ΦΥΣ Διαλ.28. Νόµος παγκόσµιας έλξης

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.28 1 Νόµος παγκόσµιας έλξης

2 ΦΥΣ Διαλ.28 2 Κοιτάζοντας τα άστρα... Η εξήγηση για τη δυναμική μεταξύ ουράνιων σωμάτων ξεκίνησε από παρατηρήσεις και πνευματικές αναζητήσεις από την αρχή της ανθρωπότητας! Πτολεμαίος: Είχε την λάθος γεωκεντρική θεωρία! Κοπέρνικος: Έδωσε μια περισσότερο σωστή ηλιοκεντρική θεωρία! Bahe: Πολλές παρατηρήσεις και ακριβή δεδομένα! Kepple: Χρησιμοποίησε τα δεδομένα του Bahe και πρότεινε τρεις εμπειρικούς νόμους! Newton: Βρήκε ένα παγκόσμιο νόμο που εξηγεί τους νόμους του Kepple! Einstein: Δημιούργησε μια νέα θεωρία που εξηγεί μερικές μικρές ανακρίβειες στη θεωρία του Newton???????: Tι έρχεται για το μέλλον?

3 Βαρύτητα-Νόµος παγκόσµιας βαρυτικής έλξης a σελ. = ( ) 2 v 2 = 2π R γη σελ. / T R γη σελ. ΦΥΣ Διαλ.28 3 " O Newton συνέδεσε την πτώση αντικειµένων στην επιφάνεια της γης µε την κίνηση της σελήνης γύρω από την γη. " Η σελήνη πέφτει συνεχώς προς την γη: Σελήνη R γη σελ. = m / s 2 όπου R γη-σελ. = 3.84x10 8 m και Τ = 27.3 ηµέρες Γη Πως συγκρίνεται αυτό µε το g? a επιϕ.-γης a τροχια -σελ. = 9.81m/ s Αλλά R γη σελ = R γη Aφού η επιτάχυνση που προκαλείται από τη βαρυτική δύναµη ελαττώνεται σαν 1/R 2 τότε και η δύναµη θα µεταβάλλεται όπως 1/R 2 F = ma 1 2

4 Εξάρτηση από τη µάζα ΦΥΣ Διαλ.28 4 Μάζα n µόνη κοινή φυσική ιδιότητα µεταξύ γης-σελήνης.! Από το 3 ο νόµο του Newton F γης-σελ = -F σελ-γης? Αν η εξίσωση της δύναµης εξαρτώνταν από την µάζα τότε η εξάρτηση µπορούσε να έχει τη µορφή: (M+m) n ή (Mm) n. # Από πειράµατα Γαλιλαίου $ εξάρτηση της µορφής (Mm) n (επιτάχυνση µάζας m που προκαλείται από µάζα Μ είναι ανεξάρτητη της µάζας m) Βαρυτική δύναµη F Mm 2 F gav = G Mm 2 τεστ μάζα Αµοιβαία έλξη µεταξύ δύο οποιαδήποτε µαζών στο σύµπαν! G = Nm / kg πολύ µικρή!! Βαρυτητικό πεδίο

5 ΦΥΣ Διαλ.28 5 Βαρυτική µάζα Αδρανειακή µάζα Βαρυτική! Οι µάζες στον νόµο της παγκόσµιας βαρυτικής έλξης βαρυτικές! Οι µάζες στο 2 ο νόµο του Newton αδρανειακές " Ποια η σχέση µεταξύ τους? Τι λένε τα πειράµατα? F gav = G M g m g 2 = m αδρ. a a = G M g 2 m g m αδρ.! Πείραµα: όλα τα σώµατα που κάνουν ελεύθερη πτώση πέφτουν µε g Εποµένως m g =m αδρ " Η σταθερά G είναι πάρα πολύ δύσκολο να µετρηθεί και είναι µια από τις λιγότερο γνωστές (σε ακρίβεια) σταθερές στη φυσική " Οι βαρυτικές δυνάµεις είναι προστιθέµενες: F g = F 12 + F 13 + F F 1n

6 Μέτρηση της σταθεράς G " Δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την γη σα µια από τις µάζες αφού δεν ξέρουµε την µάζα της. " Χρειαζόµαστε δύο γνωστές µάζες.! Η δύναµη µεταξύ δύο «καθηµερινών» µαζών είναι πολύ µικρή. Πρέπει να µαστε έξυπνοι. καθρέπτης φωτεινή πηγή ΦΥΣ Διαλ.28 6! O Cavendish ήταν αρκετά έξυπνος. 100 χρόνια µετά το Newton (1798) ήταν ο πρώτος που µέτρησε το G. Βασική ιδέα: Μέτρηση της παραµόρφωσης λόγω περιστροφής υπό την επίδραση της βαρύτητας ενός λεπτού σύρµατος που συνέδεε δύο γνωστές µικρές µάζες. Το στρίψιµο του σύρµατος µετρά τη βαρυτική δύναµη F, ενώ γνωρίζουµε τα m 1, m 2 και και άρα βρίσκουµε το G Σηµαντικό: H µέθοδος θεωρεί ότι τα 2 σφαιρικά σώµατα δρουν σα να είναι σηµειακά. Δηλαδή όλη τους η µάζα στο κέντρο της σφαίρας. Αυτό αποδεικνύεται σωστό.

7 ΦΥΣ Διαλ.28 7 Σηµασία του πειράµατος του Cavendish " Γνωστό και σα πείραµα µέτρησης του βάρους της Γης: Αφού µετρήσαµε το G µε 2 γνωστές µάζες µπορούµε να µετρήσουµε τη µάζα της γης από mg = G Mm g = G M 9.8 m 2 M = g2 2 G M = s ( m) Nm 2 kg = kg " Η µέση πυκνότητα της γης είναι ρ = Μ/(4/3 πr 3 ) $ ρ αv = 5.5g/cm 3 " Αλλά η πυκνότητα της κρούστας της γης είναι < 5.5 g/cm 3 Εποµένως το κέντρο της πρέπει να ναι περισσότερο συµπαγές. Το πείραµα του Cavendish µας δίνει πληροφορίες και για το κόρο της γης

8 Μεταβολές της επιτάχυνσης της βαρύτητας " Η επιτάχυνση της βαρύτητας δεν είναι σταθερή στην επιφάνεια της γης: mg = G Mm g = G M 9.8m/ 2 s2 2 (α) O φλοιός δεν είναι οµοιόµορφος. (β) Η γη δεν είναι σφαίρα (πιο πλατιά στον ισηµερινό) (γ) Η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της (β και γ σχετίζονται) ΦΥΣ Διαλ.28 8 " Σε κάποια από τις αρχικές διαλέξεις είχαµε υπολογίσει το g στον ισηµερινό. Λόγω της περιστροφής της γης το g δίνεται από: ω v mg Ν mg N = mv2 v2 N = m g R R = m g ω 2 R Αλλά: 2π ω 2 R = 1ηµερα 2 2π R = ( ) R = 0.034m/ s 2 Στη κορυφή ενός βουνού: M g = G ( + h) = GM GM h 2 +2h 2 (1+2h/) = GM 2 1 2h g = g 1 2h

9 ΦΥΣ Διαλ.28 9 Βαρυτική δυναµική ενέργεια " Η βαρυτική δύναµη είναι συντηρητική δύναµη " Η βαρυτική δύναµη είναι κεντρική δύναµη! Έχει ακτινική διεύθυνση µε φορά προς το κέντρο! Το µέτρο της εξαρτάται µόνο από την απόσταση! Μια κεντρική δύναµη µπορεί να γραφεί F() ˆ " Σωµατίδιο κινείται από το σηµείο Α στο Β υπό την επίδραση κεντρική δύναµης Ακτινικό τμήμα Τόξο " Μπορούµε να χωρίσουµε τη διαδροµή σε µια σειρά από ακτινικά τµήµατα και τµήµατα τόξου " Το έργο κατά µήκος των τµηµάτων τόξου είναι µηδέν και εποµένως το έργο εξαρτάται µόνο από την αρχική και τελική θέση f και i

10 ΦΥΣ Διαλ Βαρυτική δυναµική ενέργεια Για να βρούµε τη βαρυτική δυναµική ενέργεια, χρειάζεται να ολοκληρώσουµε τη δύναµη. F = dv d 2 dv = F d 1 2 = G Mm d 1 2 = GMm 2 dv = GMm (-) επειδή η δύναµη είναι ελκτική Δαπανώµενο έργο για να κινηθεί η µάζα m ως την Μ " Συνήθως θεωρούµε σα σηµείο αναφοράς το σηµείο 1 = V() V()= GMm, V( )= 0-1

11 ΦΥΣ Διαλ H ειδική περίπτωση: mgh " Για την δυναµική ενέργεια βαρύτητας έχουµε µάθει να χρησιµοποιούµε τη σχέση: mgh! Αυτή είναι ειδική περίπτωση της γενικής εξίσωσης: κοντά στην επιφάνεια της γης, γιατί: ΔV = GMm 1 R 1 R + h = GMm 1 1 R 1+ h/r = GMm R G Mm ε Επειδή ε << 1 µπορούµε να πάρουµε το ανάπτυγµα Taylo: ΔV = GMm R 1 1 h R = GM R 2 mh mgh 1 = 1 ε +! 1+ ε Η σχέση αυτή ισχύει µόνο για h << R Στις 2 τελευταίες σελίδες κάναµε ένα µεγάλο κύκλο: ολοκληρώσαµε τη δύναµη για να πάρουµε το δυναµικό, διαφορίσαµε το δυναµικό και πολλαπλασιάσαµε µε h για να πάρουµε έργο: Fh=mgh

12 ΦΥΣ Διαλ Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα " Χρησιµοποιήσαµε τις εκφράσεις F()= GMm που ισχύουν για σηµειακές µάζες Μ και m. 2 και V()= GMm " Ένα χαρακτηριστικό γεγονός, που κάνει τους υπολογισµούς πολύ πιο εύκολους είναι ότι αυτές οι εξισώσεις ισχύουν και για τις σφαίρες. Για τη βαρύτητα, σφαιρικά σώµατα µοιάζουν σαν υλικά σηµεία µε όλη τη µάζα τους στο κέντρο της σφαίρας. " Προς το παρών δεχόµαστε δύο σηµαντικά γεγονότα:! Αν είστε ΕΞΩ από µια σφαιρική κοιλότητα, η κοιλότητα µοιάζει σαν υλικό σηµείο. Οι σφαίρες µοιάζουν να αποτελούνται από πολλές σφαιρικές κοιλότητες και άρα οι σφαίρες µοιάζουν επίσης σαν υλικά σηµεία! Αν είστε ΜΕΣΑ σε µια σφαιρική κοιλότητα, η κοιλότητα µοιάζει σαν τίποτα. Είναι σα να µην υπάρχει καµιά δύναµη.

13 ΦΥΣ Διαλ Γραφική αναπαράσταση Για σφαιρικές κοιλότητες: M R mm m F g 0 R Μηδέν στο εσωτερικό Έξω από την κοιλότητα F g ανάλογη 1/ 2 Για σφαίρες: Άθροισµα σφαιρικών κοιλοτήτων Αθροίζουµε όλες τις σφαιρικές κοιλότητες για να δηµιουργήσουµε µια συµπαγή σφαίρα F g R 1/ 2 M M = ρ V 4 ρv = π 3 3 = 4 3 πr3 3 R 3! F g = GMm ˆ 2 R! F g = Gm ˆ 2 < R όπου M είναι η µάζα που περιέχεται σε σφαίρα ακτίνας < R Για σφαίρα οµοιόµορφης πυκνότητας: GMm 3 F g = R 3 F < R 0 F 2 g = GMm για g 0 R 3

14 ΦΥΣ Διαλ Μια απόδειξη για την περίπτωση των κοίλων σφαιρών κοίλη σφαίρα Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι δυνάµεις από τα τµήµατα των µαζών στις 2 απέναντι πλευρές του P αλληλοαναιρούνται. Ας υποθέσουµε για ευκολία ότι η περιοχή Α 1 είναι δύο φορές πιο µακριά από το P σε σχέση µε την περιοχή Α 2. Εποµένως το εµβαδό και άρα η µάζα του Α 1 θα είναι 4 φορές µεγαλύτερο από αυτό στο Α 2. Αυτός ακριβώς ο όρος, 4=2 2, στη µάζα αναιρεί το παράγοντα 2 2 =4 στο 2 του παρονοµαστή της δύναµης, καταλήγοντας σε ίσες και αντίθετες δυνάµεις στο P $ ΣF=0 Σηµειώστε ότι το παραπάνω επιχείρηµα δεν δουλεύει για κυκλικά στεφάνια (αντί κοιλότητας) γιατί χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι τα Α 1 και Α 2 είναι εµβαδά, που είναι ανάλογα των τετραγώνων των αντίστοιχων µηκών.

15 Σφαιρικά σώµατα µοιάζουν µε υλικά σηµεία ΦΥΣ Διαλ Αυτό που θα αποδείξουµε εδώ είναι ότι το δυναµικό εξαιτίας ενός σφαιρικού κελύφους (σφαιρικής κοιλότητας) είναι ίδιο µε το δυναµικό εξαιτίας µιας σηµειακής µάζας στο κέντρο. Από τη στιγµή που F= - dv/d, το αποτέλεσµα θα ισχύει και για τη δύναµη. R θ l m Θεωρείστε ένα σφαιρικό κέλυφος. Ποιο είναι το δυναµικό στην θέση? Το χωρίζουµε σε δακτυλίους και αθροίζουµε τα δυναµικά. Από το νόµο των συνηµίτονων έχουµε: l = R Rcosθ Το εµβαδό του δακτυλίου είναι (πάχος)(περιφέρεια) = Rdθ Έστω σ=μ/4πr 2 η πυκνότητα µάζας ανά µονάδα επιφάνειας Το δυναµικό εξαιτίας του δακτυλίου θα είναι: Gm 1 m 2 12 = Gm σ Rdθ ( )( 2πRsinθ ) ( ) R Rcosθ ( )( 2πRsinθ )

16 ΦΥΣ Διαλ Σφαιρικά σώµατα µοιάζουν µε υλικά σηµεία To δυναµικό εξαιτίας του σφαιρικού κελύφους θα είναι: ( ) = 2πσGR 2 m V V ( ) = 2πσGRm 1 π sinθdθ = 2πσGRm R Rcosθ 0 R Rcosθ Ανάλογα µε το πρόσηµο του -R υπάρχουν 2 περιπτώσεις: (α) > R (β) < R Για να πάρουµε τη δύναµη: (α) > R (β) < R ( ) = dv F ( R + ) 2 ( R) 2 V ( ) = 2πσGRm V ( ) = 2πσGRm ( ) = dv F d = GMm d = 0 ( R + ) R ( ) ( R + ) R 2 ( ) G( 4πσ R2)m = G( 4πσ R2)m = R Το κέλυφος µοιάζει µε σηµειακή µάζα Μ στο κέντρο Δηλαδή σα να µην υπήρχε το κέλυφος π 0 = GMm = GMm R

17 Ένα απίθανο παράδειγµα ΦΥΣ Διαλ Ανοίγουµε µια τρύπα στη γη από τη µια πλευρά στην άλλη και κατά µήκος µιας χορδής της. Αφήνουµε ένα σώµα να πέσει µέσα στην τρύπα αυτή. Αγνοώντας τριβές βρείτε το χρόνο που χρειάζεται για να περάσει από την άλλη άκρη. Λύση θ m R (Θυµηθείτε: η µάζα m δεν «βλέπει» τη µάζα που περικλείεται σε κοίλες σφαίρες έξω από την ακτίνα ). O όγκος είναι ανάλογος του 3 και εποµένως Μ =M(/R) 3 GM 3 F g = R m 3 = GMm 2 R 3 Θέλουµε µόνο την συνιστώσα της F κατά µήκος της χορδής που ανοίξαµε F x = ma = F sinθ = F x Η δύναµη στο m είναι GM m/ 2, προς το εσωτερικό, Μ είναι η µάζα που περικλείεται σε µια ακτίνα = GMmx = m x!!x = GM R x 3 Εξίσωση αρµονικού ταλαντωτή µε συχνότητα ω = Άρα θα χρειαστεί 42min για ένα one-way ταξίδι R 3 GM R 3 = 2πΤ => Τ ~ 84 min

18 ΦΥΣ Διαλ Και ένα πιθανό... " Σύγχρονοι Δορυφόροι: Μένουν πάντοτε πάνω από το ίδιο σηµείο της γης. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα τέτοιο δορυφόρο πάνω από τον ισηµερινό. Άρα η περίοδος περιστροφής τους είναι Τ = 1 ηµέρα. Θέλουµε να βρούµε την ακτίνα της τροχιάς τους, και την γραµµική ταχύτητα v. GMm δορ. v 2 = m 2 δορ. Αλλά Τ = 2π v = 1ηµ. v = 2π T Εποµένως GMm δορ. (2π) 2 = m 2 δορ. T 2

19 ΦΥΣ Διαλ Quiz! Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι;