ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Pappas Ath...page 1

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΤΗΣΤΕ ΣΤΟΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΥΝ ΕΣΜΟ Pappas Ath...page 2

3 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσει f, g είναι παραγωγίσιµε, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x). Μονάδε 8 β) Να γράψετε στο τετράδιό σα τι παραγώγου των παρακάτω συναρτήσεων: f(x) cf(x), f(x)g(x), µε g(x) 0, g(x) όπου c πραγµατική σταθερά. Μονάδε 4,5 Β. α) Να γράψετε στο τετράδιό σα τα γράµµατα τη στήλη Α και δίπλα τον αριθµό τη στήλη Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β συνάρτηση πρώτη παράγωγο α. x ηµx β. x+συνx 2. 3x 2-8x γ. xηµx 3. 2x+3 δ. x 3-4x 2 4. ηµx-xσυνx Pappas Ath...page 3

4 5. 2x 6. 3x 2-4x 7. ηµx+xσυνx Μονάδε 8 β) Να γράψετε στο τετράδιό σα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η πρώτη παράγωγο τη συνάρτηση x e f(x) =, x 0 είναι: x Α: e x x e x xe, B:, Γ: 2 x x e x x x e xe x e :, Ε: 2 x x e x x + 2 x e x Μονάδε 4,5 ΘΕΜΑ 2ο A. Να γράψετε στο τετράδιό σα τον πίνακα των τιµών τη µεταβλητή Χ σωστά συµπληρωµένο. Τιµέ Μεταβλητή Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f i % N i x i ν i x 2 2 x ν i i i ΣΥΝΟΛΟ ν= Μονάδε 16, Pappas Ath...page 4

5 B. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. Μονάδε 4 Γ. Να δείξετε ότι η διακύµανση είναι s 2 =0,49. 2 k x ν 1 k i i 2 2 i 1 ίνεται ότι: s xi ν = = i ν i= 1 ν Μονάδε 5 ΘΕΜΑ 3ο Από 120 µαθητέ ενό Λυκείου, 24 µαθητέ συµµετέχουν στο διαγωνισµό τη Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία, 20 µαθητέ συµµετέχουν στο διαγωνισµό τη Ενωση Ελλήνων Φυσικών και 12 µαθητέ συµµετέχουν και στου δύο διαγωνισµού. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο µαθητή : Α. να συµµετέχει σ έναν τουλάχιστον από του δύο διαγωνισµού ; Mονάδε 8 Β. να συµµετέχει µόνο σ έναν από του δύο διαγωνισµού ; Mονάδε 8 Γ. να µη συµµετέχει σε κανέναν από του δύο διαγωνισµού ; Mονάδε 9 Pappas Ath...page 5

6 ΘΕΜΑ 4ο Στα σχολεία ενό ήµου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικό χρόνο υπηρεσία των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσία Σχετική Συχνότητα [ - ) f i % Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσία ; Μονάδε 5 Β. Με την προ πόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικό θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συµπληρώσει 35 χρόνια: α) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν µέσα στα επόµενα 12,5 χρόνια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σα. Μονάδε 10 β) πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν µέσα στα επόµενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθµό των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του ήµου να παραµένει ο ίδιο ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σα. Μονάδε 10 Pappas Ath...page 6

7 : : (6) 1 1. µ µ : () = () (). 8,5 2. µ µ µ µ µ, (=,, ) : ()... 1() 2 ()... () µµ 1 Pappas Ath...page 7

8 2 µ µ µ () + () < 1. () = () 2() = () µµ 3., () = µ: () = () ,5 µµ µµ µ, µ µ () = 1, () = () = Pappas Ath...page 8

9 3 () ( B A ) ( A B) f(x) = x+µx. A. f(x) + f (x) = 0. 8 µ f µ (0,1). 8 µ IR : f 2 f = Pappas Ath...page 9

