Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Νίκος Καραμπετάκης

2 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Συναρτησιακή εξάρτηση. Εύρεση τοπικού ακρότατου συναρτησιακού διανυσματικής συνάρτησης η οποία υπόκειται σε δεσμούς - Λύση με την χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange. Ισοπεριμετρικό πρόβλημα. 4

5 Ο μετασχηματισμός της επίλυσης ενός προβλήματος υπολογισμού τοπικού ακρότατου συναρτησιακού διανυσματικής συνάρτησης η οποία υπόκειται σε δεσμούς, σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα στο οποίο δεν έχουμε δεσμούς πλέον να ικανοποιούνται. Ο μετασχηματισμός αυτός επιτυγχάνεται με χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange. 5

6 Το σύνολο S = φ 1, φ 2,, φ n λέγεται συναρτησιακώς εξαρτημένο στο J R q αν-ν οι συναρτήσεις φ 1 x 1, x 2,, x q σε κάθε σημείο x 1, x 2,, x q J R q επαληθεύουν μια ή περισσότερες σχέσεις της μορφής F φ 1, φ 2,, φ n = 0 οι οποίες δεν περιέχουν καμία από τις μεταβλητές x 1, x 2,, x q. Πρόταση Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε οι φ 1 x 1, x 2,, x q, φ 2 x 1, x 2,, x q,.., φ n x 1, x 2,, x q να είναι συναρτησιακώς εξαρτημένες είναι η Ιακωβιανή: D φ 1,φ 2,,φ n D x 1,x 2,,x q = φ 1 φ 1 φ 1 x 1 x 2 x n = 0 x 1, x 2,, x q J φ n φ n φ n x 1 x 2 x n Σημείωση: Για συναρτησιακή ανεξαρτησία παρόμοια. 6

7 φ 1 x, y, z = 2x y + 3z, φ 2 x, y, z = 6x + 8y 2z 1, φ 3 x, y, z = 3x + 4y z D φ 1, φ 2, φ 3 D x, y, z = φ 1 x φ 2 x φ 3 x φ 1 y φ 2 y φ 3 y φ 1 z φ 2 z φ 3 z = = 0 Π.χ. φ 2 = 2φ 3 1 7

8 φ 1 x, y, z = x 3 + y 3 + z 3, φ 2 x, y, z = xyz, φ 3 x, y, z = x + y + z φ 1 φ 1 φ 1 x y z D φ 1, φ 2, φ 3 φ 2 φ 2 φ 3x 2 3y 2 3z 2 2 = = yz xz xy D x, y, z x y z φ 3 φ 3 φ 3 x y z = 3 x y x z y z x + y + z Γραμ. ανεξ. x, y, z R 3 : x y & x z & y z & x y, z Άσκηση: Ελέγξτε τις συναρτήσεις φ 1 x, y = x 2 y 2, φ 2 x, y = 2xy 8

9 D f 1,, f n 0 D ω 1,, ω n f i ω 1 t,, ω n+μ t, ω 1 t,, ω n+μ t, t = 0, i = 1,.., n. ω 1 = Φ 1 t, ω 1 t,, ω n+μ t, ω 1 t,, ω n+μ t ω 2 = Φ 2 t, ω 1 t,, ω n+μ t, ω 1 t,, ω n+μ t ω n = Φ n t, ω 1 t,, ω n+μ t, ω 1 t,, ω n+μ t Έστω ω n+1,.., ω n+μ ανεξάρτητες. Τότε από την (1) παίρνω: ω 1 = g 1 ω n+1,.., ω n+μ, ω n+1,.., ω n+μ ω 2 = g 2 ω n+1,.., ω n+μ, ω n+1,.., ω n+μ ω n = g 1 ω n+1,.., ω n+μ, ω n+1,.., ω n+μ (1) 9

10 Πρόβλημα: Να βρεθούν αναγκαίες συνθήκες ώστε το x C 2 t 0, t f αποτελεί σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού n+m να J x = t f F t, x t, x t t 0 όπου το x C 2 n+m t 0, t f, ικανοποιεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων q t, x t, x t = 0 ή q i t, x t, x t = 0, i = 1,2,.., n Εδώ επιπλέον κάνουμε την υπόθεση q 1,,q n x 1,, x n = q 1 q 1 q 1 x 1 x 2 x n q 2 q 2 q 2 x 1 x 2 q n x 1 x n q n q n x 2 x n dt 0 10

11 x 1 = Φ 1 t, x 1,, x n+μ, x n+1,, x n+μ x 2 = Φ 2 t, x 1,, x n+μ, x n+1,, x n+μ x n = Φ n t, x 1,, x n+μ, x n+1,, x n+μ x 1 = g 1 x n+1,, x n+μ, x n+1,, x n+μ x 2 = g 2 x n+1,, x n+μ, x n+1,, x n+μ x n = g n x n+1,, x n+μ, x n+1,, x n+μ όπου οι συναρτήσεις x n+1,, x n+μ είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. n + m αγνωστες συναρτησεις m γρ.ανεξ. συν. (είσοδοι) n εξισώσεις Α Τρόπος: Επίλυση των εξισώσεων και αντικατάσταση στο συναρτησιακό. 11

12 Θεωρούμε λοιπόν τις συναρτήσεις (και όχι σταθερές) p i (t) και σχηματίζουμε το νέο συναρτησιακό J a x, p = t f F t, x t, x(t) + p1 t q 1 t, x t, x t t 0 12

13 Ορίζουμε την συνάρτηση F a t, x t, x t, p(t) = F t, x t, x(t) + p T t q(t, x t, x(t)) ΔJ a x, p = J a x + δx, p + δp J a x, p = = t f Fa x t + δx t, x t + t 0 δx t, p t + δp(t) 13

14 F a t, x t, x t, p t F t, x t, x t + p T t q t, x t, x t F a T x = FT x F a T x t, x t, t, x t, t, x t, x t, p(t) x(t) + pt t q x x t, p(t) (t, x t, x(t)) = FT t, x t, x x(t) + pt t q (t, x t, x x(t)) T F a t, x t, p x t, p(t) = qt t, x t, x(t) 14

15 δj a x, p = t f F T = x t 0 + FT x t, x t, t, x t, x t + pt t q (t, x t, x(t)) δx t x x(t) + pt t q (t, x t, x x(t)) δ x t 15

16 = FT x t, x t, x t + pt t q x t, x t, x t δx(t) t f t0 t 0 = t f d dt t 0 t f d dt F T x F T x t, x t, x t + t, x t, x t + pt t q x pt t q x t, x t, t, x t, x t δx t dt = x t δx t dt 16

17 δj a x, p = t f F T = x t 0 t, x t, x t + pt t q x t, x t, x t 17

18 που προκύπτουν από τους n συντελεστές των δx 1 t, δx 2 t,, δx n t δηλαδή F x 1 + p 1 t q 1 x 1 + p 2 t q 2 x 1 + d dt F x 2 + p 1 t q 1 x 2 + p 2 t q 2 x 2 + d dt F + p x 1 t q 1 + p 1 x 2 t q x 1 = 0 F + p x 1 t q 1 + p 2 x 2 t q x 2 = 0 F x n + p 1 t q 1 x n + p 2 t q 2 x n + d dt F + p x 1 t q 1 + p n x 2 t q 2 + = 0 n x n 18

19 δj a x, p = t 0 t f F x n+1 + p 1 t q 1 x n+1 + p 2 t q 2 x n

20 Θεώρημα: Έστω το συναρτησιακό J: C 2 t 0, t f, n+m R, t J x = f t0 F t, x t, x t dt, όπου x t 0 = x 0 R n+m, x t f = x f R n+m και έστω ότι η συνάρτηση F είναι κλάσης C 2 ως προς t, x, x (έχει δηλαδή συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους ως προς t, x, x). Έστω επίσης ότι το διάνυσμα x(t) ικανοποιεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων q t, x t, x t = 0 όπου q είναι ένα διάνυσμα n 1 κλάσης C 2, 20

