Epistēmēs Metron Logos

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Epistēmēs Metron Logos"

Transcript

1 Epistēmēs Metron Logos Vol. 0, 2019 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Κίτσος Χρήστος Copyright 2019 Χρήστος Κίτσος To cite this article: Κίτσος, (2019). Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους. Epistēmēs Metron Logos, 0(2), doi:

2 Χρήστος Π. Κίτσος Ομότιμος Καθηγητής Στατιστικής, Παν. Δυτικής Αττικής Epistēmēs Metron Logos Journal No 2 (2019) ISSN: Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Περίληψη O στόχος αυτής της εργασίας είναι να διερευνήσει την εξέλιξη της Φιλοσοφίας, της Λογικής και της Γεωμετρίας και να εξετάσει τον τρόπο που η Γεωμετρία τελικά επηρεάστηκε και επηρέασε την εξέλιξη της Φιλοσοφίας και της Λογικής. Στην Λογική δεν υπήρξαν σημαντικές αλλαγές από την εποχή του Αριστοτέλη, μέχρι την ανατροπή των ιδεών του. Στην Γεωμετρία υπήρχε μια συνεχής προσπάθεια να αποδείξουν το 5ο Ευκλείδειο αίτημα, μέχρι την απόφαση του Gauss ότι είναι δυνατόν να δημιουργηθούν μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Η εξέλιξη της Φιλοσοφίας ήταν σταθερή, και τροφοδοτούσε με τις ιδέες την Επιστήμη. Abstract The aim of this paper is to investigate the evolution of Philosophy, Logic and Geometry and to see how Geometry was eventually influenced and influences the evolution of Philosophy and Logic. In Logic there were not significant changes, since the time of Aristotle, until the complete change of his ideas. In Geometry there was a continuous attempt to prove the 5 th Euclidean postulate, until Gauss decided that it was possible to create non-euclidean Geometries. The evolution of Philosophy was stable, and it fed Science with new ideas. Λέξεις κλειδιά: Λογική, Ευκλείδεια Γεωμετρία, Αναλυτική Φιλοσοφία, Russell, Frege 1. Εισαγωγή Με ένα εξαίρετο τρόπο ο Bertrand Russell (1946) περιγράφει την ιστορία της Δυτικής Φιλοσοφίας και αποδίδει τα εύσημα σε όλους τους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους. Βέβαια ιδιαίτερη έμφαση αποδίδεται στους γνωστούς δύο φιλοσόφους της οικουμένης, τον Πλάτωνα ( ) και [110]

3 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Χρήστος Π. Κίτσος τον μαθητή του, Αριστοτέλη ( ). Η αναφορά σε όλες τις δραστηριότητες του Αριστοτέλη είναι ενδελεχής, μα στην παρούσα εργασία μας ενδιαφέρει η ανάλυση που πραγματοποιεί για τα της Λογικής του Αριστοτέλη, που ίσχυσε για αιώνες σε όλη τη Δύση. Οι Έλληνες Μαθηματικοί κατεγράφησαν πλήρως από τον Heath (1981), τον Guomo (2001), ανάμεσα σε άλλους, ενώ οι κύριες μορφές των Μαθηματικών στην ιστορία παρουσιάζονται από τον Bell (1986). Η έμφαση στην Γεωμετρία και την εξέλιξη της, προϊόν ανάπτυξης του τρόπου σκέψης του Ανθρώπου, αναπτύσσεται διεξοδικά στον Greenberg (1980). Όμως, τόσο ο Πλάτων, όσο και ο Αριστοτέλης είχαν μια ευαισθησία απέναντι στα Μαθηματικά της εποχής τους, βλ. και Fowler (2003), Heath (1949), όπου γίνεται αναφορά στο «αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω» και στην «αρμονική». Η λογική δομή στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη εντυπωσιάζει. Η δομή και η ανάπτυξη στηρίζεται σε μια πρωτοποριακή για την εποχή λογική. Ο Fowler (2003 p. 385) είναι σαφής: Euclid s Elements has been an almost universal reputation, even among historians of mathematics, for its relentlessly logical arrangement. Η αναφορά στα «Στοιχεία» πραγματοποιείται ήδη από τα πρώτα χρόνια εμφάνισής τους ο Αριστοτέλης τα μνημονεύει τόσο στα Φυσικά (έρευνα για τις βασικές αρχές της ερμηνείας της Φυσικής) και στα μετά τα Φυσικά (ανάπτυξη θεωρίας για τις αρχές του Όντος, 14 βιβλία). Ένα από τα χαρακτηριστικά σημεία της Αριστοτελικής σκέψης, είναι το αίτιον. Η επιστημονική σύλληψη και αντίληψη των αιτιών, υπερνικά τη δεισιδαιμονία και ενισχύει τη λογική. Τα «Αναλυτικά Πρότερα» πραγματεύονται τη θεωρία του συλλογισμού, ενώ τα «Αναλυτικά Ύστερα» αναφέρονται στη θεωρία της απόδειξης, έννοιες πρωταρχικές, εκείνη την εποχή, μα μέχρι σήμερα, άρρηκτα συνδεδεμένες με τη Μαθηματική Λογική, τον τρόπο ανάπτυξης και κατανόησης ενός προβλήματος. Ο ίδιος όμως ασχολήθηκε ελάχιστα με τα Μαθηματικά και εξηγεί ρητά ότι πρέπει κάποιος να στηρίζεται στα συμπεράσματα των ιδεών. Η λογική απετέλεσε το κύριο και αναπόσπαστα συνδεδεμένο μέρος της αξιωματικής μεθόδου: Οι Έλληνες στην προσπάθειά τους να αναπτύξουν τη Γεωμετρία πάνω σε σταθερά θεμέλια, μη επιδεχόμενα ιδιόρρυθμων παραδόξων, όπως εκείνο του Ζήνωνα ( ) και να αντιμετωπίσουν επιπλέον το πρόβλημα της ασυμμετρίας, χρησιμοποίησαν την αξιωματική [111]

4 Epistēmēs Metron Logos [112] μέθοδο στη Γεωμετρία, με την κορύφωση της προσπάθειας αυτής με τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη ( ). Η Λογική ως αναπόσπαστο μέρος της αξιωματικής μεθόδου απετέλεσε τελικά την πρωτεύουσα θέση στα Μαθηματικά, ώστε ο Bertrand Russell το 1903 να πει «καθαρά μαθηματικά είναι η κλάση όλων των προτάσεων της μορφής p συνεπάγεται q, όπου p και q προτάσεις». Όμως η αξιωματική μέθοδος υιοθετήθηκε τον 17 ο και 18 ο αιώνα, από κοινωνικές και φιλοσοφικές θεωρίες. Τυπικό παράδειγμα είναι η «Ηθική» (1667) του Spinoza. Όντως, μετά από οκτώ ορισμούς και επτά αξιώματα στην μαθηματικοποιημένη «Ηθική» αποδεικνύονται διάφορα θεωρήματα και το 11 ο αναφέρει: «Ο Θεός, δηλαδή η υπόσταση που αποτελείται από απειρία κατηγορημάτων, που το καθένα τους εκφράζει μια αιώνια και άπειρη ουσία, υπάρχει αναγκαία». Το θεώρημα αυτό βέβαια αποδεικνύεται. Με την απόδειξη της αναγκαίας ύπαρξης του Θεού ο Spinoza κτίζει με έναν μαθηματικό τρόπο, αποδεικνύοντας τα πάντα όσα δηλώνει στην «Ηθική» του, π.χ. θεώρημα 34: «η δύναμη του Θεού είναι αυτή η ίδια του η ουσία». Με τρόπο περίτεχνο στο περί Δουλείας τμήμα αποδεικνύει για τα δύο θεωρήματα ότι «Μόνοι οι ελεύθεροι άνθρωποι είναι πολύ ευγνώμονες ο ένας απέναντι στον άλλο» κάτι που συναντά ο μελετητής ανάμεσα σε περισπούδαστους Μαθηματικούς (και όχι μόνο) όπου ο ένας εκτιμά την εργασία του άλλου και ότι «ο ελεύθερος άνθρωπος ποτέ δεν ενεργεί δόλια, αλλά πάντοτε με καλή πίστη» κάτι που συναντά ο μελετητής σε όσους αναζητούν τη γνώση και τη σοφία: έχουν το σθένος της γνώμης με οποιοδήποτε τίμημα. Άμεσα με αυτόν τον τρόπο σκέψης και ηθικής είναι το γεγονός ότι όταν οι Γάλλοι κατέλαβαν το Gottingen, ο μεν Ναπολέων έσπευσε να πληροφορηθεί αν ο Gauss ήταν καλά (μην τυχόν συμβεί κάτι ανάλογο με τον Αρχιμήδη) και οι Γάλλοι Μαθηματικοί, εκείνης της εποχής, δήλωσαν στον Gauss πρόθυμοι να πληρώσουν γι αυτόν τους βαρύτατους φόρους του ο Gauss τους ευχαρίστησε και αρνήθηκε. Η ώθηση στην εξελικτική πορεία στηρίζεται σε διάφορους παράγοντες με πρωτεύοντες, για εμάς, τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και τη Φιλοσοφία. Αν και είναι δύσκολος ο διαχωρισμός των εξελικτικών δυνάμεων φαίνεται ότι αυτοί η δύο παράγοντες συνετέλεσαν αποφασιστικά στην επινόηση «νέας Λογικής» πέρα από τον Αριστοτέλη και «νέας Γεωμετρίας» πέρα από τον Ευκλείδη. Στην εργασία αυτή διερευνάται ο σύνδεσμος που υπάρχει μεταξύ Λογι e-publisher: EKT Downloaded at 11/06/ :01:37

