Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές"

Transcript

1 Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι εξισώσεις κύματος ης τάξης + c = 0 (7..) ης τάξης x = 0, (7..) c xx όπου (, x) = είναι η άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή, ανεξάρτητες μεταβλητές στο χρόνο χώρο αντίστοιχα x είναι οι σταθερά. Εξισώσεις υπερβολικού τύπου, όπως οι (7..) (7..), περιγράφουν μεγάλο αριθμό φυσικών φαινομένων συστημάτων, όπως μη συνεκτική ροή, ακουστική, ηλεκτρομαγνητικά κύματα, πλαστικότητα άλλα. Οι (7..) (7..) περιγράφουν την διάδοση (μεταφορά) μιας φυσικής οντότητας, όπως για παράδειγμα ένα ακουστικό σήμα, μία διαταραχή κ.τ.λ. που εκφράζεται από την εξαρτημένη μεταβλητή από μία αρχική σε μία μεταγενέστερη θέση στο χρόνο το χώρο. Είναι απαραίτητο λοιπόν εξισώσεις όπως οι (7..) (7..) να συνοδεύονται από συνθήκες που προσδιορίζουν την αρχική κατάσταση του φαινομένου. Συγκεκριμένα, η (7..) πρέπει να συνοδεύεται από μία αρχική συνθήκη που θα ορίζει την εξαρτημένη μεταβλητή σε κάποια χρονική στιγμή, έστω, ενώ η (7..) πρέπει να συνοδεύεται από δύο αρχικές συνθήκες όπου σε κάποια χρονική 0 0 c > 0 στιγμή, έστω, επιπλέον της εξαρτημένης μεταβλητής πρέπει να ορίζεται η παράγωγός της ως προς το χρόνο. Επομένως, οι αρχικές συνθήκες μαζί με την διαφορική εξίσωση καθορίζουν την εξέλιξη της φυσικής οντότητας χωρίς να απαιτείται ο ορισμός συμπληρωματικών μία 8

2 συνθηκών σε μεταγενέστερη χρονική στιγμή καθώς το. Στις υπερβολικές εξισώσεις το πεδίο ορισμού είναι ανοικτό στη διάσταση του χρόνου, > 0. Ως προς τη διάσταση του χώρου ανάλογα με το φαινόμενο που περιγράφεται τη γεωμετρία του, είναι πιθανόν να προσδιορίζονται ή όχι οριακές συνθήκες. Στη πρώτη περίπτωση αναφερόμαστε σε υπερβολικό πρόβλημα αρχικών οριακών τιμών στη δεύτερη σε υπερβολικό πρόβλημα αρχικών τιμών. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε αποκλειστικά προβλήματα αρχικών τιμών. Τα υπερβολικά προβλήματα αρχικών τιμών που βασίζονται στις εξισώσεις κύματος ης ης τάξης (7..) (7..) αντίστοιχα είναι γνωστά σαν προβλήματα Cachy ορίζονται ως εξής: Πρόβλημα Cachy ης τάξης + c = 0, < x <, > 0, (7..3) x ( 0, ) ( ) x = f x, < x <. (7..4) Πρόβλημα Cachy ης τάξης = 0, < x <, > 0, (7..5) c xx ( 0, ) ( ) x = g x, < x <, (7..6α) ( 0, ) ( ) x = h x, < x <. (7..6β) Οι συναρτήσεις f ( x ), g( x ) h( x ) θεωρούνται γνωστές. Η διαδικασία αναλυτικής επίλυσης των δύο προβλημάτων Cachy είναι ευρέως γνωστή απλή. Εφαρμόζοντας την μέθοδο των χαρακτηριστικών η λύση του προβλήματος Cachy ης τάξης είναι (, ) ( x = f x c). (7..7) Η γραφική απεικόνιση της λύσης (7..7) για μία τυχαία συνάρτηση f ( x ) φαίνεται στο Σχήμα 7.. Παρατηρούμε ότι η αρχική κατανομή f ( x ) ταξιδεύει κατά μήκος της χαρακτηριστικής x = c αμετάβλητη στο χρόνο. 9

3 f ( x ) = 0 f ( x c ) = = x x = c Σχήμα 7.: Αναλυτική λύση εξίσωσης κύματος ης τάξης. Η αναλυτική λύση του ου D Alember δίδεται από την κλειστή έκφραση προβλήματος Cachy είναι γνωστή σαν λύση ( x, ) = g( x+ c) + g( x c) + h( s) ds (7..8) x+ c c x c Στη περίπτωση αυτή έχουμε δύο χαρακτηριστικές κατευθύνσεις που ορίζονται από τις ευθείες x c = ± η αρχική κατανομή g( x ) διαχωρίζεται σε δύο κατανομές που έχουν την ίδια μορφή αλλά με το μισό εύρος σε σχέση με το αρχικό έκαστη από αυτές ταξιδεύει κατά μήκος της αντίστοιχης χαρακτηριστικής ευθείας. Ο λόγος τον οποίο αναφερόμαστε, έστω περιληπτικά, στη αναλυτική επίλυση των δύο για 30

4 προβλημάτων Cachy είναι επειδή οι κομψές αναλυτικές λύσεις (7..7) (7..8) χρησιμοποιούνται εκτενώς στη τεκμηρίωση αξιολόγηση των αριθμητικών σχημάτων υπερβολικών εξισώσεων. Συγκρίνοντας τα αντίστοιχα αναλυτικά αριθμητικά αποτελέσματα προκύπτουν χρήσιμα συμπεράσματα για τις δυνατότητες τις αδυναμίες των προτεινομένων υπολογιστικών μεθόδων. Σημειώνεται ότι οι δύο εξισώσεις κύματος συνδέονται άμεσα μεταξύ τους μάλιστα η εξίσωση ης τάξης προκύπτει από την εξίσωση ης τάξης μετά από την παρακάτω μαθηματική επεξεργασία: = cx = ( cx) = c ( ) = c ( cx) = c x x xx (7..9) Βεβαίως, η (7..) μπορεί να διατυπωθεί αυτοδύναμα αξιοποιώντας φαινομενολογικούς κανόνες. Στις επόμενες παραγράφους του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε συστηματικά με την διατύπωση ρητών πεπλεγμένων σχημάτων πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση κύματος ης τάξης εξετάζοντας με λεπτομέρεια την ευστάθεια, την συνοχή την ακρίβειά τους, σε σχέση με τα αναλυτικά αποτελέσματα. Επίσης θα ορίσουμε τις πολύ βασικές σημαντικές έννοιες της αριθμητικής απόσβεσης, διασποράς διάχυσης. Τέλος θ α αναφερθούμε συνοπτικά στην αριθμητική επίλυση της (7..). 7. Πρόδρομη στο χρόνο - ανάδρομη στο χώρο Εφαρμόζοντας πρόδρομη ανάδρομη παραγώγιση ης τάξης στο χρόνο στο χώρο αντίστοιχα της (7..) προκύπτει η ρητή εξίσωση πεπερασμένων διαφορών + c 0 Δ + Δx = ή c > 0,. (7..) 3

5 ( = ν ), (7..) + όπου cδ ν = Δ x (7..3) είναι ο αδιάστατος αριθμός CFL. Τα γράμματα C, F L αντιστοιχούν στα αρχικά γράμματα των επιστημόνων Cora, Fredrch Lews που πρώτοι όρισαν τον αριθμό αυτό τον χρησιμοποίησαν στην υπολογιστική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ο αριθμός CFL όπως θα δούμε είναι μείζονος σημασίας στην αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Προφανώς, πρόκειται για ρητό σχήμα ης τάξης, O[ Δ, Δ x]. Είναι το απλούστερο αριθμητικό σχήμα επίλυσης της (7..) στο εξής θα ονομάζεται σχήμα ανάντη παραγώγισης. Σημειώνεται ότι, για ν =, η (7..) ανάγεται στη εξίσωση + =, που ταυτίζεται με την αναλυτική λύση επομένως τα αριθμητικά αποτελέσματα που προκύπτουν θα πρέπει να είναι εξαιρετικής ακρίβειας. Δυστυχώς, όπως θα δούμε στη συνέχεια το σχήμα (7..) με ν = είναι ασταθές. Θα μελετήσουμε την ευστάθεια του αριθμητικού σχήματος εφαρμόζοντας ανάλυση Vo-Nema. Αντικαθιστώντας στην (7..) την υπόθεση =Ψ e α Δ k x = 0,,, I = 0,,, N, (7..4),, όπου α =, προκύπτει η εξίσωση Ψ =Ψ νψ ( e α Δx) + k μετά από τυπική μαθηματική επεξεργασία βρίσκουμε το λόγο + Ψ ξ = = ν + ν β + α ν β Ψ ( cos ) ( s ) Παρατηρούμε ότι ο λόγος επίσης να γραφεί στη μορφή ξ (7..5), β = kδ x. (7..6) + Ψ ξ = είναι μιγαδικός αριθμός μπορεί Ψ = ξ e αϕ, (7..7) 3

6 όπου + Ψ ξ = = ν + ν β + ν β Ψ ( cos ) ( s ) (7..8) ( ) ( ) Im s arca ξ arca ν β ϕ = = Re ξ ν + νcosβ (7..9) είναι το μέτρο η γωνία φάσης του μιγαδικού αριθμού ξ. Γνωρίζουμε ότι το σχήμα ανάντη παραγώγισης (7..) είναι ευσταθές μόνο εάν ο συντελεστής ενίσχυσης που εκφράζεται από το μέτρο του μιγαδικού αριθμού ξ είναι μικρότερος της μονάδας. Επομένως θα πρέπει + Ψ ξ = = ν + ν β + ν Ψ ( cos ) ( s ) β <. (7..0) Στο Σχήμα 7. φαίνονται οι τιμές του συντελεστή ενίσχυσης για διάφορες τιμές του αριθμού CFL όλο το εύρος της γωνίας β. Είναι προφανές ότι ξ < μόνο όταν ν <..33 v =.3 v = 0.8 v = ξ β Σχήμα 7.: Συντελεστής ενίσχυσης σχήματος ανάντη παραγώγισης. 33

7 Περνούμε τώρα στη μελέτη συνοχής του σχήματος ανάντη παραγώγισης όπως αυτό εκφράζεται από την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (7..). Αντικαθιστούμε στην (7..) τα αναπτύγματα Taylor 3 + Δ Δ 4 = +Δ O Δ! 3! (7..) 3 Δx Δx 4 = Δ xx + xx xxx + O Δx! 3! (7..) οδηγούμεθα στην εξίσωση Δ cδx Δ Δx cx = + xx c xxx + O Δ, Δx 6. (7..3) Παρατηρούμε λοιπόν ότι το ρητό αριθμητικό σχήμα (7..) προσεγγίζει την διαφορική εξίσωση (7..3) όχι την εξίσωση κύματος ης τάξης (7..). Βέβαια το σχήμα έχει συνοχή αφού για Δ 0 x 0 Δ το δεξιό τμήμα της (7..3) μηδενίζεται τότε η διαφορική εξίσωση (7..3) ανάγεται στην (7..). Πρόσθετα χρήσιμα συμπεράσματα για την συνοχή γενικότερα για τη συμπεριφορά ενός αριθμητικού σχήματος, όπως έχουμε σημειώσει νωρίτερα στο 5 ο Κεφάλαιο, μπορούν να προκύψουν αντικαθιστώντας, στην (7..3), τις χρονικές με χωρικές παραγώγους. Παραγωγίζουμε διαδοχικά την (7..3) ως προς τον χρόνο ως προς το χώρο: Δ cδx Δ Δx cx = + xx c xxx + O Δ, Δx 6 (7..4) Δ cδx Δ Δx 4 4 x + cxx = x + xxx x c xxxx + O Δ, Δx 6 (7..5) Αφού πολλαπλασιάσουμε την δεύτερη με βρίσκουμε c προσθέτουμε τις δύο εξισώσεις c c c = c xx +Δ + x + O[ Δ ] +Δx xx xxx + O[ Δx] Με αντίστοιχη διαδικασία βρίσκουμε ότι 3 c xxx O [, ]. (7..6) = + Δ Δx (7..7) 34

8 x c xxx O xx [, ] = + Δ Δx (7..8) xxx [, ] = c + O Δ Δx. (7..9) Οι μερικές παράγωγοι (7..8) (7..9) αντικαθίστανται στην (7..6) η προκύπτουσα εξίσωση μαζί με την (7..7) για την δεύτερη τρίτη παράγωγο ως προς τον χρόνο αντικαθίστανται στην (7..3) που τώρα γράφεται στην μορφή c x x 3 + cx = Δ ( v) xx c Δ ( v 3v+ ) xxx + O Δx, Δx Δ, ΔxΔ, Δ 3 6. (7..0) Η (7..0) είναι η τροποποιημένη εξίσωση πεπερασμένων διαφορών είναι η εξίσωση που επιλύει υπολογιστικά, αντί της (7..) το αριθμητικό σχήμα (7..). Αρχικά παρατηρούμε ότι για ν = ο πρώτος ο δεύτερος όρος στο δεξιό τμήμα της (7..0) μηδενίζονται η διαφορική εξίσωση (7..0) σχεδόν ταυτίζεται με την εξίσωση κύματος. Το αποτέλεσμα αυτό σχετίζεται άμεσα με την παρατήρηση που έγινε νωρίτερα ότι για ν =, ταυτίζονται, εντός του ορίου των σφαλμάτων του υπολογιστή, η αριθμητική η αναλυτική λύση. Άρα για ν = έχουμε την βέλτιστη δυνατή συνοχή. Όμως, όπως αποδείξαμε, για ν = το σχήμα είναι ασταθές. Επομένως θα πρέπει να διακριτοποιήσουμε σε ένα υπολογιστικό πλέγμα με ν <, θυσιάζοντας τμήμα της συνοχής του σχήματος εξασφαλίζοντας παράλληλα την ευστάθειά του. Είναι πλέον προφανές ότι οι δύο πρώτοι όροι στο δεξιό τμήμα της (7..0), δεν μηδενίζονται θα είναι πάντα παρόντες κατά την εφαρμογή του σχήματος ανάντη παραγώγισης. Ο πρώτος όρος που περιλαμβάνει τη δεύτερη παράγωγο του ως προς x, έχει την τάση να αποσβένει το εύρος των τιμών των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Δηλαδή, ενώ δεν υπάρχει φυσικός μηχανισμός απόσβεσης στο μαθηματικό μοντέλο ( η παράγωγος ως προς x στην διαφορική εξίσωση), το εύρος της διαταραχής στα αριθμητικά αποτελέσματα μειώνεται σταδιακά. Το σφάλμα αυτό ονομάζεται σφάλμα εικονικής ή αριθμητικής απόσβεσης. Ο δεύτερος όρος που περιλαμβάνει την τρίτη παραγωγό ως προς x, έχει την τάση να 35

9 διασπείρει τις τιμές των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Δηλαδή, ενώ δεν υπάρχει φυσικός μηχανισμός διασποράς στο μαθηματικό μοντέλο (3 η παράγωγος ως προς x στην διαφορική εξίσωση), τα αριθμητικά αποτελέσματα διασπείρονται δημιουργώντας πτυχώσεις κυρίως στις παρυφές της διαταραχής. Το σφάλμα αυτό ονομάζεται σφάλμα εικονικής ή αριθμητικής διασποράς. Γενικά τα σφάλματα απόσβεσης οφείλεται σε άρτιες παραγώγους, ενώ τα σφάλματα διασποράς σε περιττές παραγώγους του ως προς x. Το συνολικό σφάλμα στα αριθμητικά αποτελέσματα αποτελείται από το σφάλμα απόσβεσης το σφάλμα διασποράς ονομάζεται σφάλμα εικονικής ή αριθμητικής διάχυσης. Με βάση την ανάλυση ευστάθειας συνοχής προκύπτει το συμπέρασμα ότι για τιμές του αριθμού CFL πολύ μικρότερες της μονάδας η ευστάθεια είναι ικανοποιητική, ενώ η συνοχή αρκετά χαλαρή. Αντίθετα για τιμές του αριθμού CFL πολύ κοντά στην μονάδα η ευστάθεια είναι οριακή, ενώ η συνοχή ικανοποιητική. Το συμπέρασμα αυτό είναι γενικό τις περισσότερες φορές καλύτερη ευστάθεια συνεπάγεται υποδεέστερη συνοχή το αντίστροφο. Τα σφάλματα εικονικής ή αριθμητικής διάχυσης είναι παρόντα στις περισσότερες υπολογιστικές μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Εδώ πολλά χρόνια γίνεται μία συστηματική διαρκής προσπάθεια διατύπωσης αριθμητικών μεθόδων που να είναι ευσταθείς να έχουν συνοχή. Τα αποτελέσματα είναι επιτυχή σε μεγάλο βαθμό επιτρέπουν την προσομοίωση ακριβή επίλυση σύνθετων φυσικών συστημάτων. Όμως, οι συνεχώς αυξανόμενες ανάγκες απαιτήσεις καθιστούν απαραίτητη την διατύπωση νέων βελτιωμένων αναβαθμισμένων μεθόδων με αποτέλεσμα το συγκεκριμένο ερευνητικό πεδίο να παραμένει ανοικτό να απασχολεί εκατοντάδες ερευνητές που στη πλειοψηφία τους είναι μηχανικοί, φυσικοί, μαθηματικοί προγραμματιστές. 36

10 7.3 Σύγκριση αναλυτικής αριθμητικής λύσης Ο κύριος λόγος αριθμητικής επίλυσης πρότυπων εξισώσεων είναι η δυνατότητα της συστηματικής λεπτομερούς σύγκρισης της αριθμητικής λύσης με την αντίστοιχη αναλυτική που λόγω της απλής μορφής της εξίσωσης είναι διαθέσιμη. Στη παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών με σκοπό να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα του αριθμητικού σχήματος ανάντη παραγώγισης με τα αντίστοιχα αναλυτικά. Αυτό επιτυγχάνεται υπολογίζοντας το μέτρο τη γωνία φάσης του αριθμητικού σχήματος της αναλυτικής λύσης. Οι δυο αυτές ποσότητες είναι πολύ σημαντικές όταν συγκρίνονται με τις αντίστοιχες αναλυτικές οδηγούν σε χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με την ακρίβεια την αξιοπιστία του αριθμητικού σχήματος. Η γενική λύση της γραμμικής εξίσωσης (7..) μπορεί να γραφεί στη μορφή (, ) ( ) ( ) =Ψ =, α =. (7.3.) m kx x X x e e α Αντικαθιστώντας την (7.3.) στην (7..) προκύπτει ότι m επομένως έχουμε την αναλυτική λύση (, ) ( ) = αkc k x c x= e α, α =. (7.3.) Εκμεταλλευόμενοι την λύση (7.3.) διατυπώνουμε την εξής αναλυτική έκφραση για τον λόγο ( ) Ψ() ( ) ( ) Ψ() ( ) (, ) (, ) Ψ +Δ Ψ +Δ X x +Δ x ξα = = = = e X x x ή ξ ξ Α αkcδ, (7.3.3) e αϕ Α = Α, (7.3.4) όπου το μέτρο η γωνία φάσης του αναλυτικού ξ δίδονται από τις εκφράσεις ξ Α = (7.3.5) cδ ϕα = kcδ = kδ x = βν Δx (7.3.6) 37

11 αντίστοιχα με β = kδ x ν = cδ. Έστω ότι επιλύουμε την (7..) με το σχήμα της πρόδρομης ανάδρομης παραγώγου στο χρόνο το χώρο αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι τις αναλυτικές ποσότητες (7.3.4), (7.3.5) (7.3.6) είναι διαφορετικές από τις αντίστοιχες αριθμητικές (7..7), (7..8) (7..9). Στη περίπτωση αυτή ο λόγος του αριθμητικού προς τον αναλυτικό ξ είναι αϕ ξ ξ e ξ α ( ϕ ϕα ) = = e (7.3.7) αϕα ξ ξ e ξ Α Α Α αποτελεί ποσοτική εκτίμηση του αριθμητικού σφάλματος μετά από ένα χρονικό βήμα. Επομένως, μετά από ένα χρονικό βήμα το αριθμητικό εύρος της διαταραχής σε σχέση με το αναλυτικό θα έχει μειωθεί (ή αυξηθεί) κατά ξ / ξ Α, ενώ η διαφορά ανάμεσα στην αριθμητική αναλυτική γωνία φάσης θα είναι ϕ από ϕ Α. Είναι προφανές ότι οι αντίστοιχες αποκλίσεις μετά N χρονικά βήματα θα είναι ( / ) N ξ ξ Α N ( ϕ ). ϕ Α Συνεχίζουμε με την μελέτη ενός συγκεκριμένου παραδείγματος που περιλαμβάνει την επίλυση της (7..) στο πεδίο ορισμού R : > 0, 0 x με c = 0.8 αρχική συνθήκη ( 0, ) s( π ) x x =. (7.3.9) Στη περίπτωση αυτή ο κυματαριθμός k = π. Εργαζόμενοι σε ένα υπολογιστικό πλέγμα, έστω με Δ = 0.0 Δ x = 0.0, προκύπτει ν = 0.8 β 0.0π =. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές των παραμέτρων στις αναλυτικές εκφράσεις (7.3.5) (7.3.6) βρίσκουμε τις τιμές ξ Α = (7.3.0) ( )( ) ϕ = kcδ = βν = 0.0π 0.8 = (7.3.) Α Αντίστοιχα για το σχήμα πεπερασμένων διαφορών της παραγράφου 7., βρίσκουμε από τις εκφράσεις (7..8) (7..9) ( ) ( ) ξ = ν + ν cos β + νs β = (7.3.) 38

