloom hračých ákladov čo s môžm ozrť a obrázku číslo 3, korý rbraý z čláku Hauk a Hurks [3]. 37

39 Obr.3: fk árasu σ a oklsu c To výsldok časoč v rozor s výsldkom Hwaga [4], kd asáva rsý oak v om, ž frma s vyšším hračým ákladm slabš ragu a zvýš očaoč soy čo môžm vdť a a obrázku číslo 4 od Hwaga [4]. Vysvlé o a ríklad xrémych hračých ákladov a o akmr s horzoálym a akmr vrkálym rasom kd frma s vysokým rasom ragu skoro vôbc a zmu očaoč soy a rozdl od frmy s akmr ulovým rasom hračých ákladov. Obr.4: fk árasu ákladov a formácu 38

40 3. Kď vzras, oom sa sudorakčá krvka frmy osu smrom adol a frmy ahor. Kďž mám, ž sudorakčá fukca frmy rovša ž frmy, ak kls a vzras čo s môžm ozrť a obrázku číslo 5. Iak ovdaé, čím rozdl v sklo hračých ákladov mdz frmam väčší, ým a rozdl mdz suňom formácí väčší. A logcky a oač, čím rozdl v sklo mší, ým a rozdl v úroví formácí mší. Pr rovos skloov asáva rovosť úroví formácí. Obr.5: fk árasu To výsldok l v súlad s vrdím: Náras v sklo frmy hrač rodukč ákladov fukc zžu možsvo získaých formácí frmy, al zvyšu možsvo formácí získaých frmou. 4. Naroblmackš vyšrť ako sa osuú krvky kď sa zmí. Už Vvs [] ukázal, ž hračá hodoa formácí klsaúca fukca, a ro r áras sa rakčé krvky oboch frm osuú doľava. Too v súlad s ašm výsldkom, ž r áras sa R osu adol, rskív doľava a kvlbrová krvka ž adol. Z oho mám, ž sa za každých okolosí zíž, 39

41 al čo sa sa s aké dozačé. Môžu asať r ríady, a o ž sa zíž, zvýš albo úrovň osa zmá. Príady árasu a oklsu sú zobrazé a obrázku číslo 6, rvzaý Hauk a Hurkso [3]. Obr.6: možé fky árasu To výsldok v rozor s vrdím Hwag [4], koré vrdí, ž áras zžu možsvo formácí získavaých oboma frmam a ch fk rcuál väčší r frmu, korá získava m formácí. 40

42 5. Závr Cľom dlomov rác bolo aalyzovať dosuňový modl odvodý z dvosuňového a ásld ch orovať. Dosal sm výsldok, ž úrov formácí sú v dosuňovom modl žš ako v dvosuňovom modl, a zas výlay sú mš v dvosuňovom modl ako v dosuňovom. Pro frmy ak sa môžu rozhodúť ak hraú dosuňovú hru. Vzká zas roblém, kďž alša rakca frmy mať vyššu úrovň formácí ako kokurca, zaručť aby frmy získaval o sb žad formác, lbo osuým rocsom by sa dosal k kvlbrov sraég dvosuňového modlu. Ďalší výsldok sm dosal r rh s homogéym frmam, kď r oč frm dúc lm do koča dosávam, ž o dva modly sa rovaú. Takž sm uvažoval blahoby a fkvu a rhu, kd sm dosal r rôz hodoy, kdy má vláda odorovať formác o rhu r zvýš fkvy rhu, a aoak, kdy má uvalť da. Ak dáva da a formác ak v ríad dvosuňového modlu by mal byť vyšš a v ríad doácí by mal byť vyšš r dosuňový modl. Pr ríad hrogého duoolu sm ršl k závru, ž r dolvé modly frmy ak raguú a zmu aramrov, kďž ám vyšl výsldky dosuňového modlu, koré ukázal é sráva sa frm a rhu ako r dvosuňový modl. Z oho usudzum, ž r dolvé formačé aalýzy vľm dôlžé sa zamyslť ad vhodosťou modlu a uvažovať srávy modl. 4

43 6. Lraúra [] Boďa, J., Prdášky zo Základy koóm [] Chag, C.-H., ad L C.-W. J. 99. Iformao Acquso as Busss Sragy, [3] Hauk ad Hurkso, 997. Scr Iformao Acquso Couro Marks [4] Hwag, H Omal Iformao Acquso for Hrogous Duooly Frms, [5] Hwag, H Iformao Acquso ad Rlav Effccy of Comv, Olgooly, ad Moooly Marks [6] Mlgrom, R. 98. Raoal Excaos, Iformao Acquso ad Comv Bddg [7] Palfry, T 985. Ucray Rsoluo Prva Iformao Aggrgao, ad h Couro Comv Lm [8] Pkár, J., Prdášky z Úvod do ór hr [9] Pkár, J., Prdášky z Tóra kooraívych hr [0] Possard, J-P Th Sragc Rol of Iformao o h Dmad Fuco a Olgoolsc Mark [] Slávková, V., Dlomová ráca 007, Hry s asymrckou formácou [] Vv, X Aggrgao of Iformao Larg Couro Marks [3] Zvoár, R., Dlomová ráca 007, Sabla v kočo oakovaých hrách Couroovho duoolu 4