ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
|
|
- Ῥεβέκκα Μακρή
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά αποτελέσματα ένα πείραμα Ε έχει δυνατά αποτελέσματα. Τότε το σύνθετο πείραμα Ε 1 Ε που αποτελείται από την πραγματοποίηση πρώτα του Ε 1 και κατόπιν του Ε έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Απόδειξη: Αν θωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα. E Ε... Παρατηρούμε ότι το κάθε στοιχείο του πίνακα αυτού παριστά ένα διαφορετικό αποτέλεσμα του σύνθετου πειράματος Ε 1 Ε. Είναι προφανές ότι ο πίνακας έχει 1 στοιχεία. Παράδειγμα: Κάποιος που χτίζει σπίτι χρειάζεται ταυτόχρονα ένα ηλεκτρολόγο και ένα υδραυλικό. Αν υπάρχουν 1 υδραυλικοί και 9 ηλεκτρολόγοι στην περιοχή, τα δυνατά ζευγάρια που μπορούν να εμφανισθούν είναι Ν = 1 9 = 108. Η πολλαπλασιαστική αρχή μπορεί να γενικευθεί για πειραμάτα με τον εξής τρόπο: Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω ότι για κάθε ένα από αυτά τα 1 δυνατά αποτελέσματα ένα πείραμα 8
2 Ε έχει δυνατά αποτελέσματα και ούτω κάθε εξής, το E έχει δυνατά αποτελέσματα, για κάθε ένα από τα -1 αποτελέσματα του E -1, =,3,.... Τότε το σύνθετο πείραμα Ε 1 Ε... E που αποτελείται από την πραγματοποίηση πρώτα του Ε 1, κατόπιν του Ε... και τέλος του Ε έχει 1 x x... x δυνατά αποτελέσματα. Απόδειξη: Με την μέθοδο της επαγωγής. Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος παρουσίασης της πολλαπλασιαστικής αρχής είναι ο εξής: Έστω ότι έχουμε σύνολα από διαφορετικά στοιχεία, 1 στο πρώτο σύνολο, στο δεύτερο κ.λ.π., στο σύνολο. Είναι δυνατό να φτιάξουμε 1... διατεταγμένες ομάδες στοιχείων που να περιέχουν ένα στοιχείο από κάθε σύνολο. Ένας οπτικός τρόπος παρουσίασης της πολλαπλασιαστικής αρχής είναι το λεγόμενο δενδρικό διάγραμμα. Ας υπόθεσουμε ότι = 1 =3 και =. Ο δειγματικός χώρος μπορεί να δοθεί με την μορφή ενός δένδρου που τα κλαδιά του είναι κομμένα κατά διαστήματα. Το πρώτο διάστημα κάθε κλαδιού δείχνει ένα δυνατό αποτέλεσμα του πρώτου πειράματος. Το δεύτερο, ένα δυνατό αποτέλεσμα του δεύτερου πείραματος κ.ο.κ. Στο παράδειγμα, ο συνολικός αριθμός των διακεκριμένων κλαδιών παριστά τον συνολικό αριθμό των τρόπων που το σύνθετο πείραμα μπορεί να εξελιχθεί. α 1 β 1 β α β 1 β α 3 β 1 β 9
3 Διατάξεις (Permutatios) Ορισμός: Έστω ότι το σύνολο S αποτελείται από στοιχεία και έστω r ένας θετικός ακέραιος r. Ενα διατεταγμένο σύνολο r διακεκριμένων στοιχείων του S ( 1,,..., r ) λέγεται διάταξη (permutatio) των ανά r. Πρόταση: Ο συνολικός αριθμός των διατάξεων των ανά r (συμβολίζεται με P(,r) ή με () r ) είναι P(,r)=() r =(-1)...(-r+1) Απόδειξη: Υπάρχουν τρόποι να γεμίσει η πρώτη θέση του συνόλου. Στη συνέχεια υπάρχουν (-1) τρόποι να γεμίσει η δεύτερη θέση κ.ο.κ., (-r+1) τρόποι να γεμίσει η τελευταία θέση. Επομένως, σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή, υπάρχουν (-1)...(-r+1) τέτοια σύνολα. Σημείωση: Ένας άλλος ισοδύναμος τρόπος παρουσίασης του προβλήματος των διατάξεων είναι ο εξής: Έστω ότι υπάρχουν r θέσεις που θα πρέπει να γεμίσουν με r αντικείμενα που προέρχονται από διαφορετικά αντικείμενα. Οι δυνατοί τρόποι που μπορεί να γίνει αυτό είναι P(,r). Παράδειγμα: Έστω ότι σημειώνουμε την ημέρα των γενεθλίων ατόμων. Να υπολογισθεί η πιθανότητα τουλάχιστον δύο από αυτά να έχουν γενέθλια την ίδια ημερομηνία. (Αγνοούμε αυτούς που έχουν, πιθανώς, γεννηθεί στις 9 Φεβρουαρίου). Λύση: Έχουμε {( α, α,..., α ):1 α 365, i = 1,,... } S 1 1 =. Δηλαδή, το S είναι πεπερασμένο και μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλα τα ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα. Έστω Ε={τουλάχιστον δύο άνθρωποι έχουν γενέθλια την ίδια ημερομηνία}. Ζητάμε την πιθανότητα P(E)=1-P(E ) όπου Ε = {όλα τα άτομα έχουν γενέθλια σε διαφορετικές ημερομηνίες} και P(E )=N(E )/N. Από την πολλαπλασιαστική αρχή έχουμε ότι 30
4 N = = (365) φορές και από τον τύπο των διατάξεων N(E ) = P(365,) = (365-+1) Επομένως ( ) P(E) = 1 - ( 365) Ο παρακάτω πίνακας δίνει την τιμή της P(E) για διάφορες τιμές του. Πίνακας P(E) P(E) Είναι ενδιαφέρον να παρατηρηθεί ότι αν =60, είναι σχεδόν βέβαιο (P(E)=0.9941) ότι ανάμεσά τους θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο με την ίδια ημερομηνία γενεθλίων. 31
5 Πόρισμα: P(,r) =!/(-r)! Απόδειξη: Προφανής. Πόρισμα: Αν =r τότε P(,)=! (όπου εξ ορισμού 0!=1) και τότε μιλάμε για μεταθέσεις (διακεκριμένων) αντικειμένων. Συνδυασμοi (Combiatios) Στην μέχρι τώρα συζήτησή μας στην συνδυαστική, η σειρά με την οποία επιλέγαμε τα διάφορα στοιχεία έπαιζε σημαντικό ρόλο στο αποτέλεσμα. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που μας ενδιαφέρουν μόνο τα στοιχεία που επιλέγουμε και όχι η σειρά με την οποία επιλέγονται. Ορισμός: Έστω ότι ένα σύνολο S περιέχει στοιχεία. Ένα υποσύνολο του S από r στοιχεία είναι ένας συνδυασμός των ανά r. Το σύνολο των διαφορετικών συνδυασμών των ανά r συμβολίζεται με ή C r ή C(r,). Θα πρέπει να τονισθεί ότι δύο συνδυασμοί θεωρούνται διαφορετικοί αν διαφέρουν σ ένα τουλάχιστον στοιχείο και όχι αν έχουν τα ίδια στοιχεία, αλλά σε διαφορετική διάταξη. (Η σειρά δηλαδή δεν ενδιαφέρει εδώ). ( 1)...( r + 1) Θεώρημα: =. r! Απόδειξη: Για κάθε έναν από τους συνδυασμούς υπάρχουν r! διατάξεις των r στοιχείων που έχουν επιλεγεί. Επομένως, το σύνολο των δυνατών διατάξεων είναι P(,r) = r!. Επομένως, 3
6 = P(, r) r! = () r! r Πόρισμα: =!. r!( r!) Απόδειξη: Προφανής. Παράδειγμα: Να βρεθεί ο αριθμός των τριμελών επιτροπών που είναι δυνατόν να ορισθούν από ένα σύνολο 8 ατόμων. 8 8! Λύση: = = !5! Ιδιότητα: =. r Απόδειξη: Προφανής. Σημείωση: Ο αριθμός ονομάζεται και διωνυμικός συντελεστής γιατί παρουσιάζεται σαν συντελεστής στο διωνυμικό ανάπτυγμα r r α β) α β r = 0 r ( + =. Οι συνδυασμοί των ανά r μπορούν να θεωρηθούν και σαν τρόποι διαμέρισης ενός συνόλου στοιχείων σε δύο υποσύνολα εκ των οποίων το ένα να περιέχει r στοιχεία και το άλλο τα υπόλοιπα - r. (Οι διαφορετικές διαμερίσεις της μορφής αυτής είναι ακριβώς ). Η έννοια αυτή μπορεί να επεκταθεί σε διαμερίσεις περισσοτέρων υποσυνόλων ως εξής: 33
7 Πολυωνυμικός Συντελεστής Έστω ότι ένα σύνολο από στοιχεία μπορεί να χωρισθεί σε υποσύνολα έτσι ώστε το πρώτο υποσύνολο να περιέχει 1 στοιχεία, το δεύτερο στοιχεία κ.ο.κ., το υποσύνολο στοιχεία, ( )=. Έστω οι δυνατοί τρόποι (διάφοροι 1,,..., μεταξύ τους) που αυτό μπορεί να γίνει. Θεώρημα: 1,,...,! = 1!!... Απόδειξη: Οι δυνατοί τρόποι για να επιλεγούν τα 1 στοιχεία του πρώτου υποσυνόλου είναι τα στοιχεία του δεύτερου υποσυνόλου είναι 1!. Οι δυνατοί τρόποι για να επιλεγούν - 1 κ.ο.κ.. Οι δυνατοί τρόποι για να επιλεγούν τα στοιχεία του τελευταίου υποσυνόλου είναι - ( ) = Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή, Όμως, ισχύει ότι = ,,..., 1 1! ( 1)!! = = 1 1!( 1)!!( 1 )! 1!!( 1 Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, καταλήγουμε στον τύπο που θέλουμε να αποδείξουμε. Σημείωση: Ο αριθμός λέγεται πολυωνυμικός 1,,..., συντελεστής γιατί εμφανίζεται στο πολυωνυμικό ανάπτυγμα! 1 (α 1 + α α ) =... α1 α...α!!...! 1 1 )! 34
8 Όλοι οι προηγούμενοι κανόνες απαρίθμησης είναι δυνατόν να ερμηνευθούν και μέσω δύο άλλων σχημάτων. Το ένα αναφέρεται στην τοποθέτηση σφαιριδίων σε υδρίες και το δεύτερο σε δειγματοληψία από πληθυσμό. Για περισσότερες πληροφορίες και παραδείγματα πάνω στις έννοιες αυτές ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται παραπέμπεται στο κλασσικό βιβλίο του W. Feller (1971). Δύο Γενικά Παραδείγματα Αριθμοί πιστωτικών καρτών: Οι γνώστες των βασικών αρχών των πιθανοτήτων πολλές φορές αναρωτιούνται γιατί οι επιχειρήσεις των πιστωτικών καρτών χρησιμοποιούν τόσα πολλά ψηφία για τις κάρτες των πελατών τους. (Είναι γνωστό ότι μέχρι πρόσφατα στις ΗΠΑ, η Visa χρησιμοποιούσε 13 ψηφία, η America Express 15 ψηφία και η Mastercard 0 ψηφία). Αυτό, γιατί είναι γνωστό ότι ένας αριθμός με ένα μόνο ψηφίο μπορεί να πάρει δέκα τιμές (0,1,,,9). Για ένα διψήφιο αριθμό, όπως το 5, υπάρχουν δέκα δυνατότητες για την επιλογή του πρώτου ψηφίου και για κάθε μια από τις δέκα αυτές δυνατότητες υπάρχουν δέκα δυνατότητες για την επιλογή του δευτέρου ψηφίου. Συνολικά, δηλαδή υπάρχουν 10 =100 δυνατές τιμές για ένα διψήφιο αριθμό. (Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι υπάρχουν 100 δυνατότητες από το 00 έως το 99). Για ένα αριθμό με τρία ψηφία, υπάρχουν 10 3 =1000 δυνατές τιμές. Για ένα αριθμό με πέντε ψηφία, υπάρχουν 10 5 = δυνατές τιμές. Ο αριθμός των δυνατών συνδυασμών που μπορούμε να έχουμε για ένα δεκαψήφιο αριθμό είναι = Ο αριθμός αυτός των συνδυασμών είναι αρκετός για να μας δώσει ένα μονοσήμαντα ορισμένο δεκαψήφιο προσδιοριστικό αριθμό για κάθε άνθρωπο που είναι ζωντανός αυτή την στιγμή στον πλανήτη ή που θα γεννηθεί στα επόμενα σαράντα χρόνια! Ποιός είναι λοιπόν ο λόγος που οι πιστωτικές κάρτες χρησιμοποιούν τόσα πολλά ψηφία προκειμένου να προσδιορίζουν τους πελάτους τους; Το ερώτημα αυτό γίνεται ευρύτερο αν σκεφθεί 35
9 κανείς ότι οι χρησιμοποίηση τόσου μεγάλου αριθμού ψηφίων κάνει περισσότερο πιθανό ένα λάθος από πλευράς των υπαλλήλων που καταγράφουν τον αριθμό της κάρτας, όταν αυτή χρησιμοποιείται. Ο λόγος που χρησιμοποιούνται περισσότερα ψηφία από όσα στην πραγματικότητα χρειάζονται για τον μονοσήμαντο προσδιορισμό των χρηστών πιστωτικών καρτών είναι ότι οι επιχειρήσεις, που τις χρησιμοποιούν, θέλουν να ελαχιστοποιήσουν την πιθανότητα ένας αριθμός που καταγράφεται να ανήκει σε κάποιον άλλο χρήστη της κάρτας από αυτόν στον οποίο πραγματικά η κάρτα ανήκει. Έτσι τα είκοσι ψηφία της Mastercard μπορούν να δημιουργήσουν 10 0 δυνατούς αριθμούς, από τους οποίους τα 75 περίπου εκ. αντιστοιχούνται με τυχαίο τρόπο στους κατόχους των καρτών. Έτσι, αν ένας υπάλληλος κάνει λάθος στην καταγραφή του αριθμού, η πιθανότητα ότι αυτός ο λανθασμένος αριθμός θα ανήκει σε κάποιο πραγματικό χρήστη κάρτας είναι = Η πιθανότητα αυτή, δηλαδή, είναι μικρότερη από το 1 στο τρισεκατομμύριο! Έτσι, σχεδόν σε κάθε περίπτωση που δίνεται ένας λανθασμένος αριθμός, ο υπολογιστής τον απορρίπτει και ζητά από τον υπάλληλο να ξαναπροσπαθήσει. Ακόμα και στην περίπτωση της κάρτας Visa με τον σχετικά μικρό αριθμό των 13 ψηφίων, η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός θα ανήκει στον κάτοχο κάποιας κάρτας είναι μικρότερη από 1/ (P< ). Με τον τρόπο αυτό, οι εταιρείες πιστωτικών καρτών εκμηδενίζουν ουσιαστικά την πιθανότητα λάθους εις βάρος του πελάτη. Πιθανότητες στο τάβλι: Η καλή γνώση των πιθανοτήτων, άμεση ή έμμεση, παίζει σημαντικό ρόλο στην επιτυχή απόδοση στο τάβλι! Οι περισσότεροι από τους καλούς παίκτες στο παιχνίδι αυτό έχουν ισχυρό μαθηματικό υπόβαθρο. Αλλοι, επίσης καλοί, χρησιμοποιούν 36
10 έμμεσα τους κανόνες των πιθανοτήτων μετά από μακροχρόνια εμπειρία. Όπως είναι προφανές, στο τάβλι τα δυνατά αποτελέσματα όταν ρίχνουμε τα δύο ζάρια είναι 36 (6 δυνατά αποτελέσματα για το πρώτο ζάρι και 6 για δεύτερο, που δημιουργούν 6x6=36 δυνατά αποτελέσματα). Είναι επίσης γνωστό ότι, στο παιχνίδι αυτό, ρίχνουμε δύο ζάρια και χρησιμοποιούμε κάθε αριθμό ξεχωριστά για να μετακινήσουμε ένα πούλι. Αν, για παράδειγμα, το αποτέλεσμα στο ρίξιμο των ζαριών είναι 5-3, μπορούμε να μετακινήσουμε ένα πούλι κατά πέντε θέσεις και ένα άλλο πούλι (ενδεχομένως και το ίδιο το προηγούμενο) κατά τρείς θέσεις. Είναι επίσης γνωστό ότι, στις διπλές, ο αριθμός των κινήσεων διπλασιάζεται. Όταν, για παράδειγμα, το αποτέλεσμα είναι εξάρες (δύο έξι), μπορούμε να μετακινήσουμε τέσσερα πούλια κατά έξι θέσεις το καθένα. Ένα από τα βασικά προβλήματα στο τάβλι είναι να εξετάσουμε εάν είναι πιο ασφαλές να αφήσουμε ένα πούλι μόνο του μια θέση ή δύο θέσεις μακριά από ένα πούλι του αντιπάλου. Ισοδύναμα, θα μπορούσε κανείς να αναρωτηθεί, εάν είναι περισσότερο πιθανό για τον αντίπαλό μας να μας χτυπήσει όταν βρισκόμαστε σε απόσταση μιας θέσης ή δύο θέσεων. Για να κινήσει ένα πούλι κατά μια θέση, ο αντίπαλος θα πρέπει να φέρει άσσο σε ένα από τα δύο ζάρια. Οι πιθανοί τρόποι που αυτό μπορεί να γίνει είναι 1-1, 1-, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, -1, 3-1, 4-1, 5-1, 6-1. (Παρατηρούμε ότι δεν μετράμε το 1-1 δύο φορές). Συνολικά, επομένως, υπάρχουν έντεκα τρόποι για να έλθει άσσος και, επομένως, η πιθανότητα να μας χτυπήσει ο αντίπαλος που βρίσκεται μια θέση μακριά είναι 11/36. Για να βρούμε την πιθανότητα να μας χτυπήσει ο αντίπαλος που βρίσκεται δύο θέσεις μακριά, παρατηρούμε ότι θα πρέπει να φέρει δύο στο ένα ζάρι (υπάρχουν έντεκα διαφορετικοί τρόποι για αυτό) ή δύο άσσους (ένας τρόπος). Συνολικά, επομένως, υπάρχουν δώδεκα τρόποι για να γίνει αυτό και η πιθανότητα είναι 1/36. Επομένως, είναι ελαφρώς ασφαλέστερα να βρίσκεται κανείς μια θέση μακρύτερα από τον αντίπαλό του παρά δύο θέσεις μακρύτερα. 37
11 Αν ένα πούλι είναι τρεις θέσεις μακριά από το πούλι ενός αντιπάλου, ο αντίπαλος θα πρέπει να ρίξει ή τρία στο ένα ζάρι (έντεκα τρόποι) ή άσσο στο ένα ζάρι και δύο στο άλλο (δύο τρόποι) ή άσσους (ένας τρόπος). Η συνολική πιθανότητα του ενδεχομένου αυτού είναι 14/36. Με όμοιους υπολογισμούς, οι πιθανότητες για 4, 5, 6 θέσεις μακριά είναι 15/36, 16/36, 17/36, αντίστοιχα. Όταν το πούλι του αντιπάλου είναι περισσότερες από έξι θέσεις μακριά, οι πιθανότητες μειώνονται δεδομένου ότι απαιτείται και από τα δύο ζάρια να δώσουν άθροισμα 7 ή μεγαλύτερο. Όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί, η πιθανότητα για άθροισμα 7 είναι μόνο 6/36, δηλαδή 1/6. Αν το πούλι του αντιπάλου είναι 8 θέσεις μακριά, ο αντίπαλος θα πρέπει να έχει ζαριά με άθροισμα 8 (έξι τρόποι, όπως μπορεί να υπολογισθεί) ή να ρίξει διπλές δίνοντας μια συνολική πιθανότητα 6/36. Στην περίπτωση που το πούλι του αντιπάλου είναι 9 θέσεις μακριά υπάρχουν τέσσερις τρόποι για να φέρει κανείς άθροισμα 9 και μια φορά τριάρες, δίνοντας συνολική πιθανότητα 5/36. Υπάρχουν τρεις τρόποι να φέρει κανείς άθροισμα 10 και δύο τρόποι να φέρει άθροισμα 11. Για την περίπτωση που ο αντίπαλος είναι δώδεκα θέσεις μακριά, αυτό μπορεί να γίνει ή με εξάρες ή με τεσσάρες ή ακόμα και με τριάρες. Η πιθανότητα αυτή είναι 3/36. Αριθμός θέσεων μακριά Πιθανότητα να χτυπηθεί /36 1/36 14/36 15/36 11/36 17/36 6/36 6/36 5/36 3/36 /36 3/36 38
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΓνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική
Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
Διαβάστε περισσότεραΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:
Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.
Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότερα3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.
3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm
Διαβάστε περισσότεραΟι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά
Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό
Διαβάστε περισσότερα#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,
Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.
Διαβάστε περισσότερα1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος
1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότερα(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!
Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 Διδάσκουσα: Β. Πιπερίγκου Σε μια ενδονοσοκομειακή έρευνα, καταγράφηκε ο χρόνος ύπνου, μετά τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου αναισθητικού, σε 33 ασθενείς και πήραμε
Διαβάστε περισσότεραΔιατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή
Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την
Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότερα1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΓιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους
Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν
Διαβάστε περισσότεραΗ Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.
Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΠροχωρημένη απαρίθμηση
Κεφάλαιο 4 Προχωρημένη απαρίθμηση Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C L Liu ad C Liu 1985, Graham, Kuth, ad Patashi 1994, Camero 1994 και Staley 1986 41 Διαμερίσεις και συνδυασμοί
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραB A B A A 1 A 2 A N = A i, i=1. i=1
Κεφάλαιο 2 Χώρος πιθανότητας και ενδεχόμενα 2.1 Προκαταρκτικά Εστω ότι κάποιος μας προτείνει να του δώσουμε δυόμισι ευρώ για να παίξουμε το εξής παιχνίδι: Θα στρίβουμε ένα νόμισμα μέχρι την πρώτη φορά
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Βασικές διακριτές κατανομές 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα Το ένα ονομάζεται
Διαβάστε περισσότερα3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή
Διαβάστε περισσότερα1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations
.7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)=
Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3x 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= i-2 22, xi=1,2,3,4. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί
Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:
Διαβάστε περισσότερα1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων
. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος
ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος Εισαγωγή Αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν σε πραγματοποιήσεις τυχαίων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ Θεοδόσης ηµητράκος e-mail: dimitheo@aegean.gr
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Πιθανότητες Ι
Στατιστική Ι-Πιθανότητες Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 15 Οκτωβρίου 2015 Περιγραφή 1 Ενωση και Τομή Ενδεχομένων Περιγραφή 1 Ενωση και
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Πιθανότητες. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Πιθανότητες Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Τυχαίες Μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (random variable) είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας ο οποίος αναθέτει έναν αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραονομασία αριθμός ψηφίων αριθμοί έχουν 1 ψηφίο έχουν 2 ψηφία έχουν 3 ψηφία έχουν 4 ψηφία...
Μαθηματικά Κεφάλαιο 1 Φυσικοί αριθμοί Όνομα: Ημερομηνία: / / Θεωρία Φυσικός αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφεί μόνο με τη βοήθεια των ψηφίων 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9. Οι αριθμοί 0,1,2,3,,9,10,11,,100,101,,
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΔιωνυμική Κατανομή. x Αποδεικνύεται ότι για την διωνυμική κατανομή ισχύει: Ε(Χ)=np και V(X)=np(1-p).
Διωνυμική Κατανομή Ορισμός: Μια τυχαία μεταβλητή Χ λέγεται ότι ακολουθεί την διωνυμική κατανομή αν πληρούνται οι ακόλουθες τρεις συνθήκες: α) Υπάρχουν n επαναλαμβανόμενες δοκιμές οι οποίες είναι στατιστικώς
Διαβάστε περισσότερα07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n! P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 r n!
Διακριτά Μαθηματικά Σύνοψη Θεωρίας Τυπολόγιο Αναστασία Κόλλια 20/11/2016 1 / 55 Κανόνες γινομένου και αθροίσματος Κανόνας αθροίσματος: Αν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και
Διαβάστε περισσότερα