Επιστηµονικοί Υπολογισµοί

Transcript

1 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

2 Περιεχόµενα Βασικά στοιχεία Πεπερασµένες διαφορές Παραβολικές ιαφορικές Εξισώσεις Αµεσοι Μέθοδοι Εµµεσες Μέθοδοι Συµβατότητα ισδιάστατες Παραβολικές εξισώσεις Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλασσόµενων ιευθύνσεων (ADI) Ελλειπτικές ιαφορικές Εξισώσεις ισδιάστατες Ελλειπτικές εξισώσεις Η εξίσωση του Laplace Επαναληπτικές Μέθοδοι ( SOR, PSD, SSOR ) Υπερβολικές ιαφορικές Εξισώσεις Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

3 Αριθµητική Επίλυση Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων Συµβολισµός Παραδείγµατα F(x, y, u, u x, u y, u xx, u yy, u xy ) = 0 u = u(x, y), u x = u x, u y = u y u xx = 2 u x 2, u xy = 2 u x y u xx + u yy = 0 u x = u + x 2 + y 2 (u x ) 2 +(u y ) 2 = exp(u) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

4 Αριθµητική Επίλυση Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων (συν.) Η τάξη µιας Μ Ε είναι η µεγαλύτερης τάξης παράγωγος στην εξίσωση. u x bu y = 0 u xx + u y = 0 u xxx + u yyyy = 0 1ης τάξης 2ης τάξης 4ης τάξης Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

5 Αριθµητική Επίλυση Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων (συν.) Γραµµικότητα a(.)u x + b(.)u y = c(.) (.) (x, y) γραµµική (linear) (.) (x, y, u) ηµιγραµµική (quasilinear) (.) (x, y, u, u x, u y ) µη γραµµική (nonlinear) Παραδείγµατα u x + bu y = 0 u x + uu y = x 2 u x +(u y ) 2 = 0 γραµµική ηµιγραµµική µη γραµµική Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

6 Αριθµητική Επίλυση Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων (συν.) Πρόβληµα u x = u yy x > 0, 0 < y < 1 u(0, y) = f(y) x = 0, 0 < y < 1 αρχικές συνθήκες } u(x, 0) = φ 1 (x) y = 0, x 0 συνοριακές συνθήκες u(x, 1) = φ 2 (x) y = 1, x 0 Καλά τοποθετηµένο πρόβληµα - µοναδική λύση Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

7 Πρώτης Τάξης Μ Ε a(x, y, u)u x + b(x, y, u)u y = c(x, y, u) u = u(x, y) du = u x dx + u y dy {a, b, c} {dx, dy, du} u u = u(x,y) P(x,y, u) {a,b, c} y {ux,uy, 1} x Επιφάνεια λύση u = u(x, y) διάνυσµα{a, b, c} εφάπτεται στη u διάνυσµα{u x, u y, 1} κάθετο στη u στο σηµείο P(x, y, u) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

8 εύτερης Τάξης Μ Ε au xx + 2bu xy + cu yy + du x + eu y + fu + g = 0 u xx + u yy = 0 u xx + u yy = f(x, y) u t = u xx u t = u xx + u yy u t + uu x = ku xx u tt = u xx b 2 ac > 0 b 2 ac = 0 b 2 ac < 0 Laplace Poison heat flow ή diffusion heat flow ή diffusion Εξίσωση Burger wave Εξίσωση υπερβολική παραβολική ελειπτική Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

9 Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες a(x, y)u(x, y) +β(x, y)u n (x, y) = γ(x, y) u n = u n u ορθογώνια στο σύνορο n = u x ή u y Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

10 Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες (συν.) Παραβολική Εξίσωση u t = u xx t u or ux u(t, 0) = known ux(t, 0) = known u or ux u(t, 1) = known ux(t, 1) = known x = 0 x = 1 x u and ut και µε α 1 u +β 1 u x = γ 1 στο x = 0 α 2 u +β 2 u x = γ 2 στο x = 1 α 1,α 2 0, β 1,β 2 0, α 1 β 1 > 0, α 2 β 2 > 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

11 Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες (συν.) y u or uy αu + βuy = γ x Dirichlet β = 0 καθορισµός τιµής Neumann α = 0 καθορισµός κλίσης Cauchy α = 0 στη µια καθορισµός τιµής β = 0 στην άλλη και κλίσης Robbins α και β 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

12 Πεπερασµένες ιαφορές Προσθέτοντας u(x + h) = u(x)+hu x + h2 2! u xx + h3 3! u xxx + O(h 4 ) u(x h) = u(x) hu x + h2 2! u xx h3 3! u xxx + O(h 4 ) u xx = 1 h 2{u(x + h) 2u(x)+u(x h)}+o(h2 ) Αφαιρώντας Επίσης και u x = 1 2h {u(x + h) u(x h)}+o(h2 ) u x = 1 {u(x + h) u(x)}+o(h) h u x = 1 {u(x) u(x h)}+o(h) h Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

13 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) t i,j+1 t=jk P(x, t) i-1,j i,j i+1,j i,j-1 k h x=ih x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

14 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) x = ih t = jk ή ή και u xx P = (u xx ) ij = u P u(x, t) u(ih, jk) u ij u{(i + 1)h, jk} 2u{ih, jk}+u{(i 1)h, jk} h 2 + O(h 2 ) (u xx ) i,j = u i+1,j 2u ij + u i 1,j h 2 + O(h 2 ) (u t ) ij = u i,j+1 u ij k (u t ) ij = u ij u i,j 1 k (u t ) ij = u i,j+1 u i,j 1 2k + O(k) + O(k) + O(k 2 ) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

15 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) Υπο µορφή µορίων (u xx ) ij = 1 h 2 { i 1, j i, j i + 1, j (u t ) ij = 1 2k 1 i, j i, j -1 i, j 1 + O(k 2 ) } + O(h 2 ) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

16 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) (D t u(x, t)) = u t = L(t, x, D x, D 2 x)u Lu = u xx ή Lu = u xx + u yy D t = t D x = x ή ή D 2 t = 2 t 2 D 2 x = 2 x 2 u(x, t + k) = u(x, t)+ku t + k2 2! u tt + k3 3! u ttt + = (1+kD t + k2 2! D2 t + k3 3! D3 t + )u(x, t) ή u(x, t + k) = exp(kd t )u(x, t) (1) ή u i,j+1 = exp(kd t )u i,j = exp(kl(x, t, D x, D 2 x ))u ij (2) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

17 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) Eu(x) = u(x + h) όπου και Από (1) έχουµε E = exp(kd) { ln(1+ ) = 1 ή kd = lne = ln(1 ) = u(x) = u(x + h) u(x) u(x) = u(x) u(x h) E = 1+, E = (1 ) 1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

18 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) Επίσης δ = 2 sin h( hd 2 ) (3) όπου δu(x) = u(x + h 2 ) u(x h 2 ) = u i+1/2 u i 1/2 δ 2 u(x) = δ(δu(x)) = δ(u i+1/2 u i 1/2 ) = δu i+1/2 δu i 1/2 = (u i+1 u i ) (u i u i 1 ) = u i+1 2u i + u i 1 δ 2 u i = u i+1 2u i + u i 1 (4) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

19 Πεπερασµένες ιαφορές (συν.) Από (3) έχουµε ή Από (2) έχουµε hd = 2 sin h 1 ( δ 2 ) D = 2 h sin h 1 ( δ 2 ) = 1 h (δ ! δ ! δ5 ) u i,j+1 = exp(kl(x, t, 2 h sin h 1 ( δ 2 ),(2 h sin h 1δ 2 ) 2))u ij ή u i,j+1 = exp(kl(x, t, D, D 2 ))u ij. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

20 Παραβολικές Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις Παραβολικές εξισώσεις σε µια διάσταση σ(x, t) u t = x (a(x, t) u) γ(x, t)u x Αµεσοι Μέθοδοι t (j + 1)k jk k 0 1 x h Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

21 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές u t = 2 u x 2 (5) όπου και Από (6) λόγω (7) έχουµε u i,j+1 = exp(k t )u ij = exp(kl)u ij (6) L D 2 2 x 2 (7) D = 2 h sin h 1δ x 2 = 1 h (δ x ! δ3 x ! δ5 x ) (8) D 2 = 1 h 2(δ2 x 1 12 δ4 x δ6 x ) (9) u i,j+1 = exp(kd 2 )u ij (10) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

22 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές Από (10) λόγω (9) έχουµε u i,j+1 = exp[r(δ 2 x 1 12 δ4 x δ6 x )]u ij = [1+r(δx δ4 x δ6 x )+ r2 2! (δ2 x 1 12 δ4 x δ6 x ) 2+ r3 3! ( )3 + ]u ij όπου r = k/h 2 ή ή u i,j+1 = (1+rδ 2 x r 12 δ4 x + r 90 δ6 x )u ij (r2 δ 4 x 2r2 12 δ6 x + )u ij + u i,j+1 = [1+rδ 2 x r(r 1 6 )δ4 x r(r2 1 2 r )δ6 x + ]u ij (11) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

23 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές Προσεγγίζοντας την (11) έχουµε U i,j+1 = (1+rδ 2 x)u i,j (12) ή ή U i,j+1 = U i,j + r(u i 1,j 2U i,j + U i+1,j ) U i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)U i,j + ru i+1,j (13) 1 i,j + 1 r 1 2r i 1,j i,j i + 1,j r Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

24 Περίπτωση II: Συντελεστές εξαρτώµενοι από το x u t = a(x) 2 u x2, a(x) 0 x L ad 2 u i,j+1 = exp(kad 2 )u i,j = [1+kaD k2 ad 2 (ad 2 )+ ]u ij όπου a(x) = a(ih) = [1+kaD k2 a(a D 2 + 2a D 3 + ad 4 )+ ]u ij u i,j+1 = [1+ka 1 h 2(δ2 x 1 12 δ4 x δ6 x )+ ]u ij U i,j+1 = (1+raδ 2 x )U ij, r = k/h 2 U i,j+1 = rau i 1,j +(1 2ra)U ij + rau i+1,j (14) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

25 Περίπτωση III: Self - adjoint u t = x (a(x) u x ) u i,j+1 = exp(kl)u ij = exp(kd(a i D))u ij = [1+kD(a i D)+ ]u ij D 1 h δ x U i,j+1 = [1+ k h 2δ x(a i δ x )]U ij. (15) Αλλά δ x (a i δ x )U ij = δ x (a i (U i+1/2,j U i 1/2,j )) = δ x (a i U i+1/2,j ) δ x (a i U i 1/2,j ) = (a i+1/2 U i+1,j a i 1/2 U ij ) (a i+1/2 U i,j a i 1/2 U i 1,j ) }{{} (16) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

26 Περίπτωση III: Self - adjoint Από (15) λόγω (16) έχουµε U i,j+1 = U ij + r(a i+1/2 U i+1,j a i 1/2 U ij ) (a i+1/2 U i,j a i 1/2 U i 1,j ). ή U i,j+1 = ra i 1/2 U i 1,j +[1 r(a i+1/2 + a i 1/2 )]U ij + ra i+1/2 U i+1,j (17) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

27 DuFort - Frankel u t = 2 u x 2 U i,j+1 U i,j 1 2k ή ϑέτοντας U ij = 1 2 (U i,j+1 + U i,j 1 ) = U i 1,j 2U ij + U i+1,j h 2 (18) U i,j+1 U i,j 1 2k = U i 1,j (U i,j+1 + U i,j 1 )+U i+1,j h 2 ή U i,j+1 = 2r 1+2r (U i+1,j + U i 1,j )+ 1 2r 1+2r U i,j 1 (19) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

28 DuFort - Frankel 1 i, j + 1 2r 1+2r 2r 1+2r i 1, j i + 1, j 1 2r 1+2r i, j 1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

29 Richardson u t = 2 u x 2 U i,j+1 U i,j 1 2k = U i 1,j 2U ij + U i+1,j h 2 U i,j+1 = U i,j 1 + 2r(U i 1,j 2U ij + U i+1,j ) (20) 1 i,j + 1 2r 4r 2r i 1,j ij i + 1,j 1 i,j 1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

30 Τοπική ακρίβεια Αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor έχουµε u i,j+1 = u ij + k( u t ) ij + 1 2! k2 ( 2 u t 2) ij + u i+1,j = u ij + h( u x ) ij + 1 2! h2 ( 2 u x 2) ij + 1 3! h3 ( 3 u x 3) ij + 1 4! h4 ( 4 u x 4) ij + u i 1,j = u ij h( u t ) ij + 1 2! h2 ( 2 u x 2) ij 1 3! h3 ( 3 u x 3) ij + 1 4! h4 ( 4 u x 4) ij Συνεπώς u i,j+1 (1 2r)u ij r(u i+1,j + u i 1,j ) = k( u t 2 u x 2) ij k2 ( 2 u t 1 4 u 2 6r x 4) ij + (21) u ij : ακριβής λύση Μ Ε U ij : ακριβής λύση εξισώσεως διαφορών z ij = u ij U ij (22) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

31 Τοπική ακρίβεια Από τις (13), (21) και (22) έχουµε z i,j+1 = (1 2r)z ij + r(z i 1,j + z i+1,j )+ 1 2 k2 ( 2 u t 1 2 6r 4 u x 4) ij }{{} τοπικό σφάλµα αποκοπής + ή z i,j+1 = (1 2r)z ij + r(z i 1,j + z i+1,j )+O(k 2 + kh 2 ) (23) Παρατηρήστε ότι αν r = 1/6 τότε το τοπικό σφάλµα στην άµεση µέθοδο είναι O(k 3 + k 2 h 4 ), διότι 2 u t = 4 u 2 x 4 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

32 Τοπική ακρίβεια Ασκηση. Να δειχθεί ότι το τοπικό σφάλµα στη µέθοδο DuFort - Frankel είναι ενώ στη µέθοδο Richardson είναι O(k 2 + h 2 + k2 h 2) O(k 2 + h 2 ). Οι ανωτέρω µέθοδοι διαφέρουν ελάχιστα. Ωστόσο αυτή η µικρή διαφορά είναι αρκετή ώστε η πρώτη να είναι ευσταθής και η δεύτερη να είναι ασταθής. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

33 Εµµεσες Μέθοδοι (Implicit Methods) u = L(x, t, D, D 2 )u t ή u i,j+1 = exp(kl)u ij ή πολλαπλασιάζοντας επί exp( 1 kl) 2 exp( 1 2 kl)u i,j+1 = exp( 1 2 kl)u ij. (24) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