12 ( ) ( ) Im ξ νs β ϕ = arca = arca Re ξ = ν + ν cos β (7.3.3) αντίστοιχα. Με βάση τα παραπάνω η αναλυτική η αριθμητική λύση μετά από ένα χρονικό βήμα είναι ( 0 0 ) = [ π ϕ ] = π( ) = π( 0 008) Α.,x s x Α s x.. s x. (7.3.4) ( 00 ) = ξ π( 08 00) + ( ϕ ϕ).,x s x.. Α = ( ) = s π x (7.3.5) αντίστοιχα. Οι όποιες διαφορές ανάμεσα στις δύο λύσεις αυξάνουν σταθερά καθώς προχωρούμε σε μεταγενέστερες χρονικές στιγμές αυξάνει ο αριθμός των χρονικών βημάτων. Την χρονική στιγμή = N Δ, δηλαδή μετά από N χρονικά βήματα οι δύο λύσεις θα έχουν εξελιχθεί ως εξής: ( 00 ) [ π ϕ ] π( 08 00) Α N.,x = s x N Α = s x N.. = ( ) = s π x N (7.3.6) ( N 00.,x) = ( ξ ) N s π( x N ) + N ( ϕα ϕ) = N ( ) π ( ) = s x N N (7.3.7) Προτείνεται στον ενδιαφερόμενο αναγνώστη να προχωρήσει σε λεπτομερή ποσοτικό υπολογισμό των δύο λύσεων για > 0 επαναλάβει τους υπολογισμούς με διαφορετικά διαφορετικούς κυματαριθμούς στη συνέχεια να Δ x, για με στόχο να αποκτήσει μία πρώτη εκτίμηση των σφαλμάτων της αριθμητικής λύσης σε όλο το εύρος των εμπλεκομένων παραμέτρων. k Δy Σημειώνεται ότι οι ποσότητες ξ ϕ συνδέονται με την αριθμητική απόσβεση διασπορά του αριθμητικού σχήματος αντίστοιχα. Δεν θεωρείται σκόπιμο να παρουσιασθεί η μαθηματική απόδειξη της παραπάνω πρότασης αλλά με βάση τα παραπάνω ο συσχετισμός θα πρέπει να είναι γίνεται νοητικά αντιληπτός. Εκφράσεις όπως η (7.3.7) είναι πολύ σημαντικές διότι επιτρέπουν σύγκριση 39

13 θεωρητικών αριθμητικών αποτελεσμάτων από τη μία πλευρά με τα αντίστοιχα αναλυτικά από την άλλη πλευρά με τα καθαρά αριθμητικά (ή πειραματικά) αποτελέσματα του υπολογιστή. Μεταξύ άλλων επιτυγχάνεται η ποσοτική αξιολόγηση επιβεβαίωση ή απόρριψη θεωρητικών αριθμητικών αποτελεσμάτων που έχουν σχέση με την ευστάθεια, την συνοχή τη σύγκλιση του αριθμητικού σχήματος. Είναι προφανές ότι η ανάλυση η μεθοδολογία της παραγράφου αυτής δύναται με τις κατάλληλες τροποποιήσεις να εφαρμοσθεί σε άλλα αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών, μερικά εκ των οποίων περιγράφονται στις επόμενες παραγράφους. 7.4 Ρητά σχήματα Lax-Wedroff McCormack Στη παράγραφο αυτή θα αναφερθούμε εν συντομία σε δύο ρητά αριθμητικά σχήματα που προσεγγίζουν την εξίσωση κύματος, διατυπώνοντας τις αντίστοιχες εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών σχολιάζοντας σε κάθε περίπτωση την ακρίβεια, την ευστάθεια την συνοχή τους. Το ρητό αριθμητικό σχήμα Lax-Wedroff διατυπώνεται γράφοντας το ανάπτυγμα + Δ 3 = +Δ + + O Δ! (7.4.) αντικαθιστώντας την πρώτη δεύτερη παράγωγο ως προς το χρόνο από τις σχέσεις. Στην προκύπτουσα εξίσωση = c x = c xx + c x xx c O 3 = Δ + Δ + Δ (7.4.) οι χωρικές παράγωγοι προσεγγίζονται με κεντρώες παραγώγους προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών του σχήματος Lax- Wedroff = cδ + c Δ Δx Δx. (7.4.3) 40

14 Το σχήμα είναι ρητό, ης τάξης O Δx, Δ ευσταθές μόνο για ν <. Εφαρμόζοντας τις μεθοδολογίες ευστάθειας συνοχής προκύπτουν ο λόγος + Ψ ξ = = ν β + α ν Ψ ( cos ) ( s ) η τροποποιημένη εξίσωση β (7.4.4) 3 cδx Δx + cx = ( v ) xxx c ν ( v ). (7.4.5) xxxx 6 8 Σημειώνεται ότι το σχήμα Lax-Wedroff δεν έχει αριθμητική απόσβεση αλλά μόνο αριθμητική διασπορά. Το ρητό αριθμητικό σχήμα Mac Cormack χρησιμοποιείται ευρέως στην επίλυση της εξίσωσης κύματος. Η μέθοδος είναι ρητή αλλά σε κάθε χρονικό βήμα λύνονται δυο ρητές εκφράσεις που αντιστοιχούν στα επιμέρους βήματα πρόβλεψης διόρθωσης. Το αριθμητικό σχήμα Mac Cormack περιγράφεται από τις εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών + / Δ = c ( + Δx Δ = c ( + Δx + + / + / +/ ) (7.4.6α) ). (7.4.6b) Τονίζεται ότι εάν εφαρμοσθεί μόνο το βήμα της πρόβλεψης το αριθμητικό σχήμα είναι πάντα ασταθές. Ο όρος ενδιάμεση τιμή της τελική τιμή + στο βήμα / + είναι η που προκύπτει από την εξίσωση πρόβλεψης, ενώ η + προκύπτει από την εξίσωση διόρθωσης. Η μέθοδος Mac-Cormack έχει αντίστοιχα χαρακτηριστικά με τη μέθοδο Lax-Wedroff, δηλαδή είναι ης τάξης O Δx, Δ, ευσταθής μόνο για ν < εφαρμόζεται επίσης στην επίλυση μη γραμμικών υπερβολικών εξισώσεων. Όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (7.4.6) η χωρική παράγωγος προσεγγίζεται με πρόδρομη πεπερασμένη διαφορά στην εξίσωση 4

15 πρόβλεψης ανάδρομη πεπερασμένη διαφορά στην εξίσωση στην εξίσωση διόρθωσης. Εφαρμόζοντας πρόδρομες πεπερασμένες διαφορές στις δύο εξισώσεις προκύπτει το αριθμητικό σχήμα + / Δ = c ( + Δx ) (7.4.7α) Δ Δ = c c + + Δx Δx ( ) ( ) + + / + / + /, (7.4.7b) που αποτελεί μια εναλλακτική μορφή της μεθόδου Mac Cormack. Το σχήμα (7.4.7) δεν έχει σφάλμα αριθμητικής απόσβεσης εάν συνδυαστεί κατάλληλα με το σχήμα Lax-Wedroff επιτυγχάνεται σημαντική μείωση στο σφάλμα διασποράς. 7.5 Πεπλεγμένα σχήματα Eler Tραπεζίου Όλοι οι αλγόριθμοι που εξετάστηκαν μέχρι τώρα, για την επίλυση της εξίσωσης κύματος, είναι ρητοί. Στη παράγραφο αυτοί εξετάζονται τα πεπλεγμένα σχήματα Eler τραπεζίου, που σαν πεπλεγμένα είναι πάντα ευσταθή ανεξάρτητα από το μέγεθος του αριθμού CFL. Αυτό σημαίνει ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα παραμένουν ευσταθή, ενώ το χρονικό βήμα Δ μπορεί να είναι αυθαίρετα μεγάλο. Το πεπλεγμένο σχήμα Eler προκύπτει με πρόδρομη παραγώγιση στο χρόνο κεντρώα παραγώγιση στο χώρο. Η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών δίδεται από την αλγεβρική εξίσωση + c + ( Δ Δx + + )= 0. (7.5.) Το σχήμα είναι ης τάξης στο χρόνο ης τάξης στο χώρο O Δ, Δx. Αποδεικνύεται με ανάλυση Forer ότι είναι πάντα ευσταθές για οποιοδήποτε χρονικό βήμα Δ. Βέβαια, το σχήμα είναι πεπλεγμένο επομένως σε κάθε χρονικό βήμα λύνεται ένα τριδιαγώνιο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής 4

16 v + + v =. (7.5.) Όπως γνωρίζουμε, η μέθοδος που χρησιμοποιείται στην επίλυση τριδιαγώνιων συστημάτων είναι ο αλγόριθμος Thomas. Τα πεπλεγμένα σχήματα απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αλλά παράλληλα επιτρέπουν μεγάλα χρονικά βήματα. Πολλές φορές όμως οι λύσεις που βασίζονται σε μεγάλα χρονικά βήματα είναι τελείως ανακριβείς αφού συνοδεύονται από μεγάλο σφάλμα αποκοπής. Η τροποποιημένη εξίσωση στη πεπλεγμένη μέθοδο Eler είναι c c + = Δ c x c Δ + Δ x xx xxx. (7.5.3) Παρατηρούμε ότι το δεξιό τμήμα της τροποποιημένης εξίσωσης δεν μηδενίζεται για οποιαδήποτε επιλογή του αριθμού CFL. Το πεπλεγμένο σχήμα Eler είναι πάντα ευσταθές αλλά η συνοχή δεν είναι ικανοποιητική. Το σχήμα έχει μεγάλη αριθμητική διάχυση (απόσβεση διασπορά). Αυτό δεν πρέπει να μας ξαφνιάζει, αφού όπως έχουμε αναφέρει σχήματα που έχουν απόλυτη ευστάθεια υποφέρουν από έλλειψη συνοχής. Εύκολα προκύπτει ο λόγος vsβ ξ =. (7.5.4) + v s β Σε αντίθεση με αυτά που μόλις αναφέραμε η μέθοδος του τραπεζίου είναι μία πεπλεγμένη μέθοδος ης τάξης στο χρόνο στο χώρο O Δ, Δx, που έχει μηδενική αριθμητική απόσβεση. Πράγματι η τροποποιημένη εξίσωση περιλαμβάνει μόνο περιττές παραγώγους με αποτέλεσμα η μέθοδος να έχει μόνο αριθμητικό σφάλμα διασποράς. Το χαρακτηριστικό αυτό δεν είναι συνηθισμένο σε πεπλεγμένα σχήματα. Αφαιρώντας τα αναπτύγματα Taylor 3 + Δ Δ = +Δ (7.5.5) 6 43

17 3 + + Δ + Δ + = +Δ (7.5.6) εφαρμόζοντας στην προκύπτουσα εξίσωση το ανάπτυγμα + = +Δ +... (7.5.7) προκύπτει η εξίσωση + Δ = Δ ( ) x. (7.5.8) Η μεθοδολογία διατύπωσης της εξίσωσης (7.5.8) θυμίζει τη μέθοδο Crak- Ncolso ονομάζεται τραπεζοειδής πεπερασμένη διαφορά. Στη συνέχεια οι μερικές παράγωγοι ως προς το χρόνο αντικαθίστανται με βάση τη σχέση = c έχουμε την εξίσωση + cδ = x + x + Δ + 0 ( ) 3. (7.5.9) Τελικά εφαρμόζοντας κεντρώες πεπερασμένες διαφορές στις χωρικές παραγώγους προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών v 4 = ( ) (7.5.0) Το σχήμα είναι πεπλεγμένο σε κάθε χρονικό βήμα επιλύεται ένα τριγωνικό σύστημα εξισώσεων. Η τροποποιημένη εξίσωση έχει τη μορφή c Δ cδx cδx c Δ Δx c Δ + c = x xxx xxxxx. (7.5.) Το σχήμα δεν έχει αριθμητική απόσβεση αλλά έχει αριθμητική διασπορά. Όταν η μέθοδος εφαρμόζεται σε μη γραμμικές εξισώσεις, μερικές φορές κρίνεται απαραίτητο να προστεθεί όρος ομαλοποίησης (αριθμητική απόσβεση) ώστε να εξασθενεί η έντονη διασπορά των αποτελεσμάτων. 44

18 7.6 Αριθμητική επίλυση εξίσωσης κύματος ης τάξης Έχοντας παρουσιάσει διάφορες τεχνικές αριθμητικής επίλυσης της εξίσωσης κύματος ης εξίσωσης κύματος ης τάξης, συνεχίζουμε με την αριθμητική επίλυση της τάξης (7..5) που υπόκειται στις οριακές συνθήκες (7..6). Πολλά από τις αριθμητικές τεχνικές που παρουσιάσαμε στις προηγούμενες παραγράφους μπορούν μετά από κατάλληλες τροποποιήσεις σεβόμενοι τις βασικές αρχές των υπερβολικών αριθμητικών σχημάτων να εφαρμοσθούν στις δευτεροβάθμιες υπερβολικές εξισώσεις. Ένα από τα αριθμητικά σχήματα πεπερασμένων διαφορών που δεν αναπτύχθηκε νωρίτερα αν έχει αρκετά ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά είναι η μέθοδος Leap Frog, όπου οι παράγωγοι ως προς το χρόνο το χώρο προσεγγίζονται με κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών. Υιοθετώντας την συγκεκριμένη μέθοδο στην εξίσωση κύματος ης παίρνουμε την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών c = 0 Δ Δx ή ( + ) + (7.6.) = ν + =0, (7.6.) τάξης όπου ν = cδ/ Δ x είναι ο αριθμός CFL. Το σχήμα είναι ρητό, είναι δεύτερης τάξης, O Δ, Δx υπερβολικά σχήματα, είναι ευσταθές μόνο για αποδεικνύεται ότι, όπως όλα τα ρητά ν <. Όπως βλέπουμε στο σχήμα (7.6.) εμφανίζονται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής σε τρία όχι όπως συνήθως σε δύο χρονικά βήματα (βλέπε Σχήμα 7.3). Αυτό οφείλεται στην προσέγγιση του όρου της δεύτερης παραγώγου ως προς το χρόνο που απαιτεί τις τιμές της μεταβλητής σε τρία τουλάχιστον επίπεδα. Η ιδιαιτερότητα αυτή εμφανίζεται σε άλλα σχήματα πεπερασμένων διαφορών που προσεγγίζουν δευτεροβάθμιες υπερβολικές εξισώσεις. 45

19 + + Σχήμα 7.3: Διακριτοποίηση μεθόδου Leap Frog στην εξίσωση κύματος ης τάξης. Είναι προφανές ότι εάν η αρχική χρονική στιγμή ορίζεται στο εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (7.6.) ισχύει για στο = 0 0, η. Οι ποσότητες είναι γνωστές από την πρώτη αρχική συνθήκη (7..6α), ενώ ο υπολογισμός των αγνώστων ποσοτήτων = στο πρώτο χρονικό βήμα γίνεται με τη βοήθεια της δεύτερης αρχικής συνθήκης (7..6β). Εφαρμόζοντας κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών, ώστε να μην αλλοιωθεί η τετραγωνική ακρίβεια του σχήματος έχουμε ( x) h( x) h Δ = = = 0 = 0 0, = = = h = 0 = 0 Δ, (7.6.3) Οι κόμβοι είναι φανταστικοί. Στη συνέχεια αξιοποιώντας την (7.6.) την χρονική στιγμή βρίσκουμε ότι ( + ) = ν + =0. (7.6.4) Τέλος αντικαθιστώντας στην (7.6.4) τους φανταστικούς κόμβους από την (7.6.3) εκτιμούμε τις ποσότητες = ν ( + + ) +Δ h =0. (7.6.5) Αφού υπολογίσουμε τα χρονικά βήματα, για από την (7.6.5) εφαρμόζουμε στα επόμενα, την (7.6.). Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο την αρχική συνθήκη (7..6β), χωρίς την εμπλοκή της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών. Προσεγγίσουμε την 46

20 χρονική παράγωγο της αρχικής συνθήκης με πρόδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών γράφουμε = = 0 = 0 = 0 0 ( 0, x) = h( x) = h = + h Για = Δ Δ. (7.6.6) χρησιμοποιούμε πάλι την (7.6.) αλλά τώρα στο χρονικό μήμα τα υπολογίζονται από την (7.6.6) αντί της (7.6.5). Η εναλλακτική προσέγγιση (7.6.6) είναι πρώτης τάξης. Οι δύο αυτές μεθοδολογίες έχουν κοινά χαρακτηριστικά με την αριθμητική προσομοίωση των οριακών συνθηκών Newma σε ελλειπτικές παραβολικές εξισώσεις. Η ευστάθεια η συνοχή του σχήματος (7.6.) εξετάζονται ακολουθώντας τις βασικές μεθοδολογίες που αναπτύχθηκαν λεπτομερώς σε προηγούμενες παραγράφους. Όπως αναφέραμε στην εισαγωγή του κεφαλαίου οι δύο εξισώσεις κύματος συνδέονται άμεσα μεταξύ τους. Αποδεικνύεται εύκολα (βλέπε (7..9)) ότι το πρόβλημα Cachy ης τάξης (7..5) (7..6) είναι ισοδύναμο με τα εξής δύο προβλήματα Cachy ης τάξης: ο Πρόβλημα cυ = 0, < x <, > 0, (7.6.7α) x ( 0, ) ( ) x = g x, < x <. (7.6.7β) ο Πρόβλημα υ cx = 0, < x <, > 0, (7.6.8α) υ ( 0, ) (, ) = 0 s x = ds = h( s) ds c c, x < <. (7.6.8β) Επομένως η επίλυση του αρχικού δευτεροβάθμιου προβλήματος επιτυγχάνεται με την επίλυση των δύο πρωτοβάθμιων προβλημάτων (7.6.7) (7.6.8). 47

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή . Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

z είναι οι τρεις ανεξάρτητες

z είναι οι τρεις ανεξάρτητες Κεφάλαιο 5 Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 5. Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης Η πλέον αντιπροσωπευτική εξίσωση µεταξύ των παραβολικών εξισώσεων είναι η εξίσωση θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής:

ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής: ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής: (,)(,)()() h 1 u x t u x t u t x (1) e Η διαφορά με τα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, -, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 3.0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Άσκηση Έστω ένα κύμα που κινείται εντός αγωγού με ταχύτητα c 0 m/s. Η κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση κύµατος 1 ης τάξης (υπερβολική εξίσωση) (1)

Άσκηση 1 Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση κύµατος 1 ης τάξης (υπερβολική εξίσωση) (1) Άσκηση Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση κύµατος ης τάξης (υπερβολική εξίσωση) u t + cu = 0 () Θα χρησιµοποιήσουµε τις ακόλουθες µεθόδους: α) Μέθοδος FTBS (Πρόδροµη στο χρόνο, ανάδροµη στο χώρο) Το σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 009-00, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ # ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 5..00 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Να επιλυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων

Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 8: Μοντέλα προσομοίωσης σε πορώδεις υδροορείς Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ Εισαγωγή 2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Αριθμητική παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε την διακριτοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

5. Ανάλυση διακριτής μορφής ΔΜΠ με ΠΔ

5. Ανάλυση διακριτής μορφής ΔΜΠ με ΠΔ 5. Ανάλυση διακριτής μορφής ΔΜΠ με ΠΔ Η διακριτή μορφή διαφορικών μερικών παραγώγων (ΔΜΠ) επιτυγχάνεται με την εφαρμογή πεπερασμένων διαφορών (ΠΔ) ή άλλων μεθόδων διακριτοποίησης όπως πεπερασμένοι όγκοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

Υδραυλική των Υπόγειων Ροών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Αριθμητικά μοντέλα υπόγειων υδροορέων Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

w 1, z = 2 και r = 1

w 1, z = 2 και r = 1 ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 0..009 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Δίδεται η διαφορική εξίσωση Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης. την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και β) για τη παράγωγο f

Παράδειγμα #8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης. την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και β) για τη παράγωγο f Παράδειγμα #8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση 1 Με βάση τη σειρά Taylor να βρεθεί α) για τη παράγωγο την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης και β) για τη παράγωγο την

Διαβάστε περισσότερα

6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών

6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών 6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών Η συμπεριφορά πολλών φυσικών συστημάτων περιγράφεται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ή από συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Παραδείγματα τέτοιων συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Α. Θεοδουλίδης Η Μεθοδος των Πεπερασμένων στοιχείων Η Μέθοδος των ΠΣ είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 4: Ολοκλήρωση. 4.1 Εισαγωγή

Κεφ. 4: Ολοκλήρωση. 4.1 Εισαγωγή Κεφ. 4: Ολοκλήρωση 4. Εισαγωγή 4. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 4.. Κανόνας τραπεζίου 4.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Simpso 4.. Πολλαπλά ολοκληρώματα 4. Ολοκλήρωση Gauss 4.. Πολυώνυμα Legedre, Chebyshev,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas)..

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 2: Γραφική επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΑΣΚΗΣΗ 1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-1, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 15.1.9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Δίδεται η διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα