ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ευτέρα, 8 Μα ου 009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 0 B. Αν x,x,,xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν (κ ν), να ορίσετε τη σχετική συχνότητα fi της τιμής xi, i=,,,κ. Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι (f(x) g(x)) =f (x) g (x)+f(x) g(x) Μονάδες β) Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει ότι Α Β=Α Β Μονάδες γ) Για τη συνάρτηση f(x)=ημx ισχύει ότι (ημx) = συνx Μονάδες δ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Μονάδες ε) Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα μέτρο θέσης. Μονάδες Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.50. Β. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.65. Γ. α Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ

2 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ΘΕΜΑ o Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι τιμές xi, i=,,3, μιας μεταβλητής Χ με αντίστοιχες συχνότητες νi, i=,,3,. Η συχνότητα ν που αντιστοιχεί στην τιμή x=3 είναι άγνωστη. Δίνεται ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι ίση με x=. xi νi 6 3 ; α. Να αποδείξετε ότι ν=7. Μονάδες 9 β. Να αποδείξετε ότι η διακύμανση των παρατηρήσεων είναι ίση με,9. Μονάδες 9 γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα των τιμών της μεταβλητής X είναι ομοιογενές. Δίνεται ότι, 9, xii i= α. x= 6+ 3 ν = 3+ ν β. 5+ν=59+3ν ν=7 xi νi xi x (xi x) (xi x) νi s = i= (x i x) i 98 = =,9 0 s, 9 γ. CV= = x, =0,55 ή 55%>0% άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

3 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x 3 6x +αx 7, όπου α πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει f (x)+f (x) +5=3x, x R α. Να δείξετε ότι α=9. f (x) β. Να υπολογίσετε το όριο lim x. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y= 3x Μονάδες 0 α. f(x)=x 3 6x +αx 7, α R f (x)=3x x+α f (x)=6x ισχύει για κάθε x R f (x)+f (x) +5=3x (6x )+3x x+α+5=3x x +3x x+α+5=3x α=9 β. Έχουμε f (x) 3x x+ 9 3(x x+ 3) 3(x )(x 3) 3( ) lim x = lim = lim = lim = = 3 x x x (x )(x+ ) γ. Α ΤΡΟΠΟΣ Έστω (ε): y=λx+β η ζητούμενη εφαπτομένη. Εφόσον είναι παράλληλη στην ευθεία y= 3x, ισχύει ότι λ= 3. Αν Α(x, f(x)) είναι το σημείο επαφής τότε: f (x)= 3 3x x+9= 3 3( x x+3)= 3 x x+3= x x+=0 (x ) =0 x=. Άρα το Α(, f())=α(, 5) ανήκει στην (ε), δηλαδή 5= 3 +β β=. Τελικά (ε): y= 3x+ Β ΤΡΟΠΟΣ Αν Α(x, f(x)) είναι το σημείο επαφής τότε η εφαπτομένη έχει εξίσωση (ε): y f(x)= f (x)(x x) Όμως (ε)// y= 3x άρα f (x)= 3 x=. Οπότε (ε): y f()= f ()(x ) y ( 5)= 3(x ) y= 3x+ 3

4 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ΘΕΜΑ o Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx x +λ 6λ+,x>0 όπου λ ένας πραγματικός αριθμός. Α. α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Β. Θεωρούμε ότι οι τιμές της συνάρτησης f(), f(), f(8),f(3) και f(5) είναι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ. α. Αν R είναι το εύρος και δ η διάμεσος των παρατηρήσεων, να δειχθεί ότι R=3+ ln και δ=ln+ λ 6λ β. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω={,,3,,00} ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Aν το λ παίρνει τιμές στο δειγματικό χώρο Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α={λ Ω R+δ< } Α. α. f(x)=lnx x +λ 6λ+,x>0 x Έχουμε ότι f (x)= = x x x Είναι f (x)=0 =0 x= x x x> 0 f (x)>0 >0 x>0 x> x< x Άρα στο διάστημα (0,] η f είναι γνήσια αύξουσα x xf0 Ακόμη f (x)<0 <0 x<0 x< x> x Άρα στο διάστημα [,+ ) η f είναι γνήσια φθίνουσα. β. Σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f. x 0 + f (x) + f(x) f() max

5 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 Οπότε η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x0= Το f()=ln + λ 6λ+= ln + λ 6λ+=ln+ λ 6λ+ Β. α. Επειδή η f είναι γνήσια φθίνουσα στο [,+ ) οι παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά είναι f(8), f(5), f(), f(3), f() Οπότε η μέγιστη τιμή είναι το f() και ελάχιστη τιμή το f(8) άρα εύρος R= f() f(8)= ln+ λ 6λ+ ( ln8 8 + λ 6λ+)= 3+ln ln8=3+ln 8 =3+ln Και η διάμεσος δ είναι η μεσαία παρατήρηση άρα η τρίτη οπότε δ=f()= ln + λ 6λ+= = ln + λ 6λ+= = ln+ λ 6λ β. Βρίσκουμε το λ ώστε R+δ< 3+ln +ln+ λ 6λ< 3+ln ln+ ln+λ 6λ+<0 λ 6λ+5<0 () επειδή οι ρίζες της λ 6λ+5 είναι και 5 η () ισχύει για <λ<5 άρα Α={, 3, } επομένως σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό N(A) 3 Ρ(Α)= = =0,03 N(Ω) 00 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα χαρακτηρίζονται για την ευκολία των ζητουμένων αφού απαιτούσαν απλώς την κατανόηση της διδαχθείσας ύλης. 5