34 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές οπότε Από (24) έχουµε αλλά άρα η (25) γράφεται u t = 2 u x 2 L D 2 2 x 2 exp( 1 2 kd2 )u i,j+1 = exp( 1 2 kd2 )u ij (25) D 2 = 1 h 2(δ2 x 1 12 δ4 x δ6 x ) (1 1 2 rδ2 x)u i,j+1 = ( rδ2 x)u ij (26) µε σφάλµα αποκοπής της τάξης O(k 3 + kh 2 ). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

35 Περίπτωση I: Σταθεροί Συντελεστές Εφαρµόζοντας τον τελεστήδx 2 (ϐλ. (2) ) έχουµε από την (26) ότι U i,j r(u i 1,j+1 2U i,j+1 + U i+1,j+1 ) = = U i,j r(u i 1,j 2U i,j + U i+1,j ) ή r 2 U i 1,j+1 +(1+r)U i,j+1 r 2 U i+1,j+1 = r 2 U i 1,j +(1 r)u i,j + r 2 U i+1,j. (27) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

36 Μέθοδος των Crank - Nicolson r 2 i 1, j r r 2 i, j + 1 i + 1, j + 1 r 2 1 r r 2 i 1, j ij i + 1, j Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

37 Μέθοδος του Douglas Για µεγαλύτερη ακρίβεια Η (24) λόγω της (28) γίνεται D 2 = 1 h 2 δ 2 x δ2 x (28) [1 1 2 (r 1 6 )δ2 x]u i,j+1 = [ (r )δ2 x]u ij (29) µε τοπικό σφάλµα αποκοπής O(k 3 + kh 4 ). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

38 Περίπτωση Self-Adjoint u t = (a(x, t) u x x ) (30) u i,j+1 = exp(kl)u ij exp( 1 2 kl)u i,j+1 = exp( 1 2 kl)u ij L = D(aD), D 1 h δ x (1 1 2 kl)u i,j+1 = ( kl)u ij ή [1 r 2 δ x(a i,j+1 δ x )]U i,j+1 = [1+ r 2 δ x(a ij δ x )]U ij (31) r 2 a i 1/2,j+1U i 1,j+1 +[1+ r 2 (a i+1/2,j+1+a i 1/2,j+1 )]U i,j+1 r 2 a i+1/2,j+1u i+1,j+1 = r 2 a i 1/2,jU i 1,j +[1+ r 2 (a i+1/2,j + a i 1/2,j )]U i,j + r 2 a i+1/2,ju i+1,j (32) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

39 Περίπτωση Self-Adjoint (συν.) Γενίκευση u t = 2 u x 2 ή u i,j+1 = exp(kl)u i,j, L D 2 2 x 2 u i,j+1 = exp(kλl)u ij, 0 λ 1 exp( 1 2 kλl)u i,j+1 = exp( 1 2 kλl)u ij (1 1 2 rλδ2 x )U i,j+1 = ( rλδ2 x )U ij ή rλu i 1,j+1 +(1+2rλ)U i,j+1 rλu i+1,j+1 = r(1 λ)u i 1,j +[1 2r(1 λ)]u i,j + r(1 λ)u i+1,j (33) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

40 Μέθοδος O Brian, Hyman και Kaplan - Γιαλ = 1 η (33) γίνεται ru i 1,j+1 +(1+2r)U i,j+1 ru i+1,j+1 = U ij (34) - Ανλ = 1 η (33) παράγει τη µέθοδο των Crank - Nicolson 2 - Ανλ = 0, τότε προκύπτει η άµεσος µέθοδος Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

41 Μέθοδος O Brian, Hyman και Kaplan rλ 1 + 2rλ rλ i 1, j + 1 i, j + 1 i + 1, j + 1 r(1 λ) 1 2r(1 λ) r(1 λ) i 1, j ij i + 1, j Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

42 Μέθοδος O Brian, Hyman και Kaplan r 1 + 2r r i 1,j + 1 i,j + 1 i + 1,j + 1 ij 1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

43 Παράδειγµα ίνεται το πρόβληµα αρχικών και συνοριακών τιµών (ΠΑΣ) (ϐλέπε Σχήµα) u t = 2 u x 2 t M u(0, t) = known u(1, t) = known 2 1 k 0 h 1 2 N u(x,0) = known Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

44 Παράδειγµα Να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος Crank - Nicolson για την επίλυση του ανωτέρω προβλήµατος. h = 1 N, T = km Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

45 Παράδειγµα r 2 U i 1,j+1 +(1+r)U i,j+1 r 2 U i+1,j+1 = = r 2 U i 1,j +(1 r)u ij + r 2 U i+1,j }{{} b ij, i = 1(1)N 1, j = 0(1)M (35) (j = 0) r 2 U i 1,1 +(1+r)U i,1 r 2 U i+1,1 = b i,0, i = 1(1)N 1 1+r r 2 r 1+r 0 r 2 2 r 1+r r r 2 0 r 1+r 2 U 1,j+1 U 2,j+1 U 3,j+1. U N 2,j+1 U N 1,j+1 = b 1,j + r 2 U 0,j+1 b 2,j b 3,j. b N 2,j b N 1,j + r 2 U N,j+1 Για τον υπολογισµό των U i,j+1 απαιτείται η λύση του τριδιαγώνιου συστήµατος (33). Το σύστηµα αυτό λύνεται µε µία άµεση µέθοδο π.χ LU. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

46 Συµβατότητα (Consistency) Αν h, k 0, τότε τα σφάλµατα αποκοπής 0 Το µοντέλο των πεπερασµένων διαφορών προσεγγίζει την επιθυµητή Μ Ε και όχι κάποια άλλη Μ Ε Σφάλµα αποκοπής της κλασικής αµέσου µεθόδου άρα αν h, k 0, τότε καισ.a 0 Σ.A = 1 2 k2 2 u t kh2 4 u x 4 + Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

47 Σύγκλιση αν h, k 0 και i, j µε ih = X και jk = T σταθερά και u(x, T) U(X, T) 0 (36) k = rh 2 (37) t (X, T) θ Domain of dependence x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

48 Σύγκλιση (συν.) θ = tan 1 h k = 1 tan 1 rh h 0, r = σταθερό θ π 2 χωρίο εξάρτησης 0 t T Συνεπώς το πεδίο εξάρτησης της αµέσου µεθόδου συγκλίνει σε αυτό της Μ Ε αν ισχύει η r = kh 2 (r = kh a, a > 1). Για τις εµµέσους µεθόδους είναι ϕανερό ότι το πεδίο εξάρτησης συµπίπτει µε εκείνο της Μ Ε. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

49 Σύγκλιση της αµέσου µεθόδου Από την (23) έχουµε ότι e i,j+1 = (1 2r)e i,j + r(e i+1,j + e i 1,j )+O(k 2 + kh 2 ) (38) Αν τότε 0 < r 1 2 (39) e i,j+1 (1 2r) e i,j +r e i+1,j +r e i 1,j +A(k 2 + kh 2 ). Εστω E j το µέγιστο απόλυτο σφάλµα κατά µήκος της j χρονο - γραµµής, τότε E j+1 (1 2r)E j + re j + re j + A(k 2 + kh 2 ) ή E j+1 E j + A(k 2 + kh 2 ) E j 1 + 2A(k 2 + kh 2 ) ή E j+1 E 0 + ja(k 2 + kh 2 ), E 0 = 0 E j+1 jka(k + h 2 ) = TA(k + h 2 ) 0 αν h, k 0 για σταθερά X, T. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

50 Ευστάθεια Να ϐρεθούν συνθήκες τέτοιες ώστε η U ij Ũ ij να είναι ϕραγµένη αν j και k σταθερό. Η µέθοδος του von Neumann για την κλασική άµεση µέθοδο E(x) = j A j e iβjx β j = συχνότητες. Εστω E(x, t) e at e iβx (40) όπου a = a(β) µιγαδικό. Για να µην αυξάνει το αρχικό σφάλµα ϑα πρέπει για x, λόγω της (40) e at 1 για όλα τα α, ή e ak 1. (41) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

51 Ευστάθεια Για την κλασική άµεση µέθοδο έχουµε Nh = 1, 0 x 1, t = 0 E(ph) = E p0 (p = 0,, N) N E p0 = A p e iβjph (42) p=0 E p,q+1 = (1 2r)E pq + r(e p+1,q + E p 1,q ) (43) Θέτουµε ή E pq = e iβph e at E pq = e iβph ξ q, ξ = e ak (44) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

52 Ευστάθεια (συν.) Οπότε η (43) γράφεται ή e iβph ξ q+1 = (1 2r)e iβph ξ q + r(e iβ(p+1)h ξ q + e iβ(p 1)h ξ q ) ξ = (1 2r)+r(e iβh + e iβh ) = 1 2r(1 cosβh) = 1 4r sin 2 βh Αλλά, λόγω των (41) και (44) έχουµε ξ 1 Συνεπώς 1 4r sin 2 βh 2 1 ή 0 < r 1 2 (45) 2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

53 Μέθοδος των πινάκων U i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)U ij + ru i+1,j µε U 0,j = U N,j = 0, Nh = 1 οδηγεί στο σύστηµα U 1,j+1 U 2,j+1. U N 1,j+1 = 1 2r r r 1 2r r r r 1 2r U 1,j U 2,j. U N 1,j ή U j+1 = AU j ή U j+1 = AU j = A AU j 1 = = A j+1 U 0. E = U Ũ τότε E j = U j Ũ j = A j (U 0 Ũ 0 ) = A j E 0 ή E j A j E 0 A j E 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

54 Μέθοδος των πινάκων (συν.) Αλλά µε Αν ιδιοτιµές του Α {}}{ max λ s = S(A) A < 1 s τότε lim E j = 0 j 1 1 A = I + rt N 1, T N 1 = λ(t N 1 ) = λ{b, a, c} = a + 2( bc cos(sπ/n)), s = 1, 2,, N 1 άρα λ s = 4 sin 2 sπ 2N και s = 1, 2,, N 1 1 4r sin 2 sπ 2N < 1 ή 0 < r 1 2 (46) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

55 Το ϑεώρηµα ισοδυναµίας του Lax Για ένα καλά τοποθετηµένο πρόβληµα αρχικών ή συνοριακών τιµών που χρησιµοποιεί µια παραβολική εξίσωση και για ένα σχήµα πεπερασµένων διαφορών που είναι συµβατό, τότε η ευστάθεια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για σύγκλιση. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

56 Συνοριακές συνθήκες µε παραγώγους u t = 2 u x 2 0 x 1, t 0 u(x, 0) = f(x), 0 x 1 u x u x = u, x = 0, t 0 (47) = u x = 1, t 0 (48) t N 1 N N + 1 U 1,j U0,j U1,j 0 x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

57 Συνοριακές συνθήκες µε παραγώγους(συν.) Από την (47) έχουµε U 1,j U 1,j 2h = U 0,j (49) U N+1,j U N 1,j Από την (48) έχουµε = U N,j (50) 2h U i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)U i,j + ru i+1,j (51) Για x = 0 (i = 0) η (51) δίνει U 0,j+1 = ru 1,j +(1 2r)U 0,j + ru 1,j Απαλείφοντας το U 1,j από τις (49), (51) U 0,j+1 = [1 2r(1+h)]U 0,j + 2rU 1,j. Οµοια για την άλλη συνοριακή συνθήκη. Από (46) και (47) έχουµε x = 1 (i = N) U N,j+1 = ru N 1,j +(1 2r)U N,j + ru N+1,j και απαλείφοντας το U N+1,j U N,j+1 = [1 2r(1+h)]U N,j + 2rU N 1,j. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

58 Παράδειγµα Τα άκρα µιας ϱάβδου διατηρούνται σε πάγο και η αρχική κατανοµή της ϑερµοκρασίας της δίνεται από την σχέση 1 u = 2x, 0 x u = 2(1 x), 1 2 x 1 Ζητείται να επιλυθεί αριθµητικά η παραβολική Μ..Ε u t = u2 x 2 που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: 1 u = 0, για x = 0, x = 1, 0 t 0.1 (συνοριακές συνθήκες) 2 u = 2x, 0 x 1 2 u = 2(1 x), 1 2 x 1, t = 0 } (αρχικές συνθήκες) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

59 Παράδειγµα (συν.) Περίπτωση I: Αρα Εστω h = 1 10 k = } r = k h 2 = 1 10 U i,j+1 = 1 10 (U i 1,j + 8U i,j + U i+1,j ) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

60 Παράδειγµα (συν.) Το πρόβληµα είναι συµµετρικό ως προς την ευθεία x = 1, και εργαζόµαστε 2 µόνο για 0 x 1. 2 Με εφαρµογή της αµέσου µεθόδου προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας αποτελεσµάτων (i = 0) (i = 1) (i = 2) (i = 3) (i = 4) (i = 5) (i = 6) x = t = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

61 Παράδειγµα (συν.) Η αναλυτική λύση της Μ..Ε είναι η u = 8 π 2 n=1 1 n 2 sin nπ 2 sin(nπx)e n2 π 2 t Πεπ. ιαφορές Αναλυτική ιαφορά x = 0.3 x = 0.3 t = t = t = t = Αρα η άµεση µέθοδος είναι ικανοποιητικά ακριβής. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

62 Παράδειγµα (συν.) Για x = 0.5 η ακρίβεια της αρ. λύσης δεν είναι τόσο καλή, γιατί υπάρχει ασυνέχεια στην u από +2 έως 2 στο σηµείο αυτό. x Αρ. Λύση Αναλυτική ιαφορά Πεπερ. ιαφ. Λύση x = 0.5 x = 0.5 t = t = t = t = Παρατηρούµε ότι το αποτέλεσµα της ασυνέχειας ελαττώνεται καθώς το t αυξάνει. Αποδεικνύεται αναλυτικά ότι όταν οι συνοριακές τιµές είναι σταϑεϱές το αποτέλεσµα των ασυνεχειών ελαττώνεται καθώς ο χρόνος t αυξάνει. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

63 Παράδειγµα (συν.) Περίπτωση II: Εστω h = 1 10 k = } r = k h = άρα U i,j+1 = 1 2 (U i 1,j + U i+1,j ) και η αριθµητική λύση δίνεται στον παρακάτω Πίνακα (i = 0) (i = 1) (i = 2) (i = 3) (i = 4) (i = 5) (i = 6) x = t = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

64 Παράδειγµα (συν.) Αρ. Λύση Αναλυτική ιαφορά Πεπερ. ιαφ. Λύση x = 0.5 x = 0.5 t = t = t = t = Παρατηρούµε ότι η λύση δεν είναι τόσο καλή προσέγγιση της λύσης της Μ..Ε όσο η προηγούµενη, είναι όµως αρκετά ικανοποιητική για τα περισσότερα τεχνολογικά προβλήµατα. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

65 Παράδειγµα (συν.) Περίπτωση III: Εστω h = 1 10 k = } r = k h = 2 1 Αρα U i,j+1 = U i 1,j + U i+1,j και η αριθµητική λύση της Μ..Ε δίνεται στον παρακάτω πίνακα. (i = 0) (i = 1) (i = 2) (i = 3) (i = 4) (i = 5) (i = 6) t x = Αν ϑεωρηθεί σαν λύση η παραπάνω, τότε δεν έχει κανένα νόηµα, αν και είναι ϕυσικά η σωστή λύση όσον αφορά τις δεδοµένες αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

66 Παράδειγµα (συν.) Οι παραπάνω περιπτώσεις I, II και III δείχνουν ότι η τιµή του λόγου r = k παίζει h 2 σηµαντικό ϱόλο και επιβεβαιώνουν το ϑεωρητικό αποτέλεσµα της ευστάθειας (και της σύγκλισης) ότι για την άµεση µέθοδο πρέπει 0 < r 1 2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

67 ισδιάστατες Παραβολικές Εξισώσεις L 2 i=1 u t = Lu (52) (a i (x 1, x 2, t) ) c(x 1, x 2, t) (53) x i x i i)a 1, a 2 > 0, ii)c 0 X = ih, Y = jh, T = nk όπου U (n+1) ij = exp(kl)u (n) ij (54) = 2 x 1 h sin h 1δ x 1 2, = 2 x 2 h sin h 1δ x 2 2 δ x1 U (n) ij δ x2 U (n) ij = U (n) i+1/2,j U (n) i 1/2,j = U (n) i,j+1/2 U(n) i,j 1/2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

68 Αµεσοι Μέθοδοι L 2 x x 2 2 D D2 2 (55) όπου D x 2 1 και D x 2 2 από την (55) έχουµε από τις (56),(56),(56) έχουµε U (n+1) ij U (n+1) ij = exp(kd 2 1 )exp(kd2 2 )U(n) ij (56) D 2 1 = 1 h 2(δ2 x δ4 x δ6 x 1 ) (56) D 2 2 = 1 h 2(δ2 x δ4 x δ6 x 2 ) (56) = [1+rδ 2 x r(r 1 6 )δ4 x 1 + ][1+rδ 2 x r(r 1 6 )δ4 x 2 + ]U (n) ij (57) r = k/h 2. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

69 Αµεσοι Μέθοδοι από την (57) έχουµε U (n+1) ij = [1+r(δ 2 x 1 +δ 2 x 2 )]U (n) ij + O(k 2 + kh 2 ) (58) ή U (n+1) ij Self Adjoint u t U (n+1) ij = (1+rδ 2 x 1 )(1+rδ 2 x 2 )U (n) ij + O(k 2 + kh 2 ) (59) = x 1 (a 1 (x 1, x 2, t) u x 1 )+ x 2 (a 2 (x 1, x 2, t) u x 2 ) L D 1 (a 1 D 1 )+D 2 (a 2 D 2 ) = exp(kd 1 (a 1 D 1 ))exp(kd 2 (a 2 D 2 ))U (n) ij (60) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

70 Αµεσοι Μέθοδοι Αν D 1 (a 1 D 1 ) 1 h 2 δ x1 (a 1 δ x1 ) και D 2 (a 2 D 2 ) 1 h 2 δ x2 (a 2 δ x2 ) όπου και δ x1 (a 1 δ x1 )U (n) ij δ x2 (a 2 δ x2 )U (n) ij τότε η (60) δίνει U (n+1) ij = a (n) 1,i+1/2,j (U(n) i+1,j U (n) i 1,j ) a(n) 1,i 1/2,j (U(n) ij U (n) i 1,j ) = a (n) 2,i,j+1/2 (U(n) i,j+1 U(n) i,j 1 ) a(n) 2,i,j 1/2 (U(n) ij U (n) i,j 1 ) = [1 r{a (n) + a (n) + a (n) + 1,i+1/2,j 1,i 1/2,j 2,i,j 1/2 a(n) 2,i,j+1/2 }]U(n) ij +ra (n) 1,i+1/2,j U(n) i+1,j + ra (n) 1,i 1/2,j U(n) i 1,j + ra (n) 2,i,j 1/2 U(n) i,j 1 Για a 1 = a 2 = 1 η (61) δίνει την (59). +ra (n) 2,i,j+1/2 U(n) i,j+1 + O(k2 + kh 2 ). (61) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

71 Αµεσοι Μέθοδοι (n + 1) (n) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

72 Αµεσοι Μέθοδοι Ανάλογα U (n+1) ij = [1+rδ x1 (a 1 δ x1 )][1+rδ x2 (a 2 δ x2 )]U (n) ij (62) (n + 1) (n) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

73 Ευστάθεια e αt e iβx1 e iγx2 (63) όπου β, γ αυθαίρετοι πραγµατικοί και α µιγαδικός. Το αρχικό σφάλµα (t = 0) e iβx1 e iγx2 δεν αυξάνεται µε το χρόνο αν e αk 1 για όλα τα α (64) Από τις (59),(64) έχουµε ξ = e αk = 1 4r(sin 2 βh Για ευστάθεια ξ 1 ή 2 + sin2 γh 2 ). r 1 2(sin 2 βh 2 + sin2 γh 2 ) (65) ή r 1/4. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

74 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) U (n+1) ij exp[ 1 2 k(d2 1 + D 2 2)]U (n+1) ij = exp(kl)u (n) ij (66) L D D2 2 (67) = exp[ 1 2 k(d2 1 + D 2 2)]U (n) ij (68) όπου D 2 1 = 1 h 2(δ2 x δ4 x δ6 x 1 ), D 2 2 = 1 h 2(δ2 x δ4 x δ6 x 2 ) Από την (68) έχουµε exp( 1 2 rδ2 x 1 )exp( 1 2 rδ2 x 2 )U (n+1) ij (1 r 2 δ2 x 1 )(1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij Η (69) είναι ανάλογη της Crank-Nicolson = exp( 1 2 rδ2 x 1 )exp( 1 2 rδ2 x 2 )U (n) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )(1+ r 2 δ2 x 2 )U (n) ij + O(k 3 + kh 3 ). (69) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

75 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) και (1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )(1 r 2 δ2 x 1 ) 1 (1+ r 2 δ2 x 2 )U (n) ij }{{} U (n+1/2) ij (1 r 2 δ2 x 1 )U (n+1/2) ij (1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = (1+ r 2 δ2 x 2 )U (n) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )U (n+1/2) ij (70) Η (70) είναι γνωστή σαν η µέθοδος των Peaceman-Rachford (PR). Εφαρµόζοντας τους τελεστές των κεντρικών διαφορών λαµβάνουµε r 2 U(n+1/2) i 1,j και r 2 U(n+1) i,j 1 +(1+r)U (n+1/2) ij +(1+r)U(n+1) ij r 2 U(n+1) i,j+1 r 2 U(n+1/2) i+1,j = r 2 U(n+1/2) i 1,j = r 2 U(n) i,j 1 +(1 r)u(n) ij + r 2 U(n) i,j+1 +(1 r)u (n+1/2) ij + r 2 U(n+1/2) i+1,j. (71) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

76 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) t (n + 1) (n ) (n) x2 x1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

77 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) Θέτοντας και αναπτύσσοντας η (68) δίνει δ 2 x 1 D 2 1 = 1 h δ2 x 1 δ 2 x 1 D 2 2 = 1 h δ2 x 2 [1 1 2 (r 1 6 )δ2 x 1 ][1 1 2 (r 1 6 )δ2 x 2 ]U (n+1) ij = [ (r )δ2 x 1 ][ (r )δ2 x 2 ]U (n) ij + O(k 3 + kh 4 ) (72) ή [1 1 2 (r 1 6 )δ2 x 1 ]U (n+1/2) ij και [1 1 2 (r 1 6 )δ2 x 2 ]U (n+1) ij = [ (r )δ2 x 2 ]U (n) ij (73) = [ (r )δ2 x 1 ]U (n+1/2) ij Η (73) είναι γνωστή σαν η µέθοδος των Mitchell και Fairweather (MF). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

78 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) Αλλες µέθοδοι (1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )(1 r 2 δ2 x 1 ) 1 (1+ r 2 δ2 x 1 )U (n) ij }{{} U (n+1/2) ij οπότε (1 r 2 δ2 x 1 )U (n+1/2) ij = (1+ r 2 δ2 x 1 )(1+ r 2 δ2 x 2 )U (n) ij (1 r 2 δ2 x 2 )U (n+1) ij = U (n+1/2) ij D Yakonov (74) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

79 Εµµεσοι Μέθοδοι Εναλλασόµενων ιευθύνσεων (ADI) Αλλες µέθοδοι οπότε από την (69) έχουµε (1 rδ 2 x 1 )(1 rδ 2 x 2 )U (n+1) ij (1 rδ 2 x 1 )U (n+1/2) ij (1 rδ 2 x 2 )U (n+1) ij = U (n+1/2) ij = (1+rδ 2 x 2 )U (n) ij = (1+r 2 δ 2 x 1 δ 2 x 2 )U (n) ij Douglas + rδ 2 x 2 U (n) ij Rachford (75) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

80 Ευστάθεια των ADI Μεθόδων Απαλείφοντας την U (n+1/2) ij, παρατηρούµε ότι όλες οι ανωτέρω ADI µέθοδοι είναι ειδικές περιπτώσεις της (1 aδ 2 x 1 )(1 aδ 2 x 2 )U (n+1) = [1+b(δ 2 x 1 +δ 2 x 2 )+cδ 2 x 1 δ 2 x 2 ]U (n) (76) για συγκεκριµένες τιµές των a, b και c. Η εξίσωση σφάλµατος της (76) είναι η (1 aδ 2 x 1 )(1 aδ 2 x 2 )E (n+1) qp = [1+b(δ 2 x 1 +δ 2 x 2 )+cδ 2 x 1 δ 2 x 2 ]E (n) pq. (77) Θέτοντας E (n) ij = e αnk e iβph e iγqh Από την (77) έχουµε ξ = e αk = 1 b(s2 β + S2 γ )+cs2 β S2 γ (1 as 2 β )(1+aS2 γ ), (78) όπου S 2 β = 4 sin2 βx 1 2, S2 γ = 4 sin2 γx 2 2. (79) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

81 Ευστάθεια των ADI Μεθόδων Για ευστάθεια απαιτείται 1 ξ 1 οπότε η (78) δίνει (a b)(s 2 β + S2 γ) (a 2 + c)s 2 β S2 γ 2 και (a + b)(s 2 β + S2 γ) (a 2 c)s 2 β S2 γ 0 οι οποίες εύκολα αποδεικνύεται ότι ικανοποιούνται για τις ADI µεθόδους για 0 S 2 β, S2 γ 4. Συνεπώς όλες οι ADI µέθοδοι είναι ευσταθείς για r > 0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

82 Ασκηση 1 Υπολογίσατε µε την άµεσο µέθοδο την Λ.Π. της Μ..Ε u t = 2 u x 2, 0 x 1 µε αρχικές συνθήκες u = 1 όταν t = 0, 0 < x < 1 και συνοριακές συνθήκες u = 0, για x = 0 και x = 1, t 0. Αναλυτική λύση της είναι η u = 4 π n=0 1 2n+1 e (2n+1)2 π 2t sin(2n+1)πx Θέσατε h = 0.1, r = 0.1 (οπότε k = rh 2 = 0.001) και ϐρείτε την ακρίβεια της λύσης για t = (0.001)0.2 Συγκρίνατε τις λύσεις στο x = 0.1 για µικρές τιµές του t. Σχολιάσατε τα συµπεράσµατά σας. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

83 Ασκηση 1 - Λύση r = 0.1 U i,j+1 = 1 10 (U i 1,j + 8U i,j + U i+1,j ) Λαµβάνοντας υπόψιν τη συµµετρία της λύσης σε σχέση µε το x = 1 2 έχουµε h = 0.1, r = 0.1 (k = rh 2 = 0.001) U i,j+1 = 1 10 (U i 1,j + 8U ij + U i+1,j ) t x = (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

84 Ασκηση 1 - Λύση(συν.) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) Υπάρχει ασυνέχεια στην περιοχή του σηµείου (0,0) και γιάυτό δεν έχουµε καλή ακρίβεια στο x = 0 για µικρές τιµές του t. Αυτό όµως τείνει να εξαφανισθεί καθώς το t αυξάνει, πράγµα το οποίο είναι χαρακτηριστικό στις παραβολικές εξισώσεις. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

85 Ασκηση 2 Εφαρµόσατε την µέθοδο των Crank-Nikolson για τον υπολογισµό της αριθµητικής λύσης της Μ..Ε u t = 2 u x 2, 0 x 1 1 u = 0 όταν x = 0, x = 1, t 0 2 u = 2x όταν 0 x 1 2, t = 0 3 u = 2(1 x) όταν 1 2 x 1, t = 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

86 Ασκηση 2 - Λύση Εστω h = 1 10 και r = 1 Αφού r = k h 2 k = rh2 = Ο τύπος (1) της µεθόδου Crank-Nikolson δίνει Υπολογιστικό Μόριο U i 1,j+1 + 4U i,j+1 U i+1,j+1 = U i 1,j + U i+1,j Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

87 Ασκηση 2 - Λύση(συν.) Αν εφαρµόσουµε το υπολογιστικό µόριο της µεθόδου για την πρώτη χρονογραµµή έχουµε Για j = 0 i = 1 0+4u 1 u 2 = i = 2 u 1 + 4u 2 u 3 = i = 3 u 2 + 4u 3 u 4 = i = 4 u 3 + 4u 4 u 5 = i = 5 2u 4 + u 5 = ή u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

88 Ασκηση 2 - Λύση(συν.) Η λύση του ανωτέρω 5 5 συστήµατος είναι u = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

89 Ασκηση 3 Εφαρµόσατε την µέθοδο των Crank-Nikolson για τον υπολογισµό της αριθµητικής λύσης της Μ..Ε u t = 2 u x 2, 0 x 1 µε αρχικές συνθήκες u = sinπx, t = 0, 0 x 1 και συνοριακές συνθήκες u = 0 για x = 0, x = 1, t > 0 Αξιολογήστε την αναλυτική λύση και υπολογίστε το αριθµητικό σφάλµα στην αριθµητική λύση. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

90 Ασκηση 3 - Λύση Η λύση για x = 0(0.1)0.5, r = 1 δίνεται στον παρακάτω πίνακα t x = (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) (Λ.Π. ) (Α.Λ ) Αρ. Λύση Αναλυτική Ποσοστιαίο Πεπερ. ιαφ. Λύση Λάθος x = 0.5 x = 0.5 t = t = t = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

91 Ασκηση 4 Η συνάρτηση u ικανοποιεί την u t = 2 u x 2 (0 x 1), και οι συνοριακές συνθήκες είναι u t = h 1 (u v 1 ), x = 0, u = h 2 (u v 2 ), x = 1, t όπου h 1, h 2, v 1, v 2 ϑετικοί αριθµοί. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

92 Ασκηση 4 (συν.) Αν οι συνοριακές συνθήκες προσεγγίζονται από κεντρικές διαφορές αποδείξτε ότι µια αναλυτική λύση είναι u 0,j+1 = {1 2r(1+h 1 δx)}u 0,j + 2ru 1,j + 2rh 1 v 1 δx, u i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)u i,j + ru i+1,j, (i = 1, 2,..., N 1), u N,j+1 = 2ru N 1,j +{1 2r(1+h 2 δx)}u N,j + 2rh 2 v 2 δx, όπου Nδx = 1 r = δt (δx) 2. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

93 Ασκηση 4 (συν.) Αν οι συνοριακές συνθήκες προσεγγίζονται από προς τα εµπρός διαφορές στο x = 0 και από προς τα πίσω διαφορές (ϐαςκωαρδ-διφφερενςες) στο x = 1, αποδείξτε ότι µια άλλη αναλυτική λύση είναι u i,j = {1 2r + r/(1+h 1 δx)}u 1,j + ru 2,j + rh 1 v 1 δx/(1+h 1 δx), u 0,j = (u i,j+1 + h 1 v 1 δx)/(1+h 1 δx), u i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r)u i,j + ru i+1,j, (i = 2, 3,...,N 2) u N 1,j+1 = {1 2r + r/(1+h 2 δx)}u N 1,j + ru N 2,j + u N,j+1 = (u n 1,j+1 + h 2 v 2 δx)/(1 + h 2 δx). + rh 2 v 2 δx/(1 + h 2 δx), Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

94 Ασκηση 5 Οµοιογενής ϱάβδος ϑερµικά αποµονωµένη έχει αρχική ϑερµοκρασία τη στιγµή t = 0 0 ο C. Το ένα της άκρο είναι ϑερµικά αποµονωµένο, ενώ το άλλο ϑερµαίνεται µε σταθερό ϱυθµό. είξτε ότι οι ϑερµοκρασία στα διάφορα σηµεία της ϱάβδου, δίνεται από την λύση της εξίσωσης u t = 2 u x 2, (0 < x < 1 2 ), που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u = 0 όταν t = 0(0 x 1 2 ) και τις συνοριακές συνθήκες u x = 0 στο x = 0, t > 0, u x = f στο x = 1 2, t > 0 όπου Καθηγητής: f σταθερά. Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

95 Ασκηση 5 (συν.) Λύστε αριθµητικά το πρόβληµα µε f = 1 χρησιµοποιώντας 1 µια άµεση µέθοδο µε δx = 0.1 και r = 1, 4 2 µια έµµεση µέθοδο µε δx = 0.1 και r = 1. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

96 Ασκηση 5 - Λύση Η λύση που προκύπτει από την άµεση µέθοδο, της οποίας οι εξισώσεις είναι u 0,j+1 = 1 2 (u 0,j + u 1,j ), u i,j+1 = 1 4 (u i 1,j + 2u i,j + u i+1,j ) (i = 1, 2, 3, 4), u 5,j+1 = 1 2 (u 4,j + u 5,j + 0.1) ϕαίνεται στον παρακάτω πίνακα t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

97 Ασκηση 5 - Λύση (συν.) Η λύση µε τη µέθοδο Crank-Nicolson είναι t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

98 Ασκηση 5 - Λύση (συν.) Η αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι { } u = 2t x π 2 e 4π2 n 2t cos 2nπx n=1 = { 2 t ierfc (2n+1 2x) + ierfc (2n+1+2x) }, 4 t 4 t n=0 και παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

99 Ασκηση 5 - Λύση (συν.) Αναλυτική Άµεση Ποσοστιαίο Crank Nicolson Ποσοστιαίο t Λύση Λύση Λάθος Λύση Λάθος x = 0.3 x = 0.3 x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

100 Ασκηση 5 - Λύση (συν.) Οι λύσεις των πεπερασµένων διαφορών είναι αρκετά ακριβείς για µεγάλες τιµές του t. Το αποτέλεσµα του εκθετικού µέρους της αναλυτικής λύσης είναι αµελητέο για t > 0.1. Η διαφορά µεταξύ της αναλυτικής λλύσης και της λύσης των πεπερασµένω διαφορών για t > 0.1 είναι = = (δx)2. 6 Αποδεικνύεται ότι το (τρανσιεντ) κοµµάτι της λύσης οποιασδήποτε άµεσης ή έµµεσης µεθόδου πεπερασµένων διαφορών για µια παραβολική εξίσωση που ικανοποιεί τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες, δεν τείνει στο 0 καθώς το t αυξάνει, όπως συµβαίνει µε το (τρανσιεντ) µέρος της διαφορικής εξίσωσης, αλλά τείνει στην τιµή k(δx) 2, k σταθερά Στο συγκεκριµένο παράδειγµα k = 1 6. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

101 Ασκηση 6 Η ϑερµοκρασία ψύξης u ενός νάυλον νήµατος που είναι τυλιγµένο σε ένα περιστρεφόµενο µασούρι δίνεται από τη λύση της εξίσωσης α u t = 2 u r r u, (0 r 1), r που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u = 1, t = 0 r, και τις συνοριακές συνθήκες u r = 0, r = 0 1 u = F(t), r = 1, u r όπου α µια σταθερά και F(t) µια εµπειρική συνάρτηση του t. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

102 Ασκηση 6 (συν.) Για r i = iδr, nδr = 1, t j = jδt, και δεδοµένου ότι οι συνοριακές συνθήκες αναπαρίστανται από προσεγγίσεις κεντρικών διαφορών (ϱεπρεσεντεδ ϐψ ςεντραλ-διφφερενςε αππροξιµατιονς), δείξτε ότι η αριθµητική λύση του προβλήµατος µε τη µέθοδο Crank-Nicolson είναι α (u 0,j+1 u 0,j ) δt α (u i,j+1 u i,j ) δt = 2 (δr) 2(u 1,j+1 u 0,j+1 + u 1,j u 0,j ) = 1 2(δr) 2{(1+ 1 2i )u i 1,j+1 2u i,j+1 + α (u n,j+1 u n,j ) δt +(1 1 2i )u i 1,j+1(1+ 1 2i )u i+1,j 2u i,j +(1 1 2i )u i 1,j} (i = 1, 2,, n 1), = 1 (δr) 2{(1+ 1 2i )u i 1,j+1 2u i,j+1 + +(1 1 2i )u i 1,j+1 +(1+ 1 2i )u i+1,j 2u i,j +(1 1 2i )u i 1,j} Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

103 Ασκηση 7 Λύστε την εξίσωση u t που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες και τις συνοριακές συνθήκες = 2 u x 2 (0 x 1) u = 1, 0 x 1 t = 0, u x u x = u, x = 0 t, = u, x = 1 t. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

104 Ασκηση 7 - Λύση Για r = 1 4 u 0,j+1 = 1 2 (0.9u 0,j + u 1,j ), u i,j+1 = 1 4 (u i 1,j + 2u i,j + u i+1,j (i = 1, 2, 3, 4)) και χρησιµοποιώντας την συµµετρία στο x = 1 2 έχουµε u 5,j=1 = 1 4 (2u 4,j + 2u 5,j ). Για t = r(δx) 2 = 1/400 (στο τέλος της πρώτης χρονοσφραγίδας) οι τιµές του u είναι u 0,1 = 1 (0.9+1) = 0.95, 2 u 1,1 = 1 4 (1+2+1) = 1 = u 2,1 = u 3,1 = u 4,1 = u 5,1 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

105 Ασκηση 7 - Λύση Στο τέλος της δεύτερης χρονοσφραγίδας είναι u 0,2 = 1 ( ) = , 2 u 1,2 = 1 ( ) = , 4 u 2,2 = 1 4 (1+2+1) = 1 = u 3,2 = u 4,2 = u 5,2 Οµοια υπολογίζονται και για τις υπόλοιπες χρονοσφραγίδες και αναπαρίστανται στον παρακάτω πίνακα. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

106 Ασκηση 7 - Λύση i = t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

107 Ασκηση 7 - Λύση Η αναλυτική λύση της εξίσωσης των µερικών διαφορών που ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες είναι u = 4 { secα n 2t (3+4α 2 cos 2α n (x 1 )} (0 < x < 1), n )e 4αn 2 n=1 όπου α n είναι οι ϑετικές ϱίζες της α tanα = 1 2. Η αναλυτική λύση ϕαίνεται στον παρακάτω πίνακα Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

108 Ασκηση 7 - Λύση t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

109 Ασκηση 7 - Λύση Αρ. Λύση Αναλυτική Ποσοστιαίο Πεπερ. ιαφ. Λύση Λάθος x = 0.2 x = 0.2 t = t = t = t = t = t = Η λύση των πεπερασµένων διαφορών είναι αρκετά ακριβής για τις µικρές τιµές του r. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

110 Ασκηση 8 Λύστε τη προηγούµενη άσκηση χρησιµοποιώντας µια άµεση µέθοδο και εφαρµόζοντας µια προς τα εµπρός διαφορά για την συνοριακή συνθήκη στο x = 0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

111 Ασκηση 8 - Λύση Για i = 1 u 1,j+1 = u i,j + r(u 0,j 2u 1,j + u 2,j ). Η συνορική συνθήκη στο x = 0, u = u, σε µορφή προς τα εµπρος διαφοράς x είναι u 1,j u 0,j = u 0,j, δx συνεπώς u 0,j = u 1,j /(1+δx). και ( u 1,j+1 = 1 2r + r ) u 1,j + ru 2,j. 1+δx Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

112 Ασκηση 8 - Λύση (συν.) Για r = 1 καιδx = u 1,j+1 = 8 11 u 1,j u 2,j, u 0,j+1 = u 1,j+1 u i,j+1 = 1 4 (u i 1,j + 2u i,j + u i+1,j ) (i = 2, 3, 4), u 5,j+1 = 1 4 (2u 4,j + 2u 5,j ) λόγω συµµετρίας Η λύση των παραπάνω εξισώσεων µε αρχική τιµή του u = 1 ϕαίνεται στον παρακάτω πίνακα Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

113 Ασκηση 8 - Λύση (συν.) t x = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

114 Ασκηση 8 - Λύση (συν.) Αρ. Λύση Αναλυτική Ποσοστιαίο Πεπερ. ιαφ. Λύση Λάθος x = 0.2 x = 0.2 t = t = t = t = t = t = Παρ ολο που αυτή η λύση δεν είναι τόσο ακριβής όσο η προηγούµενη, είναι ικανοποιητικά καλή για πολλές πρακτικές εφαρµογές. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

115 Ασκηση 9 Λύστε την άσκηση 6 µε τη µέθοδο Crank-Nicolson Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

116 Ασκηση 9 - Λύση Αυτή η µέθοδος αναπαριστά την u t = 2 u x 2 ως u i,j+1 u i,j δt = 1 2 {u i+1,j+1 2u i,j+1 + u i 1,j+1 (δx) 2 + u i+1,j 2u i,j + u i 1,j (δx) 2 }, η οποία γράφεται ru i 1,j+1 +(2+2r)u i,j+1 ru i+1,j+1 = ru i 1,j+1 = ru i 1,j +(2 2r)u i,j +u i+1,j. (I) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

117 Ασκηση 9 - Λύση (συν.) Η συνοριακή συνθήκη στο x = 0 ως κεντρική διαφορά γράφεται u 1,j u 1,j 2δx = u 0,j, από την οποία προκύπτει ότι u 1,j = u 1,j 2δxu 0,j u 1,j+1 = u 1,j+1 2δxu 0,j+1 Οι δυο τελευταίες εξισώσεις µας επιτρέπουν να απαλείψουµε τους όρους u 1,j και u 1,j+1 από την εξίσωση που προκύπτει ϑέτοντας i = 0 στην I. Η συνοριακή συνθήκη στο x = 1 υπολογίζεται µε όµοιο τρόπο, αν και σε αυτό το πρόβληµα είναι πιο εύκολο να χρησιµοποιηθεί η συµµετρία στο x = 1 2, π.χ. u 6,j = u 4,j. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

118 Ασκηση 9 - Λύση (συν.) Για r = 1 καιδx = u 0,j+1 u 1,j+1 = 0 1u 0,j + u 1,j, u i 1,j+1 + 4u i,j+1 u i+1,j+1 = u i 1,j + u i+1,j (i = 1, 2, 3, 4), u 4,j+1 + 2u 5,j+1 = u 4,j. Για την πρώτη χρονοσφραγίδα γίνονται 2 1u 0 u 1 = 0.9, u 0 + 4u 1 u 2 = 2.0, u 1 + 4u 2 u 3 = 2.0, u 2 + 4u 3 u 4 = 2.0, u 3 + 4u 4 u 5 = 2.0, u 4 + 2u 5 = 1.0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

119 Ασκηση 9 - Λύση (συν.) Η λύση ϕαίνεται στον παρακάτω Πίνακα t i = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120

120 Ασκηση 9 - Λύση (συν.) Αρ. Λύση Αναλυτική Ποσοστιαίο Πεπερ. ιαφ. Λύση Λάθος x = 0.2 x = 0.2 t = t = t = t = t = t = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Επιστηµονικοί Υπολογισµοί 20 Οκτωβρίου / 120