z είναι οι τρεις ανεξάρτητες

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 5. Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης Η πλέον αντιπροσωπευτική εξίσωση µεταξύ των παραβολικών εξισώσεων είναι η εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης u u u D u = + D + D (5..) t y y z z όπου u u( t,, y, z) = είναι η άγνωστη εξαρτηµένη µεταβλητή, είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή του χρόνου,, µεταβλητές στο χώρο και D D(, y, z) y και z είναι οι τρεις ανεξάρτητες = είναι ο συντελεστής θερµικής διάχυσης ή απλώς διάχυσης. Όταν ο συντελεστής διάχυσης είναι συνάρτηση της εξαρτηµένης µεταβλητής utyz (,,, ) τότε η (5..) είναι µη γραµµική. Αντίθετα, όταν ο συντελεστής διάχυσης είναι σταθερός τότε η (5..) είναι γραµµική και γράφεται στη µορφή u = D u t όπου t (5..) είναι ο Λαπλασιανός τελεστής. Παραβολικές εξισώσεις όπως οι (5..) και (5..) προσοµοιώνουν µεταβατικά (µη µόνιµα) φυσικά φαινόµενα και οι λύσεις τους περιγράφουν τη διαδικασία µετάβασης από µία αρχική κατάσταση για κατάσταση ισορροπίας για t = 0 t, µέσω των µηχανισµών διάχυσης, σε µία. Το πεδίο ορισµού των παραβολικών εξισώσεων είναι ανοικτό σε µία διάσταση. Συνήθως, η διάσταση αυτή είναι η διάσταση του χρόνου αν και αρκετές φορές µπορεί να είναι µία από τις τρεις διαστάσεις στο χώρο, όπως στη περίπτωση των προβληµάτων οριακής στοιβάδας. Τα παραβολικά προβλήµατα ορίζονται (ή τοποθετούνται) σωστά όταν εκτός από την διαφορική εξίσωση

2 προσδιορίζονται µία αρχική συνθήκη που περιγράφει την κατάσταση του συστήµατος την αρχική χρονική στιγµή και ικανός αριθµός οριακών συνθηκών ανάλογα µε τη διάσταση του προβλήµατος στο χώρο. Συγκεκριµένα, στην εξίσωση θερµότητας σε µία, δύο και τρεις χωρικές διαστάσεις πρέπει να προσδιορίζονται δύο, τέσσερις και έξι οριακές συνθήκες αντίστοιχα. Επειδή οι παραβολικές εξισώσεις συνοδεύονται από αρχικές και οριακές συνθήκες, τα αντίστοιχα παραβολικά προβλήµατα είναι γνωστά σαν προβλήµατα αρχικών και οριακών τιµών. Υπενθυµίζεται ότι τα ελλειπτικά προβλήµατα είναι προβλήµατα οριακών τιµών. Στο παρόν κεφάλαιο επιλύουµε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών γραµµικές παραβολικές εξισώσεις όπως η (5..). Η διατύπωση της µεθόδου ακολουθεί τα τρία βασικά βήµατα όπως τα παρουσιάσαµε στο 4 ο Κεφάλαιο. Όµως, η λεπτοµερής διαδικασία εφαρµογής της µεθόδου είναι περισσότερο σύνθετη από ότι στην περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων και απαιτεί παραπάνω προσοχή. Αυτό οφείλεται, όπως θα µπορούσε κάποιος να φανταστεί, στον όρο της παραγώγου ης τάξης ως προς το χρόνο, που θα πρέπει να προσεγγισθεί µε κατάλληλες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών. Γενικά, η µαθηµατική διατύπωση αριθµητικών σχηµάτων επίλυσης διαφορικών εξισώσεων δεν είναι δυνατόν να αγνοεί το φυσικό φαινόµενο που περιγράφει η διαφορική εξίσωση. Η παραβίαση αυτής της αρχής µπορεί να οδηγήσει σε τελείως λανθασµένα αριθµητικά αποτελέσµατα. Στη προσπάθεια λοιπόν πιστής προσοµοίωσης της χρονικής εξάρτισης του φαινοµένου µε λογικό υπολογιστικό κόστος, η προσέγγιση της χρονικής παραγώγου αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον και επιτυγχάνεται, όπως θα δούµε, µε διάφορα εναλλακτικά σενάρια. Αντίθετα, η προσέγγιση των παραγώγων ης τάξης ως προς το χώρο γίνεται µε βάση τις κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών αξιοποιώντας την εµπειρία από τις ελλειπτικές εξισώσεις. Στο σηµείο αυτό είναι χρήσιµο να αναφερθούµε εν συντοµία στην αδιαστατοποίηση των διαφορικών εξισώσεων και γενικότερα του προβλήµατος. Έστω ότι ζητείται η λύση της µονοδιάστατης εξίσωσης θερµότητας

3 u t u = D,, µε αρχική συνθήκη ( 0, ) = 0 t > 0 0 < < L (5..3) u u (5..4) και οριακές συνθήκες (,0) (, ) ut utl = u = u t > 0. (5..5) Τις περισσότερες φορές πριν υλοποιήσουµε την αναλυτική ή αριθµητική επίλυση του προβλήµατος αδιαστατοποιούµε το πρόβληµα. Αυτό σηµαίνει ότι διατυπώνουµε το ισοδύναµο πρόβληµα, όπου όλες οι µεταβλητές ανεξάρτητες και εξαρτηµένες είναι σε αδιάστατη µορφή. Στο συγκεκριµένο πρόβληµα ορίζουµε τις νέες αδιάστατες µεταβλητές u u u = u u 0 0, t = Dt L και = (5..6) L και το αρχικό πρόβληµα γράφεται στην αδιάστατη µορφή: u u = t, 0, t > 0< < (5..7) u( 0, ) = 0 (5..8) ( ) ut,0 = u u u u 0 (,) = ut 0 t > 0 (5..9) Μετά την επίλυση του αδιάστατου προβλήµατος η προκύπτουσα αδιάστατη λύση µπορεί να διαστατοποιηθεί µε την βοήθεια των εκφράσεων (5..6) και να αποτελέσει την λύση ενός συγκεκριµένου διαστατικού προβλήµατος. Είναι προφανές ότι η διαδικασία της αδιαστατοποίησης που παρουσιάζεται εδώ εν συντοµία, δεν περιορίζεται στα παραβολικά προβλήµατα και εξισώσεις αλλά περιλαµβάνει τα ελλειπτικά και υπερβολικά προβλήµατα και γενικότερα όλες τις κατηγορίες προβληµάτων που περιγράφονται από µαθηµατικές εκφράσεις. Πρόκειται για πολύ σηµαντική µαθηµατική διαδικασία που απαιτεί άριστη αντίληψη του φυσικού φαινοµένου σε συνδυασµό µε εφευρετικότητα και φαντασία, ώστε οι 3

4 προκύπτουσες αδιάστατες εξισώσεις αφενός να είναι απλούστερες των αρχικών και αφετέρου µέσα από την αδιαστατοποίηση να αναδεικνύονται οι σηµαντικές αδιάστατες παράµετροι του προβλήµατος και του φυσικού φαινοµένου. Η αδιάστατη εξίσωση (5..7) µε τις συνθήκες (5..8) και (5..9) θα αποτελέσουν το πρότυπο πρόβληµα µε βάση το οποίο θα παρουσιάσουµε και θα αναπτύξουµε στις αµέσως επόµενες παραγράφους τα βασικά σχήµατα πεπερασµένων διαφορών σε παραβολικές εξισώσεις. Στη συνέχεια οι προτεινόµενες µεθοδολογίες θα γενικευθούν σε πολυδιάστατα παραβολικά προβλήµατα. Ιδιαίτερη προσοχή θα δοθεί στις έννοιες της ευστάθειας, της συνοχής και της σύγκλισης των αριθµητικών σχηµάτων. Επίσης θα σχολιασθούν οι τυχόν αντιστοιχίες ανάµεσα στα αριθµητικά σχήµατα πεπερασµένων διαφορών για παραβολικά και ελλειπτικά προβλήµατα. Σηµειώνεται τέλος, ότι ακολουθώντας µε συνέπεια τους κανόνες και τις διαδικασίες που θα θεσπίσαµε στην επίλυση της εξίσωσης θερµότητας ή διάχυσης, µπορούµε να επιλύσουµε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών έναν µεγάλο αριθµό γραµµικών και µη γραµµικών παραβολικών εξισώσεων. Βέβαια στην περίπτωση των µη γραµµικών εξισώσεων οι µη γραµµικοί όροι απαιτούν εξειδικευµένη επεξεργασία που θα αναπτυχθεί σε άλλα υπολογιστικά µαθήµατα του προγράµµατος σπουδών. 5. ιακριτοποίηση του πεδίου ορισµού Έστω ότι ζητείται η επίλυση του προβλήµατος που περιγράφεται από την εξίσωση (5..7) και τις συνθήκες (5..8) και (5..9) στο συνεχές πεδίο R: t > 0 0< < (βλέπε Σχήµα 5.). Παρατηρούµε ότι το πεδίο ορισµού, ορισµού είναι κλειστό στην διάσταση και ανοικτό από την µία πλευρά στην διάσταση t. Η διακριτοποίηση στην χωρική διάσταση γίνεται σύµφωνα µε τα γνωστά, δηλαδή διαιρούµε την απόσταση 0< < σε I ίσα τµήµατα, 4

5 µήκους = I. Τα σηµεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε διαστήµατος προσδιορίζονται από τις σχέσεις = + = 0,,, I. 0, (5..) Η διακριτοποίηση στη διάσταση του χρόνου επιτυγχάνεται επιλέγοντας το χρονικό βήµα βηµάτων N αρχικό χρόνο 0 t και τον συνολικό αριθµό χρονικών. Εποµένως, στον άξονα του χρόνου ξεκινώντας από τον t 0 ορίζονται οι χρόνοι t = t + = 0,,, N. Από τα σηµεία, (5..) t και φέρνουµε παραλλήλους προς τους άξονες και αντίστοιχα, µε αποτέλεσµα το συνεχές πεδίο ορισµού να αντικατασταθεί από το υπολογιστικό πλέγµα που απαρτίζεται από I t N ίσα ορθογώνια, οι κορυφές των οποίων είναι οι κόµβοι του πλέγµατος (βλέπε Σχήµα 5.). Ο κάθε κόµβος (, ) του πλέγµατος προσδιορίζεται από το ζεύγος σηµείων (, ) t, για = 0,,, I και = 0,,, N. Συνολικά έχουµε ( I ) ( N ) + + κόµβους. t t t > 0 R t t N t+ (, ) (, + ) t (, ) ( +, ) t = 0 = 0 = t o =0 o = 0 + = I Σχήµα 5.: Συνεχές πεδίο ορισµού (αριστερά) και υπολογιστικό πλέγµα (δεξιά) 5

6 Οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις (, ) (, ) u t = u t + t + = u, = 0,,, I, = 0,,, N. (5..3) 0 0 Ο δείκτης που συµβολίζει την διακριτοποίηση στο χρόνο γράφεται σαν άνω δείκτης, ενώ ο δείκτης, ή οι δείκτες, που συµβολίζουν την διακριτοποίηση στο χώρο γράφονται σαν κάτω δείκτες. Με τον τρόπο αυτό ο διαχωρισµός ανάµεσα στους δείκτες που συµβολίζουν την χρονική και χωρική διακριτοποίηση είναι άµεσα αναγνωρίσιµος. Οι άγνωστες τιµές u θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του προβλήµατος. Η συνολική χρονική περίοδος για την οποία θα έχουµε την αριθµητική λύση του προβλήµατος είναι tn. Τονίζεται ότι ενώ το συνεχές πεδίο ορισµού είναι ανοικτό στη διάσταση του χρόνου ( ), εµείς επιλέγουµε το διακριτοποιηµένο πεδίο ορισµού να είναι κλειστό στη διάσταση του χρόνου (0 = N t t N t 0 ). Αυτό γίνεται για πρακτικούς λόγους, αφού οι υπολογισµοί δεν είναι δυνατόν να συνεχίζονται πέρα από έναν πεπερασµένο αριθµό χρονικών βηµάτων. Η επιλογή του συνολικού χρόνου t N βασίζεται σε πολλά κριτήρια ανάλογα µε το πρόβληµα. Όταν επιθυµούµε να έχουµε µία πιστή και λεπτοµερή περιγραφή του µη µόνιµου (µεταβατικού) φαινοµένου από την αρχική κατάσταση µέχρι την κατάσταση ισορροπίας θα πρέπει ο συνολικός χρόνος t N να είναι ιδιαίτερα µεγάλος. Αντίθετα, σε άλλες περιπτώσεις, όταν µας ενδιαφέρει η περιγραφή του φαινοµένου για µικρό χρονικό διάστηµα ο συνολικός χρόνος t N µπορεί να είναι µικρός. Θα πρέπει να τονισθεί ότι τις περισσότερες φορές η χρονική εξέλιξη ενός φαινοµένου είναι ταχύτατη αρχικά και στη συνέχεια επιβραδύνεται και τείνει ασυµπτωτικά στην κατάσταση ισορροπίας. Τα αριθµητικά σχήµατα που διατυπώνονται λαµβάνοντας υπόψη αυτή τη φυσική συµπεριφορά αποδεικνύεται να είναι τα πλέον επιτυχηµένα, δηλαδή οδηγούν σε ακριβή αποτελέσµατα µε µικρό αριθµό κόµβων. 6

7 5.3 Ρητό σχήµα Έχοντας ολοκληρώσει την διακριτοποίηση του πεδίου ορισµού, προχωρούµε µε την διατύπωση της εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών σε κάθε εσωτερικό κόµβο του πλέγµατος. Εξετάζουµε πρώτα το ονοµαζόµενο ρητό σχήµα. Πρόκειται για την απλούστερη προσέγγιση αφού δεν απαιτείται η επίλυση αλγεβρικού συστήµατος. Προσεγγίζουµε την (5..7) στον τυχαίο κόµβο (, ) του πλέγµατος (βλέπε Σχήµα 5.) και γράφουµε u t u = = 0,,, I = 0,,, N. (5.3.),, Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε πρόδροµη πεπερασµένη διαφορά ης τάξης + u u u = + O t [ t], (5.3.) ενώ η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο προσεγγίζεται µε κεντρώα πεπερασµένη διαφορά ης τάξης u u+ u + u = + O. (5.3.3) + + Σχήµα 5.: Ρητό σχήµα 7

8 Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.3.) και (5.3.3) στην εξίσωση (5.3.) προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών: + u u u+ u + u = + O, = 0,,, I, = 0,,, N. Η εξίσωση (5.3.4) ξαναγράφεται στην πιο βολική µορφή ( ) + + (5.3.4) u = λu + λ u + λu = 0,,, I, = 0,,, N (5.3.5) όπου ποσότητας λ =. Όπως φαίνεται από την εξίσωση (5.3.5) ο υπολογισµός της u +, δηλαδή της εξαρτηµένης µεταβλητής u στον κόµβο ( +, ) γίνεται απ ευθείας από τις τιµές της u στους κόµβους (, ) (, ) και (, ) +,. Σχήµατα όπως αυτό που διατυπώνεται µε την εξίσωση (5.3.5) ονοµάζονται ρητά, επειδή η µετακίνηση από το ένα χρονικό βήµα στο επόµενο γίνεται άµεσα, µε απλές αλγεβρικές εκφράσεις, χωρίς να απαιτείται η επίλυση αλγεβρικού συστήµατος. Το αριθµητικό σφάλµα του συγκεκριµένου αριθµητικού σχήµατος είναι ης τάξης στο χρόνο και ης τάξης στο χώρο, O,. Παράδειγµα: Έστω ότι ζητείται η επίλυση της εξίσωσης πεδίο ορισµού 0, t > 0 συνθήκες ut (,0) = 0 και ( ) παραµέτρους 5 < < µε αρχική συνθήκη ( ) u =, στο t u u 0, = 0 και οριακές ut, =. Επιλέγουµε αυθαίρετα τις N =, t = 0.0, I = 5 µε = 0., που αντιστοιχούν σε t = 0.05 και λ = 0.5. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιµές των N παραµέτρων στην (5.3.5) για = 0,,,5 και = 0,,,5 προκύπτει ο πίνακας αποτελεσµάτων 5.. Βλέπουµε ότι σταδιακά η θερµότητα διαχέεται από το αριστερό προς το δεξιό άκρο της ράβδου. Είναι προφανές ότι για άλλη επιλογή των παραµέτρων και θα παίρναµε διαφορετικά αποτελέσµατα. Επίσης 8

9 στον Πίνακα 5. φαίνονται να αναλυτικά αποτελέσµατα καθώς t στα οποία θα τείνουν τα αριθµητικά µετά από πολλά χρονικά βήµατα. Η ρητή µέθοδος προγραµµατίζεται πολύ εύκολα. και Πίνακας 5.: Αριθµητικά αποτελέσµατα ρητού σχήµατος Χρονικά βήµατα ( ) = 0 = 0 = 0. = = 0.4 = = 0.6 = 3 = 0.8 = 4 = = t Όπως αποδεικνύεται στην παράγραφο 5.6 η παρούσα ρητή αριθµητική µέθοδος δίδει λογικά αποτελέσµατα µόνο όταν ο λόγος για δεδοµένο το χρονικό βήµα συνθήκες για το χρονικό βήµα λ <. Άρα <. Παρόµοιες περιοριστικές t t ισχύουν και σε άλλα ρητά σχήµατα που βασίζονται σε διαφορετικές εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών και εφαρµόζονται στην επίλυση της εξίσωσης θερµότητας ή άλλων πιο σύνθετων παραβολικών διαφορικών εξισώσεων. Οι περιοριστικές αυτές συνθήκες δηµιουργούν προβλήµατα στην αποτελεσµατική αριθµητική επίλυση των παραβολικών εξισώσεων, αφού το χρονικό βήµα δεν µπορεί να υπερβαίνει µία συγκεκριµένη τιµή. Όµως, όταν το χρονικό βήµα είναι µικρό το υπολογιστικό κόστος είναι µεγάλο. Το µειονέκτηµα αυτό βελτιώνεται σηµαντικά µε την εφαρµογή των πεπλεγµένων σχηµάτων που εξετάζονται στις επόµενες δύο παραγράφους. 9

10 5.4 Πεπλεγµένο σχήµα Συνεχίζουµε µε τη διατύπωση του απλούστερου πεπλεγµένου σχήµατος πεπερασµένων διαφορών. Προσεγγίζουµε την (5..7), αντί του κόµβου (, ) στον τυχαίο κόµβο (, ) Σχήµα 5.3) και γράφουµε u t + u = +,, + του πλέγµατος (βλέπε = 0,,, I = 0,,, N. (5.4.) Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε ανάδροµη πεπερασµένη διαφορά ης τάξης + u u u = + O t [ t] (5.4.) ενώ η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο προσεγγίζεται µε κεντρώα πεπερασµένη διαφορά ης τάξης u u+ u u + = + O. (5.4.3) Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.4.) και (5.4.3) στην εξίσωση (5.4.) προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών: u u u+ u + u = + O, = 0,,, I, = 0,,, N. (5.4.4) + + Σχήµα 5.3: Πεπλεγµένο σχήµα 0

11 Τώρα, η λύση της u τη χρονική στιγµή + δε γίνεται µε ρητό τρόπο αλλά µε τη λύση του τριδιαγώνιου συστήµατος ( ) λu + + λ u λu =, = 0,,, I, = 0,,, N (5.4.5) u όπου και πάλι λ = /. Σε κάθε χρονικό βήµα απαιτείται η επίλυση ενός αλγεβρικού συστήµατος, και για αυτό το λόγο το σχήµα ονοµάζεται πεπλεγµένο. Είναι προφανές ότι το υπολογιστικό κόστος (µνήµη και χρόνος) αυξάνονται σηµαντικά. Όµως, όπως θα δούµε στην παράγραφο 5.6 το πεπλεγµένο σχήµα (5.4.5) δίδει λογικά αποτελέσµατα πάντα, ανεξάρτητα από τις τιµές του λ. Άρα δεν τίθεται πάνω όριο στο µέγεθος το χρονικού βήµατος t και η χρήση µεγάλων χρονικών βηµάτων είναι εφικτή. Το σύστηµα (5.4.5) επιλύεται σε κάθε χρονικό βήµα µε τον αλγόριθµος Thomas. Όταν η διαφορική εξίσωση είναι δύο ή τριών διαστάσεων στο χώρο τότε τα προκύπτοντα αλγεβρικά συστήµατα επιλύονται, σε κάθε χρονικό βήµα, µε επαναληπτικές τεχνικές. Το σφάλµα του πεπλεγµένου αριθµητικού σχήµατος (5.4.5) είναι αντίστοιχο µε αυτό του ρητού σχήµατος (5.3.5), δηλαδή ης τάξης στο χρόνο και ης τάξης στο O, χώρο,. Αν και ο προγραµµατισµός των πεπλεγµένων σχηµάτων είναι πιο σύνθετος από τον προγραµµατισµό των ρητών σχηµάτων η χρήση τους είναι ευρέως διαδεδοµένη και ουσιαστικά αποτελεί πάγια αριθµητική τακτική. 5.5 Πεπλεγµένο σχήµα Crak-Ncolso Όπως έχουµε αναφέρει, το σφάλµα διακριτοποίησης που οφείλεται στην αποκοπή όρων από τη σειρά Taylor στο ρητό και στο πεπλεγµένο σχήµα των παραγράφων 5.3 και 5.4 αντίστοιχα, είναι O,. Άρα τα σχήµατα αυτά είναι ης τάξης στο χρόνο και ης τάξης στο χώρο. Αυτό οδηγεί σε ανακολουθία αφού συνήθως είναι επιθυµητό η ακρίβεια του σχήµατος σε όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές να είναι συµβατή. Επίσης αριθµητικά σχήµατα ης τάξης θα πρέπει να αποφεύγονται ως µη επαρκή.

12 Οι αδυναµίες αυτές αντιµετωπίζονται µε το πεπλεγµένο αριθµητικό σχήµα Crak-Ncolso που εξετάζεται στη παρούσα παράγραφο. Η (5..) προσεγγίζεται, όπως φαίνεται στο Σχήµα 5.4 στο σηµείο, + που βρίσκεται στο µέσο της απόστασης που ορίζεται από τους κόµβους (, ) και ( +, ). Εποµένως τώρα γράφουµε u t + u = + = 0,,, I = 0,,, N. (5.5.),, Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε κεντρώα πεπερασµένη διαφορά ης τάξης + + u u u = + O t. (5.5.) + (, + ) + Σχήµα 5.4: Πεπλεγµένο σχήµα Crak-Ncolso Η δεύτερη παράγωγος ως προς το χώρο πρώτα γράφεται στη µορφή + + u u θ u = + ( θ), (5.5.3) όπου ο συντελεστής βαρύτητας 0< θ < και στη συνέχεια οι δεύτερες παράγωγοι προσεγγίζονται µε κεντρώες πεπερασµένες διαφορές ης τάξης

13 k k k k u u+ u + u = + O k = k = + (5.5.4) όπου και. Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (5.5.), (5.5.3) και (5.5.4) στην εξίσωση (5.5.) προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών: u u u u + u u u + u = θ + ( θ) + O t,, = 0,,, I, = 0,,, N. (5.5.5) Πολλές φορές η (5.5.5) γράφεται στη πιο συνεκτική µορφή u + όπου u ( ) = θδ u + θ δ u + O, δ u u u u = + + +, (5.5.6) (5.5.7) ο κεντρώος τελεστής δεύτερης τάξης. Είναι προφανές ότι η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.5.5) είναι πεπλεγµένη, δηλαδή επιλύεται σαν σύστηµα εξισώσεων. Οι εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών του ρητού και του απλού πεπλεγµένου σχήµατος περιέχουν τέσσερεις κόµβους του πλέγµατος, ενώ η (5.5.5) περιέχει έξι κόµβους. Στην ειδική περίπτωση, όπου ο συντελεστής βαρύτητας πεπερασµένων διαφορών (5.5.5) γράφεται στη µορφή ( ) ( ) λ λ λ + λ λ λu θ = η εξίσωση u + + u u = u + u + + (5.5.8) µε λ =/. Το αριθµητικό σχήµα (5.5.8) ονοµάζεται σχήµα Crak-Ncolso. Όπως και στη περίπτωση του απλού πεπλεγµένου σχήµατος απαιτείται η επίλυση ενός τριδιαγώνιου αλγεβρικού συστήµατος σε κάθε χρονικό βήµα, όµως τώρα το αριθµητικό σχήµα είναι ης τάξης στο χώρο και στο χρόνο, O,. Επίσης όπως θα δούµε η µέθοδος Crak Ncolso δίδει πάντα λογικά αποτελέσµατα ανεξάρτητα από τις τιµές της παραµέτρου λ. 3

14 Τέλος παρατηρούµε ότι θέτοντας στην (5.5.5) θ = 0 προκύπτει η ρητή εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.3.4), ενώ ότι θέτοντας θ = προκύπτει η απλή πεπλεγµένη εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.4.4). Αντίθετα η (5.5.5) ισχύει για 0< θ < και ανάλογα µε τη τιµή της παραµέτρου θ συνδυάζει αριθµητικά χαρακτηριστικά των ρητών και πεπλεγµένων σχηµάτων. Τα αριθµητικά σχήµατα (5.5.5) µε 0< θ < / έχουν πιο έντονα τα χαρακτηριστικά των ρητών σχηµάτων, ενώ τα αντίστοιχα µε / < θ < έχουν πιο έντονα τα χαρακτηριστικά των πεπλεγµένων σχηµάτων. 5.6 Ευστάθεια Η έννοια της ευστάθειας µας έχει απασχολήσει εκτενώς στο µάθηµα της Αριθµητικής Ανάλυσης και στην αριθµητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (βλέπε Κεφάλαιο ). Συνήθως λέµε ότι µία υπολογιστική διαδικασία είναι ευσταθής όταν το µέγεθος µιας διαταραχής που εισάγεται από τις αρχικές ή/και τις οριακές συνθήκες ή εµφανίζεται λόγω υπολογιστικού σφάλµατος (σφάλµατα Η/Υ, αποκοπή, στρογγυλοποίηση, αριθµητικές πράξεις, κ.τ.λ.) παραµένει πεπερασµένο και δεν µεγεθύνεται πέρα από ένα µέγιστο επιτρεπτό όριο. ηλαδή µία µικρή (εκούσια ή συνήθως ακούσια) µεταβολή στα δεδοµένα έχει σαν αποτέλεσµα µία εξίσου µικρή µεταβολή στα αποτελέσµατα. Θεωρώντας ότι το υπολογιστικό σχήµα περιγράφεται από τη συναρτησιακή σχέση F(, y) = 0, όπου τα δεδοµένα και τα αποτελέσµατα, η ευστάθεια ενός υπολογιστικού σχήµατος ποσοτικοποιείται µε τον υπολογισµό του δείκτη (ή αριθµού) κατάστασης y 4

15 ( ) ma K y δ y y = δ, (5.6.) δ όπου δ και δ y συµβολίζουν τις µεταβολές στα δεδοµένα και τα αποτελέσµατα αντίστοιχα. Όπως φαίνεται από την (5.6.) το σχήµα είναι ευσταθές όταν ο δείκτης κατάστασης K( y ) <, αφού στη περίπτωση αυτή µικρές µεταβολές στο αποτελέσµατα δ y. δ συνεπάγεται ακόµα µικρότερες µεταβολές στα Η έννοια της ευστάθειας είναι ζωτικής σηµασίας στην αριθµητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. Στην περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων που περιγράφουν µόνιµα φαινόµενα η ευστάθεια σχετίζεται µε την αριθµητική επίλυση του αλγεβρικού συστήµατος. Στη περίπτωση των παραβολικών εξισώσεων που περιγράφουν µη µόνιµα (µεταβατικά) φαινόµενα η ευστάθεια σχετίζεται µε την χρονική εξέλιξη και συµπεριφορά της αριθµητικής λύσης. Είναι προφανές ότι αυτό που επιζητούµε είναι αριθµητικά σχήµατα που παραµένουν ευσταθή στο χρόνο, δηλαδή αριθµητικά σχήµατα που οδηγούν σε λογικά αποτελέσµατα καθώς η αριθµητική λύση εξελίσσεται στο χρόνο παρά την παρουσία και συνεχή συσσώρευση υπολογιστικών προσεγγίσεων, σφαλµάτων και ατελειών. Αυτό συνεπάγεται ότι το σφάλµα ε που ορίζεται σαν η διαφορά ανάµεσα στην αριθµητική και στην ακριβή λύση των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών u και u αντίστοιχα παραµένει, για δεδοµένο. Η πρόταση αυτή µαθηµατικά γράφεται ως εξής: lm ε t, περιορισµένο καθώς M για δεδοµένο t µε M ανεξάρτητο του (5.6.) Τονίζεται ότι η ευστάθεια ενός αριθµητικού σχήµατος δεν πρέπει να εµπλέκεται και να ταυτίζεται µε την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος. Η ακρίβεια εξαρτάται αποκλειστικά από τα σφάλµατα αποκοπής στις εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών που προσεγγίζουν τις παραγώγους της διαφορικής εξίσωσης. Ένα αριθµητικό σχήµα 5

16 πεπερασµένων διαφορών µπορεί να είναι ευσταθές αλλά να µην έχει καλή ακρίβεια, όπως επίσης να έχει καλή ακρίβεια αλλά να είναι οριακά ευσταθές ή ασταθές, χωρίς βέβαια να αποκλείονται περιπτώσεις όπου το αριθµητικό σχήµα είναι και ευσταθές και έχει ικανοποιητική ακρίβεια. Το συγκεκριµένο ζήτηµα θα µας απασχολήσει στη συνέχεια και θα γίνει περισσότερο κατανοητό. Η ευστάθεια αριθµητικών σχηµάτων πεπερασµένων διαφορών µελετάται µε διάφορες µαθηµατικές ή φαινοµενολογικές τεχνικές µεταξύ των οποίων η πλέον διαδεδοµένη είναι η ανάλυση ευστάθειας Vo-Neuma ή όπως επίσης ονοµάζεται ανάλυση ευστάθειας Fourer. Υποθέτουµε περιοδικές οριακές συνθήκες και τότε η αριθµητική λύση γράφεται σαν διακριτό ανάπτυγµα Fourer στο χώρο για κάθε χρονικό βήµα: I m k, 0,,, I, m= I m u = e α = = 0,,, N. (5.6.3) Ο κάθε όρος του αθροίσµατος (5.6.3) αντιστοιχεί σε µία αρµονική. Οι ποσότητες m και km = π m N είναι το εύρος και ο κυµαταριθµός της αρµονικής m, α = και = L/ I, όπου 0 L. Οι αρµονικές της σειράς Fourer (5.6.3) είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και εποµένως είναι αρκετό να εξετάσουµε την συµπεριφορά µίας τυχαίας αρµονικής. Θεωρούµε ότι η αριθµητική λύση στον κόµβο (, ) είναι της µορφής k e α που εκφράζει µία οποιαδήποτε από τις αρµονικές. Ο δείκτης που συµβολίζει την τυχαία αρµονική δεν συµπεριλαµβάνεται για λόγους απλούστευσης των συµβολισµών. Στη συνέχεια αντικαθιστώντας στις εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών εκφράσεις όπως u e α k = 0,,, I = 0,,, N. (5.6.4),, είναι δυνατόν να διατυπώσουµε κριτήρια για το αν ή όχι η ποσότητα παραµένει πεπερασµένη καθώς αυξάνει ο χρόνος t m = t. Είναι προφανές ότι το κριτήριο ευστάθειας (5.6.) θα ισχύει και ότι η ποσότητα θα 6

17 παραµένει πεπερασµένη, εάν σε κάθε χρονικό βήµα ικανοποιείται η ανισότητα + <. (5.6.5) Ο λόγος + ξ = µπορεί να είναι πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός και το µέτρο του, + ξ =, ονοµάζεται συντελεστής ενίσχυσης και αντιπροσωπεύει τον τρόπο που οι αρχικές διαταραχές και τα υπολογιστικά σφάλµατα διαδίδονται από το ένα χρονικό βήµα στο επόµενο. Η σηµασία του είναι αντίστοιχη µε αυτή του δείκτη κατάστασης (5.6.). Όταν το µέτρο του συντελεστή ενίσχυσης είναι µικρότερο της µονάδας οι διαταραχές και τα σφάλµατα αποσβένουν ενώ όταν είναι µεγαλύτερο της µονάδας τότε µεγεθύνονται απεριόριστα καθώς αυξάνει ο αριθµός των χρονικών βηµάτων. Ο συντελεστής ενίσχυσης είναι συνάρτηση του χρονικού βήµατος, του χωρικού βήµατος κυµαταριθµού (ή συχνότητας) k. και του Ας εφαρµόσουµε την ανάλυση ευστάθειας Vo-Neuma στο ρητό αριθµητικό σχήµα της παραγράφου 5.3. Η σχέση (5.6.4) αντικαθίσταται στην εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.3.4) και προκύπτει η εξίσωση + αk αk ( + ) αk k ( ) e = e e + e α. (5.6.6) Μετά από απλή αλγεβρική επεξεργασία χρησιµοποιώντας τις σχέσεις ( k ) α s( ) ± αk e = cos ± k (5.6.7) οδηγούµεθα στο αποτέλεσµα + ξ = = 4λs όπου k, (5.6.8) λ =/. Εποµένως, µε βάση αυτά που αναφέραµε παραπάνω η λύση είναι ευσταθής εάν k ξ = 4λs <. (5.6.9) 7

18 Γενικά όλοι οι κυµαταριθµοί (ή συχνότητες) είναι παρόντες. Ακόµη και όταν δεν ευρίσκονται στις αρχικές και οριακές συνθήκες εισέρχονται στους υπολογισµούς από τα σφάλµατα στις αριθµητικές πράξεις. Για το λόγο αυτό το κριτήριο ευστάθειας (5.6.9) θα πρέπει να ισχύει για όλα τα προκύπτει ότι η ανισότητα (5.6.9) θα ισχύει µόνο εάν λ = < k k. Εύκολα. (5.6.0) Η συνθήκη (5.6.0) είναι η απαραίτητη και ικανή συνθήκη για την ευστάθεια του ρητού αριθµητικού σχήµατος (5.3.4). Το αποτέλεσµα αυτό δεν πρέπει να µας εκπλήσσει αφού για λ > / ο συντελεστής του όρου u στην (5.3.5) παίρνει αρνητικές τιµές µε αποτέλεσµα η συνεισφορά του όρου αυτού στην ποσότητα u + να είναι στην αντίθετη από την αναµενόµενη κατεύθυνση. Η θετικότητα των συντελεστών σχετίζεται µε τις φαινοµενολογικές µεθοδολογίες ευστάθειας και θα µας απασχολήσει στο επόµενο κεφάλαιο της εισαγωγής στη µέθοδο των πεπερασµένων όγκων. Συνεχίζουµε εφαρµόζοντας την µεθοδολογία Vo-Neuma ή ανάλυση Fourer στο πεπλεγµένο σχήµα πεπερασµένων διαφορών της παραγράφου 5.4. Η σχέση (5.6.4) αντικαθίσταται στην εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.4.5) και προκύπτει η εξίσωση + + αk αk ( + ) αk k ( ) e = e e + e α. (5.6.) Ακολουθώντας την αντίστοιχη µαθηµατική επεξεργασία βρίσκουµε ότι + ξ = = + 4λ s k <. (5.6.) Είναι προφανές ότι στο απλό πεπλεγµένο σχήµα (5.4.5) ο συντελεστής ενίσχυσης είναι πάντα µικρότερος της µονάδας ανεξάρτητα από την τιµή της παραµέτρου λ. Το αποτέλεσµα αυτό, είναι χαρακτηριστικό των πεπλεγµένων σχηµάτων. Τα πεπλεγµένα λοιπόν σχήµατα είναι ευσταθή ανεξάρτητα από την επιλογή του χρονικού βήµατος και του χωρικού βήµατος. 8

19 Με βάση τα παραπάνω είναι προφανές ότι η ανάλυση ευστάθειας δεν πρέπει να συσχετίζεται µε την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος. Έχοντας παρουσιάσει την µελέτη ευστάθειας του ρητού και του πεπλεγµένου σχήµατος αφήνουµε σαν άσκηση στον αναγνώστη την µελέτη ευστάθειας του σχήµατος Crak Ncolso. Επίσης για λόγους εξοικείωσης προτείνεται να γίνει η ανάλυση ευστάθειας στα σχήµατα πεπερασµένων διαφορών u u u u + u + + = και u u u u u + u + + = (5.6.3) +. (5.6.4) Τα σχήµατα (5.6.3) και (5.6.4) είναι ρητά σχήµατα τριών χρονικών O, βηµάτων, ακρίβειας και προσεγγίζουν την εξίσωση θερµότητας (5..7). Αποδεικνύεται ότι το σχήµα (5.6.3) είναι πάντα ασταθές, ενώ το σχήµα (5.6.4) είναι πάντα ευσταθές. 5.7 Συνοχή Η έννοια της συνοχής του αριθµητικού σχήµατος αναφέρεται στο κατά πόσο η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών προσεγγίζει την υπό µελέτη διαφορική εξίσωση και όχι κάποια άλλη εξίσωση. Ένα αριθµητικό σχήµα έχει συνοχή όταν η διαφορική εξίσωση που προσεγγίζεται από την εξίσωση πεπερασµένων διαφορών ανάγεται στη διαφορική εξίσωση που επιλύεται καθώς η διακριτοποίηση πυκνώνει και τείνουν στο µηδέν ( 0, 0 ). και 9

20 Σαν παράδειγµα ας εξετάσουµε την συνοχή του ρητού αριθµητικού σχήµατος (5.3.4) που προσεγγίζει την διαφορική εξίσωση (5..7). Αναπτύσσουµε σε σειρά Taylor τους όρους + 3 u = u + tut + utt + O!, (5.7.) και u± = u ± u + u ± u + u ± O! 3! 4!. (5.7.) Στη συνέχεια αντικαθιστούµε τα αναπτύγµατα (5.7.) και (5.7.) στην εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.3.4) και βρίσκουµε tut + utt + O t = u + u + O!! 4! ή ut + utt + O t = u + u + O 4! ] (5.7.3). (5.7.4) Παίρνοντας τη παράγωγο της (5.7.4) ως προς το χρόνο βρίσκουµε ότι tt [ u = u + O t (5.7.5) και αντικαθιστώντας την (5.7.5) στην (5.7.4) βρίσκουµε την διαφορική εξίσωση 4 ut = u + t u + O t + O 6. (5.7.6) Εποµένως, το ρητό αριθµητικό σχήµα (5.3.4) προσεγγίζει την διαφορική εξίσωση (5.7.6) και όχι την εξίσωση θερµότητας (5..7). Όµως, το σχήµα έχει συνοχή αφού, όπως είναι προφανές, η (5.7.6) ανάγεται στην (5..7) καθώς 0 και 0. Η µελέτη της συνοχής του ρητού αριθµητικού σχήµατος µας δίδει και µία επιπλέον πληροφορία που αφορά την ακρίβεια των αποτελεσµάτων σε σχέση µε την επιλογή του υπολογιστικού πλέγµατος. Αποδεικνύεται από την (5.7.6) ότι εάν λ = = 6 τότε ο συντελεστής της τετάρτης παραγώγου µηδενίζεται και η ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος από O, αναβαθµίζεται 0

21 O t, 4 σε. Η αναβάθµιση αυτή είναι ιδιαίτερα σηµαντική λαµβάνοντας υπόψη ότι το υπολογιστικό κόστος παραµένει το ίδιο. Επίσης βλέπουµε ότι βελτιώνεται και η συνοχή του σχήµατος αφού η (5.7.6) πλησιάζει ακόµα περισσότερο στην (5..7). Η (5.7.6) ονοµάζεται τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση αφού για µικρά αλλά πεπερασµένα και το αριθµητικό σχήµα (5.3.4) επιλύει την διαφορική εξίσωση (5.7.6) και όχι την υπό µελέτη διαφορική εξίσωση (5..7). Παρατηρούµε ότι, η ευστάθεια και η συνοχή ενός αριθµητικού σχήµατος εξετάζονται µε κατάλληλη µαθηµατική επεξεργασία µόνο της εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών. Όµως σε κάθε περίπτωση διαφέρουν και η επεξεργασία και ο στόχος. Στην ευστάθεια εξετάζεται ο µηχανισµός διάδοσης των σφαλµάτων, ενώ στην συνοχή εξετάζεται η συνάφεια της εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών µε την διαφορική εξίσωση. Τις περισσότερες φορές η συνοχή ενός αριθµητικού σχήµατος θεωρείται δεδοµένη αλλά αυτό δεν είναι σωστό. Η συνοχή ενός αριθµητικού σχήµατος θα πρέπει να εξετάζεται συστηµατικά και µε λεπτοµέρεια. Το παρακάτω παράδειγµα αποδεικνύει ότι πρέπει να είµαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Ας εξετάσουµε την συνοχή του αριθµητικού σχήµατος (5.6.4) που έχει ελκυστικά χαρακτηριστικά αφού είναι ρητό, ης τάξης και πάντα ευσταθές. Αναπτύσσουµε σε σειρά Taylor τους όρους 3 t t 4 u ± = u ± tut + utt ± uttt + O! 3!, (5.7.7) και 3 4 u± = u ± u + u ± u + O! 3! (5.7.8) και αντικαθιστούµε τα αναπτύγµατα (5.7.7) και (5.7.8) στη εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.6.4). Μετά από κατάλληλη επεξεργασία βρίσκουµε την τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση

22 4 t = tt u u u O O t O. (5.7.9) Παρατηρώντας προσεκτικά την (5.7.9) φαίνεται ότι η συνοχή του σχήµατος (5.6.4) εξαρτάται από τον τρόπο που οι όροι τείνουν στο µηδέν. Εάν, καθώς 0 και 0 και, ο λόγος παραµένει σταθερός τότε η τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση ανάγεται στην µερική διαφορική εξίσωση (5..7) και το αριθµητικό σχήµα έχει συνοχή. Εάν όµως, καθώς 0 και 0, ο λόγος παραµένει σταθερός τότε η τροποποιηµένη διαφορική εξίσωση ανάγεται στην εξίσωση ut c utt u + = που όχι µόνο έχει διαφορετική µορφή από την ut (5.7.0) = u αλλά και χαρακτήρα αφού πρόκειται για υπερβολική εξίσωση, σε αντίθεση µε την εξίσωση θερµότητας που είναι παραβολική. Άρα στην περίπτωση αυτή το σχήµα (5.6.4) δεν έχει συνοχή. Τα αριθµητικά αποτελέσµατα αν και είναι ακρίβειας ης τάξης και ευσταθή, είναι τελείως λανθασµένα και παραπλανητικά αφού αποτελούν λύση µίας άλλης διαφορικής εξίσωσης. 5.8 Σύγκλιση Μετά την ευστάθεια και την συνοχή θα µας απασχολήσει η έννοια της σύγκλισης ενός αριθµητικού σχήµατος πεπερασµένων διαφορών. Λέµε ότι µία µέθοδος πεπερασµένων διαφορών συγκλίνει όταν η ακριβής λύση u της εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών τείνει στην συνεχή λύση ˆ (, ) ut της µερικής διαφορικής εξίσωσης, καθώς οι αποστάσεις ανάµεσα στους κόµβους του πλέγµατος τείνουν στο µηδέν. Η λύση u είναι διαφορετική από την αριθµητική λύση αναφέρεται στη λύση που θα είχαµε χωρίς υπολογιστικά σφάλµατα. Εάν ορίσουµε το σφάλµα u και

23 ( ) w = u uˆ t,, = 0,,, I, = 0,,, N (5.8.) τότε µε βάση τον παραπάνω ορισµό το αριθµητικό σχήµα συγκλίνει εάν το σφάλµα w 0, καθώς 0 και 0. ηλαδή, η ακριβής αριθµητική λύση ανάγεται στην συνεχή λύση καθώς το διακριτοποιηµένο πρόβληµα ανάγεται στο συνεχές πρόβληµα. Σηµειώνεται, για αποφυγή σύγχυσης, ότι το σφάλµα w που προσδιορίζει εάν συγκλίνει ή όχι ένα αριθµητικό σχήµα ορίζεται διαφορετικά από το σφάλµα ε που χρησιµοποιούµε στον ορισµό της ευστάθειας του σχήµατος (βλέπε παράγραφο 5.6). Επίσης τονίζεται ότι η ευστάθεια και η συνοχή ενός αριθµητικού σχήµατος εξετάζεται σε επίπεδο εξισώσεων, ενώ η σύγκλιση σε επίπεδο αποτελεσµάτων. Τέλος, σύµφωνα µε το πολύ σηµαντικό θεώρηµα του La, όταν ένα αριθµητικό σχήµα έχει συνοχή και είναι ευσταθές τότε οπωσδήποτε συγκλίνει. Άρα εξετάζοντας την ευστάθεια και την συνοχή ενός αριθµητικού σχήµατος γνωρίζουµε εάν το σχήµα συγκλίνει ή αποκλίνει. Συνήθως αποφεύγουµε την απευθείας µελέτη της σύγκλισης ενός αριθµητικού σχήµατος και αρκούµεθα στη ενδελεχή µελέτη της ευστάθειας και της συνοχής του σχήµατος. Στην πράξη εφαρµόζουµε σχήµατα πεπερασµένων διαφορών που είναι ευσταθή, έχουν συνοχή και εποµένως συγκλίνουν. 5.9 Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης σε δύο διαστάσεις Οι τρεις βασικές µεθοδολογίες πεπερασµένων διαφορών των παραγράφων 5.3, 5.4 και 5.5 που αναπτύχθηκαν για την αριθµητική επίλυση της µονοδιάστατης εξίσωσης θερµότητας (5..7) επεκτείνονται µε απλό τρόπο σε περισσότερες χωρικές διαστάσεις. Όπως έχουµε επισηµάνει η ιδιαιτερότητα των παραβολικών εξισώσεων ως προς τις ελλειπτικές έγκειται στην συστηµατική αριθµητική επεξεργασία του όρου της παραγώγου ως προς το χρόνο. Όταν εξετάζονται παραβολικές εξισώσεις σε δύο ή τρεις 3

24 χωρικές διαστάσεις ο όρος της παραγώγου ως προς το χρόνο παραµένει αναλλοίωτος και απλώς τροποποιείται ο Λαπλασιανός τελεστής. Η αριθµητική προσοµοίωση του Λαπλασιανού τελεστή σε δύο ή τρεις διαστάσεις αλλά και σε διάφορα συστήµατα συντεταγµένων δεν παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες και σε κάθε περίπτωση αντιµετωπίζεται µε µεθόδους και πρακτικές που έχουµε ήδη παρουσιάσει στο Κεφάλαιο 4 που αναφέρεται σε ελλειπτικές εξισώσεις. Σαν παράδειγµα αναπτύσσεται η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης θερµότητας σε δύο διαστάσεις και καρτεσιανή γεωµετρία: u u u = + t y, 0, t > 0 <, y < (5.9.) Επεκτείνοντας την µεθοδολογία διακριτοποίησης της παραγράφου 5. ορίζουµε τα σηµεία = + = 0,,, I 0, (5.9.) y = + j y, j = 0,,, J (5.9.) j και 0 t = t + t, = 0,,, N (5.9.3) 0 y t (, j, ) κατά µήκος των αξόνων, και. Ο κάθε κόµβος του τρισδιάστατου πλέγµατος προσδιορίζεται από τη τριάδα σηµείων ( για, και ), y, t, j = 0,,, I j = 0,,, J = 0,,, N. Συνολικά έχουµε ( ) ( ) ( I + J + N + ) κόµβους. Οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις (,, ) ( 0, 0, 0 ) u t y = u t + t + y + j y = u,, j j = 0,,, I, j = 0,,, J, = 0,,, N. (5.9.4) Οι άγνωστες τιµές u, j θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του προβλήµατος. Η συνολική χρονική περίοδος για την οποία θα έχουµε την αριθµητική λύση του προβλήµατος είναι tn = N t. 4

25 Για να εφαρµόσουµε το ρητό αριθµητικό σχήµα της παραγράφου 5.3, η (5.9.) προσεγγίζεται στον κόµβο (, j, ). Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε πρόδροµη πεπερασµένη διαφορά ης τάξης, ενώ οι δύο δεύτερες παράγωγοι ως προς και πεπερασµένες διαφορές διαφορών είναι u u u u + u u u + u ης y προσεγγίζονται µε κεντρώες τάξης. Εποµένως, η εξίσωση πεπερασµένων +, j, j +, j, j, j, j+, j, j = + + O,, y y = 0,,, I, j = 0,,, J, = 0,,, N. (5.9.5) Υποθέτοντας ότι = y= h η εξίσωση (5.9.5) γράφεται στη ρητή µορφή u u u u u ( ) +, j = λ, j+ λ +, j+ λ, j+ + λ, j + 4λ u όπου λ = t/ h = 0,,, I, j = 0,,, J, = 0,,, N. (5.9.6). Με ρητό λοιπόν τρόπο, χωρίς δηλαδή να απαιτείται η επίλυση αλγεβρικών συστηµάτων, ξεκινώντας από τη γνωστή αρχική συνθήκη υπολογίζονται οι τιµές της άγνωστης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος για κάθε χρονικό βήµα µε βάση τις εξισώσεις (5.9.5) ή (5.9.6) και τις γνωστές οριακές συνθήκες. Για να εφαρµόσουµε το πεπλεγµένο αριθµητικό σχήµα της παραγράφου 5.4, η (5.9.) προσεγγίζεται στον κόµβο (, j, + ). Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε πρόδροµη πεπερασµένη διαφορά ης τάξης, ενώ οι δύο δεύτερες παράγωγοι ως προς και µε κεντρώες πεπερασµένες διαφορές πεπερασµένων διαφορών είναι u u u u + u u u + u ης y προσεγγίζονται τάξης. Εποµένως, η εξίσωση , j, j +, j, j, j, j+, j, j = + + O,, y y = 0,,, I, j = 0,,, J, = 0,,, N. (5.9.7) Υποθέτοντας ότι = y= h η εξίσωση (5.9.7) γράφεται στη µορφή ( 4 ) λu λu λu λu + + λ u = u,, j +, j, j+, j, j, j = 0,,, I, j = 0,,, J, = 0,,, N. (5.9.8) 5

26 όπου και πάλι λ = t/ h. Είναι προφανές ότι η επίλυση των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών (5.9.7) και (5.9.8) προϋποθέτει την επίλυση ενός αλγεβρικού συστήµατος σε κάθε χρονικό βήµα. Ο πίνακας συντελεστών του συστήµατος έχει πέντε µη µηδενικά στοιχεία ανά γραµµή. Εποµένως όπως και στις ελλειπτικές εξισώσεις πρόκειται για αραιούς πίνακες και συνήθως η επίλυση των συστηµάτων γίνεται µε επαναληπτικές τεχνικές για τους λόγους που έχουµε αναπτύξει εκτενώς στη παράγραφο 4.3. Τέλος για να εφαρµόσουµε το πεπλεγµένο σχήµα Crak-Ncolso της παραγράφου 5.5 η (5.9.) προσεγγίζεται στον κόµβο (, j, + /). Εφαρµόζοντας κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών στο χρόνο και στο χώρο προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών u u u u + u u u + u , j, j +, j, j, j +, j, j, j = θ + ( θ) u u + u u u + u + θy + + y y , j+, j, j, j+, j, j ( θy) O t,, y ή στην πιο συνεκτική µορφή u u = 0,,, I, j = 0,,, J, = 0,,, N. (5.9.8) +, j, j + + = θδ u + ( θ) δu + θδ y yu + ( θ) δyu όπου 0 < θ, θ < και y δ, +, (5.9.0) δ y οι κεντρώοι τελεστές δεύτερης τάξης. Στην ειδική περίπτωση όπου = y= h και θ = θ = / προκύπτει το σχήµα Crak-Ncolso ( ) λu λu λu λu + + λ u , j, j, j, j + + +, j = y ( ) = λu + λu + λu + λu + λ, j +, j, j, j+, j u, (5.9.). όπου λ = t/ h. Το αριθµητικό σφάλµα, όπως και όλα τα άλλα αριθµητικά χαρακτηριστικά, των δισδιάστατων αριθµητικών σχηµάτων (5.9.6), (5.9.8) και (5.9.) είναι ακριβώς τα ίδια µε τα αντίστοιχα των µονοδιάστατων σχηµάτων. Η εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών σε τρισδιάστατα 6

27 προβλήµατα αλλά και σε άλλα συστήµατα συντεταγµένων πλην του καρτεσιανού µπορεί να γίνει εύκολα ακολουθώντας τους βασικούς κανόνες και τεχνικές που έχουµε παρουσιάσει στα Κεφάλαια 4 και Ανάλυση ευστάθειας σε δύο διαστάσεις Η ανάλυση ευστάθειας Vo-Neuma σε προβλήµατα µε δύο χωρικές διαστάσεις βασίζεται στη διακριτή σειρά Fourer που εφαρµόζεται χωριστά σε κάθε διάσταση χρησιµοποιώντας το διάνυσµα του κυµαταριθµού ( k, ky) k( θ, θ y) k = =. Θεωρώντας και πάλι περιοδικές οριακές συνθήκες η αριθµητική λύση προσεγγίζεται µε το διπλό ανάπτυγµα Fourer u J I, j= m, l l= J m= I m l αk k α y j y e e, = 0,,, I, j 0,,, = J, = 0,,, N, (5.0.) όπου το εύρος τιµών των m k και l k y ορίζεται χωριστά σε κάθε διάσταση, όπως στη περίπτωση της µονοδιάστατης γεωµετρίας. Αντικαθιστούµε, στην εξίσωση πεπερασµένων διαφορών, µία αρµονική και µετά από τυπική µαθηµατική επεξεργασία προκύπτει µία έκφραση ή εξίσωση για τον συντελεστή ενίσχυσης. Στη συνέχεια εφαρµόζουµε την δισδιάστατη µεθοδολογία Vo-Neuma στην ρητή εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.9.5). Αντικαθιστούµε στην (5.9.5) την έκφραση u e e α, j k j y αk y,, = 0,,, I j = 0,,, J, = 0,,, N, (5.0.) και διαιρώντας την προκύπτουσα εξίσωση µε e αk k y j y e α + = y βρίσκουµε αk αk k α ( ) ( ) y y αky y e e e e. (5.0.3) Συνδυάζοντας τέλος κατάλληλα τους όρους εντός των παρενθέσεων προκύπτει ο συντελεστής ενίσχυσης + k ky y ξ = = 4λs 4λys, (5.0.4) 7

28 λ =/ όπου και. Εποµένως το ρητό σχήµα (5.9.5) είναι ευσταθές µόνο όταν λ y =/ y + k k y y ξ = = 4λs 4λys που οδηγεί στο κριτήριο ευστάθειας <, (5.0.5) λ + λy < t + < y. (5.0.6) Σηµειώνεται ότι εάν = y= h τότε το κριτήριο ευστάθειας είναι t <. (5.0.7) h 4 Εάν συγκρίνουµε το κριτήριο ευστάθειας (5.0.7) µε το αντίστοιχο κριτήριο (5.6.0) παρατηρούµε ότι το χρονικό βήµα στην ρητή αριθµητική λύση της δισδιάστατης εξίσωσης θερµότητας θα πρέπει να µειωθεί στο ήµισυ σε σχέση µε το χρονικό βήµα στην αντίστοιχη µονοδιάστατη αριθµητική λύση. Εφαρµόζοντας ανάλυση ευστάθειας vo Neuma στην εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (5.9.7) αποδεικνύεται, όπως είναι αναµενόµενο, ότι το πεπλεγµένο σχήµα είναι πάντα ευσταθές. 5. Εφαρµογή της µεθόδου ADI σε παραβολικές εξισώσεις Η µέθοδος ADI έχει παρουσιασθεί εκτενώς στη παράγραφο 4.4. Πρόκειται για µία επαναληπτική µέθοδο επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων όπου σε κάθε επανάληψη επιλύονται δύο τριδιαγώνια συστήµατα. Η µέθοδος ADI συγκλίνει σε σχετικά µικρό αριθµό επαναλήψεων ενώ το υπολογιστικό κόστος ανά επανάληψη είναι µικρό. Όπως έχουµε επισηµάνει η αριθµητική επίλυση παραβολικών εξισώσεων µε πεπλεγµένα σχήµατα πεπερασµένων διαφορών συνοδεύεται απαραίτητα από την επίλυση αλγεβρικών συστηµάτων σε κάθε χρονικό βήµα. Λαµβάνοντας υπόψη τα σηµαντικά πλεονεκτήµατα της µεθόδου ADI σε σχέση µε άλλα συµβατικά επαναληπτικά σχήµατα έχει γίνει συστηµατική 8

29 προσπάθεια για την εµπλοκή της µεθόδου ADI στην επίλυση πολυδιάστατων παραβολικών προβληµάτων. Έστω ότι για την επίλυση της εξίσωσης θερµότητας σε δύο διαστάσεις εφαρµόζεται το πεπλεγµένο σχήµα (5.9.7). Η βασική αρχή έγκειται στην διάσπαση της (5.9.7) σε δύο εξισώσεις που επιλύονται σε διαδοχικά χρονικά βήµατα διάρκειας / έκαστο. Από τις δύο εξισώσεις η πρώτη είναι πεπλεγµένη στη διεύθυνση, ενώ η δεύτερη στη κατεύθυνση y. Η λύση στο ενδιάµεσο χρονικό βήµα συµβολίζεται µε / u +, j. Πρώτα επιλύεται η εξίσωση u u u u + u u u + u + / + / + / + / + + +, j, j +, j, j, j, j+, j, j = + / y (5..) και στη συνέχεια η εξίσωση u u u u + u u u + u + + / + / + / + / + + +, j, j +, j, j, j, j+, j, j = + / y, (5..) = 0,,, I j = 0,,, J = 0,,, N. Η επίλυση των εξισώσεων για, και (5..) και (5..) ανά χρονικό βήµα γίνεται µε τον αλγόριθµο Thomas. Όταν = y= h ο αλγόριθµος ADI γράφεται στη µορφή u + + u u = u u + λ λ + / + / + /, j, j +, j, j, j, j u + + u u = u u + λ λ / + / /, j, j, j+, j, j u + +, j Αποδεικνύεται ότι το αριθµητικό σχήµα ADI είναι ης στο χρόνο, O t,, y u + (5..3) (5..4) τάξης στο χώρο και. Εναλλακτικά, ο αλγόριθµος ADI µπορεί να διατυπωθεί έχοντας σαν βάση τη µέθοδο Crak Ncolso. Εφαρµόζοντας ανάλυση ευστάθειας vo Neuma στις εξισώσεις (5..) και (5..) και απαλείφοντας την ενδιάµεση ποσότητα ότι στο τέλος ενός χρονικού βήµατος από την σχέση +/ προκύπτει t ο συντελεστής ενίσχυσης δίδεται 9

30 k y k y + s s y ξ = = t k y k y y s t + + s y (5..5) Είναι προφανές, από την (5..5), ότι ο αλγόριθµος ADI είναι πάντα ευσταθής ανεξάρτητα από την επιλογή του χρονικού βήµατος αποστάσεων και y. και των Συνολικά, πρόκειται για µία αριθµητική µεθοδολογία που είναι ης τάξης, ευσταθής µε µικρό υπολογιστικό κόστος και για τους λόγους αυτούς χρησιµοποιείται συστηµατικά στην επίλυση πολυδιάστατων παραβολικών προβληµάτων. Με µικρές τροποποιήσεις Η µέθοδος ADI επεκτείνεται και χρησιµοποιείται ευρέως στην επίλυση τρισδιάστατων παραβολικών προβληµάτων. 5. Αντιστοιχία παραβολικών και ελλειπτικών σχηµάτων Στο σηµείο αυτό έχοντας ολοκληρώσει την αριθµητική επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών εξισώσεων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών είναι ενδιαφέρον και χρήσιµο να σχολιάσουµε τυχόν αντιστοιχίες ανάµεσα σε ελλειπτικά και παραβολικά αριθµητικά σχήµατα. Η σύγκριση θα περιοριστεί στις εξισώσεις Laplace και θερµότητας σε µία και δύο διαστάσεις που η αριθµητική τους επίλυση έχει µελετηθεί σε βάθος. Για λόγους πληρότητας της παραγράφου οι εξισώσεις αυτές δίδονται στον Πίνακα 5.. Πίνακας 5.: Εξισώσεις Laplace και θερµότητας σε µία και δύο διαστάσεις Εξίσωση Laplace 0 u = (5..) u + u = 0 (5..) yy Θερµότητας ut = u (5..3) t u = u + u yy (5..4) 30

31 Καταρχήν σηµειώνεται ότι οι λύσεις των ελλειπτικών προβληµάτων που περιγράφονται από τις (5..) και (5..) είναι αντίστοιχες µε τις λύσεις των παραβολικών προβληµάτων που περιγράφεται από τις (5..3) και t (5..4) για. Στην πραγµατικότητα, εάν οι εξισώσεις συνοδεύονται από τις ίδιες οριακές συνθήκες τότε οι λύσεις των ελλειπτικών εξισώσεων, όχι µόνο αντιστοιχούν αλλά ταυτίζονται µε τις ασυµπτωτικές χρονικά λύσεις των αντίστοιχων παραβολικών εξισώσεων. Υπενθυµίζουµε ότι η αριθµητική επίλυση των ελλειπτικών εξισώσεων επιτυγχάνεται µε την επίλυση των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών µέσω µίας επαναληπτικής διαδικασίας που ολοκληρώνεται µετά από συγκεκριµένο αριθµό επαναλήψεων ανάλογα µε το κριτήριο τερµατισµού. Η αριθµητική επίλυση των παραβολικών εξισώσεων επιτυγχάνεται µε την επίλυση των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών σε κάθε χρονικό βήµα και ολοκληρώνεται µετά από συγκεκριµένο αριθµό χρονικό βηµάτων. Λαµβάνοντας υπόψη από τη µία πλευρά τα φυσικά φαινόµενα που περιγράφουν οι ελλειπτικές και οι παραβολικές εξισώσεις και από την άλλη πλευρά τα αριθµητικά χαρακτηριστικά των ελλειπτικών και των παραβολικών σχηµάτων πεπερασµένων διαφορών βλέπουµε ότι υπάρχει µία αντιστοιχία ή και ισοδυναµία θα µπορούσε να λεχθεί, ανάµεσα στο στοιχείο της επανάληψης του ελλειπτικού σχήµατος και στο στοιχείο του χρονικού βήµατος του παραβολικού σχήµατος. Η αντιστοιχία αυτή δεν είναι µόνο ποιοτική αλλά και ποσοτική όπως θα δούµε στη συνέχεια. Η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων (5..) και (5..) επιτυγχάνεται µε τον υπολογισµό των µόνιµων εξαρτηµένων µεταβλητών και ( ) u u(, y ) στους κόµβους του πλέγµατος µέσω των επαναληπτικών αλγορίθµων ( + ) ( + ) ( ) ( ) u = u + u,, j, j j και ( + + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) u, j = u, j+ u, j+ u, j + u, j 4 (5..5) (5..6) 3

32 αντίστοιχα, όπου οι δείκτες στις παρενθέσεις συµβολίζουν τον αριθµό επανάληψης. Η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων (5..3) και (5..4) επιτυγχάνεται µε τον υπολογισµό των µη µόνιµων εξαρτηµένων µεταβλητών ut) (, και uty (,, ) στους κόµβους του πλέγµατος µέσω των χρονικά εξελισσοµένων ρητών αλγορίθµων + u = λ u + u+ + u λ και u = λ u + u + u + u + 4 u λ +, j, j +, j, j+, j (5..7) (5..8) αντίστοιχα, όπου τώρα οι άνω δείκτες συµβολίζουν τον αριθµό του χρονικού βήµατος. Στη συνέχεια συγκρίνουµε τις µονοδιάστατες εξισώσεις (5..5) και (5..7) και τις δισδιάστατες εξισώσεις (5..6) και (5..87). Επιπλέον της ποιοτικής οµοιότητας που είναι προφανής υπάρχει και ποσοτική ταύτιση. Συγκεκριµένα, θέτοντας λ = / στην (5..7), αυτή ταυτίζεται µε την (5..5) και επίσης θέτοντας λ = /4 στην (5..8), αυτή ταυτίζεται µε την (5..6). Το γεγονός ότι στις εξισώσεις (5..5) και (5..6) ο δείκτης δηλώνει αριθµό επανάληψης, ενώ στις (5..7) και (5..8) δηλώνει αριθµό χρονικού βήµατος δεν συνεπάγεται καµία διαφορά στους υπολογισµούς και τα αριθµητικά αποτελέσµατα σε κάθε επανάληψη θα ταυτίζονται µε τα αριθµητικά αποτελέσµατα σε κάθε χρονικό βήµα. Βέβαια, είναι αναγκαίο να υπενθυµίσουµε ότι τα ρητά αριθµητικά σχήµατα (5..7) και (5..8) είναι ευσταθή µόνο για λ < / και λ < /4 αντίστοιχα. Αυτό εξηγείται σχετικά εύκολα επισηµαίνοντας ότι τα επαναληπτικά σχήµατα (5..5) και (5..6) είναι οριακά ευσταθή κάτι που θα µπορούσε κάποιος να ισχυρισθεί και για τα σχήµατα (5..7) και (5..8) µε λ = / και λ = /4 αντίστοιχα. Η αντιστοιχία ανάµεσα σε παραβολικά και ελλειπτικά σχήµατα ισχύει και στην περίπτωση των πεπλεγµένων παραβολικών σχηµάτων. Χωρίς να θεωρούµε σκόπιµο να επεκταθούµε περισσότερο κρίνουµε αναγκαίο απλώς να επισηµάνουµε την οµοιότητα των αλγορίθµων ( ) και ( ), όπου εφαρµόζεται η µέθοδος ADI στην επίλυση των 3

33 εξισώσεων θερµότητας και Laplace αντίστοιχα σε δύο διαστάσεις. Είναι προφανές ότι η ανάλυση που παρουσιάσαµε σε µία και δύο διαστάσεις ισχύει και στην περίπτωση των τριών διαστάσεων. Συµπερασµατικά, αναφέρεται ότι η ποιοτική ισοδυναµία και µερικές φορές η ποσοτική ταύτιση παραβολικών και ελλειπτικών σχηµάτων είναι γενική, ισχύει, εκτός των πεπερασµένων διαφορών και σε άλλες υπολογιστικές µεθόδους και αποτελεί χρήσιµο εργαλείο στην αριθµητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. 33