5 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Χρήστος Π. Κίτσος κής και Γεωμετρίας και αναπτύσσεται ο τρόπος άλληλο-επηρεασμού στην εξελικτική τους πορεία, προς την παρούσα κατάσταση. Μια σύντομη καταγραφή της πορείας της Λογικής και της Γεωμετρίας κρίνεται απαραίτητη. 2. Η ανάπτυξη της Λογικής Ο όρος, αυτός καθ εαυτός, λογική, είναι ασαφής, καλύπτει έννοιες που εμφανίζονται να είναι διαφορετικές μεταξύ τους, όπως είναι η υπερβατική λογική του Immanuel Kant ( ), η επαγωγική λογική του John Stuart Mill ( ), η λογική της επιστήμης, εισηγητή της Αναλυτικής Φιλοσοφίας, του Georg Wilhem Friedrich Hegel ( ) κ.α. Παράλληλα εμφανίζεται, εξ ορισμού, να αναζητά την αλήθεια σε διάφορα σημασιολογικά περιβάλλοντα, κυρίως σε μια φυσική γλώσσα, σε μια μαθηματική γλώσσα (ή ένα κώδικα επικοινωνίας γενικότερα). Η Λογική αναζητά την αλήθεια στη δομή διαρθρωμένων συστημάτων. Προφανώς, ετυμολογικά, συνδέεται με την λέξη λόγος και άρα ο μη έχων λογική είναι άλογος. Το «Όργανον» αποτελεί την συλλογή των λογικών πραγματειών του οικουμενικού πολυπράγμονα Αριστοτέλη ( ), «συμμαθητή» του περίφημου Μαθηματικού Ευδόξου του Κνίδιου ( ) στην Ακαδημία του Πλάτωνος. Από τον τίτλο «Όργανον» συμπεραίνουμε ότι ο Αριστοτέλης, υπό την σύγχρονη έννοια, θεωρούσε τη λογική ως ένα μέσο όξυνσης του νου. Ότι τυπικά θεωρείται λογική από τον Αριστοτέλη, αναφέρονται στα βιβλία «Περί Ερμηνείας» και «Αναλυτικά Πρότερα». Στο πρώτο από τα δύο βιβλία εισάγει την έννοια της εναντιότητας και στο δεύτερο τη θεωρία της αντιστροφής. Η θαυμαστή εργασία του Εύδοξου στις «αναλογίες» συμπεριλαμβάνεται στο 5 ο βιβλίο του Ευκλείδη στα «Στοιχεία». Η θεωρία της εναντιότητας εξετάζει τις λογικές σχέσεις που ισχύουν μεταξύ των 4 τύπων προτάσεων που σχηματίζονται από την κατάφαση και την απόφαση των καθολικών και των μερικών: Τυποποιημένες εκφράσεις της μορφής: «κάθε» «κανένα δεν» «μερικά» «μερικά δεν» που στον μεσαίωνα συμβόλιζαν με Α, Ε, Ι, Ο αντίστοιχα ενώ ένας σύγχρονος συμβολισμός είναι p, q, r, s απασχόλησαν τον Αριστοτέλη. [113]

6 Epistēmēs Metron Logos 1. Οι προτάσεις p και s είναι προτάσεις αντιφατικές [δηλαδή: αν η μια αυτών αληθής (Α) η άλλη πρέπει να είναι ψευδής (Ψ)]. 2. Οι 2 και r είναι προτάσεις αντιφατικές. 3. Αν p και 2 είναι ενάντιες (δεν επαληθεύονται συγχρόνως), ενώ μπορεί και οι δύο να είναι Ψ. 4. Οι r και s δεν είναι δυνατόν να είναι ταυτόχρονα Ψ. 5. Αν και η (iv) δεν διατυπώθηκε σαφώς από τον Αριστοτέλη, γνώριζε ότι (από τα «Τοπικά», ως φαίνεται, ότι) 6. p r, q s, δηλαδή οι προτάσεις r, s είναι υποκείμενες των p, q αντίστοιχα. [114] Τον συλλογισμό όριζε ο Αριστοτέλης στα «Αναλυτικά Πρότερα» ως την προτασιακή εκείνη έκφραση όπου η αλληλεξάρτηση δεδομένων και υποθέσεων που διατυπώνονται αρχικώς, ακολουθεί, αναγκαστικά, κάτι διαφορετικό από το αρχικό. Στον σημερινό συμβολισμό περιληπτικά, αν p και q τότε r. Το κατηγορούμενο και το υποκείμενο έπαιξαν σημαντικό ρόλο, ως μείζων και ελάσσων όρος αντίστοιχα, στην Αριστοτελική Λογική, αφού η διαφορετική τους θέση απέδιδε σχήματα συλλογισμών. Ο μαθητής (και διάδοχος του στην Περιπατητική Σχολή, πατέρας της Βοτανικής) του Αριστοτέλη Θεόφραστος ( ) είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε σύστημα υποθετικών συλλογισμών ένα σύστημα προτάσεων. Ο Μεγαρικός Φίλων ήταν ο πρώτος που ερεύνησε την αληθο-συναρτησιακή (Α ή Ψ) φύση της λογικής, στην Σχολή των Μεγάρων, όπου μετέβη ο Ευκλείδης και δημιουργήθηκε η γνωστή και ως Μεγαρική Σχολή, περί το 399 π.χ. Ως φιλόσοφος ο Ευκλείδης πίστευε ότι το Ον είναι ένα και ταυτίζεται με το «Αγαθόν», και το ταύτισε με το «Εν» των Ελεατών. Στην Μεγαρική Σχολή θήτευσε και ο Ευβουλίδης δημιουργός πολλών λογικών σοφισμάτων π.χ. κάποιος παραδέχεται ότι αυτή τη στιγμή ψεύδεται, αυτό που λέει είναι αλήθεια ή ψέμα; Ο Στωικός Χρύσιππος ( ) διερεύνησε την σύζευξη και την άρνηση των λογικών αρχών, διατηρώντας ακλόνητη τη δομή της Αριστοτελικής Λογικής. Ο Ζήνων ο Ελεάτης, γεννήθηκε το 488 π.χ. στην Κάτω Ιταλία, μέλος της Ελεατικής σχολής, που ίδρυσε ο Παρμενίδης. Ο Αριστοτέλης τον αποκαλούσε εφευρέτη της διαλεκτικής μεθόδου. Είναι γνωστά τα τέσσερα παράδοξά του, τα οποία ο Russell (1903) περιέγραψε ως ασύγκριτα διακριτικά. Το γνωστότερο είναι ο Αχιλ e-publisher: EKT Downloaded at 11/06/ :01:37

7 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Χρήστος Π. Κίτσος λέας και η χελώνα. Η θαυμαστή συμβολή τους είναι τόσο στην Λογική όσο και τα Μαθηματικά, και για πρώτη φορά συνδέονται Λογική και Μαθηματικά τόσο περίτεχνα. Τόσο κατά τον μεσαίωνα με τη θεωρία των λογικών επακολουθημάτων (consequential), όσο και κατά την αναγέννηση η Αριστοτελική Λογική παρέμεινε σταθερή, με την κίνηση Port-Royal, γύρω στα 1660, αφενός του Θεολόγου- Φιλόσοφου-Μαθηματικού Antoine Arnauld ( ) και αφετέρου του Pierre Nicole ( ), να συνεισφέρουν με μια συστηματική έκθεση του όλου έργου της Λογικής, με βάση μεν τον Αριστοτέλη, μα με την τότε σύγχρονη αντίληψη που διαμορφώθηκε από τον Pascal ή, κυρίως, τον Descartes. Ένα όμως σημείο αξίζει ιδιαίτερης προσοχής: προβάλλεται ως έργο-πρότυπο επιστημονικής μεθόδου και λογικής τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Η σύνδεση με τα Μαθηματικά και δη τη Γεωμετρία αρχίζει. Δίνουμε ιδιαίτερη έμφαση στο σημείο αυτό η Λογική στρέφεται προς τη Γεωμετρία περίπου δύο αιώνες αργότερα, το 1829, ο Nikolay Lobachevsky ( ) εκφράζοντας την αντίθεσή του στον υπερβατικό ιδεαλισμό του Emmanuelle Kant ( ) απέδειξε ότι μια μη Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν λογικά δυνατή. Ο Lobachevsky πίστευε ότι ο χώρος είναι μια έννοια a posteriori, που παράγεται από τον ανθρώπινο νου, βάσει των εξωτερικών εμπειριών, ενώ ο Kant πίστευε ότι ο χώρος, χρόνος και η έκταση είναι a priori δεδομένες έννοιες και ότι ο νους επιβάλλει λογική τάξη στις εμπειρίες των αισθήσεων. 3. Η εξέλιξη της Γεωμετρίας Σημαντικός σταθμός στην εξέλιξη της Γεωμετρίας ήταν, προφανώς, η αρχή της. Η μέτρηση της Γης, στην Αίγυπτο καταρχήν, έδωσε το έναυσμα στην Γεω-μετρία. Στον Θαλή (624 ή 623 με 548 ή 54 ) φαίνεται ότι «άστραψε ένα φως στο μυαλό του», κατά τον Johann Wolfgang Goethe ( ) και απέδειξε το θεώρημά του. Ο σταθμός αυτός στην Γνώση ήταν τέτοιου μεγέθους που η «Δυτική Φιλοσοφία αρχίζει με τον Θαλή» κατά τον B. Russell (1979), πρώτη έκδοση το Η τότε «απόδειξη» από τον Θαλή, δεν έχει σχέση με ό,τι καλείται απόδειξη στις μέρες μας. Όταν ο Ευκλείδης ( ) χάρισε στην ανθρωπότητα, από την Αλεξάνδρεια, τα «Στοιχεία» του, προσέφερε μια έκφραση ολοκληρωμένης λογικής ενότητας και οντότητας. Χρειάστηκαν αιώνες για να αμφισβητηθούν και να [115]

8 Epistēmēs Metron Logos ερευνηθούν οι πιθανές λύσεις. Ενώ τα «Στοιχεία» είχαν άμεσο πεδίο εφαρμογής, τα περίφημα «Κωνικά» για να χρησιμοποιηθούν οι κωνικές τομές, (η παραβολή, η υπερβολή, ο κύκλος και η έλλειψη) του Απολλώνιου του Περγαίου ( ) στην Αστρονομία, από τον J. Kepler, πέρασαν περί τα 1000 χρόνια. Ο γνωστός Ιταλός μαθηματικός (και φιλόσοφος) Giovanni Girolamo Saccheri ( ) δεν μπόρεσε να απαλλαγεί, και αυτός, από τη μη ανεξαρτησία του γνωστού 5 ου Ευκλειδείου αιτήματος των παραλλήλων, όμως ο Gauss δεν υπέπεσε στο ίδιο σφάλμα και πρώτος αυτός προσέγγισε τη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ο Saccheri είχε κάνει πολλά και σημαντικά βήματα προόδου στο να αποδείξει το 5 ο Ευκλείδειο αίτημα, μα ο Johann Carl Friedrich Gauss ( ) έδωσε την σωστή κατεύθυνση: μπορούν να υπάρξουν Γεωμετρίες χωρίς το 5 ο Ευκλείδειο αίτημα μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Οι Janos Bolyai ( ) και N. I. Lobachevsky ( ) οδηγήθηκαν σε ό,τι καλείται σήμερα υπερβολική Γεωμετρία. Ο πρώτος δημοσίευσε το έργο του, τελικά, το 1832, ενώ ο δεύτερος (γνωστός και ως ο Κοπέρνικος της Γεωμετρίας) το Ο Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ), περίπου 20 χρόνια αργότερα οδηγήθηκε στην Ελλειπτική Γεωμετρία (βλ. π.χ. Fravel and Gray, 1986). Όμως όλα αυτά δεν έγιναν ξαφνικά. Υπήρξε δρόμος δύσβατος και οι βασικές αρχές της Αριστοτέλειας Λογικής, στάθηκαν αρωγοί σε αυτή την ανάπτυξη. Μόνο στις αρχές του 20 ού αιώνα, άρχισαν να τρίζουν τα θεμέλια της Λογικής και παράλληλα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η «αλγεβροποίηση» της Γεωμετρίας, άρχισε κατά πολλούς με τον Απολλώνιο, βρίσκει εξαίρετη καταγραφή στην αρχή της και από του Ιησουίτες (παρ.ιι, σελ.161), με παραδείγματα-προβλήματα της μορφής (βλ. Ιησουίτες σελ.193, για λεπτομέρειες): Για τα χ, y μεταβλητές και με τα α, β δεδομένα θεωρούμε ότι αχ+βy =λ, με λ πραγματικός αριθμός, τότε το μέγιστο του γινόμενου χy συμβαίνει όταν: χ y = β α Επί πλέον το ελάχιστο του αθροίσματος χ 2 +y 2 ισχύει όταν: χ y = α β [116]

9 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Χρήστος Π. Κίτσος Μια άλλη χρήσιμη υπολογιστική εφαρμογή, από το ίδιο έργο, το πρόβλημα 640, είναι ο υπολογισμός του Εμβαδού Ε του «Σταυρού της Μάλτας» εγγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς 2α, που υπολογίζεται ως Ε=2α 2 (4-π). Τα υπολογιστικά θέματα βρήκαν την άριστη έκφραση του στο πρόβλημα της χρυσής τομής και στα κανονικά πολύεδρα, στους Έλληνες Μαθηματικούς, που επέμεναν ότι η κατασκευή επιτυγχάνεται μόνο με τον κανόνα και τον διαβήτη (Μπρίκας 1970). Δίνουμε έμφαση στα κανονικά πολύεδρα, τα οποία συνεισέφεραν στον φιλοσοφικό στοχασμό του Πλάτωνος (Fowler 2003): Αν παραστήσουμε με Ε το πλήθος των εδρών ενός κανονικού πολυγώνου, Κ το πλήθος των κορυφών (άρα και των αντίστοιχων στερεών γωνιών στο υπό μελέτη κανονικό πολύγωνο) και Α το πλήθος των ακμών του. Προφανώς οι έδρες του είναι κανονικά ν-γωνα και οι στερεές γωνίες κανονικές n-έδρες. Τότε ισχύουν: > (1) ν n 2 νε=2α (2) nk=2a (3) K+E=A+2 (4) Από την (1) υπάρχουν μόνο οι 5 επιλογές για τον προσδιορισμό των ν, n: (ν, n)=(3, 3) ή (3, 4) ή (4, 3) ή (3, 5) ή (5, 3). Από την (2) συμπεραίνεται ότι κάθε ακμή ανήκει σε 2 έδρες, από την (3) ότι κάθε ακμή ανήκει σε δύο στερεές γωνίες και το (4) είναι γνωστό ως Θεώρημα του Euler. Όμως, το σημαντικό είναι, ότι από την παραπάνω σύντομη αναφορά τα γνωστά ως «5 Πλατωνικά στερεά», άμεσα συνδεδεμένα με την φιλοσοφική διάθεση και ανάπτυξη του Πλάτωνα είναι (βλ. Fowler 2003): 1. Με ν=3=n τότε: Α=6, Ε=4=Κ: κανονικό τετράεδρο 2. Με ν=3, n=4 τότε: Α=12, Ε=8, Κ=6: κανονικό 8-εδρο 3. Με ν=4, n=3 τότε: Α=12, Ε=6, Κ=8: κανονικό 6-εδρο 4. Με ν=3, n=5 τότε: Α=30, Ε=20, Κ=Γ2: κανονικό 20-εδρο 5. Με ν=5, n=3 τότε: Α=30, Ε=12, Κ=20: κανονικό 12-εδρο [117]

10 Epistēmēs Metron Logos Η συμμετρία είναι θαυμαστή και τονίζεται εδώ ότι ο Πλάτων χρησιμοποίησε την «πρώτη γραμμή πυρός της έρευνας» στο μοντέλο του κόσμου που κατασκεύασε, κυρίως στο έργο του «Τίμαιος». Εδώ σημειώνεται ότι η έννοια της τομής δύο γεωμετρικών τόπων, προϋπήρχε την «λογικής» τομής δύο συνόλων. Η επικοινωνία των Μαθηματικών με την Λογική είναι προφανής. Πέρα από την Αναλυτική Γεωμετρία που με τόση μεθοδικότητα ανέπτυξε ο Rene Descartes ( ) ή άλλως Καρτέσιος η αλγεβροποίηση υπήρχε και στους μετασχηματισμούς. Μέσω του διανυσματικού λογισμού επιδιώχθηκε κατ αρχή να υπάρχουν μετασχηματισμοί που να απεικονίζουν περιφέρειες και ευθείες αντίστοιχα σε περιφέρειες και ευθείες. Η έννοια του σημειακού μετασχηματισμού γενικεύθηκε με τον γραμμικό μετασχηματισμό της Γραμμικής Άλγεβρας, που διατηρεί αναλλοίωτο, υπό την έννοια της διατήρησης του μέτρου, το μετασχηματιζόμενο (βλ. Κίτσος 2015). Οι πρωτοποριακοί σημειακοί μετασχηματισμοί στην Γεωμετρία είναι: (i) Μεταφορά (ii) Επίπεδη Στροφή (iii) Αξονική συμμετρία (iv) Ομοιοθεσία (v) Επίπεδη (ομόρροπη) ομοιότητα (vi) Αντιστροφή. Η έννοια της ομάδας χρησιμοποιήθηκε στους σημειακούς μετασχηματισμούς, όπως και αργότερα π.χ. στην συσχετισμένη Γεωμετρία (affine Geometry Prakash 1981). Πεδία εφαρμογών υπήρξαν διάφορα π.χ. o Fraser (1968) ανέπτυξε το θεωρητικό υπόβαθρο της Στατιστικής με χρήση αρχών της συσχετισμένης Γεωμετρίας, o Kitsos (2011) στην κατασκευή αναλλοίωτου (invariant) μετασχηματισμού για το Logit μοντέλο, που εφαρμόζεται πολλαπλώς (Kitsos 2006). Η επέκταση των εννοιών της Γεωμετρίας, κυρίως, είναι συνυφασμένη με την εξέλιξη της Λογικής στις αρχές του 20 ού αιώνα, συνυφασμένη με την πρόοδο της Φιλοσοφίας. Το έργο του Friedrich Ludwing Gottlob Frege ( ) οδηγεί την Λογική στη σύγχρονη εποχή. Κινήθηκε στα όρια Φιλοσοφίας, Λογικής και Μαθηματικών (κυρίως Αριθμητικής, όχι τόσο με τη Γεωμετρία) και έτσι έθεσε τα θεμέλια της σύγχρονης Μαθηματικής Λογικής και της Αναλυτικής Φιλοσοφίας. Η κύρια άποψη του ότι «κάθε καλός μαθηματικός είναι τουλάχιστον κατά το ήμισυ φιλόσοφος και κάθε καλός φιλόσοφος κατά το ήμισυ τουλάχιστον μαθηματικός» οριοθέτησε το έργο της ζωής του που όμως δεν έτυχε της αναγνώρισης που άρμοζε κατά τη ζωή του. Ο Bernard Russell [118]

11 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Χρήστος Π. Κίτσος ( ) ήταν από τους λίγους που έδειξε σεβασμό και εκτίμηση στο έργο του Frege. Το 1879 ο Frege δημοσίευσε το Begrifts Schrift (ιδεογραφία) και ανέπτυξε το πρώτο σύστημα Μαθηματικής Λογικής. Ακολούθησε το 1884 το Die Grundlagen der Arithmetik (Οι βάσεις της Αριθμητικής) που το καταδίκασε ο Georg Cantor ( )! Επανήλθε το 1893 με νέο αριστούργημα στην Μαθηματική Λογική, το Grundgesetze der Arithmetik (Θεμελιώδεις νόμοι της Αριθμητικής), όπου παρουσίασε μια αυστηρή ανάπτυξη της θεωρίας της Αριθμητικής. Μόνο ο Giuseppe Peano ( ), άλλος πρωτοπόρος της Μαθηματικής Λογικής, αντέδρασε θετικά. Ο Peano συνάντησε τον Russell στο Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών, ο οποίος ενθουσιάσθηκε με το έργο του Peano. Μα το χειρότερο για τον Frege ήρθε στις 16 Ιουλίου του 1902, ενώ ο δεύτερος τόμος του έργου του ήταν υπό έκδοση, ο Bertrand Russell του υποδείκνυε ότι υπάρχει αντίφαση στο λογικό σύστημά του. Η περίφημη αντίφαση του Russell, (δες πχ website βιβλιογραφία 26). Παρόλη την τροποποίηση που πραγματοποίησε το σύστημα του Frege περιείχε αντίφαση όπως κατέγραψε ο Πολωνός φιλόσοφος και Μαθηματικός Stanislaw Lesniewski ( ). Έτσι ο Frege ουδέποτε δημοσίευσε το τρίτο τόμο του έργου του. Το έργο του Frege έγινε γνωστό χάρις στον Ludwig Josef Johann Wittgenstein ( ) ο οποίος τον επισκέφθηκε το 1914, ενώ το 1971 συνάντησε τον B. Russell. Ο Wittgenstein δίδαξε στο Cambridge, τα πρώτα χρόνια της σταδιοδρομίας του, όπου και δημοσίευσε το Tractatus Logico-Philosophicus (1921), το μόνο που δημοσιεύθηκε κατά την διάρκεια της ζωής του. Στόχος του βιβλίου ήταν να διερευνήσει την σχέση γλώσσας και πραγματικότητας σε σχέση με την Επιστήμη. Το πρόβλημα της γλώσσας είχε μελετηθεί και από τον Frege, μα ο Wittgenstein του έδωσε οντότητα πληρέστερη και ακρίβεια σαφέστερη. O Frenge ήταν εκείνος που εισήγαγε τη συμπλήρωση ενός επιχειρήματος με μια μεταβλητή πχ «για κάθε χ», «υπάρχει χ» κ.λπ. Ο Bertrand Arthur William Russell ( ) συνέβαλε τα μέγιστα στην Μαθηματική Λογική, αν όχι την ίδρυσή της. Αν ο Frege γκρέμισε την Αριστοτελική Λογική, ο Russell εγκατέστησε το νέο σύστημα Λογικής με το Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). O Russell ανέλυσε τη γλώσσα στα ελάχιστα θεμελιώδη στοιχεία της. Στόχος ήταν η αποφυγή άχρηστων αξιωμάτων, για την ύπαρξη των αντικειμένων που σημαίνονται από περιγραφικές φράσεις ό,τι κάλεσε θεωρία των περιγραφών. Βασική του [119]

12 Epistēmēs Metron Logos άποψη ήταν ότι ο νους και η ύλη αποτελούν διαφορετικές δομές των ίδιων ουδέτερων στοιχείων. Απέρριψε τον Leibnitz και άρχισε ναι οικοδομεί το δικό του σύστημα με αποκορύφωμα το Principia Mathematica. Από την άλλη μεριά του λόφου της Γνώσης, στη Γεωμετρία συνεχιζόταν η κριτική στο 5 ο Ευκλείδειο αίτημα που είχε μια αποκορύφωση με τον νεοπλατωνικό Πρόκλο ( ) που προσπάθησε να το αποδείξει. Το ίδιο έπραξε και ο Πέρσης Nasireddin ( ). Η όλη λογική προσπάθεια έγκειτο στο ότι πρέπει να αποδειχτεί το 5 ο αίτημα, με τελευταίο μελετητή τον Lambert ( ). Ο πρώτος που ξέφυγε από τον συλλογισμό αυτό ήταν ο Gauss που από το 1815 απέφυγε τον σκόπελο του 5 ου Ευκλείδειου αιτήματος και ανέφερε ότι είναι «δυνατόν να αναπτυχθεί αξιωματικά μια μη Ευκλείδεια Γεωμετρία, στην οποία θα ισχύουν τα αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, πλην εκείνου των παραλλήλων και μια άρνηση του αξιώματος αυτού». Ο Ισουίτης, Φιλόσοφος και Μαθηματικός Giovanni Girolamo Saccheri ( ) παρουσίασε ένα έργο, λίγο πριν πεθάνει, παρόμοιο με του εκείνο του Πέρση Αστρονόμου, Ποιητή και Μαθηματικού Omar Khayyam ( ) για τον έλεγχο του 5 ου αξιώματος του Ευκλείδη. Ο Moritz Pasch ( ) κινήθηκε και αυτός στην πρώτη αυστηρή ανάπτυξη γεωμετρικών ιδεών, με την δημοσίευσή του το 1882, για να συμβάλουν στο πρόβλημα του 5 ου αιτήματος και τη συσχέτισή του με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, αναπτύσσοντας και το θέμα «μεταξύ δυο σημείων» (betweenness). Ο Adrien-Marie Legendre ( ) στις 12 διαδοχικές εκδόσεις του βιβλίου του «Στοιχεία της Γεωμετρίας» αρχίζοντας το 1794 και τελειώνοντας το 1823, ανέπτυξε πολλά θέματα σε σχέση με το αξίωμα Ευδόξου-Αρχιμήδη και το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, που είναι 180 μοίρες στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αυτά τελικά οδήγησαν στην απόδειξη του «Αν το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 2 ορθές, τότε ισχύει το 5 ο αίτημα». Αυτό είναι κρίσιμο γιατί στις Γεωμετρίες που είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από 2 ορθές δεν είναι Ευκλείδειες. Το φιλοσοφικό περιβάλλον ήταν κατάλληλο για την ανάπτυξη της αξιωματικής θεμελίωσης κατά David Hilbert ( ). Όπως βεβαίως ήταν κατάλληλο και για την παρουσίαση του έργου «Στοιχεία» από τον Ευκλείδη στην Αλεξάνδρεια. Το 1899 ο Hilbert παρουσίασε 20 υποθέσεις ως προϋπόθεση μιας σύγχρονης παρουσίασης της ισχύος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. [120]

13 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Χρήστος Π. Κίτσος Ο φορμαλιστής Hilbert δεν όρισε τις πρωταρχικές έννοιες σημείο, ευθεία κ.λπ. Δεν προϋποθέτει την «οντολογική» ανάλυση αυτών των θεμελιακών εννοιών. Οι έννοιες σημείο, ευθεία απέχουν πολύ από τις συνήθεις έννοιες. Ο Hilbert απορρίπτει κατηγορηματικά την εποπτεία και διακρίνει 5 ομάδες αξιωμάτων: Συμπτώσεις μεταξύ συμφωνίας συνέχειας παραλλήλων. Τα αξιωματικά αυτά συστήματα αναπτύσσονται χάρις στις «πρωτοβάθμιες γλώσσες» και αναπτύσσονται στα πλαίσια της σύγχρονης Λογικής. O Hilbert δημοσιοποίησε τις απόψεις του στο δίτομο έργο του Grundlagen der Mathematik. Ένα από τα δύο προβλήματα είναι η ύπαρξη σημείων τομής και το άλλο η έννοια του εμβαδού. Η άψογη εργασία του Hilbert δεν ευδόκησε για μεγάλο χρονικό διάστημα. Γύρω στο 1920 υπήρχε η άποψη ανάπτυξης «κατηγοριών θεωριών», δηλαδή θεωριών που όλα τα μοντέλα είναι ισόμορφα μεταξύ τους. Βάσει όμως του έργου του Kurt Friedrich Gödel ( ) και δη του «θεωρήματος της πληρότητας», τούτο δεν ισχύει. Ο Gödel στην Λογική, ήταν αντίστοιχος του Αριστοτέλη και του Russel, και το θεώρημα του (που ουσιαστικά είναι δυο Θεωρήματα) δηλώνει ότι ακόμα και με τα αξιώματα που τίθενται, σε ένα λογικό σύστημα, θα υπάρχουν λογικές προτάσεις που δεν θα μπορούν να αποδειχθούν με βάσει τα αξιώματα που ετέθησαν! Άρα το υπέροχο δημιούργημα του Hilbert δεν είχε έννοια, ως τούτο ετέθη. Απέδειξε ότι ούτε το «αξίωμα της επιλογής» (στην θεωρία συνόλων: το Καρτεσιανό γινόμενο δυο μη κενών συνόλων είναι μη κενό σύνολο), ούτε η «υπόθεση της συνεχείας» (δεν υπάρχει σύνολο που ο πληθικός του αριθμός είναι μεταξύ του πληθικού αριθμού των ακεραίων και του πληθικού των πραγματικών αριθμών) έχουν σχέση με τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Η Λογική επηρέασε αποφασιστικά την περίοδο εκείνη την γενικότερη εξέλιξη των Μαθηματικών του 20 ού αιώνα. 4. Η δύση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, της Αριστοτελικής Λογικής Ο θρίαμβος της Αριστοτελικής Λογικής και γενικότερα του όλου οικοδομήματος του Αριστοτέλη πολλές φορές αμφισβητήθηκε. Και όμως άντεξε αιώνες. Δεν είχε όμως αυτή την εμφανή και συνεχή αμφισβήτηση του 5 ου Ευκλείδειου αιτήματος. Όμως το οικοδόμημα που ανέπτυξε ο Georg Wilhelm Friedrich Hegel ( ) είχε μια ασυνήθιστη δυναμική και η Λογική του είχε καινοτόμα στοιχεία. Είχε μια πλήρη σύλληψη του έργου [121]

14 Epistēmēs Metron Logos [122] τόσο του Πλάτωνα, όσο και του Αριστοτέλη. Παρέμεινε πάντα συνεπής και εκπληκτική, ακόμη και όταν ανακαταλήφθηκε και η Σχολή της συρρικνώθηκε. Η συνένωση του ιδεαλισμού και του ρεαλισμού είναι άριστη. Το τρίπτυχο «θέσις, σύνθεσις, αντίθεσις» αποτελεί κεντρικό πυρήνα των θέσεών του. Απέδωσε τα εύσημα στον Ηράκλειτο, από αυτόν πίστευε αρχίζει η φιλοσοφία. Το Wissenschaft der Logik δηλαδή η Επιστήμη της Λογικής, συνοψίζει τις απόψεις του για την Λογική, στηριζόμενη στην διαλεκτική. Βέβαια διατύπωσε και το υπερβολικό «Λογική είναι η Σκέψη του Θεού»! Το 1831 λίγο πριν πεθάνει αναθεώρησε το έργο του «Επιστήμη της Λογικής» που πρωτοδημοσίευσε το 1812 και ολοκληρώθηκε το 1816 με το «Υποκειμενική Λογική» (Die Subjective Logik). Η εκτίμηση που έτρεφε στον Ελεάτη Παρμενίδη (6 ος αι. π.χ. ) συμπίπτει με την άποψη του B. Russell. Ο Παρμενίδης ήταν ο πρώτος που διατύπωσε ότι οι αισθήσεις, από μόνες τους, δεν οδηγούν σε γνώση μα σε πλάνη. Τα θεμέλια της Λογικής του Αριστοτέλη άρχισαν να τρίζουν με το οικοδόμημα του Hegel το αναμφισβήτητο του Αριστοτέλη κλονίζεται. Το έργο του Hegel κλονίστηκε από τον George E. Moore ( ), φίλο του Russell, εισηγητές και πρωτοπόροι αμφότεροι της Αναλυτικής Φιλοσοφίας. Η θέση του Moore έναντι του «κοινού νου» είναι ότι αντίθεση με τον κοινό νου συνιστά πλάνη. Ως εκ τούτου η φιλοσοφία δεν είναι δυνατόν να υποκαταστήσει πεποιθήσεις του κοινού νου. Η αναλυτική φιλοσοφία αποτελεί ισχυρό φιλοσοφικό ρεύμα του 20 ού αιώνα και αντιτίθεται στον δυσνόητο και ασαφή τρόπο με τον οποίο διατυπώνουν απόψεις οι εκπρόσωποι του εγελιανισμού. Η σαφήνεια επιτυγχάνεται, κατά τους Moore και Russell μέσα από την ανάλυση των εννοιών, των κρίσεων ή προτάσεων. Στη Γεωμετρία δεν ήταν έτσι ξεκάθαρα: Από τον Ευκλείδη αμφισβητείτο μόνο το 5 ο αίτημα και επιδίωκαν να «συμφιλιωθεί» με το όλο οικοδόμημα. Άλλωστε, φαίνεται, ότι και ο ίδιος ο Ευκλείδης προβληματίστηκε με αυτό. Η Προβολική Γεωμετρία του Girard Desargues ( ) και η συμβολή στην ανάπτυξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας (και των Πιθανοτήτων!) από τον δικηγόρο (!) Pierre de Fermat ( ) έδωσαν νέα δυναμική ώθηση στα Μαθηματικά. Το βιβλίο του το 1636 (με υλικό του γνωστό 5-6 χρόνια νωρίτερα) για την Αναλυτική Γεωμετρία, προετοίμασε το La Geometrie του Desargues to H αλγεβροποίηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ήταν πλέον γεγονός. Μια άλλη λογική αντιμετώπιση της Γεω e-publisher: EKT Downloaded at 11/06/ :01:37

15 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Χρήστος Π. Κίτσος μετρίας. Όμως η Λογική «εισήλθε» αποφασιστικά με την «αξιωματική μέθοδο» (γνωστή και ως «γεωμετρία»). Ο Gottfried Wilhelm (von) Leibnitz ( ) πιστεύω υπήρξε ο συνδετικός κρίκος των δύο. Ως φιλόσοφος εργάσθηκε στην Αναλυτική Φιλοσοφία και Λογική και ως Μαθηματικός υιοθέτησε συμβολισμούς που έγιναν αποδεκτοί στους Μαθηματικούς της εποχής του. Είναι οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται σήμερα. Άλλωστε το ευρύτατο πεδίο ερευνών του προσέφεραν την δυνατότητα αυτή. Υπήρξε ο ιδιαίτερος εκείνος μελετητής της Λογικής μεταξύ του Αριστοτέλη και των Frege και Russell, εισάγοντας πλείστες όσες έννοιες π.χ. ταυτοποίηση, κενό σύνολο κ.α. 5. Συζήτηση Στη φιλοσοφία αναπτύχθηκε μια φυσική μετάβαση από τη μεταφυσική μέσω των θεμάτων της γνωσιολογίας, στη φιλοσοφία της γλώσσας. Οι διαλογισμοί του Μαθηματικού Frege ( ) για τη γλώσσα συνδυάστηκαν με την έρευνά του στα θεμέλια της Λογικής των Μαθηματικών. Θεωρώ ευνόητο ότι οι Μαθηματικοί της εποχής του, τον αγνόησαν. Χαμένοι στον συμβολισμό και στα θεωρήματα ύπαρξης λύσης π.χ. των Διαφορικών Εξισώσεων (Κίτσος, 2009). Όμως ο Frege μπορεί να θεωρηθεί ως ο πρώτος αναλυτικός φιλόσοφος. Είχε απόλυτο δίκιο στην πίστη του ότι κάθε Μαθηματικός είναι και Φιλόσοφος και κάθε Φιλόσοφος πρέπει να είναι Μαθηματικός. Οι μεγάλες μορφές του Ευκλείδη, του Leibnitz, toy Russell πείθουν, μα υπάρχουν οι φωτεινές εξαιρέσεις του Gauss, toy Hegel κα. Ο Frege έτυχε άλλωστε της εκτίμησης του Russell, με τον οποίο συνδέθηκαν και αλληλο-επηρέασε ο ένας το έργο του άλλου, εργαζόμενοι για την πληρότητα της θεμελίωσης της Λογικής και της εφαρμογής της στα Μαθηματικά, αφού για αιώνες απασχόλησε τους επιστήμονες κυρίως η Γεωμετρία. Το έργο του Frege, Begriffsschrift, το 1879, για το οποίο δούλεψε σκληρά πέντε χρόνια, μετασχηματίζει τις ιδέες του παρελθόντος, γύρω από τον Leibnitz και Kant και προσφέρει ένα τέλος στην Λογική του Αριστοτέλη. Η Λογική του Αριστοτέλη κυριαρχούσε επί 20 αιώνες, παρόλο που δεχόταν κριτικές και αμφισβητήσεις ο Frege προσέφερε το νέο ολοκληρωμένο, που κανείς μέχρι τότε δεν τόλμησε. Ο Russell (που εργάστηκε για την επιστήμη μέσω και του πειράματος έτσι αναγνώρισε, επιβεβαίωσε το έργο του Albert Einstein ( ) αναγνώρισε την αξία στο έργο του [123]

16 Epistēmēs Metron Logos Frege. Ίσως πρώτος αυτός, παρά τη σκληρή κριτική που δεχόταν ο εριστικός Frege από περίφημους Μαθηματικούς, στο περιβάλλον του, όπως από τον Cantor ( ) τον Weistrass ( ), τον Detekind ( ). O Cantor, ανάμεσα στα πολλά άλλα δημιουργήματά του, εισήγαγε τα σύνολα, πάνω στα οποία στηρίχθηκε o George Boole ( ) ώστε να εισαγάγει την Άλγεβρα του. Όμως παρά την πρόσκαιρη επιτυχία της συμβολικής Λογικής, με το έργο του The Laws of Thought (1854), που εισήγαγε με την Άλγεβρα Boole και τα πιθανοθεωρητικά του αποτελέσματα, δεν μπόρεσε να πείσει ότι μπορεί να συμβάλλει στην Λογική αποφασιστικά. Όμως την παραμονή της έκδοσης του 2 ου τόμου του βιβλίου του Frege του, το 1902, ο Russell διατύπωσε την «αντίφαση Russell», στην επιστολή του την 16η Ιουνίου «Έστω w το κατηγόρημα του να είναι κάτι κατηγόρημα, το οποίο δεν μπορεί να κατηγορηθεί στον εαυτό του. Μπορεί το w να κατηγορηθεί στον εαυτό του; Κάθε απάντηση συνεπάγεται την αντίθεσή της. Επομένως οφείλει να συμπεράνει κανείς ότι το w δεν αποτελεί κατηγόρημα. Για τον ίδιο λόγο δεν υπάρχει κλάση (ως ολότητα) των κλάσεων εκείνων οι οποίες, ως ολότητες, δεν περιέχουν τον εαυτό τους. Από αυτό συμπεραίνω ότι υπό ορισμένες συνθήκες ένα σύνολο το οποίο είναι δυνατό να οριστεί, δεν σχηματίζει μια ολότητα» (Russell, 1956 σελ. 528). Οι Moore και Russell είναι μια γενιά νεότεροι του Frege, ο οποίος ανδρώθηκε σε ένα φιλοσοφικό κλίμα στη Γερμανία του τέλους του 19 ου αιώνα. Άρα και οι δύο είναι μάλλον απαλλαγμένοι από τον έντονο προσανατολισμό της επίδρασης του Hegel. Έτσι οι Moore και Russell έφεραν προς επιλογή προτάσεις (γνωσεολογικές ιδέες και Λογική θεμελίωση) επηρεασμένες από τις Βρετανικές παραδόσεις «περί κοινού νου» και επιμερισμού. Ο Wittgenstein οδηγήθηκε στη σύνδεση των απόψεων του Russell και του Frege και είναι ο κύριος πυρήνας της αναλυτικής φιλοσοφίας. Η Λογική βρήκε ένα Φιλοσοφικό υπόβαθρο, πέρα από την Μαθηματικοποίηση της με τον Russell. Ο Russell παίρνοντας ερεθίσματα και από τον Peano, στο Διεθνές Συνέδριο Φιλοσοφίας στο Παρίσι το 1900, πείστηκε ότι τα Μαθηματικά δεν ήταν παρά μια προέκταση της Λογικής, άρχισε να εργάζεται στο θέμα, και το 1903 παρουσίασε το Principles of Mathematics. Η χρυσή εποχή της χαραυγής του 20 ού αιώνα είχε τις κοσμοθεωρητικές μετατροπές στη Λογική, τα Μαθηματικά, τη Φυσική κ.λπ. [124]

17 Λογική και Γεωμετρία: Προσέγγιση της εξέλιξής τους Χρήστος Π. Κίτσος Μάλιστα ο σύνδεσμος Μαθηματικών και Φυσικής απέδιδε στα Μαθηματικά νέες ιδέες π.χ. η έννοια του πίνακα, και τα πεδία χρήσης των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών π.χ. η Γεωμετρία του Riemann στο Κοσμολογικό μοντέλο. Η Λογική αποτελεί αναπόσπαστο μέρος της αξιωματικής μεθόδου και ο Frege καυτηρίασε κάποιες απόψεις του Hilbert, ο οποίος τελικά συμφώνησε ότι τα αξιώματα δεν προσδιορίζουν μοναδικά τις έννοιες που λέγεται ότι ορίζονται από αυτά. Η αλληλογραφία Hilbert-Frege δεικνύει το χάσμα που έπρεπε να γεφυρωθεί μεταξύ Λογικής και Μαθηματικών. Κάτι που έγινε σταδιακά, και όχι με τον εριστικό Frege. Κατά τον Wittgenstein (2008, σελ.121, 134): η Λογική-μπορεί κανείς να πει-δείχνει τι εννοούμε με τους όρους «πρόταση» και «γλώσσα». Βασικός στόχος του Αριστοτέλη, όσο αργότερα και του Boole είναι ο σχηματισμός εννοιών, ενώ ο Frege αρχίζει με τις κρίσεις και όχι με τις έννοιες. Ενώ οι μαθηματικοί ορίζουν ότι οι αριθμοί προκύπτουν μέσω «αφαίρεσης» από κλάση, τα σύνολα δεν παρουσιάζουν την ερμηνεία του όρου αφαίρεσης. Έτσι η διελκυστίνδα μεταξύ Μαθηματικών και Λογικής, έδωσε ώθηση και στις δύο επιστήμες και αποχαιρέτισαν την Ευκλείδεια Γεωμετρία και την Αριστοτέλεια Λογική, που τους συντρόφευσαν αιώνες, και αποτέλεσαν την βάση της ανάπτυξής τους. Βιβλιογραφικές αναφορές Bell, E.T. (1986). Οι Μαθηματικοί. Παν. Eκδ. Κρήτης, Ηράκλειο Κρήτης, Bridgam, P.W. (1927). The Logic of Modern Physics. MacMilan, New York. F.G. M EXERCICES DE GEOMETRIE, μτφρ της 5 ης Γαλλικής έκδοσης υπό Δ. Γκιόκα, των Ασκήσεων Γεωμετρίας των Ιησουιτών Εκδ. Καραβία. Fauvel, J, Gray, J. (1987, Eds). The History of Mathematics, A Reacher. Open University. Fowler, D. (2003). The Mathematics of Plato s Academy. Clarendon Press, Oxford. Frasser, D.A.S. (1968). The structure of Inference John Wiley and sons, Toronto. Frege, G. (1884). Die Grundlangen der Arithetik. Wilherm Koelener, Breslan. Greenberg, M.J. (1980). Euclidean and Non-Euclidean Geometries. W.H. Freeman and company. [125]

18 Powered by TCPDF ( Epistēmēs Metron Logos Guomo, S. (2001). Αρχαία Μαθηματικά Εκδ. ΕΝΑΛΙΟΣ, Αθήνα, Heath, T. (1981). A History of Greek Mathematics. Dover, N. York. Heath, T. (1949). Mathematics in Aristotle. Clarendon Press, Oxford. Kitsos, C. (2006). On the Logit Methods for Ca Problems. In: Statistical Methods for Biomedical and Technical Systems, by F. Vonta (Ed) Limassol, Cyprus, pg Kitsos, C. P. (2011). Invariant Canonical Form for the Multiple Logistic Regression. Mathematics in Engineering, Science and Aerospace (MESA), Vol 2(3), pg Prakash, N. (1981). Differential Geometry. Tata McGraw-Hill, New Delhi. RussellL,J. (1989). Catholic Astronomers of Copernican System after the Condemnation of Galileo. Ann of Science, 46, Russel, B. (1903). The principles of Methematics. London, Russel, B. (1979). A History of Western Philosophy. Counterpoint. London, Shuga, Hans (2009). Gottlob Frege μτφρ Μ.Μ. Θεοδοσίου. Παν. Εκδ. Κρήτης, 2009, Ηράκλειο Κρήτης. Spinoza B (1667). Ηθική. μτφρ Μ. Ζωγράφου. Εκδ.Πέλλα, 1970, Αθήνα Wittgenstein, L. (2008). Παρατηρήσεις για την θεμελίωση των Μαθηματικών. Ηράκλειο, Παν.Εκδ.Κρήτης. Zarikas, V., Kitsos, C. P. (2015). Risk Analysis with Reference Class Forecasting Adopting Tolerance Regions. In: Theory and Practice of Risk Assessment, by Kitsos, C. P., Oliveira, T. A., Rigas, A., Gulati, S. (Eds), pg Spinger. Αργυρόπουλος, Η., Βλάμος, Π., Κατσούλης. Γ., Μαρκάτης, Σ., Σίδερης, Π. (2016). Ευκλείδεια Γεωμετρία, τεύχος Α, ΥΠΕΘ/ΙΕΠ, Αθήνα. Κίτσος, Χ. (2009). Τεχνολογικά Μαθηματικά και Στατιστική. Τόμος Ι. Εκδ. Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα. Κίτσος, Χ. (2015). Τεχνολογικά Μαθηματικά και Στατιστική. Τόμος ΙΙ. Εκδ. Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα. Μπρίκας, Μ.Α. (1970). Τα περίφημα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας, Α.Α. Παπασπύρου, Αθήνα. [126]

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 20.03.14 Χ. Χαραλάμπους Είναι το 5 ο αίτημα όντως αίτημα και όχι πρόταση? Η πρώτη φορά που το αίτημα χρησιμοποιείται στα Στοιχεία είναι στην απόδειξη της Πρότασης 29. ( Η Πρόταση 29

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Μαθητικό Συνέδριο Έρευνας και Επιστήμης Μάρτιος 2017

1 ο Μαθητικό Συνέδριο Έρευνας και Επιστήμης Μάρτιος 2017 1 ο Μαθητικό Συνέδριο Έρευνας και Επιστήμης Μάρτιος 2017 Αναγνώστου Σαραφιανός, Γαβρίδης Δημήτριος, Μαραντίδου Χριστίνα Επιβλέπων καθηγητής: Νίκος Τερψιάδης Πειραματικό Λύκειο Πανεπιστημίου Μακεδονίας

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους Έργα Στοιχεία Δεδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Κουλακίδου Π. Ιστορία των Μαθηματικών Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Χ. Χαραλάμπους Εισαγωγή David Hilbert (1862 Königsberg - 1943 Göttingen). Διδακτορικό το 1885 υπό την επίβλεψη του Ferdinand von Lindemann με

Διαβάστε περισσότερα

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.

Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής

ΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους

Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους Οι αντιλήψεις για τη φύση και το ρόλο των μαθηματικών που υπάρχουν στην κοινωνία μας έχουν μια σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη των προγραμμάτων των σχολικών

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω. Μπρούβαλη Χρυσάνθη Περδικάτση Βάνα

Αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω. Μπρούβαλη Χρυσάνθη Περδικάτση Βάνα Αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω Μπρούβαλη Χρυσάνθη Περδικάτση Βάνα «Αγεωμέτρητος μηδείς εισίτω» Η φράση βρισκόταν στην είσοδο της ακαδημίας του Πλάτωνα. Σήμερα κοσμεί και άλλες εισόδους! Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 26.04.12 Χ. Χαραλάμπους René Descartes (Γαλλία) 1596 1650 φιλόσοφος Cogito ergo sum Σκέφτομαι άρα υπάρχω 1637 La dioptrique, Les meteores, La geometrie Καρτεσιανή γεωμετρία=αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Euler και Gauss. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8.2: Gauss. Χαρά

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή

Γεωμετρία. I. Εισαγωγή I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 18.03.14 Χ. Χαραλάμπους Πως ορίζονται αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών οι πραγματικοί αριθμοί? Τομές του Dedekind (1831-1916) στους ρητούς: δημιουργία των άρρητων (αξιωματική

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.

Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ. Άλγεβρα Α ΕΠΑΛ Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.2ο: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2 Διάταξη Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές;

τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΑΛΗΘΕΙΑ; τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ποια είναι η σχέση των πεποιθήσεών μας με την πραγματικότητα, για να είναι αληθείς και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελίωση της Παιδαγωγικής επιστήμης Pestalozzi- Herbart

Θεμελίωση της Παιδαγωγικής επιστήμης Pestalozzi- Herbart Θεμελίωση της Παιδαγωγικής επιστήμης Pestalozzi- Herbart Το 19ο αιώνα θεμελιώνεται η Παιδαγωγική επιστήμη Με το διδακτικό και θεωρητικό έργο των μεγάλων παιδαγωγών: Pestalozzi και κυρίως του Herbart Johan

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 1: Μέτρα Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Βασίλειος Παπαντωνίου Ομ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών bipapant@math.upatras.gr Επίκεντρο της παρουσίασης Η εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών

Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Αριστείδης Αραγεώργης Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 1. «Παράδοξο» και «λύση» παραδόξου

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Ιστορικό Σημείωμα

Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Ιστορικό Σημείωμα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΤΟΥ N. LOBACHEVSKY Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Ιστορικό Σημείωμα Η θεωρία περί των παραλλήλων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 2: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Εισαγωγικά. Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε.

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Εισαγωγικά. Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 1: Εισαγωγικά Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων Στ Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 15 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών Επανάληψη μέχρι το 1 000

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα:

Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Παρασκευή-Ανδριάννα Μαρούτσου Πρότυπο Γυμνάσιο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μεταξάς, Δρ. Μαθηματικών Θεματική Ενότητα: Μαθηματικά Ο σκοπός της έρευνας είναι η αναζήτηση για

Διαβάστε περισσότερα

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης

Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ. Απόστολος Δοξιάδης Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ Απόστολος Δοξιάδης Περίληψη του βιβλίου Τι είναι τα Μαθηματικά; Ποια είναι η σχέση της «εικασίας» και του «θεωρήματος»; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Christian

Διαβάστε περισσότερα

Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή

Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή Λογική στην Πληροφορική - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οργάνωση του Μαθήματος Αναδρομή στην Ιστορία της Λογικής ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 1-1 Διδασκαλία Διαλέξεις:

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΤΟΧΩΡΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΙΤΛΟΣ: «ΕΜΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ» ΜΑΘΗΤΡΙΑ: ΠΡΙΑΜΗ ΒΑΓΙΑ, Β4 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΤΑΒΑΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2016 17 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Η ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Κυριακή Ιορδανίδου, ΠΕ03 Μαθηματικών ΣΧΟΛΕΙΟ 1 ο Γυμνάσιο Χαριλάου Θεσσαλονίκη, 2018 Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Σε αυτή την

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

GEORGE BERKELEY ( )

GEORGE BERKELEY ( ) 42 GEORGE BERKELEY (1685-1753) «Ο βασικός σκοπός του Berkeley δεν ήταν να αμφισβητήσει την ύπαρξη των εξωτερικών αντικειμένων, αλλά να υποστηρίξει την άποψη ότι τα πνεύματα ήταν τα μόνα ανεξάρτητα όντα,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλοι μαθηματικοί. και το έργο τους...

Μεγάλοι μαθηματικοί. και το έργο τους... Μεγάλοι μαθηματικοί και το έργο τους... Eυκλείδης Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 350 π.χ. - 270 π.χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΥΤΩΝΑΣ... Λίνα Παπαεμμανουήλ Μάνος Ορφανίδης Άννα Σαμαρά Στέφανος Τζούμας

ΝΕΥΤΩΝΑΣ... Λίνα Παπαεμμανουήλ Μάνος Ορφανίδης Άννα Σαμαρά Στέφανος Τζούμας ΝΕΥΤΩΝΑΣ... Λίνα Παπαεμμανουήλ Μάνος Ορφανίδης Άννα Σαμαρά Στέφανος Τζούμας Γνωρίζοντας τον Νεύτωνα... Ο Σερ Ισαάκ Νεύτων (Αγγλ. Sir Isaac Newton Σερ Άιζακ Νιούτον, 4 Ιανουαρίου 1643 31 Μαρτίου 1727) ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα

Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα Το ζήτημα της πλάνης στο Σοφιστή του Πλάτωνα του μεταπτυχιακού φοιτητή Μαρκάτου Κωνσταντίνου Α.Μ.: 011/08 Επιβλέπων: Αν. Καθηγητής Άρης Κουτούγκος Διατμηματικό μεταπτυχιακό πρόγραμμα Ιστορίας και Φιλοσοφίας

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΑΤΑΝΟΩΝΤΑΣ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΥΤΕΡΗ: ΛΕΞΕΙΣ ΝΟΗΜΑ ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Λέξεις και νόημα Η γλώσσα αποτελείται από λέξεις. Η λέξη είναι το μικρότερο τμήμα της γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της Γραμμικής Άλγεβρας

Ιστορία της Γραμμικής Άλγεβρας Ιστορία της Γραμμικής Άλγεβρας Μία σύντομη Επισκόπηση Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Θεσσαλονίκη 2009 Βασικές Έννοιες τη Γραμμικής Πίνακες Γραμμικές εξισώσεις Ορίζουσες ιανυσματικοί χώροι Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (2), 2008 "Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ"

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (2), 2008 Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (), 008 "Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ" Του ηµητρίου Α Ντρίζου Σχολικού Συµβούλου Μαθηµατικών Τα παρακάτω θέµατα εντάσσονται στο ίδιο ακριβώς πλαίσιο διδακτικών στόχων µε άλλα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ο αριθμός π και η ημέρα του π. Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015

Ο αριθμός π και η ημέρα του π. Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015 Ο αριθμός π και η ημέρα του π Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015 Ημέρα του π- piday.org 14 Μαρτίου ή 14 / 3 ή όπως Αμερική

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα