ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A) P(A B). Μονάδες 8, Θεωρία του σχολικού βιβλίου, 3. Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε καθεµία από αυτές µε το κατάλληλο σύµβολο (,, ) έτσι ώστε να είναι αληθής: α. P(A )... P(A) β. Αν A B τότε P(B)...P(A) α. P(A ) P(A) β. Αν A B τότε P(B) P(A) Μονάδες Μονάδες Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και Α το αντίθετο του ενδεχοµένου Α. α. Αν A B τότε P (A) + P(B) < β. Αν P (A) P(A ) τότε P(A) P(Ω)

2 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 α. Είναι A B, άρα P(A ) P(B) P(A) P(B) P(A) + P(B). Άρα η πρόταση α είναι Λ. β. Είναι P (A) + P(A ) P(Ω) P(A) P(Ω). Άρα η πρόταση β είναι Σ. Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν A B, P(A) και P (B) τότε η P(A B) είναι ίση µε: α. β. γ. δ. 3 6 Αν Α Β τότε Α Β B P(A B) P(B). Άρα, σωστή απάντηση η β. Β.3. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και ισχύει ότι P (A), 3 P (B) και P (A B). ΣΤΗΛΗ Α α. P(A B). 0 ( ) β. ( B A) P. γ. P ((A B) ) 3.. ΣΤΗΛΗ Β 9. 0 Είναι P (Α Β) P(A) P(A B). [ α ] 3

3 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ P ((Β Α) ) P(B A) P(B) + P(B A) + [ β ] 0 0 P ((A B) ) P(A B) [ γ 3] ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f (x) ηµx + συνx. Α. Να αποδείξετε ότι f (x) + f (x) 0. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(0, ). Μονάδες 8 π π Γ. Να βρείτε την τιµή λ R για την οποία ισχύει η σχέση λ f f. Μονάδες 9 Α. Είναι f (x) συνx + ηµx, A R f (x) (συνx + ηµx) ηµx + συνx f (x) ( ηµx + συνx) συνx ηµx άρα f (x) + f (x) συνx + ηµx συνx ηµx 0 Β. Στο σηµείο επαφής Α(0, ), η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y f (0) x + β µε f (0), άρα y x + β (ε). Το Α ικανοποιεί την (ε), άρα 0 + β β. Άρα, η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y x +. Γ. Είναι π π f ηµ + π συν άρα π π π f συν + ηµ π π λf f λ λ 3

4 ΘΕΜΑ 3 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 µαθητών της Γ Τάξης ενός Λυκείου. Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε κλάσεις. Βάρος σε κιλά [ - ) Αθροιστική σχετική συχνότητα F - 0, -6 0, Α. Αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις τιµές της αθροιστικής σχετικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην τρίτη και τέταρτη κλάση. Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των παραπάνω δεδοµένων. Μονάδες 9 Γ. Επιλέγουµε τυχαία από το δείγµα των 80 µαθητών ένα µαθητή. α. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει βάρος µικρότερο από 6 κιλά. β. Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής να έχει βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των κιλών και µικρότερο των 7 κιλών. Α. Επειδή f3 f F 0, και f + f + f3 + f είναι f 0,. Εποµένως ο πίνακας είναι ΚΛΑΣΕΙΣ f F x x f - 0, 0, ,3 0, , 0, ,, ΣΥΝΟΛΟ,0 - - x f 6 Β. Άρα x x f 6. Γ. (α) Είναι P(B 6) F % 0% 0,

5 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 (β) Είναι ( B 7) F % F % 90% 0% 70% 0, 7 P 3 Παρατηρήσεις (α) Η µέση τιµή υπολογίζεται και από τον τύπο ντίστοιχες συχνότητες από τον τύπο f. x x αφού υπολογιστούν οι α- (β) Οι τιµές των πιθανοτήτων µπορούν να υπολογισθούν µε τις συχνότητες ν και τον κλασσικό ορισµό της πιθανότητας. ΘΕΜΑ Σε έρευνα που έγινε στους µαθητές µιας πόλης, για τον χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 0% περίπου των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από λεπτά, ενώ το 6% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά. Υποθέτουµε ότι η κατανοµή του χρόνου της διαδροµής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α. Να βρείτε το µέσο χρόνο διαδροµής των µαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδροµής τους. Β. Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. Γ. Αν οι µαθητές της πόλης είναι.000, πόσοι µαθητές θα κάνουν χρόνο διαδροµής από έως 6 λεπτά; Δ. Μία µέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόµο της πόλης, κάθε µαθητής καθυστέρησε λεπτά. Να βρείτε πόσο µεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβολής (CV). Μονάδες 7

6 ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 3% 3% 3,% 3,%,3%,3% -S -S +S +S -3S x +3S 68% 9% α. Αφού το 0% των µαθητών κάνει περισσότερο από λεπτά είναι x. Αφού το 6% κάνει λιγότερο από 0 λεπτά είναι S 0 S. S β. Είναι CV 6,6% άρα δεν είναι οµοιογενές. x 6 γ. Μεταξύ και 6 λεπτών κάνει το 3,% περίπου των µαθητών, άρα το πλήθος των µαθητών είναι 000 3,% 0. δ. Επειδή έχουµε καθυστέρηση λεπτών, θα έχουµε σύµφωνα µε γνωστή εφαρµογή, η νέα µέση τιµή ψ x και S ψ S x οπότε ο καινούριος συντελεστής µεταβολής S ψ S x CV,76% y x + 7 εποµένως ο συντελεστής µεταβολής µειώνεται κατά 6,66,76,9% ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σηµερινά θέµατα χαρακτηρίζονται από κλιµακούµενη δυσκολία και καλύπτουν ευρύ φάσµα της ύλης. Ειδικότερα, τα θέµατα και απαιτούσαν στοιχειώσεις γνώσεις, ενώ για τα θέµατα 3 και απαιτείται αυξηµένη συνθετική ικανότητα. 6