Επιστηµονικοί Υπολογισµοί

Transcript

1 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 1 / 120

2 Περιεχόµενα Βασικά στοιχεία Πεπερασµένες διαφορές Παραβολικές Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Αµεσοι Μέθοδοι Εµµεσες Μέθοδοι Συµβατότητα ισδιάστατες Παραβολικές εξισώσεις Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλασσόµενων ιευθύνσεων (ADI) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 2 / 120

3 Αριθµητική Επίλυση Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων Συµβολισµός Παραδείγµατα F(x, y, u, u x, u y, u xx, u yy, u xy ) = 0 u = u(x, y), u x = u x, u y = u y u xx = 2 u x 2, u xy = 2 u x y u xx + u yy = 0 u x = u + x 2 + y 2 (u x ) 2 +(u y ) 2 = exp(u) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 3 / 120

4 Αριθµητική Επίλυση Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων (συν.) Η τάξη µιας Μ Ε είναι η µεγαλύτερης τάξης παράγωγος στην εξίσωση. u x bu y = 0 u xx + u y = 0 u xxx + u yyyy = 0 1ης τάξης 2ης τάξης 4ης τάξης Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 4 / 120

5 Αριθµητική Επίλυση Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων (συν.) Γραµµικότητα a(.)u x + b(.)u y = c(.) (.) (x, y) γραµµική (linear) (.) (x, y, u) ηµιγραµµική (quasilinear) (.) (x, y, u, u x, u y ) µη γραµµική (nonlinear) Παραδείγµατα u x + bu y = 0 u x + uu y = n 2 u x +(u y ) 2 = 0 γραµµική ηµιγραµµική µη γραµµική Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 5 / 120

6 Αριθµητική Επίλυση Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων (συν.) Πρόβληµα u x = u yy x > 0, 0 < y < 1 u(0, y) = f(y) x = 0, 0 < y < 1 αρχικές συνθήκες } u(x, 0) = φ 1 (x) y = 0, x 0 συνοριακές συνθήκες u(x, 1) = φ 2 (x) y = 1, x 0 Καλά τοποθετηµένο πρόβληµα - µοναδική λύση Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 6 / 120

7 Πρώτης Τάξης Μ Ε a(x, y, u)u x + b(x, y, u)u y = c(x, y, u) u = u(x, y) du = u x dx + u y dy {a, b, c} {dx, dy, du} u u = u(x,y) P(x,y, u) {a,b, c} y {ux,uy, 1} x Επιφάνεια λύση u = u(x, y) διάνυσµα{a, b, c} εφάπτεται στη u διάνυσµα{u x, u y, 1} κάθετο στη u στο σηµείο P(x, y, u) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 7 / 120

8 εύτερης Τάξης Μ Ε au xx + 2bu xy + cu yy + du x + eu y + fu + g = 0 u xx + u yy = 0 u xx + u yy = f(x, y) u t = u xx u t = u xx + u yy u t + uu x = ku xx u tt = u xx b 2 ac > 0 b 2 ac = 0 b 2 ac < 0 Laplace Poison heat flow ή diffusion heat flow ή diffusion Εξίσωση Burger wave Εξίσωση υπερβολική παραβολική ελειπτική Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 8 / 120

9 Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες a(x, y)u(x, y) +β(x, y)u n (x, y) = γ(x, y) u n = u n u ορθογώνια στο σύνορο n = u x ή u y Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 9 / 120

10 Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες (συν.) Παραβολική Εξίσωση u t = u xx t u or ux u(t, 0) = known ux(t, 0) = known u or ux u(t, 1) = known ux(t, 1) = known x = 0 x = 1 x u and ut και µε α 1 u +β 1 u x = γ 1 στο x = 0 α 2 u +β 2 u x = γ 2 στο x = 1 α 1,α 2 0, β 1,β 2 0, α 1 β 1 > 0, α 2 β 2 > 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 10 / 120

11 Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες (συν.) y u or uy αu + βuy = γ x Dirichlet β = 0 καθορισµός τιµής Neumann α = 0 καθορισµός κλίσης Cauchy α = 0 στη µια καθορισµός τιµής β = 0 στην άλλη και κλίσης Robbins α και β 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 11 / 120

12 Πεπερασµένες ιαφορές Προσθέτοντας u(x + h) = u(x)+hu x + h2 2! u xx + h3 3! u xxx + O(h 4 ) u(x h) = u(x) hu x + h2 2! u xx h3 3! u xxx + O(h 4 ) u xx = 1 h 2{u(x + h) 2u(x)+u(x h)}+o(h2 ) Αφαιρώντας Επίσης και u x = 1 2h {u(x + h) u(x h)}+o(h2 ) u x = 1 {u(x + h) u(x)}+o(h) h u x = 1 {u(h) u(x h)}+o(h) h Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 12 / 120

13 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) t i,j+1 t=jk P(x, t) i-1,j i,j i+1,j i,j-1 k h x=ih x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 13 / 120

14 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) x = ih t = jk ή ή και u xx P = (u xx ) ij = u P u(x, t) u(ih, jk) u ij u{(i + 1)h, jk} 2u{ih, jk}+u{(i 1)h, jk} h 2 + O(h 2 ) (u xx ) i,j = u i+1,j 2u ij + u i 1,j h 2 + O(h 2 ) (u t ) ij = u i,j+1 u ij k (u t ) ij = u ij u i,j 1 k (u t ) ij = u i,j+1 u i,j 1 2k + O(k) + O(k) + O(k 2 ) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 14 / 120

15 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) Υπο µορφή µορίων (u xx ) ij = 1 h 2 { i 1, j i, j i + 1, j (u t ) ij = 1 2k 1 i, j i, j -1 i, j 1 + O(k 2 ) } + O(h 2 ) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 15 / 120

16 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) (Du(x, t)) = u t = L(t, x, D, D 2 )u Lu = u xx ή Lu = u xx + u yy D = t ή D 2 = 2 t 2 u(x, t + k) = u(x, t)+ku t + k2 2! u tt + k3 3! u ttt + = (1+kD + k2 2! D2 + k3 3! D3 + )u(x, t) ή u(x, t + k) = exp(kd)u(x, t) (1) ή u i,j+1 = exp(kd)u i,j = exp(kl(x, t, D, D 2 ))u ij (2) Eu(x) = u(x + h) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 16 / 120

17 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) όπου και Από (1) έχουµε E = exp(kd) { ln(1+ ) = 1 ή kd = lne = ln(1 ) = u(x) = u(x + h) u(x) u(x) = u(x) u(x h) E = 1+, E = 1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 17 / 120

18 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) Επίσης δ = 2 sin h( hd 2 ) (3) όπου δu(x) = u(x + h 2 ) u(x h 2 ) = u i+1/2 u i 1/2 δ 2 u(x) = δ(δu(x)) = δ(u i+1/2 u i 1/2 ) = δu i+1/2 δu i 1/2 = (u i+1 u i ) (u i u i 1 ) = u i+1 2u i + u i 1 δ 2 u i = u i+1 2u i + u i 1 (4) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 18 / 120

19 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) Από (3) έχουµε ή Από (2) έχουµε hd = 2 sin h 1 ( δ 2 ) D = 2 h sin h 1 ( δ 2 ) = 1 h (δ ! δ ! δ5 ) u i,j+1 = exp(kl(u, t, 2 h sin h 1 ( δ x 2 ),(2 h sin h 1δ x 2 ) 2 ))u ij ή u i,j+1 = exp(kl(u, t, D, D 2 ))u ij. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 19 / 120

20 Παραβολικές Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Παραβολικές εξισώσεις σε µια διάσταση σ(x, t) u t = x (a(x, t) u) γ(x, t)u x Αµεσοι Μέθοδοι t (j + 1)k jk k 0 1 x h Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 / 120

21 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές u t = 2 u u 2 (5) όπου και Από (6) λόγω (7) έχουµε u i,j+1 = exp(k t )u ij = exp(kl)u ij (6) L D 2 2 u 2 (7) D = 2 h sin h 1δ x 2 = 1 h (δ x ! δ3 x ! δ5 x ) (8) D 2 = 1 h 2(δ2 x 1 12 δ4 x δ6 x ) (9) u i,j+1 = exp(kd 2 )u ij (10) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 21 / 120

22 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές Από (10) λόγω (9) έχουµε u i,j+1 = exp[r(δ 2 x 1 12 δ4 x δ6 x )]u ij = [1+r(δx δ4 x δ6 x )+ r2 2! (δ2 x 1 12 δ4 x δ6 x ) 2+ r3 3! ( )3 + ]u ij όπου r = k/h 2 ή ή u i,j+1 = (1+rδ 2 x r 12 δ4 x + r 90 δ6 x )u ij (r2 δ 4 x 2r2 12 δ6 x + )u ij + u i,j+1 = [1+rδ 2 x r(r 1 6 )δ4 x r(r2 1 2 r )δ6 x + ]u ij (11) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 22 / 120

23 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές Προσεγγίζοντας την (11) έχουµε U i,j+1 = (1+rδ 2 x )U i,j (12) ή ή U i,j+1 = U i,j + r(u i 1,j 2U i,j + U i+1,j ) U i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)U i,j + ru i+1,j (13) 1 i,j + 1 r 1 2r i 1,j i,j i + 1,j r Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 23 / 120

24 Περίπτωση II: Συντελεστές εξαρτώµενοι από το x u t = a(x) 2 u x2, a(x) 0 x L ad 2 u i,j+1 = exp(kad 2 )u i,j = [1+kaD k2 ad 2 (ad 2 )+ ]u ij όπου a(x) = a(ih) = [1+kaD k2 a(a D 2 + 2a D 3 + ad 4 )+ ]u ij u i,j+1 = [1+ka 1 h 2(δ2 x 1 12 δ4 x δ6 x )+ ]u ij U i,j+1 = (1+raδ 2 x)u ij, r = k/h 2 U i,j+1 = rau i 1,j +(1 2ra)U ij + rau i+1,j (14) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 24 / 120

25 Περίπτωση III: Self - adjoint u t = x (a(x) u x ) u i,j+1 = exp(kl)u ij = exp(kd(a i D))u ij = [1+kD(a i D)+ ]u ij D 1 h δ x U i,j+1 = [1+ k h 2δ x(a i δ x )]U ij. (15) Αλλά δ x (a i δ x )U ij = δ x (a i (U i+1/2,j U i 1/2,j )) = δ x (a i U i+1/2,j ) δ x (a i U i 1/2,j ) = (a i+1/2 U i+1,j a i 1/2 U ij ) (a i+1/2 U i,j a i 1/2 U i 1,j ) }{{} (16) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 25 / 120

26 Περίπτωση III: Self - adjoint Από (15) λόγω (16) έχουµε U i,j+1 = U ij + r = (a i+1/2 U i+1,j a i 1/2 U ij ) (a i+1/2 U i,j a i 1/2 U i 1,j ). ή Ui, j + 1 = ra i 1/2 U i 1,j +[1 r(a i+1/2 + a i 1/2 )]U ij + ra i+1/2 U i+1,j (17) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 26 / 120

27 DuFort - Frankel U i,j+1 U i,j 1 2k ή ϑέτοντας U ij = 1 2 (U i,j+1 + U i,j 1 ) u t = 2 u x 2 = U i 1,j 2U ij + U i+1,j h 2 (18) ή U i,j+1 U i,j 1 2k = U i 1,j (U i,j+1 + U i,j 1 )+U i+1,j h 2 (1+2r)U i,j+1 = 2r(U i+1,j + U i 1,j )+(1 2r)U i,j 1 (19) 1 i, j + 1 2r 1+2r 2r 1+2r i 1, j i + 1, j 1 2r 1+2r i, j 1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 27 / 120

28 Richardson u t = 2 u x 2 U i,j+1 U i,j 1 2k = U i 1,j 2U ij + U i+1,j h 2 U i,j+1 = U i,j 1 + 2r(U i 1,j 2U ij + u i+1,j ) (20) 1 i,j + 1 2r 4r 2r i 1,j ij i + 1,j 1 i,j 1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 28 / 120

29 Τοπική ακρίβεια Αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor έχουµε u i,j+1 = u ij + k( u t ) ij + 1 2! k2 ( 2 u t 2) ij + u i+1,j = u ij + h( u x ) ij + 1 2! h2 ( 2 u x 2) ij + 1 3! h3 ( 3 u x 3) ij + 1 4! h4 ( 4 u x 4) ij + u i 1,j = u ij h( u t ) ij + 1 2! h2 ( 2 u x 2) ij 1 3! h3 ( 3 u x 3) ij + 1 4! h4 ( 4 u x 4) ij Συνεπώς u i,j+1 (1 2r)u ij r(u i+1,j + u i 1,j ) = k( u t 2 u x 2) ij k2 ( 2 u t 1 4 u 2 6r x 4) ij + (21) u ij : ακριβής λύση Μ Ε U ij : ακριβής λύση εξισώσεως διαφορών z ij = u ij U ij (22) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 29 / 120

30 Τοπική ακρίβεια Από τις (13), (21) και (22) έχουµε z i,j+1 = (1 2r)z ij + r(z i 1,j + z i+1,j )+ 1 2 k2 ( 2 u t 1 2 6r 4 u x 4) ij }{{} τοπικό σφάλµα αποκοπής + ή z i,j+1 = (1 2r)z ij + r(z i 1,j + z i+1,j )+O(k 2 + kh 2 ) (23) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 30 / 120

31 Εµµεσες Μέθοδοι (Implicit Methods) u = L(x, t, D, D 2 )u t ή u i,j+1 = exp(k t )u ij ή u i,j+1 = exp(kl)u ij ή πολλαπλασιάζοντας επί exp( 1 kl) 2 exp( 1 2 kl)u i,j+1 = exp( 1 2 kl)u ij. (24) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 31 / 120

32 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές οπότε Από (24) έχουµε αλλά άρα η (25) γράφεται u t = 2 u x 2 L D 2 2 x 2 exp( 1 2 kd2 )u i,j+1 = exp( 1 2 kd2 )u ij (25) D 2 = 1 h 2(δ2 x 1 12 δ4 x δ6 x ) (1 1 2 rδ2 x)u i,j+1 = ( rδ2 x)u ij (26) µε σφάλµα αποκοπής της τάξης O(k 3 + kh 2 ). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 32 / 120

33 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές Εφαρµόζοντας τον τελεστήδx 2 (ϐλ. (2) ) έχουµε από την (26) ότι U i,j r(u i 1,j+1 2U i,j+1 + U i+1,j+1 ) = = U i,j r(u i 1,j 2U i,j + U i+1,j ) ή r 2 U i 1,j+1 +(1+r)U i,j+1 r 2 U i+1,j+1 = r 2 U i 1,j +(1 r)u i,j + r 2 U i+1,j. (27) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 33 / 120

34 Μέθοδος των Crank - Nicolson r 2 i 1, j r r 2 i, j + 1 i + 1, j + 1 r 2 1 r r 2 i 1, j ij i + 1, j Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 34 / 120

35 Μέθοδος του Douglas Για µεγαλύτερη ακρίβεια Η (24) λόγω της (28) γίνεται D 2 = 1 h 2 δ 2 x δ2 x (28) [1 1 2 (r 1 6 )δ2 x]u i,j+1 = [ (r )δ2 x]u ij (29) µε τοπικό σφάλµα αποκοπής O(k 3 + kh 4 ). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 35 / 120

36 Περίπτωση Self-Adjoint u t = (a(x, t) u x x ) (30) u i,j+1 = exp(kl)u ij exp( 1 2 kl)u i,j+1 = exp( 1 2 kl)u ij L = D(aD), D 1 h δ x (1 1 2 kl)u i,j+1 = ( kl)u ij ή [1 r 2 δ x(a i,j+1 δ x )]U i,j+1 = [1+ r 2 δ x(a ij δ x )]U ij (31) r 2 a i 1/2,j+1U i 1,j+1 +[1+ r 2 (a i+1/2,j+1+a i 1/2,j+1 )]U i,j+1 r 2 a i+1/2,j+1u i+1,j+1 = r 2 a i 1/2,jU i 1,j +[1+ r 2 (a i+1/2,j + a i 1/2,j )]U i,j + r 2 a i+1/2,ju i+1,j (32) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 36 / 120

37 Περίπτωση Self-Adjoint (συν.) Γενίκευση u t = 2 u x 2 ή u i,j+1 = exp(kl)u i,j, L D 2 2 x 2 u i,j+1 = exp(kλl)u ij, 0 λ 1 exp( 1 2 kλl)u i,j+1 = exp( 1 2 kλl)u ij (1 1 2 rλδ2 x )U i,j+1 = ( rλδ2 x )U ij ή rλu i 1,j+1 +(1+2rλ)U i,j+1 rλu i+1,j+1 = r(1 λ)u i 1,j +[1 2r(1 λ)]u i,j + r(1 λ)u i+1,j (33) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 37 / 120

38 Μέθοδος O Brian, Hyman και Kaplan - Γιαλ = 1 η (33) γίνεται ru i 1,j+1 +(1+2r)U i,j+1 ru i+1,j+1 = U ij (34) - Ανλ = 1 η (33) παράγει τη µέθοδο των Crank - Nicolson 2 - Ανλ = 0, τότε προκύπτει η άµεσος µέθοδος Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 38 / 120

39 Μέθοδος O Brian, Hyman και Kaplan rλ 1 + 2rλ rλ i 1, j + 1 i, j + 1 i+1, j + 1 r(1 λ) 1 2r(1 λ) r(1 λ) i 1, j ij i + 1, j r 1 + 2r r i 1,j + 1 i,j + 1 i+1,j + 1 ij 1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 39 / 120

40 Παράδειγµα ίνεται το πρόβληµα αρχικών και συνοριακών τιµών (ΠΑΣ) (ϐλέπε Σχήµα) u t = 2 u u 2 t M u(0, t) = known u(1, t) = known 2 1 k 0 h 1 2 N u(x,0) = known Να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος Crank - Nicolson h = 1 N, T = km Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 40 / 120

41 Παράδειγµα r 2 U i 1,j+1 +(1+r)U i,j+1 r 2 U i+1,j+1 = = r 2 U i 1,j +(1 r)u ij + r 2 U i+1,j }{{} b ij, i = 1(1)N 1, j = 0(1)M (35) (j = 0) r 2 U i 1,1 +(1+r)U i,1 r 2 U i+1,1 = b i,0, i = 1(1)N 1 1+r r 2 r 1+r 0 r 2 2 r 1+r r r 2 0 r 1+r 2 U 1,j+1 U 2,j+1 U 3,j+1. U N 2,j+1 U N 1,j+1 = b 1,j + r 2 U 0,j+1 b 2,j b 3,j. b N 2,j b N 1,j + r 2 U N,j+1 Για τον υπολογισµό των U i,j+1 απαιτείται η λύση του τριδιαγώνιου συστήµατος (33). Το σύστηµα αυτό λύνεται µε µία άµεση µέθοδο. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 41 / 120

42 Συµβατότητα (Consistency) Αν h, k 0, τότε τα σφάλµατα αποκοπής 0 Το µοντέλο των πεπερασµένων διαφορών προσεγγίζει την επιθυµητή Μ Ε και όχι κάποια άλλη Μ Ε Σφάλµα αποκοπής της κλασικής αµέσου µεθόδου άρα αν h, k 0, τότε καισ.a 0 Σ.A = 1 2 k2 2 u t kh2 4 u x 4 + Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 42 / 120

43 Σύγκλιση αν h, k 0 και i, j µε ih = X και jk = T σταθερά και u(x, T) U(X, T) 0 (36) k = rh 2 (37) t (X, T) θ Domain of dependence x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 43 / 120

44 Σύγκλιση (συν.) θ = tan 1 h k = 1 tan 1 rh h 0, r = σταθερό θ π 2 χωρίο εξάρτησης 0 t T Συνεπώς το πεδίο εξάρτησης της αµέσου µεθόδου συγκλίνει σε αυτό της Μ Ε αν ισχύει η r = kh 2 (r = kh a, a > 1). Για τις εµµέσους µεθόδους είναι ϕανερό ότι το πεδίο εξάρτησης συµπίπτει µε εκείνο της Μ Ε. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 44 / 120

45 Σύγκλιση της αµέσου µεθόδου Από την (23) έχουµε ότι e i,j+1 = (1 2r)e i,j + r(e i+1,j + e i 1,j )+O(k 2 + kh 2 ) (38) Αν τότε 0 < r 1 2 (39) e i,j+1 (1 2r) e i,j +r e i+1,j +r e i 1,j +A(k 2 + kh 2 ). Εστω E j το µέγιστο απόλυτο σφάλµα κατά µήκος της j χρονο - γραµµής, τότε E j+1 (1 2r)E j + re j + re j + A(k 2 + kh 2 ) ή E j+1 E j + A(k 2 + kh 2 ) E j 1 + 2A(k 2 + kh 2 ) ή E j+1 E 0 + ja(k 2 + kh 2 ), E 0 = 0 E j+1 jka(k + h 2 ) = TA(k + h 2 ) 0 αν h, k 0 για σταθερά X, T. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 45 / 120

46 Ευστάθεια Να ϐρεθούν συνθήκες τέτοιες ώστε η U ij Ũ ij να είναι ϕραγµένη αν j και k σταθερό. Η µέθοδος του von Neumann για την κλασική άµεση µέθοδο E(x) = j A j e iβjx β j = συχνότητες. Εστω E(x, t) e at e iβx (40) όπου a = a(β) µιγαδικό. Για να µην αυξάνει το αρχικό σφάλµα ϑα πρέπει για x, λόγω της (40) e at 1 για όλα τα α, ή e ak 1. (41) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 46 / 120

47 Ευστάθεια Για την κλασική άµεση µέθοδο έχουµε Nh = 1, 0 x 1, t = 0 E(ph) = E p0 (p = 0,, N) N E p0 = A p e iβjph (42) p=0 E p,q+1 = (1 2r)E pq + r(e p+1,q + E p 1,q ) (43) Θέτουµε ή E pq = e iβph e at E pq = e iβph ξ q, ξ = e ak (44) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 47 / 120

48 Ευστάθεια (συν.) Οπότε η (43) γράφεται ή e iβph ξ q+1 = (1 2r)e iβph ξ q + r(e iβ(p+1)h ξ q + e iβ(p 1)h ξ q ) ξ = (1 2r)+r(e iβh + e iβh ) = 1 2r(1 cosβh) = 1 4r sin 2 βh Αλλά, λόγω των (41) και (44) έχουµε ξ 1 Συνεπώς 1 4r sin 2 βh 2 1 ή 0 < r 1 2 (45) 2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 48 / 120

49 Μέθοδος των πινάκων U i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)U ij + ru i+1,j µε U 0,j = U N,j = 0, Nh = 1 οδηγεί στο σύστηµα U 1,j+1 U 2,j+1. U N 1,j+1 = 1 2r r r 1 2r r r r 1 2r U 1,j U 2,j. U N 1,j ή U j+1 = AU j ή U j+1 = AU j = A AU j 1 = = A j+1 U 0. E = U Ũ τότε E j = U j Ũ j = A j (U 0 Ũ 0 ) = A j E 0 ή E j A j E 0 A j E 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 49 / 120

50 Μέθοδος των πινάκων (συν.) Αλλά µε Αν ιδιοτιµές του Α {}}{ max λ s = S(A) A < 1 s τότε lim E j = 0 j 1 1 A = I + rt N 1, T N 1 = λ(t N 1 ) = λ{b, a, c} = a + 2( bc cos(sπ/n)), s = 1, 2,, N 1 άρα λ s = 4 sin 2 sπ 2N και s = 1, 2,, N 1 1 4r sin 2 sπ 2N < 1 ή 0 < r 1 2 (46) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 50 / 120

51 Συµβατότητα (Consistency) h, k 0 τότε Σ.A 0 ή Το µοντέλο των πεπερασµένων διαφορών προσεγγίζει την επιθυµητή Μ Ε Παράδειγµα Για την άµεση µέθοδο έχουµε Σ.A = 1 2 k2 2 u t kh2 4 u x 4 0 για k, h 0, συνεπώς η µέθοδος αυτή είναι συµβατή. Υπάρχει άπειρο πλήθος συµβατών προσεγγίσεων σε µια Μ Ε. Αρα η ιδιότητα αυτή από µόνη της δεν αρκεί για τη διάκριση µεταξύ διαφόρων προσεγγίσεων πεπερασµένων διαφορών. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 51 / 120

52 Το ϑεώρηµα ισοδυναµίας του Lax Για ένα καλά τοποθετηµένο πρόβληµα αρχικών ή συνοριακών τιµών που χρησιµοποιεί µια παραβολική εξίσωση και για ένα σχήµα πεπερασµένων διαφορών που είναι συµβατό, τότε η ευστάθεια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για σύγκλιση. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 52 / 120

53 Συνοριακές συνθήκες µε παραγώγους u t = 2 u x 2 0 x 1, t 0 u(x, 0) = f(x), 0 x 1 u x u x = u, x = 0, t 0 (47) = u x = 1, t 0 (48) t N 1 N N + 1 U 1,j U0,j U1,j 0 x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 53 / 120

54 Συνοριακές συνθήκες µε παραγώγους(συν.) Από την (47) έχουµε U 1,j U 1,j 2h = U 0,j (49) Από την (48) έχουµε U N+1,j U N 1,j 2h = U N,j (50) U i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)U i,j + ru i+1,j (51) Για x = 0 (i = 0) η (51) δίνει U 0,j+1 = ru 1,j +(1 2r)U 0,j + ru 1,j Απαλείφοντας το U 1,j από τις (49), (51) U 0,j+1 = [1 2r(1+h)]U 0,j + 2rU 1,j. Οµοια για την άλλη συνοριακή συνθήκη. Από (46) και (47) έχουµε x = 1 (i = N) U N,j+1 = ru N 1,j +(1 2r)U N,j + ru N+1,j και απαλείφοντας το U N+1,j U N,j+1 = [1 2r(1+h)]U N,j + 2rU N 1,j. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 54 / 120

55 Παράδειγµα Αν τα άκρα µιας ϑερµικά αποµονωµένης ϱάβδου κρατούνται σε επαφή µε πάγο και αν η αρχική κατανοµή της ϑερµοκρασίας δίνεται από την σχέση 1 u = 2x, 0 x u = 2(1 x), 1 2 x 1 Ζητείται να επιλυθεί αριθµητικά η παραβολική Μ..Ε u t = u2 x 2 που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: 1 u = 0, για x = 0, x = 1, 0 t 0.1 (συνοριακές συνθήκες) 2 u = 2x, 0 x 1 2 u = 2(1 x), 1 2 x 1, t = 0 } (αρχικές συνθήκες) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 55 / 120

56 Παράδειγµα (συν.) Περίπτωση I: Αρα Εστω h = 1 10 k = άρα το υπολογιστικό µόριο είναι } r = k h 2 = 1 10 U i,j+1 = 1 10 (U i 1,j + 8U i,j + U i+1,j ) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 56 / 120

57 Παράδειγµα (συν.) Αν το πρόβληµα είναι συµµετρικό ως προς την ευθεία x = 1 2, τότε εργαζόµαστε µόνο για 0 x 1 2. Με εφαρµογή της εξίσωσης () προκύπτει ο παρακάτω πίνακας αποτελεσµάτων (i = 0) (i = 1) (i = 2) (i = 3) (i = 4) (i = 5) (i = 6) x = t = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 57 / 120

58 Παράδειγµα (συν.) Η αναλυτική λύση της Μ..Ε είναι η u = 8 π 2 n=1 1 n 2 sin nπ 2 sin(nπx)e n2 π 2 t Πεπ. ιαφορές Αναλυτική ιαφορά x = 0.3 x = 0.3 t = t = t = t = Αρα η άµεση µέθοδος είναι ικανοποιητικά ακριβής. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 58 / 120

59 Παράδειγµα (συν.) Για x = 0.5 η ακρίβεια της αρ. λύσης δεν είναι τόσο καλή, γιατί υπάρχει ασυνέχεια στην αρχική τιµή u από +2 έως 2 στο σηµείο αυτό. x Αρ. Λύση Αναλυτική ιαφορά Πεπερ. ιαφ. Λύση x = 0.5 x = 0.5 t = t = t = t = Παρατηρούµε ότι το αποτέλεσµα της ασυνέχειας ελαττώνεται όταν καθώς το t αυξάνει. Αποδεικνύεται αναλυτικά ότι όταν οι συνοριακές τιµές είναι σταϑεϱές το αποτέλεσµα των ασυνεχειών στις αρχικές τιµές και στις αρχικές παραγώγους στη λύση µιας παραβολικής εξίσωσης ελαττώνεται καθώς ο χρόνος t αυξάνει. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 59 / 120

60 Παράδειγµα (συν.) Περίπτωση II: Εστω h = 1 10 k = } r = k h = άρα U i,j+1 = 1 2 (U i 1,j + U i+1,j ) και η αριθµητική λύση δίνεται στον παρακάτω Πίνακα (i = 0) (i = 1) (i = 2) (i = 3) (i = 4) (i = 5) (i = 6) x = t = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 60 / 120

61 Παράδειγµα (συν.) Αρ. Λύση Αναλυτική ιαφορά Πεπερ. ιαφ. Λύση x = 0.5 x = 0.5 t = t = t = t = Παρατηρούµε ότι η λύση δεν είναι τόσο καλή προσέγγιση της λύσης της Μ..Ε όσο η προηγούµενη, είναι όµως αρκετά ικανοποιητική για τα περισσότερα τεχνολογικά προβλήµατα. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 61 / 120

62 Παράδειγµα (συν.) Περίπτωση III: Εστω h = 1 10 k = } r = k h = 2 1 Αρα U i,j+1 = U i 1,j + U i+1,j και η αριθµητική λύση της Μ..Ε δίνεται στον παρακάτω πίνακα. (i = 0) (i = 1) (i = 2) (i = 3) (i = 4) (i = 5) (i = 6) t x = Αν ϑεωρηθεί σαν λύση η παραπάνω, τότε προφανώς δεν έχει κανένα νόηµα, αν και είναι ϕυσικά η σωστή λύση όσον αφορά τις δεδοµένες αρχικές και οριακές συνθήκες. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 62 / 120

63 Παράδειγµα (συν.) Οι παραπάνω περιπτώσεις I, II και III δείχνουν ότι η τιµή του λόγου r = k n 2 σηµαντικό ϱόλο και αποδεικνύεται ότι για την άµεση αυτή µέθοδο πρέπει παίζει 0 < r 1 2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 63 / 120

64 ισδιάστατες Παραβολικές Εξισώσεις L 2 i=1 u t = Lu (52) (a i (x 1, x 2, t) ) c(x 1, x 2, t) (53) x i x i i)a 1, a 2 > 0, ii)c 0 X = ih, Y = jh, T = nk όπου U (n+1) ij = exp(kl)u (n) ij (54) = 2 x 1 h sin h 1δ x 1 2, = 2 x 2 h sin h 1δ x 2 2 δ x1 U (n) ij δ x2 U (n) ij = U (n) i+1/2,j U (n) i 1/2,j = U (n) i,j+1/2 U(n) i,j 1/2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 64 / 120

65 Αµεσοι Μέθοδοι L 2 x x 2 2 D D 2 2 (55) όπου D x 2 1 και D x 2 2 από την (55) έχουµε από τις (56),(56),(56) έχουµε U (n+1) ij = exp(kd 2 1 )exp(kd2 2 )U(n) ij (56) D 2 1 = 1 h 2(δ2 x δ4 x δ6 x 1 ) (56) D 2 2 = 1 h 2(δ2 x δ4 x δ6 x 2 ) (56) U (n+1) ij = [1+rδ 2 x r(r 1 6 )δ4 x 1 + ][1+rδ 2 x r(r 1 6 )δ4 x 2 + ]U (n) ij (57) r = k/h 2. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 65 / 120

66 Αµεσοι Μέθοδοι από την (57) έχουµε U (n+1) ij = [1+r(δ 2 x 1 +δ 2 x 2 )]U (n) ij + O(k 2 + kh 2 ) (58) ή U (n+1) ij Self Adjoint u t U (n+1) ij = (1+rδ 2 x 1 )(1+rδ 2 x 2 )U (n) ij + O(k 2 + kh 2 ) (59) = x 1 (a 1 (x 1, x 2, t) u x 1 )+ x 2 (a 2 (x 1, x 2, t) u x 2 ) L D 1 (a 1 D 1 )+D 2 (a 2 D 2 ) = exp(kd 1 (a 1 D 1 ))exp(kd 2 (a 2 D 2 ))U (n) ij (60) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 66 / 120

67 Αµεσοι Μέθοδοι Αν D 1 (a 1 D 1 ) 1 h 2 δ x1 (a 1 δ x1 ) και D 2 (a 2 D 2 ) 1 h 2 δ x2 (a 2 δ x2 ) όπου και δ x1 (a 1 δ x1 )U (n) ij δ x2 (a 2 δ x2 )U (n) ij τότε η (60) δίνει U (n+1) ij = a (n) 1,i+1/2,j (U(n) i+1,j U (n) i 1,j ) a(n) 1,i 1/2,j (U(n) ij U (n) i 1,j ) = a (n) 2,i,j+1/2 (U(n) i,j+1 U(n) i,j 1 ) a(n) 2,i,j 1/2 (U(n) ij U (n) i,j 1 ) = [1 r{a (n) 1,i+1/2,j + a (n) 1,i 1/2,j + a (n) 1,i,j 1/2 + a(n) 1,i,j+1/2 }] U (n) ij + ra (n) 1,i+1/2,j U(n) i+1,j + ra (n) 1,i 1/2,j U(n) i 1,j + ra (n) 2,i,j 1/2 U(n) i,j 1 Για a 1 = a 2 = 1 η (61) δίνει την (60). +ra (n) 2,i,j+1/2 U(n) i,j+1 + O(k2 + kh 2 ). (61) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 67 / 120

68 Αµεσοι Μέθοδοι (n + 1) (n) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 68 / 120

69 Αµεσοι Μέθοδοι Ανάλογα U (n+1) ij = [1+rδ x1 (a 1 δ x1 )][1+rδ x2 (a 2 δ x2 )]U (n) ij (62) (n + 1) (n) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 69 / 120

70 Ευστάθεια e αt e iβx1 e iγx2 (63) όπου β, γ αυθαίρετοι πραγµατικοί και α µιγαδικός. Το αρχικό σφάλµα (t = 0) e iβx1 e iγx2 δεν αυξάνεται µε το χρόνο αν e αk 1 για όλα τα α (64) Από τις (59),(64) έχουµε ξ = e αk = 1 4r(sin 2 βh Για ευστάθεια ξ 1 ή 2 + sin2 γh 2 ). r 1 2(sin 2 βh 2 + sin2 γh 2 ) (65) ή r 1/4. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 70 / 120

71 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) U (n+1) ij exp[ 1 2 k(d2 1 + D2 2 )]U(n+1) ij = exp(kl)u (n) ij (66) L D D2 2 (67) = exp[ 1 2 k(d2 1 + D2 2 )]U(n) ij (68) όπου D 2 1 = 1 h 2(δ2 x δ4 x δ6 x 1 ), D 2 2 = 1 h 2(δ2 x δ4 x δ6 x 2 ) Από την (68) έχουµε exp( 1 2 rδ2 x 1 )exp( 1 2 rδ2 x 2 )U (n+1) ij (1 r 2 δ2 x 1 )(1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij Η (69) είναι ανάλογη της Crank-Nicolson = exp( 1 2 rδ2 x 1 )exp( 1 2 rδ2 x 2 )U (n) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )(1+ r 2 δ2 x 2 )U (n) ij + O(k 3 + kh 3 ). (69) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 71 / 120

72 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) και (1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )(1 r 2 δ2 x 1 ) 1 (1+ r 2 δ2 x 2 )U (n) ij }{{} U (n+1/2) ij (1 r 2 δ2 x 1 )U (n+1/2) ij (1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = (1+ r 2 δ2 x 2 )U (n) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )U (n+1/2) ij (70) Η (70) είναι γνωστή σαν η µέθοδος των Peaceman-Rachford (PR). Εφαρµόζοντας τους τελεστές των κεντρικών διαφορών λαµβάνουµε r 2 U(n+1/2) i 1,j και r 2 U(n+1) i,j 1 +(1+r)U (n+1/2) ij +(1+r)U(n+1) ij r 2 U(n+1) i,j+1 r 2 U(n+1/2) i+1,j = r 2 U(n+1/2) i 1,j = r 2 U(n) i,j 1 +(1 r)u(n) ij + r 2 U(n) i,j+1 +(1 r)u (n+1/2) ij + r 2 U(n+1/2) i+1,j. (71) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 72 / 120

73 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) t (n + 1) (n ) (n) x2 x1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 73 / 120

