Kužeľosečky. 1 F, 2 F ohniská 1 o hlavná os ( 1 o= 1 F 2 F) 2 o vedľajšia os (os úsečky 1 F 2 F)

Transcript

1 Kužeľečy Dgm zá Kužeľečy ú inné iy duhéh upň, é delíme n ) eguláne užeľečy: elip, pl hypel; ) inguláne užeľečy: d, pim, de pimy. šey ypy užeľečie môžeme zíť ezy užeľej plchy inu. ) ezá in nepechádz chlm, ezm užeľej plchy je egulán užeľeč. ) je ezá in chlá (pechádz chlm), ezm užeľej plchy je ingulán užeľeč. nlyicej gemeii e zznámili nicmi užeľečie. e zpnie i uedieme definície, dôležié pjmy ich znčnie. jíme i hnié nšucie, é ychádzjú z definícií, i ďlšie nšucie, é umžňujú nyť užeľečy ýchlejšie dé hnié nšucie. Uedieme iež úlhy, é echni pxi njčejšie peuje.. Definície, znčeni hnié nšucie užeľečie.. Elip Definíci: Elip je mnžin šeých d ine E, é mjú d dch ôznych d, ály úče zdilení ný, pičm >. () ymlicý zápi: elip = { E ; + =, > } jmy ich znčenie (.) C e B D, hniá hlná ( = ) edľjši ( úečy ) ed, B hlné chly C, D edľjšie chly dĺž hlnej pli = = B dĺž edľjšej pli = C = D e excenici e= = Δ C - cheiicý juhlní.. Dĺžy, epezenujú nšny nici elipy ( x m) ( y n) + = edm (m;n). zťh medzi dĺžmi, yjduje yg e = +e.

2 hniá nšuci elipy (.) Dné ú hniá, úeč KL dĺžy, >. Zjme elipu mnžinu d lnťu (). Úeču KL je hdné umieniť n K B C D L, y jej ed žnil edm úečy, pm jné dy K, L žni hlnými chlmi, B elipy. Bd ďlšie pmcné dy líme medzi dmi. Bdy elipy zíme pieniu užníc: ={, }, ={ 3, 4 }, pičm =, = B, ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ). Kždý z d i, i=,...,4 pĺň lnť: i + i =, je ed dm elipy. hdnu ľu ďlších pmcných d pním nšucie zíme né šice d elipy. Z nšucie yplý, že elip je úmená pdľ í, i pdľ edu. Je užičné jiť i nšuciu užeľečie pmcu hypeulčných užníc, ú echnici eľmi č pužíjú. Hypeulčné užnice nám nhádzjú lúy užeľečie mlm lí ich chl. (.3) minujeme hniú nšuciu užeľečy hypeulčnými užnicmi, zíme eľmi dý záld pe dynie užeľečy pmcu íidl. Hypeulčné užnice elipy (.3) Úlh č. : Zje elipu, á je dná dĺžu hlnej pli dĺžu edľjšej pli, pmcu hypeulčných užníc. E l h h B G C D h h Riešenie: (.3) ieečníy E G užníc (,) l(c,) učujú pimu, á peín i, edch, hypeulčných užníc pe chly C. Kužnicé lúy h( ; ), h( ; C ), h, h, é ú ich zmi edej úmeni edm, umžni ýchle nynie elipy pmcu iidl. Kužnicé lúy h, h, ú celé znú, lúy h, h, celé zn elipy.. 3.

3 .. Hypel Definíci: Hypel je mnžin šeých d ine E, é mjú d dch ôznych d, ály zdiel zdilení ný, pičm 0<<. () ymlicý zápi: hypel = { E ; =, 0<< } jmy ich znčenie (.4) I G e C J B D H. 4., hniá hlná ( = ) edľjši ( úečy ) ed, B hlné chly dĺž hlnej pli = = B dĺž edľjšej pli = C = D e excenici e= = Δ I cheiicý juhlní IJGH cheiicý dĺžni, ympy Bdy C, D n edľjšej i nepi hypele. ú edmi piľhlých án cheiicéh dĺžni IJHG, ý umžní ľh zjiť ympy hypely: =I, =J. x y Rnic = yjduje hypelu edm (0;0) hlnu u x-ej údnicej i. ympy uedenej hypely mjú nice y = ± x ( x m) ( y n) Rnic = yjduje hypelu edm (m;n) hlnu u nežnu x-u údnicu u. Z cheiicéh juhlní I hypely yplý zťh, ý yjduje yg e: e = +. 3

4 hniá nšuci hypely (.5) Dné ú hniá, úeč KL dĺžy, <. Zjme hypelu mnžinu d lnťu (). K L B Úeču KL je hdné umieniť n pimu, y jej ed žnil edm úečy, pm jné dy K, L žni hlnými chlmi, B hypely. Bd ďlšie pmcné dy líme z núných d n plpime pčnej plpime. ieečníy užníc: ={, }, ={ 3, 4 } ú dmi hypely, pičm =, = B, ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ). Kždý z d i, i=,...,4 pĺň lnť: i i =, je ed dm hypely. Z nšucie yplý, že hypel je úmená pdľ í, i pdľ edu. (.6) Hypeulčné užnice hypely h h B Klmice n ympy pechádzjúce chlmi cheiicéh dĺžni peínjú hlnú ede, hypeulčných užníc. Kužnicé lúy h( ; ), h( ; B ) ú celé znú lú hypely

5 .3. l Definíci: l je mnžin šeých d ine E, é mjú né zdileni d dnej pimy d d dnéh du, pičm d. (3) ymlicý zápi: pl = { E ; d =, d} jmy ich znčenie (.7) d p hni d idic pim p pmee ply p= d d chl d = hniá nšuci ply (.8) Dné je hni idic pim d. N plpime zľme d. Bdy ply ú d. 7. h. 8. l pieniu pmcnej užnice (; d ), pimu l pechádzjúcu dm nežnu idicu pimu d l={, }. Bdy, pĺňjú lnť (3), pe ú dmi ply. ľu ďlších pmcných d z plpimy pním nšucie ppínej pe pmcný d zíme ďlšie djice d ply. l je úmená pdľ i, yplý z nšucie jej d, l u nežnu x-u údnicu u chlm (m;n) má nicu (y n) = p(x m), ep. (y n) = p(x m), hni je ľ d chl. Hypeulčná užnic ply (.8) Hypeulčná užnic h(;p= d ) pe chl ply má ed n i plme ný dĺže pme p ply, leží celá znú lú ply. 5

6 d lu idicu pimu d hnim mžn nímť iež mnžinu ed šeých užníc, é dýjú pimy d pechádzjú dm (.9).. 9. Bd užeľeč núné dy užeľečy ú ie, é leži plu hnimi li hničenej užeľeču. né dy iny, em d užeľečy, ú njšie dy užeľečy. 3. im užeľeč (.0-) Neečnic je pim, á huje i njšie dy užeľečy (.0- pim ). ečnic je pim, á má užeľeču ôzne plčné dy (.0- pim ). Kždá pim, á je nežná ympu hypely, má hypelu jeden plčný d (. pim c). Dyčnic je pim, á má užeľeču i jeden plčný d (dyý d) né jej dy ú njšie. ei je úeč jnými dmi n užeľeče, ej núné dy ú núnými dmi užeľečy (.0- úeč Y). ieme edej užeľečy je úeč, á huje ed jné dy má n užeľeče (.0- úeč L). ieme ply je plpim q nežná u ply, ej zči je dm ply je úhlne ienná plpimu (.). Zdužené piemey ú djicu pieme u lnťu, že dyčnice jných dch jednéh piemeu ú nežné duhým piemem (.0). Exiuje i jeden pá zdužených pieme n e lmých, é leži n hlnej edľjšej i B je njäčší CD njmenší z šeých pieme dnej elipy (.8). l L Y m N n Y L l c Y q

7 ey dyčnicich (.3-5) piediče, ú pimy, é pájjú d užeľečy jej hnimi (.3-4). y me ey dyčnicich užeľečie mhli fmulť šeecnejšie, je účelné zieť pjem duhéh piedič du ply udeme ním zumieť pimu, á pechádz dm ply je nežná jej u (.5). njším uhlm piedič udeme nzýť uhl, ý huje hlný chl. núný uhl piedič je uedný njšiemu uhlu piedič. hlnm chle id piediče plýjú d jednej pimy. Z njší uhl pldáme ýľe z idch pimych uhl, ých mená plýjú hlnu u. e : Dyčnic zpľuje njší uhl piedič dyéh du (.3-5). e : Nmál je lmic n dyčnicu dym de (zpľuje núný uhl piedič dyéh du) (.3-5). e 3: ( dch ) nžin šeých d úmene zdužených jedným hnim elipy (hypely) pdľ jej dyčníc je užnic edm duhm hniu plmem (.3-4). Bd je d úmene zdužený hnim pdľ dyčnice, f( ;) ; d je d úmene zdužený hnim pdľ dyčnice, f( ;). Kužnice f, f nzýme idicimi užnicmi. pjnic du i (i=,) edm idicej užnice, n ej leží, peín dyčnicu jej dym de. n f f B f B n f e 4: ( dch ) nžin šeých pi lmíc edených hnim n dyčnice elipy (hypely) je užnic edm plmem ným dĺže hlnej pli, ú nzýme chlu užnicu (;) (.3-4). 7

8 n e 3 : ( dch ) nžin šeých d úmene zdužených hnim ply pdľ jej dyčníc je jej idic pim d (.5). e 4 : ( dch ) nžin šeých pi lmíc edených hnim n dyčnice ply je jej chlá dyčnic (.j. dyčnic chle ) (.5). d. 5. n ungenu udeme nzýť dĺžu úečy, á je učená pieečním dyčnice ply jej u päu lmice z du n ply (.6). p Y. 6. unmálu udeme nzýť dĺžu úečy Y, á je učená pieečním Y nmály ply jej u päu lmice z du, ým nmál pechádz, n ply (.6). e 5: chl zpľuje ungenu = (.6). e 6: Dĺž unmály ná pmeu ply p= Y (.6). e 7: hni zpľuje úeču, á je účm ungeny unmály. = = Y (.7) e 8: pjnic pieeční dch ôznych dyčníc, ply edm eiy učenej ich dyými dmi, je nežná u ply. (.8) n Y R d

9 pxi eľmi č eáme úlhu nyť dyčnice z du elipe (np.yé ice pimy užeľej plchy), ep. nyť dyčnice nežné dným mem (np. yé ice pimy lcej plchy). Úlh č. : Zje dyčnice elipe z jej njšieh du R. Elip je dná hnimi, dĺžu hlnej pli.(.9) Rz: e d, ý je úmene zdužený hnim f pdľ hľdnej dyčnice muí pliť: R = R. Z h yplý, R že leží n užnici (R; R ). dľ ey 3 ( dch ) d muí ležť n idicej užnici f( ;). Riešenie: Bdy nájdeme pieniu užníc f. Dyčnice pechádzjú dm R ú mi úečie. Dyé dy zíme pieniu dyčnice ep. pjnicu du ep. edm idicej užnice f.. 9. Úlh č. 3: Zje dyčnice elipe nežné dným mem. Elip je dná hnimi, dĺžu hlnej pli.(.0) f. 0. Rz: e d, ý je úmene zdužený hnim pdľ hľdnej dyčnice muí pliť, že leží n lmici zjenej z hni n dný me, de leží j d pä lmice n dyčnicu. dľ ey 4 ( dch ) d leží j n chlej užnici (;). dľ ey 3 ( dch ) d muí ležť n idicej užnicici f( ;). Riešenie: Bdy nájdeme pieniu lmice užnice f dy j pieni lmice užnice. Dyčnic, ep. pechádz dm, ep. je nežná dným mem. Dyý d zíme pieniu pimy, ep. dyčnicu, ep.. znám: Úlhy nšucii dyčníc zjených z dnéh njšieh du R le dyčníc nežných dným mem hypele (ple) ieši nlgicy úlh č. 3. e plu yužijeme nmie ey 3 4 eu

10 eľmi č jíme ped úlhu zjiť plu, á je dná dm dyčnicmi ich dyými dmi. Úlh č. 4: Zje plu, pznáe dyčnice, dyými dmi,. R Riešenie: ) e yhľdnie meu i ply pužijeme eu 8 (.). dch zjíme piediče,, é ú nežné yhľdným mem i ply. dľ ey ieme zjiť piediče, ých dch. piediče, penú hniu, ým pechádz nežne yhľdným mem. d.. R d.. ) Úlhu č.4 môžeme iešiť j pmcu lichežníej meódy hľdni chl ply (.). Klmic de R (R= ) n me yhľdný pdľ ey 8, pene piediče, dch. zíme lichežní, éh uhlpiečy penú chle hľdnej ply. pechádz chlm nežne yhľdným mem. dľ ey 4 päy lmíc zjených z hni n dyčnice leži n chlej dyčnici, pe ju ieme zjiť. hni je pieečníu lmíc,, ep. pieečníu jednej z nich u. Ridicu pimu d, á je lmá n ply nájdeme pmcu hniej lni ply ( d = ) ep. pmcu ey 3 (dy, pe é plí: =, =, leži n idicej pime d). 0

11 Úlh č. 5: Zje dyčnicu ply jej dnm de, pznáe chl me i ply. m Riešenie: (.3) N i, á pechádz dm je nežná dným mem, nájdeme lmý pieme dyéh du. dľ ey 5 ( ungene) ieme zjiť pieeční i hľdnej dyčnice z du edej úmeni pdľ du. im je hľdná dyčnic m ply dnm de.. 3. Úlh č. 6: Zje chl, hni idicu pimu d už nynej ply. D d. 4 n Y Riešenie: (.4) Zjíme de nežné eiy, ých pjnic ed, učí me i ply. ude pechádzť edm eiy lmej n me i ude nežná yhľdným mem. pene plu jej chle. Zjíme päu lmice z ľuľnéh du ply n. Bd, ý je zm du edej úmeni pdľ chl nám umžní zjiť dyčnicu = pdľ ey 5 ( ungene). Nmál n de pene de Y. dľ ey 7 je hni edm úečy Y. e zjenie idicej pimy d pužijeme eu 6 ( unmále) - Y =p, ed p= d = D.

12 4. Ďlšie lni nšucie užeľečie 4.. Elip Záá (juhlníá) nšuci elipy (.5) q je elip dná plhu í, dĺžmi plí,, môžeme pe nšuciu jej d yužiť záú (juhlníú) nšuciu, á yuží djú finiu medzi: ) elipu užnicu (;) mem finiy ) elipu užnicu (;) mem finiy eďme ľuľnú plpimu q zčim ede elipy znčme jej pieeční užnicu užnicu. pjnic d muí yť nežná mem pej finiy, účne muí yť nežná mem duhej finiy. Zjený d elipy je pe chlm puhléh juhlní pepnu. píným pôm môžeme zjiť ľuľný pče d elipy. znám č. : chlch elipy puhlé juhlníy degeneujú d úečie. znám č. : Z nežní yplý = = z nežní H yplý H = =, je idieť z ázu 5. Uedené zťhy ú zdôdnením nledujúcej zdielej púžej nšucie. úžá nšuci elipy (.6). zdielá. účá C C H. 5. H. 6. B H je elip dná plhu í, dĺžmi plí,, môžeme pe nšuciu d elipy yužiť iež zdielú le účú nšuciu: N púž ppie i yznčíme d, d éh nneieme dĺžu (=, le = ) dĺžu (= H, le = H ), čím zíme d (le ) d H (le H ). Umienime púž ppie, y d l n edľjšej i účne d H n hlnej i ; miee du môžeme yznčiť d dnej elipy. hym púž ppie, že H účne, náledným yznčením du, zíme dy elipy. ) me nnieli dĺžy n ú iú plpimu zčim, zíli me dy H, dĺžu úečy H =. m pípde híme zdielej nšucii. ) me nnieli dĺžy n pčné plpimy zčim, zíli me dy H, dĺžu úečy H =+. m pípde híme účej nšucii.(.6). Uedené nšucie d elipy ú pincípm mechnicéh zideni n inemicé yenie (ynie) elipy, z. elipgfu.

13 Úlh č. 7: Zje elipu, á je dná hlnými chlmi, B dm elipy. H. 7. B H Riešenie: (.7) i hľdní dĺžy edľjšej pli yužijeme púžú nšuciu. Kužnic (;) pene edľjšiu dch. pjíme d elipy dm, zíme dĺžu edľjšiej pli n zálde zdielej púžej nšucie. pjnic úií nšuciu dĺžy edľjšej pli pmcu účej púžej nšucie. pznáme hlné chly elipy dĺžu, môžeme pe nynie elipy pužiť ľuľnú z pedchádzjúcich nšucií. Ryz nšuci elipy pxi č eáme úlhu zjiť elipu, á je dná zduženými piememi. zhľdm n lni zdužených pieme ide učni úlhu píť elipu d dyčnicéh nežní. Hci zučný echni nšicuje elipu ez äčších plém, muí edieť elipu nyť pene. Njhdnejšií pô je jiť i Ryzu nšuciu (úlh č.8.8). Úlh č. 8: Zje elipu, á je dná zduženými piememi KL, N q H K l G C D N L B Riešenie: (.8) Nd jedným piemem, np. KL píšeme plužnicu (; K ). Bdm zjíme lmicu q, á pene užnicu de G. Nájdeme ed úečy G ( je ližší z ncých d duhéh piemeu). Kužnic l(; ) pene pimu G de H. Dĺž hlnej pli = = GH, dĺž edľjšej pli = H = G. Hlná elipy =H leží m uhle dných zdužených pieme. = je edľjší elipy

14 4.. Hypel L L. 9. N e 9: Dĺžy úečie n pime medzi dmi hypely pieečními ympmi ú né: L = L (.9). Dôled: Dyý d dyčnice zpľuje úeču ej dyčnice hničenú ympmi (.9). N K K L e 0: účin úečie n pime nežnej hlnu u hypely d du jednej ympy p pieečníy ej pimy hypelu ná hu šc nd dĺžu hlnej pli,.j. K. KN =. (.30) e : účin úečie n pime nežnej edľjšu u hypely d du hypely p L pieečníy ej pimy ympmi ná hu šc nd dĺžu edľjšej pli,.j. L. L = (.30) Z ých ie yplý jednduchá nšuci hypely, á je dná ympmi dm hypely (úlh č.9), ú eľmi č peujeme pi iešení úlh ez užeľej plchy ez n hypelidch. Úlh č. 9: Nyuje hypelu, pznáe ymy, d, ý leží n hypele l N K Y q L. 3. L Riešenie: (.3) i iešení pužijeme uď eu 0, le eu. Zjíme hlnú h uhl ympô, m leží d hľdnej hypely. edľjši je n hlnú lmá pechádz edm = hypely. ) pužijeme eu 0, zjíme dm pimu l, á je nežná hlnu u yznčíme n nej d N hypely (pdľ ey 9). Zjíme leu užnicu nd úeču N. Klmic zjená de K pene leu užnicu chle Y puhléh juhlní NY. Z Eulidej ey ýše juhlní zíme zťh K. KN =, ed ýš puhléh juhní NY ude dĺžu hlnej pli. mcu cheiicéh dĺžni ľh zjíme dĺžu edľjšej pli. ) pužijeme eu, zjíme dm pimu q, á je nežná edľjšu u pieečníy pimy q ympmi znčíme L, L. Nd úeču LL zjíme leu užnicu, á pene pimu l de. Z Eulidej ey ýše juhlní zíme zťh L. L =, ed ýš puhléh juhní LL ude dĺžu edljšej pli. Dĺžu hlnej pli zjíme pmcu cheiicéh dĺžni. 4