Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Transcript

1 Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών και Χημικών ιεργασιών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, 8 Βόλος Νοέμβριος 0

2 . Εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Η διαδικασία της διακριτοποίησης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά, η προσέγγιση των παραγώγων σε κάθε κόμβο του πλέγματος προϋποθέτει την διατύπωση εκφράσεων που προσεγγίζουν την παράγωγο με τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στον συγκεκριμένο και γειτονικούς κόμβους. Οι εκφράσεις αυτές ονομάζονται εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών και προκύπτουν με δύο κυρίως τρόπους: τη σειρά Taylor και την πολυωνυμική παρεμβολή.. Σειρά Taylor Θεωρώντας ότι η συνάρτηση είναι αναλυτική, η αναπτύσσεται σε σειρά Taylor R!! όπου το υπόλοιπο R! είναι τάξης δηλαδή R O παράγωγο προκύπτει, (.) 0 (.). Λύνοντας ως προς την πρώτη και απαλείφοντας όρους τάξης ίσης ή μεγαλύτερης του δύο O. (.) Η εξίσωση (.) αποτελεί μία έκφραση πεπερασμένων διαφορών, δηλαδή μια προσεγγιστική αλγεβρική έκφραση της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης ως προς. Ονομάζεται κατάντη ή πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά πρώτης τάξης, αφού η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από τις τιμές της στο σημείο και στο σημείο που

3 έπεται του σημείου είναι ανάλογο της απόστασης και είναι πρώτης τάξης αφού το σφάλμα αποκοπής. Θεωρώντας στη συνέχεια το ανάπτυγμα Taylor της R!! όπου το έχουμε, (.) R δίδεται από την (.). Λύνοντας και πάλι ως προς προκύπτει η ανάντη ή ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών πρώτης τάξης O. (.5) Τώρα, η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από τις τιμές της στο σημείο και στο σημείο που προηγείται του σημείου απεικόνιση των (.) και (.5) φαίνεται στο Σχήμα.. Η γραφική A ω Δ A ω Δ +Δ -Δ Σχήμα : Γραφική απεικόνιση πρόδρομης (αριστερά) και ανάδρομης (δεξιά) προσέγγισης της παραγώγου στο σημείο A. Σημειώνεται ότι με κατάλληλη αλγεβρική επεξεργασία των αναπτυγμάτων Taylor προκύπτουν διαφορετικές εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών για την πρώτη παράγωγο της ως προς. Για παράδειγμα, αφαιρώντας τα

4 αναπτύγματα Taylor (.) και (.) και λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει ως προς την πρώτη παράγωγο οδηγούμεθα στην κεντρώα σχέση πεπερασμένων διαφορών O. (.6) Παρατηρούμε ότι το σφάλμα αποκοπής στην έκφραση (.6) είναι ης τάξης που σημαίνει ότι η ακρίβεια της προσέγγισης της σχέση με την ακρίβεια των εκφράσεων (.) και (.5). είναι καλύτερη σε Η προσέγγιση παραγώγων υψηλότερης τάξης γίνεται με αντίστοιχη μεθοδολογία. Για παράδειγμα, προσθέτοντας τα αναπτύγματα (.) και (.) και διατηρώντας όρους μέχρι και τέταρτης τάξης προκύπτει η κεντρώα πεπερασμένη διαφορά για την δεύτερη παράγωγο O. (.7) Επίσης συνδυάζοντας τα αναπτύγματα (.) και (.) με τα αναπτύγματα R!! (.8) διατυπώνονται οι κατάντη και ανάντη εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών για την δεύτερη παράγωγο O και O. (.9) (.0) αντίστοιχα. Είναι προφανές ότι θεωρώντας περισσότερους όρους στα αναπτύγματα Taylor η ακρίβεια των προσεγγιστικών εκφράσεων πεπερασμένων διαφορών βελτιώνεται αντίστοιχα. Επίσης τονίζεται ότι η χρήση κατάντη ή ανάντη ή κεντρώων εκφράσεων πεπερασμένων διαφορών εξαρτάται άμεσα με τη φυσική και τον τύπο του προβλήματος που εξετάζεται.

5 Στη περίπτωση των μερικών διαφορικών εξισώσεων, η προσέγγιση των μερικών παραγώγων γίνεται με ανάλογο τρόπο με βάση τη σειρά Taylor δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. Στην περίπτωση των δυο μεταβλητών η σειρά Taylor είναι, yy, y y, y y y, y! y y, yr! y όπου το υπόλοιπο R y, y y! y (.), 0,. (.) Το σφάλμα αποκοπής είναι τάξης, δηλαδή R O y. Έστω ότι ζητείται μια έκφραση πεπερασμένων διαφορών της μικτής παραγωγού y. Προσθαφαιρώντας κατάλληλα τα τέσσερα αναπτύγματα Taylor y, yy, y y, y y, y y, y! y! y y, y! y προκύπτει η κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης για τη μικτή παράγωγο y, yy, yy y,, yy yy O y (.) (.) τάξης Τις περισσότερες φορές οι εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών είναι ανάντη, κατάντη και κεντρώες, ακριβείας ης και ης τάξης. Σε όλες τις περιπτώσεις οι παράγωγοι της εξαρτημένης μεταβλητής σε ένα σημείο

6 διατυπώνονται σε σχέση με τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στο σημείο αυτό και στα αμέσως γειτονικά του. Εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών υψηλότερης ακρίβειας είναι αναγκαίες σε εξειδικευμένα προβλήματα και απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αφού εμπλέκονται περισσότερα σημεία και επομένως περισσότερες αριθμητικές πράξεις. Ακολουθεί ενδεικτικός πίνακας (Πίνακας ) με εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών ης και ης τάξης που προσεγγίζουν μερικές παραγώγους ης, ης, ης και ης τάξης. Για λόγους συντομίας εισάγονται οι συμβολισμοί, y και, m, yy m με y h. Επίσης στον Πίνακα παρατίθενται εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών για την μικτή παράγωγο y για y. Πίνακας : Εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών με περισσότερα από τρία σημεία Παράγωγος Έκφραση πεπερασμένων διαφορών h h 8, 8, Oh, 5, Oh 5 h h h h,, Oh 6, 0 6, Oh,, Oh,, 8, 5 Oh 5 8 h h,,, Oh, 6, Oh

7 Πίνακας : Εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών για την μικτή παράγωγο y Παράγωγος y y y y y y y y y Έκφραση πεπερασμένων διαφορών,, O, y y y,, O, y y y,, O, y y y, O, y y y O, y y y,,,, O, y y y,,,,,,,, O, y y y,,,, O, y y y O, y y y,,,,. Πολυώνυμα παρεμβολής Ο δεύτερος τρόπος προσέγγισης παραγώγων είναι η παρεμβολή της συνάρτησης με ένα πολυώνυμο. Οι συντελεστές του πολυωνύμου υπολογίζονται από τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής σε επιλεγμένα σημεία. Ο βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής αντιστοιχεί στην τάξη της ακριβείας της έκφρασης πεπερασμένων διαφορών. Θεωρώντας, για παράδειγμα, ένα πολυώνυμο παρεμβολής ου προσεγγίσουμε τοπικά την άγνωστη συνάρτηση βαθμού μπορούμε να με τη σχέση

8 A B C. (.) Για τον υπολογισμό των αγνώστων συντελεστών του πολυωνύμου, επιλέγουμε τρία γειτονικά ισαπέχοντα σημεία, και, έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να είναι στο σημείο (βλέπε Σχήμα ). Για συντομία τα τρία σημεία, που βρίσκονται στις θέσεις,, συμβολίζονται με, και. Επομένως έχουμε και A B C (.α) A B C (.β) A B C (.γ) Σχήμα : Γραφική απεικόνιση πολυωνυμικής παρεμβολής για πρόδρομη (αριστερά) και ανάδρομη (δεξιά) προσέγγιση των παραγώγων. Στις εξισώσεις (.) αντικαθιστούμε τις τιμές 0, και και λύνοντας στη συνέχεια το σύστημα των τριών εξισώσεων που προκύπτει ως προς τους άγνωστους συντελεστές του πολυωνύμου βρίσκουμε C (.α) B (.β)

9 A (.γ) Παίρνοντας τη παράγωγο του πολυώνυμο (.) ως προς προκύπτει η παράγωγος A B (.) και αντικαθιστώντας στη συνέχεια τις εκφράσεις (.β) και (.γ) για τους συντελεστές A και B αντίστοιχα βρίσκουμε ότι στο σημείο 0, η παράγωγος είναι B. (.5) Πρόκειται για μια κατάντη έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης. Παίρνοντας τη παράγωγο της εξίσωσης (.) άλλη μια φορά προκύπτει ότι η δεύτερη παράγωγος στο σημείο 0 είναι A. (.6) Τονίζεται ότι οι εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών (.5) και (.6) μπορούν να διατυπωθούν επίσης χρησιμοποιώντας την μεθοδολογία που βασίζεται στο ανάπτυγμα Taylor. Ανάντη εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών, με τη μεθοδολογία των πολυωνύμων παρεμβολής, προκύπτουν αρκετά εύκολα επιλέγοντας τα σημεία, και (ή, και ) και θέτοντας το σημείο στην αρχή των αξόνων (βλέπε Σχήμα ). Ανάλογα πράττουμε και στη περίπτωση κεντρώων εκφράσεων πεπερασμένων διαφορών. Τώρα τα τρία σημεία παρεμβολής είναι τα, με την αρχή των αξόνων να ορίζεται και πάλι στο σημείο. Το κύριο πλεονέκτημα της πολυωνυμικής παρεμβολής σε σχέση με τη σειρά Taylor είναι ότι εφαρμόζεται ευκολότερα όταν τα σημεία ισαπέχουν μεταξύ τους. δεν