Ροπή αδράνειας σύνθετων και λειψών στερεών

Transcript

1 Ροπή αδράνειας σύνθετων και λειψών στερεών Με τον όρο σύνθετο νοείται ένα στερεό σώμα που μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει προκύψει από τη συγκόλληση δύο (ή περισσοτέρων) στερεών και με τον όρο λειψό ένα στερεό που μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει προκύψει από ένα στερεό μετά την αφαίρεση από αυτό ενός (ή περισσοτέρων) τμημάτων του. Σύμφωνα με τον ορισμό που δίδεται στο σχολικό βιβλίο (σελ. 116) η ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού που περιστρέφεται γύρω από κάποιον άξονα δίνεται από τη σχέση: Ι=m 1 r 1 2 +m 2 r m 3 r όπου m 1, m 2, m 3, οι στοιχειώδεις μάζες του στερεού και r 1, r 2, r 3, οι αντίστοιχες αποστάσεις τους από τον άξονα περιστροφής. (στην εικόνα έχει σχεδιασθεί μία, μόνο, στοιχειώδης μάζα). Αν, τώρα, θεωρηθεί ότι οι k πρώτες στοιχειώδεις μάζες του στερεού αποτελούν ένα τμήμα του Κ (στην εικόνα με κόκκινο χρώμα), και οι υπόλοιπες η στοιχειώδεις μάζες του αποτελούν το υπόλοιπό του τμήμα Μ (στην εικόνα με μπλε χρώμα) τότε η ροπή αδράνειάς του θα γράφεται: Ι=m 1 r 1 2 +m 2 r m k r k 2 +m k+1 r k m k+2 r k m n r n 2 (στην εικόνα έχουν σχεδιασθεί, μόνο, η τελευταία στοιχειώδης μάζα του τμήματος Κ και η τελευταία του τμήματος Μ). Η παράσταση όμως

2 m 1 r 1 2 +m 2 r m k r k 2 είναι η ροπή αδράνειας Ι Κ του τμήματος Κ και η παράσταση m k+1 r k m k+2 r k m n r n 2 είναι η ροπή αδράνειας Ι Μ του τμήματος Μ Άρα η ροπή αδράνειας του στερεού μπορεί να γραφεί: Ι=Ι Κ +Ι Μ και επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας ενός σύνθετου στερεού, αν γνωρίζουμε τη ροπή αδράνειας των επιμέρους στερεών, από τα οποία θεωρητικά προκύπτει με συγκόλληση, όπως και τη ροπή αδράνειας ενός λειψού στερεού, αν γνωρίζουμε τη ροπή αδράνειας του αρχικού στερεού, καθώς και του τμήματός του, που θεωρητικά έχει αφαιρεθεί. Μερικές Απλές Εφαρμογές (Οι ροπές αδράνειας των ομογενών στερεών που αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο, και για τους συγκεκριμένους άξονες συμμετρίας, θωρούνται γνωστές. Γνωστό θεωρείται και το θεώρημα Steiner. Για λόγους οπτικής διευκόλυνσης διατηρήθηκε ο χρωματικός συμβολισμός. Σε κάθε περίπτωση ζητείται ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας του στερεού που φαίνεται στην εικόνα και για τον συγκεκριμένο άξονα. Ο όγκος σφαίρας ακτίνας R δίνεται από τη σχέση: V=4/3πR 3 και ο όγκος κυλίνδρου ακτίνας βάσης R και ύψους h από τη: V=πR 2 h Αρκετές από τις μαθηματικές πράξεις αφέθηκαν για τον αναγνώστη) Α. Σύνθετα στερεά 1. Η ράβδος έχει μάζα m και μήκος L, η σφαίρα έχει μάζα M και ακτίνα R, o άξονας της ράβδου διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας και ο άξονας περιστροφής ποικίλει. α. Ι=ΙΚ+ΙΜ=2/5MR 2 +(1/12mL 2 +m(l/2+r) 2 )

3 β. Ι=ΙΚ+ΙΜ=(2/5MR 2 +M(L/2+R) 2 ))+1/12mL 2 γ. Ι=ΙΚ+ΙΜ=(2/5MR 2 +M(L+R) 2 )+(1/12mL 2 +m(l/2) 2 ) δ. Ι=ΙΚ+ΙΜ=(2/5MR 2 +MR 2 )+(1/12mL 2 +m(l/2) 2 ) 2. Ο δίσκος έχει μάζα m και ακτίνα r, η σφαίρα έχει μάζα M και ακτίνα R και o άξονας του δίσκου διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας Ι=ΙΚ+ΙΜ=2/5MR 2 +1/2mr 2

