Αρ έ ονα αρυτικά κύματα από τον κοσμο ο ικό π η ρισμό και CMB

Transcript

1 Ε ηνική Δημοκρατία Ε νικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Α ηνών Πτυ ιακή Ερ ασία τμήματος Φυσικής Αρ έ ονα αρυτικά κύματα από τον κοσμο ο ικό π η ρισμό και CMB Πο υκράτης Γιώρ ος AM: Επι έπον: Σπανός Βασί ης Αναπ ηρ τής Κα η ητής Α ήνα 017

2

3 Περί ηψη Στο Κεφ. 0 κάνουμε απ ή αναφορά στα ασικότερα ερ α εία της Γενικής Σ ετικότητας και τ ν οποί ν η ρήση είναι πο ύ συ νή στο κυρί ς κείμενο. Επίσης δεί νουμε π ς με ε ά ιστα ήματα μπορεί να δει κανείς ότι ο τανυστής Riemann ικανοποιεί την κυματική εξίσ ση, που μας προιδεάζει ότι τα κύματα καμπυ ότητας είναι πρά ματι μια ουσιαστική έννοια. Στα κεφά αια του Μέρους I ασ ο ούμαστε με τα αρυτικά κύματα. Συ κεκριμένα στο Κεφ. 1 εξερευνούμε τις εξισώσεις του Einstein περνώντας από διάφορες ο ικές α μίδες ια την περίπτ ση μιας ραμμικής διαταρα ής 1 ης τάξης στην μετρική και εξά ουμε την εξίσ ση κίνησης αυτής της τανυστικής διαταρα ής ( αρυτικό κύμα. Εξετάζουμε επίσης την επίδραση που έ ει ένα αρυτικό κύμα σε μια σειρά από ε εύ ερα σ μάτια, και συ κεκριμένα την παραμόρφ ση που προκα εί σε ένα δακτυ ίδι από διακριτά σ μάτια. Στο Κεφ. ασ ο ούμαστε με τα είδη σημάτ ν αρυτικών κυμάτ ν και τα ενερ ά και με οντικά πειράματα ια την ανί νευσή τους. Περι ράφουμε επίσης την ειτουρ ία του πιο διαδεδομένου π έον είδους ανι νευτών, του ανι νευτή συμ ο ομέτρου. Στο Κεφ. 3 ράφουμε ια τα πο υπο ικούς όρους της αρυτικής ακτινο ο ίας. Στο Κεφ. 4 ασ ο ούμαστε με την ενέρ εια τ ν αρυτικών κυμάτ ν και δου εύουμε στη ε όμενη προσέ ιση μικρού μήκους κύματος ια να ρούμε τις ενερ ειακές απώ ειες αυτών. Στο Κεφ. 5 αρακτηρίζουμε τις διάφορες περιο ές του φάσματος της αρυτικής ακτινο ο ίας και αναφέρουμε τα αντίστοι α πειράματα που ειδικεύονται σε κά ε περιο ή. Στα κεφά αια του Μέρους II ασ ο ούμαστε, σε μια προσπά εια ενίκευσης της αρ ικής συζήτησης του Κεφ. 1, ενικότερα με τις ραμμικές διαταρα ές σε ένα FRW σύμπαν μηδενικής καμπυ ότητας. Στα κεφά αια του Μέρους III κάνουμε μια αναφορά στη α μ τή ε ρία του Π η ρισμού (Inflation και ενικεύουμε την προη ούμενη ανά υση του Μέρους II α ά στην περίπτ ση που έ ουμε ένα ή περισσότερα inflaton πεδία, με απώτερο σκοπό την εξα ή του δείκτη φασματικής ισ ύ ς. Η συζήτηση αυτή είναι κρίσημη στην με έτη τ ν αρυτικών κυμάτ ν αφού και οι τανυστικές διαταρα ές συνεισφέρουν στο μέ ε ος αυτό. Στο IV εισα ά ουμε στις ασικές έννοιες και ερ α εία της με έτης του CMB. Τέ ος στο Μέρος V έπουμε π ς από τις ανισοτροποίες του CMB παίρνουμε π ηροφορίες ια τις αρ έ ονες κοσμο ο ικές διαταρα ές του Μέρους III.

4 Ευ αριστίες Θα ή ε α αρ ικά να ευ αριστήσ τον κ. Σπανό ια την άμεση επικοιν νία, και την εμπιστοσύνη που μου έδειξε με την επι ο ή ενός τόσο ενδιαφεροντος και ευρέος έματος. Θα ή ε α επίσης να ευ αριστήσ τον κ. Λα ανά που μαζί με τον κ. Σπανό εί αν μαζί μου επικοδομητικές και ενδιαφέρουσες συζητήσεις πάν στην φυσική α ά και ό ι μόνο. Το ενδιαφέρον που έδειξαν και οι δύο στις ερ τήσεις μου και το ρόνο που αφιέρ σαν στο να με κατευ ήνουν είναι πρα ματικά με ά ο δώρο. Θα ή ε α να ευ αριστήσ και τους δύο ια ά η μια φορά, ια τις συμ ου ές που μου έδ σαν όταν τις εί α περισσότερο ανά κη.

5 Περιε όμενα 0 Προκαταρκτικά 8 I Βαρυτικά Κύματα 1 1 Εξα ή Λύσης Βαρυτικών Κυμάτ ν Βαρυτικά κύματα σε επίπεδο ώρο Περίπτ ση απουσίας αρυτικών πη ών Επίδραση αρυτικών κυμάτ ν σε ε εύ ερα σ μάτια Πο ώσεις Ανί νευση Βαρυτικών Κυμάτ ν 8.1 Παρατηρίσημα με έ η αρυτικών κυμάτ ν Ανι νευτές δέσμης (Συμ ο όμετρα laser Παρα ή Βαρυτικών Κυμάτ ν Προσέ ιση μακρινού πεδίου Ενέρ εια τ ν Βαρυτικών Κυμάτ ν 40 1

6 4.1 Μη τοπική ενέρ εια στη Γενική Σ ετικότητα Τανυστής ενέρ ειας-ορμής Βαρυτικών Κυμάτ ν στην προσέ ιση μικρού μήκους κύματος Ενερ ειακές απώ ειες αρυτικών κυμάτ ν Μερικές εκτιμήσεις με έ ους Το φάσμα τ ν Βαρυτικών Κυμάτ ν Περιο ή υψη ών συ νοτήτ ν, Hz Περιο ή αμη ών συ νοτήτ ν, Hz Περιο ή πο ύ αμη ών συ νοτήτ ν, Hz Περιο ή εξαιρετικά αμη ών συ νοτήτ ν, Hz Λί α περισσότερα ό ια ια τις κοσμο ο ικές πη ές II Διαταρα ές με απουσία α μ τού πεδίου 54 6 Μετασ ηματισμοί Βα μίδας της μετρικής Δια ρισμός σε Βα μ τές, Διανυσματικές και Τανυστικές Διαταρα ές Βα μ τές Διαταρα ές Δυναμικά Bardeen Σύμμορφη Νευτώνεια Βα μίδα Διαταρα ές στον Τανυστή Καμπυ ότητας 68 8 Εξέ ηξη Υπερορίζοντα και συσ έτιση με τις προτότυπες διαταρα ές. 70

7 III Διαταρα ές με παρουσία α μ τού πεδίου 7 9 Μια ν ρημία με τη α μ τή ε ρία του inflation Βα μ τά πεδία στην Κοσμο ο ία Slow Roll Διάρκεια του Inflation και εξέ ηξη τ ν κ ιμάκ ν Infaltion Βα μ τά πεδία στον ώρο Minkowski Βα μ τά πεδία σε καμπύ ο ρο ρόνο Υποκείμενο Σύμπαν Διαταρακτικό Σύμπαν Βα μίδα επίπεδου ώρου Ένα Πεδίο Υπό α ρο Διαταρακτικές εξισώσεις πεδίου Καμπυ ότητα και Ο ική Εντροπία Διαταρα ών Slow-Roll Inflation Εξέ ιξη έξ από τον ορίζοντα Υπό α ρο Συναρτήσεις Hankel και Bessel Διαταρακτική εξίσ ση Δημιουρ ία Βα μ τών Διαταρα ών

8 Διαταρα ές του κενού στον ώρο Minkowski Διαταρα ές του κενού την περίοδο του Inflation Αρ έ ονο Φάσμα Ισ ύος Φασματικός δείκτης σε δεύτερη τάξη τ ν slowroll παραμέτρ ν Διαταρα ές Καμπυ ότητας Slow-Roll Inflation Παράμετροι slow-roll Νόμος εκ ετικής διαστο ής του υπο ά ρου Εξέ ηξη διαταρα ών Δύο πεδία Αδια ατικές και Εντροπικές πεδιακές συντετα μένες Ακρι ής ύση υπο ά ρου Slow-Roll προσέ ιση Διαταρα ές Διαταρα ές Εντροπίας και Καμυπ ότητας Εξέ ηξη κατά την έξοδο από τον Ορίζοντα Εξέ ηξη έξ από τον Ορίζοντα Αρ έ ονοι φασματικοί δείκτες σε πρώτη τάξη Αρ έ ονες Τανυστικές Διαταρα ές

9 IV CMB Ανισοτροπίες στην Κοσμική ακτινο ο ία Υπο ά ρου Διακυμάνσεις του CMB Τανυστής Πό σης Κ ασσικό Ημιμονο ρ ματικό Επίπεδο κύμα Σφαιρικό Αρμονικό ανάπτυ μα του Πεδίου Πό σης Σφαιρικό Αρμονικό ανάπτυ μα του Πεδίου Πό σης Flat-Sky προσέ ιση Γε μετρία της σφαίρας Τανυστικές Σφαιρικές Αρμονικές Ιδιότητες τ ν Τανυστικών Σφαιρικών Αρμονικών Ανάπτυ μα Fourier και ανάπτυ μα σε Σφαιρικές Αρμονικές V Κοσμο ο ικές διαταρα ές και η κατα ραφή τους στο CMB Δημιουρ ία ανισοτροποιών στο CMB από διαταρα ές της μετρικής Βα μ τές διαταρα ές Διανυσματικές Διαταρα ές Τανυστικές Διαταρα ές Σύνοψη Free Streaming

10 1.9 Spin- Σφαιρικές Αρμονικές Συναρτήσεις Συσ έτισης και Γ νιακό Φάσμα Ισ ύος Εξίσ ση Boltzmann-Vlasov Παράμετροι Stokes και Spin-S Σφαιρικές Αρμονικές Αρμονική ανά υση ια πό ση του CMB Γενικές σ έσεις ια τις διακυμάνσεις ερμοκρασίας Συμπ ήρ μα: Αποδείξεις Σ έσε ν Appendix 197 A Εξίσ ση Γε δαισιακής Απόκ ισης B Νόμοι μετασ ηματισμού μεταξύ ρονικών συντετα μέν ν C Κύμα με τυ αία διεύ υνση ς προς τον προσανατο ισμό τ ν δοκιμαστικών μαζών D Μετρική Robertson-Walker E Κινηματική: Σύμμορφος ρόνος και Ορίζοντες F Εξίσ ση Friedman G Ιδανικά Ρευστά H Συμπ ήρ μα στο κεφά αιο τ ν διαταρα ών I Σφαιρικές Αρμονικές J Εξίσ ση Boltzmann-Vlasov J.1 Φασικός Χώρος και Συνάρτηση κατανομής K Τανυστής Ενέρ ειας σε Τοπικό Ορ οκανονικό Σύστημα

11 L Ερυ ρομετατόπιση Φ τονί ν και Free Streaming M Εξίσ ση Φ τεινότητας

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Προκαταρκτικά Συμ άσεις Προσήμου Στη ι ιo ραφία παρατηρούνται πο οί διαφορετικοί ορισμού τ ν τανυστών που συ νά ρησημοποιούνται στη Γενική Σ ετικότητα, ε ονός που οφεί εται, πέρα από την δυνατότητα επι ο ής διαφορετικής μετρικής, και στην ανεξάρτητη ε ευ ερία που υπάρ ει στον ορισμό του τανυστή Riemann και του τανυστή ενέρ ειας ορμής. Πρός αποφυ ή τυ όν παρενόησης στον παρακάτ πίνακα φαίνονται οι διαφορετικές συμ άσεις προσήμου που συναντώνται στην ι ιο ραφία: Συ ραφέας Χ 1 Weinberg g µν Γ α βγ (same (same ( ( R α βγδ R α βγδ R α βγδ R βδ ( Rβδ X X = ( R α W βγδ ( Rβδ W = ( R βδ R β Rβ αβ R X R ( ( T µν = δs δg µν Tµν Tµν X W = ( T µν g αβ X X X 8

13 Βαρυτικά και Η/Μ κύματα σύ κριση Γραμμικοποιημένη αρύτητα Η εκτρομα νητισμός Διανυσματικό δυναμικό: Α(1, x Δυναμικά h µν Βα μ τό δυναμικό: Φ(t, x Γραμμικοποιημένη Η εκτρικό πεδίο: E(t, x Πεδία καμπυ ότητα Rieman: Μα νητικό πεδίο: Β(t, x R aβγδ (x Μετασ ηματισμός α μίδας h µν h µν µ ϵ ν ν ϵ µ A µ A µ µ χ Παράδει μα συν ήκης α μίδας ( Lorentz ν h ν µ 1 µh ν ν = 0 µ A µ = 0 Εξισώσεις πεδίου στη α μίδα Lorentz h µν = 0 A µ = 0 Χρήσιμες σ έσεις από τη Γενική Σ ετικότητα Σ έσεις Christoffel Γ σ µν = 1 gσρ ( µ g νρ + ν g ρµ ρ g µν. (0.1 Τανυστής Riemann R ρ σµν = µ Γ ρ νσ ν Γ ρ µσ + Γ ρ µλ Γλ νσ Γ ρ νλ Γλ µσ (0. R µν = µ Γ ν ν Γ µ + [ Γ µ, Γ ν ] = [ µ + Γ µ, ν Γ ν ] Τανυστής Ricci R µν = λ Γ λ µν ν Γ λ µλ + Γ λ µνγ σ λσ Γ λ µσγ σ νλ (0.3 9

14 Το ί νος του τανυστή Ricci μας δίνει το α μ τό Ricci: R = R µ µ = g µν R µν (0.4 Μια ρήσιμη έννοια που α ρησιμοποιήσουμε παρακάτ την οποία όμ ς δεν α αποδείξουμε είναι οι εξισώσεις πεδίου Einstein. G µν = R µν 1 Rg µν = 8πG c 4 T µν (0.5 Οι παραπάν συνδέουν την καμπυ ότητα (μέσ της μετρικής και του τανυστή Ricci με την παρουσία ενέρ ειας - ορμής (μέσ του T µν. Ισοδύναμη διατύπ ση Παίρνοντας στην 0.5 το ί νος ς προς τη μετρική και στα δύο μέ η παίρνουμε R D R = 8πG T όπου D είναι η διάσταση του ρο ρόνου στον οποίο δου εύουμε (εδώ D = 4. Η έκφραση αυτή μπορεί να ξανα ραφεί ς R = 8πG c 4 c 4 T D 1 Προσ έτοντας το παραπάν, πο απ ασιασμένο 1g µν φορές στην 0.5, παίρνουμε την επόμενη ισοδύναμη trace-reversed μορφή R µν = 8πG ( T c 4 µν 1 T g µν (0.6 Δη αδή ο όρος με το α μ τό του τανυστή Ricci έ ει αντικαταστα εί στη νέα έκφραση από όρο με α μ τό του τανυστή ενέρ ειας-ορμής. Επίσης από τα παραπάν έπουμε ότι τα α μ τά τ ν δύο αυτών τανυστών συνδέονται με τη σ έση:. R = 8πG c 4 T (0.7 10

15 Μια πρώτη ένδειξη του ότι μπορεί να έ ουμε κύματα καμπυ ότητας Από την ταυτότητα Bianchi: R αβγδ,µ + R αβδµ,γ + R αβµγ,δ = 0 (0.8 Στο κενό ώρο, ρίς την παρουσία κάποιας πη ής δη αδή, η 0.6 μας δίνει ότι R αβ = 0 (0.9 Πο απ ασιάζοντας την 0.11 με g αµ, και ρησιμοποιώντας την 0.9, παίρνουμε R µ βγδ,µ + R µ βδµ,γ + R µ βµγ,δ = 0 R µ βγδ,µ = 0 (0.10 Λό της συμμετρίας του τανυστή Riemann σημαίνει ότι ο τανυστής αυτός έ ει μηδενική απόκ ιση σε κά ε δείκτη. Παίρνουμε τώρα τη δεύτερη παρά ο της 0.11 ς προς µ, και ρησημοποιούμε το τε ευταίο επι είρημα ια την απόκ ιση του τανυστή Riemann:,µ Rαβγδ,µ +,µ Rαβδµ,γ +,µ Rαβµγ,δ = 0 (0.11 Που σημαίνει ότι ο τανυστής Riemann ικανοποιεί την κυματική εξίσ ση: R αβγδ = 0 (0.1 11

16 Μέρος I Βαρυτικά Κύματα 1

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εξα ή Λύσης Βαρυτικών Κυμάτ ν 1.1 Βαρυτικά κύματα σε επίπεδο ώρο Όπ ς και στον η εκτρομα νητισμό στον οποίο υπάρ ουν η εκτρομα νητικές διαταρα ές που διαδίδονται με τα ύτητα c - η εκτρομα νητικά κύματα - στην σ ετικιστική ε ρία της αρύτητας υπάρ ουν διαταρα ές της ε μετρίας του ώρου οι οποίες διαδίδονται στο ρο ρόνο και ονομάζουμε αρυτικά κύματα. Θε ρούμε ένα ασ ενές αρυτικό πεδίο στο κενό. Η μετρική του επίπεδου ώρου Minkowski είναι: 1 g αβ g (0 αβ = η 1 αβ = 1 1 Εισά ουμε τον τανυστή h αβ ς διαταρα ή στο παραπάν επίπεδο ώρο, ώστε: g αβ = η αβ + h αβ (1.1 Επειδή τα η αβ και g αβ είναι συμμετρικά, πρέπει και το h αβ να είναι επίσης συμμετρικό. Ορίζουμε στη συνέ εια με τη οή εια τ ν σ έσε ν τ ν ύψ σης δεικτών της ειδικής σ ετικότητας και τις ποσότητες: h α β η ασ h σβ h αβ η ασ η βρ h σρ h h α α = η σρ h σρ. (1. 13

18 Αντα οί τη μορφή της διαταρα ής Επειδή είναι g µν g µσ = δν σ, έ ουμε: δν σ = g µν g µσ = (η µν + h µν (η µσ + αh µσ = δν σ + αh σ ν + h + O(h άρα πρέπει α = 1, συνεπώς η αντα οί τη σ έση ια τη μετρική ίνεται:. g αβ = η αβ h αβ (1.3 Στη νέα μετρική τα σύμ ο α Christoffel και ο τανυστής Ricci ίνονται: Γ σ µν = 1 ησρ (h νρ,µ + h ρµ,ν h µν,ρ. (1.4 Και επειδή κρατάμε πρώτης τάξης όρους ς προς h αβ έ ουμε: R µνρσ = η µλ ρ Γ λ νσ η µλ σ Γ λ νρ = 1 (h µσ,νρ + h νρ,µσ h µρ,νσ h νσ,µρ και με τη οή εια της 1.4: R µν = λ Γ λ µν ν Γ λ λµ 1 1 = λ ηλρ ( ν h µρ + µ h ρν ρ h µν ν ηλρ ( µ h λρ + λ h ρµ ρ h λµ 1 ( = λ ν h λ µ + µ h λ ν λ 1 ( h µν ν µ h λ λ + λ h λ µ λ h λµ = 1 [ ] h λ µ,νλ + h λ ν,µλ h,λ µν,λ hλ λ,µν h λ µ,λν + h,λ λµ,ν = 1 [ ] h λ µ,νλ + h λ ν,µλ h µν h,µν h λ µ,λν + h,λ λµ,ν Όμ ς είναι h λ µ,λν = ηλβ h βµ,λν = η λβ η λk h,k βµ,ν = δβ k h,k βµ,ν = h,k kµ,ν = h,λ λµ,ν Συνεπώς: R µν = 1 [ h λ µ,νλ + h λ ν,µλ h µν h,µν ] (1.5 14

19 Και R = h µν,µν h (1.6 Επομέν ς οι εξισώσεις πεδίου του Einstein, α νοώντας όρους O( h µν, ίνονται: G µν = 1 = 1 [ h λ µ,νλ + h λ ν,µλ h µν h,λσ η µν (h λσ,µν h ] + O(h µν [ h λ µ,νλ + h λ ν,µλ h µν h,µν η µν h λσ,λσ + η µν h ] (1.7 Εφαρμόζουμε τον μετασ ηματισμό: h µν = h µν 1 η µνh (Trace-Reverse Metric h = h 1 4h = h (1.8 Και παίρνουμε: και h µν = h µν 1 η µν h R µν = 1 [ hλ µ,νλ + h λ ν,µλ h µν ] (1.9 G µν = 1 [ h λ µ,νλ + h λ ν,µλ h µν h,λσ η µν (h λσ,µν h ] + O(h µν = 1 [ h λ µ,νλ + h λ ν,µλ h µν 1 ] (η νλ h,λ,µ η µν h + O( h µν = 1 [ h µν + η µν h,λσ h ] λ,λ µ,νλ h ν,µλ + O( h µν (

20 Ά ος συ ο ισμός στη ι ιο ραφία [ Αφού G µν = 8πG T c 4 µν = 8πG c 4 Tµν + t µν ( h ] Θέτοντας h µν + η µν h,λσ h λ,λ µ,νλ h ν,µλ = 16πG [ Tµν + t c 4 µν ( h ] W µ = η ρσ ρ hµσ Η προη ούμενη εξίσ ση παίρνει την ενα ακτική μορφή h µν µ Wν ν Wµ + η ρσ ρ Wσ η µν = 16πG c 4 [ Tµν + t µν ( h ]. την οποία συναντάμε στη ι ιο ραφία (π. [10] Β έπουμε ότι η παραπάν σ έση α απ οποιούταν ακόμα περισσότερο αν h µν,ν = ν hµν = 0 Αυτό μπορούμε να το πετύ ουμε με τον επόμενο μετασ ηματισμό. Θε ρούμε ένα απειροστό μετασ ηματισμό συντετα μέν ν, x α = x α +ξ α, όπου ξ a είναι ένα δεδομενο διανυσματικό πεδίο. Έ ουμε ότι η διαταρα ή h µν μετασ ηματίζεται όπ ς [1, 3, 10]: h αβ = h αβ ξ α,β ξ β,α + η αβ ξ ρ,ρ h = h ξ α,α (1.11 Προκύπτει ότι αυτός, ια να είναι μετασ ηματισμός Lotentz α πρέπει ξ α,β + ξ β,α = 0. Πρά ματι, ια να είναι ένας ραμμικός μετασ ηματισμός, μετασ ηματισμός Lorentz α πρέπει η μετρική να παραμένει ανα οί τη: Πρέπει g µν = g µν g µν = η µν + h µν = x ρ x σ x µ x ν g ρσ = (δµ ρ + µ ξ ρ (δν σ + ν ξ σ g ρσ = (δµδ ρ ν σ + δµ ρ ν ξ σ + δν σ µ ξ ρ + µ ξ ρ ν ξ σ g ρσ g µν + g ρν µ ξ ρ + g µσ ν ξ σ = η µν + h µν + ν ξ µ + µ ξ ν. = g µν + ν ξ µ + µ ξ ν }{{} =0 16

21 Πώς πρέπει να μετασ ηματίζεται οιπόν το h µν ώστε να έ ουμε ν hµν = 0? h µν = h µν 1 η µνh = h µν + ( ν ξ µ + µ ξ ν 1 η µνh = h µν 1 η µν h + (0 1 η µνh = h µν 1 η ( h µν + h (1.1 = h µν 1 η µν ( h + h = h µν 1 η µν ( α ξ α όπου προφανώς το h αβ παραμένει ύση της εξίσ σης πεδίου. Επομέν ς, αφού έ ουμε την ε ευ ερία να επι έξουμε όποιο ξ α, μπορούμε να επι έξουμε το ξ να είναι ύση της διαφορικής εξίσ σης: h σ α,σ = 1 h σ σ,α ξ α (Harmonic gauge (1.13 Τότε έπουμε ότι η 1.1 μας δίνει το επι υμητό αποτέ εσμα ν hµν = 0. Οι 1.8 και 1.13 μαζί συνιστούν την Transverse Traceless α μίδα, στην οποία α δου έψουμε από εδώ και πέρα. Βα μοί ε ευ ερίας h µν είναι ένας 4 4 συμμετρικός πίνακας: 10 ΒΕ Harmonic gauge: -4 ΒΕ Επι ο ή του ξ α : -4 ΒΕ. Μόνο ΒΕ περισσεύουν στην TT α μίδα. Με την επι ο ή και αυτής της δεύτερης α μίδας παίρνουμε: G µν = 1 h µν (

22 Και οι εξισώσεις Einstein παίρνουν την απ ούστερη μορφή: G µν = 1 h µν = 8πG. c T 4 µν h µν = 16πG T c 4 µν (1.15 η οποία είναι της μορφής: h µν = j gr µν με α μίδα µ hµν = 0 Όπ ς και στον η εκτρομα νητισμό, η ύση της εξίσ σης αυτής είναι το κα υστερημένο δυναμικό: h αβ (x, t = 4πG c 4 Tαβ (x, t x x x x c d 3 x. (1.16 Αυτή η ύση περι ράφει μια αρυτική διαταρα ή που διαδίδεται στο ώρο με την τα ύτητα του φ τός c. 1. Περίπτ ση απουσίας αρυτικών πη ών Όταν T αβ = 0, τότε έ ουμε στην α μίδα Lorentz την ομο ενή εξίσ ση που αντιστοι εί στην περίπτ ση απουσίας αρυτικών πη ών (στo α δούμε τη ενική μη ομο ενή ύση, δη αδή την εξίσ ση ε ευ έρου πεδίου: h αβ = 0, (1.17 η οποία έ ει ύση διαδιδόμενου κύματος με k = 0 h µν (x = Re{A µν (ke ±ik x } (1.18 όπου ο τανυστής πό σης A µν Lorentz, τις συν ήκες: = A νµ ικανοποιεί πάντα, ό της α μίδας. k µ A µν (k = A µν (kk ν = 0 (

23 Μπορεί να δει εί ότι στον τανυστή του π άτους μπορεί να επι η εί η πρόσ ετη συν ήκη. A α α = 0 [3] (1.0 Οι δύο αυτές συν ήκες αποτε ούν τη ε όμενη transverse-traceless gauge και ρησιμοποιούν ό ες τις ε ευ ερίες α μίδας, συνεπώς οι εναπομείνασες συνιστώσες του h αβ α έ ουν φυσική σημασία. Επι έ οντας ς z την διεύ υνση διάδοσης του κύματος, παίρνουμε k = (ω, 0, 0, ω που σε συνδυασμό με την εξίσ ση 1.19 α έ ουμε A αz = A 0α = 0 ια κά ε α (αυτή είναι και η προέ ευση του προσδιορισμού transverse ια τη α μίδα: το A µν είναι ε κάρσιο στη διεύ υνση διάδοσης του κύματος. Από την 1.19 οιπόν έ ουμε ότι επι ιώνουν οι συνιστώσες A xx, A yy και A xy = A yx. Επιπ έον η 1. επι ά ει τη συν ήκη A xy = A yx ια το ί νος του τανυστή A µν. Επομέν ς ο τανυστής του π άτους παίρνει τη μορφή: A T µν T 0 A = xx A xy 0 0 A xy A xx (1.1 Τέ ος από την k = (ω, 0, 0, ω έ ουμε i k x = i(ωt ωz επομέν ς η ενική ύση τ ν ραμμικοποιημέν ν εξισώσε ν Einstein στο κενό, ια διάδοση στον z άξονα με στα ερή συ νότητα ω στην ΤΤ α μίδα είναι: A µν (t, z = Re{ xx A xy 0 0 A xy A xx 0 eiω(z t } ( h T T Που σημαίνει ότι αφού υπάρ ουν δύο ανεξάρτητες συνιστώσες, α υπάρ ουν δύο πι ανές πο ώσεις ια τα αρυτικά κύματα. Η συνιστώσα του κύματος που είναι ανά ο η του A xx ονομάζεται plus (+ και αυτή που είναι ανά ο η του A xy ονομάζεται cross (. Έτσι στη ραμμική προσέ ιση με την ΤΤ α μίδα 19

24 στο κενό μπορούμε να ράψουμε: h h µν = + (t z h (t z 0 0 h (t z h + (t z (1.3 Για να συνειδητοποιήσουμε τι σημαίνει ένα αρυτικό κύμα να έ ει μια συ κεκριμένη πό ση πρέπει να εξετάσουμε ποια α είναι η επίδρασή του σε κάποια δοκιμαστικά σ μάτια. 1.3 Επίδραση αρυτικών κυμάτ ν σε ε εύ ερα σ μάτια Ό α τα αρυτικά κύματα μπορούν να ραφτούν στη μορφή της 1., ώστε κά ε κύμα να έ ει δύο ανεξάρτητες συνιστώσες, τις h T xx T και h T xy T. Ας ε ρήσουμε ένα κύμα πό σης + που διαδίδεται στον z άξονα: h µν = h(t z ( που αντιστοι εί σε μια ρονοεξαρτώμενη μετρική: ds = dt + (1 + h(t zdx + (1 h(t zdy + dz (1.5 Θε ρούμε δύο δοκιμαστικά σ μάτια Α και Β στις έσεις x i A = (ct, 0, 0, 0 και x i = (ct, x B, y B, z B και ένα αρυτικό που διαδίδεται στον z άξονα. Αν τα σ μάτια αυτά είναι ακίνητα πρ τού περάσει το πρώτο μέτ πο του κύματος, α έ ουν τετρατα ύτητες u A = u B = (1, 0, 0, 0. Αφού τα σ μάτια είναι ε εύ ερα, α υπακούουν την ε δαισιακή εξίσ ση d dτ ui = Γ i µνu µ u ν d x i dτ = dx µ dx ν Γi µν dτ dτ (1.6 Στη ραμμικοποιημένη μετρική οι σ έσεις του Christoffel σε πρώτη τάξη της διαταρα ής παίρνουν την μορφή: δγ α µν = 1 ( hβµ ηαβ x + h βν ν x h µν (1.7 µ x α 0

25 Αντικα ιστώντας στην 1.6, παίρνουμε την αρ ική τιμή της επιτά υνσης: ( du α = d (δx i = δγ i dτ 0 dτ µνu µ u ν = δγ i 00 = 1 ( hβ0 ηαβ x + h β0 0 x h 00 0 x α όπου ρησιμοποιήσαμε το ε ονός ότι τα σ μάτια είναι αρ ικά ακίνητα. Όμ ς από την α μίδα ΤΤ είδαμε ότι h δ0 = 0 άρα ( du α = 0 dτ που σημαίνει π ς σε πρώτη τάξη ς προς τη διαταρα ή, η ρική απόσταση μεταξύ τ ν σ ματιδί ν A και B δεν έ ει α άξει ό του αρυτικού κύματος. Η ρο ρονική απόσταση όμ ς τ ν μεταξύ τ ν δύο σ μάτ ν έ ει α άξει. Για παράδει μα αν τα Α και Β είναι πάν στον άξονα x και απέ ουν απόσταση L 0 τότε το αντίστοι ο στοι είο μήκους είναι που αντιστοι εί στη μετρική 0 ds = dt + (1 + h(t zdx (1.8 g µν = [ ] h(t z επομέν ς η ρο ρονική απόσταση μεταξύ τους α είναι: L0 L0 L(t = ds 1/ = g αβ dx α dx β 1/ 0 0 L0 = g xx 1/ dx g xx (x = 0 1/ L 0 0 = [1 + 1 ] h(t z L 0 (1.9 άρα η μετα ο ή στην ρο ρονική απόσταση τ ν μαζών είναι δl(t 1 h(t z (1.30 L 0 που σημαίνει ότι τα αντεύεται με τη συ νότητα του αρυτικού κύματος όπ ς φαίνεται στην παραπάν εικόνα. Μια τυπική τα άντ ση αρυτικών κυμάτ ν προερ όμενη από μια μακρινή αστρονομική πη ή και αναμένουμε να είναι ανι νεύσιμη στη Γη είναι της τάξης δl/l

26 Σ ήμα 1.1: Απόστασης μεταξύ δοκιμαστικών σ μάτ ν που διαταράσσεται ό του αρυτικού κύματος 1.4 Πο ώσεις Ορίζουμε το διάνυσμα μεταξύ τ ν δύο ˆξ α που περι ράφει την ταυτό ρονη σ ετική τους απόσταση, στο σύστημα όπου τα σ μάτια αυτά είναι ακίνητα πριν από τη διέ ευση του αρυτικού κύματος. ˆξ α (t := ˆχ α B(t ˆχ α A(t = (0, x B, y B, z B. (1.31 Στο τοπικό αδρανειακό σύστημα η σ ετική επιτά υνση μεταξύ τ ν σ μάτ ν δίνεται από την εξίσ ση της ε δαισιακής απόκ ισης [3, 7] d ˆξα = c ˆRα dˆt βγδ û β ˆξγû δ, (1.3 όπου û β := dx α /(cdt είναι η τετρατα ύτητα στο σύστημα ηρεμίας τ ν δύο σ μάτ ν. Εάν επι έξουμε συντετα μένες στη α μίδα TT με τέτοιο τρόπο ώστε το πεδίο τ ν 4-τα υτήτ ν που απαιτείται ια να περι ράψει τις ΤΤ συντετα μένες να ταυτίζεται με τη 4-τα ύτητα στο αρ ικό σύστημα ηρεμίας, τότε R i0j0 = R T T i0j0 + O(h. (1.33

27 Χρησιμοποιώντας την παραπάν, α νοώντας όρους τάξης O(h, παίρνουμε d x i dt = 1 h T ij T x j, (1.34 t όπου οι παρά οι δευτέρας τάξης ρονική παρά ος h T ij T / t υπο ο ίζεται κατά μήκος της ε δαισιακής x = y = z = 0. Παραπάν δεν απαιτείται που ενά να υπο έσουμε ότι η διάδοση του κύματος ίνεται στην διεύ υνση +ẑ, επομέν ς αυτή η σ έση ισ ύει ια κύματα που ταξιδεύουν προς κά ε διεύ υνση. Έστ ότι ια ρόνους t 0 δεν υπάρ ουν κύματα (h T ij T = 0 στην περιο ή τ ν μαζών, x i (t = x i 0 = στα ερό, ια t 0. (1.35 Την t = 0 κάποια μέτ πα κυμάτ ν καταφ άνουν στην περιο ή. Περιμένουμε ότι x i (t = x i 0 + O(h ια t > 0, επομέν ς επειδή α νοούμε όρους O(h, μπορούμε να κάνουμε την α α ή: Ο οκ ηρώνοντας την 1.36, d x i dt = 1 h T ij T x j d x i t dt = 1 h T ij T x j t 0 (1.36 ( x i (t = δ ij + 1 ht ij T (t x j 0, t > 0 (1.37 Προσανατο ίζουμε τώρα τους άξονες στο σύστημά μας ώστε το κύμα να διαδίδεται στην +ẑ κατεύ υνση, ώστε το h T ij T (t να δίνεται από την 1.3. Επομέν ς το σύστημα εξισώσε ν 1.36 παίρνει τη μορφή: x(t = x (h +(tx 0 + h x (ty 0, y(t = y (h x(tx 0 h + (ty 0, z(t = z 0 (1.38a (1.38b (1.38c Από τις παραπάν εξισώσεις φαίνεται ότι το κύμα είναι ε κάρσιο στη διεύ υνση διάδοσής του, που σημαίνει ότι προκα εί σ ετικές μετατοπίσεις τ ν δοκιμαστικών σ ματιδί ν μόνο στο επίπεδο που είναι κά ετο με τη διεύ υνση διάδοσής του, δη αδή α έ ει τη μορφή της εικόνας 1..8 Ας ε ρήσουμε ένα τέ ειο δακτυ ίδι αρ ικά ακίνητ ν σ ματιδί ν στο επίπεδο x-y (1.3 με το κέντρο του δακτυ ιδιού να συμπίπτει με την αρ ή τ ν αξόν ν. 3

