ΔΟΚΙΜΗ ΣΤΡΕΨΗΣ. Σχήμα 1 : Στρέψη ράβδου από ζεύγος δυνάμεων. Σχήμα 2 :

Transcript

1 ΔΟΚΙΜΗ ΣΤΡΕΨΗΣ 1. Σκοπός - Εισαγωγή Κύριος σκοπός της δοκιμής της στρέψης είναι να μελετηθεί η συμπεριφορά των δοκιμίων που υποβάλλονται σε στρεπτική καταπόνηση και να υπολογιστούν τα χαρακτηριστικά μεγέθη που προκύπτουν από τα αποτελέσματα της δοκιμής. Επίσης, ο υπολογισμός των βασικών μηχανικών ιδιοτήτων του υλικού, δηλαδή των τάσεων διαρροής και θραύσης, καθώς και η κατασκευή του διαγράμματος στρέψης (ροπές στρέψης γωνίες στροφής), όπως και ο υπολογισμός του μέτρου διάτμησης G του υλικού αλλά και η πορεία της συμπεριφοράς του. Η καταπόνηση σε στρέψη είναι ένα από τα είδη των απλών καταπονήσεων στην οποία καταπονούνται συνήθως οι ράβδοι, αλλά και οι δοκοί. Μια ράβδος λέμε ότι καταπονείται σε στρέψη όταν επάνω σε αυτή επενεργούν ζεύγη ίσων και αντιθέτων δυνάμεων που τα επίπεδα τους είναι κάθετα στον κεντροβαρικό άξονα της (σχήμα 1). Τα ζεύγη των δυνάμεων αυτών προκαλούν σε κάθε διατομή της ράβδου ροπή, ονομάζονται ροπή στρέψης. Σχήμα 1 : Στρέψη ράβδου από ζεύγος δυνάμεων Σε περίπτωση που τα ζεύγη αυτά είναι περισσότερα από ένα, η ροπή στρέψης ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των ζευγών που είναι αριστερά ή δεξιά της διατομής (σχήμα 2). Το διάνυσμα Μt της ροπής στρέψης είναι παράλληλο με τον άξονα της ράβδου και συμβολίζεται με Μx, διότι συμπίπτει με τον άξονα x της ράβδου και η ράβδος περιστρέφεται περί τον άξονα της. Σχήμα 2 : Η ύπαρξη της ροπής στρέψης Μt (Mx) δημιουργεί στο υλικό της ελαστικής ράβδου εσωτερικές διατμητικές τάσεις, με αποτέλεσμα να δημιουργείται μια στροφή των διατομών μεταξύ τους που ονομάζεται γωνία στροφής (σχήμα 3). Στρέψη συναντούμε σε πολλές εφαρμογές και η πιο κοινή εφαρμογή είναι σε ατράκτους ή άξονες μετάδοσης της κίνησης που χρησιμοποιούνται για να μεταδίδουν ισχύ από ένα σημείο σε άλλο (σχήμα 4). Οι άξονες μπορεί να είναι συμπαγείς ή κοίλοι. 2. Παραδοχές Οι παραδοχές που πρέπει να λάβουμε υπόψη κατά τη δοκιμασία της στρέψης είναι : α. Οι διατομές της ράβδου παραμένουν επίπεδες και μετά την παραμόρφωση και διατηρούν το σχήμα, το μέγεθος και την μεταξύ τους απόσταση. β. Κάθε διατομή περιστρέφεται σαν στερεός δίσκος, με αποτέλεσμα η διατομή να περιστρέφεται σαν σύνολο (οι ακτίνες παραμένουν ευθείες). Σελίδα 1 από 9

2 γ. Το υλικό της ράβδου είναι ομογενές και ισότροπο, ώστε οι ιδιότητες να είναι ομοιόμορφες σε κάθε σημείο και διεύθυνση. Σχήμα 3 : Εφαρμογή ροπής στρέψης σε πακτωμένη δοκό Σχήμα 4 : Η άτρακτος μεταδίδει ισχύ από τον κινητήρα στους πίσω τροχούς 3. Στρέψη Κυλινδρικής Διατομής Τα δοκίμια που χρησιμοποιούμε είναι κυλινδρικά, καθώς η σχετική θεωρία για τους υπολογισμούς των μεγεθών ενδιαφέροντος είναι η απλούστερη δυνατή και η δοκιμή συνίσταται στη επιβολή στρεπτικής ροπής στο δοκίμιο και τη μέτρηση της γωνίας στροφής. Λόγω της αξονικής συμμετρίας σε όλα τα σημεία της διατομής που βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο της κυκλικής διατομής αναπτύσσονται ίσες τάσεις και παραμορφώσεις. Το μέτρο ολίσθησης ή διάτμησης G (Πίνακας 1), είναι ο λόγος της διατμητικής τάσης τ προς τη διατμητική παραμόρφωση γ, δηλαδή : G = τ/γ. Το μέτρο ολίσθησης ή διάτμησης έχει μονάδες τάσης (Ν/mm 2 ) και συνδέεται με το μέτρο ελαστικότητας, με : G = E/2(1+ν). Θεωρούμε μια κυκλική ράβδο ακτίνας R και μήκους l, η οποία είναι σταθερά πακτωμένη στο ένα της άκρο και ελεύθερη στο άλλο. Αν επιβάλλουμε μια στρεπτική ροπή Μt στο ελεύθερο ά- κρο της για λόγους ισορροπίας αναπτύσσεται ίση και αντίθετη ροπή στρέψης στο σταθερό άκρο της ράβδου. Αν φ η γωνία στροφής της διατομής που βρίσκεται σε απόσταση x από το άκρο της ράβδου, τότε η διατομή σε απόσταση (x+dx) στρέφεται κατά γωνία (φ+dφ). Η σχετική γωνία στροφής των δυο αυτών διαδοχικών διατομών είναι dφ ενώ η απόσταση τους είναι dx (σχήμα 5). Σελίδα 2 από 9

3 Πίνακας 1 : Τιμές μέτρου ολίσθησης ή διάτμησης 4. Στρεπτική Τάση Σχήμα 5 : Στρέψη σε δεξιόστροφη ροπή ζεύγους Σε στοιχειώδη δίσκο μήκους dx εξετάζοντας την περιστροφή dφ της δεξιάς διατομής ως προς την αριστερή, η R = (Κ Β) πήρε μετά την παραμόρφωση τη θέση (Κ Β ) (σχήμα 6). Η αρχική ευθεία ΑΒ που ήταν παράλληλη με τον άξονα της ράβδου πήρε τελικά τη θέση ΑΒ σχηματίζοντας γωνιακή παραμόρφωση γε με την ΑΒ και η ευθεία ΓΔ που έχει τυχαία απόσταση r από τον άξονα ΚΚ, πήρε τελικά τη θέση Γ Δ σχηματίζοντας γωνία γ με την ΓΔ. Σχήμα 6 : Στρέψη ράβδου κυκλικής διατομής- Από τη γεωμετρία του παραπάνω σχήματος και επειδή η γε είναι πολύ μικρή : όπου : θ = dφ/dx (Ανηγμένη γωνία στροφής) γε = γωνιακή παραμόρφωση Για τυχαία απόσταση r, έχουμε : γε ~ εφγε = ΒΒ /dx = R dφ/dx = R θ γ ~ εφγ = ΓΓ /dx = r dφ/dx = r θ Σελίδα 3 από 9

4 όπου : θ = dφ/dx (ανηγμένη γωνία στροφής) γ = γωνία ολίσθησης ή παραμόρφωσης Η γωνία φ και το dφ/dx είναι συναρτήσεις του μήκους της ράβδου και ο λόγος dφ/dx είναι σταθερός σε όλο το μήκος της ράβδου, εφόσον δέχεται την ίδια στρεπτική ροπή και άρα προκύπτει η ανηγμένη γωνία στροφής θ: θ = φ/l Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις : γε = R θ & γ = r θ, έχουμε : γ = γε r/r Όλα τα σημεία της περιφέρειας που έχουν r = R, προκύπτει η μέγιστη δυνατή τιμή της γωνιακής παραμόρφωσης, δηλαδή: Από όλες τις ίνες της ράβδου εκείνες που σχηματίζουν τη μεγαλύτερη γωνιακή παραμόρφωση είναι οι γενέτειρες της. Η στρεπτική (διατμητική) τάση, είναι : τ = G γ (γ σε rad) και άρα: τ = G θ r Η διατμητική τάση τ μεταβάλλεται γραμμικά με την απόσταση r από το κέντρο της κυκλικής διατομής, έχοντας μέγιστες τιμές τmax στα σημεία της εξωτερικής επιφάνειας (περιφέρειας) (σχήμα 7). Σχήμα 7 : Αναπτυσσόμενες τάσεις στρέψης σε ράβδο κυκλικής διατομής Η στρεπτική διατμητική τάση τ στην τυχαία ακτίνα r, είναι : τ(r) = τmax r/r Η κατανομή των διατμητικών τάσεων κατά μήκος μιας διαμέτρου είναι τριγωνική, με μέγιστες τιμές στα άκρα της και μηδενική στο κέντρο της. Η διατμητική τάση τ λόγω στρέψης μεταβάλλεται ανάλογα με την ανηγμένη γωνία στροφής θ = φ/l. Σε στοιχειώδη επιφάνεια df σε απόσταση r από το κέντρο ενεργεί στοιχειώδης δύναμη τ df, με ροπή ως προς το κέντρο του κύκλου Mt = r τ df (σχήμα 8). Η ροπή όλων των στοιχειωδών δυνάμεων ως προς το κέντρο ισούται με τη στρεπτική ροπή: M t = F r τ df = F r 2 G θ df = G θ F r 2 df = G θ Ιρ θ = Μt/G Iρ Όπου : Ιρ : πολική ροπή αδράνειας συμπαγούς κυκλικής διατομής, Ιρ = π D 4 /32 = π R 4 /2 Για κοίλη, εσωτερικής ακτίνας ρ και εξωτερικής R : Ιρ = π (R 4 ρ 4 )/2 Για λεπτότοιχο σωλήνα πάχους t και μέσης ακτίνας rm : Ιp ~ 2 π rm 3 t Ακόμα : τ = G θ r και θ = Μt/G Iρ τ = Μt r/iρ Σελίδα 4 από 9

5 Σχήμα 8 : Στρέψη σε στοιχειώδη ράβδο κυκλικής διατομής Όμως : τmax = Mt/Wρ & Wρ = Ιρ/r τ = 32 Mt r/π D 4 τ = 2 Mt/π R 4 Η ροή των διατμητικών τάσεων για διαμήκη τομή σχεδιάζεται έτσι ώστε να ισχύει ο κανόνας αμοιβαιότητας των διατμητικών τάσεων (σχήμα 9). Αν R = r, τότε : τmax = 16 Mt/π D 3 = 2 Mt/π R 3. Οπότε για να μην αστοχεί μια ράβδος λόγω στρέψης, θα πρέπει η τmax, οποία παρουσιάζεται στην περιφέρεια, να μην υπερβαίνει μια επιτρεπόμενη τιμή τεπ, όπου εξαρτάται από το υλικό της, τmax τεπ (συνθήκη αντοχής). Επίσης θα πρέπει η ανηγμένη γωνία στροφής θ να μην υπερβαίνει μια επιτρεπόμενη τιμή θεπ, δηλαδή θ θεπ (παραμορφωσιακή συνθήκη). Σχήμα 9 : Ροή διατμητικών τάσεων Ως μέτρο δυσκαμψίας δοκού σε στρέψη ορίζεται το γινόμενο του μέτρου διάτμησης και της πολικής ροπής αδράνειας : G Iρ, ενώ συστροφή : φ/l = dφ/dx = θ. 5. Στρέψη Κυκλικής Μεταβλητής Διατομής Εξετάζουμε τη στρέψη ράβδου με μη σταθερά διατομή και παραβιάζεται η παραδοχή ότι η διατομή της είναι σταθερή σε όλο το μήκος της και η ροπή στρέψης της είναι σταθερή. Διακρίνουμε τις δυο περιπτώσεις : α. Η ράβδος παρουσιάζει κατά τμήματα σταθερή διατομή (σχήμα 10). Σε κάθε τμήμα με σταθερή διατομή ισχύουν οι προηγούμενες σχέσεις και η στρεπτική ροπή Mt καταπονεί τόσο τη ράβδο (1) όσο και την (2). Οι παραμορφώσεις είναι το άθροισμα των επιμέρους παραμορφώσεων (αρχή επαλληλίας). β. Η διατομή της μεταβάλλεται ομοιόμορφα κατά μήκος της (σχήμα 11). Θεωρούμε μια συμπαγή κυκλική ράβδο μήκους l που έχει ομοιόμορφα μεταβαλλόμενη α- κτίνα α στο ένα άκρο της και β στο άλλο και καταπονείται από ροπή στρέψης που μεταβάλλεται κατά μήκος του άξονα. Σελίδα 5 από 9

6 Σχήμα 10 Σχήμα 11 Η ακτίνα r μιας τομής σε τυχαία απόσταση x από το άκρο της ράβδου που έχει ακτίνα α και μήκος l προκύπτει από τα όμοια τρίγωνα και είναι : r = a+[(β-α) x]/ l Η διατμητική τάση δίδεται από τη σχέση : Η ολική γωνία στροφή από : 6. Στρέψη Μη Κυκλικής Διατομής Στις ράβδους μη κυκλικής διατομής (σχήμα 12), οι διατομές δεν παραμένουν επίπεδες αλλά στρεβλώνονται με αποτέλεσμα οι ευθείες των διατομών γίνονται καμπύλες με καμπύλωση των παράπλευρων επιφανειών των ράβδων. Αιτία η ανομοιόμορφη κατανομή των τάσεων στη διατομή, χωρίς αύξηση των με την απομάκρυνση από το κέντρο. Κατά την περιστροφή έχει μετατοπισθεί κατά τη διεύθυνση του άξονα και οι γραμμές διατηρούν την καθετότητα τους στις ακμές. Σχήμα 12 : Ράβδοι μη κυκλικής διατομής Στο μέσο αποκλείουν πιο έντονα από οποιανδήποτε θέση σε σύγκριση με την αρχική μορφή Οι μέγιστες διατμητικές τάσεις βαίνουν αυξανόμενες επάνω στις διαμέσους Η μεγαλύτερη από όλες (τmax), να αντιστοιχεί στο μέσο της μεγάλης πλευράς της διατομής Στις διαγώνιους αρχικά αυξάνονται και μηδενίζονται στις κορυφές (σχήμα 13). Σχήμα 13 : Ορθογωνική διατομή Σελίδα 6 από 9

7 7. Στρέψη Λεπτότοιχων Διατομών Σε λεπτότοιχο σωλήνα η εσωτερική διάμετρος σωλήνα είναι περίπου ίση με την εξωτερική (σχήμα 14). Τέτοια δομικά στοιχεία συναντάμε στις ελαφρές και κυρίως στις αεροναυπηγικές κατασκευές. Υπό την επίδραση της ροπής στρέψης Μt αναπτύσσονται στη ράβδο διατμητικές τάσεις οι οποίες έχουν τη διεύθυνση της εφαπτόμενης της περιμέτρου σε κάθε σημείο της διατομής (σχήμα 15). Για τον προσδιορισμό των τάσεων αυτών δεχόμαστε τα παρακάτω : α. Οι ροπές μεταβιβάζονται στη ράβδο έτσι ώστε να μην καταπιέζεται η ελεύθερη παραμόρφωση των διατομών της ράβδου. β. Το πάχος t της ράβδου, που μπορεί να μεταβάλλεται κατά μήκος της περιμέτρου είναι μικρό σε σχέση με τη μικρότερη διάσταση της διατομής με αποτέλεσμα να δίνεται η δυνατότητα απλοποιήσεων. Σχήμα 14 : Λεπτότοιχες διατομές Σχήμα Τύποι Αστοχιών Η διατομή του κυλινδρικού δοκιμίου δεν αλλάζει κατά τη στρέψη ακόμα και αν αυτό φθάσει σε θραύση. Ένα πρισματικό δοκίμιο αλλάζει σχήμα οποιασδήποτε διατομής (εξαγωνικής, κ.λ.π) και υφίσταται στρέβλωση (σχήμα 16). Σχήμα 16 : Παραμόρφωση ράβδου ορθογωνικής διατομής λόγω στρέψης Η επιβαλλόμενη ροπή είναι σταθερή και ανεξάρτητη από τη διάσταση. Επίσης η επιβαλλόμενη ροπή είναι σταθερή και ανεξάρτητη από τη διάσταση. Το ψαθυρό υλικό αναμένεται να σπάσει υπό γωνία, η επιφάνεια της είναι τραχεία και η γωνία στρέψης είναι σχετικά μικρή (σχήμα 17). Σχήμα 17 : Ψαθυρό και όλκιμο υλικό Σελίδα 7 από 9

8 Το όλκιμο υλικό αναμένεται να σπάσει κάθετα στη διατομή του με λεία επιφάνεια και μεγάλη σχετικά γωνία στρέψης. Η θραύση επέρχεται όταν οι διατμητικές τάσεις πάρουν την τιμή του ορίου διαρροής σε διάτμηση. Η θραύση πραγματοποιείται κατά τα επίπεδα των μέγιστων διατμητικών τάσεων, συνήθως κάθετα στον επιμήκη άξονα (σχήμα 17). Σε ράβδο από ανισότροπο υλικό, που έχει διαφορετική αντοχή κατά τη διαμήκη ή κατά την εγκάρσια διεύθυνση, η θραύση γίνεται γενικά κατά τη διεύθυνση της ελάχιστης διατμητικής αντοχής. Αν έχουμε ξύλινη ράβδο που ο άξονας της είναι παράλληλος προς τις ίνες του ξύλου, οι ρωγμές θα σημειωθούν κατά τη διεύθυνση των ινών στην οποία το ξύλο αντιστέκεται λιγότερο σε διάτμηση (σχήμα 18). Σχήμα 18 : Ανισότροπο υλικό 9. Μηχανές Στρέψης Οι δοκιμασίες στρέψης πραγματοποιούνται σε κατάλληλες μηχανές (σχήμα 19), οι οποίες μπορούν να επιβάλλουν στρεπτικές ροπές στα άκρα των ελεγχόμενων δοκιμίων που μπορεί να έχουν είτε αξιόλογη διατομή, είτε πολύ μικρή σχέση προς το μήκος τους (σύρματα). Σχήμα 19 : Μηχανή στρέψης Κατά το πείραμα της στρέψης σε διάφορες αυθαίρετα επιλεγμένες χρονικές στιγμές μετράμε τη στρεπτική ροπή Μt στη κλίμακα της μηχανής και την αντίστοιχη γωνία στροφής φ. Με τα ζεύγη των τιμών που μετρήθηκαν κατασκευάζουμε σε ένα ορθογωνίων αξόνων (Μt φ) διάγραμμα που παριστά τη συμπεριφορά του εξεταζόμενου υλικού σε στρέψη (σχήμα 20). Σχήμα 20 : Διάγραμμα Μt - φ Σελίδα 8 από 9

9 Βιβλιογραφία [1] Ν. Ανδριανοπουλος, Ε. Κυριαζή, Κ. Λιακόπουλος, Πειραματική Αντοχή των Υλικών, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα [2] Π.Α. Βουθούνης, Τεχνική Μηχανική, Αντοχή των Υλικών, Εκδόσεις ιδίου, Αθήνα 2011, (Έκδοση Ζ ). [3] F. Beer, E. R. Johnston, J. DeWolf & D. Mazurek, Μηχανική των Υλικών, Εκδόσεις Τζιόλα, 2017, (Έκδοση 7 η ). Σελίδα 9 από 9