4 3. Ο δίσκος έχει μάζα m και ακτίνα r, ο κύλινδρος έχει μάζα M και ακτίνα R και o άξονας του δίσκου ταυτίζεται με τον άξονα του κυλίνδρου Ι=ΙΚ+ΙΜ=1/2MR 2 +1/2mr 2 B. Λειψά στερεά 1. Η αρχική σφαίρα είχε μάζα M και ακτίνα R, η αφαιρεθείσα μάζα m και ακτίνα r και ο άξονας περιστροφής ποικίλει. α. ΙΚ=Ι-ΙΜ=2/5MR 2-2/5mr 2 β. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(2/5MR 2 +MR 2 )-(2/5mr 2 +mr 2 )

5 γ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(2/5MR 2 +Mr 2 )-(2/5mr 2 +mr 2 ) δ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=2/5MR 2 -(2/5mr 2 +mr 2 ) ε. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(2/5MR 2 +Mr 2 )-2/5mr 2 στ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(2/5MR 2 +MR 2 )-(2/5mr 2 +m(r-r) 2 )

6 ζ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=2/5MR 2 -(2/5mr 2 +m(r-r) 2 ) η. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(2/5MR 2 +M(R-r) 2 )-2/5mr 2 θ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(2/5MR 2 +MR 2 )-(2/5mr 2 +mr 2 ) 2. Ο αρχικός κύλινδρος είχε μάζα M και ακτίνα R, ο αφαιρεθείς μάζα m και ακτίνα r και ο άξονας περιστροφής ποικίλει. α. ΙΚ=Ι-ΙΜ=1/2/MR 2-1/2mr 2

7 (εναλλακτική προσέγγιση για την περίπτωση όπου ο αφαιρούμενος και ο αρχικός κύλινδρος έχουν το ίδιο ύψος h, και είναι ρ η πυκνότητα του υλικού κατασκευής και Μ η μάζα του απομένοντος τμήματος: ΙΚ=1/2/MR 2-1/2mr 2 =1/2ρVR 2-1/2ρVr 2 =1/2ρπR 2 hr 2-1/2ρπr 2 hr 2 =1/2ρπh(R 4 -r 4 )= 1/2ρπh(R 2 -r 2 )(R 2 +r 2 )=1/2ρ(πR 2 h-πr 2 h)(r 2 +r 2 )=1/2ρ(V-V)(R 2 +r 2 )=1/2(M-M)(R 2 +r 2 )= 1/2M(R 2 +r 2 ) η τελευταία σχέση ξενίζει λόγω της παρουσίας του +, που δικαιολογείται λόγω της παρουσίας της απομένουσας μάζας του στερεού και όχι της αρχικής, θέτοντας δε r=0, προκύπτει η γνωστή σχέση για τον συμπαγή κύλινδρο και θέτοντας r=r η αντίστοιχη για τον κυλινδρικό φλοιό) β. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(1/2/MR 2 +Mr 2 )-(1/2mr 2 +mr 2 ) γ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(1/2/MR 2 +MR 2 )-(1/2mr 2 +mr 2 ) δ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=1/2/MR 2 -(1/2mr 2 +mr 2 )

8 ε. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(1/2/MR 2 +Mr 2 )-1/2mr 2 +mr 2 στ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(1/2/MR 2 +MR 2 )-(1/2mr 2 +m(r-r) 2 ) ζ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=1/2/MR 2 -(1/2mr 2 +m(r-r) 2 ) η. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(1/2/MR 2 +M(R-r) 2 )-1/2mr 2

9 θ. ΙΚ=Ι-ΙΜ=(1/2/MR 2 +MR 2 )-(1/2mr 2 +mr 2 ) Παρατηρήσεις η ροπή αδράνειας στερεού εισάγεται στο σχολικό βιβλίο εν ψυχρώ, χωρίς, δηλαδή, προηγουμένως να έχει φανεί η αναγκαιότητα εισαγωγής της ο ορισμός της ροπής αδράνειας, όπως αυτός δίνεται στο σχολικό βιβλίο, δεν είναι κοινά αποδεκτός τηρουμένων των αναλογιών με τη μάζα αδράνειας, θα μπορούσε ο ορισμός της ροπής αδράνειας να είναι ως εξής: ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιον άξονα, ονομάζεται το πηλίκο της συνισταμένης ροπής που ασκείται στο στερεό, προς τη γωνιακή επιτάχυνση που αυτό αποκτά η ροπή αδράνειας ενός στερεού είναι μονόμετρο μέγεθος και εξαρτάται: από τη μάζα του από τον τρόπο κατανομής της μάζας στο χώρο και από τη θέση του άξονα περιστροφής η ροπή αδράνειας ενός στερεού εκφράζει τη δυσκολία μεταβολής της γωνιακής ταχύτητάς του κάθε στερεό έχει μία, μόνο, μάζα αδράνειας, αλλά πολλές ροπές αδράνειας Βαγγέλης Κουντούρης Πειραματικός Φυσικός Βιβλιογραφία: "Φυσική Γ Λυκείου υπό έκδοση