28 Σ ήμα 1.: Μια 3d αναπαράσταση ενός ε κάρσιου πο μένου αρυτικού κύματος στο ώρο [17] Αν r 0 η ακτίνα του δακτυ ιδιού, τότε οι συντετα μένες του κά ε σ ματιδίου στο δακτυ ίδι μπορούν να παραμετροποιη ούν με μια νία ϕ [0, π] x 0 = r 0 cos ϕ, y 0 = r 0 sin ϕ, z 0 = 0. (1.39 οι εξισώσεις 1.38 και 1.39 συνεπά ονται ότι η τρίτη συνιστώσα τ ν σ ματιδί ν παραμένει συνε ώς στα ερή z(t = 0, άρα μόνο οι x και y συντετα μένες τ ν σ μ=ατιδί ν α πρέπει να ανα υ ούν. Εάν το κύμα έ ει πό ση +, δη αδή είναι h T xx T ρησιμοποιώντας τις εξισώσεις 1.38 και 1.39 παίρνουμε ( x(t = r 0 cos ϕ h +(t ( y(t = r 0 sin ϕ 1 1 h +(t 0, h T T xy = 0 τότε, (1.40a. (1.40b Αρ ικά, πρ τού το κύμα φτάσει (h + (t 0 = 0, το δακτυ ίδι τ ν σ ματιδί ν είναι τε εί ς κυκ ικό. Πώς παραμορφώνεται η διάταξή τους με τη διέ ευση του κύματος; 4

29 Αντιμετ πίζοντας το σύστημα αυτό ς την παραμετρική μορφή μιας καμπύ ης με παράμετρο ϕ, μπορούμε διώ νοντας την εξάρτηση του ϕ να κατα ήξουμε πο ύ απ ά σε μια εξίσ ση της μορφής όπου x (a + (t + y = 1, (1.41 (b + (t a + (t := r 0 (1 + 1 ( h +(t, b + (t := 1 1 h +(t. (1.4 Οι εξισώσεις περι ράφουν μια έ ειψη με κέντρο την αρ ή του συστήματος συντετα μέν ν. Η έ ειψη έ ει ημιάξονες a + (t και b + (t, οι οποίοι είναι παρά η οι με τους άξονες x και y αντίστοι α. Εάν το h + (t είναι μια τα αντ τική συνάρτηση, η οποία α άζει το πρόσημό της σε κά ε τα άντ ση, τότε η παραμόρφ ση του αρ ικού κύκ ου σε έ ειψη ίνεται με τον εξής τρόπο: στο ρονικό διάστημα όπου είναι h + (t > 0, ο κύκ ος τεντώνεται στην διεύ υνση x και συμπιέζεται στην διεύ υνση y. Όταν είναι h + (t < 0 το τέντ μα ίνεται κατά μήκος του άξονα y και η συμπίεση κατά μήκος του x άξονα. Ας εστιάσουμε την προσο ή μας σε ένα μόνο σ μάτιο του δα τυ ιδιού. Η κίνησή του ς προς την αρ ή δίνεται από την 1.38 ια κάποια τιμή του ϕ. Ποιά είναι η μορφή της τρο ιάς του σ ματιδίου; Συνδυάζοντας την 1.40 με την 1.41 ώστε να απα α ούμε από το h + ρίσκουμε: x r 0 cos ϕ + y = 0, (1.43 r 0 sin ϕ Η παραπάν εξίσ ση μας έει ότι ότι ένα σ ματίδιο του δακτυ ιδιού κινείται ύρ από την αρ ική του έση κατά μήκος μιας ευ είας ραμμής. Με την ίδια ο ική εξετάζουμε και τα κύματα με πό ση όπου h + = 0, έ ουμε: x(t = r 0 (cos ϕ + 1 sin ϕh (t, (1.44a y(t = r 0 (sin ϕ 1 sin ϕh (t. (1.44b Εισά ουμε τις νέες συντετα μένες (x, y οι οποίες προέρ ονται από τις πα ιές με μια περιστροφή κατά νία α = 45 o ύρ από τον z άξονα. ( [ ] ( [ ] ( x cos α sin α x 1 1 x = = (1.45 y sin α cos α y 1 1 y 5

30 Σ ήμα 1.3: Η επίδραση ενός αρυτικού κύματος διαδιδόμενου στη διεύ υνση z σε μια σειρά από δοκιμαστικές μάζες στο x-y επίπεδο Ξανα ράφουμε την 1.44 ς προς τις νέες συντετα μένες (x, y, x(t = r 0 (sin ϕ + cos ϕ (1 + h (t, (1.46a y(t = r 0 (sin ϕ cos ϕ (1 h (t. (1.46b που δίνει την καμπύ η όπου x (a (t + y = 1, (1.47 (b (t a (t := r 0 (1 + 1 ( h (t, b (t := 1 1 h (t. (1.48 Οι εξισώσεις 1.47 και 1.48 έ ουν την ίδια ακρι ώς μορφή με αυτή τ ν εξισώσε ν 1.41 και 1.4. Αυτό σημαίνει ότι το αρ ικό κυκ ικό δακτυ ίδι παραμορφώνεται σε μια έ ειψη με κέντρο την αρ ή, με ημιάξονες a και b οι οποίοι είναι στραμμένοι κατά νία 45 o ς προς τους άξονες x και y αντίστοι α. Η διαφορά με τα η εκτρομα νητικά κύματα είναι ότι οι δύο ανεξάρτητες πο ώσεις διαφέρουν κατά μια περιστροφή 45 o και ό ι 90 o μεταξύ τους. Αυτό οφεί εται στο ε ονός ότι το h µν είναι τανυστής τάξης (δη αδή πίνακας, ενώ στον η εκτρομα νητισμό έ ουμε το A µ που είναι τανυστής τάξης 1 (δη αδή διάνυσμα. Η εκτρομα νητικά κύματα E x = E x cos θ + E y sin θ E y = E y cos θ E x sin θ Βαρυτικά κύματα h + = h + cos θ h sin θ h = h + cos θ + h + sin θ 6

31 Σ ήμα 1.4: Δεί νουμε π ς σημειακά σ ματίδια κατά μήκος ενός δακτυ ίου μετατοπίζονται ς αποτέ εσμα της α η επίδρασης με ένα αρυτικό κύμα διαδιδόμενο σε διεύ υνση κά ετη στο επίπεδο του δακτυ ίου. Το αριστερό σ ήμα αναφέρεται σε κύμα πό σης + ενώ το δεξί σε κύμα πό σης 7

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ανί νευση Βαρυτικών Κυμάτ ν Σ ήμα.1: Σ μάτια που α η επιδρούν πιο ασ ενικά φαίνεται ότι προέρ ονται από νεαρότερες στι μές του Σύμπαντος. Εν ένει, αρυτικά κύματα προερ όμενα από επο ές κοντά στην κ ίμακα του Planck μπορεί να είναι ορατά στο σημερινό σύμπαν. Υπάρ ουν πο ά κίνητρα ια την προσπά εια ανί νευσης αρυτικών κυμάτ ν και την επι υμία αύξησης της ακρί ειας τ ν ανι νευτών. Πρώτα από ό α σ εδόν ό α τα αστροφυσικά φαινόμενα εκπέμπουν αρυτικά κύματα, και μά ιστα τα ποιο ίαια από αυτά σε με ά ες εντάσεις. Σε ορισμένες περιπτώσεις τα αρυτικά κύματα μεταφέρουν π ηροφορίες τις οποίες δεν μπορούμε να πάρουμε από την η εκτρομα νητική ακτινο ο ία. Για παράδει μα, αρυτικά 8

33 κύματα φτάνουν σε εμάς απευ είας μετά από μια έκρηξη supernova ενώ αντί ετα η η εκτρομα νητική ακτινο ο ία υπόκειται πο απ ές σκεδάσεις από την ύ η που τον περι ά ει πρ τού φτάσει σε εμάς και έτσι πο ύτιμες π ηροφορίες ια την έκρηξη άνονται κατά τη διαδικασία. Ένα ά ο παράδει μα που υποδεικνύει την σημαντικότητα τ ν αρυτικών κυμάτ ν στην κοσμο ο ία είναι τα αρυτικά κύματα που προέρ ονται από το πρώιμο σύμπαν, κα ώς αυτό εί ε η ικία μό ις 10 5 s. Αυτά τα αρυτικά κύματα αποτε ούν τους κα ύτερους α ε ιοφόρος (?? ια τη με έτη του νεαρού σύμπαντος και μεταφέρουν το αποτύπ μα ά ν στης φυσικής σε ενέρ ειες πο ύ υψη ότερες από αυτές που μπορούμε να πετύ ουμε σήμερα με τους επιτα υντές..1 Παρατηρίσημα με έ η αρυτικών κυμάτ ν Στο προη ούμενο κεφά αιο κα ύψαμε πόσο διαφέρουν τα παρατηρίσημα με ά η του αρυτικού από του η εκτρομα νητικού πεδίου. Αυτά είναι τα με έ η που έ ουμε να παρατηρίσουμε όταν έ ουμε να ανη νεύσουμε αρυτικά κύματα: h + (t, h (t, φάση(t: το π άτος, την πό ση τ ν κυμάτ ν και τη φάση της πό σης συναρτήσει του ρόνου. Αυτά τα με έ η περιέ ουν τις περισσότερες π ηροφορίες ια τα αρυτικά κύματα. θ, ϕ: τη διεύ υνση της πη ής στον ουρανό (εκτός από παρατηρήσεις του στο αστικού υπο ά ρου. Από αυτά είναι εμφανές ότι η ανί νευση της αριτυκής ακτινο ο ίας δεν είναι ίδια με την ανί νευση της η εκτρομα νητικής. Στην περίπτ ση της Η/Μ αστρονομίας μπορεί σ εδόν πάντα κανείς να ενισ ύσει την ακτινο ο ία, ενώ στην περίπτ ση της αστρονομίας τ ν αρυτικών κυμάτ ν κάποιος πρέπει να ακο ου ήσει της τα αντώσεις της αρυτικής ακτινο ο ίας. Ουσιαστικά στον Η/Μ ανη νεύουμε την ισ ύ της ακτινο ο ίας ενώ στην αρυτική ακτινο ο ία πρέπει να ανι νεύσουμε την έμεση δράση του κύματος στον ώρο. Ας εξετάσουμε τι μπορούμε να συμπεράνουμε από μια ανί νεση. Εάν το αρυτικό κύμα έ ει μικρή διαρκεια, της τάξης του δεί ματος μιας ροής δει ματο ηψίας, τότε κά ε ανη νευτής α δώσει συνή ος έναν αρι μό, το οποίο είναι το π άτος του κύματος που προ ά εται στον ανι νευτή (μια συνδιασμένη προ ο ή τ ν πο ώσε ν h + και h. Εάν το κύμα κρατάει περισσότερο από ένα απ ό δεί μα, τότε η π ηροφορία αυτή α είναι μια συνάρτηση στο ρόνο. 9

34 Εάν το σήμα κρατάει σημαντικά περισσότερο ρόνο, τότε και το π άτος και η φάση του κύματος μπορούν να επιρρεαστούν από την κίνηση του ανι νευτή, ο οποίος κινείται και περιστρέφεται μαζί με την τρο ιά της Γής. Αυτό προκα εί μια διαμόρφ ση στο π άτος και τη φάση που δεν είναι ε ενής στο σήμα. Εάν η εσ τερική μορ ή του σήματος μπορεί να κατανοη εί, τότε η διαμόρφ ση αυτή μπορεί να ρησιμοποιη εί ια τον προσδιορισμό της έσης της πη ής. Ξε ρίζουμε τρία διαφορετικά είδη σήματος από τη σκοπιά του παρατηρητή. (i Πα μοί (bursts έ ουν τόσο μικρή διάρκεια όπου η α οί ση στο σήμα ό της κίνησης του ανη νευτή δεν είναι παρατηρίσημη. Κατά τη διάρκεια της παρατήρισης ο ανι νευτής είναι ουσιαστικά στατικός. Στην περίπτ ση αυτή ρειαζόναστε του ά ιστον 3 και ιδανικά 4 ανι νευτές ια να προσδιορήσουμε την έση της πη ής με τη μέ οδο του τρι νισμού και τις δύο πο ώσεις h + και h. Ένα σύστημα ενη νευτών είναι απαραίτητο ια την εξα ή ό ν τ ν π ηροφοριών σε αυτή την περίπτ ση. (ii Συνε ές σήμα εξ ορισμού διαρκεί αρκετά ώστε η κίνηση του ανι νευτή να αποτυπώνεται στη διαμόρφ ση του π άτους και της φάσης του σήματος. Στην περίπτ ση αυτή ε ρούμε ένα απ ό μοντέ ο ια το ε ενές ( εσ τερικό σήμα και μπορούμε να ρησιμοποιήσουμε τις π ηροφορίες που είναι αποτυπ μένες στο σήμα (την διαμόρφ ση του π άτους και της φάσης ια να συμπεράνουμε τη έση και τα π άτη πό σης της πη ής στον ουρανό. Ένας και μόνο ανι νευτής μπορεί αποτε εσματικά να κάνει αυτή τη δου ειά από μόνος του. Ωστόσο, προκειμένου να είμαστε έ αιοι ότι το κατα ραφόμενο σήμα είναι πρά ματι τέτοιο, είναι σημαντικό να παρατηρι εί από έναν δεύτερο ή και τρίτο ανι νευτή. (iii Στο αστικά υπό α ρα μπορούν να ανι νευ ούν όπ ς ο όρυ ος σε έναν ανι νευτή. Εάν ο όρυ ος ενός ανι νευτή είναι αρκετά κατανοητός, αυτός ο παραπ ήσιος όρυ ος μπορεί να ανι ευ εί ς στο αστικό υπό α ρο. Αυτό είναι αρκετά ανά ο ο με τον τρόπο ανί νευσης του μικροκυματικού υπο ά ρου. Μια πιο έμπιστη μέ οδο ια την ανί νευση της στο αστικής ακτινο ο ίας είναι η διαστεύρ ση μεταξύ δύο ανι νευτών, οι οποίοι υπόκεινται στον ίδιο κοσμο ο ικό όρυ ο α α έ ουν διαφορετικό ε ενή όρυ ο. Η διασταύρ ση αυτή εξα είφει πο ύ από τον όρυ ο του ανι νευτή και ειτουρ εί κα ύτερα όταν οι ανι νευτές απέ ουν μεταξύ τους ι ότερο από ένα μήκος κύματος της ανι νευόμενης αρυτικής ακτινο ομίας. 30

35 Εν ενη η ανί νευση αρυτικών κυμάτ ν απαιτεί την συνδιαδμένη παρατήριση από ένα σύστημα ανι νευτών, τόσο ια την αύξηση της εμπιστοσύνης της παρατήρησης όσο και ια την παρο ή ακρι ών π ηροφοριών σε ά α φυσικά παρατηρίσημα με έ η (κατεύ υνση, π άτος κτ.. Ανι νευτές δέσμης (Συμ ο όμετρα laser Οι ανι νευτές αυτοί κάνουν ρήση δεσμών laser ια να παρακο ου ούν την μετα ο ή στην πρότυπη απόσταση μεταξύ ζεύ ους ε ευ έρ ν μαζών (οι οποίες αι ρούνται με τη οή εια στήριξής που εξουδετερώνει τα αντώσεις που προέρ ονται από τον εξ τερικό ώρο κατά τη διέ ευση ενός αρυτικού κύματος. Είναι ουσιαστικά συμ ο όμετρα Michelson με ά ης κ ίμακας. Ανι νευτές της μορφής αυτής είναι αυτή τη στι μή σε ειτουρ ία υπό τη διεύ υνση διαφόρ ν ομάδ ν πα κοσμί ς. Ένα π εονέκτημα τ ν ανι νευτών αυτών είναι ότι η διαφορά φάσης στη δέσμη του φ τός μπορεί να ίνει με α ύτερη απ ά με α ώνοντας τους ρα ίονες του ανι νευτή. Ένας ανι νευτής με ραxίoνες μήκους 4km ανταποκρίνεται σε ένα αρυτικό κύμα π άτους με δl gw 1 hl m (.1 όπου δl gw είναι η παραμόρφ ση στο ρα ίονα του ανι νευτή. Υπάρ ουν τριών ειδών πη ές ορύ ου: ερμικός, και δονητικός. Για να κατα ά ουμε τον τρόπο με τον οποίο περιορίζονται, είναι σημαντικό να σκεφτούμε σε ένοιες του ώρου συ νοτήτ ν. Παρατηρήσεις με επί ειους ανι νευτές α ίνονται πι ανός στο φάσμα τ ν 10Hz με 10kHz. Διαταρ ές ορύ ου έξ από την περιο ή ανί νευσης μπορούν απ ά να α νοη ούν. Ο στό ος του ε έν ου ορύ ου η μεί ση τ ν διαταρα ών εντός του παρατηρίσημου φάσματος. Θερμικός όρυ ος. Τα συμ ο όμετρα δου εύουν σε ερμοκρασία δ ματίου και δονήσεις στα κάτοπτρα και στα αναρτημένα εκρεμή μπορούν να επισκιάσουν τα αρυτικά κύματα. Για να ε ένξουν αυτό το είδος 3 Θυμίζουμε εδώ ότι το π άτος h στο οποίο αναφερόμαστε είναι αδιάστατο και αναφέρεται στο μέ ε ος του φαινομένου παραμόρφ σης του ώρου και τ ν αποστάσε ν με τη διέ ευση του αρυτικού κύματος. Επομέν ς το h είναι το κ άσμα της παραμόρφ σης - του τεντώματος του ώρου δl L. 31

36 ορύ ου, οι μη ανικοί εκμετα εύονται το ε ονός ότι ο ερμικός όρυ ος έ ει το μέ ιστο π άτος του στις ιδιοσυ νότητες Θόρυ ος Poisson (shot noise Αυτός είναι ο κύριος περιορισμός στην ευαισ ησία σε υψη ότερες συ νότητες, Hz. Έ ει να κάνει με τυ αίες διακυμάνσεις στην ένταση του φ τός που μπορεί να εμφανίζονται ς σήμα αρυτικού κύματος. Όσο περισσότερα φ τόνα ρησιμοποιούνται, τόσο πιο ομα οί α είναι οι κροσσοί συμ ο ής. Μπορουε εύκο α να υπο ο ίσουμε αυτό τον ε ενή όρυ ο. Εάν N είναι το π ή ος τ ν φ τονί ν που εκπέμπονται από το laser κατά τη διάρκεια μιας μέτρησης, τότε όπ ς και κά ε τυ αία διαδικασία ια τη διακύμανση ισ ύει δn N. Εάν ρησιμοποιούμε φ ς με μήκος κύματος λ (π υπέρυ ρο με λ 1µm μπορούμε να αναμένουμε να κατα ράψουμε το μήκος κύματος αυτό με ακρί εια δl shot λ π (. N Για να μετρήσουμε ένα αρυτικό κύμα συ νότητας f, πρέπει να παίρνουμε του ά ιστον f μετρήσεις το δευτερό επτο, ώστε να μπορούμε να συσσ ρεύουμε φ τόνια ια ρόνο. Εάν P είναι η ισ ύς της δέσμης, f τότε N = P hc (.3 1 λ f Μπορεί εύκο α κανείς να δεί ότι προκειμένου το δl shot να είναι ίδιο με to δl gw στην.1, ρειαζόμαστε φ ς ισ ύος περίπου 600kW. Κανένα συνε ές laser δεν είναι ικανό να παρέ ει τέτοια ισ ύ στο συμ ο όμετρο. Το κ ειδί ια την επίτευξη τέτοιας ισ ύος μέσα στους ρα ίονες του ανι νευτή είναι μια τε νική που ονομάζεται ανακύκ ση ισ ύος [] όπου με την προσ ήκη κατόπτρ ν κατά μήκος τ ν ρα ιόν ν αυξάνουν το ενερ ό μήκος που διανύει η δέσμη εξισσοροπόντας ταυτό ρονα και τις ενερ ειακές απώ ειες ό δια άσε ν. Δονήσεις εδάφους και μη ανικές δονήσεις είναι μια ά η πη ή ορύ ου που πρέπει να ε εν εί. Τυπικές σεισμικές δονήσεις μειώνονται απότομα με τη συ νότητα. Συνεπώς αυτό αποτε εί πρό ημα κυρί ν κάτ από τα 100Hz. Τα αναρτημένα εκρεμμή είναι εξαιρετικά μη ανικά φί τρα ια συ νότητες υψη ότερες της φυσικής τους συ νότητας. Οι αναρτημένοι σ ήνες (στους οποίους ταξιδεύει η δέσμη περι αμ άνουν πο απ ά εκρεμή, κά ε ένα με συ νότητα ύρ στο 1Hz. Αυτό προσφαίρει μια ρή ορη ακύρ ση του ορύ ου πάν από το 1Hz. Το φάσμα τ ν συμ ο ομέτρ ν κανονικά εμφανίζει ένα απότομο ήμα στο αμη ής συ νότητας υπό α ρο: αυτό είναι το αναμενόμενο π άτος του δονητικού ορύ ου. 3

37 Λειτουρ ία Μια δέσμη laser ρίζεται και κατευ ύνεται στου δύο ρα ίονες του ανι νευτή οι οποίοι έ ουν κατασκευαστεί ώστε να έ ουν το ίδιο μήκος. Το φ ς ανακ άται σε δοκιμαστικές μάζες με κατοπτρική επιφάνεια που στα άκρα τ ν δύο ρα ίον ν. Στη συνέ εια το ανακ ώμενο φ ς επανενώνονται και οι κροσσοί συμ ο ής που παρατηρούνται ανα ύονται ια ενδείξεις μετα ο ής της ρο ρονικής απόστασης τ ν δοκιμαστικών μαζών. Σ ήμα.: Σ ηματική αναπαράσταση ανι νευτή συμ ο όμετρου laser. Στα μακρά (ίδιου μήκους σκέ η του ανι νευτή, το φ ς ανακ άται επανει ημμένα, αυξάνοντας έτσι το ενερ ό μήκος του ανι νευτή. Επειδή τα δύο σκέ η φτιά νονται ώστε να έ ουν με ά ο μήκος είναι δυνατό να ανι νεύσουν εξαιρετικά μικρές μετα ο ές σε αποστάσεις. Θα εξετάσουμε επτομερώς π ς μπορούμε με τη ρήση φ τός να μετρήσουμε την απόσταση μεταξύ δύο σ μάτ ν που εκτε ούν ε εύ ερη πτώση. Επειδή τα σ μάτια είναι ε εύ ερα, και υπο έτουμε ότι είναι μακριά το ένα από το ά ο, μπορούμε να ρησιμοποιήσουμε το ΤΤ σύστημα συντετα μέν ν. Ας ε ρήσουμε ια απ ότητα ένα κύμα που ταξιδεύει κατά την διεύ υνση του άξονα z έ οντας κα αρή + πό ση ώστε η μετρική στην περιο ή όπου διαδίδεται να δίνεται από 33

38 την ds = dt + [1 + h + (t z] dx + [1 h + (t z] dy + dz (.4 Ας υπο έσουμε πά ι, ια απ ότητα, ότι δύο σώματα ρίσκονται στον άξονα x, το ένα τοπο ετημένο στην αρ ή x = 0 και το ά ο στη έση x = L. Στο σύστημα ΤΤ, τα σ μάτια παραμένουν στις έσεις αυτές συνέ εια. Για να πρα ματοποιη εί μια μέτρηση, το σ μάτιο στην αρ ή στέ νει ένα φ τόνιο κατά μήκος του άξονα x προς το δεύτερο σώμα, το οποίο το ανακ ά προς τα πίσ. Το πρώτο σώμα μετρά τον από υτο ρόνο (proper time που μεσο ά ησε μεταξύ τ ν ε ονότ ν της εκπομπής και της ήψης. Επειδή το φ τόνιο που ταξιδεύει πάν στον άξονα x κινείται πάν σε μια ε δαισιακή (ds = 0, με dy = dz = 0, α έ ει μια ενερ ό τα ύτητα ( dx 1 =. (.5 dt 1 + h + Παρό ο που δεν ισούται με τη μονάδα, αυτή είναι απ ά τα ύτητα τ ν συντετα μέν ν δεν έρ εται σε ρήξη με τη σ ετικότητα. Ένα φ τόνιο που εκπέμφ ηκε την t start από την αρ ή φτάνει μια συντετα μένη x σε ρόνο t(x. Το φ τόνιο φτάνει στην δεύτερη μάζα σε ρόνο που παίρνουμε, ο οκ ηρώνοντας την ενερ ό τα ύτητα του φ τός (.5: t far = t start + L 0 [1 + h + (t(x] 1/ dx (.6 Αφού το h + είναι μικρό, μπορούμε να αναπτύξουμε την ρίζα, σε τάξη O( h, έτοντας επιπ έον t(x = t start + x: t far = t start + L + 1 L 0 h + (t start + xdx (.7 Το φ ς ανακ άται προς τα πίσ και όμοιο επι είρημα με παραπάν μπορούμε να κάνουμε ια την διαδρομή επιστροφής στην πρώτη μάζα: t return = t start + L + 1 L 0 h + (t start + xdx + 1 L 0 h + (t start + L + xdx (.8 Επειδή η παραπάν εξαρτάται από το ρόνο t στο TT σύστημα συντετα μέν ν, η εξίσ ση αυτή μας δίνει μια μετρήσιμη ποσότητα. 34

39 Εάν το μήκος L είναι μικρό συ κριτικά με το μήκος κύματος του αρυτικού κύματος, ή ο ρόνος επιστροφής t return είναι μικρός σε σ έση με την περίοδο του κύματος, το h + είναι ουσιαστικά στα ερό στη διαδρομή του φ τονίου. Τότε ο ρόνος επιστροφής είναι απ ά ανά ο ος της από υτης απόστασης L όπ ς υπο ο ίζεται από τη μετρική. Προκειμένου να ρησιμοποιη εί η σ έση αυτή ια τον υπο ο ισμό της μετρικής της διαταρα ής το πιο απ ό που μπορούμε να κάνουμε είναι να εξετάσουμε το ρυ μό μετα ο ής του ρόνου επιστροφής t return με το πέρασμα του αρυτικού κύματος. dt return dt start = [h +(t start + L h tstart ] (.9 Παρατηρούμε ότι ο ρυ μός μετα ο ής του ρόνου επιστροφής εξαρτάται μόνο από τη μετρική του κύματος τη στι μή της εκπομπής του φ τονίου και της επιστροφής του στο σημείο αυτό μετά την ανάκ αση. Συ κεκριμένα το π άτος του αρυτικού κύματος τη στι μή της ανάκ ασης δεν παίζει κανένα ρό ο. Εάν τώρα το σήμα που στέ νεται από την αρ ή δεν είναι ένα μοναδικό φ τόνιο α ά ένα συνε ές η εκτρομα νητικό κύμα συ νότητας ν, τότε η παρά ος του ρόνου επιστροφής ς προς το ρόνο εκκίνησης δεν είναι παρά ο ό ος της συ νότητας της δέσμης τη στι μή επιστροφής προς τη συ νότητα της δέσμης τη στι μή της εκπομπής. dt return dt start = ν return ν start. (.10 Επομέν ς αν με ετάμε τις α α ές στην ερυ ρομετατόπιση της δέσμης που επιστρέφει, μπορούμε άμεσα να το αντιστοι ίσουμε με α α ές στο π άτος του αρυτικού κύματος. Στην (?? α ά ουμε την αντίστοι η σ έση ια τη ενική περίπτ ση όπου το κύμα έ ει τυ αία διεύ υνση ς προς τον προσανατο ισμό τ ν πη ών. 35

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Παρα ή Βαρυτικών Κυμάτ ν Θα συζητήσουμε τώρα ια το είδος τ ν πη ών που οδη ούν στην παρα ή αρυτικών κυμάτ ν. Θα δούμε ότι στην προσέ ιση όπου ε ρούμε την πη ή αρκετά μακριά από τον παρατηρητή, το αρυτικό πεδίο κα ορίζεται από τη δεύτερη ρονική παρά ο της τετραπο ικής ροπής της πη ής. Με ά α ό ια, η αρυτική ακτινο ο ία είναι κυρί ς ακτινο ο ία τετραπό ου. Αντί ετα, στον η εκτρομα νητισμό κυρίαρ η είναι η ακτινο ο ία διπό ου [16]. 3.1 Προσέ ιση μακρινού πεδίου Εξετάζουμε τη ραμμικοποιημένη εξίσ ση πεδίου 1.15 στην ΤΤ α μίδα, h µν = 16πG c 4, µ h µν = 0 Για δεδομένο T µν η ενική ύση σε αυτή την μη ομο ενή εξίσ ση είναι η ενική ύση στην ομο ενή κυματική εξίσ ση (επα η ία επίπεδ ν αρμονικών κυμάτ ν συν μια ειδική ύση της μη ομο ενούς εξίσ σης. Μια τέτοια ειδική ύση μπορεί να ραφεί αμέσ ς σε ανα ο ία με το κα υστερημένο δυναμικό ( [16] chap. 10.: είναι η ύση κα υστερημένου δυναμικού: h µν (t, r = 1 ( 16πG Tµν (ct r r, r d 3 r. (3.1 4π R c 3 4 r r Παρα ίζοντας την παραπάν δύο φορές επα η εύεται εύκο α ότι ικανοποιεί την

41 Η ενική ύση στην μη ομο ενή κυματική εξίσ ση δίνεται, α ροίζοντας σε μια αυ αίρετη επα η ία επίπεδ ν αρμονικών κυμάτ ν που ικανοποιούν την ομο ενή εξίσ ση ( [9] chap.4. Εάν δεν υπάρ ουν εισερ όμενα κύματα από το άπειρο, μόνο η 3.1 δίνει φυσική ύση. Θα εξετάσουμε τώρα τη ύση μακριά από την πη ή. Για να το κάνουμε αυτό, υπο έτουμε ότι ο T µν είναι διάφορος του μηδενός μόνο σε μια συμπα ή περιο ή του ώρου. Μπορούμε έτσι να φράξουμε την περιο ή αυτή από μια σφαίρα K R ακτίνας R ύρ από την αρ ή ( ε ρήσαμε την αρ ή μέσα στην πη ή, έτσι ώστε T µν = 0 έξ από την σφαίρα και πάν στο σύνορό της. Ενδιαφερόμαστε ια το πεδίο h µν στο σημείο r με r R. Σ ήμα 3.1: Ψά νουμε το πεδίο μακριά από την πη ή. Επομέν ς r r = r + r r r cos θ = r ( = r 1 + O(r /r. 1 r r cos θ + ( r r (3. Αντικα ιστώντας την 3. στην 3.1 παίρνουμε: ( h µν (t, r = 4G T µν (ct r 1 + O(r /r, r ( d c 4 R 3 r 1 + O(r /r, 3 r. (3.3 r Εάν r R, ο O(r /r όρος μπορεί να α νοη εί και μπορούμε να ε ρήσουμε 37

42 το r στα ερό κα ώς ίνεται η ο οκ ήρ ση ς προς r R σε ό η τη περιο ή. h µν (t, r = 4G T c 4 µν (ct r, r d 3 r. (3.4 r R 3 Στην προσέ ιση αυτή το h µν εξαρτάται από το μέτρο του r. Αυτό ιατί τα σφαιρικά κύματα σε αυτή την προσέ ιση μπορούν να ε ρη ούν επίπεδα. Θα εξετάσουμε τώρα ποιες ιδιότητες τ ν πη ών κα ορίζουν τοh µν σε αυτή την προσέ ιση. Εισά ουμε ια το σκοπό αυτό τις πο υπο ικές ροπές της πη ής. Ορίζονται σε ανα ο ία με τον η εκτρομα νητισμό, με την πυκνότητα φορτίου να αντικα ίσταται από την πυκνότητα ενέρ ειας T 00 = T0 0 = T 00. M(t = T 00 (ct, rd 3 r μονοπο ική ροπή, K R D k (t = T 00 (ct, rx k d 3 r διπο ική ροπή, K R I kl (t = T 00 (ct, rx k x l d 3 r K R τετραπο ική ροπή... Να παρατηρήσουμε ότι κά ε τετραπο ική ροπή κα ορίζεται από το άι νο μέρος της και τετραπο ικές ροπές αμη ότερης τάξης. Υπο ο ίζουμε την πρώτη και δεύτερη ρονική παρά ο τ ν τετραπο ικών ροπών. Θα ρησιμοποιήσουμε την εξίσ ση συνέ ειας: µ T µν = c4 16πG µ h µν = c4 16πG µh µν = 0 (3.5 Βρίσκουμε d dt Ikl (t = c 0 T 00 (ct, rx k x l d 3 r = c i T i0 (ct, rx k x l d 3 r K R K [ R ( = c i T i0 (ct, rx k x l ] T i0 (ct, rδ i k x l T i0 (ct, rx k δi l d 3 r. K R (3.6 Το πρώτο ο οκ ήρ μα μπορεί, με τη οή εια του ε ρήματος Gauss να ξανα ραφτεί ς επιφανειακό: ( i T i0 (ct, rx k x l d 3 r = T i0 (ct, rx k x l d 3 f i K R K R 38

43 όπου το df i είναι το στοι είο επιφανείας στην K R. Κα ώς η K R περικ είει ό ες τις πη ές, ο T µν είναι μηδέν πάν στο σύνορο K R, επομέν ς το τε ευταίο ο οκ ήρ μα, και άρα ο πρώτος όρος στην 3.6 μηδενίζεται. Άρα: d dt Ikl (t = c K R (T k0 (ct, rx l + T l0 (ct, rx k d 3 r. (3.7 Όμοια ρίσκουμε και τη δεύτερη παρά ο: d dt Ikl (t = c ( 0 T k0 (ct, rx l + 0 T l0 (ct, rx k d 3 r K R ( = c i T ki (ct, rx l i T li (ct, rx k d 3 r K R [ ( = c i T ki (ct, rx l ( + T ki (ct, rδ i l i T li (ct, rx k + T li (ct, rδ i k K R = 0 + c T kl (ct, rd 3 r 0 + c T lk (ct, rd 3 r. K R K R ] d 3 r. και επειδή T µν = T νµ d dt Ikl (t = c K R T lk (ct, r d 3 r (3.8 Εισά οντας αυτό το αποτέ εσμα στην 3.4 ρίσκουμε ότι στην προσέ ιση μακρινού πεδίου: h µν (t, r = 4G T c 4 µν (ct r, r d 3 r = 4G ( 1 d I kl t r. r R c 3 4 r c dt c Άρα η ύση της διάδοσης ενός αρυτικού κύματος μακριά από την πη ή δίνεται συναρτήσει της δεύτερης ρονικής παρα ώ ου της τετραπο ικής ροπής της πη ής. h µν (t, r = G c 6 r ( d I kl t r. dt c Επομέν ς αυτή είναι και η μόνη ιδιότητα της πη ής που μπορεί να μετρήσει και ένας ανι νευτής μακριά από την πη ή, η δεύτερη ρονική παρά ος της τετραπο ικής ροπής σε έναν κα υστερημένο ρόνο. Υπό αυτή την έννοια, η αρυτική ακτινο ο ία είναι ακτινο ο ία τετραπό ου ενώ η η εκτρομα νητική ακτινο ο ία είναι ακτινο ο ία διπό ου. 39

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ενέρ εια τ ν Βαρυτικών Κυμάτ ν 4.1 Μη τοπική ενέρ εια στη Γενική Σ ετικότητα Η ενερ ειακή πυκνότητα ενός Νευτώνειου αρυτικού πεδίου δίνεται από την ϵ Newt ( x = 1 [ ] Φ( x 1 [ ] = g( x (4.1 8πG 8πG Όπου το Φ( x είναι το Νευτώνειο αρυτικό δυναμικό και g( x είναι το Νευτώνειο αρυτικό πεδίο. Η σ έση αυτή είναι ανά ο η με τη ενερ ειακή πυκνότητα του η εκτρικού πεδίου που ξέρουμε από τον η εκτρομα νητισμό. Η ενερ ειακή πυκνότητα ια ένα αρυτικό πεδίο έ ει την ίδια μορφή, εκτός από το πρόσημο το οποίο δη ώνει της αρυτικής δύναμης. Επειδή η αρύτητα είναι μια ε κτική δύναμη, η ενέρ εια που μιας ορ αν μένης κατανομής μαζών είναι μικρότερη από αυτήν όταν οι μάζες είναι διάσπαρτες. Τέτοιες σ έσεις όμ ς δεν παίρνουμε στη ενική σ ετικότητα και υπάρ ει ένας εμε ιώδης ό ος ια τον οποίο δεν υπάρ ει έννοια τοπικής αρυτικής ενερ ειακής πυκνότητας στη ενική σ ετικότητα. Αυτός έ ει να κάνει με τη σύνδεση μεταξύ διατηρούμεν ν ποσοτήτ ν και και ρο ρονικές συμμετρίες. Η διατηρούμενη ενέρ εια και στροφορμή της τρο ιάς ενός σ ματιδίου σε μια Schwarzchild ε μετρία έρ εται ς άμεσο επόμενο τις συμμετρίες τ ν στροφών και ρονικών μετα έσε ν. Η διατηρούμενη ενέρ εια και στροφορμή του η εκτρομα νητικού πεδίου μπορεί να ε ρη εί ς συνέπεια συμμετριών στο επίπεδο ρο ρόνο τις οποίες υπο έτουμε στη ε ρία του Maxwell. Όμ ς στη ενική σ ετικότητα δεν ε ρούμε καμία στα ερή ρο ρονική συμμετρία. Συνεπώς τέτοια επι ειρήματα δεν μπορούν να τε ούν, αφού είναι μια ε ρία ρο ρονικής ε μετρίας, και δεν υπάρ ουν συμμετρίες που να αρακτηρίζουν ό ο το ρο ρόνο. Η απουσία τοπικής αρυτικής ενέρ ειας στη ενική 40

45 σ ετικότητα είναι μέρος μιας σημαντικής α α ής στον τρόπο εώρησης της αρύτητας ς έννοια άμεσα συνυφασμένη με αυτή της καμπυ ότητας του ρο ρόνου και ό ι ς δυναμικό πεδίο που απ ά δρα μέσα στο ρο ρόνο. 4. Τανυστής ενέρ ειας-ορμής Βαρυτικών Κυμάτ ν στην προσέ ιση μικρού μήκους κύματος Παρό ο που δεν υπάρ ει έννοια τοπικής ενέρ ειας ια ένα αρυτικό πεδίο, η ο ική ενέρ εια ηρεμίας (μετάφραση του (mass-energy του ρο ρόνου αποδεικνύεται ότι έ ει νόημα όταν ο ώρος είναι ασυμπτ τικά επίπεδος. Συ κεκριμένο παράδει μα αυτού είναι όταν ορίζουμε την μάζα μιας με ανής οπής από τη ασυμπτ τική συμπεριφορά στην Schwarzchild ή Kerr ε μετρία. Μεταξύ τ ν δύο άκρ ν της ο ικής ενέρ ειας του σύμπαντος και της αδυναμίας ορισμού τοπικής ενέρ ειας υπάρ ει η προσε ιστική έννοια της ενερ ειακής πυκνότητας ενός ασ ενούς αρυτικού κύματος που έ ει μήκος κύματος λ, το οποίο είναι πο ύ μικρότερο από την κ ίμακα καμπυ ότητας R του ρο ρόνου στο υπό α ρο μέσα στον οποίο διαδίδεται. Η ενέρ εια αυτή δεν είναι ακρι ώς τοπική. Είναι μια μέση ενερ ειακή πυκνότητα πάν σε ρο ρονικούς ό κους τ ν οποί ν οι διαστάσεις είναι με α ύτερες από λ α ά πο ύ μικρότερες από R. Οι προσε ίσεις που συμμετέ ουν στον ορισμό αυτής της ενερ ειακής πυκνότητας αυξάνονται σε ακρί εια κα ώς το λ/r ίνεται μικρό. Για παράδει μα, μπορούν να ίνουν πο ύ ακρι είς στον υπο ο ισμό της ενέρ ειας του άνεται από μια πη ή αρυτικών κυμάτ ν απ ά υπο ο ίζοντας πο ύ μακριά από την πη ή όπου ο ώρος είναι προσε ιστικά επίπεδος και το R μπορούμε να το ε ρήσουμε άπειρο. Παρακάτ α υπο ο ίσουμε την ενερ ειακή πυκνότητα μικρού μήκους κύματος αρυτικής ακτινο ο ίας. Όμ ς μπορούμε πρ τού μπούμε σε αυτή την διαδικασία να προ έψουμε τη μορφή της με μερικά επι ειρήματα διαστατικής ανά υσης. Αν υπο έσουμε ότι έ ουμε ένα κύμα της μορφής f(t z = A sin [ ω(t z ], αναμένουμε όπ ς και στην μη ανική ή στον η εκτρομα νητισμό η ενερ ειακή πυκνότητα να είναι ανά ο η του τετρα ώνου του π άτους του κύματος A. Η ενερ ειακή [ πυκνότητα έ ει μονάδες (μήκους σε μονάδες όπου G = c = 1. Είναι (ενέρ εια/(μήκος 3 M/(LT, α ά η μάζα και ο ρόνος έ ουν μονάδες μήκους σε αυτό το σύστημα ]. Η μόνη ποσότητα με διαστάσεις μήκους στην μετρική ενός επίπεδου αρυτικού κύματος με συ νότητα ω είναι το αντίστροφο της συ νότητας αυτής. Επομέν ς, 41

46 υπο έτουμε ότι η ενερ ειακή πυκνότητα πρέπει να είναι ανά ο η του ω α. Όταν ύσαμε τις εξισώσεις του Einstein ια το ραμμικοποιημένο αρυτικό πεδίο στο Κεφά αιο 3 δεν ανησυ ούσαμε ια το αν η ενέρ εια του κύματος προκα εί πρόσ ετη καμπύ ση του ρο ρόνου και απ ά πήραμε μια στα ερή επίπεδη μετρική στο υπό α ρο. Αυτό ήταν συνεπές με την προσέ ιση, ιατί ύναμε τις εξισώσεις του Einstein σε πρώτη ( ραμμική τάξη του π άτους του αρυτικού κύματος. Αναμένουμε η ενερ ειακή πυκνότητα του κύματος να είναι δεύτερης τάξης ς προς το π άτος του αρυτικού κύματος όπ ς δείξαμε διαστατικά παραπάν. Η ενερ ειακή πυκνότητα οιπόν ενός κύματος α μπορούσε να α νοη εί σε ραμμική προσέ ιση πρώτης τάξης όμ ς η ενέρ εια τ ν κυμάτ ν ίνεται πη ή καμπυ ότητας σε προσε ίσεις ανώτερης τάξης. Γράφοντας τις εξισώσεις του Einstein στο κενό σε προσέ ιση με α ύτερης τάξης, α είμαστε σε έση να προσδιορίσουμε τον ενερ ό τανυστή ενέρ ειας ορμής τ ν αρυτικών κυμάτ ν. Οι εξισώσεις του Einstein ια τη μετρική g αβ (x στην απουσία πη ών ίνεται ακρι ώς: R αβ (g = 0 (4. Έστ R η τυπική ακτίνα καμπυότητας του υποκείμενου ώρου, ƛ το τυπικό μει μένο μήκος κύματος (λ/π και A το π άτος του αρυτικού κύματος. Απαιτούμε να ικανοποιούνται ταυτο ρόν ς οι συν ήκες A 1 και ƛ/R 1. Η καμπυ ότητα του υπο ά ρου μπορεί να οφεί εται αποκ ειστικά σε κύματα ή μερικώς σε κύματα και μερικώς σε κοντινή ύ η και ά α πεδία. Η ανά υση ίνεται σε σύστημα αναφοράς αρ ικά α μονομημένο στο ώρο με την έννοια ότι ο δια ρισμός της μετρικής στη συνεισφορά του υποκείμενου ώρου και της ίδιας της διαταρα ής α είναι εφικτή. h αβ : g αβ (x = g (B αβ (x + h(1 αβ (x + h( αβ (x +... = 0 (4.3 Θε ρούμε ότι ο υποκείμενος ώρος είναι είος και ότι η διαταρα ή έ ει μήκος κύματος λ πο ύ μικρότερη της κ ίμακας R στην οποία η μετρική του υποκείμενου ώρου μετα ά εται σημαντικά. Μπορούμε κατά συνέπεια να ισ υριστούμε ότι ο g (B αβ α περι ράφει προσε ιστικά επίπεδο ώρο, α ά ε αφρά καμπυ ομένο ό της ενέρ ειας του αρυτικού κύματος. Αναπτύσσουμε την 4. σε δυνάμεις του π άτους του κύματος, παίρνοντας R αβ = R (B αβ (g(b + R (1 αβ (g(b, h + R ( αβ (g(b, h +... = 0? R/ƛ R /ƛ R 3 /ƛ (4.4 4

47 Εδώ, το R (B αβ είναι ο τανυστής Ricci του υπο ά ρου ο οποίος είναι ανεξάρτητος της διαταρα ής h αβ, το R (1 αβ είναι ραμμικό ς προς το h αβ και το R ( αβ εξαρτάται από το τετρα νικό όρο του h αβ κτ, όπου ενικά το R (n αβ αποτε είται από ό ους τους όρους n-ης τάξης ς προς h αβ. Εδώ όμ ς ανώτεροι όροι δεν α ρειαστούν. Όμοια, ο τανυστής του Einstein παίρνει τη μορφή: G αβ (h = R αβ (h 1 g αβg ρσ R ρσ (h = G (1 αβ (h + G( αβ +... = 0 (4.5 όπου G (1 αβ (h = R(1 αβ (h 1 η αβη ρσ R ρσ (1 (h, G ( αβ (h = R( αβ (h 1 η αβη ρσ R ρσ ( (h 1 h αβη ρσ R (1 (h + η αβ h ρσ R ρσ (1 (h, (4.6 κτ. Εδώ ρησημοποιήσαμε ότι g αβ = η αβ h αβ Υπο έτουμε ότι η μετρική μας g αβ = η αβ + h αβ ικανοποιεί την εξίσ ση πεδίου του Einstein: G αβ (h = κt αβ, κ = 8πG c 4 Ξανα ράφουμε την εξίσ ση κρατώντας μόνο πρώτης τάξης όρους στο αριστερό μέ ος και μετακινώντας ό ους τους ανώτερης τάξης όρους στο αριστερό μέ ος, G (1 αβ (h = κ( T αβ + t αβ, (4.7 t αβ = 1 ( Gαβ (h G (1 αβ κ (h = 1 ( ( G αβ κ (h +... (4.8 Σύμφ να με την 4.7 το h ικανοποιεί την ραμμικοποιημένη εξίσ ση πεδίου με πη ή T αβ + t 4 αβ. Φυσικά αυτή εξακο ου εί να είναι η ίδια εξίσ ση Einstein η οποία είναι μη ραμμική. Απ ά ονομάσαμε τους μη ραμμικούς όρους t αβ και τους ερμηνεύσαμε σαν να είναι πρόσ ετες πη ές. 4 Η ιδέα ια τη ραφή της ξένης συνεισφοράς στον τανυστή ενέρ ειας-ορμής με αυτή τη μορφή εισα ά ηκε πρώτη φορά από τους Landau και Lifshitz στο [6] chap και ια το ό ο αυτό ο t αβ είναι ν στός ς Landau Lifshitz pseudotensor 43

48 Κρίσιμες παρατηρήσεις πάν στο t αβ Τα t αβ δεν είναι συνειστώσες κάποιου τανυστή Πρά ματι, το G (1 αβ και κατά συνέπεια το t αβ μετασ ηματίζεται ς τανυστής κάτ από μετασ ηματισμούς Lorentz, α ά ό ι κάτ από αυ αίρετη α α ή συντετα μέν ν. Για το ό ο αυτό το t αβ ονομάζεται ψευδοτενυστής ενέρ ειας-ορμής. Η συνδιασμένη πη ή T αβ + t αβ ικανοποιεί την εξίσ ση συνέ ειας α( T αβ + t αβ = 0 a (4.9 a Αυτή η εξίσ ση δεν είναι συνα οί τη ( ιατί κατά την εξα ή τις σ έσης συναντώνται όροι με απ ή και ό ι συνα οί τη παρά ο της μορφής hijl a, α ά ισ ύει μόνο σε σφαιρικές συντετα μένες x l όπου η μετρική του υπο ά ρου έ ει συνειστώσες η αβ. Παρό α αυτά ίνεται πρα ματική εξίσ ση διατήρησης σε ο οκ ηρ τική μορφή, εάν ο οκ ηρ εί σε μια ρο ρονική περιο ή (η α α ή του ενερ ειακού περιε ομένου μέσα σε ένα ρικό ό κο ισούται με την ενέρ εια στο σύνορό του. b. a Σ έση στο [6] b Αντί ετα ο συνα οί τος νόμος απόκ ισης που έ ουμε α T αβ = 0 ο οποίος ικανοποιείται από πρα ματική πη ή μάζας, είναι νόμος διατήρησης μόνο σε απειροστά μικρές περιο ές και δεν οδη εί σε κανένα ο οκ ηρ τικό νόμο διατήρησης. Η ραμμικοποίηση του πεδίου ς προς h αβ και τ ν παρα ώ ν του είναι ισοδύναμη με το να έσουμε t αβ = 0. Σε αυτή την προσέ ιση, το T αβ ικανοποιεί το νόμο διατήρησης 4.9. Πρέπει να πάμε σε του ά ιστον δεύτερη τάξη της μορφής 4.3 αν έ ουμε να έ ουμε ενα μη τετριμένο t αβ. Σε αυτη την ανώτερης τάξης προσέ ιση, το h (1 αβ είναι ύση της ραμμικοποιημένης εξίσ σης πεδίου. Τα h (1 αβ είναι μικρά σε πρώτη τάξη, ενώ τα h( αβ είναι μικρά σε η τάξη. Με ά α ό ια όροι ραμμικοί στα h ( αβ αντιμετ πίζονται με τον ίδιο τρόπο σαν τερα νικοί όροι στα h (1 αβ. Αναπτύσσοντας και τα δύο μέ η της 4.7 μέ ρι δεύτερη τάξη, παίρνουμε: G (1 αβ( h (1 + h ( = κ ( T αβ + t αβ, t αβ = 1 κ G( αβ (h(1. (4.10 Με ά α ό ια παίρνουμε τον ψευδο-τανυστή ενέρ ειας-ορμής στη 44

49 αμη ότερη μή τετριμένη του προσσέ ιση εάν εισά ουμε την ύση h (1 αβ ραμμικοποιημένης εξίσ σης στην G ( αβ. Εάν η μετρική του υπο ά ρου είναι μη-επίπεδη αποκ ειστικά εξαιτίας της ενέρ ειας στα κύματα, αυτή η καμπυ ότητα δεν α πρέπει να είναι ραμμική ς προς το h αβ. Επομέν ς ο ραμμικός όρος R (1 αβ στην 4.4 α πρέπει να είναι μηδενικός R (1 αβ (γ, h = 0. (4.11 Αυτή είναι μια ραμμική κυματική εξίσ ση ια το αρυτικό κύμα. Όσο μικρότερο είναι το π άτος του κύματος, τόσο ι ότερο καμπύ ος είναι ο υποκείμενος ώρος (το γ αβ π ησιάζει την επίπεδη μετρική, και τόσο περισσότερο π ησιάζει η 4.5 σε μια ραμμική κυματική εξίσ ση σε επίπεδο ώρο. Με το να έμε ότι ε ρούμε κυματομορφές με μικρά μήκη κύματος εννοούμε τέτοια ώστε να μετα ά ονται ρή ορα στην κ ίμακα όπου το γ αβ μετα ά εται. Το υπό οιπο της εξίσ σης 4.4 έ ει επομέν ς ισ ύ μόνο κατά μέσο όρο. Παίρνοντας το μέσο όρο πάν σε ρο ρονικούς ό κους με π ευρές με α ύτερες από το μήκος κύματος έ ουμε: της R (B αβ (γ = R ( αβ (γ, h. (4.1 Η εξίσ ση 4.6 μας δεί νει π ς ο τετρα νικός όρος ς προς το π άτος του αρυτικού κύματος παρά ει καμπυ ότητα στο ρο ρόνο. Γράφοντας την 4.6 στην μορφή τ ν εξισώσε ν του Einstein ια την καμπυ ότητα του υπο ά ρου: ( R (B αβ (γ = 8π T (GW αβ 1 γ αβt (GW (4.13 ίνεται εμφανής ο δια ρισμός. αρυτικού κύματος είναι: Ο ενερ ός τανυστής ενέρ ειας-ορμής του T (GW αβ = 1 [ R ( 1 αβ 8π γ ] αβ R (. (4.14 Από τον ενερ ό τανυστής ενέρ ειας-ορμής μιας μικρού μήκους κύματος διαταρα ής α ρούμε την ενερ ειακή πυκνότητα ενός επίπεδου αρυτικού κύματος σε ένα ραμμικά επίπεδο ώρο στην κατώτερη τάξη του π άτους του. Ας υπο έσουμε ότι έ ουμε ένα αρυτικό κύμα πό σης plus (+ και με διεύ υνση αυτή του άξονα z (δη αδή είναι της μορφής 1.4. Προκειμένου να ρούμε την έκφραση της ενέρ ειας και της ροής ενέρ ειας που ψά νουμε, ς πρακτικό παράδει μα και ρίς έ ειψη της ενικότητας α ε ρήσουμε ότι 45

50 έ ουμε κυματική μορφή f(t z = α sin [ ω(t z ]. Η ροή ενέρ ειας είναι η συνιστώσα T(GW 03 της 4.8. Για να υπο ο ίσουμε το T 03 (GW σε δεύτερη τάξη O(α ς προς το π άτος του κύματος αρκεί να ά ουμε γ αβ στην 4.8. Ο παρα όμενος τανυστής ενέρ ειας-ορμής οδη εί στο γ αβ να αποκ ίνει από το h αβ κατά μια ποσότητα ανά ο η του α. g αβ (1 = hαβ ( Ενερ ειακές απώ ειες αρυτικών κυμάτ ν R aβ = R (1 g aβ = η aβ + h (1 aβ + h( aβ (4.16 [ ] [ ] h (1 h ( ([ ] + R h (1 aβ µν } {{ } 0 + R (1 aβ µν aβ µν } {{ } 0 (4.17 R ( aβ [ h (1 µν ] = 1 hµν h µν,aβ hµν,a h µν,β + µ h ν β ( Μερικές εκτιμήσεις με έ ους Ένα σημαντικό πρό ημα όσον αφορά τους υπο ο ισμούς στην ενική σ ετικότητα είναι η μη ραμμικότητα του ώρου. Δεν είναι πάντα δυνατό να ρίσουμε την συνεισφορά τ ν αρυτικών κυμάτ ν από την καμπυ ότητα του ώρου. Οι κ ίμακες στις οποίες αυτή μετα ά εται (λ GW είναι πο ύ μικρότερη συ κρινόμενη με ό ες τις υπό οιπες σημαντικές συνεισφορές στην καμπυ ότητα που συναντάμε στην αστροφυσική. Η σημαντική αυτή διαφορά μας επιτρέπει να δια ρίσουμε τον τανυστή του Riemann σε δύο μέρη, ένα που αφορά την ε μετρία του υποκείμενου ώρου (Rµνσρ B και ένα ά ο κομμάτι που αφορά τη συνεισφορά του αρυτικού κύματος στην καμπυ ότητα (Rµνσρ. GW Ο δια ρισμός αυτός δεν είναι από υτα ακρι ής, α ά είναι μια αξιό ο η προσέ ιση. Ο Rµνσρ B μπορεί να αντιμετ πισ εί ς μια μέση, κα ο ική, με ά ης κ ίμακας καμπυ ότητα του σύμπαντος πάν σε διάφορα μήκη κύματος. To Rµνσρ GW είναι το ρή ορα μετα α όμενο μέρος του τανυστή Riemann που περι ράφει σε μικρή κ ίμακα, μόνο τοπικά την καμπυ ότητα. Οι επόμενες σ έσεις δίνουν μια εκτίμηση τ ν αντιστοί ν κ ιμάκ ν R GW µνσρ 1 R (

51 R GW µνσρ R µνσρ R B µνσρ h ƛ GW (4.0 Όπου το R είναι το α μ τό Ricci και ƛ = λ/π. Θε ρήσαμε ότι το Rµνσρ B είναι αντιστρόφ ς ανά ο ο του R υπο έτοντας ότι έ ουμε ένα κ ειστό σύμπαν (ανά ο α με την καμπυ ότητα μιας σφαίρας. Μπορούμε επίσης να έ ουμε και μια προσέ ιση ια το πώς το μέτρο τ ν δύο μερών του τανυστή διαφέρουν, παίρνοντας ς τάξη με έ ους ια το π άτος, αυτό που ανι νεύ ηκε στο LIGO (h 10 cm. R GW µνσρ h ƛ GW R GW µνσρ cm ( (10 8 cm cm 1 ( cm Όπου R ά αμε προσε ιστικά την ακτίνα του Hubble. 47

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Το φάσμα τ ν Βαρυτικών Κυμάτ ν Τρεις είναι οι περιο ές συ νοτήτ ν αρυτικών κυμάτ ν που εξετάζονται πειραματικά: η περιο ή υψη ών συ νοτήτ ν (HF:f 10 4 έ ς 1 Hz, η περιο ή αμη ών συ νοτήτ ν (LF:f 10 7 έ ς 10 9 Hz, και η περιο ή εξαιρετικά αμη ών συ νοτήτ ν (ELF:f έ ς Hz. Στο σ ήμα?? φαίνονται οι τρεις κύριες περιο ές του φάσματος συ νοτήτ ν μαζί με τις καμπύ ες ευαισ ησίας διαφόρ ν ανι νευτών [18]. Ο οριζόντιος άξονας έ ει συ νότητες και ο κατακόρυφος ενερ ειακές πυκνότητες. Στο δεξιό άκρο του ραφήματος (FR δου εύουν οι επί ειοι ανι νευτές: TAMA, GEO, LIGO, aligo (ή α ιώς Advanced LIGO είναι ανα α μισμένα προ ράμματα του LIGO, AdV, KAGRA, ET, Cosmic Explorer (CE. Οι πη ές σε αυτή την περιο ή έ ουμε ά ει να είναι από: συμπα ή διπ ά ε ειπτικά συστήματα, supernovas, pulsars και ξε ριστά το διπ ό σύστημα GW Στη μεσαία περιο ή (LF α αναζητούν αρυτικά κύματα οι διαστημικοί ανι νευτές: elisa, LISA, DECIGO, BBO, ALIA. Σε αυτή την περιο ή ε ρήσαμε τις πη ές: (resolvable και μη διπ ά συστήματα, διπ ά συστήματα με ά ης μάζας supernovas τύπου ΙΑ. Στην περιο ή εξαιρετικά αμη ών συ νοτήτ ν (ELF ειτουρ ούν οι ανι νευτές που παίρνουν δεδομένα ρόν ν άφιξης σημάτ ν από πά σαρς: EPTA, IPTA, SKA. Εδώ πήραμε ς πη ές: Στο αστικό υπό α ρο, υπερμε έ η διπ ά συστήματα. Στην τε ευταία κατη ορία, η ακρί εια τ ν ανι νευτών αυξάνεται με το π ή ος τ ν παρατηρούμεν ν pulsars α ά και με το ρόνο παρατήρησης, που σημαίνει ότι με τον καιρό ( ά αμε να κυμαίνεται από 10-0 ρόνια οι καμπύ ες ευαισ ησίας κατε αίνουν αμη ότερα στο διά ραμμα. Περισσότερες π ηροφορίες ια τους διαφορετικούς ανι νευτές και την ευαισ ησία τους υπάρ ουν εδώ: [19]. 48

53 Σ ήμα 5.1: Φάσμα συ νοτήτ ν αρυτικών κυμάτ ν και καμπύ ες ευαισ ησίας διαφόρ ν επί ει ν και διαστημικών ανι νευτών, ς προς την κρίσιμη ενερ ειακή πυκνότητα ανά ο αρι μικό διάστημα συ νοτήτ ν πο απ ασιασμένο με το τετρά νο της στα εράς Hubble H 0. [18] 5.1 Περιο ή υψη ών συ νοτήτ ν, Hz Μία πη ή αρυτικών κυμάτ ν μάζας M δεν μπορεί να είναι πο ύ μικρότερη από την αρυτική της ακτίνα, GM/c, και δεν μπορεί να εκπέμψει ισ υρά σε περιόδους πο ύ μικρότερες από το ρόνο που παίρνει στο φ ς να εκτε έσει μαι περιστροφή ύρ από τη αρυτική ακτίνα της μάζας. Συνεπώς, οι συ νότητες στις οποίες εκπέμπει η αρυτική πη ή είναι f 1 4πGM/c Hz M M, (5.1 όπου M είναι η η ιακή μάζα. Για να επιτευ εί μέ ε ος με τάξη με έ ους ίδια της αρυτικής ακτίνας και συνεπώς εκπομπή κοντά στη μέ ιστη συ νότητα, το σώμα α πρέπει να είναι αρύτερο από το όριο μάζας του Chandrasekhar κατά περίπου μια η ιακή μάζα, M. Επομέν ς, η υψη ότερη συ νότητα που αναμένουμε από ισ υρά αρυτικά κύματα είναι f max 10 4 Hz. Αυτή ορίζει το άν άκρο του φάσματος τ ν αρυτικών κυμάτ ν. Η περιο ή υψη ών συ νοτήτ ν κυριαρ εί στις μετρήσεις τ ν επί ει ν 49

54 συμ ο ομέτρ ν και ανι νευτών συντονισμού αρυτικών κυμάτ ν. Σε συ νότητες αμη ότερες του 1 Hz, οι επί ειοι ανι νευτές φτάνουν να έ ουν σ εδόν ανυπέρ ητο όρυ ο από a τις διακυμάνσεις της α μίδας του Νευτώνειου αρυτικού πεδίου (εξαιτίας έ ξε ν από ανομοιομορφίες της ήινης ατμόσφαιρας πάν από τον ανι νευτή και b από τις δονήσεις του Γήινου φ οιού (οι οποίες είναι πο ύ δύσκο ο να αφαιρε ούν μη ανικά από την αρ ή. Προκειμένου να ανι νευτούν κύματα με αμη ότερη συ νότητα α πρέπει να ρησιμοποιη ούν διαστημικοί ανι νευτές σε τρο ιά, απα α μένοι από τις δύο παραπάν πη ές ορύ ου. Π ή ος πη ών αρυτικών κυμάτ ν που παρουσιάζουν ενδιαφέρον εκπέμπουν στην περιο ή υψη ών συ νοτήτ ν: κατάρρευση αστέρ ν σε αστέρες νετρονί ν ή με ανών οπών στο α αξία μας και σε κοντινούς α αξίες, η περιστροφή και η δόνηση αστέρ ν νετρονί ν στον α αξία μας, η σύζευξη διπ ών συστημάτ ν αστέρ ν, αστέρ ν νετρονί ν και με ανών οπών (M 1000M odot σε μακρινούς α αξίες. Ά ες πι ανές πη ές μπορεί να είναι το στο αστικό υπό α ρο από δονούμενες κοσμικές ορδές, α α ές φάσε ς στο νεαρό σύμπαν και το Big Bang. 5. Περιο ή αμη ών συ νοτήτ ν, Hz Η περιο ή αμη ών συ νοτήτ ν, 10 4 έ ς 1 Hz, είναι ο τομέας έρευνας τ ν διαστημικών ανι νευτών ( ρίσκονται σε ήινη ή σε ά η διαπ ανητική τρο ιά. Οι πιο σημαντικοί από αυτούς είναι, ανι νευτές που κατα ράφουν τη μετατόπιση Doppler μικροκυμάτ ν που στέ νονται από τη Γη σε διαστημόπ οια σε τρο ιά και στη συνέ εια αναμεταδίδονται πίσ στη Γη και ανι νευτές προσαρμοσμένοι πάν σε δορυφόρους που παρακο ου ούν με φ τόμετρα ο ένας τον ά ο (διαστημικά συμ ο όμετρα laser, την τε νο ο ία αυτή α ρησιμοποιεί ο ανι νευτής LISA στο μέ ον. Το άν άκρο της περιο ής αυτής στο 1 Hz ορίζεται από το ορύ ου ό τ ν α α ών στη αρυτική α μίδα και τ ν ορύ ν ό δονήσε ν που επηρεάζουν τα επί εια όρ ανα. Το κατώτερο άκρο, 10 4 Hz, αυτής της περιο ής συ νοτήτ ν ορίζεται να είναι τέτοιο ό τ ν αναμενόμεν ν δυσκο ιών στις αμη ές συ νότητες απομόν σης του διαστημοπ οίου από τις στρο ι ώδεις δυνάμεις του η ιακού ανέμου και της κοσμικής ακτινο ο ίας. Η περιο ή αμη ών συ νοτήτ ν α πρέπει να κυριαρ είται από κύματα 50

55 διπ ών συστημάτ ν με μικρή περίοδο στο α αξία μας (διπ ά συστήματα κύριας ακο ου ίας, ευκών νάν ν, αστέρ ν νετρονί ν, κτ, από ευκούς νάνους, αστέρες νετρονί ν και μικρές με ανές οπές που εκτε ούν σπειροειδή τρο ιά ύρ από με ανή οπή με ά ης μάζας (M με M odot σε μακρινούς α αξίες. Επίσης κύματα τέτοιας συ νότητας δίνουν και διπ ά συστήματα υπερμε ε ών με ανών οπών (M 100 με 10 8 M odot που πρόκειται να συ νευ ούν Το άν όριο, 10 8 M odot, στις μάζες τ ν με ανών οπών που μπορούν να εκπέμψουν σε περιο ή αμη ών συ νοτήτ ν προέρ εται από την εξίσ ση 13 παίρνοντας f 10 4 Hz. Θα πρέπει επίσης να υπάρ ει ένα στο αστικό υπό α ρο στις αμη ές συ νότητες από διαδικασίες στο νεαρό σύμπαν όπ ς δονήσεις κοσμικών ορδών, α α ές φάσεις και το ίδιο το Big Bang. 5.3 Περιο ή πο ύ αμη ών συ νοτήτ ν, Hz Κα ώς ένα αρυτικό κύμα διαπερνάει τη Γη, διαταράσσει το ρυ μό ροής του ρόνου και συνεπώς το ρυ μό τύπ ν τ ν ρο ο ιών μας ς προς ρο ό ια που ρίσκονται έκτος του κύματος. Τέτοιες διαφορές α φανούν ς προφανείς διαταρα ές στους ρόνους άφιξης πα μούς pulsars με κύματα παραπ ήσιας συ νότητας. Αν δεν παρατηρη ούν τέτοιες διαταρα ές σε κάποιο σημείο, μπορούμε να κατα ήξουμε στο ότι ούτε η Γη, ούτε ο pulsar ούζονται από αρυτικά κύματα όμοιας συ νότητας. Αν διαταρα ές με την ίδια ρονική εξέ ιξη παρατηρούνται ταυτό ρονα από αρκετά διαφορετικά pulsar, τότε την αιτία α μπορούσαμε να αποδώσουμε στα αρυτικά κύματα που ταξιδεύουν στον ενδιάμεσο ώρο. Παίρνοντας το μέσο όρο τ ν ρόν ν άφιξης τ ν πα μών σε με ά α ρονικά διαστήματα (από μήνες έ ς δεκαετίες, μπορεί να επιτευ εί μια με ά η ακρί εια και κατά συνέπεια, στενά όρια μπορούν να παρ ούν ια τα κύματα που διαπερνάνε τη Γη ή τον pulsar. Το πάν άκρο αυτής της περιο ής συ νοτήτ ν, 10 7 Hz, ρίσκεται παίρνοντας τη μέση τιμή τ ν ρόν ν άφιξης τ ν πα μών ια ένα διάστημα μερικών μηνών τέτοιο ώστε να αυξη εί η ακρί εια. Το κάτ άκρο της περιο ής αυτής, 10 9 Hz, ρίσκεται από τη μέση τιμή ια διάστημα 0 ετών, και αυτό ιατί πο ύ στα εροί pulsars με πα μούς Ο(ms ήταν οι πρώτοι που ανακα ύφ ηκαν και άρα έ ουμε πο ά δεδομένα. 51

56 Με τα όσα ξέρουμε μέ ρι σήμερα ισ υρές πη ές αρυτικών κυμάτ ν είναι ενικά συμπα είς και με μέ ε ος ό ι πο ύ με α ύτερο της αρυτικής τους ακτίνας. Τα μόνα όμ ς συμπα ή σώματα που μπορούν να δώσουν κύματα π. στη περιο ή f 10 7 Hz, είναι αυτά με μάζα M M odot 13. Αυτή είναι πο ές τάξεις με έ ους με α ύτερη από τη μάζα τ ν σ μάτ ν που ν ρίζουμε από ό α τα σημερινά αστρονομικά δεδομένα και φαίνεται επομέν ς ο ικό να πούμε ότι τα μόνα ισ υρά αρυτικά κύματα που παίρνουμε σε αυτή την περιο ή συ νοτήτ ν προέρ ονται από το στο αστικό υπό α ρο που προή ε από τις ίδιες διαδικασίες του νεαρού σύμπαντος, από τις οποίες προέρ ονται και τα κύματα υψη ότερ ν συ νοτήτ ν. 5.4 Περιο ή εξαιρετικά αμη ών συ νοτήτ ν, Hz Βαρυτικά κύματα εξαιρετικά αμη ών συ νοτήτ ν, με Hz, α πρέπει να προκα ούν ανισοτροπίες στην μικροκυματική ακτινο ο ία υπο ά ρου. Το ισ υρότερο όριο που έ ει μπει ια αυτές τις συ νότητες προέρ εται από το κάτ άκρο της περιο ής συ νοτήτ ν f Hz, όπου το μήκος κύματος τ ν αρυτικών κυμάτ ν είναι περίπου π φορές η απόσταση Hubble 1/H 0 και τα αρυτικά κύματα, πιέζοντας ό ο το ώρο εντός του κοσμο ο ικού ορίζοντα προς μια κατεύ υνση και τεντώνοντάς τον προς μια ά η α πρέπει να έ ουν παράξει τετραπο ικές ανισοτροπίες στο μικροκυματικό υπό α ρο. Οι τετραπο ικές αυτές ανισοτροπίες, που κατα ράφονται από το δορυφόρο COBE, αν προέρ ονται κατά κύριο ό ο από αρυτικά κύματα (το οποίο είναι πι ανό, α πρέπει να αντιστοι ούν σε μια ενερ ειακή πυκνότητα Ω g (10 18 Hz Λί α περισσότερα ό ια ια τις κοσμο ο ικές πη ές Σε αυτήν την ενότητα α εξετάσουμε τις στο αστικό υπό α ρο τ ν αρυτικών κυμάτ ν. Ανα ό ς με την προέ ευσή του, το στο αστικό υπό α ρο μπορεί εν ένει να ρισ εί σε δύο κατη ορίες: αυτή που προέρ εται από την υπέρ εση αρυτικής ακτινο ο ίας από με ά ους π η υσμούς αστροφυσικών πη ών που δεν μπορούν να επι υ ούν απομον μένα, και το αρ έ ονο υπό α ρο που προκύπτει απο διαδικασίες που αμ άνουν ώρα στα πρώιμα στάδια δημιουρ ίας του σύμπαντος. Η συνιστώσα αυτή του υπο ά ρου της αρυτικής ακτινο ο ίας 5

57 είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα αφού φέρει π ηροφορία ια την κατάσταση του αρ έ ονου σύμπανος ε κυμονώντας πι ανότατα και νέα φυσική. Το ενερ ειακό και φασματικό περιε όμενο αυτής της ακτινο ο ίας είναι αποτυπομένη στο φάσμα, το οποίο ορίζεται ς Ω GW = 1 ρ c f ρ GW (f, (5. όπου f είναι η συ νότητα, ρ c είναι η κρίσημη ενερ ειακή πυκνότητα του σύμπαντος ( ρ c = 3H0/8πG και ρ GW είναι η εν ερ εια τ ν αρυτικών κυμάτ ν ανά μονάδα συ νότητας ρ GW = 0 df ρ GW (f. (5.3 Πρ τού ασ ο η ούμε με τους μη ανισμούς από τους οποίους μπορεί να δημιουρ ή ηκαν τα αρ έ ονα αρυτικά κύματα, α εξετάσουμε τα κύρια φαινομενο ο ικά φρά ματα. 53

58 Μέρος II Διαταρα ές με απουσία α μ τού πεδίου 54

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Μετασ ηματισμοί Βα μίδας της μετρικής Γράφουμε τη μετρική του διαταρα μένου FRW(0 (δη αδή επίπεδου σύμπαντος ς g µν = ḡ µν + δg µν = a ( η µν + h µν, (6.1 όπου το h µν, κα ώς και τα h µν,ρ, h µν,ρσ ε ρούνται μικρά. Παρακάτ α α νοήσουμε από ό ες τις εξισώσεις διαταρα ές τάξης O(h και ανώτερης. Στο Κεφ. 1 δείξαμε ότι (σ έση 1.3: h µ ν η µρ h ρν, h µν η µρ η νσ h ρσ. (6. g µν = a ( η µν h µν (6.3 Θα δώσουμε διαφορετικά ονόματα ια τις ρικές και ρονικές συντετα μένες της διαταρα μένης μετρικής, ορίζοντας ] [ ] [ A B hµν =,i (6.4 B,i Dδ ij + E,ij ώστε όπου ( ( a g µν = 0 + a A B i 0 α δ ij B i Dδ ij + E,ij }{{}}{{} a η µν a h µν (6.5 D = 1 6 hi i 1 6 h (6.6 και ο E,ij είναι άι νος δ ij E,ij E,i,i E,ii = 0. (6.7 55

60 και αφού οι δείκτες ανε αίνουν και κατε αίνουν με την αδιατάρακτη μετρική του επίπεδου σύμπαντος η µν, έ ουμε [ ] [ ] h µν A +B,i (6.8 +B,i Dδ ij + E,ij επομέν ς το στοι είο μήκους είναι ds = a (ηs { (1 + Adη B,i dηdx i + [ (1 Dδ ij + E,ij ] dx i dx j}. (6.9 Ας υπο έσουμε ότι έ ουμε ένα αδιατάρα το ώρο ο οποίος περι ράφεται από το σύστημα συντετα μέν ν {x a }. Έστ η διαταρα μένη μορφή του ώρου αυτού και έστ δύο διαφορετικά συστήματα συντετα μέν ν { x a } και {ˆx a } που τον περι ράφουν. Οι συντετα μένες ˆx a και x a συνδέονται με το μετασ ηματσμό x a = ˆx a + ξ a, (6.10 όπου το ξ a και οι παρά οι του ξ,β a είναι μικρά σε πρώτη τάξη. Η διαφορά μεταξύ τ ν ξa ξ και a είναι μικρή σε δεύτερη τάξη απομέν ς μπορούμε απ ά ˆx β x β να ράψουμε ξ,β a. Το σύστημα {ˆx a } συσ ετίζει ένα σημείο P του υπο ά ρου με ένα σημειο ˆP ενώ το { x a } αντιστοι εί το P στο P. Για το ίδιο σημείο στα τρία συστήματα α έ ουμε x a ( P = ˆx a ( ˆP = x a ( P (6.11 Η 6.10 μας δίνει το μετασ ηματισμό συντετα μέν ν του ίδιου σημείου στο διαταρα μένο ώρο π, x a ( P =ˆx a ( P + ξ a x a ( ˆP =ˆx a ( ˆP (6.1 + ξ a. και ε ρούμε ότι η διαφορά ξ a ( P ξ a ( ˆP είναι μικρή σε δεύτερη τάξη. Επομέν ς ράφουμε απ ά ξ a και το συσ ετίζουμε με το σημείο P του υπο ά ρου. ξ a = ξ a ( P = ξ a (x β. (6.13 Συνδιάζοντας τις 6.11 και 6.1, παίρνουμε το μετασ ηματισμό διαφορετικών σημεί ν ια το ίδιο σύστημα συντετα μέν ν ˆx( P =ˆx a ( ˆP ξ a x( P = x( ˆP ξ a (

61 α εξετάσουμε τώρα τους κανόνες μετασ ηματισμού α μ τών, διανυσμάτ ν και τανυστών μεταξύ τ ν συστημάτ ν { x a } και {ˆx a }. s =s wã =Xãˆβw ˆβ Aã β =Xãˆγ X ˆδ βaˆγ δ (6.15 Bã β =X ˆγ ã X ˆδ βbˆγ ˆβ όπου Xãˆβ xa ˆx β = δa β + ξ a,β X ˆδ β ˆxδ x = β δδ β ξ,β. δ όπου παραπάν ρησημοποιήσαμε την 6.1. Στη συνέ εια α ρησημοποιήσουμε διαταρα ές διαφόρ ν ποσοτήτ ν s = s + δs w a = w a + δw a A a β = + Āa β + δa a β B aβ = B aβ + δb aβ. (6.16 (6.17 Η ποσότητα s = s + δs ζει στο διαταρα μένο ώρο. Οι διαταρα ές στις διαφορετικές α μίδες ορίζονται ς τη διαφορά της ποσότητας s στο διαταρα μένο από τον αδιατάρα το ώρο, στη α μίδα αυτή ˆ δs(x a s( ˆP s( P δs(x a s( P s( P. (6.18 Η διαταρα ή δs επομέν ς παίρνεται από την διαφορά μεταξύ δύο ρο ρόν ν και ε ρούμε ότι ζει στον υποκείμενο ώρο. Α άζει στο μετασ ηματισμό α μίδας s( P = s( ˆP + s ˆx ( ˆP [ˆx a ( P ˆx a ( ˆP ] = s( ˆP s a ˆx ( ˆP ξ a = s( ˆP s a x ( P ξ a a (6.19 όπου πήραμε την προσέ ιση s ( ˆP s ( P, αφού διαφέρουν μεταξύ τους σε ˆx a x a πρώτη τάξη α ά πο απ ασιαζόμενος με το ξ a ο συνο ικός όρος είναι μικρός σε δεύτερη τάξη. Επειδή ο υποκείμενος ώρος είναι ομο ενής α έ ουμε s = s(η, x i = s(η επομέν ς s x ( P ξ a = s a η ( P ξ 0 = s ξ 0. (6.0 57

62 Επομέν ς παίρνουμε s( P = s( ˆP s ξ 0, (6.1 έτσι από την 6.18 παίρνουμε το νόμο μετασ ηματισμού μιας α μ τής διαταρα ής μεταξύ δύο α μίδ ν δs(x a = s( ˆP s ξ 0 s( P = δs(x ˆ a s ξ 0. (6. Δου εύοντας με τον ίδιο τρόπο ια την περίπτ ση τ ν διανυσμάτ ν και τ ν τανυστών ρίσκουμε Bˆµˆν ( P = Bˆµˆν ( ˆP + Bˆµˆν [ˆx a ( ˆx P ˆx a ( ˆP ] = a Bˆµˆν ( ˆP Bˆµˆν ˆx ( P ξ a (6.3 a και [ B µ ν ( P =X ˆρ µ X ˆσ ν Bˆρˆσ ( P = (δµ ρ ξ,µ(δ ρ ν σ ξ,ν σ Bˆρˆσ ( ˆP B ] ρσ x ( P ξ a a =Bˆµˆν ( ˆP ξ ρ,µ Bˆρˆν ( P ξ σ,ν Bˆµˆσ ( ˆP B µν x a ( P ξ a =Bˆµˆν ( ˆP ξ,µ ρ B ρν ( P ξ,ν σ B µσ ( P B µν x ( P ξ a, a (6.4 όπου αντικαταστήσαμε το Bˆµˆσ ( ˆP με B µσ ( P στον δεύτερο όρο, το οποίο μπορούμε να κάνουμε αφού πο απ ασιάζεταιμε τον πρώτης τάξης όρο ξ,ν. σ Όμοια με την περίπτ ση της α μ τής διαταρα ής ορίζουμε δb µν =B µ ν ( P B µν ( P =Bˆµˆν ( ˆP B µν ( P ξ,µ ρ B ρν ( P ξ,ν σ B µσ ( P B µν x ( P ξ a a = δb ˆ µν ξ,µ ρ B ρν ξ,ν σ B µσ B µν,a ξ a. (6.5 Εφαρμόζοντας την εξίσ ση μετασ ηματισμού α μίδας 6.5 ια την διαταρα ή της μετρικής παίρνουμε δg µν = δg µν ξ ρ,µḡ ρν ξ σ,νḡ µν ḡ µν,0 ξ 0, (6.6 όπου αντικαταστήσαμε το ḡ µν,a ξ a με ḡ µν,0 ξ 0 αφού η μετρική του υπο ά ρου εξαρτάται, μέσ του παρά οντα κ ίμακας, μόνο από τη ρονική συνειστώσα η. Επειδή είναι ḡ µν = a (ηη µν, α έ ουμε ḡ µν,0 = a aη µν (6.7 και δg µν = δg µν + a [ ξ ρ,µη ρν ξ σ,νη µσ a a η µνξ 0]. (6.8 58

63 Από τα προη ούμενα ] [ ] [ A B δgµν =,i B,i Dδ ij + E,ij (6.9 Εφαρμόζοντας τον παραπάν νόμο μετασ ηματισμού παίρνουμε ια τις διαφορετικές συνειστώσεις: δg 00 a à =δg 00 + ( ξ ρ,0η ρ0 ξ σ,0η 0σ a a η 00ξ 0 ( = a A + a ξ,0 0 + a a ξ0 από την οποία και παίρνουμε τον νόμο μετασ ηματισμού α μίδας Όμοια, ια το δg 0i έ ουμε (6.30 à = A ξ 0,0 a a ξ0 (6.31 δg 0i = a B,i [ ] =δg 0i + a xi ρ,0η ρi xi σ,iη 0σ a a η 0i ξ 0 = a B,i + [ ξ,0 0 η ] 0i ξ,0η j ij ξ,iη 0 00 ξ,i j = a B,i a ξ i,0 + a ξ 0,i η 0j (6.3 Επομέν ς παίρνουμε B i = B i + ξ i,0 ξ 0,i (6.33 Τέ ος από το ριοκό κομμάτι της μετρικής έ ουμε Απομέν ς δg ij = Dδ ij + Ẽ,ij [ ] =δg ij + a ξ ρ,i η ρj ξ,jη σ iσ a a η ijξ 0 =Dδ ij + E,ij + a [ ξ k,iη kj ξ k,jη ik a a η ijξ 0 =Dδ ij + E,ij + a [ ξ j,i ξi,j a a δ ijξ 0 ] ] (6.34 Dδ ij + Ẽ,ij = Dδ ij + E,ij 1 59 ( ξ j,i + a ξi,j a ξ0 δ ij (6.35

64 Το ί νος του όρου 1 ( ξ i,j + ξ j,i είναι ξ k k άρα αν ράψουμε 1( ξ i,j + ξ,i j 1 = 3 δ ijξ k k + 1 ( ξ i,j + ξ,i j 1 3 δ ijξk k }{{} άι νο (6.36 έπουμε ότι ανα καστικά οι δύο τε ευταίοι ότι συνειστούν ένα άι νο κομμάτι. Μπορούμε έται να ρίσουμε την 6.35: D =D ξk,k + a a ξ0 Ẽ ij =E ij 1 ( ξ i j + ξ j i δ ijξ k k. (6.37 Όταν ένας μετασ ηματισμός α μίδας εξαφανίζει κάποιες διαταρα ές, τότε αυτές δεν είναι πρα ματικές, φυσικές διαταρα ές, απ ά τότε ο διαταρα μένος ώρος είναι ίδιος με τον υποκείμενο απ ά διαφέρει στο ότι έ ει διαταρα μένο σύτημα συντετα μέν ν. Οι διαταρα ές αυτές ονομάζονται κα αρές α μίδες. 6.1 Δια ρισμός σε Βα μ τές, Διανυσματικές και Τανυστικές Διαταρα ές Εάν κρατήσουμε την α μίδα (την συσ έτιση μεταξύ του υποκείμενου ώρου και του διαταρα μένου ώρου στα ερή α ά εφαρμόσουμε ένα μετασ ηματισμό συντετα μέν ν στον υποκείμενο ώρο, α πάρουμε ένα αντίστοι ο μετασ ηματισμό συντετα μέν ν στο δαταρα μένο ώρο. Το σύστημα συντετα μέν ν του υπο ά ρου επι έ ηκε ώστε να σέ εται τις συμμετρίες αυτού του ώρου και αυτό είναι μια ιδιότητα που δεν έ ουμε να άσουμε. Συ κεκριμένα, στη κοσμο ο ική ε ρία διαταρα ών επι έ ουμε ένα σύστημα συντετα μέν ν του υπο ά ρου ώστε να σέ εται την ιδιότητα της ομο ένειάς του, το οποίο μας δίνει ένα μοναδικό φύ μα του ρο ρόνου σε t = στα ερά ρο ρονικές φέτες. Επομέν ν δεν έ ουμε να α άξουμε αυτό τον τρόπποο τομής. Αυτό μας αφήνει: ομο ενείς μετασ ηματισμούς της ρονικής συντετα μένης π αναπαραμέτρηση του ρόνου, τ ν οποί ν παράδει μα αποτε εί η α α ή από τον συνή η κοσμικό ρόνο t στον η, 60

65 και μετασ ηαμτισμούς τ ν ρικών συντετα μέν ν x i = X i k x k, 5 (6.38 όπου Xk i είναι ανεξάρτητη του ρόνου, η οποία είναι και η περίπτ ση που εξετάζουμε σε αυτή την ενότητα. Για το υπό α ρό μας εί αμε επι έξει F RW (0, έτσι ώστε η 3-μετρική να εαι Ευκ είδεια, g ij = a δ ij, (6.39 και έ ουμε να διατηρήσουμε αυτή την ιδιότητα. Αυτό μας αφήνει τις στροφές. Οι π ήρεις πίνακες στροφών επομέν ς είναι [ ] [ ] X µ ρ = 0 X i k = 0 R i k και µ ρ = [ ] 1 0, ( R i k όπου R i k είναι ο πίνακας στροφών, με την ιδιότητα RT R = I, ή R i k Ri l = (R T R kl = δ kl. Επομέν ς R T = R 1 έτσι ώστε R i k = Rk i. Αυτός ο μετασ ηματισμός συντετα μέν ν στο υπό α ρο παρά ει τον εξής μετασ ηματισμό, x µ = X µ ρ x ρ, (6.41 στον διαταρα μένο ώρο. Εδώ η μετρική είναι [ ] [ g µν =a 1 A B i = a η µν + a A B i (1 Dδ ij + E ij B i Μετασ ηματίζοντας τη μετρική, παίρνουμε ια τις διαφορετικές συνειστώσες B i Dδ ij + E ij (6.4 g ρ σ = X µ ρ X ν σ g µν, (6.43 g 0 0 = Xµ 0 X ν 0 g µν = X 0 0 X0 0 g 00 = g 00 = a ( 1 A ]. g 0 l = X µ X ν 0 l g µν = X 0 0 Xj g l 0j = a R j B l j g k l = X i k Xj g l ij = a ( Dδ ij R i k Rj + E l ij R i k Rj l ( = a Dδ kl + E ij R i k Rj, l ( Εδ πέρα ρησιμοποιούμε το ια να συμ ο ίσουμε το ά ο σύστημα συντετα μέν ν. Να μην συ ίζεται με d/dη τ ν ά ν ενοτήτ ν. 61

66 από τις οποίες ανα ν ρίζουμε τις διαταρα ές στις νέες συντετα μένες, A =A D =D B l =R j l B j E k l =Ri k Rj l E ij. (6.45 Συνεπώς τα και D μετασ ηματίζονται ς α μ τά κάτ από στροφές στο σύστημα συντετα μέν ν του υπο ά ρου, τα B i μετασ ηματίζονται ς 3- διανυσματα, και τα E ij ς 3-d τανυστές. Κα ώς ρισκόμαστε επομέν ς σε μια στα ερή α μίδα, μπορούμε επομέν ς να τα σκεφτούμε ς α μ τά, διανυσματικά και τανυστικά πεδία σε ένα 3-d Εκ είδειο υποκείμενο ώρο. Μπορούμε στόσο να πάρουμε ά ες δύο α μ τές ποσότητες και ά η μια διανυσματικη από τα B i και E ij. Γν ρίζουμε ότι ένα διάνυσμα μπορεί να ρισ εί σε δύο μέρη, ένα μηδενικής απόκ ισης και ένα μηδενικού στρο ι ισμού B = B S + B V, με B S = 0 και B V = 0, (6.46 και ότι το πρώτο μπορεί να εκφρασ εί ς κ ίση κάποιου α μ τού πεδίου 6 και σε συμ ο ισμό συνειστ σών B S = B. (6.47 B i = B,i + B V i, όπου δ ij B V i.j = 0. (6.48 Με όμοιο τρόπο, το συμμετρικό άι νο τανυστικό πεδίο E ij μπορεί να ρισ εί σε τρία μέρη, E ij = Eij S + Eij V + Eij, T (6.49 όπου τα E S ij και E V ij μπορούν να εκφραστούν ς προς ένα α μ τό πεδίο E και ένα διανυσματικό πεδίο E i, E S ij = ( i j 1 3 δ ij E = E,ij 1 3 δ ijδ kl E,kl E V ij = 1 ( Ei,j + E j,i, όπου δ ij E i,j = E = 0 (6.50 και δ ij E T ij,k = 0, δ ij E T ij = 0. 6 Αυτή η σύμ αση προσήμου αντιστοι εί στο να σκεφτόμαστε τη α μ τή συνάρτηση Β ς δυναμικό, όπου το διανυσματικό πεδίο B S κατρακυ άει προς τα κάτ. 6

67 Β έπουμε ότι E S ij είναι συμμετικός και άι νος εκ κατασκευής. Ο E V ij είναι συμμετρικός εκ κατασκευής, και η συν ήκη στο E i τον κάνει άι νο. Ο τανυστής E T ij υπο έτεται συμμετρικός, και οι δύο συν ήκες εφαρμοσμένες σε αυτόν,τον κάνουν άι νο και transverce 7. Κάτ από στροφές στον υποκείμενο ώρο, A =A, B = B, D = D. E = E B V l =Rj R V l j, E l = R j E l j E T k l =Ri k Rj l E T ij. (6.51 Οι διαταρα ές της μετρικής μπορούνε επομέν ς να ρισ ούν σε ένα α μ τό κομμάτι, αποτε ούμενο από τα A,B,D και E ένα διανυσματικό κομμάτι, αποτε ούμενο από B V i και E i, και ένα τανυστικό κομμάτι E T ij. Οι ονομασίες α μ τό, διανυσματικό και τανυστικό αναφέρονται στις ιδιότητες μετασ ηματισμού κάτ από στροφές στον υποκείμενο ώρο. 8 Οι διαταρα ές στον τανυστή του Einstein δg µ ν και η διαταρα ή του τανυστή ενέρ ειας δt µ ν μπορούν όμοια να ρισ ούν σε α μ τά + διανυσματικά + τανυστικά μέρη. To α μ τό μέρος του δg µ ν προέρ εται μόνο από το α μ τό μέρος του δg µν κτ. Το σημαντικό όσον αφορά αυτό το δια ρισμό είναι ότι το α μ τό, το διανυσματικό και το τανυστικό κομμάτι δεν συζεύ ονται μεταξύ τους (σε πρώτης τάξης ε ρία διαταρα ών, α ά εξε ίσσονται ανεξάρτητα. Αυτό μας επιτρέπει να τα αντιμετ πίζουμε ξε ριστά: μπορούμε να με ετήσουμε, π α μ τές διαταρα ές με τρόπο τέτοιο, σαν να απουσίαζαν οι διανυσματικές και τανυστικές διαταρα ές. Η συνο ική εξέ ηξη της π ήρους διαταρα ής είναι απ ά μια ραμμική υπέρ εση της ανεξάρτητης εξέ ηξης του α μ τού, του διανυσματικού και του τανυστικού μέρους της διαταρα ής. 7 Για περισσότερη διευκρίνιση του τε ευταίου όρου στο π αίσιο της παρούσας συζήτησης δες [4] 8 Επομέν ς α μ τό, δεν σημαίνει π, ότι οι δοιαταρα ές α είναι ανα οί τες κάτ από μετασ ηματισμούς α μίδας - οι α μ τές διαταρα ές δεν είναι ανα οί τοι κάτ από μετασ ηματισμούς α μίδας, όπ ς έ ουμε ήδη δει στις 6.31 και

68 Εφαρμόζουμε ένα δεσμό σε κά ε ένα από τα 3-διανύσματα Bi V και E i, και = 4 δεσμούς στο συμμετρικό τανυστή Eij T αφήνοντας σε κά ε ένα από αυτούς ανεξάρτητες συνειστώσες. Επομέν ς οι 10 α μοί ε ευ ερίας που αντιστοι ούν στις 10 συνειστώσες της μετρικής της διαταρα ής h µν ρίζονται σε = 4 α μ τούς α μούς ε ευ ερίας. + = 4διανυσματικούς = τανυστικούς (6.5 Οι α μ τές διαταρα ές είναι οι πιο σημαντικές. Συζεύ ονται με τις διαταρα ές της πίεσης και της πυκνότητας και παρουσιάζουν αρυτική αστά εια: υπερπυκνές περιο ές εξε ίσσονται σε ακόμα πυκνότερες. Είναι υπεύ υνες ια το σ ηματισμό τ ν δομών στο σύμπαν από μικρές αρ ικές συν ήκες. Οι διανυσματικές διαταρα ές συζεύ ονται με τις διαταρα ές της νιακής τα ύτητας στο κοσμικό ρευστό. Έ ουν την τάση ατονούν σε ένα διαστε όμενο σύμπαν, και επομέν ς πι ανόν δεν είναι σημαντικες στην κοσμο ο ία. Κάναμε ό α τα παραπάν σε μια συ κεκριμένη στα ερή α μίδα. Προκύπτει ότι οι μετασ ηματισμοί α μίδας επιρρεάζουν τις α μ τές και τις διανυσματικές διαταρα ές, α ά οι τανυστικές διαταρα ές είναι ανα οί τες σε μετασ ηματισμούς α μίδας. Οι τανυστικές διαταρα ές είναι αρυτικά κύματα, αυτή τη φορά σε ένα διεστα όμενο σύμπαν 9 Όταν τις παίρνουμε από συνο ικές διαταρα ές με την παραπάν διαδικασία δια ρισμου, ρίσκονται ήδη στην transverse-traceless α μίδα. Οι τανυστικές διαταρα ές έ ουν κοσμο ο ική σημασία, αφού εάν είναι αρκετά ισ υρές, έ ουν ενα παρατηρήσιμο αποτέ εσμα στην ανισοτροπία του μικροκυματικού υπο ά ρου. 6. Βα μ τές Διαταρα ές Στην ενότητα αυτή α εξετάσουμε α μ τές διαταρα ές, οι οποίες είναι υπεύ υνες ια τις δομή του Σύμπαντος (π. την απόκ ιση από το ομο ενές και ισότροπο FRW Σύμπαν. Η μετρική είναι ds = a ( η { (1 + dη B i dηdx i + [ (1 ψδ + E ij ] dx i dx j }. ( Σε αντί εση με τη ε ρία διαταρα ών στο ώρο Minkowski, η οποία είναι και η συνή ης οδός παρουσίασης τ ν αρυτικών κυμάτ ν στην Γενική Σ ετικότητα. 64

69 όπου έ ουμε ορίσει την διαταρα ή της καμπυ ότητας ψ D E. (6.54 Τώρα εαν ξεκινήσουμε από κα αρά ρικές διαταρα ές και κάνουμε οποιαδήποτε αυ αίρετο μετασ ηματισμό α μίδας, που παρίσταται από ένα πεδίο ξ µ = (ξ 0, ξ i, α μπορούσαμε να εισά ουμε επίσης ένα διάνυσμα διαταρα ής. Η διανυσματική διαταρα ή αυτή όμ ς είναι κα αρή α μίδα και επομέν ς δεν ε ει κάποιο ενδιαφέρον. Μπορούμε να ρίσουμε το ξ i σε ένα μέρος με μηδενική απόκ ιση (μέρος που αφορά μετατοπίσεις και ένα κομμάτι με μηδενικό στρο ι ισμό, το οποίο μπορεί να ραφεί ς η κ ίση κάποιας συνάρτησης ξ, ξ i = ξ i tr δ ij ξ,j = ξ tr ξ όπου ξ i tr,i = ξ tr = 0. (6.55 Το μέρος ξtr i είναι υπεύ υνο ια τις διανυσματικές διαταρα ές, ενώ τα ξ 0 και ξ,j μετα ά ουν τις α μ τές διαταρα ές. Στα π αίσια της συζήτησης τ ν α μ τών διαταρα ών δεν άνουμε κάτι, εαν επι έξουμε να ά ουμε υπόψη μόνο τις α μ τές διαταρα ές, ενώ το ξtr i μέρος απουσιάζει. Αυτοί οι α μ τοί μετασ ηματισμοί α μίδας προσδιορίζονται π ήρ ς από δύο συναρτήσεις ξ 0 και ξ, η =η + ξ 0 (η, x (6.56 x i =x i δ ij ξ,j (η, x και διατηρούν την α μ τή φύση της διαταρα ής. (Η διαφορά δη αδή από το προη ούμενο κεφά αιο είναι ότι έσαμε ξ i δ ij ξ,j (η, x Χρησιμοποιώτας αυτούς τους α μ τούς μετασ ηματισμούς, οι εξισώσεις μετασ ηματισμού τ ν α μ τώς συναρτήσε ν που εμφανίζονται μέσα στη μετρική ίνονται: Ã =A ξ 0 a a ξ0 B =B + ξ + ξ 0 D =D 1 3 ξ + a a ξ0 Ẽ =E + ξ, (6.57 Και από τις 6.54 και 6.57 παίρνουμε ότι τον μετασ ηματισμό της ψ η οποία συ νά ρησημοποιείται ς τέταρτη α μ τή μετα ητή αντί ια την D: ψ = ψ + a a ξ0 = ψ + Hξ 0. (

70 6.3 Δυναμικά Bardeen Ορίζουμε τις επόμενες δύο ποσότητες Φ A + H ( ( B E + B E Ψ D E H ( ( 10 (6.59 B E = ψ H B E Οι ποσότητες αυτές είναι ανα οί τες κάτ από μετασ ηματισμούς α μίδας 6.4 Σύμμορφη Νευτώνεια Βα μίδα Μπορούμε να κάνουμε ρήση της ε ευ ερίας α μίδας ια να έσουμε τις α μ τές διαταρα ές B και E ίσες με μηδέν. Από την 6.44 έπουμε ότι αυτό επιτυ άνεται με την επι ο ή ξ = E ξ 0 = B + E (6.60 Κάνοντας ένα μετασ ηματισμό α μίδας φτάνουμε σε μια συ νά ρησιμοποιούμενη α μίδα, τη σύμορφη-νευτώνεια α μίδα ( ια συντόμευση Νευτώνεια α μίδα. Θα συμ ο ίσουμε τις ποσότητες στη α μίδα αυτή με δείκτη Ν. Συνεπώς B N = E N = 0, ενώ άμεσα έπουμε ότι A N =Φ D N =ψ N = Ψ. (6.61 Επομέν ς τα δυναμικά Bardeen είναι ίσες με τις δύο μη μηδενικές διαταρα ές στην σύμμορφη Νευτώνεια α μίδα. Από εδώ και πέρα (μέ ρι να ειπ εί το αντί ετο α κάνουμε υπο ο ισμούς στην σύμορφη-νευτώνεια α μίδα. Η μετρική επομέν ς είναι ds = a(η [ ( 1 + Φdη + (1 Ψδ ij dx i dx j], (6.6 ή g µν = a [ 1 Φ (1 Ψδ ij ] και g µν = a [ 1 + Φ ], (1 + Ψδ ij ( Β έπε απόδειξη I 66

71 ή h µν = [ Φ Ψδ ij ] και h µν = [ Φ Ψδ ij ] (

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Διαταρα ές στον Τανυστή Καμπυ ότητας Από την σύμμορφη-νευτώνεια μετρική παίρνουμε τους συντε εστές Christoffel Γ 0 00 = a + a Φ Γ 0 0k = Φ,k Γ 0 ij = a δ a ij [ ( ] a a Φ + Ψ + Ψ δij Γ i 00 = Φ,i Γ i 0j = a a δi j Ψ δj i Γ i kl = ( Ψ,l δk i + Ψ,kδl i + Ψ,i δ kl (7.1 και τα α ροίσματα Γ a 0a =4 a a + Φ 3Ψ Γ a ia =Φ,i 3Ψ,i (7. όπου έ ουμε α νοήσει ό ους τους, με α ύτερης 1ης τάξης, όρους ς προς τις μικρές ποσότητες Φ και Ψ. Επομέν ς οι εκφράσεις αυτές εμπεριέ ουν 0 ης και 1 ης τάξης όρους, και δια ρίζονται στο υπό α ρο και τη διαταρα ή όπ ς: Γ a βγ = Γ a βγ + δγ a βγ, (7.3 όπου και Γ 0 00 = H Γ 0 0k = 0 Γ0 ij = Hδ ij Γ i 00 = 0 Γi 0j = Hδj i Γ i kl = 0 (7.4 δγ 0 00 = Φ δγ 0 0k = Φ,k δγ 0 ij = [ H ( Φ + Ψ + Ψ ] δij δγ i 00 = Φ,i δγ i 0j = Ψ δ i j δγ i kl = ( Ψ,l δ i k + Ψ,kδ i l + Ψ,i δ kl. (7.5 Ο τανυστής Ricci είναι R µν =Γ a νµ,a Γ a aµ,ν + Γ a aβγ β ν,µ Γ a νβγ β a,µ = R µν + δγ a νµ,a δγ a aµ,ν + Γ a aβδγ β νµ + Γ β νµδγγ a aβ Γ a νβδ β aµ Γ β aµδγ a νβ. (7.6 68

73 Υστερα από υπο ο ισμούς παίρνουμε R 00 = 3H + 3Ψ + Φ + 3H ( Φ + Ψ R 0i = ( Ψ + HΦ,i R ij = ( H + H δ ij + [ Ψ + Ψ H ( Φ + 5Ψ (H + 4H ( Φ + Ψ ] δ ij + ( Ψ Φ,ij (7.7 Υψώνοντας έπειτα το δείκτη παίρνουμε παίρνουμε R µ ν = g µa R aν = ( R + δraν Rµ ν + δg µa Raν + ḡ µa δr aν. (7.8 R 0 0 =3a H + a [ 3Ψ Φ + 3H ( Φ + Ψ 6HΦ ] R 0 i = a ( Ψ + HΦ,i R i 0 = R 0 i = a ( Ψ + HΦ,i R i j =a ( H + H δ i j (7.9 + a [ Ψ + Ψ H ( Φ + 5Ψ ( H + 4H Φ ] δ ij + a ( Ψ Φ,ij. και α ροίζοντας παίρνουμε τη στα ερά καμπυ ότητας του Ricci R =R R i i =6a ( H + H + a [ 6Ψ + ( Ψ Ψ 6H ( Φ + 3Ψ 1 ( H + H Φ ]. (7.10 Και τε ικά, ο τανυστής του Einstein ίνεται G 0 0 =R 0 1 R = 3a H + a [ Ψ + 6HΨ + 6H Φ ] G 0 i =R 0 i G i 0 =R i 0 = R 0 i = G 0 i (7.11 G i j =R i j 1 δi jr =a ( H H δ i j + a [ Ψ + ( Φ Ψ + H ( Φ + 4Ψ + ( 4H + H Φ ] δ i j Να παρατηρήσουμε καάτι ια το υπό α ρο και τις διαταρα ές. Αφού τα υπό α ρο R ν µ και Ḡ µ ν είναι δια ώνια, τα μη δια ώνια στοι εία περιέ ουν μόνο τη διαταρα ή Ri 0 = G 0 i = δri 0 = δg 0 i. (7.1 69

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Εξέ ηξη Υπερορίζοντα και συσ έτιση με τις προτότυπες διαταρα ές. Το σύνη ες σκεπτικό σήμερα είναι ότι οι διαταρα ές παρή ησαν πο ύ ν ρίτερα απ την αποδέσμευση τ ν νετρίν, π. κατά τη διάρκεια του inflation. Παρό ο που η επο ή κυριαρ ίας της ακτινο ο ίας είναι ο ική ια την εξακρί ση τ ν αρ ικών συν ηκών Φ k (rad, S cr, k (rad, S br, k (rad, S vr, k (rad, αυτές ΔΕΝ είναι πρ αματικά αρ ικές - ενα ακτικά τις ονομάζουμε αρ έ ονες τιμές. Θα έ αμε να τις συσ ετίσουμε με τις προτότυπες διαταρα ές, π. με την κατάσταση αμέσ ς μετά τη έννηση τ ν διαταρα ών. Θα συμ ο ίσουμε τον ρόνο δημιουρ ίας με t ή απ ά. Μπορεί νξα διαφέρει ια διαφορετικές κ ίμακες k ( ια την περίπτ ση του inflation ισούται περίπου με το ρόνο εξόδου από τον ορίζοντα. Η σ έση αυτή εξαρτάται από τον μη ανισμό δημιουρ ίας που ε ρούμε (π. inflation και από το τι συμ αίνει μεταξύ του ρόνου δημιουρ ίας ( και την αρ έ ονη περίοδο (rad (π. ανα έρμανση μετά το inflation. Στο πρώτο μέρος της ανά υσης τ ν διαταρα ών δεν υπο έσαμε ένα συ κεκριμένο μη ανισμό ια τη παρα ή τ ν διαταρα ών (υπο έτουμε απ ώς ότι πρόκειται ια μια Γκαουσιανή τυ εία διαδικασία- στο επόμενο μέρος α ε ρήσουμε το inflation ς μη ανισμό παρα ής τ ν διαταρα ών - επομέν ς τώρα κάνουμε μια απ ή ενική παρατήρηση. Στα συνή ει σενάρια οι διαταρα ές είναι έξ από τον ορίζοντα κατά το διάστημα μεταξύ και (rad, α ά κάποιες ά ες ιδιότητες της αρ έ ονης επο ής κυριαρ ίας της ακτινο ο ίας μπορεί να μην στέκουν. Επομέν ς ας συ κεντρώσουμε τι ά ες ενικές ιδιότητες συνεπά ονται από την υπό εση του υπερορίζοντα (k H. 70

75 Για αδια ατικές (S = 0 διαταρα ές ισ ύει R = στα 11. Τα δυναμικά Bardeen Φ και Ψ δεν παραμένουν υπο ρε τικά στα ερά. Επομέν ς το R είναι κα ύτερη ποσότητα ια να περι ράψει τις αδια ατικές διαδικασίες, και έ ουμε R k (rad = R k ( (ADI. (8.1 Από την ά η, εάν S 0, το R α αναπτυ εί, και επομέν ς το R k (rad μπορεί να ά ει συνεισφορές από τις προτότυπες εντροπικές διαταρα ές την στι μή. Ενώ κατά τη διάρκεια της αρ έ ονης περιόδου τα S cr, S br και S νr παραμένουν στα ερά R k (rad 1 T RScr (k T RSbr (k T RSνr (k R k ( S cr, k (rad S br, k (rad = 0 T Scr S cr (k T Scr S br (k T Scr S νr (k S cr, k ( 0 T Sbr S cr (k T Sbr S br (k T Sbr S νr (k S br, k ( (8. S vr, k (rad 0 T Sνr S cr (k T Sνr S br (k T Sνr S νr (k S νr, k ( 11 Β έπε [4] Εξ

76 Μέρος III Διαταρα ές με παρουσία α μ τού πεδίου 7

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μια ν ρημία με τη α μ τή ε ρία του inflation Κοσμο ο ικό inflation (π η ρισμός ονομάζουμε μια περιόδο επιτα υνόμενης υπερφ τεινής διαστο ής στα πρώημα στάδια εξέ ηξης του σύμπαντος Ο ακρι ής ορισμός του Inflation είναι απ ά κά ε περίοδος κατά την οποία ο παρά οντας κ ίμακα του σύμπαντος αυξάνεται επιτα υνόμενα. Συ ά συναντάμε στη ι ιο ραφία τρείς ισοδύναμες διατυπώσεις: INFLATION ä > 0 ( ρ + 3p < 0 d H 1 dt a < 0 (9.1 Επειδή υπο έτουμε ότι ρ > 0 είναι απαραίτητο να έ ουμε p < 0 ια να ικανοποιείται η μεσαία συν ήκη, η οποια είναι ανεξάρτητη της καμπυ ητας του συπαντος. Το inflation περι ράφεται συνή ς σαν μια περίοδος ρή ορης διαστο ής, παρό ο που δεν είναι σαφές ς προς το τι η διαστο ή αυτή είναι ρή ορη. Η τε ευτάια έκφραση δίνει στην ένοια αυτή περισσότερο φυσικό περιε όμενο. Επειδή το H 1 /a είναι στην κοσμο ο ία το comoving μήκος Hubble, έπουμε ότι η παραπάν συν ήκη ια το inflation ισοδυναμεί με το το comoving μήκος Hubble να μειώνεται με το ρόνο. Ειδ μένο σε συντετα μένες που ταξιδεύουν μαζί με τη διαστο ή, το παρατηρήσημο σύμπαν στην πρα ματικότητα μειώνεται κατά τη διάρκεια του inflation, ιατί η αρακτηριστική κ ίμακα δεσμεύει όο και ι ότερο ώρο συντετα μέν ν κα ώς το inflation εξε ίσσεται. 1 Β έπε [8, 9]. 13 Με τη ενικότερη έννοια είναι κά ε περίοδος επιτα υνόμενης διαστο ής, ό ι απαραίτητα υπερφ τεινής. Ακόμα και σήμερα, ό της επιτα υνόμενης διαστο ής του σύμπαντος, ε ρείται ότι ρισκόμαστε σε μια τέτοια περίοδο 73

78 Η επιτυ ία του inflation έ κειται στο ότι παρό ο που είναι ένας απ ός μη ανισμός, πο ά προ ήματα κοσμο ο ικά προ ήματα μπορούν να υ ούν με την εισα ή του. Τα ποιο σημαντικά από αυτά είναι Το πρό ημα της επιπεδότητας Σύμφ να με παρατηρήσεις, η ο ική παράμετρος πυκνότητας σήμερα είναι πο ύ κοντά στο 1 και η καμπυ ότητα του σύμπαντος είναι ουσιαστικά μηδενική. Συνεπώς το σύμπαν είναι σ εδόν επίπεδο. Αφού η πυκνότητα καμπυ ότητας α άζει ς προς την κ ίμακα ς a, μειώνεται πιο απότομα από την ύ η ή την ακτινο ο ία καιι επομέν ς στο παρα όν η παράμετρος πυκνότητας καμπυ ότητας α ήταν ακόμα μικρότερη και το σύμπαν α ήταν ακόμα πιο επίπεδο. Πρά ματι συ κρίνοντας με την ακτινο ο ία, η οποία α άζει με την κ ίμακα σαν a 4, ρίσκουμε ( ( 1/ ρ K a 10 = 10 ρr,0, (9. ρ r a 0 ρ r όπου ρησιμοποιήσαμε ότι Ω K 10 3 σήμερα και Ω r Σήμερα η ενερ ειακή πυκνότητα της ακτινο ο ίας είναι της τάξης τ ν (10 4 ev. Στο ρόνο του Planck, όταν η ενερ ειακή πυκνότητα του σύμπαντος ήταν (10 19 GeV, το κ άσμα αυτό ήταν Δεδομέν ν τ ν τυ αί ν αρ ικών συν ηκών στο τέ ος μιας κατάστασης κ αντικής αρύτητας, α περίμενε κάποιος ότι ό ες οι συνεισφορές στην ενερ ειακή πυκνότητα του σύμπαντος, π η ακτινο ο ία ακι η καμπυ ότητα, α ήταν της ίδιας τάξης με έ ους. Το πρό ημα της επιπεδότητας μπορεί επομέν ς να διατυπ εί ς: ιατί α έπρεπε να ξεκινήσουμε από αρ ικές καταστάσεις στο πο ύ πρώιμο σύμπαν τέτοιες ώστε ο παρά οντας πυκνότητας του σύμπαντος να ήταν ρυ μισμένος στα 10 6 της ο ικής ενερ ειακής πυκνότητας, τι στι μή που α μπορούσε να εί ε παάρει οποιαδήποτε τιμή? Το πρό ημα του Ορίζοντα Ο ορίζοντας (του σ ματιδίου περικ είει εκείνο το τμήμα του ώρου μέσα στο οποίο αιτιακή επικοιν νία είναι εφικτή. Αφού καμια π ηροφορία δεν μπορεί να ταξιδέψει ρη ορότερα από το φ ς, ένα ε ονός που αμ άνει ώρα στο (t 1, x 1 δεν μπορεί να ίνει αντι ηπτό από έναν παρατηρητή στο (t, x εάν η απόστασή του είναι με α ύτερη από την απόδταση που μπορεί να διανύσει το φ ς σε αυτό το ρονικό διάστημα. Για ένα σύμπαν που κυριαρ είται από ύ η ή ακτινο ο ία, ο ορίζοντας αυξάνεται ρη ορότερα από τον 74

79 ίδιο το ώρο 14 ή με ά α ό ια, πη αίνοντας πίσ στο ρόνο, ο ορίζοντας ο ορίζοντας συρρικνώνεται πιο ρή ορα από το ώρο. Αυτό σημαίνει ότι σήμερα μπορούμε να αντι ηφ ούμε ε ονότα τα οποία στο παρε όν δεν ήταν αιτιακά συνδεδεμένα μεταξύ τους. Επομέν ς το πρώιμο σύμπαν αποτε είαι από διαφορετικές περιο ές που δεν αντα άσουν π ηροροφίες μεταξύ τους. Πάραυτα, το παρατηρίσημο σύμπαν σήμερα είναι πο ύ ισοτροπικό, προφανώς η νουκ εοσύν εση έ α ε ώρα με το ν ίδιο τρόπο παντού και ι αυτό η ερμοκρασία του CMB είναι ασικά ισοτροπική. Α ά το σημερινό παρατηρήσιμο σύμπαν ρίστηκε περίπου σε 10 6 ασύνδετες περιο ές την στι μή της επανασύνδεσης, όταν δημιουρ ή ηκε το CMB, και σε περίπου 10 4 περιο ές την περίοδο της νο κ εοσύν εσης. Επομέν ς το πρό ημα του Ορίζοντα είναι το π ς τέτοιες ασύνδετες περιο ές του σύμπαντος εξε ί ηκαν με τόσο παρόμοιο τρόπο. Το πρό ημα του μονοπό ου Α α ές φάσης στο πρώιμο σύμπαν αναμένεται να δημιουρ ήσουν τοπο ο ικές αν μα ίες. Μεταξύ αυτών, τα μονόπο α ε ρούνται επικίνδυνα απομεινάρια, αφού η με ά η τους πυκνότητα α κυριαρ ούσε στην ο ική πυκνότητα του σύμπαντος. Τα απομεινάρια αυτά είναι τυπικώς μη σ ετικιστικά, με πυκνότητα ενέρ ειας όπ ς a 3, άρα δεν α επέτρεπαν ποτέ την κυριαρ ία της ύ ης ή της ακτινο ο ίας. Το πρό ημα της ομο ένειας σε με ά η κ ίμακα Σε με ά ες κ ίμακες το σύμπαν είναι πο ύ ομο ενές και ισότροπο. Ήδη στην επανασύνδεση, η απόκ ιση από την ομο ένεια της ακτινο ο ίας του υπο ά ρου είναι μό ις Αυτό ε είρει ερ τήματα όσον αφορά στην στις αρ ικές συν ήκες που παρά ουν τέτοιο ομο ενές σύμπαν. Πρά ματι στο ρόνο του Planck οι συν ήκες αυτές αναμένονται να είναι αοτικές και είναι εξαιρετικά απί ανο να μπορούσαν να εξε η ούν σε ένα σύμπαν τόσο ομο ενές καιι ισότροπο. Το πρό ημα της ανομοιο ένειας σε μικρή κ ίμακα Την ίδια στι μή αυτό το πο ύ ομοιόμορφο σύμπαν παρουσιάζει ανομοιο ένειες σε μικρές κ ίμακες, όπ ς α αξίες και ομάδες α αξιών. Πιστεύεται ότι από αυτές τις ανομοιο ένειες της τάξης 10 5 του CMB πρoέρ ονται οι σ ηματισμοί τ ν με ά ης κ ίμακας δομών, μέσ αρυτικής κατάρευσης. Συνεπώς δημιουρ είται το 14 Για κυριαρ ία της ύ ης ο ορίζοντας του σ ματιδίου αυξάνεται ς a 3/, ενώ ια κυριαρ ία της ακτινο ο ίας αυξάνεται ς a και επομέν ς και στις δύο περιπτώσεις ρη ορότερα από τον παρά οντα κ ίμακας (υποφ τονική διαστο ή. 75

80 ερώτημα, π ς δημιουρ ή ηκαν αυτές οι μικρές διακυμάνσεις σε ένα κατά τα ά α ομο ενές σύμπαν. Δεν ν ρίζουμε πότε ακρι ώς το inflation έ α ε ώρα, αν και το άν όριο της ενερ ειακής κ ίμακας του inflation σύμφ να με το Planck είναι GeV. Πιστεύεται ότι το πο ύ στα πρώτα s το σύμπαν διεστά ει κατά ένα παρά οντα Μια τέτοια διαστο ή μπορεί ανα επιτευ εί εάν το σύμπαν είναι εμάτο με ένα α μ τό πεδίο, συμ ο ιζόμενο συνή ς με ϕ, του οποίου η αρ ώς μειούμενη δυναμική ενέρ εια κυριαρ εί την ο ική πυκνότητα ενέρ ειας. Κατά τη διάρκεια αυτής της τα ύτατης διαστο ής, το σύμπαν ψύ ηκε ενώ οι υπό οιπες συνειστώσες του αραιώ ηκαν. συνεπώς μια περίοδος ανα έρμανσης (reheating ρειάζεται στη συνέ εια, ια να ανακτήσει τη ερμοκρασία του σύμπαντος στην απαιτούμενη ερμοκρασία ια να διατηρήσει ό α τα επιτυ ημένα αρακτηριστικά της κα ιερ μένης ε ρίας του Big Bang. Κατά την ανα έρμανση η ενέρ εια του α μ τού πεδίου διασπάται σε σ μάτια και εμίζει το σύμπαν με σ μάτια του Standard Model. Οι εξισώσεις του Einstein α πρέπει να μας εξη ούν ποιο είδος ύ ης μπορεί να οδη ήσει σε μια τέτοια περίοδο. Ας ξεκινήσουμε από την εξίσ ση Friedmann ια ένα επίπεδο σύμπαν, το οποίο μπορεί να ραφεί ς 8πG ȧ = 3 aρ1/. (9.3 παίρνοντας τη ρονική παρά ο αυτής και αντικα υστώντας το ρ σύμφ να με την εξίσ ση διατήρηση της ενέρ ειας παίρνουμε ä = 8πG 3 ȧ (ρ + 3p. (9.4 ρ1/ Για όσο διάστημα το σύμπαν διαστέ εται, ȧ > 0. Άρα, η συν ήκη ια μια επιτα υνόμενη διαστο ή είναι απ ά ρ + 3p < 0 (9.5 Κατα ή ουμε ότι κατά τη διάρκεια του inflation η πίεση έπρεπε να είναι αρνητική και μικρότερη από ρ/3. Ποιό είδος ύ ης α μπορούσε να ικανοποιήσει την συν ήκη αυτή; Μια κοσμο ο ική στα ερά α μπορούσε να το πετύ ει αυτό αφού έ ει p = ρ. Κατά τη διάρκεια μιας περιόδου κυριαρ ίας της κοσμο ο ικής στα εράς, η παράμετρος Hubble παραμένει στα ερή: και έ ουμε De Sitter (εκ ετικό infaltion. Το πρό ημα είναι ότι η κοσμο ο ική στα ερά δεν φ είνει, άρα το inflation α συνε ίζει επ άπειρον. Εάν έ ουμε το inflation να τε ειώνει, κάτι πρέπει να ίνεται, άρα πρέπει να υπρ ει ένα έ ος τουτ ρόνου. Επομέν ς 76

81 το είδος της ύ ης που είναι υπεύ υνο ια το infaltion δεν μπορεί να ρίσκεται ακρι ώς σε ισορροποία. Η πιο απ ή επι ο ή είναι να εξετάσουμε ένα α μ τό πεδίο (ονομαζόμενο inflaton το οποίο κατηφορίζει μια πο ύ επίπεδη κυ άδα δυναμικού (slow-rolling. Επειδή κατηφορίζςι, υπάρ ει ένα έ ος του ρόνου, και κάτι μπορεί να συμ εί που μπορεί να σταματήσει το infaltion. Α ά επειδή η κοι άδα είναι πο ύ επίπεδη και η πορεία του πεδίου στη έδη ισορροπίας είναι αρ ή, το πεδίο μπορεί να ειδ εί ς μια στι μιαία κατάσταση κενού, η οοποία μοιράζεται τις ίδιες σ εδόν ιδιότητες με την πρα ματική κατάσταση κενού: συ κεκριμένα, η ενέρ εια του πεδίου δια έεται πο ύ αρ ά και η πίεση είναι πο ύ κοντά στην ρ. Στης επόμενες εννότητες, α με ετήσουμε το σενάριο αυτό, στο οποίο μπορεί κανείς να ξε ρίσει διάφορες φάσεις. Οι αρι μοί παρακάτ αντιστοι ούν στην εικόνα??, η οποία συνοψίζει περιεκτικά την εξέ ηξη τ ν κ ιμάκ ν συναρτήσει του (συνή ους ό ι σύμμορφου ρόνου. Σ ήμα 9.1: Η εξέ ηξη μιας συ ο ής παρατηρίσημ ν κ ιμάκ ν k (κυματάρι μοι συναρτήσει του ρόνου, κατά περίοδο του inflation, κυριαρ ίας της ακτινο ο ίας, κυριαρ ίας της ύ ης και κοσμο ο ικής στα εράς (ή σκοτεινής ενέρ ειας. Τα με α ύτερα μήκη κύματος που εικονίζονται είναι ίσα με τη σημερινή ακτίνα του Hubble (k min = π/h 0, άρα είναι η με α ύτερη κ ίμακα που είναι προσ άσιμη σε παρατηρήσεις (κα ορίζει το μέ ε ος του ορατού σύμπαντος. 77

82 9.1 Βα μ τά πεδία στην Κοσμο ο ία Για να πάρουμε μια περίοδο σαν το inflation είναι ανα κάιο να έ ουμε κάτι που να οδη ήσει σε αρνητική πίεση. Αυτό που επιτυ νάνει τη συ κεκριμένη δου ειά είναι ένα α μ τό πεδίο, που περι ράφει α μ τά ( ρίς spin σ μάτια. Η δράση σε τέτοια κομο ο ικά μοντέ α ράφεται ς: με S ϕ = S ϕ = dx 4 [ ] 1 ϕ ϕ g x µ x + V (ϕ, ν (9.6 dx 4 [ ] 1 g R + L ϕ, (9.7 L ϕ = 1 gµν µ ϕ ν ϕ V (ϕ (9.8 Για τη μετρική FRW έ ουμε g det(g µν = a 3. Όπου V (ϕ είναι μια συνάρτηση ν στή ς δυναμικό του α μ τού πεδίου. Διαφορετικά π η οριστικά μοντέ α αντιστοι ούν σε διαφορετικές επι ο ές ια το δυναμικό αυτό. Οι εξισώσεις πεδίου ια το ϕ σε ένα αρυτικό πεδίο δίνονται από τη συν ήκη η δράση αυτή να είναι στάσιμη ς προς μετα ο ές στο ϕ: µ δ( gl δ( µ ϕ δ( gl δϕ = 0 µ (a 3 µ ϕ V ϕ a 3 = 0 (9.9 Χρησημοποιώντας τον κανόνα του Leibniz στον 1ο όρο, το ε ονός ότι ο παρά οντα κ ίμακας είναι συνάρτηση μόνο του ρόνου a(t και διαιρώντας με έναν παρά οντα a 3 παίρνουμε: [ϕ] + 3H ϕ a ϕ + V ϕ = 0 (9.10 Από αυτή έπουμε ότι η διαστο ή του σύμπαντος μας δίνει ένα όρο απόσ εσης ανά ο ο του ρυ μού διαστο ής H = ȧ/a. Ο τανυστής ενέρ ειας-ορμής ράφεται: T µν = δ( µ ϕ = µ ϕ ν ϕ + g µν L ϕ g δg µν (9.11 από την οποία παίρνουμε τις συνειστώσες της πίεσης και πυκνότητας: ρ =T 00 = p =T ii = 1 ϕ ϕ gµν x µ x + V (ϕ ν 1 (9.1 ϕ ϕ gµν x µ x V (ϕ ν 78

83 Επειδή δου εύουμε στη μετρική Robertson-Walker οι παραπάν μπορεί να ραφούν στην δια ώνια μορφή: ρ = 1 ϕ + V (ϕ + 1 ( ϕ a p ϕ = 1 ϕ V (ϕ 1 ( ϕ 6 a (9.13 Οι εξισώσεις κίνησης ια το πεδίο μπορούν να ρε ούν αντικα ιστώντας τις σ έσεις αυτές στην εξίσ ση Friedmann και την εξίσ ση συνέ ειας αντίστοι α. Υπο έτοντας ένα σύμπαν επίπεδο: H = 1 [V (ϕ + 1 ] 3 ϕ (9.14 και ϕ + 3H ϕ = dv dϕ ( Slow Roll Ο κα ιερ μένος τρόπος προσέ ισης του inflation είναι η slow-roll προσε ιση. Η προσέ ιση αυτή μας επιτρέπει να α νοήσουμε τον όρο ϕ της 9.14 και τον πρώτο όρο στην 9.15 δίνοντας: H V (ϕ 3, 3H ϕ V (ϕ (9.16 όπου το δη ώνει ότι οι σ έσεις αυτές ισ ύουν στα π αίσια της προσέ ιαης slow-roll. Προκειμένου οι σ έσεις αυτές να ισ ύουν, είναι υπο ρε τικό να ισ ύουν οι δύο συν ήκες: ϕ / V H = ρ/3 V /3 ϕ / 3H ϕ 3H ϕ V (9.17 Η πρώτη από τις εξισώσεις αυτές ε κυάται ότι το H είναι σ εδόν στα ερό H H, οδη όντας σε ημι-εκ ετική διαστο ή (με a e Ht. ϵ(ϕ 1, η(ϕ 1, (

84 Όπου οι slow-roll παράμετροι ϵ και η είναι: ( V ϵ(ϕ = 1 η(ϕ = V V V ( Διάρκεια του Inflation και εξέ ηξη τ ν κ ιμάκ ν Όταν σε επόμενο κεφά αιο συζητήσουμε ια την δημιουρ ία και εξέ ιξη διαταρα ών, α μας ενδιαφέρει η ιστορία του κά ε σύμμορφου κυματικού αρι μού. Μια σημαντική ερώτηση που αφορά μια συ κεκριμένη κ ίμακα είναι το αν είναι με α ύτερη ή μικρότερη από τον ορίζοντα. Ακρι ο ο όντας, α έπρεπε να αναφερόμαστε πάντα στο μήκος Hubble, α ά ακο ου ούμε τη συνη ισμένη ορο ο ία όπου οι όροι ορίζοντας και μήκος Hubble ρησημοποιούνται από κοινού ια να αποδώσουν την έννοια του δεύτερου. Διαταρα ές τη πυκνότητας συνή ς ορίζονται από το σύμμορφο κυμματικό αρι μό κ, ο οποίος προκύπτει από μια αρμονική ανά υση Fourier της διαταρα ής. Ορίζουμε μια κ ίμακα να είναι ίση με τον ορίζοντα όταν κ = ah. Από τον ορισμό, κατά την διάρκεια του inflation το σύμμορφο μήκος Hubble μειώνεται ενώ σε ό ες τις ά ες στι μές αυξάνεται. Μια στα ερή σύμμορφη κ ίμακα κ 1 επομέν ς μπορεί να ξεκινήσει την εξέ ιξή της αρ ικά πο ύ μικρότερη από H 1 /a και να κατα ήξει στο τέ ος του inflation να ε ρείται πο ύ με α ύτερη. Για κά ε κ ίμακα η οποία περνάει τον ορίζοντα κατά την διάρκεια του inlation, μια σημαντική επο ή ια ποσοτικοποιήσουμε είναι ο ρόνος ο οποίος ισούται με την ακτίνα του Hubble, κ = ah. Με ί ες απ ές υπο έσεις, αυτό μπορεί να αντιστοι η εί με το π ή ος τ ν αρακτηριστικών ρόν ν του inflation (e-folding στους οποίους το σύμπαν αυξάνεται κατά παρά οντα e ύστερα από την παραπάν στι μή. Η εξέ ηξη μιας κ ίμακας κ, η οποία μπορούμε να φανταστούμε, ια παράδει μα, ότι είναι η κ ίμακα που σήμερα ισούται με την ακτίνα του Hubble, κ = a 0 H 0, όπ ς φαίνεται στην εικόνα??. Για να ταυτοποιήσουμε (ανα ν ρίσουμε τις διαφορετικές κ ίμακες, απαιτείται ένα μοντέ ο ια την εξέ ιξη του σύμπαντος μέ ρι και το παρόν. Για παράδει μα, στην απ ούστερη ιώσιμη κοσμο ο ία ρίζουμε την εξέ ιξη στα εξής μέρη: Από τη στι μή του η κ ίμακα κ 1 ισούται με την ακτίνα του Hubble έ ς το τέ ος του inflation 80

85 Σ ήμα 9.: Δύο όψεις της συμπεριφοράς της σύμμορφης κ ίμακας κ σε σ έση με το μήκος του Hubble (κ ίμακα του ορίζοντα Εξ ορισμού, το σύμμορφο μήκος Hubble 1/aH φ ίνει την περίοδο του inflation, ενώ στις ά ες επο ές αυξάνεται. Η πρώτη εικόνα δεί νει φυσικές συντετα μένες ενώ η κάτ σύμμορφες. Ο κατακόρυφος άξονας κα ύπτει πο ές τάξεις με ά ους. Μια κ ίμακα ξεκινά α ιά μέσα στον ορίζοντα, στην συνέ εια περνάει έξ κάποια στι μή πριν από το τέ ος του inflation και ξαναμπαίνει πο ύ μετα του τέ ους του inflation 81

86 Από το τέ ος του inflation μέ ρι την αποκατάσταση του ερμού Big Bang (ανα έρμανση. Εδώ υπο έτουμε ότι το σύμπαν συμπεριφέρεται την περίοδο αυτή σαν να κυριαρ είται από ύ η. Την επο ή κυριαρ ίας της ακτινο ο ίας, από το τέ ος της ανα έρμανσης (μεταφορές ενέρ ειας του κενού στην ακτινο ο ία και ύ η έ ς το ρόνο ισοδυναμίας ύ ης και ακτινο ο ίας t eq. Την επο ή κυριαρ ίας της ύ ης, από την στι μή t eq μέ ρι σήμερα. Αυτό δεν είναι το μόνο δυνατό μοντέ ο της εξέ ηξης του σύμπαντος. Για παράδει μα υπάρ ει μια τροποποίηση στην παραπάν ταξινόμιση ν στή ς ερμικό inflation, στο οποίο δύο πρόσ ετες περίοδοι συμ αίνουν σε αμη ές ενέρ ειες. Υπο έτουμε ακαριαίες μετα άσεις μεταξύ τ ν περιόδ ν. Χρησημοποιούμε τον δείκτη κ ια να συμ ο ίσουμε την τιμή τ ν ποσοτήτ ν κ = ah κατά την περίοδο του inflation και μετά την ανα έρμανση. Έπειτα, μετρώντας ό ες τις ποσότητες που σ ετίζονται με την σημερινή σύμμορφη κ ίμακα του Hubble 1 0 /a 0 παίρνουμε κ a 0 H 0 = ah κ ah 0 = a κ a τέ ος a αν/νση a eq H κ. (9.0 a τέ ος a αν/νση a eq a 0 H 0 Το πρώτο κ άσμα στο αριστερό μέ ος της εξίσ σης δίνει τον αρι μό τ ν αρακτηριστικών ρόν ν N(κ του inflation όταν η κ ίμακα κ ισούται με την ακτίνα του Hubble ( a κ a τέ ος = e N. Αντικα υστώντας τις τυπικές τιμές τ ν ά ν με ε ών παίρνουμε N(κ = 6 ln κ ln 1016 GeV a 0 H 0 Vκ 1/4 + ln V 1/4 k V 1 1/4 3 1/4 Vτέ ος ln. (9.1 ρ 1/4 αν/νση Οι τε ευταίοι 3 όροι της 9.1 αντιπροσοπεύουν την α ε αιότητα σε διάφορες ενερ ειακές κ ίμακες που σ ετίζονταιμε το inflation. Σε τυπικά μοντέ α του inflation, οι παρά οντες αυτοί δεν αναμένεται να είναι πο ύ με ά οι. Συνή ς, δεν είναι σημαντικό να ν ρίζουμε τον ακρι ή αρι μό τ ν αρακτηριστικών ρόν ν στον οποίο η σημερινή κ ίμακα Hubble είναι ίση με την κ ίμακα Hubble την περίοδο του inflation. Με την τυπική εξέ ηξη, συνή ς συναντάμε στην ι ιο ραφία τον ρόνο αυτό να παίρνει τις τιμές 50 ή 60 ενώ σε τροποποιημένες ε ρίες όπ ν το ερμό inflation να πάιρνει και την τιμή = 5. Το π ή ος τ ν αρακτηριστικών ρόν ν (e-folds του inflation μεταξύ του τέ ους του inflation και ενός ρόνου t κατά τη διάρκεια του inflation είναι N(t ln a(t end a(t = tend t = 1 m P l ϕend 8 ϕ t H H dϕ ϕt ϕ end dϕ 1. (9. M P l ϵ(ϕ

87 Οι με α ύτερες σύμμορφες κ ίμακες εξέρ ονται πρώτες από τον ορίζοντα κατά το inflation, και είναι οι τε ευταίες που ξαναμπαίνουν στον ορίζοντα αρ ότερα, κατά την περίοδο κυριαρ ίας της ακτινο ο ίας και ύ ης. Για να υπο ο ίσουμε τον αρι μό τ ν e-folds που απαιτούνται ια να υ εί το πρό ημα του ορίζοντα, ε ρούμε έναφυσικό κυματάρι μο k phus. Ο ό ος του με τη σημερινή κ ίμακα τυ Hubble είναι k phys a 0 H 0 = a kh k a 0 H 0 = a k a end a end a reh a reh a eq a eq a 0 H k H 0, (9.3 όπου a k και H k είναι ο παρά οντας κ ίμακας και η παράμετρος Hubble όταν ο συ κεκριμένος αυτός κυματάρι μος k εξέρ εται από τον ορίζοντα. a end είναι ο παρά οντας κ ίμακας στο τέ ος του inflation, a eq είναι ο περά οντας κ ίμακας στην επο ή κυριαρ ίας της ύ ης-ακτινο ο ίας και a eh 83

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Infaltion 10.1 Βα μ τά πεδία στον ώρο Minkowski Με ετάμε μια ε ρία N α μ τών πεδί ν ϕ I, I = 1,, N με κανονικοποιημένους 15 κινητικούς όρους. H Λα κρανζιανή της ε ρίας αυτής είναι L ( 1 ϕ I, µ ϕ I = µϕ I µ ϕ I V ( ϕ I (10.1 (όπου εννοείται ά ροιση τόσο στα µ όσο και στα I. Ως ν στόν οι εξισώσεις κίνησης παίρνονται με το να απαιτήσουμε την στασιμότητα της δράσης, δη αδή δs = 0 όπου S = Ld 4 x (10. ρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντετα μένες, οδη ούμαστε στις εξισώσεις Euler-Lagrange [ ] L L µ ϕ I ( = 0 (10.3 µ ϕ I όπου με έτσι η 10.3 ίνεται L ϕ I = V I και L ( µ ϕ I = µ ϕ I (10.4 V I V ϕ I. (10.5 µ µ ϕ I V I = 0. ( ια παράδει μα της μορφής 1 µϕ I µ ϕ I και ό ι µ ϕ I µ ϕ I. Ο ι ότι έ ει ιδιαίτερη συμμασία, απ ά ια να έ ει την ν στή μορφή η Lagrangian. 84

89 Η Λα κρανζιανή 10.1 εξαρτάται από τις ρο ρονικές συντετα μένες μόνο μέσα από τα ϕ I και µ ϕ I και ό ι άμεσα. Αυτό σημαίνει ότι η δράση είναι ανα οί τη κάτ από ομο ενείς μετα έσεις τ ν συντετα μέν ν στο ρο ρόνο. Σύμφ να με το εώρημα της Noether τέτοια ανα οιώτητα οδη εί σε διατηρούμενα ρεύματα. Αν μετατοπίσουμε ό η τις συντετα μένες του πεδίου κατά μια απειροστή ποσότητα α ν = στα. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα ρο ρονικό σημείο P η καινούρια τιμή του πεδίου ϕ I και η απόκ ισή του µϕ I είναι αυτές που υπήρ αν σε ένα ά ο σημείο P ώστε: Επομέν ς x ν (P = x ν (P α ν. (10.7 ϕ I(P = ϕ I (P = ϕ I (P α ν ν ϕ I (P ϕ I (P + δϕ I (P µ ϕ I(P = µ ϕ I (P = µ ϕ I (P α ν ν µ ϕ I (P µ ϕ I (P + δ ( µ ϕ I (P L (P = L(P α ν ν L(P L(P + δl(p Και αφού η Λα κρανζιανή εξαρτάται μόνο από τα ϕ I και µ ϕ I η μετα ο ή της α είναι: δl = L δϕ I + L ϕ I ( δ ( µ ϕ I µ ϕ I [ L = α ν ν ϕ I + ϕ I [ = α ν L ( µ ϕ I ν ϕ I L ] ( ν µ ϕ I µ ϕ I ], (10.8 όπου κάναμε ρήση της Επομέν ς έ ουμε ότι ( δl = α ν ν L α ν µ δ µ ν L [ ] = α ν L µ ( ν ϕ I. (10.9 µ ϕ I αφού αυτό ισ ύει ια κά ε (απειροστό α ν, έ ουμε το νόμο διαρήρησης όπου µ T µ ν = 0, (10.10 T µ ν δ µ ν L L ( µ ϕ I ν ϕ I, (10.11 ονομάζεται τανυστής ενέρ ειας-ορμής. Οι συνα οί τες συνειστώσεις του είναι T µν η µν L L ( ν ϕ I µ ϕ I [ = η µν 1 ] ρϕ I ρ ϕ I V (ϕ I + µ ϕ I ν ϕ I. (

90 Συ κεκριμένα ρ T 00 = 1 p 1 3 T i i = 1 I I ϕ I + 1 ϕ I 1 6 ( ϕi + V (ϕi (10.13 I ( ϕi V (ϕi. (10.14 I 10. Βα μ τά πεδία σε καμπύ ο ρο ρόνο Σε καμύ ο ρο ρόνο η Λα κρανζιανή 10.1 αντικα ίσταται από L ϕ = 1 gµν µ ϕ I ν ϕ I V (ϕ I = 1 ρϕ I V (ϕ I. (10.15 και η δράση από την S ϕ = L ϕ gd 4 x, (10.16 όπου g det [ g µν ]. (10.17 Στην 10.15, µ ϕ I = µ ϕ I αφού τα ϕ I είναι α μ τά πεδία, α ά ια τις αποκ ίσεις της Euler-Lagrange εξίσ σης, όπου πρέπει να ρησημοποιήσουμε το εώρημα του Stokes στην ενική του μορφή ια καμπύ ο ώρο µ υ µ gd 4 x = n µ υ µ γ d 3 x, (10.18 Σ όπου Σ είναι το σύνορο της ρο ρονικής περιο ής Σ και γ είναι η ορίζουσα της αντίστοι ης μετρικής του συνόρου. Παίρνουμε τις εξισώσεις του Einstein, διαταράσσοντας την δράση του Hilbert S = S H = R gd 4 x, (10.19 και απαιτώντας δs H = 0. Διαταράσσοντας τη μετρική g µν g µν + δg µν, παίρνουμε δs H = d 4 x gg µν δr µν + d 4 x gr µν δg µν + d 4 xr g. (10.0 Σ 86

91 Από τη ΓΣ ξέρουμε ότι το πρώτο ο οκ ήρ μα μηδενίζεται (αφού είναι ο ική απόκ ιση και μηδενίζεται από το. Stokes και ότι Το οποίο δίνει δ g = 1 ggµν δg µν. 16 ( g δs H δg µν = R µν 1 g µνr G µν = 0. (10. Παίρνουμε τη σ ετικιστική ε ρία με πη ές α μ τά πεδία ασ ενώς συζευ μένο με την αρύτητα διαταράσσοντας τη δράση S = 1 16πG S H + S ϕ = 1 R gd 4 x + L ϕ gd 4 x ( πG Και στο σύστημα MP l = 1 = 1 έ ουμε 8πG S = 1 dtd 3 g [ R ( µ ϕ V ] (10.4 Διαταράσσοντας ς προς τα α μ τά πεδία, παίρνουμε την εξίσ ση Euler- Lagrange [ ] L L µ ϕ I ( = 0 (10.5 µ ϕ I όπου έτσι παίρνουμε όπου L ϕ I = V I και L ( µ ϕ I = µ ϕ I (10.6 ϕ I V I = 0, (10.7 ϕ I µ µ ϕ I = g µν µ ν ϕ I = 1 g µ ( g µ ϕ I. (10.8 Διαταράσσοντας ς προς την αντίστροφη μετρική παίρνουμε τις εξισώσεις του Einstein R µν 1 g µνr = 8πGT µν, ( Από την σ έση του Jacobi ο κανόνας παρα ώ ισης της ορίζουσας δίνει από την οποία παίρνουμε δg = δdet(g µν = gg µν δg µν δ g = 1 g δg = 1 ( g g µν 1 ( δg µν = g ggµν δg µν. όπου κάναμε ρήση της σ έσης g µν δg µν = g µν δg µν 87

92 όπου Από την άρα από την 10.1 δs ϕ = = T µν 1 δs ϕ. (10.30 g δg µν δl phi δg µν = 1 µϕ I ν ϕ I = 1 µϕ I ν ϕ I (10.31 δl ϕ gd 4 x + L ϕ δ gd 4 x d 4 x g ( 1 µϕ I ν ϕ I 1 L ϕg µν δg µν (10.3 ώστε T µν = 1 g δs ϕ δg µν = µϕ I ν ϕ I + g µν L ϕ = µ ϕ I ν ϕ I 1 g µν ρ ϕ I ρ ϕ I g µν V (ϕ I, (10.33 ή T µ ν = µ ϕ I ν ϕ I 1 δµ ν ρ ϕ I ρ ϕ I δ µ ν V (ϕ I, (10.34 το οποίο είναι η σ ετικιστική μορφή της 10.1, με το η µν να έ ει αντικαταστη εί π έον από το g µν Υποκείμενο Σύμπαν Ας εφαρμόσουμε τα προη ούμενα στον επίπεδο FRW ώρο, με μετρική ds = a (η( dη + dx + dy + dz g = a 4. (10.35 Στον υποκείμενο ώρο τα α μ τά πεδία είναι ομο ενή, Και τα πεδία του υπο ά ρου ικανοποιούν την: 17 Από την 10.7 και την 10.8, έ ουμε ϕ I = ϕ I (η. (10.36 ϕ I + H ϕ I = a V ϕ I 17 ( g µ ( g µ ϕ I VI = 0 88

93 Από B έ ουμε Ισοδύναμη έκφραση στις σύνη ες μονάδες ρόνου:. ϕ + Hϕ + a V ϕ = 0 H ϕ + H 1 ϕ + a H V ϕ = 0 ( ( H ϕ + H 1 ϕ + H 1 ϕ + a a H V ϕ = 0 H ϕ + H 1 ϕ + H 1 ϕ + a a H V ϕ = 0 ϕ + 3H ϕ + a V ϕ = 0. και ο τανυστής ενέρ ειας ορμής του υπο ά ρου: T 0 0 = 1 a I T i 0 = T 0 i = 0 [ 1 T j i = δ j i a I ( ϕ I V ( ϕi = ρ ( ϕ I V ( ϕi ] = δ i j p. (10.38 Από την οποία έ ουμε ρ + p = a I ( ϕ I (10.39 ρ p = V (10.40 και οι εξισώσεις Friedmann είναι H = 8πG 3 ρa = 8πG [ 1 ] ( ϕ 3 I + a V (10.41 I H = 4πG [ 8πG ] ( ( ρ + 3 p = ϕ 3 3 I a V. (10.4 Διαφορετικοί συνδιασμοί τ ν εξισώσε ν Friedman δίνουν: I 1 a ( µ a µ V ϕ I = 0 ϕ I 1 a ( 0 a 0 V ϕ I = 0 ϕ I ϕ I + ȧ a ϕ I + V ϕ I = 0 89

94 [ 1 H H = 8πGa = 8πG I ] ( ϕ I a V (10.43 H + H = 4πG ( ρ + p a = 4πG ( ϕ I (10.44 I H + H = 4πG ( ρ p a = 8πGa V. ( Διαταρακτικό Σύμπαν Η μετρική που αποκ ίνει κατά δg µν από ένα επίπεδο FRW 18 σύμπαν μπορεί να ραφεί ς ds = a { ( 1 + A dη + i Bdx i dη + [( 1 D δ ij + i j E ] dx i dx j}, (10.46 δη αδή, g µν = ḡ µν + δg µν = a ( η µν + h µν [ ] = a 1 A B,i B,i (1 Dδ ij + E,ij (10.47 [ ] g µν = a 1 + A B,i. B,i (1 + Dδ ij E,ij όπου τα A,B,D και E είναι α μ τές συναρτήσεις τ ν συντετα μέν ν. Στην παραπάν μετρική εξετάζουμε μόνο α μ τές διαταρα ές, α νοώντας προς το παρόν τις διανυσματικές και τανυστικές ( α τις εξετάσουμε στο διαταρα ές. Από το παραπάν η ορίζουσα της μετρικής (ό α τα ινόμενα 18 Που σημαίνει ότι η μετρική του υπο ά ρου είναι ds = a (τ [ dτ δ ij dx i dx j] S Επι έξαμε αυτή ιατί είναι ρεα ιστική και δεν περιπ έκει ρις ό ο τις πράξεις. 19 Λό της τανυστικής φύσης της διαταρα ής, οι παραπάν α μ τές συναρτήσεις α άζουν όταν α άζει το σύστημα αναφοράς. Είναι ια παράδει μα δυνατό να υπάρ ει σύστημα αναφοράς ια το οποίο να είναι A = B = D = E = 0. Στην περίπτ ση αυτή δεν έ ουμε διαταρα ές στη μετρική, αφού παίρνουμε την αρ ική αδιατάρα τη FRW μετρική. Επομέν ς το ε ονός ότι έ ουμε τέσσερες α μ τές συναρτήσεις τ ν συντετα μέν ν στην παραπάν μετρική, δεν ε υάται ότι πρα ματικά έ ουμε να κάνουμε με κοσμο ο ικές διαταρα ές, ιατί οι συναρτήσεις αυτές μπορεί να είναι απ ά ιδιομορφίες τ ν συντετα μέν ν. Αυτό είναι ν στό και ς πρό ημα της α μίδας. Προκειμένου να εξασφα ίσουμε ότι πρα ματικά ε ουμε να κάνουμε με κοσμο ο ικές διαταρα ές, είναι ρήσιμο να κατασκευάσουμε συνδυασμούς τ ν παραπάν α μ τών που παραμένουν ανα οί τοι κάτ από πρώτης τάξης μετασ ηματισμούς συντετα μέν ν. Υπάρ ουν τρεις συνδιασμοί ανεξάρτητοι από την επι ο ή ρικού συστήματος συντετα μέν ν: A, D 90

95 είναι εκτός από τα δια ώνια είναι μικρά σε του ά ιστον δεύτερη τάξη g a 8( 1 + A ( 1 D + E 11 ( 1 D + E ( 1 D + E33 a 8[ 1 + A 6D + (E 11 + E + E 33 ] = a 8 (1 + A 6D, (10.48 αφού ο E ij είναι άι νος. Από αυτήν g = a 4 (1 + A 3D. (10.49 Σε αυτήν την διαταρα μένη μετρική, η εξίσ ση 10.7 ίνεται ϕ I + Hϕ I ϕ I ( A + 3D B i,i ϕ I = a (1 + A V ϕ I. (10.50 Χ ρίζουμε τώρα τα πεδία στο κομμάτι που αφορά το υπό α ρο και το κομμάτι της διαταρα ής, Το δυναμικό ίνεται και οι παρά οι ίνονται ϕ I = ϕ I (η + δϕ I (η, x. (10.51 V (ϕ I = V ( ϕ I + δϕ I = V ( ϕ I + V ϕ I δϕ I (10.5 V I V ϕ I = V ϕ I ( ϕ 1 + δ ϕ 1,, ϕ N + δ ϕ N = V ϕ I ( ϕ 1,, ϕ N + J V ϕ I ϕ J δϕ J (10.53 V J + J V IJ δϕ J Χ ρίζοντας την σε συνεισφορά υπο ά ρου και το κομμάτι της διαταρα ής παίρνουμε δϕ I + Hδϕ I δϕ I + a V IJ δϕ J = a V I A + ϕ I(A + 3D B i,i, (10.54 όπου έ ουμε π έον σταματήσει να άζουμε μπάρες πάν από τις ποσότητες του υπο ά ρου (εδώ V IJ, V I και ϕ και ενοείται ά ροιση στα J. Εδώ B i,i και σ E B, με E = de/dη. Υπάρ ουν δύο συνδιασμοί ανεξάρτητοι από την επι ο ή ρονικών συντετα μέν ν, π τα δυναμικά Bardeen Ψ A Hσ σ, Φ D Hσ Ιδιαίτερα ρήσιμη είναι η Νευτώνεια α μίδα B = E = 0, στην οποία η μετρική ίνεται δια ώνεια 91

96 B = B, άρα το μέρος του διανύσματος δεν συνεισφέρει. Για ό ου συμμετρίας, τα α μ τά πεδία συζεύ ονται μόνο με α μ τές διαταρα ές της μετρικής, και επομέν ς α εξετάσουμε αυτές απ οεδ και πέρα. Εισά οντας την στην παίρνουμε το κομμάτι του τανυστή ενέρ ειας ορμής που αφορά το υπό α ρο και τις διαταρα ές δt0 0 = { } a [ϕ Iδϕ I (ϕ I A] + V I δϕ I = δρ I δt 0 i = a I δt0 i = a I δtj i = δj i I ϕ I i (δϕ I [ ϕ I i (δϕ I (ϕ I B i ] { a [ϕ Iδϕ I (ϕ I A] V I δϕ I } = δjδp. i (10.55 Β έπουμε ότι τα α μ τά πεδία δεν έ ουν ανισοτροπικό στρες και επομέν ς τα Bardeen δυναμικά είναι ίδια, Φ = Ψ. Μπορούμε τώρα να ράψουμε τις εξισώσεις του Einstein. Διαταρακτικές εξισώσεις Einstein + 1 a δg 0 0 =3H ( HA + D = 4πG I { [ ϕ Iδϕ I] + a V I δϕ I } (10.56a 1 a δg 0 i = ( ψ + HA,i = 4πG I ϕ I i ( δϕi (10.56b + 1 a δg i 0 = [ ψ + HA + ( H + H B ],i =4πG [ ( ( B,i ] (10.56c ϕ I i δϕi + ϕ I I. + 1 a δg i j = [( H + H A + HA + ψ + Hψ + 1 D ] δj i 1 D,ij { [ϕ =4πGδj i Iδϕ I (ϕ I A ] } a V I δϕ I, I (10.56d όπου D A ψ + H ( ( B E + B E = 0 (10.57 επειδή το δεξί μέ ος της 10.56d δεν έ ει δια ώνιο μέ ος. Και τα δύο μέ η τ ν 9

97 εξησώσε ν 10.56b-10.56c είναι αποκ ίσεις και έτσι παίρνουμε ψ + HA =4πG I ψ + HA + ( H + H B =4πG I ( H + H A + HA + ψ + Hψ =4πG I ϕ Iδϕ I (10.58a [ ϕ Iδϕ I + ( ϕ B ] I (10.58b { [ϕ Iδϕ I (ϕ I A ] } a V I δϕ I. (10.58c Η διαφορά μεταξύ τ ν εξισώσε ν 10.58b και 10.58a είναι μόνο η εξίσ ση του υπο ά ρου, άρα δεν είναι ανεξάρτητες διαταρακτικές εξισώσεις. Αφού τα ϕ I είναι α μ τά πεδία, ο μετασ ηματισμός α μίδας τους είναι δϕ I = δϕ I ϕ Iξ 0. ( Βα μίδα επίπεδου ώρου Υπάρ ουν διαφορετικές τακτικές ια την επί υση α μ τών διαταρακτικών εξισώσε ν. Μια τακτική είναι να ρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις του Einstein ια να εξα είψουμε τις διαταρα ές της μετρικής από την 10.54, ια να πάρουμε μια διαφορική εξίσ ση μόνο ια το δϕ I. Για να το επιτύ ουμε αυτό, πάμε στην ρικά επίπεδη α μίδα, η οποία συμ ο ίζεται με τον δείκτη Q και ορίζεται ς Αφού η διαταρα ή της μετρικής ψ μετασ ηματίζεται ς ψ Q = 0 (10.60 ψ Q = ψ + Hξ 0. (10.61 πη αίνουμε στην ρικά επίπεδη α μίδα μέσ του μετασ ηματισμού α μίδας ξ 0 = H 1 ψ. (10.6 Η διαταρα ή του πεδίου στην ρικά επίπεδη α μίδα συμ ο ίζεται ορισμένες φορές με Q και κα είται μετα ητή Sasaki ή μετα ητή Mukhanov: Q I δϕ Q I = δϕ I + ϕ I ψ. (10.63 H 93

98 Στην α μίδα αυτή οι πεδιακές εξισώσεις ίνονται ( Q I + HQ I Q I + a V IJ Q J = a V I A Q + ϕ I A Q + 3D Q + B Q = a V I A Q + ϕ IA Q ϕ I ( E Q B Q. (10.64 Η δεύτερη εξίσ ση του Einstein 10.58b ίνεται HA Q = 4πG I ϕ IQ I A Q = 4πGH 1 I ϕ IQ I, (10.65 η οποία μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε το A Q στην Οι εναπομέιναντες διαταρα ές της μετρικής στην εξίσ ση είναι ο συνδιασμός ( E Q B Q. Παρατηρούμε ότι τα δυναμικά Bardeen τώρα είναι Φ = Ψ = ψ H ( B E = H ( E Q B Q, (10.66 ώστε ο τε ευτίος όρος στην ίνεται όπου ϕ I ( E Q B Q = H 1 ϕ I Φ (10.67 Φ = 4πGa δρ C (10.68 (από τις εξισώσεις δεσμούς Einstein. Οι εναπομείνουσες διαταρα ές της μετρικής έ ουν αντικαταστα εί από από διαταρα ές στην πυκνότητα ενέρ ειας α ά σε διαφορετική α μίδα, τη σύμμορφη α μίδα. Επομέν ς ρειάζεται να εκφράσουμε τις διααρα ές πυκνότητας στη σύμμορφη α μίδα δρ C ς προς ποσότητες στην α μίδα επίπεδου ώρου. Προη ουμέν ς ορίσαμε την σύμμορφη α μίδα απαιτώντας u C = B C = 0. Από τις οποίες έπεται και ια την περίπτ ση του ενός πεδίου u i = δt i 0 ρ + p, (10.69 δt 0 i = 0 και B = 0. (10.70 ( ϕ I i δϕ C I = 0 (10.71 I δϕ C = 0 (

99 (του ά ιστον όταν ϕ 0. Και αφού τα δti 0 και B μετασ ηματίζονται ς δt i 0 =δti 0 ( T T k k ξ 0,i = δti 0 + ( ρ + p ξ,i 0 B =B + ξ + ξ 0, (10.73 παίρνουμε τη σύμμορφη α μίδα ξ,i 0 = δt i 0 ρ + p = ( ϕ ( ϕ και I δϕ I I ξ 0 = ϕ I δϕ (10.74 I ( ϕ I ξ = B ξ 0. (10.75 Για τη διαταρα ή της πυκνότητας στη σύμμορφη α μίδα παίρνουμε δρ C =δρ ρ ξ 0 [ ( ϕ I δϕ I ϕ IA ( ] ϕ I Hϕ I δϕi =a I =a I [ ( ϕ I δϕ I ϕ IA ( + 3Hϕ I + a V ϕ I δϕ I ] (10.76 Φ =4πG I [ ( ϕ I δϕ I ϕ IA ( ] ϕ I Hϕ I δϕi, όπου τα δϕ I και A είναι σε αυ αίρετη α μίδα. Συ κεκριμένα στην α μίδα επίπεδου ώρου Φ =4πG I [ ( ( ϕ I δϕ I ϕ ] IA Q ϕ I Hϕ I QI. (10.77 Μπορούμε τώρα να ρησιμοποιήσουμε την (και την εξίσ ση του υπο ά ρου ια να αντικαταστήσουμε το A Q στην Φ = 4πGa δρ C = 4πG I ϕ I (Q I + H H Q ϕ I Q I ϕ I (10.78 και ια να ράψουμε την σε μορφή που εμπ έκει μόνο τις διαταρα ές του πεδίου Q I Q I + HQ I Q I + [ a V IJ 8πG ( ] a a H ϕ Iϕ J Q J = 0. (10.79 I 95

100 Β έπουμε ότι η εξέ ιξη τ ν διαφορετικών διαταρα ών του α μ τού πεδίου Q I είναι συζευ μένες με τις δεύτερες παρα ώ ους του δυναμικού V IJ και της εξέ ιξηε του υπο ά ρου (a H 1 ϕ I ϕ J. Στην ισοδύμαμη έκφραση του συνή ους κοσμικού ρόνου t η ίνεται Q I + 3H Q I 1 a Q I + [ V IJ 8πG ( ] d a 3 a 3 dt H ϕ I ϕj Q J = 0. (10.80 I 10.6 Ένα Πεδίο Υπό α ρο Για την περίπτ ση ενός μοναδικού πεδίου η ίνεται έτσι ώστε ρ = 1 a (ϕ + V και p = 1 a (ϕ V, (10.81 ρ + p = a (ϕ και ρ p = V και w p ρ = (ϕ a V (ϕ + a V, (10.8 οι εξισώσεις Friedmann είναι H = 8πG 3 ρa = 4πG [ (ϕ + a V ] 3 H = 4πG 3 (ρ + 3pa = 8πG 3 Η εξίσ ση πεδίου του υπο ά ρου είναι [ (ϕ a V ]. (10.83 ϕ + Hϕ + a V ϕ = 0. (10.84 ενώ η ίδια στις συνή εις ρονικές συντετα μένες (όπ ς δείξαμε σε προη ούμενη ενότητα είναι ϕ + 3H ϕ + a V ϕ = 0. (10.85 Παρα ίζοντας την και ρησιμοποιώντας την 10.85, παίρνουμε ρ = 3Ha (ϕ και p = 3Ha (ϕ ϕ V ϕ (10.86 και c s p ρ = 3Hϕ + a V ϕ 3Hϕ. (

101 10.6. Διαταρακτικές εξισώσεις πεδίου Για ένα μοναδικό πεδίο, έ ουμε μόνο ένα α μό ε ευ ερίας ( ια κά ε τιμή του k. Για κά ε α μό ε ευ ερίας, μπορούμε να πάρουμε τη μετρική διαταρα ή του Φ, ή τη διαταρα ή στην ρικά επίπεδη α μίδα Q. Και στις δύο προσε ίσεις παίρνουμε μια διαφορική εξίσ ση δευτέρας τάξης, στην τε ευταία περίπτ ση Q k + HQ k + k Q k + a V ϕϕ Q k = 8πG [ ] a a H (ϕ Q k. (10.88 Εάν ξέραμε την ύση του υπο ά ρου, α μπορούσαμε να ύσουμε την εξίσ ση ξεκινώντας από τις αρ ικές συν ήκες Q k και Q k σε κάποιο αρ ικό ρόνο η = η init. Οι διαταρα ές του πεδίου κα ορίζουν στη συνέ εια ό ες τις υπό οιπες διαταρακτικές ποσότητες. Παρό α αυτά, όπ ς και στην περίπτ ση του ιδανικού ρευστού, είναι ρήσιμο να ορίσουμε ά ες ποσότητες όπ ς την ο ική εντροπία της διαταρα ής S και τη σύμμορφη καμπυ ότητα της διαταρα ήε R. Αυτές έ ουν πιο απ ές συμπεριφορές σε κ ίμακες έξ από τον ορίζοντα Καμπυ ότητα και Ο ική Εντροπία Διαταρα ών Η σύμμορφη διαταρα ή της καμπυ ότητας ορίζεται από όπου τώρα, από την ώστε έ ουμε Παρα ίζοτας αυτό παίρνουμε R ϕ C = ψ Hξ 0, (10.89 ξ 0 = δϕ ϕ (10.90 R = ψ H ϕ = H ϕ Q. (10.91 R = ψ H ( Q + H ϕ H Q ϕ. (10.9 ϕ 97

102 Συ κρίνοντας με την μπορούμε να το ράψουμε ς Στο ώρο Fourier R = Ha ( ϕ δρc = H ρ + p δρc (10.93 = H 4πG ( ϕ Φ = ρ 3H ρ + p Φ. (10.94 H 1 R k = 3 ρ ρ + p ( k Φ, (10.95 H που δεί νει ότι R k = στα. σε κ ίμακες έξ από τον ορίζοντα (στον υπερορίζοντα k H. Στο inflation ισ ύει ρ+p ρ. Στην επ[όμενη ενότητα, δεί νουμε ότι 1 + w = ( ρ + p /ρ είναι πρώτης τάξης ς προς τους slow-roll παρά οντες Slow-Roll Inflation Η παρά ραφος αυτή αφορά την ύση του υπο ά ρου. Χρησιμοποιούμε σύνη η κοσμικό ρόνο t, αντί ια το σύμμορφο ρόνο η και ράφουμε Η ακρι είς εξισώσεις ια το υπό α ρο είναι V dv dϕ. (10.96 ϕ + 3H ϕ + V = 0 και H = 8πG (1 3 ϕ + V = 1 (1 3M ϕ + V (10.97 όπου M 1 8πG (10.98 είναι η μάζα του Planck. Στην slow-roll προσέ ιση υπο έτουμε ότι ϕ V και ϕ 3H ϕ, (10.99 και αντικα ιστούμε την εξίσ ση από τις slow-roll εξισώσεις 3H ϕ + V = 0 V = 3H ϕ ϕ = V 3H H = 1 3M V V = 3M H 3H = V M, (

103 και από αυτές H 1 ϕ = M V V. ( Από εδώ και πέρα πρέπει να ρησημοποιούμε τις αντί τ ν Σημαντικό στην slow roll προσέ ιση είναι να υμόμαστε ότι τώρα ό α εξαρτ νται από το ϕ, μέσ του V ϕ και τ ν παρα ώ ν του. Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ξε ριστά τα ϕ και ϕ. Παρα ίζ ντας τις slow-roll εξισώσεις, παίρνουμε Ḣ = (V 6V M και ϕ V V = 3 V Ορίζουμε τις slow-roll παραμέτρους M 6 (V 3 V. (10.10 ϵ V M ( V η V M V V V ξ V M 4 V V V 0 ( Χρησιμοποιώντας τις slow-roll εξισώσεις παίρνουμε το επόμενο αποτέ εσμα H Ḣ = ϵ (10.104a ( H 1 ϕ = M ϵ (10.104b H ϕ = H 1 ϕ( ϵ η (10.104c H 1 ϵ = ϵη + 4ϵ H 1 η = +3ϵη ξ (10.104d (10.104e και ρ = ( ϵ V p = ( ϵ V w p ρ ϵ 1 + w 3 ϵ c s = ṗ ρ 1 3 ϵ + 3 η. ( Κατά τη περίοδο του inflation, οι slow-roll παράμετροι ϵ και η είναι τυπικά μικροί, ενώ το ξ είναι ακόμα μικρότερο: τυπικά το ξ είναι μικρό σε δεύτερη τάξη ς προς τα ϵ και η. Όταν έμε ότι υπο ο ίζουμε μια slow-roll παράμετρο σε μια συ κεκριμένη τάξη αναφερόμαστε στα ϵ και η σαν να είναι πρώτης και το ξ δεύτερης τάξης.β έπουμε ότι οι ρονικές διακυμάνσεις τ ν ϵ και η είναι επίσης μικρά σε δεύτερη τάξη ς προς τις slow-roll παραμέτρους. 99

104 Εξέ ιξη έξ από τον ορίζοντα Θέ ουμε να υπο ο ίσουμε π ς οι διαταρα ές του πεδίου εξε ίσσονται στην slow-roll inflation, ξεκινώντας από τότε όταν οι διαταρα ές είναι εντε ώς εντός του ορίζοντα. Οι διαταρακτική εξίσ ση πεδίου είναι ( [ ( ] k 8πG H Q k +3H 1 Q k + Q k ah = d a 3 H a 3 H dt H ϕ V Q 3 k. ( Στην slow-roll προσέ ιση ο όρος στο δεξί μέ ος είναι [ 6ϵ 3η + 6ϵ 4ϵη ] Q k. 1 ( Επομέν ς έπουμε ότι στην α μίδα επίπεδου ώρου, οι διαταρα ές της μετρικής επιρρεάζουν την διαταρακτική πεδιακή εξίσ ση σε πρώτη τάξη τ ν slow-roll παραμέτρ ν. Εαν υπο ο ίζαμε μόνο σε 0 κη τάξη ς προς τiς slow-roll παραμέτρους, α μπορούσαμε να α νοήσουμε τις μετρικές διαταρα ές σε αυτήν την α μίδα. Σε πρώτη τάξη ς προς τις slow-roll παραμέτρους η τε ευταία εξίσ ση ίνεται H Q k + 3H 1 Q k + ( k Q k ah = [ 6ϵ 3η ] Q k. ( και ρησιμοποιώντας το σύμμορφο ρόνο παίρνει τη μορφή Q + 3H 1 Q + k Q = H ( 6ϵ V 3η V Q, ( ( άζουμε το δείκτη V ώστε να μην υπάρ ει σύν ιση της slow-roll παραμέτρου η V και του σύμμορφου ρόνου η. Ορίζουμε και η εξίσ ση ίνεται 1 Β έπε απόδειξη IX u + (k a a u aq, ( u = H ( 6ϵ V 3η V u. (

105 Υπό α ρο Πρώτα ρειάζεται να ύσουμε το πρό ημα του υπο ά ρου, π. π ς τα a και H εξε ίσσονται. Από την H = a a ρίσκουμε τις εξισώσεις a (1 a = H + H H = ah = ȧ (10.11 και και ρησιμοποιώντας τις σ έσεις έ ουμε ότι H H = 1 + Ḣ H. ( H H = 1 ϵ V ( και a a = H ( ϵ V. ( Ο οκ ηρώνοντας την παίρνουμε dh H = (1 ϵ V dη H = Παρα ίζοντας ια ά η μια φορά 1 (1 ϵ V η = 1 da a dh. ( da a = 1 dη 1 ϵ V η ln a = 1 ln η + στα. a ( η 1 1 ϵ V. 1 ϵ V ( Να παρατηρήσουμε εδώ ότι to η είναι αρνητικό, κα ώς ο ρόνος π ησιάζει το η 0 και a (εάν η slow-roll περίοδος συνε ιζόταν Συναρτήσεις Hankel και Bessel Οι εξισώσεις Hankel H (1 ν J ν (x + in ν (x και H ( ν J ν (x in ν (x, ( όπου οι J ν (x και N ν (x είναι συναρτήσεις Bessel και Neumann αντίστοι α και είναι ύσεις της εξίσ σης Β έπε απόδειξη VIII x d dx Z(x + x d dx Z(x + [ x ν ] Z(x = 0. (

106 ια πρα ματικά x, οι J ν (x και N ν (x είναι πρα ματικές και ν(x = H ν (1 (x. Η ασυμπτ τική τους συμπεριφορά είναι H ν (1 (x H ν (1 (x i [ πx ei x (ν+ 1 4 π ( ν 1! π ] ( ν = x ια x (10.10 π π e i ν 3 Γ(ν Γ( 3 x ν ια x 0. ( Διαταρακτική εξίσ ση Χρησιμοποιώντας την , η ίνεται και κάνοντας ρήση της u + [ k H ( + 5ϵ V 3η V ] u = 0, (10.1 H = παίρνουμε σε πρώτη τάξη τ ν slow-roll παραμέτρ ν 1 (1 ϵ V η 1 + ϵ V η (10.13 u + [ k 1 η ( + 9ϵ V 3η V ] u = 0. (10.14 Η εξίσ ση αυτή μοιάζει με εξίσ ση Bessel και αυτό το έπουμε εάν τη φέρουμεστη μορφή u + [k 1η (ν 14 ] u = 0. (10.15 όπου ν = ϵ V 3η V ν = 3 Ορίζουμε μια νέα συνάρτηση s τέτοια ώστε Η εξίσ ση ίνεται 1 + 4ϵ V 4 3 η V 3 + 3ϵ V η V. (10.16 u ( η 1/ s. (10.17 η s + ηs + [ k η ν ] s = 0, (10.18 την οποία ανα ν ρίζουμε ς εξίσ ση Bessel. Οι ύσεις επομέν ς είναι s(η ( η 1/ u(η ( η 1/ aq k (η = C 1 k H ν (1 ( kη + C k H ν ( ( kη, (

107 ή Q k = C k a 1 ηh ν ( kη ( Νεαρές επο ές αντιστοι ούν στο όριο x = kη και ύστεροι ρόνοι στο x = kη 0. Επομέν ς ια νεαρές επο ές έ ουμε Q k = C k π 1 a k e ikη ( και σε ύστερες επο ές Q k = C k a 1 η Γ ( ν π ν 3/ Γ ( ( kη ν 3 (10.13 όπου α νοήσαμε τον στα ερό παρά οντα φάσης exp [ i(ν + 1/π/ ] (νεαροί ρόνοι και exp [ iπ/ ] (ύστεροι ρόνοι αφού δεν παίζουν ρό ο στην συνέ εια. Από την Από την ν = 3 + 3ϵ V η V. ( a 1 ( η 1/(1 ϵ V ( η 1+η V 1 aη ( ηϵ V ( Επομέν ς σε ύστερους ρόνους έ ουμε Q k ( η 3/+ϵ V ν = ( η η V ϵ V, ( π το Q k ίνεται σ εδόν στα ερό, εννοώντας σε 0 η τάξη τ ν slow-roll παραμέτρ ν Δημιουρ ία Βα μ τών Διαταρα ών Κ ίμακες εντός του ορίζοντα κατά την περίοδο του inflation είναι μικροσκοπικές και επομέν ς κ αντικά φαινόμενα είναι σημαντικά. Κατά συνέπεια α πρέπει να με ετήσουμε τη συμπεριφορά τ ν α μ τών πεδί ν ρησιμοποιώντας κ αντική ε ρία πεδίου. Eξετάζουμε πρώτα μια κ αντική ε ρία πεδίου ενός α μ τού πεδίου σε ώρο Minkowski. 103

108 Διαταρα ές του κενού στον ώρο Minkowski Η εξίσ ση πεδίου ια ένα έμμαζο ε εύ ερο πρα ματικό α μ τό πεδίο σε ενα ώρο Minkowski είνει ϕ ϕ + m ϕ = 0, ( ή ϕ k + E kϕ k = 0, ( όπου E k = k + m, ια τις συνειστώσες Fourier. Παρατηρούμε ότι η είναι η εξίσ ση του αμονικού τα αντ τή. Επομέν ς καά ε συνειστώσα Fourier του πεδίου συμπεριφέρεται ς ανεξάρτητος αρμονικός τα αντ τής. Για ευκο ία α ε ρήσουμε ένα σύστημα τα αντ τών περιορισμέν ν σε έναν ό κο V = L 3, επιτρέποντάς μας να κάνουμε α ροίσματα Fourier σε ενα διακριτό σύνο ο κυματαρι μών k, αντί ια ο οκ ηρώματα Fourier. Έ ουμε ένα ξε ριστό ζεύ ος τε εστών δημιουρ ίας και καταστροφής â k, â k ια κά ε k. Συν ο ίζουμε τη ασική κατάσταση 0, και την ονομάζουμε κατάσταση κενού. Τα σ ματίδια είναι κ άντα τ ν τα αντώσε ν του πεδίου. Το κενό είναι κατάσταση με απουσία σ ματιδί ν. Δρώντας στο κενό με τον τε εστή δημιουρ ίας â k προσ έτουμε ένα κ άντο ορμής k και ενέρ ειας E k στο σύστημα. Την κατάσταση αυτή την συμ ο ίζουμε ς â k 0 = 1 k. ( Ως ν στών η δράση του τε εστή καταστροφής στη ασική κατάσταση μας δίνει â k 0 = 0. ( Τα ερμητιανά συζυ ή τ ν παραπάν σ έσε ν είναι 0 â k = 1 k και 0 â k = 0. ( Ενώ οι σ έσεις μετά εσης τ ν τε εστών αυτών είναι [â k, â k ] = [â k, â k ] = 0, και [â k, â k ] = δ k k. ( Το κ ασικό παρατηρίσημο μέ ε ος ϕ(t, x = ϕ k (te i k x (10.14 αντικα ίσταται από το τε εστή του πεδίου ˆϕ(t, x = ˆϕ k (te i k x (

109 όπου και ˆϕ(t = w k (tâ k + w k(tâ k w k (t = V 1/ 1 Ek e ie kt ( ( είναι η συνάρτηση άρους της κατάστασης k άρα α πρέπει να είναι μια κανονικοποιημένη ύση της Δου εύουμε στην εικόνα του Heisenberg όπου έ ουμε ρονικά εξέ ισσόμενους τε εστές. Στην κ ασική περίπτ ση η ασική κατάσταση α ήταν αυτή όπουεί αμε ϕ = στα. = 0, α ά ξέρουμε από την κ αντική μη ανική ότι στην περίπτ ση του αρμονικού τα αντ τή υπάρ ουν τα αντώσεις ακόμα και στην εμε ιώδη κατάσταση. Όμοια υπάρ ουν τα αντώσεις του α μ τού πεδίου, οι διακυμάνσεις κενού. Θα υπο ο ίσουμε το φάσμα ισ ύος αυτών τ ν διαταρα ών του κενού. Το φάσμα της ισ ύς ορίζεται ς την αναμενόμενη τιμή P ϕ (k = V k3 π ϕ k ( και η διακύμανση του πεδίου ράφεται συναρτήσει αυτής ς ϕ( x = 0 dk k P ϕ(k. ( ια την εμε ιώδη κατάσταση, η αναμενόμενη τιμή του ϕ k είναι 0 ˆϕ k ˆϕ k 0 = w k 0 â k â k 0 + w k 0 â k â k 0 + (wk 0 â kâ k 0 + w k 0 â k â k 0 ( = w k 1 1 k k = wk Από την έ ουμε ότι w = 1/(V E k. Το ασικό αποτέ εσμά μας είναι ότι P ϕ (k = V k3 π w k ( ια διαταρα ές του κενού. Στη συνέ εια α εφαρμόσουμε το αποτέ εσμα αυτό στην περίπτ ση τπυ inflation όπου και οι συναρτήσεις w k (t διαφέρουν Διαταρα ές του κενού την περίοδο του Inflation Κατά την περίοδο του inflation η εξίσ ση πεδίου ( ια διαταρα ές στο infaltion είναι η Υπάρ ουν τα αντώσεις μόνο στην διαταρα ή Q, το πεδίο ϕ 105

110 στο υπό α ρο είναι ομο ενές και εξε ίσσεται αρ ά με το ρόνο. Από την οπτική ενός σ ματιδίου, η ύση του υπο ά ρου αναπαραστά το κενό (ό ι υπό την έννοια ότι αυτή είναι η εμε ιώδης κατάσταση του συστήματος, ιατί η πρα ματική εμε ιώδης κατάσταση έ ει το ϕ στο ε ά ιστο του δυναμικού. Τα σ μάτια είναι κ άντα τα αντώσε ν ύρ από αυτήν την τιμή. Βρήκαμε ότι οι ανεξάρτητες ύσεις του Q k (η (που δεν είναι παρά η διαταρα ές του πεδίου δϕ k όπ ς φαίνεται από την ια την περίπτ ση που είμαστε στην περίοδο του inflation, δίνονται από την επομέν ς οι συναρτήσεις άρους w k (t α δίνονται από αυτές τις ύσεις του κ άντου του α μ τού πεδίου με την απροσδιοριστία μιας πο απ ασιαστικής στα εράς κανονικοποίησης. w k (η = C k a 1 ηh (1 ν ( kη ( και ο μι αδικός συζυ ής του w k (η, όπου η ρονική εξάρτηση είναι στον παρά οντα κ ίμακας a = a(η ( η 1/(1 ϵ S3. Όταν η κ ίμακα k είναι εντε ώς εντός του ορίζοντα, k H 1/( η, w k (η C k π 1 a k e ikη ( τα αντώνεται ρή ορα ς προς το ρόνο του Hubble. Σε κ ίμακες αποστάσε ν και ρόνου πο ύ μικρότερες από την κ ίμακα του Hubble, μπορούμε να α νοήσουμε την διαστο ή του σύμπαντος και να ράψουμε η = t/a. Τα πρά ματα α πρέπει να έ ουν τότε την συμπεριφορά που αναμένουμε στον ώρο Minkowski και να εξισώσουμε την παραπάν ύση με την συνάρτηση άρους στο ώρο Minkowski, C k π απο την οποία παίρνουμε E k = k/a και 1 a k e ikη = (al 3/ 1 e ie kt Ek C k = L 3/ π 4 (10.15 ( έτσι ώστε η ορ ά κανονικοποιημένη συνάρτηση άρους κατά την περίοδο του inflation να είναι w k (η = L 3/ π 4 a 1 ηh ν ( kη, ( το οποίο μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε σε ό ους τους ρόνους κατά την διάρκεια του slow-roll inflation. 3 Θε ρούμε το ϵ στα ερό 106

111 Ο τε εστής του πεδίου ια τις α μ τές διαταρα ές του κατά την περίοδο του inflation είναι ˆQ k (η = w k (ηâ k + w k(ηâ k, ( και το φάσμα ισ ύος της α μ τής διαταρα ής του πεδίου είναι P Q (k = L 3 k3 π w k. ( Πο ύ πριν από την έξοδο από τον ορίζοντα, k H, παρατηρούμενος σε ρονικές κ ίμακες πο ύ μικρότερες από το ρόνο του Hubble, ο τε εστής του πεδίου ˆQ k (η ίνεται ο τε εστής πεδίου στο ώρο Minkowsi (Εξ και έ ουμε κοινές διαταρα ές του κενού ια το ϕ. Πο ύ αρ ότερα από την έξοδο από τον ορίζοντα, η συνάρτηση άρους ίνεται σ εδόν στα ερή με το ρόνο (Εξ , w k (η = L 3/ 1 s 1 η( kη ν Γ( 3 ( η η V ϵ V, ( a ν 3/ Γ(ν και οι διαταρα ές πα ώνουν. Οι κ ίμακες τότε εί αν με α ώσει και έτσι οι διαταρα ές μπορούν να με ετη ούν κ ασικά. Το φάσμα ισ ύος τ ν α μ τών διαταρα ών Q ίνεται: P Q (η, k = ν 3 (π = 6ϵ V η V (π [ ] Γ(ν Γ( 3 ( aη ( kη 3 ν [ Γ( 3 + 3ϵ ] s η s Γ( 3 ( aη ( kη η V 6ϵ V. ( Β έπουμε ότι η εξάρτηση του φάσφατος ισ ύος από την κ ίμακα (κυματάρι μο είναι P Q k η V 6ϵ V k ns n s = η V 6ϵ V. ( Ακόμα και σε ύστερους ρόνους, το φάσμα ισ ύος έ ειμια ασ ενής ρονική εξάρτηση ( η η V 4ϵ V, και σημαντικότερα,η προσέ ισή μας ότι οι slowroll παράμετροι παραμένουν στα ερές α ισ ύει ια ένα π ή ος περιόδ ν 1/(slow roll παράμετροι. Επομέν ς α πρέπει να α άξουμε μετα ητές μετά την έξοδο από τον ορίζοντα. 107

112 Αρ έ ονο Φάσμα Ισ ύος Από την είδαμε ότι η σύμμορφη διαταρα ή στην καμπυ ότητα παραμένει στα ερή σε κ ίμακες έξ από τον ορίζοντα και ότι R = Ḣ ϕ Q = H ϕ Q ( Από το οποίο συνεπά εται ( Ḣ P R (η, k = P Q (η, k. ( ϕ Και επομέν ς έ ουμε σε ύστερους ρόνους (όταν k H P R (η, k = ν 3 (π [ ] ( Γ(ν H Γ( 3 aη ϕ ( kη 3 ν (10.16 Με την εξάρτηση από την κ ίμακα να είναι k 3 ν και την ρονική εξαρτηση να δίνεται από ( H ( 1 ν η ( a ϕ 108

113 ( H a ϕ ( η 1 ν = 8πG ( 1 3a + V ϕ = 8πG 3a Στα ερότητα στο ρόνο στην slow-roll προσέ ιση ( η 6ϵ s+η s. V ϕ ( η 6ϵs+ηs. = 8πG 9H V 3a V = 4πG [ ( V a M ( η 6ϵ s+η s V ] ( η 6ϵ s+η s. 4πG 1 ( +ϵs( η η 6ϵ. s +η s. ϵ s 4πG 1 ϵ s ( η 4ϵ s+η s Slow-Roll συν ήκη: ϕ V a ( η 1 1 ϵs ϵ s = M 4πG 1 ( 4ϵs+ηs ln( η e ϵ s 4πG 1 [ 1 + ( 4ϵ s + η s ln( η + [ ( 4ϵ s + η s ln( η ] ] 1 ϵ s + ( V V από Παρατηρούμε ότι ο πρώτος όρος 4πG 1 ϵ s είναι στα ερός, και επειδή οι slow roll παράμετροι είναι μικροί (ϵ S 1, είναι κυρίαρ ος. Συνεπώς ο δεύτερος όρος που δίνει την ρονική του εξέ ηξη μπορεί να α νοη εί και η αρ ική μας ποσότητα να ε ρη εί στα ερή. Αφού ο παρά οντας παραμένει στα ερός, μπορούμε να επι έξουμε να τον υπο ο ίσουμε ια κά ε k στο ρόνο όπου η κ ίμακα εξέρ εται από τον ορίζοντα, όταν δη αδή k = ah, παρό ο που η δεν ακόμα δίνει το φάσμα ισ ύος σε αυτήν την επο ή (τότε έ ει τη μορφή της ενικής συνάρτησης Hankel ό ι την προσε ιστική μορφή ια ύστερους ρόνους παρά μόνο αρ ότερα. Από την , H = ah = 1 ( 1 ϵv η ( έ ουμε aη = 1 (1 ϵ V H και kη = k (1 ϵ V ah (

114 και άρα η ίνεται [ ] ( Γ(ν ( P R (η, k = ν 3 ν 1 H 1 Γ( 3 ϵv π ( Ḣ ϕ ( 3 ν k, ( ah το οποίο τώρα υπο ο ίζουμε ια κά ε k στο ρόνο έξόδου από τον ορίζοντα, k = ah = H ια να πάρουμε [ ( ( Γ(ν ( ( ] P R (k = ν 3 ν 1 H Ḣ 1 ϵ Γ( 3. ( π ϕ k=ah Αυτός είναι το αρ έ ονο φάσμα τ ν διαταρα ών. Η εξίσ ση δεν έ ει π έον ρονική εξάρτηση, αφού εξορισμού, υπο ο ίζεται ια κά ε k την στι μή εξόδου από τον ορίζοντα (k = ah. Ανεξαρτήτ ς από την slowroll προσέ ιση, το P R (k παραμένει στα ερό στο ρόνο ια όση περίοδο οι κ ίμακες k μένουν εντε ώς εκτός του ορίζοντα. Μπορούμε τώρα να υπο έσουμε ότι η έ ει προκύψει από ανεξάρτητο υπο ο ισμό ια κά ε διαφορετικό k, έτσι ώστε ια κά ε k οι slow-roll παράμετροι πάρ ηκαν να είναι προσε ιστικά στα εροί στην τιμή που εί αν όταν k = ah. Επομέν ς η παραμένει ε κυρη ια ό ες τι κ ίμακες ια τις οποίες η slow roll προσέ ιση ήταν έ κυρη κοντά στην έξοδο από τον ορίζοντα, παρό ο που οι παράμετροι έ ουν α άξει σημαντικά με την άξοδο του ό ου φάσματος τ ν κ ιμάκ ν. Σε 1η προσέ ιση τ ν slow-roll παραμέτρ ν η έ ει την ίδια εξάρτηση από την κ ίμακα με την , n s d ln P R d ln k = 3 ν = η 6ϵ ( α ά π έν μπορούμε να υπο ο ίσουμε την εξάρτηση από την κ ίμακα k σε δύτερη τάξη τ ν slow-roll παραμέτρ ν Φασματικός δείκτης σε δεύτερη τάξη τ ν slow-roll παραμέτρ ν Εάν η 0 η τάξη ήταν επαρκής ια τον υπο ο ισμό του φασματικού δείκτη σε 1 η τάξη, η α ήταν αρκετή ια να υπο ο ίσουμε το φασματικό δείκτη σε η τάξη τ ν slow roll παραμέτρ ν. Από την , d ln P R d ln k = d d ln k ln [ ν 3 ( Γ(ν Γ( 3 ( 1 ϵ ν 1 ] d d ln k ln [ ( H π ( ] Ḣ. ϕ (10.169

115 Ο πρώτος όρος δίνει ( ln γ ( 16ϵη + 4η + ξ + 4ϵη 8ϵ, ( όπου γ = είναι η στα ερά Euler-Mascheroni, ώστε ln γ Π ς α πάρουμε τις slow-roll εξισώσεις σε η τάξη? Χρειαζόμαστε ένα αποτέ εσμα ανώτερης τάξης ια το H 1 ϵ αφού παρό ο που η e που ρησιμοποιήσαμε είναι ης τάξης, ρησιμοποιή ηκε στη μορφή (1/ϵH 1 ϵ, το οποίο ειναι 1ης τάξης. Για να υπο ο ίσουμε σε ανώτερη slow-roll τάξη α επιστρέψουμε στις εξισώσεις του υπο ά ρου ϕ H ϕ(ϵ η και ια να κατα ήξουμε στις ης τάξη ςεξισώσεις 1 ϕ M H ϵ ( (3 + ϵ ηh ϕ + V = 0 H ϕ = V H = 1 3M (M H ϵ + V H = 3 + ϵ η V (3 ϵm (10.17 από τις οποίες μπορούμε να εξά ουμε τις διάφορες ης τάξεις εξισώσεις ϵ H Ḣ H ϵ 4 3 ϵ + 3 ϵη (H 1 ϕ =M (3 ϵ (3 + ϵ η M ( ηϵ M ϵ H H 1 ϵ 4ϵ ϵη 8 3 ϵ ϵ η 3 ϵη ( H 1 ϵ H (1 8 3 ϵ + 3 ηh 1 ϵ + 3 ϵh 1 η ϵ(4ϵ η 40 3 ϵ ϵη η 3 ξ Στρέφουμε την προσο ή μας τώρα στον δεύτερο όρο της Από [ ( ( ] d H Ḣ d ln k ln = d ( H π ϕ d ln k ln = dh ϵ H H d ln k 1 dϵ H ϵ H d ln k. (

116 εδώ d ln k dt = d ln(ah dt ( = ȧ a + Ḣ H = H 1 + Ḣ = H(1 ϵ H H ( έτσι ώστε η ίνεται ϵ H 1 1 ϵ H ϵ H (1 ϵ H H 1 ϵ H ( ϵ + 3 ϵ 43 ϵη ( 4ϵ η 4ϵ ϵη 3 η 3 ξ Προσ έτοντας τις παίρνουμε εν τέ ει = 6ϵ + η ϵ 6ϵη + 3 η + 3 ξ. ( η s = 6ϵ+η 10 3 ϵ ϵη+ 3 η + 3 ξ+( ln γ(4ϵ 16ϵη+ξ. ( Σύμφ να με τα αποτε έσματα του Plank 015 (υπο έτοντας αδια ατικές α μ τές διαταρα ές και α νοώντας τανυστικές διαταρα ές, η παρατηρη είσα τιμή του φασματικού δείκτη ήταν η s + 1 = ± η s = 0.03 ± ( Αναμένουμε σε αυτό να κυριααρ ούν οι 1ης τάξης συνεισφορές π O(10 3. Οι ακρι είς τιμές και σ έσεις μεταξύ τ ν slow-roll παραμέτρ ν εξαρτάται από το επι ε έν μοντέ ο ια το inflation Διαταρα ές Καμπυ ότητας Στην περίπτ ση N α μ τών πεδί ν, οι διαταρα ές της καμπυ ότητας είναι όπου από την R ψ C = ψ Hξ 0, ( ξ 0 = ώστε εν τέ ει έ ουμε ϕ I R = ψ H δϕ I ϕ ( ϕ = H I Q I ( ϕ = H ( ρ + p a = 4πG H ϕ H H IQ I = 4πG H ϕ H H Q. ϕ I δϕ I ( ϕ, ( ϕ IQ I ( Η εύρεση της ρονικής εξέ ηξης R δεν είναι τόσο απ ή όσο την περίπτ ση που έ ουμε ενα μόνο πεδίο. 11

117 10.8 Slow-Roll Inflation Στο σημείο αυτό α ασ ο η ούμε αποκ ηστικά με την ύση του υπο ά ρου. Θα ρησιμοποιήσουμε σύνη η ρόνο t, αντί ια το σύμμορφο ρόνο η. Υπο έτουμε τις slow-roll εξισώσεις 3H ϕ I + V I = 0 V I = 3H ϕ ϕ I = V I ( H και H = 1 3M V V = 3M H 3H = V ( M ισ ύει ια ό α τα πεδία ϕ I. Από αυτές και σε διανυσματική μορφή H 1 ϕi = M V I V, ( H 1 M ϕ = V, ( V δη αδή στην slow-roll ύση, το πεδίο του πο ά ρου εξε ίσσεται σύμφ να με την κ ίση του δυναμικού. Παρα ίζοντας τις slow-roll εξισώσεις παίρνουμε και Ḣ = ϕ I = M VIJ V J 3 V V I 6V M 6 ( V I V J V. 4 ( Στην ο δεύτερος όρος είναι παρά η ος στο ϕ, α ά ο πρώτος όρος μπορεί να μην είναι Παράμετροι slow-roll Ορίζουμε τις slow-roll παραμέτρους 4 Β έπε απόδειξη V ϵ IJ M V I V J V η IJ M V IJ V (

118 και ϵ tr[ϵ IJ ] = ϵ II. ( Να παρατηρίσουμε ότι οι πίνακες ϵ IJ και η IJ είναι συμμετρικοί. Χρησιμοποιώντας τις slow-roll εξισώσεις παίρνουμε H Ḣ = ϵ (10.190a και (H 1 ϕi = M ϵ II (ό ι ά ροισμα (10.190b H ϕi = ϵh 1 ϕi η IJ H 1 ϕj (10.190c J H 1 ϵ IJ = 4ϵϵ IJ ( ϵik η JK + ϵ IK η JK (10.190d K H 1 ϵ = 4ϵ IK ϵ IK η IK. 5 (10.190e Κατά την περίοδο του inflation, οι slow-roll παράμετροι ϵ IJ και η IJ είναι τυπικά μικροί και η ρονική τους διακύμανση είναι μικρή σε δεύτερη τάξη. Θα ορίσουμε ξ παραμέτρους μόνο αφότου έ ουμε κάνει μια περιστροφή στο ώρο τ ν πεδί ν στις αδια ατικές και εντροπικές διαταρα ές του πεδίου Νόμος εκ ετικής διαστο ής του υπο ά ρου Επειδή η a είναι η ίδια όπ ς στην περίπτ ση του inflation από ένα παιδίο, παίρνουμε τον ίδιο νόμο H H = 1 ϵ H = 1 (1 ϵη a ( η 1/(1 ϵ, ( και a a = H( ϵ. (10.19 (αυτές είναι ορ ές όσο το ϵ είναι προσε ιστικά στα ερό. 114

119 Εξέ ηξη διαταρα ών Από την η εξίσ ση εξέ ηξης τ ν διαταρα ών είναι ( k H Q I + H 1 Q I + H Q I = H J [ ( ] 8πG a a H ϕ Iϕ J a V IJ Q J, ( ή ( k H QI + H 1 Q I + Q I = H [ ( ] 8πG d a H a dt H ϕ I ϕj V IJ Q J. J ( Χρησημοποιώντας τις slow-roll εξισώσεις, το δεξί μέ ος ίνεται [ 6ϵ IJ 3η IJ ( ] ϵik η JK + η IK ϵ JK Q J A IJ Q J. ( K Ορίζοντας η ίνεται u I + (k a και κάνοντας ρήση της ίνεται u I aq I, ( a u I = H J A IJ u J ( u I + k u I = H ( ϵu I + H A IJ u J J = H [( ϵ ( ] δ IJ + A IJ uj και επειδή από τον ορισμό του σύμμορφου ρόνου είναι έ ουμε u I + H = 1 (1 ϵ ( η (1 + ϵ + 3ϵ ( η ( (k η u I = 3η [ (ϵ ϵ δ IJ + ϵ IJ η IJ + 6ϵϵ IJ ϵη IJ 1 ( ] ϵik η JK + η IK ϵ JK u J 3 K (10.00 υπο ο ισμένη σε η τάξη τ ν slow-roll παρα όντ ν. Οστώσο είναι συνεπές να τη ρησιμοποιήσαμε τον νόμο του αναπτύ ματος ο οποίος ήταν ορ ός μόνο 115

120 υπο έτοντας ότι η slow-roll παράμετρος ϵ παραμένει στα ερή. Επομέν ς η slow-roll εξίσ ση εξέ ηξης τ ν διαταρα ών είναι u I + (k η u I = 3 ( ϵδij + ϵ η IJ η IJ uj 3 η M IJu J. (10.01 Οι μη δια ώνειες συνειστώσες του πίνακα M IJ συσ ετίζουν την εξέ ιξη διαφορετικών διαταρα ών του πεδίου u I. Οστώσ μπορούμε να κάνουμε μια στροφή στο ώρο τ ν πεδί ν ια να δια νοποιήσουμε τον M, αφού είναι πρα ματικός και συμμετρικός, ια να φτάσουμε τις διαταρα ές u I που εξε ίσσονται ανεξάρτητα. Ας ονομάσουμε τον πίνακα στροφών U IJ, ώστε u I = U IJ u j και U T MU = diag(λ 1,, λ N (10.0 όπου τα λ I είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα M. Είναι 1 τάξης ς προς τις slow-roll παραμέτρους. Αφού U είναι πίνακας στροφών U T U = 1 ή U IL U IJ = δ IJ. (10.03 και η ίνεται I u L+ ( k ul = 3 η η λ Lu L [ u L+ k 1 ( ν η L 1 ] u L = 3 ( η λ Lu L όπου 9 ν L 4 + 3λ L 3 + λ L. (10.05 Η εξίσ ση αυτή είναι ίδια με την άρα την έ ουμ ήδη ύσει. Οι συναρτήσεις άρους είναι pi w L (η = L 3/ 4 a 1 ηh νl ( kη L 3/ 1 ν L 3/ Γ(ν L 1 η( kη ν L Γ(3/ a L 3/ ν L 3/ Γ(ν L 1 η Γ(3/ a ( kη 3/ λ L L 3/ ν L 3/ Γ(ν L 1 Γ(3/ a frac1 k( kη 1 λ L (10.06 Η προσέ ισή μας ότι οι slow-roll παράμετροι α παραμένουν στα εροί α ισ ύει ια έναν αρι μό αρακτηριστικών ρόν ν 1/(slow roll παράμετροι. 116

121 Συνεπώς έ ουμε να πάμε σε ά ες μετα ητές,ετά την έξοδο από τον ορίζοντα. Μια από τις πι ανές επι ο ές είναι σύμμορφη διαταρακτική καμπυ ότητα R. R = 4πG H ϕ H H Q 1 M ϵ H 1 ϕ Q 1 ϵv V Q. (10.07 Συνεπώς το R δίνεται από τη διαταρακτική συνειστώσα δη αδή την διεύ υνση του πεδίου του υπο ά ρου ϕ, το οποίο είναι, στην slow-roll προσέ ιση, στην διεύ υνση της κ ίσης του δυναμικού. Αυτό εν ένει δεν είναι στη διεύ υνση κανενός από τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Μ, άρα ρειάζεται να κάνουμε ά η μια στροφή στο ώρο τ ν πεδί ν. Εφαρμόζουμε μια στροφή από την αρ ική μας άση στο ώρο συντετα μέν ν τ ν πεδί ν, όπου Q = Q 1 Q. Q N σε μια νέα άση ια τις διαταρα ές του πεδίου, ώστε Q = Q σ Q s1. Q s(n 1 = ST Q 1 Q. Q N (10.08 (10.09 όπου V Q Q σ. (10.10 V Ο πίνακας στροφής α εξαρτάται εν ένει από τον ρόνο, αφού το V μπορεί να α άζει κατεύ υνση κατά μήκος της τρο ιάς στο υπό α ρο (η τρο ιά στο υπό α ρο στο ώρο τ ν πεδί ν μπορεί να είναι καμπύ η. Ονομάζουμε Q σ την αδα ατική διαταρα ή του πεδίου και τις N 1 ορ ο ώνιες διαταρα ές Q sl εντροπικές διαταρα ές του πεδίου. Αφού ο πίνακας στροφών δεν είναι στα ερός στο ώρο τ ν πεδί ν, δεν περιστρέφουμε τις τιμές τ ν πεδί ν στο πό α ρο, α ά τις ρονικές τους παρα ώ ους σ ϕ 1 ṡ 1. = ϕ ST ( ṡ N 1 ϕ N 117

122 Που σημαίνει ότι η στροφή S δεν είναι μια κα ο ική στροφή τ ν συντετα μέν ν στο ώρο τ ν πεδί ν, α ά μια τοπική στροφή στο ώρο τ ν διανυσμάτ ν τ ν διαταρα ών του πεδίου και τ ν ρονικών παρα ώ ν τ ν διανυσμ ατ ν Δύο πεδία Αδια ατικές και Εντροπικές πεδιακές συντετα μένες Θε ρούμε τώρα την περίπτ ση δύο πεδί ν, ϕ = ( ϕ 1, ϕ. Η διεύ υνση της ύσης του υπο ά ρου δίνεται από την ϕ. Η νία διεύ υνσης θ δίνεται από tan θ ϕ ϕ 1. (10.1 Ορίζουμε την αποκα ούμενη αδια ατική συνειστώσα του πεδίου σ, ς το ο οκ ηρ μένο μήκος διαδρομής κατά μήκος της τρο ιάς από κάποιο αυ αίρετο αρ ικό σημείο (μόνο διαφορές της τάκης σ παίζουν ρό ο, και s, την αποκα ούμενη εντροπική συνειστώσα του πεδίου, ς την ορ ο ώνια απόσταση από την διαδρομή. Επομέν ς η ύση του υπο ά ρου είναι εξορισμού: s = ṡ = s = 0 (10.13 Αυτό ορίζει ένα σύστημα συντετα μέν ν σ, s στο ώρο τ ν πεδί ν, α μονομημένο ια μια συ κεκριμένη ύση του υπο ά ρου. Εάν η τρο ιά είναι καμπύ η, αυτό είναι ένα καμπύ ο σύστημα συντετα μέν ν, και ισ ύει μόνο στην ειτονιά της τρο ιάς αφού πιο μακριά οι s ραμμες συντετα μέν ν τέμνονται. Θα πρέπει να ρησημοποιήσουμε αυτό το σύστημα συντετα μέν ν στην τρο ιά και μόνο, κα ώς και δεν α εισά ουμε τα π ήρει ερ α εία ια την ανά υση τ ν καμπυ ό ραμ ν συστημάτ ν συντετα μέν ν. Εξετάζουμε την ύση του υπο ά ρου ϕ 1 ϕ 1 (t, ϕ ϕ (t συναρτήσει τ ν νέ ν συντετα μέν ν σ, s, θ. Οι νέες συντετα μένες σ, s δίνονται από μια στροφή κατά νία θ από τις πα ιές συντετα μένες ϕ I, ϕ ώστε ( σ ṡ ( cos θ = sin θ ( sin θ ϕ1 cos θ ϕ = S T ( ϕ1 ϕ, (10.14 όπου ( cos θ S sin θ sin θ cos θ (

123 Επομέν ς Η αντίστροφη σ έση είναι ( ( ( ϕ1 σ cos θ = S = ϕ ṡ sin θ Και επειδή είναι ṡ = 0 έ ουμε σ = ϕ 1 cos θ + ϕ sin θ. (10.16 ( sin θ σ cos θ ṡ (10.17 ϕ 1 = σ cos θ και ϕ = σ sin θ σ = ϕ 1 + ϕ (10.18 και ϕ 1 sin θ = ϕ cos θ (10.19 Το δυναμικό V (ϕ 1, ϕ υπάρ ει παντού στον ώρο τ ν πεδί ν (ϕ 1, ϕ. Μπορούμε να εκφράσουμε την κ ίση του είται στη ϕ 1, ϕ είται στη σ, s άση. Έ ουμε ( ( ( ( V σ = S T V 1 cos θ sin θ V = 1 (10.0 V s V sin θ cos θ V και ( V 1 V ( ( = S T V σ cos θ = V s sin θ ( sin θ V σ cos θ V s Η ρονική παρά ος του V κατά μήκος της τρο ιάς είναι (10.1 V = V 1 ϕ1 + V ϕ = V σ σ. (10. Μπορούμε όμοια να περιστρέψουμε τις δεύτερες παρα ώ ους V IJ V I J ST V IJ S ή V I J SK I SL J V KL (10.3 ή ( V σσ V σs V σs V ss ( cos θ = sin θ ( ( sin θ V 11 V 1 cos θ cos θ V 1 V sin θ sin θ cos θ (10.4 δίνοντας έτσι V σσ cos θv 11 + cos θ sin θv 1 + sin θv V ss sin θv 11 cos θ sin θv 1 + cos θv V σs sin θ cos θv 11 + ( cos θ sin θ V 1 + cos θ sin θv. (

124 Παίρνουμε τις εξισώσεις αυτές ς ορισμό τ ν V σσ, V ss και V σs. Αφού τα πήραμε από στροφές, αυτό σημαίνει ότι δεν είναι μερικές παρά οι, α ά συνα οί τες παρά οι στις σ, s συντετα μένες. δίνοντας Όμοια, ια τις τρίτες παρα ώ ους: V I J K SL I SM J SN K V LMN, (10.6 V σσσ cos 3 θv cos θ sin θv cos θ sin θv 1 + sin 3 θv V σσs cos θ sin θv ( cos 3 θ cos θ sin θ V 11 + ( cos θ sin θ sin 3 θ V 1 + sin θ cos θv V σss cos θ sin θv ( cos θ sin θ + sin 3 θ V 11 + ( cos 3 θ sin θ cos θ V 1 + sin θ cos θv V sss sin 3 θv sin θ cos θv 11 sin θ cos θv 1 + cos 3 θv (10.7 Παρα ίζοντας πά ι την παίρνουμε σ = ϕ 1 cos θ ϕ θ sin θ + ϕ sin θ + ϕ θ cos θ = ϕ1 cos θ + ϕ sin θ (10.8 όπου κάναμε ρήση της Ακρι ής ύση υπο ά ρου Χρησιμοποιώντας τις πεδιακές εξισώσεις του ϕ I ια το υπό α ρο ϕ 1 + 3H ϕ 1 + V 1 = 0 (10.9 ϕ + 3H ϕ + V = 0, (10.30 παίρνουμε από την 10.8 την εξίσ ση του πεδίου στο υπό α ρο στις αδια ατικές συντετα μένες του πεδίου σ + 3H σ + V σ = 0. (10.31 Η αντίστοι η εξίσ ση ια το εντροπικό πεδίο του υπο ά ρου είναι ό του ορισμού s = 0. Αντί ετα το ρό ο της ά ης δυναμικής ποσότητας ια το υπό α ρο ανα αμ άνει η θ. Βρίσκουμε V s = θ σ ή θ = V s σ. (

125 Παρα ίζοντας την πρώτη από τις παραπάν παίρνουμε την εξίσ ση ια το θ. Εδώ πρέπει να είμαστε προσεκτική με τη ρ ηση της άσης σ, s αφού μετα ά εται κατά μήκος της τρο ιάς. Επομέν ς V s V ss ṡ+v σs σ = V σs σ. Για να αποφή ουμε να δου έψουμε σε καμπύ ο σύστημα συντετα μέν ν, μπορούμε να υρίσουμε στο αρ ικό καρτεσιανό συστημα ϕ 1, ϕ ια τον υπο ο ισμό: παρα ίζοντας την V s = V 1 sin θ + V cos θ, παίρνουμε V s = V σs ṡ θv σ (10.33 και μπορούμε τώρα να παρα ίσουμε την 10.3 και ρησιμοποιώντας τις και να πάρουμε θ 3H θ + V σs V σ σ θ = 0. ( Slow-Roll προσέ ιση Από την προη ούμενη ενότητα έ ουμε και H = H 1 ϕi = M V I ( V ( ϕ1 H 1 = M 1 ϕ V και στρέφοντας τις συντετα μένες παίρνουμε V 3M (10.35 V 1 V (10.36 H 1 S T ϕi = M S T V I ( ( V H 1 σ = M 1 V σ ṡ V V (10.37 όμ ς ṡ = 0 άρα η δεύτερη συνειστώσα μηδενίζεται V s = 0. (10.38 στην slow-roll τρο ια. Αυτό απ ά δη ώνει ότι η τρο ιά είναι πάντα στη διεύ υνση του V, ώστε δεν επάρ ουν οξές συνειστώσες στο V. (Κάποιος α μπορούσε να κατα ήξει από την 10.3, ότι θ = 0, α ά αυτό α ήταν ά ος 11

126 - πρέπει τώρα να είμαστε συνεπείς με τις slow-roll εξισώσεις, και να μην τις μπ έκουμε με τις ακρι είς εξισώσεις. Αυτό σημαίνει ότι ϵ ϵ 11 + ϵ = M ( V = M V V σ V (10.39 και δεν ρειάζεται να ορίσουμε ϵ σs, ϵ ss ή ξε ριστό ϵ σσ. Ενα ακτικά έ ουμε τις σ έσεις ϵ 11 =ϵ cos θ Α ά ορίζουμε ϵ =ϵ sin θ ϵ 1 =ϵ cos θ sin θ. (10.40 η σσ M V σσ V η σs M V σs V η ss M V ss V (10.41 και τα η IJ μετασ ηματίζονται όπ ς και στην 10.5 η σσ cos θη 11 + cos θ sin θη 1 + sin θη η ss sin θη 11 cos θ sin θη 1 + cos θη η σs sin θ cos θη 11 + ( cos θ sin θ η 1 + cos θ sin θη, (10.4 από την οποία έπουμε ότι η σσ + η ss = η 11 + η. (10.43 ενώ παίρνουμε τον αντί ετο μετασ ηματισμό απ ά α άζοντας το πρόσημο στην νία θ η 11 cos θη σσ cos θ sin θη σs + sin θη ss η sin θη σσ + cos θ sin θη σs + cos θη ss η 1 + sin θ cos θη σσ + ( cos θ sin θ η σs cos θ sin θη ss. (10.44 Τώρα ορίζουμε επίσης ξ σσσ M 4 V σv σσσ V Από την εξίσ ση e ξ σσs M 4 V σv σσs V ξ σss M 4 V σv sss V. (10.45 H 1 ϵ = 4ϵ ϵ ( cos θ + cos θ sin θη 1 + sin θη = 4ϵ ϵη σσ (

127 Επίσης από την c, H 1 ( ϕ1 ϕ = ϵh 1 ( ϕ1 ϕ ( η 11 η 1 η 1 η ϕ ( ϕ1 H 1 ϕ { H ϕ1 = ϵh 1 ϕ1 η 11 H 1 ϕ1 η 1 H 1 ϕ H ϕ1 = ϵh 1 ϕ η 1 H 1 ϕ1 η H 1 ϕ (10.47 Παρα ίζοντας την σ = ϕ 1 cos θ + ϕ sin θ, παίρνουμε H σ = H 1 σ ( ϵ η σσ 6 (10.48 και παρα ίζοντας την ṡ = ϕ 1 sin θ + ϕ cos θ = 0, παίρνουμε την slowroll εξίσ ση ια το θ: H 1 θ = ησs V σs. (10.49 Να σημειώσουμε ότι η V s = 0 δεν συνεπά εται V σs = 0, αφού δου ύουμε σε καμπυ ό ραμμο σύστημα συντετα μέν ν, και στο V σs έ ουμε συνα οί τες παρα ώ ους. Είναι διδακτικό να συ κρίνουμε την ακρι ή εξίσ ση 10.3 με την 10.49: παίρνοντας την slow-roll προσέ ιση εξα είφουμε τους όρους ϕ I από την εξίσ ση πεδίου. Τότε η αναζήτηση της ύσης του υπο ά ρου ανα ά εται στηνν τοπο ραφία του δυναμικού V (ϕ 1, ϕ : Οι τρο ιές είναι οι διαδρομές της πιο απότομης κα όδου, έτσι ώστε να μην υπάρ ουν π ά ιες συνειστώσες V s στην κ ίση και η καμπύ ση της τρο ιάς κα ορίζεται από το δυναμικό: το V σs μετράει το π ς το δυναμικό Μπορούμε τώρα να υπο ο ίσουμε τις ρονικές παρα ώ ους τ ν ά ν slow-roll παραμέτρ ν πρώτης τάξης H 1 η σσ =ϵη σσ η σs ξ σσσ H 1 η σs =ϵη σs ( ηss η σσ ξσσs H 1 η ss =ϵη ss + η σs ξ σss. ( Διαταρα ές Οι διαταρα ές του πεδίου μετασ ηματίζονται στην αδια ατική Q σ δσ Q και εντροπική διαταρα ή Q s δs Q δs του πεδίου. (δου εύουμε στην 6 B έπε απόδειξη VI 13

128 α μίδα επίπεδου ώρου και δεν ράφουμε π έον τον δείκτη Q ια τη α μίδα. Επομέν ς ( ( ( δσ = S T δϕ 1 cos θ = δs δϕ sin θ και ( ( δϕ 1 cos θ = δϕ sin θ ( sin θ δϕ 1, (10.51 cos θ δϕ ( sin θ δσ. (10.5 cos θ δs οι εξισώσεις εξέ ιξης ια τις διαταρα ές αυτές ίνοται [ δ σ+3hδ σ+ 1 a +V σσ σ 8πG ( ] d a 3 a 3 dt H σ δσ = d ( ( Vσ θδs θδs dt σ (10.53 και ( δ s + 3Hδ σ + 1a + V ss + 3 θ δs = θ 1 1 σ πg a Φ. (10.54 Β έπουμε ότι ια μια ευ εία τρο ιά θ = 0, η εξίσ ση ια το δσ είναι ίδια με την εξίσ ση ια την περίπτ ση ενός πεδίου, α ά ια μια καμπύ η τρο ιά, η εντροπική διαταρα ή δs παίζει το ρό ο πη ής. Το δεξί μέ ος στην εξίσ ση ια το δs είναι μικρό ια κ ίμακες έξ από τον ορίζοντα (superhorizon Διαταρα ές Εντροπίας και Καμυπ ότητας Η σύμμορφη διαταρα ή της καμπυ ότητας είναι R = H ϕ 1 δϕ 1 + ϕ δϕ ϕ 1 + ϕ = H δσ σ (10.55 Και ια αυτή παίρνουμε μια διαφορική εξίσ ση που μας δίνει την εξέ ηξή της Ṙ = Ḣ 1 H a Φ H θ δs. (10.56 σ Συνεπώς το R παραμένει στα ερό σε κ ίμακες έξ από τον ορίζοντα, εάν δεν υπάρ ουν εντροπικές διαταρα ές του πεδίου, α ά το δs δρα ς πη ή. Ορίζουμε μια ανά ο η εντροπική διαταρα ή S H δs σ (

129 Άρα, ια κ ίμακες έξ από τον ορίζοντα Ṙ = θs (k H. ( Εξέ ηξη κατά την έξοδο από τον Ορίζοντα Τα δσ και δs δεν αντιστοι ούν στις ανεξάρτητες συνειστώσες του πεδίου κατά την έξοδο από τον ορίζοντα που συζητήσαμε στην Αυτές παίρνονται με στροφή με μια διαφορετική νία Θ. Για τις ανεξάτητες διαταρα ές υ 1 και υ ρήκαμε u = U υ, υ = U T u, (10.59 όπου και ( aδϕ u = 1 = (aq 1 aq (10.60 aδϕ ( cos Θ U sin Θ sin Θ cos Θ (10.61 είναι ένας πίνακας στροφών ο οποίος δια νοποιείται όπ ς ( ϵ + ϵ M = 11 η 11 ϵ 1 η 1, (10.6 ϵ 1 η 1 ϵ + ϵ η π, U T MU = ( λ 1 0. ( λ Μπορούμε να ύσουμε ς προς Θ από την συν ήκη το U T MU να είναι δια ώνιο, π (U T MU 1 = ( ϵ ϵ 11 +η 11 η sin Θ cos Θ+ ( ϵ1 η 1 (cos Θ sin Θ = 0, (10.64 όπου ώστε sin Θ cos Θ = 1 sin Θ και cos Θ sin Θ = 0, (10.65 [ tan Θ = ϵ 1 η 1 (ϵ 11 ϵ (η 11 η ]. (10.66 Τα λ 1, λ είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα M οι οποίες παίρνονται ς ύσεις από την det(m λi = 0 (

130 της οποίας οι ύσεις είναι λ = 1 {4ϵ (η 11 + η ± [(ϵ11 ϵ (ϵ 11 ϵ ] + 4(ϵ1 η 1 }. (10.68 Αυτή δεν μας διαφ τίζει ια το είναι η λ 1 και ποια η λ, α ά ούτε μας προσδιορίζει το Θ με απροσδιοριστεία ενός όρου π/ π μπορούμε να προσ έσουμε π/ στο Θ, το οποίο ενα άσει τις λ 1 και λ. Μπορούμε να ρησιμοποιήσουμε το αποτέ εσμα της ενότητας ια να ξανα ράψουμε τα αποτε έσματα και σε όρους τ ν στρεμέν ν slow-roll παραμέτρ ν: και λ = 1 [ 4ϵ (ησσ + η ss ± ω + 4η σs ] (10.69 tan Θ = ω sin θ η σs cos θ ω cos θ + η σs sin θ, (10.70 όπου έ ουμε ορίσει τον παρακάτ συμ ο ισμό ια συντομο ραφία ω ϵ (η σσ η ss. (10.71 Από την έπουμε ότι tan Θ = tan θ, εάν η σs = 0, π V σs = 0. Επομέν ς στην περίπτ ση αυτή, οι ανεξάρτητες διαταρα ές του πεδίου είναι η αδια ατικές και οι εντροπικές διαταρα ές, α ά σε κά ε ά η περίπτ ση δεν είναι. Συνδυάζοντας τις δύο στροφές και μπορούμε να στρέψουμε τις ανεξάρτητα παρα είσες διαταρα ές σε αδια ατικές και εντροπικές διαταρα ές του πεδίου ( ( aδσ = S T U aδs υ 1 υ ( ( cos(θ θ sin(θ θ = sin(θ θ cos(θ θ Χρησιμοποιώντας την μπορούμε ύκο α να ρούμε ότι υ 1 υ (10.7 tan (Θ θ = η σs ω ω cos (Θ θ = ω + 4ησs (10.73 sin (Θ θ = η σs. ω + 4ησs Μπορούμε τώρα να πάρουμε τις διαταρα ές δσ και δs, από αυτές τ ν υ 1 και υ 16

131 που πήραμε στην ενότητα : υ L =aw L L 3/ λ Γ( 3 + λ L L 1 Γ( 3 ( kη 1 λ L k [ Γ( 3 υ L = V 1 λ L υ 1 υ =0 + λ L Γ( 3 ] 1 k ( kη λ L (10.74 Για το φάσμα ισ ύος ρειαζόμαστε αυτά στη μορφή V k3 1 π a υ L = 1 [ 4π λ L Γ( 3 + λ L Γ( 3 ] ( k ( kη λ L (10.75 a Για κά ε κ ίμακα k υπο ο ίζουμε αυτή τη σ έση στην έξοδο από τον ορίζοντα, όπου k = H = ah και kη = 1/(1 ϵ (από την Άρα έ ουμε V k3 π 1 a υ L = ( H λ L [ Γ( 3 + λ L π Γ( 3 (1 + Cλ L ϵ, ( H π ] (1 ϵ +λ L (10.76 όπου C ln γ και το H δη ώνει ότι το H υπο ο ίζεται στην έξοδο του ορίζοντα (όπ ς επίσης και τα ϵ και λ L. Χρησιμοποιώντας την 10.7 έ ουμε a δσ = [ cos(θ θυ 1 sin(θ θυ ][ cos(θ θυ1 sin(θ θυ ] = cos (Θ θ υ sin (Θ θ υ = 1 ( υ1 + υ + 1 cos (Θ θ( υ 1 υ a δσδs = [ ][ ] cos(θ θυ 1 sin(θ θυ sin(θ θυ1 + cos(θ θυ = 1 sin (Θ θbig( υ 1 υ a δs = 1 big( υ 1 + υ 1 cos (Θ θbig( υ 1 υ. Από την παίρνουμε λ 1 + λ =4ϵ ( η σσ + η ss λ 1 λ = ω + 4η σs. (10.77 (

132 Τέ ος ια το φάσμα ισ ύος τ ν αδια ατικών και εντροπικών διαταρα ών, κα ώς και ια τις συσ ετίσεις τους πάιρνουμε ( P σ (k V k3 π δσ k H [1 ] = + ( 1 + 6Cϵ Cησσ π C σs (k V k3 π δσ k δσ k = Cη σs ( P s (k V k3 π δs k H = π ( H π [ ] 1 (1 Cϵ Cηss. ( Εξέ ηξη έξ από τον Ορίζοντα Χρησιμοποιώντας τις και 10.57, αμέσ ς παίρνουμε από την το διαταρακτικό φάσμα ια το R και S, κα ώς δημιουρ ούνται με την έξοδο από τον ορίζοντα, ( ( H H P R (k = P σ (k = [ ] 1 + ( + 6Cη Cησσ σ π σ ( ( H H C RS ( = C σs (k = +Cη σs (10.80 P S (k = σ ( H P s (k = σ σ ( H π σ [ ] 1 (1 Cϵ Cηss. Ωστόσο, σε αντί εση με την περίπτ ση του 1 πεδίου, όπου το P R (k παραμένει στα ερό στο ρόνο ια όσο ισ ύει k H, τώρα το διαταρα κτικό φάσμα μπορεί να εξε ι εί και έξ από τον ορίζοντα. Σε πρώτης τάξης ε ρία διαταρα ών, οι συνειστώσες Fourier της διαταρα ής σε κάποιο ύστερο ρόνο t α είναι ανά ο οι τ ν ν ρίτερ ν τιμών στο t : ( R k (t S k (t = T k (t, t ( R k S k (10.81 (Γράφουμε T k και ό ι T k αφού η αντίστοι η φυσική ε ρείται ανα οί τη σε στροφές. Για υπεροριζόντιες κ ίμακες, η εξάρτηση της εξέ ιξης από τη κ ίμακα εξαφανίζεται, ώστε T k (t, t = T (t, t. Ωστόσο η παραμένει εξαρτώμενη της κ ίμακας, αφού το t εξαρτάται από το k. Συνεπώς ( R k (t S k (t = ( T RR (t, t T RS (t, t T SR (t, t T SS (t, t ( 18 R k S k ( T = RR (t, t R k + T RS (t, t S k T SR (t, t R k + T SS (t, t S k (10.8

133 Γν ρίζουμε δύο πρά ματα που ισ ύουν ενικά ια τις διαταρα ές στον υπερορίζοντα: 1 αδια ατικές διαταρα ές παραμένουν αδια ατικές T SR ια αδια ατικές διαταρα ές, R είναι στα ερή στο ρόνο RR = 1. Επομέν ς η 10.8 ίνεται ( R k (t S k (t = ( 1 T RS (t, t 0 T SS (t, t ( R k S k = ( R k + T RS (t, t S k T SS (t, t S k, (10.83 και μπορούμε επίης, ορίζοντας δύο συναρτήσεις a(t και β(t που σ ετίζονται με τις εξισώσεις μεταφοράς T PS και T SS, να ράψουμε ότι εν ένει, H 1 R = a(ts H 1 Ṡ = β(ts. (10.84 Μπορούμε να ρούμε τη σ έση μεταξύ αυτών τ ν συναρτήσε ν και τ ν συναρτήσε ν μεταφοράς, ο οκ ηρώνοντας τις Αρ ικά ράφουμε την δεύτερη από αυτές ς d ln S(t ds(t S(t = β(t H(t dt ln S(t ln S(t = T SS (t, t S(t { t } S(t = exp β(t H(t dt. t Τότε R(t =R(t + t t Ṙdt = R(t + t t t t a(t H(t S(t dt =R(t + a(t H(t T SS (t, t S(t dt t t T RS (t, t = a(t H(t T SS (t, t dt. t t β(t H(t dt (10.85 (10.86 Οι μόνες ποσότητες που εξαρτώνται από το k ή το k στην (10.85,10.86 είναι οι R = R k, S = S k, και t = t (k. Παραπάν τα a, β, T SS και T RS, εξαρτώνται από το μοντέ ο του inflation, και τα T SS (t, t και T RS (t, t μπορεί να είναι πο ύπ οκο να υπο ο ιστούν. Προκειμένου να ρούμε τους φαρματικούς δεί τες, ρειαζόμαστε τις παρα ώ ους τ ν T SS και T RS ς προς το k, τις οποίες παίρνουμε από T SS = β(t H(t T SS (t, t t T t RS = a(t H(t T SS (t, t + a(t H(t T SS(t, t dt t t t t = a(t H(t β(t H(t a(t H(t T SS (t, t dt t = a(t H(t β(t H(t T RS (t, t. (

134 Επομέν ς ρειαζόμαστε τα a(t και β(t στο ρονο t της εξόδου από τον ορίζοντα στο inflation, τα οποία είναι πιο εύκο α προσ άσημα σε όρους τ ν slow-roll παραμέτρ ν σε αυτή την περίοδο. Τα αρ έ ονα φάσματα P R (k, C RS (k, P S (k είναι ορισμένα σε κάποιο ρόνο t μετά το inflation, κατά την περίοδο κυριαρ ίας της ακτινο ο ίας, όταν ό ες οι κοσμο ο ικές κ ίμακες ήταν ακόμα αρκετά έξ από τον ορίζοντα: P R (k V k3 π R k = P R (k + T RS (t, t C RS (k + T RS (t, t P ( S (k (10.88 C RC (k V k3 π R k S k = T SS (t, t C RS (k + T RS (t, t T SS P S (k (10.89 P S (k V k3 π S k = T SS (t, t P S (k. 7 (10.90 Αφού αυτές αναφέρονται σε ρόνο μετά το inflation, όταν τα α μ τά πεδία του inflation α έ ουν αντικαταστα εί από ύ η και ακτινο ο ία, οι εξισώσεις και δεν α ισ ύουν π έον. Παρό α αυτά, συνε ίζουμε να έ ουμε μια σύμμορφη διαταρακική καμπυ ότητα R και ποσότητες που ονομάζονται εντροπικές διαταρα ές, οι οποίες περι ράφουν τις αποκ ίσεις από την αδια ατικότητα. Αφού σε αυτή την ενότητα υπο έσαμε ότι ό ες οι διαταρα ές πη άζουν από slow-roll inflation με δύο πεδία, υπάρ ουν μόνο δύο α μοί ε ευ ερίας σε κά ε όρο Fourier, αφήνοντας μόνο ένα α μό ε ευ ερίας ια την απόκ ιση από την αδια ατικότητα. Επομέν ς ό ες οι εντροπικές διαταρα ές μπορούν να δ ούν συναρτήσει μιας ποσότητας S k ανά όρο Fourier Αρ έ ονοι φασματικοί δείκτες σε πρώτη τάξη Για να υπο ο ήσουμε τους φασματικούς δείκτες σε πρώτη τάξη τ ν slow-roll παραμέτρ ν, είναι αρκετό να ξεκινήσει κανείς από το δημιουρ ούμενο φάσμα υπο ο ισμένο σε 0 η τάξη. Συνεπώς αντί ια την?? αρκεί να ρησιμοποιήσουμε την ( H P R (k = P (k (10.91 π σ C RS =0 (10.9 ( H P S = = P (0 (k. (10.93 π σ 130

135 Οι εξισώσεις 10.88, 10.89, τώρα ίνονται P R =P (0 (k + TRSP (0 (k (10.94 C RS (k =T RS T SS P (0 (k (10.95 P S (k =TSSP (0 (k. (10.96 Για να υπο ο ίσουμε τους φασματικούς δείκτες, ρειαζόμαστε τα a(t και β(t. Από την 10.58, Ṙ = θs. Στην slow-roll προσέ ιση, από την θ = Hη σs. Άρα έ ουμε Ṙ = Hη σs S a(t = η σs. (10.97 Προκειμένου να πάρουμε μια slow-roll προσέ ιση ια το β(t στον υπερορίζοντα, ξεκινάμε από την Στο όριο του υπερορίζοντα, μπορούμε να α νοήσουμε τον όρο, παίρνοντας έτσι δs + 3Hδs + (V ss + 3 θ δs = 0. (10.98 Στην slow-roll προσέ ιση α νοούμε τη δεύτερη ρονική παρά ο άρα έ ουμε ( ρ αφοντας τα V ss και θ σε όρους τ ν slow-roll παραμέτρ ν, Α νοώντας τον ης τάξη όρο, αυτή ίνεται 3H δs + 3H ( η ss + η σs δs = 0 (10.99 H 1 δs + η ss δs = 0, ( (Το σημαντικό σημείο είναι ότι σε υπεροριζόντιες κ ίμακες, τα διαφορετικά τμήματα του σύμπαντος είναι ασύνδετα μεταξύ τους, και η ανομοιο ένεια τ ν διαταρα ών δεν παίζει ρό ο στην τοπική τους εξέ ηξη. Επομέν ς το ϕ + δ ϕ εξε ίσσεται όπ ς το υπό α ρο, απ ά πάν σε διαφορετική slow-roll τρο ιά. Για S (H/ σ αυτή ίνεται η εξίσ ση H 1 Ṡ = ( ϵ + η σσ η ss S β(t = ϵ + η σσ η ss. ( Είμαστε τώρα έτοι,οι να υπο ο ίσουμε τους φασματικούς δείκτες. Από τις... P R (k = P R + T RS (t, t P S (k = H4 4π σ ( 1 + T RS, (10.30 όπου ια κά ε κ ίμακα k, τα H και σ υπο ο ίζονται στο t, όταν k = ah; και T RS = T RS (t, t. Από τις και H 4 σ = H (H 1 σ = V 3M V M 4 V σ 131 V ϵ. (10.303

136 Ο φασματικός δείκτης η R δίνεται από την η R d ln P R(k d ln k = d ln V d ln k d ln ϵ d ln k + d ln(1 + T RS. ( d ln k Το d ln k μπορεί να αντικαταστα εί από ρονική παρά ο ( d ln k = d ln(ah = ȧ dt dt a + Ḣ H = H 1 + Ḣ = (1 ϵh ( H (όπου στο τε ευτάιο ήμα ρησιμοποιήσαμε την a. Tώρα με ρήση τ ν και d ln V d ln k = ( V = ( V σ σ = M ( Vσ = V 1 ϵ H V 1 ϵ H 1 ϵ V 1 ϵ ϵ ϵ ( Με ρήση της d ln ϵ d ln k = 1 (1 ϵh ϵo ϵ = 4ϵ η σσ 1 ϵ 4ϵ η σσ. ( Οι δύο αυτές συνεισφορές προστί ενται στο αποτέ εσμα που εί αμε στην περίπτ ση ενός μόνο πεδίου. Ο νέος όρος προέρ εται από το d ln(1 + T RS d ln k 1 H 1 d (1 + T 1 + TRS dt RS = T RS 1 + TRS = T RS [ ] a(t β(t 1 + TRS T RS H 1 T RS t ( = T RS ( 4η 1 + TRS σs + T RS (4ϵ η 1 + TRS σσ + η ss. Έ ουμε δύο εκ τ ν προτέρ ν περιορισμούς στο T RS. Εξαρτώνται από το μοντέ ο του inflation που εξετάζουμε, συμπερι αμ ανομένης και της επο ής της ανα έρμανσης. Από την ά η, οι συνδιασμοί T RS /(1 + TRS και T RS /(1 + TRS παραπάν έ ουν περιορισμένο εύρος - ο τε ευταίος πρέπει να είναι μεταξύ του 0 και του 1. Η τετρα νική του ρίζα πρέπει να είναι μεταξύ του 1 και του 1 και έ ει κα ιερ εί να ορίζεται ς προς την νία, έτσι ώστε Από αυτό παίρνουμε cos T RS 1 + T RS ( T RS 1 + T RS = cos, T RS = sin, T RS = sin (

137 (επι έ οντας 0 π, και 1 T RS = tan, Αυτό μας επιτρέπει να ράψουμε την ς d ln(1 + T RS d ln k 1 T RS = tan. ( η σs cos sin + (4ϵ η σσ + η ss cos (10.31 και συνο ικά έ ουμε το τε ικό αποτέ εσμα η R = (6 4 cos ϵ + η σσ sin 4η σs cos sin + η ss cos. ( Με όμοιο τρόπο παίρνουμε και και η S = ϵ + η ss ( η C d ln C RS(k = ϵ η σs tan + η ss. ( d ln k Παρα ίζοντας σε η τάξη τ ν slow-roll παραμέτρ ν: q s dη S d ln k H 1 η S = H 1 ϵ + H 1 η ss = 8ϵ + 4ϵ ( η σσ + η ss + 4η σs + ξ σss q C dη d ln k H 1 η C = = 8ϵ + 4ϵ(η σσ + η ss + 4η σs(1 tan 4η σs (η σσ η ss tan + ξ σσs tan ξ σss q R dη R d ln k H 1 η R = =8( cos cos 4 ϵ + 4(4 7 cos + 4 cos 4 ϵη σσ 3 sin 3 cos ϵη σs + 4(5 cos 4 cos 4 ϵη σσ + 4 sin cos (η σσ + η ss + 4(1 4 sin cos η σs + 8(sin cos sin cos 3 η σ (η σσ η ss 8 sin cos η σσ η ss sin ξ σσσ + 4 sin cos ξ σσs cos ξ σss. ( Αφού η εξέ ιξη τ ν φασματικών δεικτών είναι ης τάξης ς προς τις slow-roll παραμέτρους,είναι συνή ς κα ή προσέ ιση το να προσε ίζουμε το φάσμα ισ ύος με ένα πο υ νυμικό όρο, π. με στα ερούς φασματικούς δείκτες. Εξαίρεση σε αυτό αποτε εί το η C, στην περίτ ση όπου το T RS είναι πο ύ μικρό, π. το tan είναι πο ύ με ά ο ακόμα και αν οι slow-roll παράμετροι είναι στα εροί. Ο φασματικός δείκτης η C από μόνος του εμπεριέ ει τον όρο η σs tan, το οποίο μπορεί να κάνει το η C με ά ο. Συνεπώς η συσ έτιση C RS (k δεν προσε ίζεται απαραίτητα από πο υ νυμική σ έση. Ωστόσο αυτό συμ αίνει μόνο όταν οι συσ έτιση είναι μικρή, αφού η 0 ης τάξης διόρ ση είναι ανά ο η στο T RS. 133

138 10.10 Αρ έ ονες Τανυστικές Διαταρα ές Για τανυστικές διαταρα ές, η μετρική είναι 1 g µν = a η µν +δgµν T = a ( η µν +h µν = a 1 + h + h h h. ( Επομέν ς υπάρ ουν δύο πο ώσεις ια τις τανυστικές διαταρα ές, h + και h. Από την δράση του Hilbert και δου εύοντας με τον ADM, ρίσκουμε ότι ψ +, M h +, ( εμφανίζεται στη δράση σαν ένα ε εύ ερο άμαζο α μ τό πεδίο. Επομέν ς οι διαταρα ές αυτές έ ουν το φάσμα την περίοδο του inflation με τις διαταρα ές από τα α μ τά πεδία, P ψ (k V k3 ψ( π k = ( H ( π k=ah στην κατώτερη τάξη. Οι τανυστικές διαταρα ές δεν αναπτύσσονται έξ από την ορίζοντα, άρα αυτό δίνει το φάσμα τ ν αρ έ ον ν τανυστικών διαταρρα ών. Ορίζεται συνή ς ς P T (k V k3 h π µν ( kh µν ( k = V k3 π 8 M P ψ(k = 8 M ( H. π k=ah Και επειδή οι δύο πο ώσεις είναι ανεξάρτητες h + ( k + h ( k (10.30 h a ( kh b ( k = π Vk δ 1 abδ 3 k k 4 P T (k όπου a, b = + (10.31 Χρησιμοποιώντας τις slow-roll εξισώσεις H = V /3M κτ, παίρνουμε P T = 3π M 4 V n T d ln P T d ln k = d ln V d ln k = ϵ q T dn T d ln k = dϵ d ln k = 8ϵ + 4ϵη σσ. (10.3a (10.3b (10.3c 134

139 Το τανυστικό προς το α μ τό κ άσμα του φάσματος ορίζεται ς, r P T P R. (10.33 Στο inflation με ένα πεδίο η P R δεν εξε ίσσεται έξ από τον ορίζοντα. Στην περίπτ ση αυτή ράφουμε r P T P R. (10.34 Στην περίπτ ση όμ ς του inflation με περισσότερα πεδία, το P R εξε ίσσεται έξ από τον ορίζοντα, ενώ το P T ό ι και επομέν ς r r. Αφού έ ουμε P R = P (0 Και από την π σ = 1 V V 4π 3M M 4 Vσ = H4 = 1 1 4π M 4 ϵ, (10.35 r = 48π m 4 ϵ = 16ϵ. ( π M 4 P R (1 + T RSP (0 = P sin = P 1 γ (10.37 Αφού οι τανυστικές διαταρα ές προσ έτουν νέα [αρατηρίσημα με έ η (r, n T, q T ρίς να εισά ουν νέες slow-roll παραμέτρους, παίρνουμε εξισώσεις συνο ικότητας n T = 1 8 r r = 8(1 γ q T =n T (n T n ar (10.38a (10.38b οι οποίες μπορούν να ρησιμοποιη ούν ια να ε ένξουν το inflation ρίς να ρειάζεται να υπο έσουμε κανένα μοντέ ο inflation. Αρ έ ονες τανυστικές διαταρα ές δεν έ ουν παρατηρη εί με ρι σήμερα. Συνδιασμένα αποτε έσματα από τα πειράματα έτουν ένα ανώτητο όριο στο κ άσα τ ν τανυστικών προς α μ τών διαταρα ών. r < 0.07 (σ ε αιότητα (10.39 Υπο έτοντας inflation με ένα πεδίο παίρνουμε και το άν όριο και από τις εξισώσεις συνο ικότητας ϵ < ( n T > ( Όσο μικρότερο είναι το r, με ι ότερη ακρί εια α μπορέσουμε να μετρήσουμε το n T (αφού πρώτα έ ουμε ανι νεύσει τις τανυστικές διαταρα ές. 135

140 Μέρος IV CMB 136

141 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ανισοτροπίες στην Κοσμική ακτινο ο ία Υπο ά ρου 11.1 Διακυμάνσεις του CMB Για να εξετάσουμε την κοσμο ο ική εξέ ηξη της κατανομής φ τονί ν, πρέπει να ά ουμε υπόψη μας το π η κατανομή τ ν φ τονί ν α άζει από σημείο σε σημείο στο ανομο ενές σύμπαν. Μπορούμε να φανταστούμε το σύμπαν να είναι διαιρεμένο σε διακριττά κουτιά (ό κου V, τα οποία είναι μικρά σε σ έση με κοσμο ο ικές κ ίμακες α ά με ά α συ κρινόμενα με μικροσκοπικές καταστάσεις, και φ τονικές καταστάσεις που ζουν σε αυτά τα κουτιά. Τα κουτιά αρακτηρίζονται από, τη έση x i την ορμή k και το σπιν s, a καταστάσεις x i ks. Επομέν ς ο πίνακας πυκνότητας του συστήματος τ ν καταστάσε ν αυτών α εί ει στοι εία x i qs ˆρ 1 x i qs ρ (1 ( s s x i, k = a s(x i, ka s (x i, k (11.1 τα οποία κα ορίζουν τις παραμέτρους Stokes I(x i, k, Q(x i, k, U(x i, k, V (x i, k (11. Κα ώς το σύμπαν εξε ίσσεται με το ρόνο η το ίδιο κάνει και η μήτρα πυκνότητας τ ν φ τονί ν [ ρ (1 (η, x, k = 1 I(η, x i, k + Q(η, x i, k U(η, x i, k iv (η, x i, ] k ss U(η, x i, k + iv (η, x i, k I(η, x i, k Q(x i, (11.3 k Στο υποκείμενο σύμπαν, τα φ τόνια είναι σε ερμική ισορροποία ( ια μια 137

142 ικανοποιητική ημιπροσε ιστική δου ειά ια την ανισοτροποία του CMB. [ ] ρ (1 (η, x i, δ k = ρ ss ss (η, k ss e k/t (η 1 = 1 1 (11.4 e k/t (η 1 1 έτσι ώστε Ī(η, k = e k/t (η 1, Ū = Q = V = 0 (11.5 Μπορούμε να ράψουμε τον ανοι μένο πίνακα πυκνότητας ιο το διαταρα μένο σύμπαν, 11.3, σαν υπό α ρο + διαταρα ή όπου ρ (1 ss (η, x i, k = ρ ss (η, k + δρ (1 ss (η, x i, k (11.6 δρ (1 ss (η, x i, k = 1 [ δi + Q U + iv ] U iv δi Q (11.7 Ακο ου ούμε τώρα τη συζήτηση της ενότητας (M (Εξίσ ση φ τεινότητας. Παρατηρούμε ότι η συνρτηση κατανομής τ ν φ τονί ν f(η, x i, k της (M είναι ουσιαστικά η ίδια με την παράμετρο Stokes I(η, x i, k, f(η, x i, k = 1 h 3 I(η, xi, k = 1 (π 3 I(η, xi, k (11.8 Ο φασικός ώρος της κατάστασης έσης και ορμής h 3 μετατρέπει (την αναμενόμενη τιμή τον αρι μό κατο ής I(η, x i, k ˆn(x i, k (η σε (την αναμενόμενη τιμή του αρι μού πικνότητας f(η, x i, k στο φασικό ώρο. (Βασικά η συνάρτηση κατανομής ορίζεται συ νά ρίς τον παρά οντα πυκνότητας της κατάστασης h 3, έτσι ώστε f = I. Γράφουμε την διαταρα μένη παράμετρο Stokes ς I(η, x i, q, ˆn = Ī(η, q + δi(η, xi, q, ˆn { exp q T (η[1+θ(η,x i,q,ˆn] } 1 (11.9 όπ ς και στην M, και παρατηρούμε ότι ια 1ης τάξη διαταρα ές δi = Ī Ī T Θ = q T q Θ (11.10 όπου το Ī(η, q ε ρείται συνάρτηση τ ν T και q. Κα ώς το Ī εξαρτάται από η μόνο μέσ του T, ( Ī = ( Ī. Εδώ q T q η Ī q = ( = q e q/t ( 1 e q/t 1 1 T eq/t (

143 και όπου x q Ī q = ( e q/t 1 q T eq/t = q T (η. Επομέν ς δi = x (e x/ e x/ Θ Θ I c = ( xex ex 1 = x ( e x/ e x/ (11.1 ( e x/ e x/ δi (11.13 x Εδώ το I c είναι η παράμετρος Stokes εκφρασμένη ς σ ετική διαταρα ήτης ερμοκρασίας του CMB. Είναι ίδια με την συνάρτηη φ τεινότητας (M. Επαναορίζουμε τώρα τις υπό οιπες παραμέτρους Stokes επίσης σαν σ ετικές διαταρα ές στην ερμοκρασία του CMB. [ ] δρ (1 = 1 ( δi + Q U iv q Ī ρ ss U + iv δi Q q ss ( q Ī [ ] ( Θ + Q c U c iv c q U c + iv c Θ Q c όπου ορίσαμε τον πίνακα διακύμανσης στη ερμοκρασία του CMB ( ρ ss η, x i, k [ ] = 1 Θ + Q c U c iv c U c + iv c Θ Q c (11.15 έτσι ώστε Q c ( 1 q Ī q Q = ( e x/ e x/ Q (11.16 x Θα δει εί ότι σε πρώτης τάξης ε ρία διαταρα ών δεν αναπτύσσεται πό ση V, έτσι ώστε V c = V = 0. Επίσης α προκύψει ότι όπ ς και ια το Θ, δεν προκύπτει καμια εξάρτηση τ ν Q c και U c από την ενέρ εια τ ν φ τονί ν, έτσι ώστε [ ] ρ ss (η, x i, q = ρ ss (η, x i, q = 1 Θ + Q c U c (11.17 U c Θ Q c Επομέν ς το ρ ss (η, x i, q είναι ένας πρα ματικός συμμετρικός πίνακας, ο οποίος αναπαραστά μια διαταρα ή εξαρτώμενη από το ρόνο, τη έση και την πό ση, στην ερμοκρασία του CMB. Εν το μεταξύ, η εξάρτηση του CMB από την συ νότητα παραμένει στο φάσμα του μέ ανος σώματος. 139

144 Θ(η, x i, ˆn είναι η διαταρα ή στη ερμοκρασία στο η, x i τ ν φ τονί ν που κινούνται στην κατεύ υνση ˆn, υπο ο ισμένη στη μέση τιμή δύο καταστάσε ν πό σης Q c (η, x i, ˆn είναι το μισό της διαφοράς μεταξύ της διακίμανσης ερμοκρασίας τ ν φ τονί ν στη ραμμική κατάσταση x- πό σης και στη ραμμική κατάσταση y-πό σης. U c (η, x i, ˆn είναι η αντίστοι η διαφορά ανάμεσα στην ραμμική 45 o και 135 o κατάστασης πό σης Ο ό ος που δεν έ ουνε εξάρτηση από το q είναι ο ίδιος όπ ς και στην περίπτ ση του Θ. Αρ ικά δεν έ ουν, κα ώς τα φ τόνια αρ ικά ρίσκονται σε ερμική ισορροποία, άρα Q = U = 0. Θα εξά ουμε τις εξισώσεις εξέ ηξης ια τα Q c και U c. Και αυτές οι εξιώσεις εξέ ηξης προκύπτει να είναι ανεξάρτητες από το q και επομέν ς δεν αναπτύσσεται καμια εξέ ηξη από το q, και οι διαταρα ές διατηρούν το φάσμα μέ ανος σώματος. 11. Τανυστής Πό σης Οι διακυμάνσεις του CMB περι ράφονται από τις διακυμάνσεις στον τανυστή πυκνότητας ερμοκρασίας, ο οποίος μπορεί να ρισ εί στο ί νος του Θ και ένα άι νο κομμάτι [ ] [ ] [ ] ρ ss (η, x, n = 1 Θ + Q U = Θ Q U (11.18 U Θ U 1 U Q Θέ ουμε τώρα να αναπτύξουμε την x-εξάρτηση της πό σης σε επίπεδα κύματα (ανάπτυ μα Fourier και της n-εξάρτησης σε σφαιρικές αρμονικές. Πρέπει όμ ς να αντιμετοπίσουμε την εξάρτηση από τις συντετα μένες τ ν Q και U. Το σύνο ο τ ν μοναδιαί ν διανυσμάτ ν φτιά νει μια σφαίρα, όπου μπορούμε να ρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντετα μένες θ, ϕ. Για κά ε όρο του αναπτύ ματος Fourier επι έ ουμε σφαιρικές συντετα μένες τέτοιες ώστε ο z-άξονας (θ = 0 να είναι παρά η ος στο κυματικό αρι μό k. Οι παράμετροι Stokes ια κά ε κατεύ ευνση ˆn του φ τονίου Επομέν ς οι δύο ραμμικές καταστάσεις πό σης που εξετάζουμε είναι oi θ και ϕ ραμμικές πο ώσεις. Το ˆθ παίρνει [ τη έση του ˆx ] και το ˆϕ τη έση του ŷ. Γν ρίζουμε ότι o ρâˆb(ˆη, x, n = 1 Θ + Q U μετασ ηματίζεται U Θ Q σαν τανυστής ης τάξης στη ˆn-σφαίρα. Μπορούμε να το δια ρίσουμε στο 140

145 Τα μοναδιαία διανύσματα ˆθ, ˆϕ, ˆn ια μια ορ οκανονική right- Σ ήμα 11.1: handed άση. Σ ήμα 11.: Κοιτώντας τη μοναδιαία σφαίρα a από το εσ τερικό (τα φ τόνια απομακρίνονται από εμάς b από το εξ τερικό (τα φ τόνια έρ ονται προς εμάς ί νος του T rρ = Θ,το οποίο μετασ ηματίζεται[ σαν α μ τό, ] και τον άι νο συμμετρικό τανυστή πό σης ρâˆb(ˆη, x, n = 1 Q U. Σε ένα δεδομένο U Q η, x, το Pâ,ˆb(ˆn είναι ης τάξης τανυστικό πδίο στη σφαίρα. Βάζουμε ανύσματα ια δείκτες αι να δείξουμε ότι τα Pâˆb είναι συνιστώσες στην ορ οκανονική άση (ˆθ, ˆϕ, και ό ι στην θ, ϕ άση. Pˆθ,ˆθ = P ˆϕ ˆϕ = 1 Q(θ, ϕ Pˆθ, ˆϕ = P ˆϕˆθ = 1U(θ, ϕ (11.19 Σαν τανυστικό πεδίο στη σφαίρα, ο τανυστής πό σης δεν α έπρεπε να αναπτύσσεται σε συνή εις σφαιρικές αρμονικές με τον ίδιο τρόπο με ένα α μ τό πεδίο όπ ς το Θ. Θα αφιερώσουμε τις επόμενες ενότητες ια τη 141