10 4 3 µ 80 µ µ µ 4 [ ) F i , , , µ 8 µ µ µ 9 µ µ 80 µ µ µ 65 4 µ µ 55 µ Pappas Ath...page 10

11 5 4 µ µ,, 50% µ 12, 16% 10 µ µ µ µ µ µ µ 6, µ µ 6 µ 4.000, µ µ µ, µ, µ 5 µ µ (CV). 7 5 Pappas Ath...page 11

12 : f µ µ, : c f(x) c f(x), c µ µ 6,5 µµ f(x) g(x) fg(x) fg(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g (x) g (x) f(x) g(x) g (x) f(x) 2 g(x) x =x -1,, x>0 µ x = x x = µx, (g(x) 0) 6 1 Pappas Ath...page 12

13 2 1. µµ µµ µ, f 2 x ln 2, x > 0 1. f 1 x 1 2 µx 2. 33x, x 0 x µ3x µx xx 1 x x 2 5. xx x x µx 7, f(x)= (x 1) f() 27, µ 4 µ, µ 5 2 Pappas Ath...page 13

14 3 2 µ 20 µ µ ( C). µ µ µ µ 24,4 C, : µ µ 24 C 25 C µ µ x i µ v i µ µ 5 µ µ 24,5 C, µ µ 24 C 25 C To 80 µ 11 µ 26 µ 8 µ µ 14, 30% µ µ 17, 48 µ µ 20 15% µ 23 µ 10 3 Pappas Ath...page 14

15 4 µ µ µ 20, µ 80 µ 7 µ µµ, µ µ 8 4 µ 400 µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 5 : (-) µ µ 8 µ µ µ 7 4 Pappas Ath...page 15

16 : : (4) 1 A µ x 1,x 2,,x k µ µ µ, µ µ µ, k, µ µ µ µ k µ i, µ x i, i = 1,2,,k; 3 µ f i µ x i, i = 1,2,,k; : i) 0 f i 1 i = 1,2,,k 3 ii) f 1 + f f k = µ µ µ, µ : ( ) = () + (). 8 1 Pappas Ath...page 16

17 2 2. µ µ µ 5 µ µ : i) P() ii) (). 2 2 f(x) = 2x x 1. µ f. 4 lim f(x) x3. 4 f. 7 µ µ f y = 2x µ µ, : 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. 2 Pappas Ath...page 17

18 3 µ µ, µ µ 6, µ 6 µ µ 10%, µ µ 13 4, µ µ µ () + () 2( ). µ : f(x) = (x - P(AB)) 3 - (x - P(AB)) 3, x R. P(AB) P(AB). 5 f(x) µ P(A ) P(B) µ x µ, µ, f(p(a)) = f(p(b)). 7 3 Pappas Ath...page 18

19 : 1 1. µ µ µ ; 4 A2. µ f µ µ ; 4 3. f(x)=x f(x)= µ µ µ µ x 1, x 2,...,x k µ 1, 2,..., k µ µ x ; 4 1 Pappas Ath...page 19

20 2 2. µ µ µ x 1, x 2,...,x µ µ µ µ () w 1, w 2,...,w µ µ µµ µ... µ x = f(x)=x(2-x), R. µ µ f µ (0, f(0)) µ µ xx =1/2, : µ f µ (1, f(1)). 5 f Pappas Ath...page 20

21 3 3 µ, µ µ µ µ µµ µ µ 10 µ µ µ µ 12 µ 14. µ µ µ 5 µµ 7 µ µ 50 µ µ µ µ µ Pappas Ath...page 21

22 4 4 ={1, 2, 3, 6} µ µ µ k i) P(k)= k 1 ii) (k)= 2 1 k iii) P(k)= 1 2k 8 µ µ : 1, 1, 7, k, k, 3, 3, 3 k µ, µ P(k) = 1. 2k µ, µ, ={k : µ µ 0 =3} ={k : µ µ x = 2,5}. µ µ 8 P(A), P(B) P(). 9 4 Pappas Ath...page 22

23 : : (4) 1 f(x) = x f(x) = 1. 8 µ f µ µ ; 6 µ µ () µ 6, µµ µ µ µ µ µ (f(g(x))) = f (g(x)). g (x) f, g µ µ µ µ, =. µµ µ µ µ 5 1 Pappas Ath...page 23

24 2 2 55%, 40% 30% µ : x f(x) = x 2 1 µµ µ : R (-1,1) R- {-1,1} (1, + ) 5 µ lim x1 f(x)<0 x x 1 f(x) 7 6 µ µ f µ (0, f(0)) µ xx. 7 2 Pappas Ath...page 24

25 3 4 µ,, µ µ ( µ ) µ (µ ) µ µ µ µ µ µ µ 6 µ µ µ 5 µ 20% µ 5 µ, µ µ µ µ; 8 µ µ µ µ µ 6 ( µ) 1. µ (µµ, µ µµ). µ µ 3 Pappas Ath...page 25

26 : : (4) 1 µµ µ µ, : ( ) = 1 ( ) 9 µµ f µ µ x 0 µ, : lim f(x0 h0 h) f(h) h µ µ, h R, h 0 lim f(x0 h) f(x0) h0 h, h R, h 0 lim f(x0 h) f(x0) h0 h µ µ, h R, h 0 lim f(x0 h0 h) f(h) h, h R, h Pappas Ath...page 26

27 2 µµ µ : µ µ 5 µ 6 2 f(x) x 1. µ 5 µ µ f, x=3, µ h(x) =. f(x) 3 x 2 10 x 2, lim h(x) x µ 30 µ, µµ µ µ µ µ µ µ 5. 2 Pappas Ath...page 27

28 3, µµ µ, : (), P (B) () () PA µ µ µ 50% µ µ 65 Kg, 47,5% 65 Kg 75 Kg. µ µ, µ µ µ 6 µ µ 6 µ µ, 55 Kg 70 Kg. 6 µ µ µ 55 Kg 60 Kg, 27. µ µ 7 3 Pappas Ath...page 28

29 : : (4) 1 f(x) = c µ 0. 8 µ µ f µ x 0 µ 5 µµ µ x i µ µ µ µ 95% µ ( x s, x + s), x µ µ s µ i µ µ µ µ µ, f i µ x i. 6 1 Pappas Ath...page 29

30 2 µ µ µ µ µ µµ µµ µ µ, µ 2 µ 1 3 () 4 µ x 4x 3 f µ f(x). x 3 µ f. B. lim f(x). x Pappas Ath...page 30

31 3 3 µ 200 µ, 5 45 µ µ µ µ : µ. x i i µ. f i % i µ. F i % [5, 15) 60 [15, 25) 68 [25, 35) 180 [35, 45) 200 µ µ µ µ 10 µµ (x i, f i %) 5 µ µ x. 5 µ 25 µ f µ f(x) 2x x x P(A) P(B) µ µ µ µ x, f µ 3 Pappas Ath...page 31

32 4 P(A) 1 2 P() µ P(A), P(B) P(AB) = 3 2, : i. P(AB) ii. P(A-B) iii. P[(AB)] iv. P[(A-B) (-)]. 16 ( µ) 1. µ (µµ, µ µµ). µ µ µ µ µ µ µ 2. µµ µ, µ µ µ µ µ µ, µ 3. µ 4. µ µµ 5. : (3) µ µ 6. : µ K 4 Pappas Ath...page 32

33 : : (3) 1 µ µ µ, () (). 1 7 µ µ µ ; µ µ µ 6, µµ lim f(x) 1 x x 0 lim (f(x) g(x)) 12 x x 0 0 lim g(x) 2, x x f µ µ µ x 1 A, f(x)f(x 1 ) x µ x 1. (f(x)g(x)) = f(x)g(x) + g(x)f(x), f g µ 1 x µ x. x µµ µ µ () = 1 + (). µ µ µ Pappas Ath...page 33

34 2 2 f µ x 2 f(x). µ f(x) 1 f(x). e x e x 9 8 µ f µ (0, f(0)). 8 3 µ µ µ 25 µ µ 14, µ µ µ 10 µ µ µ 11. µ µ µ 15 µ 12 µ µ 25 µ 5000, µ (CV) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} µ µ f : IR IR µ 1 f(x) x3 kx2 4x 2, k 3 P(1) = P(3) = P(5) = 2P(2) = 4P(4) = 2P(6), : µ 2 Pappas Ath...page 34

35 3 µ P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6). 8 µ, : «µ» : «µ». 8 µ, : «f IR» µ (µµ, µ µµ). µ µ µ µ µ µ µ 2. µµ µ, µ µ µ µ µ µ, µ 3. µ 4. µ µµ 5. : (3) µ µ 6. : 10:00. K 3 Pappas Ath...page 35

36 : : (4) 1 : P(AB) = P(A) + P(B) P(AB). 10 ; 3 ; 4, f f(x)>0, f 2 f(x) f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) g(x) 2, f, g 2 1 Pappas Ath...page 36

37 2 P(A) > P(B) Bi B: i : / [ ) [4, 8) [8,12) [12,16) [16,20) x B Bi Bi B f B Bi B Bi F B Bi 10; Pappas Ath...page 37

38 3 3,, : (i), 8 7. (ii) P(B), P(AB) 1 5 k,,, 2 4 3x 15 k = lim. x5 x 2 6x 5 k. 5 P(B), P(AB) 8 : (1) 6 (2) f f(x), x(0, ). x f (1,1). 7 (x, y) f xx yy, x, Oy 3 Pappas Ath...page 38

39 = 4, 10 () x = 5 sbx B 2. y sby B 8 U 1. (, ). U U 2., U U., : (3) 6. : K 4 Pappas Ath...page 39

40 : : (4) 1 A.1. F(x), f(x) g(x) F(x) = f(x)+g(x). A.2. f, g, : F(x) = f(x) + g(x). 9 x, > 0, x < 0 ; 4 x,, x>0, (lnx)= x Pappas Ath...page 40

41 2, f i v i, F i, N i. 2 2, ()=(), ()=() f(x) = lnx - x 2, R. f. 3 f x, 5, (1,1) f y=3x-2. lim x2 (f(x) x 3 ) Pappas Ath...page 41

42 3 3o 50% ,5% (16,22) x 3s, x 2s, x s, x. _ x 20 s *, _ ( x s, x s) 95% 5 R, f(x)= 4 R 2 2 x (x 4) x 9s. 10 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},, A B1,2,3,4,5,6, A B1,3,4, A - B2,6 x 1 x / 2 x -1 (), (), (). 9, 3 3 Pappas Ath...page 42

43 4, 3 s 2, 3, 5,, = { / s 2 > 24} (, ) : (3) 6. : K 4 Pappas Ath...page 43

44 1o : : (4) A. f R. c (c f(x))=c f(x), x R. 10 B., ; 3 f ; 4, f, x 0 A, f(x) f(x 0 ) x x 0. 2 A,,, 2 1 Pappas Ath...page 44

45 2 1 1 x0 : 2 x x , : x i i : Pappas Ath...page 45

46 3 3o x (x+4) 2, x ,, 8,, ; 10 4 f(x) = -2x 2 +kx + 4 x + 10, x0. A (1,f(1)) xx, k=2 5 x =f(1) 3 Pappas Ath...page 46

47 4 2f(4) s=., 13, 8. (i) (10,16). 10 (ii), >0,, 10 ( ) 1. (, ). 2., : (3) 6. : K 4 Pappas Ath...page 47

48 : : (4) 1 A., : P() =1 (). 9 1 f x 0 A; 3 2 f ; 3,,, : (x) =x, x IR Pappas Ath...page 48

49 2 (CV) 2 2, : P() P(AB) P(). 2 2 f(x) = e x (x 2 +x+9),ir. f (2,e 2 ) y = e 2 x+3e 2, : =1 = 6. f o 0,7 0, Pappas Ath...page 49

50 3 0,6 : i.. ii : x i f i [ )... 0,1 [... 7 ) [ )... 0,3 [ ) /////////////////////// 1 4 f 4 2 f 2, : c 2. 10, 5 3 Pappas Ath...page 50

51 4 i. x. ii. s. 4 6 : k 2 ( x k i i) i1 s xii. i1 ( ) 1. (, ). 2., : (3) 6. : Pappas Ath...page 51

52 1o : : (4) A. ( ) = () (). 8 B. f x 0 ; 4 (), 3 1.,,,,, F i x i. 2 1 Pappas Ath...page 52

53 2 2. f, g, : fgx f (g(x)) g (x). 2 f f(x 0 )=0 x 0 (,), f(x)0 (,x 0 ) f(x)0 (x 0,), f (,) x=x 0 2 : f 1 (x)=x, f 2 (x)=lnx, x0 f 3 (x)= x, x0 f 4 (x)=x, x 4 2 f(x)=xe x +3, x f(x)=f(x)+e x 3 10 x f(x) e lim x0 x 2 x Pappas Ath...page 53

54 3o 3 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ( 1)=(0)=(1)=(2)=2(3)=2(4)=2(5). : A 2 2 1, 3, x x 3, B 2, x1, 2x x 2, 2x1 x, ( 1), (0), (1), (2), (3), (4), (5). 7 x AB={ 1,3}. x= 1 : 8 P(A) 5, 11 P(B) 7 11, P(A B) 3 11 ( ) () : : 12, 18, t 3, t 4,..., t 25 B: 16, 14, t 3, t 4,..., t 25. t 3 +t t 25 =345. x A x B x x 15. A B 7 3 Pappas Ath...page 54

55 2 s A 4, sa sb CV A, CV B 15 2 s B 10 ( ) 1. (,, ). 2., 3. 4., : (3) 7. : 10:30 K 4 Pappas Ath...page 55

56 : : (4) 1 A. f(x)=x f(x)= : i) () ii) (). 3 1.,, f i, i=1,2,,, x i i, : i =360f i, i=1,2,, 2 1 Pappas Ath...page 56

57 2 f, g g(x)0, f(x) g(x) f (x) g(x) f(x) g g(x) 2 (x). 2 A f f(x)>0, f 2 2. : f 1 (x)=e x f 2 (x)= x 1 x x0. f 3 (x)=x f 4 (x)=c x x c 4 2 x f(x)=. 2 x x1 f(x). lim f(x) 1. x 5 8 f(x) 12 2 Pappas Ath...page 57

58 3 3o = {1, 2, 3, 4, 5}., : = {x/ 0 n(x1) < n3}, B = {x/ (x 2 5x)(x1)= 6(x1)}. () (). 8 () = 4 1, (). 7 () = 4 1 () = 8 1, (X), = 10 4 x 1, x 2,..., x 11 : 7, 5,, 2, 5,, 8, 6,, 5, 3,,,, x = 6, = 6 R = 8,,, = ,,,, 58 s x = Pappas Ath...page 58

59 4 y 1, y 2,,y 11 x 1,x 2,, x 11 c 1 c 2. A y=9 s y =2s x, c 1 c 2. 9 ( ) 1. (,, ). 2., 3. 4., : (3) 7. : 10:00 K 4 Pappas Ath...page 59

60 1o : : (5) A. f(x)=c ( x ) 0, (c)= 0. 8 B. _ X, x 0, _ x 0; 7,,, ()=()+() () 2 t 1, t 2,, t Pappas Ath...page 60

61 2 x>0, 1 ( x). 2 x 2 x limxx. xx o o 2, 2 2 f(x)= x 1, x x e lim x1 e f(x). x 1 2 x 7 e x f(x)=2x. f(x) Pappas Ath...page 61

62 3o 3 5 ( ) : , ; ( ). 5 S A S B , Pappas Ath...page 62

63 4 4 50%, 30%,, ; 7 : «,». 1 7 ( ) f(x)=x x 2 + P(B) x x f(x) 9 ( ) 1. (, ). 2., 4 5 Pappas Ath...page 63

64 1o : : (5) A. f, g (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). 9 B. t 1, t 2,, t X. 3 ; 3,, 10% Pappas Ath...page 64

65 2 f x 0 1, lim f(x) 1, lim xxo f(x) 1 xx o ( ). 2 f f(x) < 0, f , : [ ) x i i f i ,, Pappas Ath...page 65

66 3 f 1 = f 2 = 10 1, f3 = 10 5, f4 = , : i. 5 ii iii o p 0 < p < 1. (), () () {p 1, p, p +1, p 2, p 3 }. () = p 2, () = p () = p 3. () = p 3 p 2 + p. ( ) > ( ) Pappas Ath...page 66

67 m ( 1). x. 1 f(x) = 100x 2 1 x m. 7 f(100), f(101), f(102), f(103) f(104). 5 CV f(100), f(101), f(102), f(103) f(104) CV c, c 2. o c, CV = 2CV Pappas Ath...page 67

68 1 ( ) 18 MA 2009 : : (4) 1o A. ()=()+() 10 B. x 1,x 2,,x X (), f i x i, i=1,2,, 5, f, g f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) 2 A,, ABA B Pappas Ath...page 68

69 2 f(x)=x ( x) x x i, i=1,2,3,4 i, i=1,2,3,4. 2 x 2 =3 x =4. x i 2 =7. i ; ,9. 9 X 4,9 2, Pappas Ath...page 69

70 3o 3 f(x)=x 3 6x 2 +x7,, 2f(x) f(x) 153x 2, x =9 7 f(x) lim x 1 2 x 1 8 f, y=3x 10 4 f(x)=lnx 2 x , x>0 f f 6 f 6 f(2), f(4), f(8), f(3) f(5) R, R=3+ ln 4 1 = ln Pappas Ath...page 70

71 4 ={1,2,3,,100} A, ={ R+<2} 6 1. (, ). 2., 3. 4., : (3) 7. : K 4 4 Pappas Ath...page 71

72 1o : : (5) A., ()=1() 9 B. f f x 1 A; 3 t 1, t 2,..., t X, x 3, f x 0, lim f(x) x 1 lim f(x) xx 0 1 x Pappas Ath...page 72

73 2 f(x) = e x, x, f(x) = e x 2 50% 50% 2 s R, s6r 2 O 2 2 f(x) = x 3 8, limf(x) 7, x1 =1 5 i. lim x2 f(x) x2 10 ii. f x 0 = Pappas Ath...page 73

74 3 3o x 1, x 2, x 3, x 4 =72 () 1, 2, 3, 4, 4 = 3 3. x 1 x i, i=1,2,3,4 10 x 3 x 4 8 x 1 <7, x 2 =7, x 3 = 3, x 4 >3. 10 R+72 x=52 R, x,, 7 4 >2 f(x) 3 x x 4 2, x(0,1), A. f f 8 f f(x) 3 2 x(0,1) Pappas Ath...page 74

75 4 B. = {1, 2,..., }, 3 P(A) ()= P(A) () () () = () = 6 1, 5 1. (, ). 2., 3. 4., 4 5 Pappas Ath...page 75

76 1 ( ) 17 MA 2010 : : (5) 1. t 1,t 2,...,t, x t 1 x, t 2 x,..., t x 7 2. x 1,x 2,,x X w 1,w 2,...,w (), ,,,, 1 5 Pappas Ath...page 76

77 2 ) f, g x 0, lim (f(x) g(x)) limf(x) limg(x) x x x x x x ) x>0 1 x x B ) x=f(t), t 0 (t 0 )=f(t 0 ) ) f, x 1, x 2 x 1 <x 2 f(x 1 )<f(x 2 ) ), 2 f (x) 2 x x 1 1, x f(x) 1 lim x 1 x f x 0 =0 10 B3. xx Pappas Ath...page 77

78 3,, 160,, 5, : x i [0 -...) [ ) 6 40 [ ) [ ) [ ) c , x s 8 i , : «7 14». 6 s 2 1 k i1 x 2 i i k i1 2 x ii 3 5 Pappas Ath...page 78

79 4, (), () f(x) ln x P(A) x P(A) P(B), x>p() 1. f f 5 x o f(x o )=0, : ()= ()= : 5 P(A B), 6 3., 5 4., Pappas Ath...page 79

80 : : (4) 1. f cr, cf x = cf x, x 9 2. f ; 3 3. ; 3 4.,,,, ) f, g, f g ) lim (x) = x xx 0 0 ) ) 1 4 Pappas Ath...page 80

81 2 ) () = { 1, 2,..., }, () = ( 1 )+ ( 2 ) ( ) B : [14, 16) , : 1. [ - ) x i i f i f i % B x 2 4 Pappas Ath...page 81

82 = { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 3 } = { 2, 4 } 1 ( ) = ( ) = 4 21, : 1. ( ) = () ( ) = () 6 2. = B 5 t 1,t 2,...,t, s x f (t) 1 300s 2 t x 3, t R s 0 1. f Pappas Ath...page 82

83 4 2. f t = x 6 3. f(0)=1, CV 8 4. f(t 1 ), f(t 2 ),..., f(t ) (, ). 2., 3. 4., : (3) 8. : 9:30 K 4 4 Pappas Ath...page 83

84 1 ( ) 14 MA 2011 : : (5) 1. : ( )=() (). 7 2., ; 4 3. f i x i 4 4.,,,,,, ) 2 ), R6x Pappas Ath...page 84

85 2 ) (f(g(x)))=f(g(x)) g(x) 2 ) 2 ), 10%. 2, 1 P(M)=, P(A)= P(K)= 5, 4 () 64<()<72, 1. ()= , Pappas Ath...page 85

86 3,, f i % : (8, 0) (10, 10) (12, 20) (14, y ) E(16, y ) (18, 10) (20, 0) y, y 1. y y, f i % f i % Pappas Ath...page 86

87 4 4 4 f (x) e 1 2 xx x 10 5, x 1. f 8 2., (), () f (), ( ), (), ( ). 3. h (x) e 1 3x x x 3, x ) f(x)=h(x). 8 3 ) A x 1 < x 2 < x 3 v i =2x i +1, i=1,2,3 x i Pappas Ath...page 87

88 : : (5) 1. : P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) 7 2. ={ 1, 2,..., } 4 3. f x 0 ; 4 4.,,,, 1 ) x>0, ( x) = x ) f f ( x) >0, f ) i x i. 1 5 Pappas Ath...page 89

89 2 ) 95% (x s, x + s), x s ) (),, 10 B ( o C) 24 (t)=t 4 t +, t(0,24] 1. t(0,4] t(4,24] 7 2., 24 o -1 C. 6 B3. =3 o 0 C (t) lim t 4 2 t , 2 5 Pappas Ath...page 90

90 3 () x i i f i % i F i % ixi [25, ) x [, ) x+20 [, ) 2x [, ) x 2 6x f i % i=1,2,3, =50, c= A, x 6 4.,,, 40 ; 5,,, : 1, Pappas Ath...page 91

91 4 3 1, 0 1, = , 50 3 ),, ; 7 ) 300, 6 3.,,, Pappas Ath...page 92