74 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) Θέτοντας και αναπτύσσοντας η (68) δίνει δ 2 x 1 D 2 1 = 1 h δ2 x 1 δ 2 x 1 D 2 2 = 1 h δ2 x 2 [1 1 2 (r 1 6 )δ2 x 1 ][1 1 2 (r 1 6 )δ2 x 2 ]U (n+1) ij = [ (r )δ2 x 1 ][ (r )δ2 x 2 ]U (n) ij + O(k 3 + kh 4 ) (72) ή [1 1 2 (r 1 6 )δ2 x 1 ]U (n+1/2) ij και [1 1 2 (r 1 6 )δ2 x 2 ]U (n+1) ij = [ (r )δ2 x 2 ]U (n) ij (73) = [ (r )δ2 x 1 ]U (n+1/2) ij Η (73) είναι γνωστή σαν η µέθοδος των Mitchell και Fairweather (MF). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 74 / 120

75 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) Αλλες µέθοδοι (1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )(1 r 2 δ2 x 1 ) 1 (1+ r 2 δ2 x 1 )U (n) ij }{{} U (n+1/2) ij οπότε (1 r 2 δ2 x 1 )U (n+1/2) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )(1+ r 2 δ2 x 2 )U (n) ij οπότε (1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = U (n+1/2) ij D Yakonov (74) από την (70) έχουµε (1 r 2 δ2 x 1 )(1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = (1+ r 2 δ 2 x 4 1 δ 2 x 2 )U (n) ij (1 rδ 2 x 1 )U (n+1/2) ij (1 rδ 2 x 2 )U (n+1) = U (n+1/2) = (1+rδ 2 x 2 )U (n) ij Douglas ij ij Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 75 / rδ 2 x 2 U (n) ij Rachford (75)

76 Ευστάθεια των ADI Μεθόδων Απαλείφοντας την U (n+1/2) ij, παρατηρούµε ότι όλες οι ανωτέρω ADI µέθοδοι είναι ειδικές περιπτώσεις της (1 aδ 2 x 1 )(1 aδ 2 x 2 )U (n+1) = [1+b(δ 2 x 1 +δ 2 x 2 )+cδ 2 x 1 δ 2 x 2 ]U (n) (76) για συγκεκριµένες τιµές των a, b και c. Η εξίσωση σφάλµατος της (76) είναι η (1 aδ 2 x 1 )(1 aδ 2 x 2 )E (n+1) qp = [1+b(δ 2 x 1 +δ 2 x 2 )+cδ 2 x 1 δ 2 x 2 ]E (n) pq. (77) Θέτοντας E (n) ij = e αnk e iβph e iγqh Από την (77) έχουµε ξ = e αk = 1 b(s2 β + S2 γ)+csβ 2 S2 γ, (1 asβ 2 (78) )(1+aS2 γ) όπου S 2 β = 4 sin2 βx 1 2, S2 γ = 4 sin2 γx 2 2. (79) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 76 / 120

77 Ευστάθεια των ADI Μεθόδων Για ευστάθεια απαιτείται 1 ξ 1 οπότε η (78) δίνει (a b)(s 2 β + S2 γ ) (a2 + c)s 2 β S2 γ 2 και (a + b)(s 2 β + S2 γ) (a 2 c)s 2 β S2 γ 0 οι οποίες εύκολα αποδεικνύεται ότι ικανοποιούνται για τις ADI µεθόδους για 0 Sβ 2, S2 γ 4. Συνεπώς όλες οι ADI µέθοδοι είναι ευσταθείς για r > 0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 77 / 120

78 Ασκηση 1 Υπολογίσατε µε την άµεσο µέθοδο την Λ.Π. της Μ..Ε u t = 2 u x 2, 0 x 1 µε αρχικές συνθήκες u = 1 όταν t = 0, 0 < x < 1 και συνοριακές συνθήκες u = 0, για x = 0 και x = 1, t 0. Αναλυτική λύση της είναι η u = 4 π n=0 1 2n+1 e (2n+1)2 π 2t sin(2n+1)πx Θέσατε h = 0.1, r = 0.1 (οπότεk = rh 2 = 0.001) και ϐρείτε την ακρίβεια της λύσης για t = (0.001)0.2 Συγκρίνατε τις λύσεις στο x = 0.1 για µικρές τιµές του t. Σχολιάσατε τα συµπεράσµατά σας. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 78 / 120

79 Ασκηση 1 - Λύση r = 0.1 U i,j+1 = 1 10 (U i 1,j + 8U i,j + U i+1,j ) Λαµβάνοντας υπόψιν τη συµµετρία της λύσης σε σχέση µε το x = 1 2 έχουµε h = 0.1, r = 0.1 (k = rh 2 = 0.001) U i,j+1 = 1 10 (U i 1,j + 8U ij + U i+1,j ) t x = (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 79 / 120

80 Ασκηση 1 - Λύση(συν.) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) Υπάρχει ασυνέχεια στην περιοχή του σηµείου (0,0) και γιάυτό δεν έχουµε καλή ακρίβεια στο x = 0 για µικρές τιµές του t. Αυτό όµως τείνει να εξαφανισθεί καθώς το t αυξάνει, πράγµα το οποίο είναι χαρακτηριστικό στις παραβολικές εξισώσεις. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 80 / 120

81 Ασκηση 2 Εφαρµόσατε την µέθοδο των Crank-Nikolson για τον υπολογισµό της αριθµητικής λύσης της Μ..Ε u t = 2 u x 2, 0 x 1 1 u = 0 όταν x = 0, x = 1, t 0 2 u = 2x όταν 0 x 1 2, t = 0 3 u = 2(1 x) όταν 1 2 x 1, t = 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 81 / 120

82 Ασκηση 2 - Λύση Εστω h = 1 10 και r = 1 Αφού r = k h 2 k = rh2 = Ο τύπος (1) της µεθόδου Crank-Nikolson δίνει U i 1,j+1 + 4Ui, j + 1 Ui + 1, j + 1 = Ui 1, j + Ui + 1, j Υπολογιστικό Μόριο Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 82 / 120

83 Ασκηση 2 - Λύση(συν.) Αν εφαρµόσουµε το υπολογιστικό µόριο της µεθόδου για την πρώτη χρονογραµµή έχουµε Για j = 0 i = 1 0+4u 1 u 2 = i = 2 u 1 + 4u 2 u 3 = i = 3 u 2 + 4u 3 u 4 = i = 4 u 3 + 4u 4 u 5 = i = 5 2u 4 + u 5 = ή u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 83 / 120

84 Ασκηση 2 - Λύση(συν.) Η λύση του ανωτέρω 5 5 συστήµατος είναι u = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 84 / 120

85 Ασκηση 3 Εφαρµόσατε την µέθοδο των Crank-Nikolson για τον υπολογισµό της αριθµητικής λύσης της Μ..Ε u t = 2 u x 2, 0 x 1 µε αρχικές συνθήκες u = sinπx, t = 0, 0 x 1 και συνοριακές συνθήκες u = 0 για x = 0, x = 1, t > 0 Αξιολογήστε την αναλυτική λύση και υπολογίστε το αριθµητικό σφάλµα στην αριθµητική λύση. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 85 / 120

86 Ασκηση 3 - Λύση Η λύση για x = 0(0.1)0.5, r = 1 δίνεται στον παρακάτω πίνακα t x = (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) Αρ. Λύση Αναλυτική Ποσοστιαίο Πεπερ. ιαφ. Λύση Λάθος x = 0.5 x = 0.5 t = t = t = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 86 / 120

87 Ασκηση 4 Η συνάρτηση u ικανοποιεί την u t = 2 u x 2 (0 x 1), και οι συνοριακές συνθήκες είναι u t = h 1 (u v 1 ), x = 0, u = h 2 (u v 2 ), x = 1, t όπου h 1, h 2, v 1, v 2 ϑετικοί αριθµοί. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 87 / 120

88 Ασκηση 4 (συν.) Αν οι συνοριακές συνθήκες προσεγγίζονται από κεντρικές διαφορές αποδείξτε ότι µια αναλυτική λύση είναι u 0,j+1 = {1 2r(1+h 1 δx)}u 0,j + 2ru 1,j + 2rh 1 v 1 δx, u i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)u i,j + ru i+1,j, (i = 1, 2,..., N 1), u N,j+1 = 2ru N 1,j +{1 2r(1+h 2 δx)}u N,j + 2rh 2 v 2 δx, όπου Nδx = 1 r = δt (δx) 2. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 88 / 120

89 Ασκηση 4 (συν.) Αν οι συνοριακές συνθήκες προσεγγίζονται από προς τα εµπρός διαφορές στο x = 0 και από προς τα πίσω διαφορές (ϐαςκωαρδ-διφφερενςες) στο x = 1, αποδείξτε ότι µια άλλη αναλυτική λύση είναι u i,j = {1 2r + r/(1+h 1 δx)}u 1,j + ru 2,j + rh 1 v 1 δx/(1+h 1 δx), u 0,j = (u i,j+1 + h 1 v 1 δx)/(1+h 1 δx), u i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)u i,j + ru i+1,j, (i = 2, 3,...,N 2) u N 1,j+1 = {1 2r + r/(1+h 2 δx)}u N 1,j + ru N 2,j + u N,j+1 = (u n 1,j+1 + h 2 v 2 δx)/(1 + h 2 δx). + rh 2 v 2 δx/(1 + h 2 δx), Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 89 / 120

90 Ασκηση 5 Οµοιογενής ϱάβδος ϑερµικά αποµονωµένη έχει αρχική ϑερµοκρασία τη στιγµή t = 0 0 ο C. Το ένα της άκρο είναι ϑερµικά αποµονωµένο, ενώ το άλλο ϑερµαίνεται µε σταθερό ϱυθµό. είξτε ότι οι ϑερµοκρασία στα διάφορα σηµεία της ϱάβδου, δίνεται από την λύση της εξίσωσης u t = 2 u x 2, (0 < x < 1 2 ), που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u = 0 όταν t = 0(0 x 1 2 ) και τις συνοριακές συνθήκες u x = 0 στο x = 0, t > 0, u x = f στο x = 1 2, t > 0 όπου fκαθηγητής: σταθερά. Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 90 / 120

91 Ασκηση 5 (συν.) Λύστε αριθµητικά το πρόβληµα µε f = 1 χρησιµοποιώντας 1 µια άµεση µέθοδο µε δx = 0.1 και r = 1, 4 2 µια έµµεση µέθοδο µε δx = 0.1 και r = 1. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 91 / 120

92 Ασκηση 5 - Λύση Η λύση που προκύπτει από την άµεση µέθοδο, της οποίας οι εξισώσεις είναι u 0,j+1 = 1 2 (u 0,j + u 1,j ), u i,j+1 = 1 4 (u i 1,j + 2u i,j + u i+1,j ) (i = 1, 2, 3, 4), u 5,j+1 = 1 2 (u 4,j + u 5,j + 0.1) ϕαίνεται στον παρακάτω πίνακα t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 92 / 120

93 Ασκηση 5 - Λύση (συν.) Η λύση µε τη µέθοδο Crank-Nicolson είναι t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 93 / 120

94 Ασκηση 5 - Λύση (συν.) Η αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι { } u = 2t x π 2 e 4π2 n 2t cos 2nπx n=1 = { 2 t ierfc (2n+1 2x) + ierfc (2n+1+2x) }, 4 t 4 t n=0 και παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 94 / 120

95 Ασκηση 5 - Λύση (συν.) Αναλυτική Άµεση Ποσοστιαίο Crank Nicolson Ποσοστιαίο t Λύση Λύση Λάθος Λύση Λάθος x = 0.3 x = 0.3 x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 95 / 120

96 Ασκηση 5 - Λύση (συν.) Οι λύσεις των πεπερασµένων διαφορών είναι αρκετά ακριβείς για µεγάλες τιµές του t. Το αποτέλεσµα του εκθετικού µέρους της αναλυτικής λύσης είναι αµελητέο για t > 0.1. Η διαφορά µεταξύ της αναλυτικής λλύσης και της λύσης των πεπερασµένω διαφορών για t > 0.1 είναι = = (δx)2. 6 Αποδεικνύεται ότι το (τρανσιεντ) κοµµάτι της λύσης οποιασδήποτε άµεσης ή έµµεσης µεθόδου πεπερασµένων διαφορών για µια παραβολική εξίσωση που ικανοποιεί τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες, δεν τείνει στο 0 καθώς το t αυξάνει, όπως συµβαίνει µε το (τρανσιεντ) µέρος της διαφορικής εξίσωσης, αλλά τείνει στην τιµή k(δx) 2, k σταθερά Στο συγκεκριµένο παράδειγµα k = 1 6. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 96 / 120

97 Ασκηση 6 Η ϑερµοκρασία ψύξης u ενός νάυλον νήµατος που είναι τυλιγµένο σε ένα περιστρεφόµενο µασούρι δίνεται από τη λύση της εξίσωσης α u t = 2 u r r u, (0 r 1), r που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u = 1, t = 0 r, και τις συνοριακές συνθήκες u r = 0, r = 0 1 u = F(t), r = 1, u r όπου α µια σταθερά και F(t) µια εµπειρική συνάρτηση του t. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 97 / 120

98 Ασκηση 6 (συν.) Για r i = iδr, nδr = 1, t j = jδt, και δεδοµένου ότι οι συνοριακές συνθήκες αναπαρίστανται από προσεγγίσεις κεντρικών διαφορών (ϱεπρεσεντεδ ϐψ ςεντραλ-διφφερενςε αππροξιµατιονς), δείξτε ότι η αριθµητική λύση του προβλήµατος µε τη µέθοδο Crank-Nicolson είναι α (u 0,j+1 u 0,j ) δt α (u i,j+1 u i,j ) δt = 2 (δr) 2(u 1,j+1 u 0,j+1 + u 1,j u 0,j ) = 1 2(δr) 2{(1+ 1 2i )u i 1,j+1 2u i,j+1 + α (u n,j+1 u n,j ) δt +(1 1 2i )u i 1,j+1(1+ 1 2i )u i+1,j 2u i,j +(1 1 2i )u i 1,j} (i = 1, 2,, n 1), = 1 (δr) 2{(1+ 1 2i )u i 1,j+1 2u i,j+1 + +(1 1 2i )u i 1,j+1 +(1+ 1 2i )u i+1,j 2u i,j +(1 1 2i )u i 1,j} Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 98 / 120

99 Ασκηση 7 Λύστε την εξίσωση u t που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες και τις συνοριακές συνθήκες = 2 u x 2 (0 x 1) u = 1, 0 x 1 t = 0, u x u x = u, x = 0 t, = u, x = 1 t. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 99 / 120

100 Ασκηση 7 - Λύση Για r = 1 4 u 0,j+1 = 1 2 (0.9u 0,j + u 1,j ), u i,j+1 = 1 4 (u i 1,j + 2u i,j + u i+1,j (i = 1, 2, 3, 4)) και χρησιµοποιώντας την συµµετρία στο x = 1 2 έχουµε u 5,j=1 = 1 4 (2u 4,j + 2u 5,j ). Για t = r(δx) 2 = 1/400 (στο τέλος της πρώτης χρονοσφραγίδας) οι τιµές του u είναι u 0,1 = 1 (0.9+1) = 0.95, 2 u 1,1 = 1 4 (1+2+1) = 1 = u 2,1 = u 3,1 = u 4,1 = u 5,1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 100 / 120

101 Ασκηση 7 - Λύση Στο τέλος της δεύτερης χρονοσφραγίδας είναι u 0,2 = 1 ( ) = , 2 u 1,2 = 1 ( ) = , 4 u 2,2 = 1 4 (1+2+1) = 1 = u 3,2 = u 4,2 = u 5,2 Οµοια υπολογίζονται και για τις υπόλοιπες χρονοσφραγίδες και αναπαρίστανται στον παρακάτω πίνακα. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 101 / 120

102 Ασκηση 7 - Λύση i = t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 102 / 120

103 Ασκηση 7 - Λύση Η αναλυτική λύση της εξίσωσης των µερικών διαφορών που ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες είναι u = 4 { secα n 2t (3+4α 2 n) e 4αn cos 2α n (x 1 )} (0 < x < 1), 2 n=1 όπου α n είναι οι ϑετικές ϱίζες της α tanα = 1 2. Η αναλυτική λύση ϕαίνεται στον παρακάτω πίνακα Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 103 / 120

104 Ασκηση 7 - Λύση t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 104 / 120

105 Ασκηση 7 - Λύση Αρ. Λύση Αναλυτική Ποσοστιαίο Πεπερ. ιαφ. Λύση Λάθος x = 0.2 x = 0.2 t = t = t = t = t = t = Η λύση των πεπερασµένων διαφορών είναι αρκετά ακριβής για τις µικρές τιµές του r. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 105 / 120

106 Ασκηση 8 Λύστε τη προηγούµενη άσκηση χρησιµοποιώντας µια άµεση µέθοδο και εφαρµόζοντας µια προς τα εµπρός διαφορά για την συνοριακή συνθήκη στο x = 0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 106 / 120

107 Ασκηση 8 - Λύση Για i = 1 u 1,j+1 = u i,j + r(u 0,j 2u 1,j + u 2,j ). Η συνορική συνθήκη στο x = 0, u = u, σε µορφή προς τα εµπρος διαφοράς x είναι u 1,j u 0,j = u 0,j, δx συνεπώς u 0,j = u 1,j /(1+δx). και ( u 1,j+1 = 1 2r + r ) u 1,j + ru 2,j. 1+δx Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 107 / 120

108 Ασκηση 8 - Λύση (συν.) Για r = 1 καιδx = u 1,j+1 = 8 11 u 1,j u 2,j, u 0,j+1 = u 1,j+1 u i,j+1 = 1 4 (u i 1,j + 2u i,j + u i+1,j ) (i = 2, 3, 4), u 5,j+1 = 1 4 (2u 4,j + 2u 5,j ) λόγω συµµετρίας Η λύση των παραπάνω εξισώσεων µε αρχική τιµή του u = 1 ϕαίνεται στον παρακάτω πίνακα Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 108 / 120

109 Ασκηση 8 - Λύση (συν.) t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 109 / 120

110 Ασκηση 8 - Λύση (συν.) Αρ. Λύση Αναλυτική Ποσοστιαίο Πεπερ. ιαφ. Λύση Λάθος x = 0.2 x = 0.2 t = t = t = t = t = t = Παρ ολο που αυτή η λύση δεν είναι τόσο ακριβής όσο η προηγούµενη, είναι ικανοποιητικά καλή για πολλές πρακτικές εφαρµογές. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 110 / 120

111 Ασκηση 9 Λύστε την άσκηση 6 µε τη µέθοδο Crank-Nicolson Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 111 / 120

112 Ασκηση 9 - Λύση Αυτή η µέθοδος αναπαριστά την ως u t = 2 u x 2 u i,j+1 u i,j δt = 1 2 {u i+1,j+1 2u i,j+1 + u i 1,j+1 (δx) 2 + u i+1,j 2u i,j + u i 1,j (δx) 2 }, η οποία γράφεται ru i 1,j+1 +(2+2r)u i,j+1 ru i+1,j+1 = ru i 1,j+1 = ru i 1,j +(2 2r)u i,j +u i+1,j. (I) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 112 / 120

113 Ασκηση 9 - Λύση (συν.) Η συνοριακή συνθήκη στο x = 0 ως κεντρική διαφορά γράφεται u 1,j u 1,j 2δx = u 0,j, από την οποία προκύπτει ότι u 1,j = u 1,j 2δxu 0,j u 1,j+1 = u 1,j+1 2δxu 0,j+1 Οι δυο τελευταίες εξισώσεις µας επιτρέπουν να απαλείψουµε τους όρους u 1,j και u 1,j+1 από την εξίσωση που προκύπτει ϑέτοντας i = 0 στην I. Η συνοριακή συνθήκη στο x = 1 υπολογίζεται µε όµοιο τρόπο, αν και σε αυτό το πρόβληµα είναι πιο εύκολο να χρησιµοποιηθεί η συµµετρία στο x = 1 2, π.χ. u 6,j = u 4,j. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 113 / 120

114 Ασκηση 9 - Λύση (συν.) Για r = 1 καιδx = u 0,j+1 u 1,j+1 = 0 1u 0,j + u 1,j, u i 1,j+1 + 4u i,j+1 u i+1,j+1 = u i 1,j + u i+1,j (i = 1, 2, 3, 4), u 4,j+1 + 2u 5,j+1 = u 4,j. Για την πρώτη χρονοσφραγίδα γίνονται 2 1u 0 u 1 = 0.9, u 0 + 4u 1 u 2 = 2.0, u 1 + 4u 2 u 3 = 2.0, u 2 + 4u 3 u 4 = 2.0, u 3 + 4u 4 u 5 = 2.0, u 4 + 2u 5 = 1.0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 114 / 120

115 Ασκηση 9 - Λύση (συν.) Η λύση ϕαίνεται στον παρακάτω Πίνακα t i = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 115 / 120

116 Ασκηση 9 - Λύση (συν.) Αρ. Λύση Αναλυτική Ποσοστιαίο Πεπερ. ιαφ. Λύση Λάθος x = 0.2 x = 0.2 t = t = t = t = t = t = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 116 / 120

117 Σηµειώµατα Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 117 / 120

118 Σηµείωµα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήµιον Αθηνών 2015, Νικόλαος Μισυρλής, Επιστηµονικοί Υπολογισµοί. Εκδοση:1.01. Αθήνα ιαθέσιµο από τη δικτυακή διεύθυνση: Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 118 / 120

119 Σηµείωµα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται µε τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εµπορική Χρήση Παρόµοια ιανοµή 4.0 [1] ή µεταγενέστερη, ιεθνής Εκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. ϕωτογραφίες, διαγράµµατα κ.λ.π., τα οποία εµπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται µαζί µε τους όρους χρήσης τους στο «Σηµείωµα Χρήσης Εργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εµπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαµβάνει άµεσο ή έµµεσο οικονοµικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανοµέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαµβάνει οικονοµική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προορίζει στο διανοµέα του έργου και αδειοδόχο έµµεσο οικονοµικό όφελος (π.χ. διαφηµίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος µπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιµοποιεί το έργο για εµπορική χρήση, εφόσον αυτό του Ϲητηθεί. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 119 / 120

120 ιατήρηση Σηµειωµάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού ϑα πρέπει να συµπεριλαµβάνει: το Σηµείωµα Αναφοράς το Σηµείωµα Αδειοδότησης τη δήλωση ιατήρησης Σηµειωµάτων το Σηµείωµα Χρήσης Εργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) µαζί µε τους συνοδευόµενους υπερσυνδέσµους. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 120 / 120