21 ενώ επιπλέον ισχύει η συνθήκη q 1,,q n 0. x 1,, x n Εάν το συναρτησιακό J δέχεται ακρότατο στη συνάρτηση x C 2 t 0, t f, n+m τότε θα ικανοποιείται η διαφορική εξίσωση Euler-Lagrange F x t, x t, x t, p (t) d F dt x t, x t, t t 0, t f x t, p t = 0, 21

22 όπου F a t, x t, x t, p(t) F t, x t, x t + p T t q t, x t, x(t) καθώς και η συνοριακή συνθήκη F a p t, x t, x t, p (t) d dt = 0, t t 0, t f ή ισοδύναμα q t, x t, x t = 0. F a p t, x t, x t, p t 22

23 Να βρεθούν οι συναρτήσεις ω 1 t, ω 2 (t) που ελαχιστοποιούν το συναρτησιακό J ω = όταν ω 1 t = ω 2 (t). 0 t f 1 2 ω 1 2 t + ω 2 2 (t) dt Συνθήκη: q ω, ω = ω 2 t ω 1 t = 0 Ορισμός: F a ω, ω, p, t = 1 ω t + ω 2 2 (t) + p 1 (t) ω 2 t 23

24 ω 1 t + p 1 t = 0 ω 2 t + p 1 t = 0 Περιορισμοί ω 1 t = ω 2 (t) ω 1 t = e t 2 + et 2 c 1 + e t 2 et 2 c 2 ω 2 t = 1 2 e t c 1 + e 2t c 1 c 2 e 2t c 2 p 1 t = e t 2 et 2 c 1 + e t 2 + et 2 c 2 24

25 Να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε να έχει σχετικό ακρότατο το συναρτησιακό J x = t 0 t f x1 2 t + x 1 t x 2 t + x 2 2 t + x 3 2 (t) dt Όταν τα x i t, i = 1,2,3 ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων x 1 t = x 2 (t) x 2 t = x 1 t + 1 x 1 2 t x 2 t + x 3 (t) 25

26 F a x t, x t, p t = x 1 (t) 2 + x 1 t x 2 t + x 2 (t) 2 + p 1 t x 1 t x 2 t + p 2 (t) x 2 t + x 1 t x 2 t + x 1 t 2 x 2 t x 3 (t) F x t, x t, p (t) d x 1 dt F x t, x t, p t x 1 = 0 2x 1 t + x 2 t + 2x 1 t x 2 t p 2 t + p 2 t d dt p 1 t = 0 p 1 t = 2x 1 t + x 2 t + p 2 t + 2x 1 (t)x 2 (t)p 2 (t) 26

27 F x t, x t, p (t) d x 2 dt F x t, x t, p t x 2 = 0 x 1 t + 2x 2 t p 1 t p 2 t + x 1 t 2 p 2 t d dt p 2 t = 0 p 2 t = x 1 t + 2x 2 t p 1 t p 2 t + x 1 t 2 p 2 (t) F x t, x t, p (t) d x 3 dt F x t, x t, p t x 2 2x 3 t p 2 t d dt 0 = 0 2x 3 t p 2 t = 0 = 0 27

28 F a x t, x t, p (t) d p 1 dt F a x t, x t, p t = 0 p 1 x 1 t x 2 t d dt 0 = 0 x 1 t x 2 t = 0 F a x t, x t, p (t) d p 2 dt F a x t, x t, p t p 2 = 0 x 2 t + x 1 t 1 x 1 t 2 x 2 t x 3 t d dt 0 = 0 x 2 t + x 1 t 1 x 1 t 2 x 2 t x 3 t = 0 28

29 Να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε να έχει σχετικό ακρότατο το συναρτησιακό J x, u = t 0 x t : R R 2, u t : R R t f 1 2 x t T Qx t u t T Ru(t) dt Q = , R = 1 x 1 t = x 2 (t) x 2 t = x 1 t + u(t) F a x t, x t, p t, u(t) = 1 2 x 1(t) 2 + x 2 (t) 2 + u 2 (t) + +p 1 t x 1 t x 2 t + p 2 t x 2 t x 1 t u(t) 29

30 F a x t, x t, p t, u(t) = 1 2 x 1(t) 2 + x 2 (t) 2 + u 2 (t) + p 1 t + p 2 t x 2 t x 1 t u(t) F a x t, x t, p t, u (t) d x 1 dt x 1 t x 2 t F x t, x t, p t, u (t) x 1 = 0 x 1 t p 2 t d dt p 1 t = 0 F a x t, x t, p t, u (t) d x 2 dt p 1 t = x 1 t p 2 t F x t, x t, p t, u (t) x 2 = 0 x 2 t p 1 t d dt p 2 t = 0 p 2 t = x 2 t p 1 t 30

31 F a u x t, x t, p t, u (t) d dt F u x t, x t, p t, u (t) = 0 u t p 2 t d dt 0 = 0 u t = p 2 t F a x t, x t, p t, u (t) d p 1 dt x 1 t x 2 t d dt 0 = 0 x 1 t = x 2 (t) F x t, x t, p t, u (t) = 0 p 1 31

32 F a x t, x t, p t, u (t) d p 2 dt F x t, x t, p t, u (t) p 2 = 0 x 2 t x 1 t u t d dt 0 = 0 p 1 t = x 1 t p 2 t p 2 t = x 2 t p 1 t u t = p 2 t x 1 t = x 2 (t) x 2 t = x 1 t + u (t) x 2 t = x 1 t + u (t) 32

33 x 1 t x 2 t p 1 t p 2 t x 1 t f x 2 t f p 1 t f p 2 t f = = e At f A x 1 0 x 2 0 p 1 (0) p 2 (0) x 1 t x 2 t p 1 t p 2 t = e A(t f t) x 1 t x 2 t p 1 t p 2 t 33

34 = e At = L 1 si 4 A 1 = φ 11(t) φ 12 (t) φ 21 (t) φ 22 (t) 1 2 e t + e t e t + e t 1 t 2 e t e t 1 + 2t 2 e t 1 + e t e t + e t 1 + e t + e t 1 2 e t 1 + e t e t + e t 1 2 e t + e t e t 1 + e t 2 2 e t 2 et e t + e t 0 t t 1 34

35 Επειδή τα t f, x t f είναι άγνωστα και ανεξάρτητα T F a x t f, x t f, x t f, p t f δ x f + + F a t f, x t f, x t f, p t f 35

36 F a x x t f, x t f, p t f, t f = 0 p t f = p 1 t f p 2 t f = 0 F a u x t f, x t f, p t f, t f = 0 F a p x t f, x t f, p t f, t f = 0 36

37 Επειδή τα t f, x t f είναι άγνωστα και ανεξάρτητα T F a x t f, x t f, x t f, p t f δ x f + F a t f, x t f, x t f, p t f 37

38 F a t f, x t f, x t f, p t f = x 1 (t f ) 2 + x 2 (t f ) 2 + u (t f ) 2 + p 1 t f x 1 t f + p 2 t f x 2 t f x 1 t f u (t f ) = x 1 (t f ) 2 + x 2 (t f ) 2 + u (t f ) 2 = x 1 (t f ) 2 + x 2 (t f ) 2 + p 2 (t f ) 2 = 0 x 2 t f x 1 (t f ) 2 + x 2 (t f ) 2 + p 2 (t f ) 2 = 0 x 1 (t f ) 2 + x 2 (t f ) 2 = 0 x 1 t f = x 2 t f = 0 38

39 x (t f ) p (t f ) = φ 11(t f, t) φ 21 (t f, t) φ 12 (t f, t) φ 22 (t f, t) x t p t x t f = φ 11 t f, t x t + φ 12 t f, t p t p t f = 0 = φ 21 (t f, t)x t + φ 22 t f, t p t x t f = φ 11 t f, t φ 12 (t f, t)φ 22 t f, t 1 φ 21 (t f, t x (t) p t = φ 22 t f, t 1 φ 21 t f, t K t x (t) 39

40 = p t = φ 22 t f, t 1 φ 21 t f, t K t 2 e tf t e t f t e tf t + e t f t t f t e t f t + e t f t e t f t 0 t K(t) 1 + e t f t x t = 1 2 x (t) 40

41 u t = p 2 t = 0 1 p t = 0 1 K t x t = t t f Sinh t t f 2 + Cosh t t f t t f Sinh t t f x 1 t t t f Cosh t t f 2 + Cosh t t f t t f Sinh t t f x 2 t 41

42 Με τη βοήθεια του, ορίζουμε αρχικά τον πίνακα Α Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον πίνακα μετάβασης Ορίζουμε τους πίνακες φ 21 και φ 22 42

43 Υπολογίζουμε τον πίνακα φ 22 1 φ 21 Αντικαθιστούμε όπου t το t f t 43

44 Άσκηση 2.27 Να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε να έχει σχετικό ακρότατο το συναρτησιακό J x 1, x 2, u = 1 1 x t + x 2 2 t + u 2 t dt 0 όταν τα x i t, i = 1,2 ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων x 1 t = x 2 t x 2 t = u t και επιπλέον x 1 0 = 1, x 2 0 = 1. 44

45 Έστω J ένα συναρτησιακό της μορφής J x = t ff t, x t, x(t) dt t 0 όπου x C 2 n+m t 0, t f, x t0 = x 0 R n+m και x t f = x f R n+m. Έστω επίσης ότι ικανοποιείται η παρακάτω συνθήκη (ες) t fq t, x t, x(t) dt = c t 0 όπου q, c είναι διανύσματα n 1 δηλαδή έχουμε τις συνθήκες 45

46 με i = 1,2,, n. t fqi t, x t, x(t) dt = c i t 0 Ορίζουμε ως ισοπεριμετρικό πρόβλημα (isoperimetric problem), το πρόβλημα εύρεσης σχετικού ακρότατου του παραπάνω συναρτησιακού, δεδομένων των περιορισμών που αναφέραμε. 46

47 Θέτουμε z t = t 0 t q t, x t, x(t) dt z t 0 = z t f = t 0q t, x t, x(t) dt = 0 t 0 t fq t, x t, x(t) dt = c t 0 z t = d tq t, x t, x(t) dt = q t, x t, x(t) dt t 0 F a t, x t, x t, p t, z(t) = F t, x t, x(t) + p T (t) q t, x t, x t ) z(t) 47

48 F a x t, x, x, p, z d dt F a p t, x (t), x (t), p (t), z (t) d dt t 0, t f F a x t, x, x, p, z F a p = 0, t t 0, t f t, x (t), x (t), p (t), z (t) = 0, t ή ισοδύναμα z t t = f t0 q t, x t, x t dt, z t 0 = 0, z t f =c ή ισοδύναμα t f q t, x t, x t t 0 dt = c F a z t, x (t), x (t), p (t), z (t) d dt F a z t, x t, x t, p t, z t = 0 0 d dt p t = 0 p t = 0 p t = p R n 48

49 Να ελαχιστοποιηθεί το εμβαδό που περικλείεται από την καμπύλη x C 2 t 0, t f, w, τον άξονα των xx και τις ευθείες t = x 0, t = x f και η οποία έχει συγκεκριμένο μήκος l. J x t = t0 t f x t dt, t 0 t f 1 + x(t) 2 1/2 dt = l Το μήκος της καμπύλης l θα πρέπει να ξεπερνάει την διαφορά t f t 0 δηλ. l > t f t 0. z t = d dt z t = t t 0 t 0 t x(t) 2 1/2 dt = 1 + x(t) 2 1/2 dt x(t) 2 1/2 z t 0 = t x(t) 2 1/2 dt = 0, z t f = t f 1 + x(t) 2 1/2 dt = l t 0 t 0 49

50 F a t, x t, x t, p t, z(t) = x t + p(t) 1 + x(t) 2 1/2 z(t) F a x x t, x t, p t, z t = 0 d dt F a x x t, x t, p t, z t 1 d 1 2 x t dt x t 2 1 p t = 0 2 d x t dt 1 + x t 2 1 p t = 1 2 x t 1 + x t 2 1 p t = t + c

51 F a t, x t, x t, p t, z(t) = x t + p(t) 1 + x(t) 2 1/2 z(t) F a z x (t), x (t), p (t), z (t) d dt F a z x t, x t, p t, z t = 0 0 d dt p t = 0 F a p x (t), x (t), p (t), z (t) d dt p t = 0 p t = p R F a p x t, x t, p t, z t 1 + x(t) 2 1/2 z t d dt 0 = 0 = 0 z t = 1 + x(t)

52 x t = x t 1 + x t 2 1 p t = t + c 1 2 x t = tan(z) tan(z) 1 + tan(z) 2 1 p = t z + c 1 tan(z) p = t z + c cos(z) sin z p = t z + c 1 t z = psin z c 1 dt = pcos(z) (1) dx dz dt dz = dx dz pcos(z) = tan z dx dz dz = pcos z tan z = psin(z) x z = psin z dz = pcos z c 2 (2) 52

53 (1)+(2) x z + c t z + c 2 1 = pcos(z) 2 + psin(z) 2 = p 2 Ας υποθέσουμε οτι x 1 = 0, x 1 = 0, l R l > 1 1 = c c 1 2 = p c c 1 2 = p 2 c 1 = 0 c 2 = ± p

54 Να γράψετε τις αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συναρτησιακό J x 1, x 2 = t 0 t f 1 2 x 1(t) 2 + x 2 (t) 2 dt αν τα x 1 t, x 2 (t)ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων x 1 t = x 1 t + x 2 t + u(t) x 2 t = 2x 1 t 3x 2 t + u(t) και ισχύει επιπλέον η παρακάτω ισοπεριμετρική συνθήκη t 0 t f u 2 t dt = c R. 54

55 Η ερμηνεία από την πλευρά της Θεωρίας Ελέγχου, είναι να υπολογίσουμε την είσοδο u(t) που πρέπει να εφαρμόσουμε στο σύστημα Σ, ώστε να πλησιάσουν τα x 1 t, x 2 (t) στο μηδέν, δεδομένου ότι η ενέργεια που θα χρησιμοποιήσουμε θέλουμε να είναι περιορισμένη. 55

56 Άσκηση 2.28 (Πρόβλημα αλυσίδας) Να υπολογίσετε καμπύλη x C 2 t 0, t f, w δοθέντος μήκους l, η οποία να περνά από τα σημεία t 0, x t 0, t f, x t f και της οποίας το κέντρο βάρους να βρίσκεται στην κατώτερη δυνατή θέση ή ισοδύναμα να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του συναρτησιακού t f J x = x(t) 1 + x t 2 1 2dt t 0 δεδομένου ότι x t 0 = x 0, x t f = x f και το μήκος της καμπύλης δίνεται από τη συνθήκη t 0 t f 1 + x t 2 1 2dt = l. 56

57 Πρόβλημα: Δίνεται το σύστημα που περιγράφεται από το σύστημα δ.ε. A 0 + A 1 ρ + + A q ρ q A ρ b t = B 0 + B 1 ρ + + B q ρ q B ρ ρ d dt, A i R n n, B i R n m Να βρεθούν τα σχετικά ακρότατα του συναρτησιακού J β, u = 0 2 βt Qβ + u T Ru dt όπου Q 0, R > 0. Σημείωση: Κυβεντίδης (σελ.84) t 1 Επίσης για J ω, v = 0 2 ωt Qω + v T Rv dt t 1 ω T t = β t β 1 t β n 1 t v T t = u t u 1 t u n 1 t u(t) 57

58 Νικόλαος Καραμπετάκης, 2009, Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων, Εκδόσεις Ζήτη. D.E. Kirk, 1970, Optimal Control Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. D. S. Naidu, 2002, Optimal Control Systems, CRC Press LLC. 58

59 Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

60 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

61 Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

62 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο