ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f()=c (όπου πραγματικός αριθμός) είναι ίση με 0, δηλαδή (c) = 0. Μονάδες 8 B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν >0 και πώς, αν <0; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ο τύπος P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) ισχύει μόνον όταν τα απλά ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα. Μονάδες β. Η διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων t, t,, t ν είναι πάντοτε μία από τις παρατηρήσεις αυτές. Μονάδες

2 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 γ. Αν >0, τότε ( ) = Μονάδες δ. Αν ο είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε lim ημ = ημ. 0 0 Μονάδες ε. Στο ιστόγραμμα συχνοτήτων ομαδοποιημένων δεδομένων, το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση με τύπο πραγματικός αριθμός. f( ), όπου = f( ) α. Να υπολογίσετε το όριο lim. β. Να αποδείξετε ότι f ()=. γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f().

3 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ 3o Για δύο τύπους μπαταριών Α και Β επιλέχθηκαν δύο δείγματα μεγέθους το καθένα. Οι χρόνοι ζωής των μπαταριών για το κάθε δείγμα (σε χιλιάδες ώρες) δίνονται στον επόμενο πίνακα: α. Να βρείτε τη μέση διάρκεια ζωής μιας μπαταρίας τύπου Α και μιας μπαταρίας τύπου Β. Μονάδες β. Αν μια μπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 ευρώ και μια μπαταρία τύπου Β στοιχίζει 40 ευρώ, ποιον τύπο μπαταρίας συμφέρει να αγοράσετε; (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας). Μονάδες γ. Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις SA και S B της διάρκειας ζωής των δύο τύπων μπαταριών. δ. Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους μπαταριών Α και Β παρουσιάζει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς τη διάρκεια ζωής του. ίνεται ότι 3,3. Μονάδες 8

4 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ 4ο Το 0% των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα α, ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν την εφημερίδα β. α. Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μη διαβάζει την εφημερίδα α ή να διαβάζει την εφημερίδα β; β. Ορίζουμε το ενδεχόμενο Β: «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφημερίδα β». Να αποδείξετε ότι 7 PB ( ). 0 γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο 3 f ( ) = + P( B). όπου πραγματικός αριθμός και Β το ενδεχόμενο που ορίστηκε στο προηγούμενο ερώτημα. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() δεν έχει ακρότατα.

5 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 Θέμα ο Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 96 Γ. α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Σ, ε. Σ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα ο α. f lim lim lim ( ) = = ( ) ( + ) = lim = + β. Η f παραγωγίσιμη στο με f ( ) = οπότε ( ) γ. f ( ) 0 = = f + f + f Στο = η f παρουσιάζει μέγιστο το f( ) = Θέμα 3 ο α. A i i= = t = = = χιλ. ώρες B i i= = t = = = 4 χιλ. ώρες

6 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 β. Θα υπολογίσουμε το μέσο κόστος ανά ώρα. 38 Μέσο κόστος ανά ώρα μπαταρίας Α = 0, = ευρώ 40 0, 006 Μέσο κόστος ανά ώρα μπαταρίας Β = 4000 = ευρώ Άρα θα συμφέρει να αγοράσουμε μια μπαταρία τύπου Β γιατί παρουσιάζει μικρότερο μέσο κόστος ανά ώρα γ. ( ) ( 0 ) + ( 6 ) + ( 4 ) + ( ) + ( 8 ) 40 A i B i= s = t = = = 8 άρα s A = 8= και B ( i B) ( 6 4) + ( 3 4) + ( 9 4) + ( 0 4) + ( 3 4) 0 s = t = = = i= Άρα s B = s CVA = = = = 0,09 δ. A A s 3,3 B CV B = = = = = 0,37 B Επειδή CVA < CVBο τύπος Α παρουσιάζει την μεγαλύτερη ομοιογένεια. Θέμα 4 ο Έστω Α: το ενδεχόμενο ένας κάτοικος να διαβάζει την εφημερίδα α και Β: το ενδεχόμενο ένας κάτοικος να διαβάζει την εφημερίδα β 0 30 Είναι PA ( ) = και PA ( B ) = PA ( B) = οπότε 00 PA ( ) PA ( B) = 30 PA ( B) = P A B = P A + P B P A B = P A + P B P B + P A B = + = 0 α. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00

7 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 PB β. Επειδή A B B τότε PA ( B) PB ( ) δηλαδή ( ) () 7 Επειδή B A B τότε PB ( ) PA ( B) δηλαδή PB ( ) () 7 0 Από, έχουμε: PB ( ) 0 γ. Η f παραγωγίσιμη στο με f ( ) = 3 + P( B) Το τριώνυμο f ( ) Από β έχουμε: έχει Δ= P( B) P( B) 7 P( Β) P( Β) 74 P( B) δηλαδή Δ < 0. Άρα f ( ) 0 στο και δεν παρουσιάζει ακρότατα. > για κάθε όποτε η f είναι γνησίως αύξουσα ΒΑΖΟΥΡΑ Ε., ΚΟΥΣΗΣ Π., ΣΙΦΝΑΙΟΣ Δ., ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Γ., ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Ε., ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α.