ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. Δίνεται το τριώνυμο : 3.Να βρείτε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου για : 3 4 i) 3 i 4 3. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 5 3 g( ) i h( ) 3. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 3 6 g( ) 5 6 i h( ) Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 4 4 g( ) i h( ) i k( ) l( ) 3 vi n( ) 5. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 94 3 v) 9 i Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 3 4 v) 3 i Να λυθούν οι ανισώσεις : i) v) 69 i Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 3 3 v) 5 4 i Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 5 6 v) 3 i Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 9 v) 8. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 6 i i 9 6 3

2 v) Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 5 4 ( ) i 3 v) 3 ( ) Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 3 4 v) 7 i Να λυθούν οι ανισώσεις : i) (3 ) 9 (5 3) i v) Να λυθούν οι ανισώσεις : i) Να λυθούν οι ανισώσεις : i) ( 3) 4( 3) 4( 5) ( 4)( 4) i ( ) ( ) 4 ( 3)( 3) ( ) 5 ( ) v) ( ) 5 7. Να βρείτε για ποιες τιμές του συναληθεύουν οι ανισώσεις : i) 3 και και 8 i 45 και 4 και 3 v) 5 4 και 8 6 και 8. Να βρείτε για ποιες τιμές του συναληθεύουν οι ανισώσεις : i) και και ( ) i 6 και 3 και Να βρείτε για ποιες τιμές του συναληθεύουν οι ανισώσεις : 3, 5 και.. Να βρείτε τις τιμές του,για τις οποίες ισχύει : i) 3 8, 4( ) ( 7) ( 5) 74

3 i 8 6 ( 3) Να βρείτε τις τιμές του,για τις οποίες ισχύει : i) 3, i Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το τριώνυμο 4 5 παίρνει τιμές μεγαλύτερες του5 και μικρότερες του 6 3. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) Να λυθούν οι ανισώσεις : 4 i) 9 ( ) 3 i 5 4 i v) Να λυθούν οι ανισώσεις : i) i Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 3 4 i i)να κάνετε τον πίνακα προσήμων για το τριώνυμο Να λύσετε την ανίσωση : ( 6) 8. i)να κάνετε τον πίνακα προσήμων για το τριώνυμο Να λύσετε την ανίσωση : Να λύσετε τις εξισώσεις : i) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) Να λύσετε τις ανισώσεις : i) (3) ( ) ( ) 4 Απόδειξη ανισοτήτων 3. Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει : i), 4 3 ( ) i ( 3)( 3) ( 7) 8 ( ) ( 3)( 3). 75

4 33. Να αποδείξετε ότι για κάθε,y R ισχύει : i) (3 y) (3 y), (4 5 y) 3(4 5 y) Να αποδείξετε ότι για κάθε,y R ισχύει : i) 3y 3y, 4y 3( y ) 35. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : τιμή του λ R. 36. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : του λ R. 37. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : τιμή του λ R. (3 ) ( )( ) έχει πραγματικές ρίζες για οποιαδήποτε 3 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για οποιαδήποτε τιμή ( ) δεν έχει πραγματικές ρίζες για οποιαδήποτε 38. Να δείξετε ότι οι παρακάτω παραστάσεις είναι θετικές για όλα τα,y R,με,y. i) y y B y y 39. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης,για τις διάφορες τιμές των α,β. 4. Αν οι αριθμοί α, β,γ είναι διαφορετικοί ανά δύο, να δείξετε ότι το τριώνυμο f ( ) ( a )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) έχει δύο ρίζες. Προσδιορισμός παραμέτρου 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες πραγματικές και άνισες. i) () ( ), 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση : ρίζες. 43. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση : 44. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση : και άνισες. 45. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση : ( 3) 6 έχει πραγματικές και άνισες ( 5) 3 7 δεν έχει πραγματικές ρίζες. ( ) 3 έχει δύο ρίζες πραγματικές 3 5 έχει ετερόσημες ρίζες. 46. Να βρείτε για ποια μ R οι τιμές των παραστάσεων που ακολουθούν διατηρούν σταθερό πρόσημο για κάθε R: i) ( ) ( )( ) 4 ( 3) i ( 5) ( ) ( 7) ( 4) ) 47. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R το τριώνυμο : 3,με λ διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε R. 76

5 48. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R το τριώνυμο : για κάθε R. 49. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R το τριώνυμο : R. 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R το τριώνυμο : κάθε R. ( ),,με λ είναι θετικό ( ) 4,με λ είναι θετικό για κάθε ( ) ( ),με λ είναι αρνητικό για 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R το τριώνυμο : ( 3),με λ είναι αρνητικό για κάθε R. 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η ανίσωση : R. 53. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η ανίσωση : R. 54. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ R η ανίσωση : R. 55. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η ανίσωση : R. ( 5) 8 αληθεύει για κάθε ( 6) ( 3) αληθεύει για κάθε ( ) 3 αληθεύει για κάθε ( ) ( ) αληθεύει για κάθε 56. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η ανίσωση : ( ) 3 αληθεύει για κάθε R. 57. Αν 3,να δείξετε ότι για κάθε R οι τιμές του τριωνύμου 58. Αν <α<3,να δείξετε ότι για κάθε R οι τιμές του τριωνύμου 4 8 είναι αρνητικές. είναι θετικές. 59. Αν <α<β,να δείξετε ότι για κάθε R οι τιμές του τριωνύμου είναι θετικές. 6. Να βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων για τις διάφορες τιμές του λ R. i) ( ) ( ) ( ) ( ), Δίνεται η εξίσωση : ( 4 ) 4 4 () i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα για κάθε λ R Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R για τη διπλή ρίζα της εξίσωσης () ισχύει ότι Θεωρούμε την εξίσωση : 4 () i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (),να βρείτε για ποιες τιμές του λ R ισχύει ότι : 6 77

6 63. Θεωρούμε την εξίσωση : ( 3) 6 () i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (),να βρείτε για ποιες τιμές του λ R ισχύει ότι : Θεωρούμε την εξίσωση : ( ) () i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (),να βρείτε για ποιες τιμές του λ R ισχύει ότι : ( ) i)να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: 3 4 Δίνεται η εξίσωση : 5 ( ) 6.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα για την οποία ισχύει < Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω ={,,3,,} και τα ενδεχόμενα : A και B { / 3 }.Να βρείτε τις πιθανότητες : i)ρ(α) Ρ(Β) iρ(αβ) Ρ(ΑΒ) { / 7 } 78