Φυσική Γ Λυκείου - Α Φάση

Transcript

1 ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Αφιερωµένη στη µνήµη της Φυσικού Σύλβιας Γιασουµή Φυσική Γ Λυκείου - Α Φάση Κυριακή εκεµβρίου 5 Ωρα:.. Να απαντήσετε όλα τα θέµατα και όλα τα ερωτήµατα. Επιτρέπεται η χρήση µη προγραµµατιζόµενης υπολογιστικής µηχανής. Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υγρού. Να γράφετε ευανάγνωστα µε µελάνι µπλε ή µαύρο. ΘΕΜΑ α) Τι είναι το µαθηµατικό εκκρεµές; (µον. ) β)να αποδείξετε ότι το µαθηµατικό εκκρεµές εκτελεί Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση (µον.) γ) Αφού πρώτα γράψετε την κατάλληλη µαθηµατική σχέση, να κάνετε σε µη βαθµολογηµένους άξονες τις γραφικές παραστάσεις της Κινητικής Ενέργειας συναρτήσει : i) της αποµάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας ii) του τετραγώνου της αποµάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας. (µον. 4) δ) Ένα µαθηµατικό εκκρεµές έχει περίοδο Τ = s όταν βρίσκεται στον Ισηµερινό όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9,78 m/s. i) ο µαθηµατικό εκκρεµές τοποθετείται σε ανελκυστήρα ο οποίος κινείται προς τα πάνω µε επιτάχυνση g /. Να υπολογιστεί η περίοδος του κατά τη διάρκεια της κίνησης. (µον. ) ii) Το πιο πάνω µαθηµατικό εκκρεµές ανήκει σε ρολόι. Αν µεταφερθεί στο Βόρειο Πόλο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9,8 m/s, να υπολογίσετε το λάθος που κάνει το ρολόι σε µια µέρα; (µον. 4) iii) Να εισηγηθείτε τι πρέπει να κάνουµε για να διορθώσουµε το ρολόι ( χωρίς υπολογισµούς) (µον. ). ΘΕΜΑ Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δυο Γραµµικές Αρµονικές Ταλαντώσεις πάνω στην ίδια ευθεία γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η µια Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση έχει εξίσωση = ηµπt ( το σε cm και το t σε s) και η άλλη = f(t) έχει τριπλάσιο πλάτος, την ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης π. α) Να γράψετε την εξίσωση της δεύτερης ταλάντωσης. (µον. ) β) Να γίνουν στους ίδιους βαθµολογηµένους άξονες οι γραφικές παραστάσεις i) = f(t), ii) = f(t) και iii) της συνισταµένης ταλάντωσης, = f(t). (µον. ) γ) Να βρεθεί µε υπολογισµό (όχι από τη γραφική παράσταση) η εξίσωση της αποµάκρυνσης της συνισταµένης ταλάντωσης, = f(t). (µον. ) δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας της συνισταµένης ταλάντωσης. (µον. )

2 ΘΕΜΑ Το διάγραµµα του πιο κάτω σχήµατος (σχήµα ) δείχνει το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t που διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα OX. Η πηγή βρίσκεται στο Ο και άρχισε να ταλαντώνεται τη χρονική στιγµή t =. y (cm) 4 O 4 4 (cm) Σχήµα Το διάγραµµα του πιο κάτω σχήµατος (σχήµα ) δείχνει την ταλάντωση του σωµατιδίου Μ που βρίσκεται σε απόσταση M από την πηγή. y (cm) 4 O t (s) Σχήµα 4 Να πάρετε πληροφορίες από τα δυο διαγράµµατα και να : α) υπολογίσετε το µήκος κύµατος, τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. (µον. ) β) βρείτε τη χρονική στιγµή t και την απόσταση M του Μ από την πηγή. (µον. ) γ) γράψετε την εξίσωση του κύµατος (µον.) δ) γράψετε τη συνάρτηση φ = f() για τη χρονική στιγµή t και να κάνετε τη γραφική της παράσταση. (µον. ) ε) γράψετε τη συνάρτηση φ = f(t) του σηµείου Μ και να κάνετε τη γραφική της παράσταση. (µον. ) στ) κάνετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t + /. (µον. ) ζ) γράψετε την εξίσωση του κύµατος που παράγεται από πηγή που ταλαντώνεται µε διπλάσιο πλάτος και διπλάσια συχνότητα και διαδίδεται αντίθετα, στο ίδιο µέσο µε το προηγούµενο, µε ταχύτητα του ιδίου µέτρου. (µον. 4)

3 ΘΕΜΑ 4 Στο άκρο ελατηρίου αµελητέας µάζας και σταθεράς Κ κρέµεται δίσκος µέσα στον οποίο υπάρχει σύστηµα ηλεκτροµαγνήτη H, συνολικής µάζας m =, kg. Ο ηλεκτροµαγνήτης συγκρατεί κάτω από το δίσκο, σιδερένια σφαίρα Σ µάζας m =, kg. Το σύστηµα εκτρέπεται προς τα κάτω κατά cm και τη χρονική στιγµή t = αφήνεται ελεύθερο, οπότε ταλαντώνεται µε περίοδο,π s. Η Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = m/s. α) Να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης. (µον. 4) β) Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου. (µον. 4) γ) Να υπολογιστεί η ελάχιστη δύναµη που πρέπει να ασκεί ο ηλεκτροµαγνήτης στη σφαίρα για να συγκρατείται στο Σ σύστηµα καθώς ταλαντώνεται. (µον. 4) δ) Τη στιγµή που βρίσκεται για δεύτερη φορά στο πιο ψηλό σηµείο της ταλάντωσης διακόπτεται η λειτουργία του ηλεκτροµαγνήτη οπότε παύει να έλκει τη σφαίρα Σ. Να βρεθούν: i) η θέση και η χρονική στιγµή κατά την οποία η σφαίρα αποχωρίζεται από το δίσκο. (µον. 8) ii) η ταχύτητα και η επιτάχυνση τη χρονική στιγµή κατά την οποία η σφαίρα αποχωρίζεται από το δίσκο. (µον. 4) iii) η νέα περίοδος και το νέο πλάτος της ταλάντωσης. (µον. 4) ΘΕΜΑ 5 Γ Α) Τι ονοµάζουµε συµβολή κυµάτων; (µον. ) Β) Ένας διακοσµητής στόλισε µια πισίνα για πάρτι µε κεριά που επιπλέουν στην επιφάνεια του νερού σχηµατίζοντας κύκλο ακτίνας 8 m. Τα δυο αντιδιαµετρικά κεριά, Α και Β, τίθενται (µε κάποιο µηχανισµό) σε κατακόρυφη Γραµµική Αρµονική Α Β Ταλάντωση σε φάση µε περίοδο Τ= 4 s οπότε δηµιουργούνται κύµατα που διαδίδονται στην επιφάνεια του νερού. α) Να εξηγήσετε την κίνηση που κάνει το κερί Γ που βρίσκεται στο σηµείο τοµής της περιφέρειας µε τη µεσοκάθετο πάνω στη διάµετρο ΑΒ. (µον. 4) β) Να δικαιολογήσετε γιατί υπάρχουν σηµεία της περιφέρειας στα οποία αν τοποθετήσουµε κεριά θα εκτελούν ταλαντώσεις ελαχίστου πλάτους και γιατί δεν υπάρχουν σηµεία στα οποία θα είναι εντελώς ακίνητα; (µον. 6) γ) Η πιο µικρή απόσταση από το Γ, όπου αν τοποθετηθεί κερί το οποίο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου και ταλαντώνεται µε ελάχιστο πλάτος, είναι Γ =, m. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων. (µον. 7) ΤΕΛΟΣ

4 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΦΑΣΗ Κυριακή, εκεµβρίου, 5 Ώρα: : - : Προτεινόµενες λύσεις ΘΕΜΑ α) Μαθηµατικό εκκρεµές είναι µια διάταξη η οποία αποτελείται από ένα αβαρές και µη εκτατό νήµα του οποίου το ένα άκρο είναι στερεωµένο µε ακλόνητο σηµείο και στο άλλο άκρο του έχει στερεωµένη µια σφαίρα µικρών διαστάσεων και εκτελεί ταλαντώσεις µικρού πλάτους σε κατακόρυφο επίπεδο. β) φ ΣF X =-Bηµφ=-mgηµφ=-mg mg Σ F =. Επειδή η συνισταµένη των δυνάµεων στη διεύθυνση της κίνησης S Βηµφ Β Βσυνφ έχει µέτρο ανάλογο προς την αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και φορά προς τη θέση ισορροπίας, ικανοποιεί την ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να εκτελεί ΓΑΤ. ηλαδή υπάρχει δύναµη επαναφοράς. γ) Ε Κ D EK = mυ = mω ( ) = D D Η γραφική παράσταση Ε Κ =f() είναι της - µορφής y=b-a (µονάδες )

5 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) E K D EK = mυ = mω ( ) = D D Η γραφική παράσταση Ε Κ =f( ) είναι της µορφής y=b-a (µονάδες ) δ) Στον Ισηµερινό g =9,78 m/s και Τ= s. i. Όταν το εκκρεµές βρίσκεται στον Ισηµερινό η περίοδος του δίνεται από τη σχέση = π () g Το εκκρεµές τοποθετείται µέσα σε ανελκυστήρα ο οποίος κινείται προς τα πάνω µε g επιτάχυνση γ =. m( γ + g) Σ Fy = mγ Sσυνϕ mg = mγ S = συνϕ γ φ mg ( + γ ) Σ F = Sηµϕ = ηµϕ = m( g+ γ ) εϕϕ συνϕ Επειδή η γωνία φ είναι πολύ µικρή. S Sσυνφ εϕϕ = έχουµε ότι: Sηµφ Β m( γ + g) Σ F = m( γ + g) Σ F =. Όµως F = επ D και m4π D= mω =. Με αντιστοιχία m( γ + g) D= m 4 m π ( γ + g) = = π γ + g g + g 4g Άρα = π = π ( )

6 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) ιαιρώντας τις () και () έχουµε: = g 4 g 4 = = = =,87s 4 ii. Εάν το εκκρεµές µεταφερθεί στον Βόρειο Πόλο όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 9,8 m/s η περίοδος γίνεται = π () g ιαιρώντας τις () και () έχουµε: = g g g 9,78,997s = = = g 9, Σε µία µέρα θα εκτελέσει κ = = ταλαντώσεις, δηλαδή θα χτυπήσει, δευτερόλεπτα και το λάθος που θα κάνει 86659s 864s = 59s (µονάδες 4) Άλλος τρόπος Το σφάλµα του ρολογιού είναι t = t Μετρούµε δηλαδή το χρόνο µε βάση το ακριβές ρολόι στον Ισηµερινό. Στον Βόρειο Πόλο το εκκρεµές προπορεύεται κατά Τ -Τ. Άρα: σε χρόνο Τ προπορεύεται κατά Τ -Τ σε χρόνο ηµέρας t,997 = = = 59, = 4min 9, t t t s t και s iii. Η περίοδος στον Βόρειο Πόλο µειώνεται διότι αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. Από τη σχέση που δίνει την περίοδο = π παρατηρούµε ότι για να µην g αλλάξει περίοδος πρέπει να αυξήσουµε το µήκος ούτως ώστε ο λόγος g παραµείνει σταθερός.

7 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) ΘΕΜΑ α) = ηµπt π = ηµ t π = cm = π = s = =. = 9cm ν = ν = = s = 9ηµ ( πt+ π) ϕ = π β) (cm) 9 6 (Το σε cm και το t σε s) t(s) -9 + γ) Ισχύει η Αρχή της Επαλληλίας. = 6 ηµ ( πt π ) = + = ηµπ t+ 9 ηµ ( πt π ) = ηµπt 9ηµπt = 6ηµπt ή = 6 ηµ ( πt+ π) (µονάδες ) d Ω= = 6 πσυν ( πt π ) ή Ω= 6 πσυν ( πt + π ) (µονάδες ) dt 4

8 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) ΘΕΜΑ α) Από το σχήµα λ = cm και y = cm Από το σχήµα ν = =, s ν = ν = 5Hz, υ = λν =.5 υ = cm / s,5 β) Από το σχήµα υ = t = = t =,5s t υ λ ή η απόσταση είναι 7 άρα αντιστοιχεί σε χρόνο και έτσι φ(rad), t = 7 t =,5s 4 Από το σχήµα ο χρόνος που χρειάζεται το κύµα να φτάσει στο σηµείο είναι,s άρα υ = M = υt =., M = cm t λ ή ο χρόνος,s είναι 6 ο οποίος αντιστοιχεί σε απόσταση 6 και από το σχήµα 4 4 βρίσκουµε ότι είναι = cm M t γ) Η εξίσωση του κύµατος είναι: y = yηµ π y = ηµ π 5t λ y και σε cm και t σε s. δ) H συνάρτηση φ=f() για τη χρονική στιγµή t είναι: ^ πt π π.,5 π ϕ = = ϕ =,5π π () σε cm. λ, 4π π π π (cm) () Για = ϕ =,5π rad () Για ϕ =,5π = π =,5cm Για έλεγχο η κλίση πρέπει να είναι ίση µε π. ε) H συνάρτηση φ=f(t) του σηµείου Μ είναι: πt π πt π ϕ = = ϕ = πt π () t σε s. λ, 5

9 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) φ (rad) π π π -π -π -π,,,,4,5 t (s) Για () t = ϕ = π rad () Για ϕ = πt = π t =,s Για t =,5s ϕ = π.,5 π ϕ = π Για έλεγχο η κλίση πρέπει να είναι ίση µε π rad/s. στ) Το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή t + λ Το κύµα µετακινείται κατά δηλαδή κατά cm. και φτάνει σε απόσταση λ =,5 + = 4,5cm = 9 4 y (cm) -,5,5,5,5 4 4,5 (cm) ζ) Η εξίσωση του κύµατος που παράγεται από πηγή που ταλαντώνεται µε διπλάσιο πλάτος ( y = y y =. y = 6 cm), διπλάσια συχνότητα ( ν = ν =.5 ν = Hz ) και διαδίδεται αντίθετα ( το πρόσηµο του είναι +), στο ίδιο µέσο µε το προηγούµενο ( υ = υ υ = cm / s ) αφού αλλάζει η συχνότητα υ αλλάζει και το µήκος κύµατος υ = λν λ = = λ = cm ) είναι: ν t y = yηµ π + y = 6ηµ π t+ λ ( ) (µονάδες 4) 6

10 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) ΘΕΜΑ 4 Μάζα δίσκου και ηλεκτροµαγνήτη Η m =,Kg Μάζα σφαίρας m =, Kg Το σύστηµα εκτρέπεται κατά cm σηµαίνει ότι το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος είναι y =, m Η περίοδος ταλάντωσης του συστήµατος =, π s Για t = y =+,cm. Θεωρούµε θετική φορά προς τα κάτω. Α Β Γ Ε F F,4, y,6 F ηλ Β Ν Β σ Β +Β Α η θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος Β η Θέση Ισορροπίας του συστήµατος ίσκου και Ηλεκτροµαγνήτη Γ η Θέση Ισορροπίας του συστήµατος ίσκου, Ηλεκτροµαγνήτη και Σφαίρας η Ακραία Θέση της Γ.ΑΤ. που εκτελεί το σύστηµα ίσκος, Ηλεκτροµαγνήτης και Σφαίρα. Ε Τυχαία Θέση α) Εξίσωση ταλάντωσης. π y = yηµ ( t+ ϕ) () ο Τεταρτ. π t = y =+,cm +,=, ηµ ( + ϕ) ηµϕ =+ ϕ = 7

11 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) Από την ένα π π π y =, ηµ ( t+ ) y =, ηµ ( t+ ) () y σε cm και t σε s., π β) Σταθερά του Ελατηρίου. (µονάδες 4) m+ m Η περίοδος ταλάντωσης του συστήµατος δίνεται από τη σχέση: = π K Άρα: π = 4 = ( + ) = (, +, ) =.,5 K = 5 N / m K, π m+ m π π K m m γ) Στην Τυχαία Θέση Ε έχουµε (βλέπε αρχικό σχήµα) Σ F = ma. N + B F = m. a N = F B m. a σ ηλ σ ηλ σ σ (µονάδες 4) Για να µην χάσει επαφή η σφαίρα πρέπει: N F B m. a F B + m. a ηλ σ σ ηλ σ Η ταλάντωση για να συνεχίσει να εκτελείται πρέπει το σώµα να διατηρεί επαφή στην κατώτατη θέση όπου η επιτάχυνση α είναι µέγιστη και της ίδιας φοράς µε τη δύναµη που ασκεί ο ηλεκτροµαγνήτης 4π Fηλ Bσ + m. a Fηλ = m min. g+ m y Fηλ =, ( +., ) F 6N min ηλ = min δ) i. Όταν ο ηλεκτροµαγνήτης πάψει να λειτουργεί τότε F ηλ = Στην τυχαία θέση τότε έχουµε: N + Bσ = mσ. a N + Bσ = mσ. ω. y Όταν η σφαίρα χάνει επαφή στη θέση y τότε N = Άρα : Bσ mσ. ω. y y = = m. g..,.,4.4π = = =.π 4 π σ g. ( π ) y y m σ 4π 4π δηλαδή, m πάνω από τη θέση ισορροπίας (µονάδες 4) y =,m 8

12 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) Η γραµµική αρµονική ταλάντωση µπορεί να θεωρηθεί σαν η προβολή σώµατος που εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση,( µε ακτίνα ίση µε το πλάτος της ΓΑΤ και ίδια συχνότητα,) σε επίπεδο κάθετο στο επίπεδο της κίνησης. Έτσι έχουµε: -, -, +, t= Άλλος τρόπος φ + π ηµϕ = ϕ = 6 Η συνολική γωνιακή µετατόπιση που διανύει στην αντίστοιχη κυκλική κίνηση είναι: π π ϕολ = π + π + π + ϕολ = π ϕ. ϕ = ω. t = t t = π π.,π π t = t = =,47s. π (µονάδες 5) Χάνει επαφή. t= t Η χρονική στιγµή κατά την οποία η σφαίρα αποχωρίζεται από το δίσκο είναι t = + + t o 4 Τεταρτ. t = y =+, m, y =,m και υ f t = t Από την () έχουµε: 4. ο τεταρτ π π π π π π, =, ηµ ( t+ ) ηµ ( t+ ) = t+ =,8π t = t = t =, 4s 6.,8 Έτσι t =, π +, 4 t =, 48s π ii. υ =± ω y y =± y y Επειδή χάνει επαφή όταν βρίσκεται σε θέση µε y< και κινείται προς τη Θ.Ι. η ταχύτητα είναι θετική. υ = π, π,, =. υ = =,7 m/ s (µονάδες ) ( ) ( ) γ 4π 4π,4 π = ω. y =. y =.(,) / γ = m s (µονάδες ) 9

13 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) m, iii. Η νέα περίοδος θα είναι: = π = π =,487s (µονάδες ) K 5 Η ταχύτητα υ = =,7 m/ s όταν χάσει επαφή η σφαίρα είναι η ταχύτητα σε µία τυχαία θέση για την Γ.Α.Τ. που εκτελεί ο Ηλεκτροµαγνήτης µε το ίσκο Η Θέση Β είναι η Νέα θέση Ισορροπίας (Βλέπε αρχικό σχήµα) και έχουµε:: mg.,. Σ F = F = B K. = m. g = = =,6m K 5 Στη Θέση Γ (Αρχική Θέση Ισορροπίας) έχουµε : ( + ) m m. g,5. Σ F = F = B+ B K. = ( m+ m). g = = =,m K 5 Άρα η αποµάκρυνση του συστήµατος από τη Νέα Θέση Ισορροπίας θα έχει µέτρο ( ) y y m και θα το σύστηµα θα εκτελεί ταλαντώσεις µε νέο = =,6 πλάτος y ( ) π 4π υ = y y ( ) = y, 6, 8 = y, 6. y =,47m (,487) ΘΕΜΑ 5 Α) Συµβολή κυµάτων ονοµάζουµε τη συνάντηση δύο ή περισσοτέρων κυµάτων σε ένα σηµείο ή περιοχή του χώρου. Β) =, s R= 8m ΑΒ= 6 m, Γ =,m Γ α) Τα αντιδιαµετρικά κεριά λειτουργούν σαν σύγχρονες πηγές κυµάτων και έτσι στην επιφάνεια της πισίνας παρατηρούνται Α Β φαινόµενα συµβολής. Στην θέση Α έχουµε ότι η διαφορά δρόµου είναι = (Το σηµείο Α βρίσκεται στη µεσοκάθετο) και έτσι σε αυτή τη θέση έχουµε ενίσχυση(δηµιουργική συµβολή γιατί τα κύµατα φθάνουν σε φάση) και το κερί που βρίσκεται σε αυτή τη θέση εκτελεί ταλάντωση µε µέγιστο πλάτος, y o (µονάδες 4)

14 η Ολυµπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Α Φάση) β) Υπάρχουν σηµεία όπου τα κύµατα έχουν διαφορά δρόµου λ (κ ), = + όπου κ:,,,. έτσι φτάνουν µε διαφορά φάσης ( κ + ) και στα σηµεία αυτά είναι σε αντίθεση φάσης. Άρα το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης είναι η διαφορά των δύο πλατών των δύο κυµάτων που συµβάλουν. Επειδή τα σηµεία αυτά δεν ισαπέχουν από τις πηγές τα πλάτη των κυµάτων δεν είναι ίσα. Τα κύµατα είναι κυκλικά και το πλάτος ελαττώνεται µε την απόσταση από την πηγή. Άρα το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης, που είναι ίσο µε τη διαφορά των πλατών, δεν είναι µηδέν. π γ) Α ϑ Γ ϕ ϑ Β,6 ηµϕ = ϕ = 4, 8 ϑ = 9 ϕ ϑ = 8,4 Η γωνιά Α Β=9 γιατί είναι εγγεγραµµένη του κύκλου και βαίνει σε διάµετρο του. ϑ ϑ = = 4,7 Επειδή είναι εγγεγραµµένη µε την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία που βαίνουν στο ίδιο τόξο Β ηµϑ = R Β = 6. ηµϑ =, 4m = Α = 6συνϑ =,m, 7m λ λ, 4 = =,7m λ =,4 m, υ = = υ =,85 m/ s 4 (µονάδες 7)