ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε τις διαφορές t x, t x,..., t v x. Να αποδείξετε ότι ο αριθµητικός µέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος µε µηδέν. Μονάδες 7 Α. Αν x, x,, x ν είναι οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X ενός δείγµατος µεγέθους ν και w, w,..., w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας), να ορίσετε το σταθµικό µέσο της µεταβλητής Χ. Μονάδες 4 Α3. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης. Να δώσετε τους ορισµούς του βέβαιου ενδεχοµένου και του αδύνατου ενδεχοµένου. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο x 0 όρια πραγµατικούς αριθµούς, τότε lim( f ( x) g( x)) lim f( x) limg( x) x x0 x x0 x x0 β) Για κάθε x > 0 ισχύει ( x ). x γ) Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x f (t), τη χρονική στιγµή t 0 είναι υ(t 0 ) f (t 0 ). δ) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία x, x µε x < x ισχύει f (x ) < f (x ). ε) Η διάµεσος είναι ένα µέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. Μονάδες 0 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

2 ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνάρτηση f( x) x x+, x f( x) Β. Να υπολογίσετε το lim. x x Μονάδες 0 Β. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο της µε τετµηµένη x 0 0. Μονάδες 0 B3. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηµατίζει η παραπάνω εφαπτοµένη µε τον άξονα x x. Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Οι τιµές της απώλειας βάρους, σε κιλά, 60 ατόµων, τα οποία ακολούθησαν ένα πρόγραµµα αδυνατίσµατος, έχουν οµαδοποιηθεί σε κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα: ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΕ ΚΙΛΑ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ x i ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i [0...)... 0 [......) 6 40 [......)... 4 [......) [......)... ΣΥΝΟΛΟ 60 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c κάθε κλάσης είναι ίσο µε 4. Μονάδες 6 Γ. Αφού µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα σωστά συµπληρωµένο, να υπολογίσετε τη µέση τιµή x και την τυπική απόκλιση s. Μονάδες 8 Γ3. Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. Μονάδες Γ4. Αν κάθε άτοµο έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α: «η απώλεια βάρους ενός ατόµου που επιλέχθηκε τυχαία να είναι από 7 µέχρι και 4 κιλά». Μονάδες 6 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

3 ίνεται ο τύπος ν k xi i ν i s k i xiν i ν ΘΕΜΑ Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και η συνάρτηση f( x) ln( x P( A)) ( x P( A)) + P( B), x> P( A). Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σηµείο x 0 µε τιµή f (x 0 ) 0, να 3 αποδείξετε ότι: PA ( ) και PB ( ) 3 Μονάδες Λαµβάνοντας υπόψη το ερώτηµα και επιπλέον ότι PA ( B), να βρείτε την 6 πιθανότητα: 3. να µην πραγµατοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόµενα Α, Β. Μονάδες 4. να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα ενδεχόµενα Α, Β. Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Ο ζητούµενος αριθµητικός µέσος είναι: ( t x) + ( t x) +... ( t ) (... ) ν x t+ t + + tv ( vx) t + t +... t v ν v v Α. Θεωρία σελίδα 86, 87, σχολικό βιβλίο. x x x 0. Α3. Θεωρία σελ. 40, σχολικό βιβλίο. Βέβαιο είναι το ενδεχόµενο που πραγµατοποιείται πάντα και τέτοιο είναι το σύνολο Ω. Αδύνατο ενδεχόµενο είναι το ενδεχόµενο που δεν πραγµατοποιείται ποτέ και τέτοιο είναι το κενό σύνολο. Α4. α β γ δ ε Σ Λ Σ Λ Λ ΘΕΜΑ Β Β. Για x είναι: f x x x+ x x+ x x+ x x x x ( x x+ )( x x+ + ) ( x x+ ) ( x )( x x+ + ) ( x )( x x+ + ) ( x x) x( x ) x ( x )( x x+ + ) ( x )( x x+ + ) x x+ + f( x) x Άρα lim lim. x x x x x+ + ( ) ( ) B. Είναι x f ( x) ( x x+ ) ( x x+ ) (x ) x x+ x x+ x x+ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο µε τετµηµένη x 0 0 είναι: 0 f (0) Β3. Αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η παραπάνω εφαπτοµένη µε τον άξονα x x τότε 3π είναι: εφω f (0), και επειδή 0 ω < π, προκύπτει ω. 4 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4

5 ΘΕΜΑ Γ Γ. Αν το πλάτος κάθε κλάσης είναι c, τότε οι δύο πρώτες κλάσεις είναι [0, c) και [c, c). Αφού το κέντρο της ης c+ c κλάσης δίνεται ότι είναι 6, προκύπτει 6 c 4. Γ. ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΕ ΚΙΛΑ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Χ i ν i [0, 4) 0 [4, 8) 6 40 [8, ) 0 4 [, 6) 4 30 [6, 0) 8 ΣΥΝΟΛΟ 60 ν ixi 600 ι x ( ) 0 κιλά s x x ν i( i ) 0( 0) + 40(6 0) + 4(0 0) + 30(4 0) + (8 0) 60 i Άρα s κιλά. 60 Γ3. Είναι s CV 0% >0%. Άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. x 0 Γ4. N( A) ν + ν3 + ν PA ( ). N( Ω) Παρατήρηση: Για τον υπολογισµό της τυπικής απόκλισης s στο Γ ερώτηµα θα µπορούσε εναλλακτικά να χρησιµοποιηθεί και ο τύπος που δίνεται ως εξής: xv s x v ( ) (0000) ( x) 00. Άρα s κιλά. i i i i i 60 i Τεχνική Επεξεργασία: Keystone

6 ΘΕΜΑ. ( x P A ) ( ) f ( x) ( x P( A) x P( A) x P( A) ( x+ P( A)) ( + x P( A)). x P( A) Είναι f ( x) 0 x P( A) + ή x P( A). Είναι x > P(A) διότι Ρ(Α) + > Ρ(Α) > 0 που ισχύει, ενώ x < P(A) διότι Ρ(Α) < Ρ(Α) < 0, άρα η x απορρίπτεται. Για το πρόσηµο της f ( x) έχουµε: α) x > P(A) άρα x P(A) > 0 β) x > P(A) άρα x P(A) > 0 και x P(A) + > > 0. γ) Έτσι f ( x) > 0 x+ P( A) > 0 x< + P( A) και f ( x) < 0 x + PA ( ) < 0 x> + PA ( ). Έτσι ο πίνακας µεταβολών για την f είναι: x f(x) f(x) P( Α) + +P( Α) - + Εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (Ρ(Α), + Ρ(Α)] και γνησίως φθίνουσα στο [ + P(A), + ). Η f παρουσιάζει µέγιστο στο x + Ρ(Α) το f ( + P( A) ) ln( + P( A) P( A) ) ( + P( A) P( A) ) + P( B) ln + PB ( ) PB ( ).. Αφού η f παρουσιάζει ακρότατο στο σηµείο x 0 /3, από θα είναι: + Ρ(Α) /3 Ρ(Α) /3 Ρ(Α) /3. Επίσης αφού f (x 0 ) 0 είναι λόγω του f( + P( A)) 0 P( B) 0 P( B). 3. Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: PA ( B ) PA ( B). Όµως PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) άρα PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) Άρα PA ( B ) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: [ ] Άρα P[ A B B A ] P ( A B) ( B A) P( A) + P( B) P( A B). ( ) ( ) Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6