ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. α = 1 δ. im( f (x) x ) = im - 2βx x = - 4β 8 = 4α - 32β =

Transcript

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 005 ΘΕΜΑ ο Α.. Θεωρία s s Α.. CV =, αν > 0, ενώ CV =, αν < 0. - Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > 0, άρα A f = (0, + ). β. f () = (α n - β ) = - β, > 0. γ. Α (, ) C f f () = α. ln - β. = - β = β = -. Η εφαπτομένη της C f στο Α (, ) είναι η y = -, άρα f () = α - β = α + = α =. α = α α δ. im( f () ) = im - β = - 4β 8 = 4α - β = 6 β = - α ΘΕΜΑ ο α. Το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 0, άρα = 0. Το 8,5% των παρατηρήσεων 4% 4% βρίσκεται στο διάστημα (6, ), άρα s =. β. Στο διάστημα ( - s, + s ) βρίσκεται το 68%,5%,5% 0,5%,5%,5% των παρατηρήσεων. Στο διάστημα ( - s, + s ) βρίσκεται το 95% των παρατηρήσεων. Στο διάστημα ( - s, + s ) βρίσκεται το 99,7% των παρατηρήσεων. Άρα α =. γ. R 6s = 6. = f () = R ( + 4) + 9s = f () = - 4 f () = 0-4 = 0 = 4 = - + f () - + f () f min = f () = = -6. 0,5%

2 ΘΕΜΑ 4 ο α. A = (A B) (A - B) = {,,, 4, 6} N(A) 5 P(A) = = = 0,5 N(Ω) 0 B = (A B) - (A - B) = {,,, 5} N(B) 4 P(B) = = = 0,4 N(Ω) 0 + Πρέπει ( - ) ( - ) Ω, άρα - > = ή =. άρα Γ = {, } N(Γ) P(Γ) = = = 0, N(Ω) 0 N(B Γ) β. Είναι Β Γ = {} και P( B Γ) = = = 0, N(Ω) 0 Ρ(Β - Γ) = Ρ(Β) - Ρ(Β Γ) = 0,4-0, = 0, γ. Ρ((Β - Γ) (Γ - Β)) = Ρ(Β) + Ρ(Γ) -. Ρ(Β Γ) = 0,4 + 0, - 0, = 0,4 λ + λ + 5λ 9λ δ. = = = λ (λ - λ) + (λ - λ) + (5λ - λ) 4λ λ 8λ s = = = λ Ω 8λ s > 4 > 4 8λ > 7 λ > 9 λ > λ>0 άρα Δ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} και Ν(Α) 7 Ρ(Α) = = = 0,7. Ν(Ω) 0

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 006 ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία Β.. Θεωρία,. Θεωρία Γ. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΛΑΘΟΣ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ. ΘΕΜΑ ο α. Η εφαπτομένη της C f στο Α (, e ) είναι y = -e + e, τότε f () = e και f () = -e. f () = e e (α. + β. + 9) = e 4α + β + 9 = α + β = -4 () f () = [e (α + β+ 9)] = (e ). (α + β+ 9) + e. (α + β+ 9) = e (α + β+ 9) + e (α + β) = e (α + β +α + β + 9) f () = -e e (α. + β. +α. + β + 9) = -e 8α + β = -0 () Από τις () και () παίρνουμε α = και β = -6. β. Για α = και β = - 6 είναι : f () = e ( ) και f () = e ( ) f () = 0 e ( ) = = 0 = ή = - + f () f () τ. μέγιστο τ. ελάχιστο τ. μέγιστο f () = e ( ) = 4e τ. ελάχιστο f () = e ( ) = 0 ΘΕΜΑ ο α. Ονομάζουμε : Α : «Ο πελάτης έχει πάρει στεγαστικό δάνειο» Β : «Ο πελάτης έχει πάρει καταναλωτικό δάνειο» Είναι P ((A - B) (B - A)) = 0,7 και P ((A B) ) = 0, P ((A B) ) = 0, - P (A B) = 0, P (A B) = 0,9 () P ((A - B) (B - A)) = 0,7 P (A) + P(B) - P(A B) = 0,7 P (A) + P(B) - P(A B) - P(A B) = 0,7 P(A B) - P(A B) = 0,7 0,9 - P(A B) = 0,7 P(A B) = 0, () Άρα A B, δηλαδή τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β. Α - Β : «Ο πελάτης έχει πάρει μόνο στεγαστικό δάνειο» Β - Α : «Ο πελάτης έχει πάρει μόνο καταναλωτικό δάνειο» Είναι P (A - B) = 0,6. P ((A - B) (B - A)) = P (A - B) + P (B - A) 0,7 = 0,6 + P (B - A)) P (B - A) = 0, () P (B - A) = P (B) - P (A B) 0, = P (B) - 0, P (B) = 0, Άρα i. P (B) = 0, και ii. P (B - A) = 0, ()

