Σιδηρές Κατασκευές Ι Διάλεξη 9 Στρέψη - Στρέβλωση. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών

Transcript

1 ιδηρές ατασκευές Διάλεξη 9 τρέψη - τρέβλωση χολή Πολιτικών ηχανικών ργαστήριο εταλλικών ατασκευών

2 Άδεια Χρήσης ο παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. ια εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 έντρο διάτμησης ο σημείο μιας διατομής, από το οποίο πρέπει να διέρχεται η εγκάρσια φόρτιση για να μην προκαλείται στρέψη θέση του κέντρου διάτμησης εξαρτάται μόνον από τη γεωμετρία της διατομής Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 3

4 έντρο διάτμησης ια διατομές με δύο άξονες συμμετρίας, το κέντρο διάτμησης συμπίπτει με το κέντρο βάρους της διατομής. Β=Δ Β=Δ Β=Δ Δ ΔΠ Δ Δ ΔΞ 9 Ψ - Β

5 έντρο διάτμησης ια διατομές συμμετρικές ως προς σημείο το κέντρο διάτμησης συμπίπτει επίσης με το κέντρο βάρους που είναι και το κέντρο συμμετρίας. Β=Δ Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 5

6 έντρο διάτμησης ια διατομές με έναν άξονα συμμετρίας το κέντρο διάτμησης βρίσκεται επί του άξονα αυτού. Δεν ταυτίζεται με το κέντρο βάρους. Δ Β Δ Δ Ξ ΔΞ 9 Ψ - Β 6

7 έντρο διάτμησης ια διατομές αποτελούμενες από ελάσματα που συνδέονται σε ένα σημείο το κέντρο διάτμησης ταυτίζεται με αυτό το σημείο. Δ Β Β Δ Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 7

8 έντρο διάτμησης συνηθισμένων διατομών Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 8

9 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 9 ίτια στρέψης τρέψη μπορεί να αναπτυχθεί σε ένα μέλος λόγω: άμεσων δράσεων ή έμμεσων δράσεων

10 τρέψη λόγω άμεσων δράσεων γκάρσια φορτία που δεν διέρχονται δια του κέντρου διάτμησης της διατομής τρεπτικές ροπές Β=Δ Δ Β=Δ ΔΞ 9 Ψ - Β

11 τρέψη λόγω έμμεσων δράσεων όγω της συμμετοχής του μέλους σε κάποιον φορέα και της επιβολής στα άκρα του στρεπτικών στροφών από άλλα μέλη του φορέα. Δ ΔΞ 9 Ψ - Β

12 τρέψη Όταν ένα μέλος υπόκειται σε στρέψη οι διατομές του περιστρέφονται περί τον διαμήκη άξονα, ο οποίος διέρχεται από τα αντίστοιχα κέντρα διάτμησης των διατομών. άν οι εξωτερικές δυνάμεις διέρχονται δια του κέντρου διάτμησης και συγχρόνως δεν υπάρχουν επιβαλλόμενες στρεπτικές στροφές, δεν θα προκύψει στρεπτική καταπόνηση. Δ ΔΞ 9 Ψ - Β

13 ντιμετώπιση στρέψης Βασική επιδίωξη: ατάλληλη μόρφωση φορέων, ώστε να μην αναπτύσσονται στρεπτικές εντάσεις. άν αυτό δεν είναι εφικτό: Χρήση «κατάλληλων» διατομών για να παραληφθεί η στρεπτική ένταση. Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 3

14 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β άβδος με συμπαγή κυκλική διατομή υπό στρέψη t

15 άβδος με συμπαγή κυκλική διατομή υπό στρέψη Βασικές παραδοχές ι διατομές παραμένουν επίπεδες. ι ακτίνες τυχούσας κυκλικής διατομής παραμένουν ευθύγραμμες. γωνία στροφής ανά μονάδα μήκους είναι σταθερή. t Δ t ΔΞ 9 Ψ - Β 5

16 άβδος με συμπαγή κυκλική διατομή υπό στρέψη dx ξετάζεται τμήμα μήκους dx t Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 6

17 άβδος με συμπαγή κυκλική διατομή υπό στρέψη OBB ' BB ' ρ dφ BB ' BB ' dx γ Δ dx χέσεις συμβιβαστού των παραμόρφωσεων ρ dφ ρ dφ dx γ γ ρ dx γ = διατμητική παραμόρφωση λόγω στρέψης ΔΞ 9 Ψ - Β 7

18 άβδος με συμπαγή κυκλική διατομή υπό στρέψη αταστατικός νόμος υλικού τ G γ τ = διατμητική τάση λόγω στρέψης Δ G= μέτρο διάτμησης G E ν = μέτρο ελαστικότητας ν = λόγος Poisson ΔΞ 9 Ψ - Β 8

19 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 9 άβδος με συμπαγή κυκλική διατομή υπό στρέψη ξισώσεις ισορροπίας t A T τ ρ da R ρ da τ

20 άβδος με συμπαγή κυκλική διατομή υπό στρέψη T t τρda A τ G γ dφ γ ρ dx τ Δ T I t t ρ dφ Tt Gρ da dx A dφ Tt G ρ da dx T t t A GI A t dφ dx I ρ da σταθερά στρέψης ΔΞ 9 Ψ - Β

21 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β ταθερά στρέψης συμπαγούς κυκλικής διατομής t A R R 3 R I ρ da ρ π ρ dρ π ρ dρ ρ π t π I R R

22 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β ταθερά στρέψης κοίλης κυκλικής διατομής t A A I ρ da R da R A R π R t 3 t I π R t R t

23 ταθερά στρέψης κλειστών μονοκυψελικών διατομών A m ds, t ος τύπος του Bredt I t A το εμβαδόν της επιφάνειας που ορίζεται από τη μέση γραμμή των ελασμάτων που σχηματίζουν την διατομή στοιχειώδες μήκος και αντίστοιχο πάχος ελάσματος ds t m Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 3

24 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β ταθερά στρέψης κοίλης κυκλικής διατομής 3 t I π R t R t m t A I ds t π R π R t

25 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 5 ταθερά στρέψης κοίλης ορθογωνικής διατομής b t t h t b h I t b h m t A I ds t b h b h t

26 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 6 ταθερά στρέψης κοίλης τετραγωνικής διατομής a t t a 3 t I a t t a a I t a a

27 έγιστες διατμητικές τάσεις κλειστών μονοκυψελικών διατομών ος τύπος του Bredt max τ t,ed T t,ed A mint m i t,ed A m mint i δρώσα ροπή στρέψης το εμβαδόν της επιφάνειας που ορίζεται από τη μέση γραμμή των ελασμάτων που σχηματίζουν την διατομή ελάχιστο πάχος των ελασμάτων της διατομής ΔΞ 9 Δ Ψ - Β 7

28 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 8 ταθερά στρέψης ανοικτών διατομών ια ανοικτές λεπτότοιχες διατομές αποτελούμενες από επίπεδα ελάσματα με πλάτος b i και πάχος t i ισχύει: 3 t i i i I b t 3

29 αθαρή στρέψη ή στρέψη Saint Venant ι διατομές μελών υπό στρεπτική καταπόνηση παραμένουν με ικανοποιητική προσέγγιση επίπεδες μόνον εφόσον είναι συμπαγείς ή κλειστές. ε αυτή την περίπτωση ισχύουν τα παραπάνω, και οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι διατμητικές. υτή η εντατική κατάσταση ονομάζεται καθαρή στρέψη ή στρέψη Saint Vevant. Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 9

30 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 3 άβδος με κοίλη κυκλική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z

31 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 3 άβδος με κοίλη κυκλική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z

32 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 3 άβδος με κοίλη κυκλική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής X Y Z X Y Z

33 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 33 άβδος με κοίλη κυκλική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής X Y Z X Y Z

34 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 3 άβδος με κοίλη κυκλική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής X Y Z X Y Z

35 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 35 άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z

36 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 36 άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z

37 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 37 παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z X Y Z

38 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 38 παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z X Y Z

39 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 39 παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z X Y Z

40 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό κατανεμημένο έκκεντρο εγκάρσιο φορτίο X Y Z

41 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό κατανεμημένο έκκεντρο εγκάρσιο φορτίο X Y Z

42 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό κατανεμημένο έκκεντρο εγκάρσιο φορτίο X Y Z X Y Z

43 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 3 παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό κατανεμημένο έκκεντρο εγκάρσιο φορτίο X Y Z X Y Z

44 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής άβδος με κοίλη ορθογωνική διατομή υπό κατανεμημένο έκκεντρο εγκάρσιο φορτίο X Y Z X Y Z

45 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 5 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z

46 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 6 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z

47 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 7 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z άτοψη

48 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή ρόπος παραλαβής στρέψης = άθε πέλμα λειτουργεί ως καμπτόμενος πρόβολος ΔΞ 9 Δ Ψ - Β 8

49 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 9 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z X Y Z Άνω πέλμα άτω πέλμα

50 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή τα πέλματα αναπτύσσονται: -ρθές τάσεις λόγω κάμψης -Διατμητικές τάσεις λόγω διάτμησης Διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων πέλματος Διάγραμμα καμπτικών ροπών πέλματος Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 5

51 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 5 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή X Y Z παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής X Y Z

52 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 5 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής X Y Z X Y Z

53 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 53 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή παραμόρφωτη και παραμορφωμένη κατάσταση ακραίας διατομής X Y Z X Y Z

54 άβδος διατομής διπλού ταυ υπό ακραία στρεπτική ροπή πώλεια επιπεδότητας διατομής = στρέβλωση Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 5

55 ηχανισμός παραλαβής στρέψης συνολική ροπή στρέψης T t παραλαμβάνεται: -κατά ένα μέρος μέσω καθαρής στρέψης (T ts ) - κατά ένα μέρος μέσω στρέβλωσης (T tw ) T=T +T t w Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 55

56 Διατμητικές τάσεις ανοικτών διατομών λόγω καθαρής στρέψης t,ed I t max τ t,ed t,ed max t δρώσα ροπή στρέψης Saint Venant σταθερά στρέψης της διατομής T I t i maxt i μέγιστο πάχος των ελασμάτων της διατομής Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 56

57 Ένταση ανοικτών διατομών λόγω στρέβλωσης Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 57

58 Ένταση ανοικτών διατομών λόγω στρέβλωσης du 3 F F, F f f M=-E I I= t b dx Δ h d u d φ u=φ = h dx dx f d φ f M=- E I h dx dm 3 F F d φ F 3 V= =- E I h dx dx σταθερά στρέβλωση I W= If h ς EI V=h ΔΞ 9 Ψ - Β 3 W d φ F 3 dx 58

59 Ένταση ανοικτών διατομών λόγω καθαρής στρέψης και στρέβλωσης Δ ροπή καθαρής στρέψης ροπή στρέβλωση ς συνολική ροπή T t GI T =V t dφ dx h=-ei 3 d φ w F W 3 dx -EI T x =G I dφ dx 3 d φ t W 3 dx ΔΞ 9 Ψ - Β 59

60 ηχανισμός παραλαβής στρέψης έλη με κλειστές διατομές: - κυριαρχεί η καθαρή στρέψη, συνήθως η στρέβλωση αμελείται έλη με ανοικτές διατομές: - κυριαρχεί η στρέβλωση, συνήθως η καθαρή στρέψη αμελείται Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 6

61 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 6 αλύτερες διατομές για παραλαβή στρέψης λειστές διατομές: - τις οποίες κυριαρχεί η καθαρή στρέψη

62 Διατάξεις 3 για έλεγχο στρέψης ια μέλη που υπόκεινται σε στρέψη στα οποία η επιρροή των παραμορφώσεων μπορεί να αγνοείται, η τιμή σχεδιασμού της στρεπτικής ροπής T Ed σε κάθε διατομή πρέπει να ικανοποιεί: T Ed T, Rd όπου T Rd είναι η αντοχή της διατομής σε στρέψη. Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 6

63 Διατάξεις 3 για έλεγχο στρέψης ολική στρεπτική ροπή T Ed σε κάθε διατομή πρέπει να θεωρείται ως το άθροισμα δύο εσωτερικών ροπών: T Ed = T t,ed + T w,ed όπου T t,ed T w,ed είναι η εσωτερική ροπή στρέψης κατά Saint Venant είναι η εσωτερική ροπή στρέψης λόγω στρέβλωσης. ι τιμές των T t,ed και T w,ed σε κάθε διατομή μπορούν να καθορίζονται από το T Ed με ελαστική ανάλυση, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες διατομής του μέλους, τις συνθήκες στήριξης και την κατανομή των δράσεων κατά μήκος του μέλους. ΔΞ 9 Δ Ψ - Β 63

64 Διατάξεις 3 για έλεγχο στρέψης ι παρακάτω τάσεις που οφείλονται σε στρέψη πρέπει να λαμβάνονται υπόψη: οι διατμητικές τάσεις τ t,ed κατά St. Venant λόγω της ροπής T t,ed οι ορθές τάσεις σ w,ed και οι διατμητικές τάσεις τ w,ed λόγω της ροπής στρεβλώσεως T w,ed Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 6

65 Διατάξεις 3 για έλεγχο στρέψης ια τον ελαστικό έλεγχο μπορεί να εφαρμόζεται το κριτήριο διαρροής της ισοδύναμης τάσης von Mises: σ x,ed σ z,ed σ x,ed σ z,ed τ Ed fy γ M fy γ M fy γ M fy γ M fy γ M Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 65

66 Διατάξεις 3 για έλεγχο στρέψης Aπλοποιητικά, στην περίπτωση ενός μέλους με κλειστή διατομή, όπως είναι μια διατομή κοιλοδοκού, μπορεί να υποτεθεί ότι τα αποτελέσματα λόγω της στρέβλωσης μπορούν να αγνοηθούν. πίσης απλοποιητικά, στην περίπτωση ενός μέλους με ανοιχτή διατομή, όπως η I ή H, μπορεί να υποτεθεί ότι οι επιδράσεις της στρέψης κατά St. Venant μπορούν να αγνοηθούν. ΔΞ 9 Δ Ψ - Β 66

67 Διατάξεις 3 για έλεγχο στρέψης ια συνδυασμένη διατμητική δύναμη και στρεπτική ροπή, η πλαστική αντοχή σε διάτμηση που λαμβάνει υπόψη τη στρεπτική επιρροή πρέπει να μειώνεται από V pl,rd σε V pl,t,rd και η διατμητική δύναμη σχεδιασμού πρέπει να ικανοποιεί την: V V Ed pl,t,rd, Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 67

68 Διατάξεις 3 για έλεγχο στρέψης για διατομή I ή H: t,ed Vpl,T,Rd - Vpl,Rd τ,5 f / 3 /γ y M t,ed w,ed V = - - Vpl,Rd pl,t,rd για διατομή U: τ,5 f / 3 /γ f/ 3 /γ y M y M τ για κοίλη διατομή: Δ t,ed V pl,t,rd= - Vpl,Rd y τ f/ 3 /γ M ΔΞ 9 Ψ - Β 68

69 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 69 Παράδειγμα πλαισίου στήριξης πινακίδας Φορτία α) ίδιο βάρος φορέα, β) βάρος πινακίδας, γ) άνεμος

70 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 7 Παράδειγμα πλαισίου στήριξης πινακίδας ρθές τάσεις στη διατομή α) σ Ed,x, λόγω Ed, β) σ Ed,x,Mz, λόγω Ed,z, γ) σ Ed,x,My, λόγω Ed,y

71 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 7 Παράδειγμα πλαισίου στήριξης πινακίδας Διατμητικές τάσεις στη διατομή α) τ Ed,xz λόγω V Ed,z, β) τ t,ed λόγω T t,ed

72 Παράδειγμα δοκού κύλισης γερανογέφυρας Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 7

73 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 73 Παράδειγμα δοκού κύλισης γερανογέφυρας ρθές και διατμητικές τάσεις λόγω κατακορύφου φορτίου α) σ x,my λόγω y β) τ xz λόγω V z

74 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 7 Παράδειγμα δοκού κύλισης γερανογέφυρας ρθές και διατμητικές τάσεις λόγω οριζοντίου φορτίου α) σ x,mz λόγω z β) τ xy λόγω V y

75 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 75 Παράδειγμα δοκού κύλισης γερανογέφυρας τρέβλωση της δοκού κύλισης νάλυση στης στρεπτικής ροπής σε ζεύγος δυνάμεων στα πέλματα

76 Δ ΔΞ 9 Ψ - Β 76 Παράδειγμα δοκού κύλισης γερανογέφυρας ρθές και διατμητικές τάσεις λόγω στρέβλωσης α) σ w,ed λόγω f β) τ w,ed λόγω V f

77 Χρηματοδότηση ο παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. ο έργο «νοικτά καδημαϊκά αθήματα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. ο έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του πιχειρησιακού Προγράμματος «κπαίδευση και Δια Βίου άθηση» και συγχρηματοδοτείται από την υρωπαϊκή Ένωση (υρωπαϊκό οινωνικό αμείο) και από εθνικούς πόρους.