ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ- ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (ΚΕΦ.1 ο παρ.1.2 και παρ.1.4) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΒΑΘΜΗΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΝΑ ΛΥΣΕΤΕ ΤΙΣ ΠΑΡΑΚΆΤΩ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Άσκηση 1: Άσκηση 2: Ομοίως Άσκηση 3: Άσκηση 4: Άσκηση 5:

2 Άσκηση 6: Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ στο σχ.1 ο έχει την ίδια περίμετρο με το τετράγωνο ΕΣΗΘ στο σχ,2 ο. α) Να βρείτε τις διαστάσεις του ΑΒΓΔ β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ΕΖΗΘ γ) Να συγκρίνετε τα εμβαδά των ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ. Άσκηση 7: Σχ.1 ο Σχ.2 ο Άσκηση 8:

3 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Παρατήρηση: Προσπαθήστε να σκέπτεστε πρώτα και όχι να απομνημονεύσετε τις μεθοδολογίες απέξω και εξασκηθείτε με ασκήσεις. Α). Σε προβλήματα εξισώσεων ορίζω πάντα με χ αυτό που μας ζητείται. Ειδικά όταν ζητάμε: 1. Δύο διαδοχικούς ακέραιους ρητούς αριθμούς. Έστω χ ο μικρότερος ο επόμενος θα είναι (χ+1),ή αν χ ο μεγαλύτερος τότε ο μικρότερος χ-1. Αν ζητούνται περιττός πλήθος ακέραιων ρητών αριθμών,τότε ορίζουμε με χ τον μεσαίο από αυτούς,οπότε οι διαδοχικοί θα είναι: χ-1, χ, χ Αν δύο αριθμοί έχουν γνωστό άθροισμα, π.χ. «β». Αν ο ένας από τους δύο είναι ο χ, ο άλλος θα είναι ο «β-χ». Παράδειγμα, υπάρχουν 50 μαθητές, κορίτσια και αγόρια. Αν είναι χ το πλήθος των αγοριών, τότε το πλήθος των κοριτσιών θα είναι ίσο με (50-χ). 3. Αν δύο αριθμοί διαφέρουν κατά γνωστό αριθμό «β». Αν ο ένας είναι ο χ, ο άλλος θα συμβολιστεί με (χ+β) ή με (χ-β), ανάλογα αν με χ συμβολίσαμε το μικρότερο η το μεγαλύτερο από τους δύο. Σε ένα ορθογώνιο, του οποίου οι διαστάσεις διαφέρουν κατά 7cm, αν ονομάσουμε χ το μήκος του, τότε το πλάτος του θα είναι (χ-7). Αν επιλέξουμε να ονομάσουμε χ το πλάτος του, τότε το μήκος του θα ήταν (χ+7). 4. Αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιος ή μέρος κάποιου άλλου, τότε ορίζουμε τον ένα από τους δύο χ. οπότε ο άλλος θα είναι (κάτι) επί χ. π.χ.: Τα παιδιά πληρώνουν σε εκδρομή τα 2/5 του κανονικού εισιτηρίου. Αν είναι χ το κανονικό εισιτήριο, το παιδικό θα είναι Β). Μεθοδολογία λύσης προβλήματος με εξίσωση. Πρέπει να αποφασίσουμε τι θα ορίσουμε σαν άγνωστο «χ». Αν το ζητούμενο, είναι ένα, τότε ονομάζουμε αυτό «χ». Αν υπάρχουν παραπάνω από ένα ζητούμενα (π.χ. Ποιες είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου για το οποίο γνωρίζουμε ότι., πόσα είναι τα κορίτσια και πόσοι αγόρια, πόσα χρήματα πήρε ο κάθε κληρονόμος..κ.α.) ονομάστε «χ» κάποιο από αυτά και εκφράστε οπωσδήποτε τον άλλο ή τους άλλους αγνώστους με τη βοήθεια του χ. Αφού τελειώσετε με τον ορισμό του αγνώστου, κατασκευάστε την εξίσωση μεταφράζοντας σε αριθμητικές πράξεις την εκφώνηση. Δείτε τα παρακάτω παραδείγματα: Αν σας έχουν δώσει την περίμετρο ενός επίπεδου σχήματος, το άθροισμα των μηκών των πλευρών του ισούται με αυτήν. Αν σας έχουν δώσει τις εισπράξεις μιας παράστασης, πολ/στε τον αριθμό κάθε κατηγορίας θεατών με το αντίστοιχο εισιτήριο και αθροίστε τα επιμέρους γινόμενα: Δίνουν το ποσό που εισπράχθηκε. Οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες καθώς και οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, ενώ οι εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ο, ενώ οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Μη ξεχνάς

4 Γ). Ειδικές κατηγορίες προβλημάτων 1.Προβλήματα ανάμιξης. Κάντε αντικατάσταση στην παρακάτω σχέση: (Ποσότητα 1 ου )(Περιεκτικότητα του 1 ου ) +(Ποσότητα 2 ου )(Περιεκτικότητα του 2 ου )= (Συνολική Ποσότητα)(Τελική περιεκτικότητα). Οι περιεκτικότητες είναι συνήθως εκφρασμένες σε % ποσοστό, ενώ οι ποσότητες καθενός από τα επιμέρους συστατικά είναι σε λίτρα ή σε γραμμάρια. 2.Προβλήματα με βρύσες ή έργα: Αν ονομάσετε χ τις ώρες ή τις ημέρες που θα χρειασθούν για το γέμισμα της δεξαμενής ή της αποπεράτωσης του έργου, τότε το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους κλασμάτων επί χ, ισούται με «1». Το 1 συμβολίζει το έργο ολόκληρο ή μια γεμάτη δεξαμενή. Για παράδειγμα: Μια δεξαμενή έχει τρεις αντλίες. Η πρώτη, γεμίζει μόνη της τη δεξαμενή σε 4 ώρες, η δεύτερη σε τρεις ώρες, ενώ η τρίτη την αδειάζει μέσα σε 6 ώρες. Αν λειτουργούν και οι τρεις αντλίες ταυτόχρονα σε πόσες ώρες θα γεμίσει η δεξαμενή; Έστω χ οι ώρες που απαιτούνται. Σε μία ώρα γεμίζει το = x 1 x 2,4h ή 2h 24min της δεξαμενής. Συνεπώς: x 3.Προβλήματα ποσοστών: Γενικά, αν α το ποσοστό %, κάνουμε αντικατάσταση στην σχέση (Αρχικό Ποσό Τελικό Ποσό),χρησιμοποιούμε το (+) αν έχουμε αύξηση του αρχικού ποσού και το (-) αν υπάρχει έκπτωση στο αρχικό ποσό. 4.Προβλήματα με ηλικίες: Η διαφορά ηλικίας μεταξύ δύο ατόμων δεν αλλάζει, όσα χρόνια κι αν περάσουν. Αυτό που αλλάζει είναι ο λόγος των ηλικιών. Αν για παράδειγμα ένας πατέρας είναι 33 ετών και ο γιος του 9, μετά από τρία χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια από την ηλικία του γιου. Ονομάστε χ λοιπόν τα χρόνια που θα περάσουν και γράψτε τη σχέση που συνδέει τις ηλικίες τους όπως την περιγράφει το πρόβλημα κάθε φορά. 5,Προβλήματα με ωρομίσθιο ή ημερομίσθιο: Οι αποδοχές ενός εργαζόμενου βρίσκονται αν πολ/με το ωρομίσθιο (ή το ημερομίσθιο) με τις ώρες που εργάστηκε (ή τις ημέρες). Αν πρόκειται για δύο εργαζόμενους, εκφράστε το σύνολο των αποδοχών καθενός και γράψτε την σχέση που τις συνδέει: Συνήθως, αφαιρούμε το μικρότερο από το μεγαλύτερο ποσό και το εξισώνουμε με τη διαφορά που μας λέει η εκφώνηση.

5 Να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Σε ένα τηλεπαιχνίδι, η σωστή απάντηση κερδίζει 50, ενώ για κάθε λάθος απάντηση χάνουμε 30. Ξεκινώντας το παιχνίδι, έχουμε ήδη 100. Ένας παίκτης, μετά από 30 ερωτήσεις στις οποίες απάντησε, κέρδισε 880. Να βρείτε σε πόσες είχε απαντήσει σωστά. (21 ερωτήσεις) 2. Τρία αδέλφια μοιράστηκαν ένα ποσό ως εξής: Ο Aος πήρε το 1/4, ο Βος πήρε 130 περισσότερα από τον Αο και ο Γος το 1/6 του συνολικού ποσού και 70 ακόμα. Να βρείτε ποιο ήταν το ποσό που μοιράστηκαν. (600 ) 3. Μια παράσταση είχε 200 θεατές συνολικά. Αν οι ενήλικοι πληρώνουν ολόκληρο εισιτήριο 12 ενώ οι ανήλικοι πληρώνουν 9 και οι εισπράξεις ήταν 2130, να βρείτε πόσοι ήταν οι ανήλικοι. (90) 4. Αν στα 8/5 ενός αριθμού αυξημένου κατά 2 μονάδες, προσθέσουμε το 1/4 του αριθμού μειωμένο κατά 1 μονάδα, βρίσκουμε το τριπλάσιο του αριθμού μειωμένο κατά 5 μονάδες. Να βρείτε τον αριθμό. (144/23) 5. Ο Νίκος αμείβεται με 3 την ώρα παραπάνω από τον Γιώργο. Ο Νίκος δούλεψε για 20 ώρες ενώ ο Γιώργος για 22 ώρες και πήρε τελικά 46 λιγότερο από τον Νίκο. Να βρείτε το ωρομίσθιό του. (10 ) 6. Οι μαθητές ενός σχολείου προκειμένου να πάνε εκδρομή, έπρεπε να πληρώσουν 10 ο καθένας. Δώδεκα άτομα όμως το μετάνιωσαν, οι υπόλοιποι έφεραν από 11 ο καθένας και έτσι τους περίσσεψαν και 28. Να βρείτε πόσα άτομα έχει το σχολείο. (160) 7. Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου διαφέρουν κατά 5cm. Αν διπλασιάσουμε τη μικρή πλευρά και αυξήσουμε την μεγάλη κατά 2cm, η περίμετρος του ορθογωνίου μεγαλώνει κατά 18cm. Να βρεθούν οι αρχικές του διαστάσεις. 8. Τρεις αριθμοί έχουν άθροισμα 360. Να βρεθούν, αν γνωρίζουμε ότι ο 2 ος είναι τα 2/3 του 1 ου, ενώ ο τρίτος είναι το ½ του 2 ου αριθμού. (180, 120, 60) 9. Το 1/2 των μαθητών ενός σχολείου φθάνει στο σχολείο με τα πόδια, το ¼ με λεωφορείο, το 1/6 με Ι.Χ, ενώ 15 μαθητές φθάνουν με ποδήλατο. Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές; (180) 10. Ο Νίκος έχει τριπλάσια χρήματα από την Ρίτα. Αποφασίζει να της δώσει 80, αλλά τώρα έχει 40 παραπάνω από την Ρίτα. Πόσα ακόμα χρήματα πρέπει να της δώσει για να έχουν ακριβώς τα ίδια χρήματα; (20 ) Παπαδημητρίου Ιωάννης