4 ΘΕΜΑ 4 ο α. Η η κλάση είναι [7, 7 + c) και η 4 η κλάση είναι [7 + c, 7 + c). Για την τέταρτη κλάση έχουμε : 7 + c c 4 + c = 0 = 4 + c = 0 c = 4 β. Αν f = τότε f 4 =. f + f + f + f 4 = 0, + + 0, + = = 0,6 = 0, Άρα f = 0, και f 4 = 0,4. Απουσίες i f i i f i [, 5) 4 0, 0,4 [5, 7) 6 0,, [7, 9) 8 0,,4 [9, ) 0 0,4 4 Σύνολα - 8 γ. i. = ii f = 8 ii. α τρόπος Απουσίες i f i i f i i f i [, 5) 4 0, 0,4,6 [5, 7) 6 0,, 7, [7, 9) 8 0,,4 9, [9, ) 0 0, Σύνολα v v s = v- s = - s = - i i i i i = i = vi i i i v i = v v i = v i i i = s = f - s = 68-8 = = 4, άρα s = s = 4 = β τρόπος Απουσίες i f i i f i i - ( i - ) ( i - ) f i [, 5) 4 0, 0,4-4 6,6 [5, 7) 6 0,, - 4 0,8 [7, 9) 8 0,, [9, ) 0 0,4 4 4,6 Σύνολα ( - ) v s v = s = ( - ) s = ( - ) f s = 4 i i i = i i i i v i = v i = Άρα s = s = 4 =

5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία Β. α. Θεωρία β. i), ii) 0. Γ.. α. ΣΩΣΤΟ β. ΣΩΣΤΟ γ. ΣΩΣΤΟ Γ.. f () = e, f () = -, f () = συν, f 4 () = 0. ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει - + 0, (ισχύει για κάθε IR, διότι Δ = -8 < 0). Άρα ΙR. - β. im f () = im = = (-) - (-) + () ( - + ) - ( - + ) ( - + ) ( - + ) γ. f () = = = - ( - + ) f () = 0 = 0 - = 0 = = ± f () f () τ. ελ. τ. μ. H f είναι γν. φθίνουσα στα (-, -] και [, + ), ενώ είναι γν. αύξουσα στο [-, ]. - τοπ. ελάχιστο f (-) = = - και (-) - (-) + τοπ. μέγιστο f () = = - + ΘΕΜΑ ο α. 0 ln( - ) < ln ln ln( - ) < ln και επειδή η συνάρτηση g, με g () = ln είναι γνησίως αύξουσα - < < 4, άρα Α = {, } ( - 5). ( - ) = -6. ( - ) ( - 5). ( - ) + 6. ( - ) = 0 ( - ). ( ) = 0 - = 0 ή = 0 = ή = ή =, άρα Β = {,, } Είναι Α Β άρα Α - Β = και Ρ (Α - Β) = 0 Είναι Α = {, 4, 5} άρα Β Α = Ω και Ρ (Β Α ) = β. Είναι Α = {, 4, 5}, Β = {4, 5}, άρα Α Β = Α και Ρ (Α Β ) = Ρ (Α ) = - Ρ (Α) = - 4 P (A Β ) = 4 γ. Είναι Α Χ = Β, άρα Χ = {} = Χ ή Χ = {, } = Χ ή Χ = {, } = Χ ή Χ = {,, } = Β Είναι Χ Χ, Χ Χ και Χ Β, άρα min P(X) = P (X ) = P () = P (B - Α) = 8

6 Επίσης Χ Β, Χ Β και Χ Β, άρα ma P(X) = P (B) = P (A) + P (B - Α) = + = 4 8 ΘΕΜΑ 4 ο α. Αφού ν = και δ = 6, τότε αν γράψουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά, 5 παρατηρήσεις είναι μικρότερες ή ίσες του 6. Έχουμε ότι οι παρατηρήσεις,, 5, 5, 5 είναι μικρότερες του 6, παρατηρήσεις α, β, γ είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 6. Επομένως 6 α < β < γ. R = 8 άρα* γ - = 8 γ = 0 *Η μεγαλύτερη τιμή είναι το γ και όχι το 8 διότι αν ήταν το 8, τότε R = 6. t γ =0 4 + α + β + γ i = 6 = 4 + α + β + 0 = 66 v α = 5 - β () γ =0 () α + β + γ = 7 (5 - β) + β + 00 = 7 5-0β + β + β = 0 β - 0β + 08 = 0 β - 5β + 54 = 0 β = 9 ή β = 6 (απορρίπτεται διότι 6 α < β < γ = 0) β = 9 Άρα β = 9 και από την () α = 6 β. Για α = 6, β = 9 και γ = 0 οι παρατηρήσεις είναι :,, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 0 (-6) + (-6) + (5-6) + (6-6) + (7-6) + (8-6) + (9-6) + (0-6) s = = =, άρα s = s 9 CV = = CV = = > άρα CV >. 0 Επομένως το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. γ. Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου έχουμε = 6 y = c + c 9 = 6c + c () y = 9 8 άρα οι c = s y = s s 0 s = c s s = c s y () 9 = + c c = -. c =

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 008 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ o A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Β. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Γ. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ ο α. α 4 = f = f f 4 = 0, ή f 4 = 0 Κλάσεις i f i i f i [0, 40) 0 f 0f [40, 60) 50 f 50f [60, 80) 70 f 70f [80, 00) 90 0, 7 ΣΥΝΟΛΑ f + 70f f = f + f + 0, = f = 0,7 - f () β. i. i () = ii f 70 = f + 70f 70 = f + 70(0,7 - f ) 70 = f f 60f = 6 f = 0, ή f = f = 0 f = 0, () f = 0,7-0, f = 0,5 ή f = 0 Κλάσεις i v i f i [0, 40) 0 5 0, [40, 60) , [60, 80) ,5 [80, 00) , ΣΥΝΟΛΑ - 50 ii. To πλήθος των μαθητών με βαθμολογία τουλάχιστον 60, είναι ν + ν 4 = = 40 μαθητές. iii. Το ποσοστό των μαθητών με βαθμολογία από 50 ως 70, είναι f % f% 0% 50% 60% + = + = = 0%. 5

8 ΘΕΜΑ ο α. Είναι Α Β Α Α Β άρα Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β) και επειδή οι πιθανότητες είναι ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους, τότε Ρ (Α Β) < Ρ (Α) < Ρ (Α Β) (). Επίσης 0 < p <, άρα p - < 0 και p + >. Επομένως τα p - και p + δεν είναι πιθανότητες () p>0 p>0 0 < p < 0 < p < p 0 < p < p Επομένως p < p < p (). Από (), () και () συμπεραίνουμε ότι : Ρ (Α Β) = p, Ρ (Α) = p και Ρ (Α Β) = p. β. Ρ (Α Β) = Ρ (Α) + P (B) - Ρ (Α Β) P (B) = Ρ (Α Β) - Ρ (Α) + Ρ (Α Β) P (B) = p - p + p γ. Ρ (Β - A) > Ρ (Α - B) P (B) - Ρ (Α Β) > Ρ (Α) - Ρ (Α Β) P (B) > Ρ (Α) p - p + p > p p - p + p > 0 p. (p - p + ) > 0 p. (p - ) > 0 που ισχύει διότι p > 0 και p. Επομένως Ρ (Β - A) > Ρ (Α - B). ΘΕΜΑ 4 ο y y α. + y = 00 y = 00 - y = Εμβαδόν περιφραγμένης περιοχής =. y f () =. (00 - ) > 0 f () = 00 -, 0 < < 00. y > > > 0 < 00

9 β. f () = f () = f () Η f παρουσιάζει μέγιστο για = 00 την τιμή f (00) = = = 5000 m. γ. f (00) = = 0 f (0) = 00-0 = - f (0) = 00-0 = - f (0) = 00-0 = - f (04) = = (-) + (-) + (-) + (-4) -0 = = = δ. Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου έχουμε : = + c = - + c = c - και s = s. s s s s CV = CV = = c - - = c - = c - = ή c - = - c - c = ή c =. Σημείωση : Θα μπορούσε κάποιος να είχε υπολογίσει την τυπική απόκλιση. (0+) + (-+) + (-+) + (-+) + (-4+) 0 s = = = 5 5 s = s = = s s s CV = CV = = c - - = c - = c - = ή c - = - c - c = ή c =.