ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

Transcript

1 (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Γωνιακή Μετατόπιση & Ταχύτητα Περιστροφική Κινητική Ενέργεια & Ροπή Αδράνειας Υπολογισμός Ροπής Αδράνειας Στερεών Σωμάτων Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Μεταφορά και Περιστροφή Δυνάμεις της Κύλισης Στροφορμή Συστήματος Σωματιδίων Δεύτερος Νόμος του Newton σε Γωνιακή Μορφή Stathis STILIARIS, UoA 05-06

2 (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ Περιστροφή Στερεού Σώματος Κύλιση, Ροπή και Στροφορμή ALONSO FINN HALLIDAY RESNICK WALKER YOUNG FREEDMAN 0. έως έως έως , 0.5. έως. 0. έως 0.6 Stathis STILIARIS, UoA 05-06

3 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ R v ω R v θ α Η κυκλική κίνηση στο χώρο μπορεί να περιγραφεί από το διάνυσμα θέσης. Όπως είναι προφανές από το παραπάνω σχήμα ισχύει γενικά: v ω v ω sinα ω(sina) ωr Stathis STILIARIS, UoA R dθ

4 ΓΩΝΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Συσχετίζοντας Γραμμικές και Γωνιακές Μεταβλητές ds dθ s θ v ω Η γραμμική επιτάχυνση ενός σημείου σε περιστρεφόμενο στερεό έχει δύο συνιστώσες: Ακτινική συνιστώσα a Εφαπτομενική συνιστώσα a t dv dω a t a Γ a v ω Stathis STILIARIS, UoA

5 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Για ένα σύνολο σωματιδίων που περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω : K m v mv mv... miv i i K ( ω ) m ω miv i m i i i i i i i K Iω όπου Ι mi i i I: Ροπή Αδράνειας Σώματος (συνεχής κατανομή μάζας) Ι dm Stathis STILIARIS, UoA

6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ροπήαδράνειαςλεπτήςομογενούςράβδουωςπροςκάθετοάξοναπου διέρχεται από το κέντρο βάρους L x dx I M x dm + L/ x L/ ρsdx ρs + L/ x L/ dx + L/ x L L L I ρs ρs ρs ρs 4 4 L/ ( ρsl) L ML I ML Stathis STILIARIS, UoA

7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ροπήαδράνειαςλεπτήςομογενούςράβδουωςπροςκάθετοάξοναπου διέρχεται από τη μία άκρη της x L dx I x dm x ρsdx M L 0 ρs L 0 x dx + L x L 0 L I ρs ρs ρs ρs 4 0 ( ρsl) L ML I ML Stathis STILIARIS, UoA

8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται απότοκέντροτου d I dm ρhπd M R 0 πρh R 0 d 4 R 4 I πρh πρhr 4 0 ( ) πr hρ R MR I MR Stathis STILIARIS, UoA

9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Stathis STILIARIS, UoA

10 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) [ (x a) + (y b) ] I dm dm I b ) dm (x + y )dm + (a + a xdm b όμως xdm 0 & y dm Αλλά όμως 0 y dm επειδή το κέντρο μάζας του σώματος βρίσκεται στο σημείο (x, y)(0, 0), οπότε: Ι I CM + Mh h: απόσταση του άξονα P από τον άξονα του κέντρου μάζας Ο. Stathis STILIARIS, UoA

11 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) x L dx Όπως υπολογίσθηκε προηγουμένως, η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου μήκους L και μάζας Μ ως προς κάθετο άξονα που διέρχεται από τη μία άκρη της είναι: I ML Η εφαρμογή του θεωρήματος των παραλλήλων αξόνων καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα: Ι I CM + Mh L I ICM + Mh ML + M + ML 4 ML Stathis STILIARIS, UoA 05-06

12 ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ NEWTON Ο Δεύτερος Νόμος του Newton στην περιστροφή στερεού σώματος έχει τη μορφή: τ NET Ia Γ όπου τ η ασκούμενη ροπή δυνάμεων στοστερεόσώμακαιa Γ ηγωνιακή του επιτάχυνση. Απόδειξη τ Ft (mat ) m(a Γ ) τ ma Γ (m )a Γ Ia Γ Stathis STILIARIS, UoA 05-06

13 ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ NEWTON Υπολογισμός επιτάχυνσης στο σύστημα βάρους τροχαλίας τ NET Ia Γ - RT MR a Γ T MRa Γ Αλλά T T - mg Ma ma οπότε a g m M + m Stathis STILIARIS, UoA 05-06

14 ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Stathis STILIARIS, UoA

15 ΚΥΛΙΣΗ: ΜΕΤΑΦΟΡΑ & ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Stathis STILIARIS, UoA

16 ΚΥΛΙΣΗ: ΜΕΤΑΦΟΡΑ & ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Φωτογραφία τροχού ποδηλάτου που κυλάει Stathis STILIARIS, UoA

17 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΥΛΙΣΗΣ Κινητική ενέργεια κυλιόμενου τροχού: K I ω P I P ICM + MR K (I + CM MR )ω Περιστροφική και μεταφορική κινητική ενέργεια K ICMω + Mv CM Stathis STILIARIS, UoA

18 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ L mv L mvsinφ L p p mv L Stathis STILIARIS, UoA

19 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ dl τ dl d Απόδειξη + ( mv) m v m d dv dl m ( v v) + m ( a) 0 + ( ma) F dl τ Stathis STILIARIS, UoA

20 dl ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Αρχή Διατήρησης Στροφορμής Αν η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται σε σύστημα είναι μηδέν, τότε η στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. τ 0 L const I ω i ι I f ω f Stathis STILIARIS, UoA

21 ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Αντιστοίχηση Δυναμικών Μεγεθών Μεταφορικής και Περιστροφικής Κίνησης Stathis STILIARIS, UoA 05-06