ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
|
|
- Ἰάκωβος Αλεβιζόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil kastoria.teikoz.gr/elearn ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Συνδυαστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τεχνικές και μεθόδους απαρίθμησης για διάφορα προβλήματα. Εμείς θα ασχοληθούμε με εκείνες τις τεχνικές απαρίθμησης που χρειάζονται για την εφαρμογή του τύπου N(A) P(A) = = N(Ω) πλήθος πλήθος των των στοιχείων στοιχείων του Α του Ω ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 1
2 Η επιλογή ενός συγκεκριμένου πλήθους r ατόμων (ή αντικειμένων) από ένα μεγαλύτερο πλήθος n ατόμων (ή αντικειμένων), λέγεται δειγματοληψία. Τρόποι δειγματοληψίας: a) Χωρίς επανάθεση και δεν μας ενδιαφέρει η σειρά. b) Χωρίς επανάθεση και μας ενδιαφέρει η σειρά. c) Με επανάθεση ( μας ενδιαφέρει η σειρά ). Παράδειγμα: Πόσα δείγματα μεγέθους μγ δύο μπορούμε μ να πάρουμε από τους αριθμούς 1,2,3, αν τους επιλέξουμε 1) Χωρίς επανάθεση και δεν μας ενδιαφέρει η σειρά. 2) Χωρίς επανάθεση και μας ενδιαφέρει η σειρά. 3) Με επανάθεση. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 3 Βασικές αρχές απαρίθμησης 1) Θεμελιώδης αρχή απαρίθμησης: : Ας υποθέσουμε ότι για την απαρίθμηση ενός συνόλου χωρίζουμε το συνολικό έργο της απαρίθμησης σε m διαδοχικές φάσεις. Ας υποθέσουμε ότι οι φάσεις αυτές είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Τότε το αποτέλεσμα της συνολικής απαρίθμησης ισούται με το γινόμενο των επιμέρους απαριθμήσεων. n = n1n2 K nm ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 4 2
3 Παράδειγμα: Πενταμελής επιτροπή εκλέγεται από 3 καθηγητές και 4 φοιτητές. Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί η επιτροπή αν πρέπει να περιέχει 2 καθηγητές και 3 φοιτητές. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 5 2) Αρχή του αθροίσματος: Ας υποθέσουμε ότι το σύνολο του οποίου ζητάμε την απαρίθμηση χωρίζεται σε επιμέρους κατηγορίες ξένες μεταξύ τους ανά δύο. Τότε το αποτέλεσμα της συνολικής απαρίθμησης ισούται με το άθροισμα των επιμέρους απαριθμήσεων. n= n + n + K+ n 1 2 m Παράδειγμα: Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί η επιτροπή του προηγούμενου παραδείγματος αν πρέπει να περιέχει τουλάχιστον δύο καθηγητές (2 ή 3 καθηγητές) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 6 3
4 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ 1) Διατάξεις χωρίς επανάληψη: Έστω ένα σύνολο Α με ν στοιχεία. ιάταξη των ν στοιχείων ανά κ (κ ν) ονομάζουμε καθέναν από τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε κ διαφορετικά στοιχεία και να τα βάλουμε σε μία σειρά. Ισχύει ότι ν! Δ ν κ = = v( v 1)( v 2) K( v k + 1) (ν κ)! ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 7 Παραδείγματα: 1) Μία επιτροπή από 11 μέλη συνεδριάζει για να εκλέξει πρόεδρο, όδ γραμματέα και ταμία. Να βρεθεί το πλήθος των δυνατών τριάδων που θα εκλεγούν για τις τρεις θέσεις. 2) Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να φτιάξουμε με τα στοιχεία του συνόλου Α = { 1,2,3,4,5,6 }, που τα ψηφία κάθε αριθμού να είναι διαφορετικά? ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 8 4
5 2) Διατάξεις με επανάληψη: : ιάταξη με επανάληψη των ν στοιχείων ανά κ καλείται κάθε κατάταξη κ στοιχείων που λαμβάνονται από τα ν, αν κάθε στοιχείο μπορεί να επαναληφθεί κ φορές. Ισχύει ότι E = ν κ ν κ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 9 Παραδείγματα: 1) Έστω το σύνολο Α={1, {, 2, 3, 4}. Να βρεθεί το πλήθος των τριψηφίων αριθμών που μπορούμε να σχηματίσουμε. 2) Πόσους τετραψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 3 και 4. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 10 5
