7 Ποιέςείναιοιιδιότητεςτωνανισοτήτων; 8 Τιλέγεταιανίσωσηκαιτιλύσηαυτής; ώστεέναπαράδειγµα. 9 Ποιάείναιταβήµαταεπίλυσηςµιαςανίσωσης;

Transcript

1 ΝΙΠΥΡΑΚΗΣ ΘΩΜΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙA w1 1 Τιονοµάζεταιαλγεβρικήπαράστασηκαιποιοιείναιοιόροιαυτής; ώστεέναπαράδειγµα. Αλγεβρική παράστασηονοµάζεται κάθε παράσταση που περιέχει πράξειςµε αριθµούς και µεταβλητές. Οι προσθετέοι σε µία αλγεβρική παράσταση λέγονται όροι. Ένα παράδειγµα αλγεβρικής παράστασης είναιη K8C5 µεόρουςτους, 8, 5. Τιλέγεταιαναγωγήοµοίωνόρωνσεµίααλγεβρικήπαράσταση; ώστεέναπαράδειγµα. Αναγωγή οµοίων όρων ονοµάζεται η διαδικασία µε την οποία γράφουµε µία αλγεβρική παράσταση σε απλούστερη µορφή χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα. Γιαπαράδειγµα: 3CK = 3CK1 = 4 Προσοχή! Προσθέτουµε µόνο ίδια γράµµατα. Έτσι στη παράσταση 5α C3β δεν προσθέτουµε τίποτα. 3 Ποιέςείναιοιιδιότητεςτωνισοτήτων; Σε κάθε ισότητα µπορούµε: 1. ναπροσθέσουµεήκαινααφαιρέσουµεκαιαπόταδύοµέλητονίδιοαριθµό. ηλαδήαν =b τότε Cg = bcg και Kg =bkg. ναπολλαπλασιάσουµεήκαιναδιαιρέσουµεκαιταδύοµέληµετονίδιοαριθµό. ηλαδήαν =b τότε $g = b$g και g = b g g s 0 4 Τιλέγεταιεξίσωσηκαιτιλύσηαυτής; ώστεέναπαράδειγµα. Εξίσωση λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθµό. Λύση της εξίσωσης ονοµάζεται κάθε αριθµόςπουτηνεπαληθεύει.γιαπαράδειγµαηλύσητηςεξίσωσης K1=C είναιοαριθµός 3. Πράγµατι την επαληθεύει γιατί αν βάλουµε όπου = 3 προκύπτει κάτι σωστό: $3K1=3C ή 5 = 5. 5 Ποιάείναιταβήµαταεπίλυσηςµιαςεξίσωσης; Βήµα 1. Κάνουµεαπαλοιφήπαρανοµαστών (πολλαπλασιάζονταςόλουςτουςόρουςµετο Ε.Κ.Π. των παρανοµαστών. Βήµα. Κάνουµεαπαλοιφήπαρενθέσεων (µετηβοήθειατηςεπιµεριστικήςιδιότητας. Βήµα 3. Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους. Βήµα 4. Κάνουµεαναγωγήοµοίωνόρων. Βήµα 5. ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου. 6 Ποιάεξίσωσηλέγεταιαδύνατηκαιποιάταυτότητα (αόριστη ; ώστεπαραδείγµατα. Αδύνατη λέγεται κάθε εξίσωση που δεν έχει καµµία λύση. Γιαπαράδειγµαοι: 0 = 5 ή 0 = K1 ή K1=C Ταυτότηταήαόριστηλέγεταικάθεεξίσωσηπουέχειλύσηοποιονδήποτεαριθµό (άπειρεςλύσεις. Γιαπαράδειγµαοι: 0 = 0 ή = ή C1 = C1 CHRIS T

2 w 7 Ποιέςείναιοιιδιότητεςτωνανισοτήτων; Σε κάθε ανισότητα µπορούµε: 1. ναπροσθέσουµεήκαινααφαιρέσουµεκαιαπόταδύοµέλητονίδιοαριθµό. ηλαδήαν!b τότε Cg!bCg και Kg!bKg. ναπολλαπλασιάσουµεήκαιναδιαιρέσουµεκαιταδύοµέληµετονίδιοαριθµό. ανοαριθµόςείναιθετικόςηφοράµένειηίδια. ηλαδήαν! b και go 0 τότε $g!b$g και ανοαριθµόςείναιαρνητικόςηφοράαλλάζει. ηλαδήαν! b και g! 0 τότε $gob$g και g! b g g O b g 8 Τιλέγεταιανίσωσηκαιτιλύσηαυτής; ώστεέναπαράδειγµα. Ανίσωση λέγεται κάθε ανισότητα που περιέχει έναν άγνωστο. Λύση της ανίσωσης ονοµάζεται κάθε αριθµόςπουτηνεπαληθεύει.γιαπαράδειγµαοαριθµός 4 είναιλύσητηςανίσωσης K1O C. Πράγµατιτηνεπαληθεύειγιατίανβάλουµεόπου = 4 προκύπτεικάτισωστό: $4K1 O 4C ή 7 O 6. 9 Ποιάείναιταβήµαταεπίλυσηςµιαςανίσωσης; Ταβήµαταεπίλυσηςµιαςανίσωσηςείναιίδιαµεαυτάτηςεξίσωσηςπουπεριγράψαµεπαραπάνω. Προσοχή όµως στο τελευταίο βήµα που διαιρούµε µε τον συντελεστή του αγνώστου, γιατί αν αυτός είναι αρνητικός θααλλάξει η φορά. Επίσης, αν ζητηθεί, αναπαριστούµε τις λύσειςτης ανίσωσης στηνευθείατωναριθµών. 10 Ποιάανίσωσηλέγεταιαδύνατηκαιποιααληθεύειγιακάθετιµήτουαγνώστου; ώστεπαραδείγµατα. Αδύνατη λέγεται κάθε ανίσωση που δεν έχει καµµία λύση. Γιαπαράδειγµαοι: 0 O 5 ή 0 %K1 ή! Λέµεότιµίαανίσωσηαληθεύειγιακάθετιµήτουαγνώστουότανέχειλύσηοποιονδήποτεαριθµό. Γιαπαράδειγµαοι: 0! 5 ή 0 RK1 ή % 11 Τιονοµάζεταιτετραγωνικήρίζαενόςθετικούαριθµού; Ορίζεταιτετραγωνικήρίζατου µηδενός και τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθµού; ώστε παραδείγµατα. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού, συµβολίζεται και είναι ο θετικός αριθµός ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον αριθµό. Γιαπαράδειγµαισχύει 9 f = 3 αφού 3 = 9 ή ακόµα 64 f = 8 αφού 8 = 64 Επίσηςορίζουµε 0 = f 0 αφού 0 = 0. Όµως τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθµού δεν ορίζεται (δεν έχει νόηµα γιατί δεν υπάρχει αριθµός πουότανυψωθείστοτετράγωνοναδίνειαρνητικόαριθµό. Γιαπαράδειγµαστην K16, δενυπάρχει αριθµόςπουότανυψωθείστοτετράγωνοναδίνει K16. ( K16 = f?

3 1 ιατυπώστεµεµαθηµατικό (συµβολικό τρόποτονορισµότηςτετραγωνικήςρίζαςενόςθετικούαριθµού. Αν =, όπου R0, τότε R 0 και = w3 13 Ποιέςιδιότητεςπροκύπτουναπότονορισµότηςτετραγωνικήςρίζας; Αν R0 ισχύουν: = = 14 Ποιοίαριθµοίονοµάζονταιρητοίκαιποιοίάρρητοι; ώστεπαραδείγµατα. Ρητοί ονοµάζονται οι αριθµοί που µπορούν να γραφτούν σε κλασµατική µορφή µε όρους ακέραιους αριθµούς. Γιαπαράδειγµαοι: 9, K4 = K4 1, 0,5 = 5 100, 1, = (περιοδικόςδεκαδικός Άρρητοι ονοµάζονται οι αριθµοί που δεν είναι ρητοί, δηλαδή αυτοί που δεν µπορούν να γραφτούν σε κλασµατικήµορφήµεόρουςακέραιουςαριθµούς (είναιδεκαδικοίαριθµοί,µεάπειραδεκαδικάψηφία που δεν επαναλαµβάνονται κατά περιοδικό τρόπο όπως στους περιοδικούς δεκαδικούς. Γιαπαράδειγµαοι: π = 3, ,, 5, 18 (προσοχή! δενείναιόλεςοιρίζεςάρρητοι αριθµοίαφού 16 = 4 κλπ. 15 Ποιοίονοµάζονταιπραγµατικοίαριθµοί; ώστεπαραδείγµατα. Πραγµατικοί αριθµοίείναι οι ρητοί µαζί µε τους άρρητους (είναι όλοι οι αριθµοί που έχουµε µάθει έωςτώρα. Γιαπαράδειγµαοι: 7, 5 3, K1,8, 4, K 11, π = 3, Πότεένασύστηµαορθογωνίωναξόνωνλέγεταιορθοκανονικό. ώστεαπόέναπαράδειγµα ορθοκανονικού καιµη ορθοκανονικού συστήµατος αξόνων. Ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων λέγεται ορθοκανονικό όταν οι µονάδες µέτρησης που χρησιµοποιούµεστους δύο άξονες έχουν το ίδιο µήκος. ορθοκανονικό µηορθοκανονικό ανά o 4 6 ανά ανά 5 o 1 3 ανά 1 17 Ναεξηγήσετεµεποιοντρόποπροσδιορίζουµετηθέσηενόςσηµείουστοεπίπεδοµετη βοήθεια ενός συστήµατος ορθογωνίων αξόνων.

4 w4 M(, O Με τη βοήθεια ενός συστήµατος ορθογωνίων αξόνων αντιστοιχίζουµε σε κάθε σηµείο του επιπέδου έναµοναδικόζεύγοςαριθµών (,. To είναιητετµηµένητουσηµείουκαιείναιοαριθµόςπου αντιστοιχεί στον άξονα. To είναι η τεταγµένητου σηµείου και είναι ο αριθµός που αντιστοιχεί στον άξονα. Η τετµηµένη και η τεταγµένη µαζί, δηλαδή το ζεύγος (, λέγονται συντεταγµένες του σηµείου. 18 Ποιόχαρακτηριστικόέχουνόλατασηµείατουάξονα καιποιότασηµείατουάξονα ; Κάθε σηµείο του άξονα έχει τεταγµένη 0, δηλαδή είναι της µορφής (, 0. Κάθε σηµείο του άξονα έχει τετµηµένη 0, δηλαδή είναι της µορφής (0,. Η αρχή Ο των αξόνων έχει συντεταγµένες (0, Τιονοµάζουµετεταρτηµόριακαιποιάείναιταπρόσηµατηςτετµηµένηςκαιτεταγµένηςσε καθένα απόαυτά; Το σύστηµα αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα µέρη που λέγονται τεταρτηµόρια. Τα τεταρτηµόρια καθώς και τα πρόσηµα της τετµηµένης και τεταγµένης σε καθένα από αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήµα: τετ/µόριο (K,C 1 τετ/µόριο (C,C 3 τετ/µόριο (K,K 4 τετ/µόριο (C,K 0 Ναγράψετετοσυµµετρικάτουσηµείου Μ, b ωςπροςτουςάξονες, καιτην αρχήτωναξόνων. Νακάνετετοίδιοκαιγιατοσηµείο Α, K5. Μ, b Α, K5 Συµµετρικόωςπροςτον Μ, Kb Α, 5 Συµµετρικόωςπροςτον Μ K, b Α K, K5 Συµµετρικόωςπροςτηναρχήτωναξόνων Μ K, Kb Α K, 5

5 w5 Μ β Μ Σχηµατικά: -α Μ -β α Μ 1 Ναγράψετετοντύποµετονοποίουπολογίζουµετηναπόστασηδύοσηµείων Α 1, 1 και Β, σεένασύστηµααξόνων. Ηαπόστασητωνσηµείων Α 1, 1 και Β, είναι: AB = K 1 C K 1 Β, Σχηµατικά: A 1, 1 Τιονοµάζεταισυνάρτηση; Γράψτεµερικάπαραδείγµατασυναρτήσεων. Μία σχέση που συνδεέι δύο µεταβλητές και λέγεται συνάρτησηόταν κάθε τιµή της µεταβλητής αντιστοιχίζεται σε µία µόνο τιµή της µεταβλητής. Παραδείγµατασυναρτήσεων: = K3, = 4K1, = 6, =, = C 3 Τιονοµάζεταιπίνακαςτιµώνµίαςσυνάρτησης; ώστεέναπαράδειγµα. Πίνακας τιµών µίας συνάρτησης είναι ο πίνακας που συµπληρώνουµε µε τις αντίστοιχες τιµές των και όπωςπροκύπτουναπότησυγκεκριµένησυνάρτηση. Παρακάτωφαίνεταιοπίνακαςκάποιωντιµώντηςσυνάρτησης = 4K1 : K1 0,5 K K5 1 Πώςόµωςθατονσυµπληρώναµεανµαςέκρυβανκάποιαστοιχεία; ηλαδήκάπωςέτσι: 0 1 0,5 15 K5 1

6 w6 Ο πίνακας συµπληρώνεται ωςεξής: Για = 0 έχουµε = 4$0K1=0K1 = K1 δηλαδήβάλαµεστοντύπο = 4K1 όπου = 0. Όµοιαγια = 1 έχουµε = 4$1K1=4K1 = 3. Για = 15 έχουµε 15 = 4K1 καιλύνουµετηνεξίσωσηβρίσκοντας = 4. Όµοιαγια = K5 έχουµε K5 = 4K1 καιλύνουµετηνεξίσωσηβρίσκοντας = K1. 4 Τιονοµάζεταιγραφικήπαράστασησυνάρτησης; Έστωµίασυνάρτησηµετηνοποίαέναµέγεθος εκφράζεταιωςσυνάρτησηενόςάλλουµεγέθους. Ονοµάζουµε γραφικήπαράστασητης συνάρτησης αυτής το σύνολο όλων των σηµείων του επιπέδου µεσυντεταγµένες,. Γιαπαράδειγµαέστωησυνάρτηση = K1. Ποιάείναιηγραφικήτηςπαράστασηκαιπωςτην σχεδιάζoυµε; Αρχικά κατασκευάζουµε τον πίνακα τιµών της. (όσο πιο περίπλοκη είναι η γραφική παράσταση,τόσαπιοπολλάζεύγη (, χρειαζόµαστεγιανατηνσχεδιάσουµεακριβέστερα K3 K K K Απότονπίνακααυτόνπαίρνουµεταζεύγη, : K3, 8, K, 3, K1, 0, 0, K1, 1, 0,, 3, 3, 8 πουόπωςγνωρίζουµεπαριστάνουνσηµείαστοεπίπεδο. Αντα παραστήσουµε σε ένα σύστηµα αξόνων και τα ενώσουµε µεµίασυνεχή γραµµή θαπάρουµε τη γραφικήπαράστασητηςσυνάρτησης = K1 πουφαίνεταιπαρακάτω: K4K3 K K1 5 Πότεδύοποσά, λέγονταιανάλογα; Τιχαρακτηριστικόέχουνοιαντίστοιχεςτιµές, ; Τιµορφήέχειησυνάρτησηπουσυνδέειανάλογαποσά; ύο ποσά, λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό, τότε και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου πολλαπλασιάζονται µε τον ίδιο αριθµό. Χαρακτηριστικόαποτέλεσµααυτούείναιολόγοςτωναντίστοιχωντιµών ναπαραµένει σταθερός, δηλαδή = α. Μεχιαστίγινόµενοστητελευταίασχέσηπροκύπτειότι = α, πουείναικαιησυνάρτησηπουσυνδέειταανάλογαποσά,.

7

8 PDFid.Com #1 Pdf Solutios w8 9 Ποιόείναιτοχαρακτηριστικότωνευθειών = και = K ; Ηευθεία = (µεκλίσηα = 1 είναιδιχοτόµοςτης 1 h και 3 h γωνίαςτωναξόνων, ενώηευθεία = K (µεκλίσηα = K1 είναιδιχοτόµοςτης h και 4 h γωνίαςτωναξόνων. =K = Σχηµατικά: Παρατηρούµε επιπλέον ότι οι ευθείες = και = K τέµνονται κάθετα (σχηµατίζουν γωνίες Πώςορίζεταιτοεµβαδόνµιαςεπίπεδηςεπιφάνειας ; Το εµβαδόν µιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθµός, που εκφράζει την έκταση που καταλαµβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθµός αυτός εξαρτάται από τη µονάδα µέτρησης επιφανειών που χρησιµοποιούµε. 31 Να γράψετε τους τύπους µε τους οποίους υπολογίζουµε τα εµβαδά των βασικών επίπεδων σχηµάτων. Εµβαδόντετραγώνουπλευράς α : E = (σχ. 1 Εµβαδόν ορθογωνίου µε πλευρές α, β : E=$b (σχ. Εµβαδόν παραλληλογράµου : E= bάsh $ tίstoico ύjo (σχ. 3 Εµβαδόντυχαίουτριγώνου : E= Εµβαδόνορθογωνίουτριγώνουµεκάθετεςπλευρές α,β : E = $b bάsh $ tίstoicoύjo (σχ. 4 (σχ. 5 Εµβαδόντραπεζίουµεβάσεις Β,β καιύψος υ : E = ΒCb $ (σχ. 6 σχ. 1 σχ. σχ. 3 Ε = b Ε =$b Ε =b$ b σχ. 4 Ε = b$ σχ. 5 σχ. 6 b b Ε = $b Ε = ΒCb $ b Β

9 w9 3 Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρηµα και το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήµατος. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ( toεφαρµόζωότανγνωρίζωδύοπλευρέςενόςορθογωνίουτριγώνουκαιθέλωναβρωτητρίτηπλευρά Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών, δηλαδή =b Cg ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ( to εφαρµόζω για να εξετάσω αν ένα τυχαίοτρίγωνοείναιορθογώνιο τρίγωνο Α σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο µετο άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη µεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή, δηλαδή αν =b Cg τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα τη πλευρά α β α β γ γ α g h µεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου 33 Πώςορίζεταιηεφαπτοµένη,τοηµίτονοκαιτοσυνηµίτονοµιαςοξείαςγωνίας ; Ο λόγος που σχηµατίζεται, αν διαιρέσουµε την απέναντι κάθετη πλευρά µε την προσκείµενη κάθετη πλευρά µιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται εφαπτοµένητης γωνίας ω. 3fu = pέti kάq3th pl3rά prosk3ίm3h kάq3th pl3rά Ο λόγος που σχηµατίζεται, αν διαιρέσουµε την απέναντι κάθετη πλευρά µιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου µε την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ηµίτονο της γωνίας ω. hmu = pέti kάq3thpl3rά pot3ίos Ο λόγος που σχηµατίζεται, αν διαιρέσουµε την προσκείµενη κάθετη πλευρά µιας οξείας γωνίαςω ενός ορθογωνίου τριγώνου µε την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνηµίτονο της γωνίας ω. Παρατηρήσεις: su = prosk3ίm3h kάq3thpl3rά pot3ίos 1. Οι παραπάνω τύποι ισχύουνµόνο σεορθογώνιατρίγωνα.. Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζουµε µια πλευρά και µια οξεία γωνία, τότε µπορούµε µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας αυτής να υπολογίσουµε τις υπόλοιπες πλευρές του τριγώνου. Για το διπλανό σχήµα: 3fu = g b 3fq = b g u hmu = g hmq = b β α su = b sq = g γ q

10 w10 33 Ποιές σηµαντικές σχέσεις γνωρίζετε για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς κάθε οξείας γωνίας ; 1.Γιακάθεοξείαγωνία ω ισχύουν: 0! hmu! 1 και 0! su! 1 ηλαδήτοηµίτονοκαιτοσυνηµίτονοοξείαςγωνίαςείναιαριθµοίµεταξύ 0 και 1. ενισχύειτο ίδιογια την εφαπτοµένη. Για παράδειγµα εφ89 = 57,9..Γιακάθεοξείαγωνία ω ισχύει: εφω = hmu su (σηµαντικήσχέσηπουσυνδέεικαιτουςτρεις τριγωνοµετρικούς αριθµούς 34 Ποιοί είναι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών 30,, 60 ; ηµίτονο 1 3 συνηµίτονο 3 1 εφαπτοµένη (Οιαποδείξειςαυτώνβρίσκονταιστησελίδα 15 τουσχολικούβιβλίου,δραστηριότητες 1 και 35 Πότεµίαγωνίαλέγεταιεπίκεντρη; Ποιάείναιησχέσητουµέτρουτηςεπίκεντρηςγωνίας µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου της; ώστε έναπαράδειγµα. Μίαγωνίαλέγεταιεπίκεντρη,ότανηκορυφήτηςείναιτοκέντροενόςκύκλου. Τοµέτροτης επίκεντρης γωνίας ισούται µε το µέτρο του τόξου στο οποίο βαίνει (αντίστοιχο τόξο. Στοπαράδειγµαπουακολουθεί,ηεπίκεντρηγωνία ΑΟΒ µέτρου 60, βαίνειστοτόξο ΑΒ ( µέτρου επίσης 60 : A Ο 60 B Πότεµίαγωνίαλέγεταιεγγεγραµµένη; Ποιάείναιησχέσητουµέτρουτηςεγγεγραµµένηςγωνίας µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου της; ώστε έναπαράδειγµα. Μίαγωνίαλέγεταιεγγεγραµµένη,ότανηκορυφήτηςείναισηµείοενόςκύκλουκαιοιπλευρέςτης τέµνουντονκύκλο. Τοµέτροτηςεγγεγραµµένηςγωνίαςισούταιµετοµισότουµέτρουτουτόξουστο οποίο βαίνει (αντίστοιχο τόξο. Στοπαράδειγµαπουακολουθεί,ηεγγεγραµµένηγωνίαΑGΒµέτρου 30, βαίνειστοτόξοαβ ( µέτρου 60 : CHRIS TSATSOS

11 w11 A Γ 30 B Ποιό είναι το µέτρο εγγεγραµµένης γωνίας που βαίνει σεηµικύκλιο; Γνωρίζουµεότιτοµέτροτηςεγγεγραµµένηςγωνίαςισούταιµετοµισότουµέτρουτουτόξουστοοποίο βαίνει. Συνεπώς αν η εγγεγραµµένη γωνία βαίνει σε ηµικύκλιο (180, έχει µέτρο 90 (το µισό των 180. Συµπέρασµα: Κάθεεγγεγραµµένηγωνίαπουβαίνεισεηµικύκλιοείναιορθή. A B Ο Γ 38 Ποιάείναιησχέσητωνµέτρωνµίαςεπίκεντρηςκαιµίαςεγγεγραµµένηςγωνίαςπουβαίνουν στοίδιοτόξο; ώστεέναπαράδειγµα. Αν µία επίκεντρη και µία εγγεγραµµένη γωνία βαίνουν στο ίδιο τόξο, τότε το µέτρο της εγγεγραµµένης είναι το µισό του µέτρου της επίκεντρης. Στοπαράδειγµαπουακολουθεί, ηεπίκεντρη ΑΟΒ µέτρου 60 βαίνειστοίδιοτόξο ΑΒ ( µετην εγγεγραµµένηγωνία ΑGΒ µέτρου 30 : A Γ B 39 Πότε δύο εγγεγραµµένες γωνίες ενόςκύκλου είναι ίσες; ύο εγγεγραµµένες γωνίες ενός κύκλου είναι ίσες, όταν βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα. 40 Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Ποιό είναι το κανονικό πολύγωνο µε τρεις πλευρές και ποιόµετέσσερις; Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. Κανονικό πολύγωνο µε τρεις πλευρές είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, ενώ µε τέσσερις είναι το τετράγωνο.

12 w1 41 Πότεέναςκύκλοςλέγεταιπεριγεγραµµένοςενόςπολυγώνου; Αν οι κορυφές ενός πολυγώνου είναι σηµεία ενός κύκλου, τότε ο κύκλος λέγεται περιγεγραµµένοςτου πολυγώνου. Λέµε επίσης ότι το πολύγωνο είναι εγγεγραµµένοστον κύκλο. Για παράδειγµα: A Ο Γ B 4 Ποιά είναι η σχέση µεταξύ της κεντρικής γωνίας ω και της γωνίας f ενός κανονικού πολυγώνου; Η κεντρική γωνία ω και η γωνία f ενός κανονικού πολυγώνου είναι παραπληρωµατικές (άθροισµα 180, δηλαδή ωcf = 180 (ανγνωρίζουµετην ω,απότησχέσηαυτήυπολογίζουµετην φ καιαντίστροφα 43 Πώςυπολογίζουµετηνκεντρικήγωνία ω καιτηγωνία φ ενόςκανονικού ν-γώνου; Ηκεντρικήγωνία ω ενόςκανονικού ν-γώνουδίνεταιαπότοντύπο ω = 360. Επίσηςλόγωτηςσχέσης ωcf = 180 προκύπτειότι f = 180 Qu ή f = 180 Q 360, από τις οποίες υπολογίζουµε την γωνία f. 44 Ποιά είναι τα βήµατα κατασκευής ενός κανονικού ν-γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο; Βήµα 1. Υπολογίζουµετηνκεντρικήγωνία ω τουκανονικούν-γώνου ( ω = 360. Βήµα. Σχηµατίζουµεδιαδοχικά ν επίκεντρεςγωνίες ω, πουχωρίζουντονκύκλοσε ν ίσατόξα. Βήµα 3. Ενώνουµεµεδιαδοχικάευθύγραµµατµήµαταταάκρατωντόξων. 45 Ποιός τύπος µας δίνει το µήκος κύκλου; d g =r Τοµήκος L κύκλουακτίνας ρ καιδιαµέτρου δ,δίνεταιαπότουςτύπους: L = πδ ή L = πρ Παρατηρήσεις: 1. O αριθµός π = 3,14... είναιάρρητος.. Γιαναυπολογίσουµετοµήκοςενόςκύκλουχρειαζόµαστεµόνοτηνακτίνατου! 3. Ανδιαιρέσουµετοµήκος L µετηδιάµετρο δ ενόςκύκλουθαβρούµετοναριθµό π ( L d =p 4. Το µήκος και η ακτίνα ενός κύκλου είναι ποσά ανάλογα (αν διπλασιαστεί η ακτίνα, διπλασιάζεται και τοµήκος κλπ.. 46 Ποιός τύπος µας δίνει το εµβαδόν κύκλου; Τοεµβαδόν Ε κύκλουακτίνας ρ δίνεταιαπότοντύπο: Ε = πρ. Παρατηρήσεις: 1. Γιαναυπολογίσουµετοεµβαδόνενόςκύκλουχρειαζόµαστεµόνοτηνακτίνατου!. Το εµβαδόν και η ακτίνα ενός κύκλου δεν είναι ποσά ανάλογα (αν διπλασιαστεί η ακτίνα, τετραπλασιάζεται το εµβαδόν κλπ..

13 ύψος h ύψος w13 47 Ποιοί τύποι µας δίνουν το εµβαδόν και τον όγκο πρίσµατος; Εµβαδόνπαράπλευρηςεπιφάνειαςπρίσµατος: E p = (περίµετροςβάσης $ (ύψος Ολικόεµβαδόνπρίσµατος: E ol = Ε p C Ε b f εµβαδόνβάσης Όγκοςπρίσµατος: V = (εµβαδόνβάσης $ (ύψος βάση f παράπλευρη επιφάνεια βάση 48 Ποιοί τύποι µας δίνουν το εµβαδόνκαι τον όγκο κυλίνδρου; Εµβαδόνπαράπλευρηςεπιφάνειαςκυλίνδρου: E p = (περίµετροςβάσης $ (ύψος = πρυ Ολικόεµβαδόνκυλίνδρου: E ol = Ε p C Ε b = πρυcπρ Όγκοςκυλίνδρου: V = (εµβαδόνβάσης $ (ύψος = πρ h βάση ακτίνα βάσης ρ παράπλευρη επιφάνεια βάση