Δυνάμεις στήριξης και καμπτικές ροπές σε άτρακτο που δέχεται φόρτιση στον χώρο T Ε T Ε. A z. A y

Transcript

1 υνάμεις στήριξης και καμπτικές ροπές σε άτρακτο που δέχεται φόρτιση στον χώρο ίδεται μία άτρακτος ΑΒ που φέρει οδοντοτροχό στη θέση. Στο δεξιό της άκρο είναι συνδεδεμένη με κινητήρα ο οποίος ασκεί στρεπτική ροπή ίση με Τ=m. Στο σημείο ο οδοντοτροχός εμπλέκεται με τον συνεργαζόμενό του τροχό και μεταδίδει κίνηση στο κινούμενο μηχάνημα. Η δύναμη F3 (κάθετη στο επίπεδο του σχεδίου προς τα έξω) εκφράζει την αντίσταση που προβάλλει το κινούμενο μηχάνημα στην περιστροφή. Άρα η F3 μπορεί να υπολογισθεί με βάση την κινητήρια στρεπτική ροπή. ια τις άλλες δύο δυνάμεις που ασκούνται στο σημείο του οδοντοτροχού, ισχύουν οι σχέσεις F1 = 0,3 F3 και F2 = 0,15 F3 Να βρεθούν οι δυνάμεις στον οδοντοτροχό, οι δυνάμεις στήριξης της ατράκτου, και τα φορτία διατομής (, Q, M, Μt) στις χαρακτηριστικές θέσεις της ατράκτου (Μt=στρεπτική ροπή). Τ=m Λύση: Α' υνάμεις στον οδοντοτροχό: άν σχεδιάσουμε την άτρακτο σε πρόοψη και πλάγια όψη, και τοποθετήσουμε τις δυνάμεις στήριξης στην πρόοψη, παίρνουμε το παρακάτω σχήμα. A A B Πλάγια όψη A Παρατηρούμε ότι: - Το σύμβολο του εδράνου στη θέση Α σημαίνει στήριξη με άρθρωση, ενώ στη θέση Β B Πρόοψη

2 σημαίνει κύλιση. πομένως η αξονική δύναμη στήριξης τοποθετήθηκε στο Α και είναι η A. - ια την εξισορρόπηση της F3 τα έδρανα ασκούν και τις δυνάμεις A, B, κάθετες στο επίπεδο του σχεδίου στην πρόοψη. - Οι όψεις του σχεδίου (πρόοψη και πλάγια όψη) μπορούν επίσης να ονομασθούν επίπεδο - και επίπεδο - αντίστοιχα, από τα ονόματα των αξόνων που είναι ορατοί σε κάθε όψη. Η κάτοψη της ατράκτου είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. A A B A B Κάτοψη ια τον υπολογισμό της δύναμης F3 παρατηρούμε ότι: - Κινητήρια στρ. ροπή είναι η Τ και ανθιστάμενη η F3*R = F3*mm (όπου R=mm είναι η ακτίνα του οδοντοτροχού) - Πρέπει: κινητήρια στρ. ροπή = ανθιστάμενη στρ. ροπή m δηλ. Τ = F3*R => F3 = = R mm Μετατρέπουμε πρώτα όλες τις μονάδες μήκους σε mm και μετά κάνουμε τις πράξεις:.000 mm F3 = = mm Σύμφωνα με τις προδιαγραφές που ορίζει η εκφώνηση, οι δυνάμεις F1, F2 είναι: F1 = 0,3 F3 = 0,3*2.000 = 600 F2 = 0,15 F3 = 0,15*2.000 = 300 Β' υνάμεις στήριξης: Παρατηρούμε την πρόοψη (επίπεδο -), εφαρμόζουμε τις εξισώσεις ισορροπίας, και υπολογίζουμε τις δυνάμεις στήριξης A, A, B : ΣF = 0 => A = F2 = 300 ΣMA = 0 => F1*mm + + F2*mm B*400mm = 0 => B = 375 ΣF = 0 => => A = F1 B = = 225 A A A B B Πρόοψη

3 Η στρεπτική ροπή Τ δεν συμπεριλήφθηκε στην παραπάνω εξίσωση ροπών του επιπέδου -, διότι - εδώ εξετάζονται ροπές που περιστρέφουν το σώμα πάνω στο επίπεδο της πρόοψης - ενώ η στρεπτική ροπή Τ περιστρέφει το σώμα γύρω από την ευθεία του μήκους του, δηλ. πάνω στο επίπεδο της πλάγιας όψης (διαφορετική περιστροφή, που δεν εξετάζεται στην ΣMA = 0 του επιπέδου -). Κατόπιν παρατηρούμε την κάτοψη (επίπεδο -), εφαρμόζουμε τις εξισώσεις ισορροπίας, και υπολογίζουμε τις δυνάμεις στήριξης A, B : A A B ΣMA = 0 => => F3*mm - B*400mm = 0 => B = F3/2 = 0 ΣF = 0 => A = F3 B = 0 Την ΣF = 0 δεν χρειάζεται να την μνημονεύσουμε εδώ, επειδή ήδη εξετάσθηκε στους υπολογισμούς που αφορούσαν το προηγούμενο επίπεδο, το -. A B Κάτοψη Παρατηρούμε ότι σε κάθε στάδιο της λύσης βλέπουμε μία μόνο όψη του σχεδίου. ' Φορτία διατομής, Q, M, Mt. Σε κάθε θέση της ατράκτου υπάρχουν δύο διατμητικές δυνάμεις, οι Q, Q, και δύο καμπτικές ροπές, οι Μεπιπ -, Μεπιπ - (εμφανίζονται στα επίπεδα - και - αντίστοιχα). κτελούμε λοιπόν τους υπολογισμούς σε βήματα, ως εξής: -Θεωρούμε τομή αριστερά από τον οδοντοτροχό, εξετάζουμε το τμήμα Α- αρ στο επίπεδο -: ΣF = 0 => = A = 300 ΣF = 0 => Q = A = 225 M επι π - ΣM,επιπ - = 0 => Mεπιπ - = A*mm A = mm Στρεπτική: Mt = 0 A Q -Θεωρούμε τομή δεξιά από τον οδοντοτροχό, εξετάζουμε το τμήμα δεξ - στο επίπεδο -: Q Mεπι π - B ΣF = 0 => = 0 ΣF = 0 => Q = -B = -375 ΣM,επιπ - = 0 => Mεπιπ - = B*mm = mm Στρεπτική: Τ Mt = 0 => Mt = =.000mm

4 Παρατηρούμε ότι στο επίπεδο - οι καμπτικές ροπές αριστερά και δεξιά του οδοντοτροχού διαφέρουν (M αρ =45.000Νmm, Mγ δεξ =75.000Νmm). Η διαφορά τους οφείλεται στη ροπή F2*()=300Ν * mm=30.000mm. -Θεωρούμε τομή αριστερά από τον οδοντοτροχό, εξετάζουμε το τμήμα Α- αρ στο επίπεδο -: ΣF = 0 : Ήδη εξετάσθηκε ΣF = 0 => Q = A = 0 M επι π - A ΣΜ,επιπ - = 0 => Mεπιπ - = A*mm = =.000mm Στρεπτική: Ήδη εξετάσθηκε. A Q -Θεωρούμε τομή δεξιά από τον οδοντοτροχό, εξετάζουμε το τμήμα δεξ - στο επίπεδο -: Q Mεπι π - B ΣF = 0 : Ήδη εξετάσθηκε ΣF = 0 => Q = -B = -0 ΣM,επιπ - = 0 => Μεπιπ - = B*mm =.000 mm Στρεπτική: Ήδη εξετάσθηκε. Στο επίπεδο - οι καμπτικές ροπές αριστερά και δεξιά του οδοντοτροχού είναι ίδιες, επειδή η δύναμη F2 δεν δίνει ροπή στο επίπεδο -. ' ιαγράμματα φορτίων διατομής: Αν τοποθετηθούν τα παραπάνω φορτία διατομής σε διάγραμμα, προκύπτουν τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στη επόμενη σελίδα.

5 F 1 A =300 B =0 Q =225 Q Όσο το Q = -375 Q =0 Q Q = -0 M επ ιπ mm mm M=.000 mm =0 M επ ιπ - =.000 mm