Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace. Μετασχηματισμός Laplace γνωστών συναρτήσεων. Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace. 4

5 Σκοποί Ενότητας Μετασχηματισμός Laplace: Βασικό εργαλείο για την επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων αλλά και την περιγραφή συστημάτων. Ορισμός του μετασχηματισμού Laplace και υπολογισμός του μετασχηματισμού Laplace γνωστών συναρτήσεων. Περιγραφή ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Laplace. 5

6 Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός Laplace Έστω x t : R R. Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός Laplace L x t του σήματος x t ορίζεται: X s : C C, s = σ + jω t= L x t =: X s = x t e st dt t= =: X s 6

7 Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Έστω x t : R R. Laplace Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός Laplace L x t του σήματος x t ορίζεται: t= L x t =: X s = x t e st dt t= =: X s Εξαρτάται μόνο από τις τιμές του σήματος x t για t. (1) 7

8 Ο μετασχηματισμός Laplace (1) Δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις f(t), όπου t είναι οποιαδήποτε μεταβλητή, μετασχηματισμό Laplace. Για να υπάρξει ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t), πρέπει να πληρούνται οι όροι Dirichlet - μια σειρά από επαρκείς, αλλά όχι απαραίτητες προϋποθέσεις. Αυτές είναι: f(t) πρέπει να είναι τμηματικά συνεχής, δηλαδή, θα πρέπει ως συνάρτηση να παίρνει μόνο μια τιμή, αλλά μπορεί να έχει έναν πεπερασμένο αριθμό πεπερασμένων απομονωμένων ασυνεχειών για t >. f(t) πρέπει να είναι της εκθετικής τάξης, δηλαδή η f(t) πρέπει να είναι μικρότερη από Me a t καθώς t, όπου M είναι μία θετική σταθερά και a θετικός πραγματικός αριθμός. 8

9 Ο μετασχηματισμός Laplace (2) tan βt, cos βt, e t2 Δεν έχουν μετασχηματισμό Laplace. lim t f t e ct =, c =πραγματική σταθερά. Έχουν μετασχηματισμό Laplace. 9

10 Ο μετασχηματισμός Laplace (3) Το ολοκλήρωμα F s = f t e st dt συγκλίνει αν συγκλίνει το ολοκλήρωμα f t e st dt <, s = σ + jω. 1

11 Έστω Περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace Λ σ R: x t e σt dt < Αν Λ =, το σήμα x t δεν έχει μετασχηματισμό Laplace. Αν Λ =, έστω σ min το ελάχιστο στοιχείο του Λ σ min < σ, σ Λ Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Q s C, Re s > σ min ονομάζεται περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace και για κάθε s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει. 11

12 t= U s = u t e st dt t= Για s = σ + jω t= = e st dt t= e s = lim T e st = 1 s e st t= t= (2) e s = lim e σ+jω T = lim e σt e jωt (3) T Τ Το όριο στην (3) υπάρχει αν και μόνο αν και τότε είναι Ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης (1) σ > Re s > lim Τ e σt e jωt = 12

13 Τότε η (2) δίνει Ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης (2) Επίσης έχουμε ότι U s = 1 s e = 1 s t= u t e σt dt <, σ > t= και άρα η περιοχή σύγκλισης του U s είναι το σύνολο Q s C, Re s > (το ανοικτό θετικό ημι-επίπεδο) 13

14 Έστω x t Ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας κρουστικής συνάρτησης (1) = δ t η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση. X s = t= δ t e st dt t= Το κάτω όριο είναι διότι η δ(t) δεν ορίζεται για t =. Από την ιδιότητα της δ(t) Για t = έχουμε ότι τ= x t = x τ δ τ t dτ. τ= τ= τ= x τ δ τ dτ = x. 14

15 Ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης (2) τ= X s = δ τ e st dτ τ= Εφόσον τ= = δ τ e st dτ = e = 1 τ= t= δ t e σt dt = e = 1, σ R t= η περιοχή σύγκλισης του X s είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο C. 15

16 Έστω x t Ο μετασχηματισμός Laplace της = e bt u t, όπου b R Ο μετασχηματισμός Laplace X s είναι: Για s = σ + jω εκθετικής συνάρτησης (1) t= X s = e bt e st dt t= t= = e (s+b)t dt t= t= = 1 s + b e (s+b)t t= e (s+b) = lim Τ e σ+b Τ e jωt (4) 16

17 Ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης (2) Το όριο (4) υπάρχει αν και μόνο αν Και τότε σ + b > lim Τ e σ+b Τ e jωt = Και άρα ο μετασχηματισμός Laplace X s του x t είναι X s = 1 s + b = e bt u t 17

18 Ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης (3) Το όριο (4) υπάρχει αν και μόνο αν σ + b > Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace X s είναι το σύνολο Q s C, Re s > b 18

19 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace - Αν x t X s, y t Y s, τότε ax t + by t ax s + by s, a, b C L f t + g t = f t + g t e st dt Γραμμικότητα = f t e st dt + g t e st dt Αν η περιοχή σύγκλισης της f(t) είναι σ f και της g(t) είναι σ g, και σ g > σ f τότε η περιοχή σύγκλισης της f t + g(t) είναι Re(s) > σ g. Παρόμοια για μετασχηματισμό Laplace της αf(t). = 19

20 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace u t 1 s e at u t 1 s+a u t + e at u t = 2s+a s s+a s s+a 2

21 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Δεξιά μετάθεση (time delay) (1) L f t λ u t λ = e sλ F s L f t λ u t λ = f t λ u t λ e st dt u τ =, τ = t λ λ t L f τ u τ = e sλ f τ u τ e sτ dτ = e sλ F s λ = e sλ f τ e sτ dτ 21

22 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Αριστερά μετάθεση (time delay) Δεν υπάρχει ανάλογο αποτέλεσμα για την αριστερή μετάθεση x t + t 1, t 1 > του σήματος x t. Διότι ο μετασχηματισμός Laplace του x t + t 1 : x t + t 1 e st dt δεν είναι δυνατόν να εκφραστεί μέσω του X s x t. 22

23 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Δεξιά μετάθεση (time delay) (2) Έστω ο τετραγωνικός παλμός t 1 sec: p t = 1, t t 1 p t =, για κάθε άλλο t p t = u t u t t 1 p t = u t u t t 1 P s = 1 s e t 1s 1 s = 1 e t 1s s 23

24 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Χρονική κλιμάκωση x at 1 a X s a + L x at = x at e st dt = 1 α + x τ e τσ αdτ τ = at α > = dτ = adt = 1 α X s a + x τ e sτ α 1 α dτ Παράδειγμα: Αν u t η μοναδιαία βηματική συνάρτηση, τότε u at 1 a s/a s (το περιμέναμε, εφόσον u at = u t, a > ) 1 24

25 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός με εκθετική συνάρτηση (1) e at x t e st e at x t dt = X s a x t e s a t dt = X s a 25

26 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός με εκθετική συνάρτηση (2) Έστω το σήμα v t = u t u t t 1 e at, t 1 >, a R u t u t t 1 1 e t1s s v t = u t u t t 1 e at 1 et 1 s a s a = V s 26

27 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός με δύναμη του t (1) Για n = 1 dx s ds Για n = 2 = x t + = L tx t. d 2 X s ds 2 = x t + = L t 2 x t. t n x t 1 d ds e st d 2 ds 2 e st dt dn n X s dsn dt + = x t t e st dt + = x t t 2 e st dt 27

28 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός με δύναμη του t (2) Έστω το σήμα «ράμπα» r t = tu t r t R s = d ds U s = d 1 ds s = 1 s 2 t n u t n! s n+1 t 2 u t 2! s 3, t3 u t 3! s 4, 28

29 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός με δύναμη του t (3) Έστω το σήμα v t = te bt, b R. e bt 1 s + b, tn x t 1 v t = te bt V s = d ds t n e bt n! s + b n+1 dn n X s dsn 1 s + b = 1 s + b 2 29

30 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός συνάρτησης με τριγωνομετρική συνάρτηση (1) x t sin ωt j 2 X s + jω X s jω x t cos ωt 1 X s + jω + X s jω 2 e jωt = cosωt + jsinωt και e jωt = cosωt jsinωt sinωt = j 2 e jωt e jωt x t X s e at x t X s a a = jω e jωt x t X s ± jω 3

31 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός συνάρτησης με τριγωνομετρική συνάρτηση (2) x t sin ωt j 2 X s + jω X s jω x t cos ωt 1 2 x t sin ωt X s + jω + X s jω = x t j 2 e jωt e jωt = j 2 e jωt x t e jωt x t = j 2 X s + jω Χ s jω 31

32 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός συνάρτησης με τριγωνομετρική συνάρτηση (3) Έστω v t = cosωt. Εφόσον ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός Laplace του v t εξαρτάται μόνο από τις τιμές του t, γράφουμε v t = u t cosωt u t 1 s, x t cosωt 1 2 X s + jω + Χ s jω s + jω + 1 s jω = 1 s jω + s + jω 2 s 2 + ω 2 = s s 2 + ω 2 32

33 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός συνάρτησης με τριγωνομετρική συνάρτηση (4) cosωt s s 2 + ω 2 sinωt ω s 2 + ω 2 33

34 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Πολλαπλασιασμός συνάρτησης με τριγωνομετρική συνάρτηση (5) Έστω το σήμα v t = e bt cosωt. e at x t X s a x t = cosωt X s = s s 2 + ω 2 e bt cosωt s + b s + b 2 + ω 2 34

35 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Συνέλιξη σημάτων (1) x v t X s V s Έστω x t, v t, x t =, v t =, για t <. Η συνέλιξη των x t, v t είναι τ=t x v t = x τ v t τ dτ τ= Εφόσον v t =, για t <, το παραπάνω ολοκλήρωμα γράφεται τ= x v t = x τ v t τ dτ τ=, t, t 35

36 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Συνέλιξη σημάτων (2) t= x v t X s V s τ= x v t = x τ v t τ dτ t= τ= τ= t= = x τ v t τ e st dt τ= τ= t= t = t T e st = x τ v t e s(t +τ) dt τ= t = t = τ v t =, για t < dτ = dτ 36

37 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Συνέλιξη σημάτων (3) τ= = x τ v t e s(t +τ) dt τ= t = t = τ= = x τ e st dτ τ= = X s V s dτ t = v t e st dt t = 37

38 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Διαφόριση ως προς τον χρόνο (1) Έστω η συνάρτηση f(t) η οποία είναι τμηματικά συνεχής με τμηματικά συνεχείς παραγώγους df t dt στο διάστημα t T. Έστω ότι η f(t) είναι εκθετικής τάξης e ct καθώς t. Τότε όταν Re s > c, ο μετασχηματισμός Laplace της df(t)/dt υπάρχει και είναι ίσος με L df t dt = sl f t f + = sf s f + 38

39 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace df t df t L = lim e st dt dt T dt Γράψτε το ολοκλήρωμα ως το άθροισμα των ολοκληρωμάτων σε κάθε διάστημα στο οποίο η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι συνεχής. Έτσι, γράφουμε T Διαφόριση ως προς τον χρόνο (2) e st f 1 t dt = t 1 + T t 2 t T t n 1. u = e st, du = se st dt dv = df dt dt, v = f 39

40 e st f t t 1 + e st f t t1 t e st T f t tn 1 f(t) είναι συνεχής άρα f t 1 = f t 1 + Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace T Διαφόριση ως προς τον χρόνο (3) e st f 1 L df t dt t dt T + s e st f t dt T = f + + e st f T + s e st f t dt lim f t e st = t = sl f t f + = sf s f

41 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Διαφόριση ως προς τον χρόνο (4) dx t dt sx s x d2 x t dt 2 s 2 X s sx x dn x t dt n sn X s s n 1 x s n 2 x sx n 2 x n 1 41

42 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Θεώρημα αρχικής τιμής (1) Έστω ότι για τις f t και f 1 Laplace. t υπάρχει ο μετασχηματισμός Τότε εάν το όριο lim sf s καθώς s υπάρχει, s + sf s = lim s + lim f t. t + 42

43 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace lim s + df dt e st dt = lim s + sf s f + Επειδή η f + είναι ανεξάρτητη του s, και επειδή το ολοκλήρωμα εξαφανίζεται για s, έχουμε Επιπλέον, f + Θεώρημα αρχικής τιμής (2) lim s + sf s f + =. = lim t + f t οπότε lim s + sf s = lim f t t + 43

44 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Θεώρημα τελικής τιμής (1) Έστω ότι για τις f t και f 1 Laplace. Τότε για t + έχουμε lim f t = t + t υπάρχει ο μετασχηματισμός lim sf s s Αυτό το αποτέλεσμα έχει νόημα αν η F(s) διαθέτει ένα απλό πόλο στην αρχή των αξόνων, αλλά δεν ισχύει εάν η F(s) έχει πόλους στον φανταστικό άξονα, ή πόλους στο δεξιό μιγαδικό επίπεδο, ή πόλους υψηλότερη τάξης στην αρχή των αξόνων. 44

45 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Θεώρημα τελικής τιμής (2) lim s lim t df dt e st dt = lim s sf s f + e st 1 καθώς s df dt dt f t f + = lim s lim f t = t = lim t f t f + lim sf s s sf s f + 45

46 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι., 211, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α :, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. Alexander D. Poularikas, Transforms and applications handbook / editor, 3rd ed., CRC Press, Taylor & Francis Group (Chapter 5, Laplace Transforms, by Alexander D. Poularikas and Samuel Seely). 46

47 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace». Έκδοση: 1.. Θεσσαλονίκη 214. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 47

48 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 48

49 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 49

50 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο