: ΣFy=0 Mg + F - KΔ. = 0 (1). Η ταλάντωση αυτή είναι απλή αρμονική και έχει σταθερά επαναφοράς D= K =10N / m ( δείξτε 0,5 0,3 0,1 0,1 0,3 0,5

Transcript

1 6 3.4 άντηση α) Η αρχική ταλάντωση γίνεται γύρω ό την θέση ισορροπίας που είναι κάτω ό το φυσικό μήκος κατά Δ : Σy= Mg - Δ = Δ =,m ( όπως φαίνεται στο ο σχήμα). Η δεύτερη ταλάντωση που αρχίζει μετά την εφαρμογή του ομογενούς ηλεκτρικού γίνεται γύρω ό κέντρο που είναι κάτω ό το φυσικό μήκος κατά Δ : Σy= Mg + - Δ = (). Η ταλάντωση αυτή είναι λή αρμονική και έχει σταθερά αναφοράς D= =N / m ( δείξτε D το!) και κυκλική συχνότητα ω= = rar / s. Το πλάτος της M υmax ταλάντωσης αυτής προσδιορίζεται ό τη σχέση υ max = ωa A ω A,4m. Σ Mg ελ Η αρχική ταλάντωση,5, 4,3,,,,,3, 4,5 y( ) = Mg ελ ηλ Η εφαρμογή του,5, 4,3,,,,,3, 4,5 y( ) ηλεκτρικού, 4,3,,,,,3, 4 y( ) Η τελική ταλάντωση Η δεύτερη αυτή ταλάντωση αρχίζει ό την θέση y=+,5m της ης ταλάντωσης, όπου το σώμα είχε μηδενική ταχύτητα ( ο σχήμα). Άρα η θέση αυτή είναι η ακραία θέση της νέας ταλάντωσης και έχει ό νέο κέντρο ταλάντωσης όσταση όσο το πλάτος, δηλαδή Α =,4m... και ό το φυσικό μήκος όσταση Δ + A =,6m Δ =,m... δηλαδή η ταλάντωση γίνεται γύρω ό κέντρο που είναι χαμηλότερα ό το φυσικό μήκος κατά Δ =,m ( όπως στο 3ο σχήμα). Από τη σχέση () βρίσκουμε την δύναμη του ηλεκτρικού Mg + - Δ =,.+ -.,= =Ν.

2 63 Η αρχική ταλάντωση είχε ενέργεια = DA =.,5 =,5 και μετά την δράση του ηλεκτρικού η ενέργεια έγινε = DA =.,4 =,8. Η αιτία της μεταβής είναι το ηλεκτρικό πεδίο που προφανώς μείωσε την αρχική ενέργεια του ταλαντωτή... Ε = Ε + Ε Ε = Ε + Εηλεκτρικού,5 =,8 + Εηλεκτρικού τελική αρχική ηλεκτρικού Ε ηλεκτρικού ενέργεια = -,45 άρα το ηλεκτρικό πεδίο αφήρεσε ό τον ταλαντωτή Ε =,45. ηλεκτρικού β) Όταν το σώμα κατέρχεται και είναι στη θέση του φυσικού του μήκος ελατηρίου η ομάκρυνση είναι y = -,m έχει θετική ταχύτητα υ... mυ Dy DA υ = + 3m / s. d = Σ.υ = -Dyυ Η φθίνουσα ταλάντωση D... d = +4 3 / s υ = ±. A - y m υ>, =/ m y=,m, A=,4m γ) Ύστερα ό τρεις ταλαντώσεις όπως φαίνεται ό το σχήμα το πλάτος είναι Α 3 = 4,48cm - cm=,48cm t = T T 3T A =4cm A A A 3 =,48cm -Λ3T A 3= Ae -Λ3T,48 = 4e,48 =e -Λ3T 4,8 = e -Λ3T 3 -ΛT,5= e 3 -ΛT,8 = e () -ΛT () A = A e A =,8A / DA / DA = =,8 =,64 A = A =,64 Το ποσοστό μεταβής της ενέργειας ανά περίοδο είναι: Α, 4,3,,,,,3, 4 y( ) Η φθίνουσα ταλάντωση A3=,48cm 4,48cm

3 64 - π% = %,64 - π% = % π%= -36% m δ) T = To = π T =,π s. Από τη σχέση () - n,8= -ΛT -,7π = -Λ.,π Λ=,35s -Λt -,35t Άρα Α= Α e Α=,4e (S.I) -ΛT,8 = e παίρνουμε...και τώρα τα δύσκα... η εξαναγκασμένη ταλάντωση a=-ω y m=,g ε) Σ = ma = -mω y ω=rad / s = -4y (S.I) με -,5m A +,5m στ,ζ) Οι χρονικές εξισώσεις της ομάκρυνσης και της ταχύτητας έστω ότι έχουν μορφή y = Aημ(ωt +φ ) και υ= ωaσυν(ωt +φ ) ό τις εξισώσεις αυτές με αλοιφή χρόνου παίρνουμε... y ημ (ωt + φ )= y = Aημ(ωt + φ ) A ( ) y υ = υ= ωaσυν(ωt + φ ) A ωa υ συν (ωt + φ )= ωa... υ= ±ω Α - y ω=rad / s υ= ±3m / s y=+,4m A=,5m [Σχόλιο: Η προηγούμενη όδειξη δεν είναι εφικτή με την διατήρηση της ενέργειας ταλάντωσης...αν ιμένουμε ότι η δυναμική ταλάντωσης είναι αυτή που οφείλεται στην αλληλίδραση της δύναμης αναφοράς... = -Dx= -x= -mω x ] η περίπτωση : Έστω ότι ο ταλαντωτής είναι στη y=+,4m κινείται προς το άκρο της ταλάντωσης... προς την θετική κατεύθυνση... άρα υ=+3m / s. Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλαντωτή στη θέση αυτή είναι: Η δύναμη αναφοράς = -Dy = -y = -y και η οποία στη θέση αυτή έχει αλγεβρική τιμή = -y = -4N. Η δύναμη αυτή συνίσταται ό τις συντηρητικές δυνάμεις του βάρους, της δύναμης του ελατηρίου και της δύναμης του ομογενούς ηλεκτρικού. = Mg + + ελ ηλ m υ = +3 s Η εξαναγκασμένη ταλάντωση,5, 4,3,,,,,3, 4,5 y( ) υ

4 65 υ=+3m/ s Η δύναμη της όσβεσης που έχει αλγεβρική τιμή = -,5υ = -4,5N. Η δύναμη του έρτη που είναι ό το αρμονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο =5 συν(t) (S.I). Η συνική δύναμη που y,4m ασκείται στον ταλαντωτή στη θέση αυτή είναι = -4y = -6N. Ναι αλλά = + + = = -4-4,5+ = -7,5Ν Προσέξτε... στη θέση αυτή και για την συγκεκριμένη φορά κίνησης και η δύναμη του έρτη αντιτίθεται στην κίνηση Η ε ν ε ρ γ ε ι α κ ή μ ε λ έ τ η... Η δύναμη όσβεσης μέσω του έργου της μεταβάλλει την ενέργεια του d dw dy ταλαντωτή με ρυθμό = = = υ d m = -4,5Ν3 s d = -3,5...δηλαδή παίρνει ό τον s d ταλαντωτή ενέργεια με ρυθμό = 3,5 Η δύναμη του έρτη μέσω του έργου της μεταβάλλει την ενέργεια του d dw dy ταλαντωτή με ρυθμό = = = υ d m = -7,5Ν3 s d = -,5... δηλαδή στη θέση αυτή και s την συγκεκριμένη φορά κίνησης και ο έρτης παίρνει ό τον d ταλαντωτή ενέργεια με ρυθμό =,5 Παρατηρούμε ότι η ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται με ρυθμό d d ταλ d = + = -36, δηλαδή ο ταλαντωτής χάνει ενέργεια με s dταλ ρυθμό = 36 Η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται μέσω του έργου όλων των δυνάμεων...

5 66 Άρα dκ dw dy = = = υ dκ m = -6Ν 3 s dκ = -48 Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης μεταβάλλεται μέσω του έργου της du -dw -dy δύναμης αναφοράς... = = = -υ du m = --4Ν +3 s du = + dταλ du d = + = = -36 s s s του έργου των μη συντηρητικών δυνάμεων. d d ταλ du d d = + = +! όση δηλαδή μειώθηκε μέσω Η αφαιρεί ενέργεια d με ρυθμό =,5 s Η αφαιρεί ενέργεια d με ρυθμό = 3,5 s Η ενέργεια ταλάντωσης μειώνεται ρυθμό d = 36 s y Η κινητική ενέργεια ταλάντωσης dκ μειώνεται ρυθμό = 48 s Η δυνaμική ενέργεια ταλάντωσης du αυξάνεται ρυθμό = s η περίπτωση : Έστω ότι ο ταλαντωτής είναι στη y=+,4m κινείται προς το κέντρο της ταλάντωσης... προς την αρνητική κατεύθυνση...άρα υ= -3m / s. Οι δυνάμεις που ασκούνται στον ταλαντωτή στη θέση αυτή είναι: Η δύναμη αναφοράς = -Dy = -y = -y και η οποία στη θέση αυτή έχει αλγεβρική τιμή = -y = -4N. Η δύναμη της όσβεσης που έχει αλγεβρική τιμή =+4,5N. = -,5υ υ=-3m/ s

6 67 Η δύναμη του έρτη που είναι ό το αρμονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο =5 συν(t) (S.I). Η συνική δύναμη που ασκείται στον ταλαντωτή στη θέση αυτή είναι y,4m = -4y = -6N. Ναι αλλά = + + = = -4+4,5+ = -6,5Ν Προσέξτε... στη θέση αυτή και για την συγκεκριμένη φορά κίνησης και η δύναμη του έρτη ευνοεί την κίνηση... m υ = -3 s Η εξαναγκασμένη ταλάντωση,5, 4,3,,,,,3, 4,5 y( ) υ...και π ά λ ι η ε ν ε ρ γ ε ι α κ ή μ ε λ έ τ η... Η δύναμη όσβεσης μέσω του έργου της μεταβάλλει την ενέργεια του d dw dy ταλαντωτή με ρυθμό = = = υ d m = +4,5Ν -3 s d = -3,5...δηλαδή παίρνει ό τον s d ταλαντωτή ενέργεια με ρυθμό = 3,5 Η δύναμη του έρτη μέσω του έργου της μεταβάλλει την ενέργεια του d dw dy ταλαντωτή με ρυθμό = = = υ d m = -6,5Ν -3 s d =+49,5... δηλαδή στη θέση αυτή s και την συγκεκριμένη φορά κίνησης και ο έρτης προσφέρει στον d ταλαντωτή ενέργεια με ρυθμό = 49,5

7 68 Παρατηρούμε ότι η ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται με ρυθμό d d ταλ d = + =+36, δηλαδή ο ταλαντωτής κερδίζει ενέργεια s dταλ με ρυθμό = 36 Η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται μέσω του έργου όλων των δυνάμεων... dκ dw dy dκ m = = = υ = -6Ν -3 s dκ = +48 Η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης μεταβάλλεται μέσω του έργου της du -dw -dy δύναμης αναφοράς... = = = -υ du m = --4Ν -3 s du = - dταλ du d = + = = +36 s s s έργου των μη συντηρητικών δυνάμεων. Άρα d d ταλ du d d = + = +.! όσο δηλαδή αυξήθηκε μέσω του η) Οι χρονικές εξισώσεις της ομάκρυνσης και της ταχύτητας έστω ότι έχουν τη μορφή y = Aημ(ωt +φ ) y =,5ημ(t +φ )και υ= συν(t +φ ). Η δύναμη αναφοράς = -y έχει χρονική εξίσωση = -5ημ(t +φ ) Η δύναμη όσβεσης = -,5υ έχει χρονική εξίσωση = -5συν(t +φ ). Η δύναμη του έρτη έχει χρονική εξίσωση Η συνική δύναμη που ασκείται στον ταλαντωτή εξίσωση = -ημ(t +φ ). = + + = + + =5 συν(t). = -4y έχει χρονική -ημ(t +φ )= -5ημ(t +φ )- 5συν(t +φ )+5 συν(t) π Η εξίσωση αυτή ισχύει για κάθε χρονική στιγμή άρα και για t = kπ+ οπότε παίρνουμε...

8 69 π π π π -ημ(kπ + +φ )= -5ημ(kπ + +φ )- 5συν(kπ + +φ )+5 συν(kπ + ) π π π π -ημ( +φ )= -5ημ( +φ )- 5συν( +φ )+5 συν( ) -συνφ = -5συνφ - 5ημ(π +φ )+5. -συνφ = -5συνφ +5ημφ -5συνφ = 5ημφ εφφ = - φ = - ή φ=... οπότε π 3π y =,5ημ t - π 4 ή y =,5ημ t + 3π 4 ( S.I).