6 ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ 1) Μεταθέσεις χωρίς επανάληψη: Μετάθεση των ν στοιχείων ενός συνόλου Α ονομάζεται η διάταξη των ν στοιχείων ανά ν. Ισχύει ότι M v = ν! ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 11 Παραδείγματα: 1) Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε σε μία σειρά 6 τόμους μίας εγκυκλοπαίδειας? 2) Πόσες λέξεις μπορούμε να σχηματίσουμε με τα γράμματα της λέξης ΧΕΡΙ? ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 12 6
7 2) Μεταθέσεις με επανάληψη: Έστω ένα σύνολο Α το οποίο περιέχει κ 1 στοιχεία με το ίδιο χαρακτηριστικό, κ 2 στοιχεία με το ίδιο χαρακτηριστικό,,, κ ρ στοιχεία με το ίδιο χαρακτηριστικό, όπου κ 1 +κ 2 + +κ ρ =ν. Ονομάζουμε μετάθεση των ν στοιχείων ανά κ 1, κ 2,, κ ρ το πλήθος των διατάξεων M ν κ i = ν! κ 1! κ 2! L κ ρ! ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 13 Παραδείγματα: 1) Κατά πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν σε μία σειρά 12 αυτοκίνητα, αν γνωρίζουμε ότι ανά τρία είναι ίδια. 2) Πόσες λέξεις μπορούμε να σχηματίσουμε με τα γράμματα της λέξεις ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 14 7
8 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω ένα σύνολο Ε με ν στοιχεία. Καλούμε συνδυασμό των ν στοιχείων ανά κ κάθε υποσύνολο του Ε που περιέχει κ στοιχεία. Η διάταξη ( η σειρά ) στους συνδυασμούς δεν είναι καθοριστική. Ισχύει ότι ν = κ ν!! κ!(ν κ)! ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 15 Παραδείγματα: 1) Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε από ένα κουτί που περιέχει 6 μπάλες τις 3. 2) Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε μία τριμελή επιτροπή αν πρέπει να επιλέξουμε τα τρία μέλη μεταξύ 5 ατόμων. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 16 8
9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Έχουμε 100 Η/Υ από τους οποίους οι 20 είναι με ιό. Επιλέγουμε τυχαία 10 Η/Υ. / Ποια η πιθανότητα κανένας απ αυτούς να μην έχει ιό, αν η δειγματοληψία έγινε α) με επανάθεση β) χωρίς επανάθεση. 2) Το δημοτικό συμβούλιο μιας επαρχιακής πόλης αποτελείται από το δήμαρχο και έξι δημοτικούς συμβούλους. Τρεις από αυτούς είναι ανάγκη να ταξιδέψουν ξδέ στην πρωτεύουσα για λάβουν μέρος σ ένα συνέδριο. Αν η επιλογή γίνει τυχαία ( με κλήρωση ) ποια η πιθανότητα ο δήμαρχος να πάει στο συνέδριο? ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 17 3) Μία κάλπη περιέχει 5 λευκά και 15 μαύρα σφαιρίδια. Βγάζουμε 8 σφαιρίδια χωρίς επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα να βγάλουμε περιττό πλήθος λευκών σφαιριδίων. 4) Από ένα σύνολο 10 δισκετών διαφορετικού χρώματος παίρνουμε τυχαίο δείγμα μεγέθους 5 με επανατοποθέτηση. Ποια η πιθανότητα των γεγονότων: Α = { όλες οι δισκέτες του δείγματος είναι διαφορετικού χρώματος}, Β = { δύο τουλάχιστον δισκέτες του δείγματος είναι ίδιου χρώματος }. ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 18 9
10 5) Ποια η πιθανότητα ανάμεσα σε κ άτομα που βρίσκονται σε μία αίθουσα, δύο τουλάχιστον να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια? 6) Ένα κιβώτιο περιέχει 100 τσιπ της εταιρίας Α και 200 της εταιρίας Β. Επιλέγουμε στη τύχη 4 τσιπ. Να υπολογίσετε την πιθανότητα και τα 4 τσιπ να είναι της εταιρίας Α. 7) Κουτί περιέχει 3 κόκκινες, 4 πράσινες και 5 μαύρες δισκέτες. Επιλέγουμε τυχαία 2 δισκέτες. Ποια η πιθανότητα να έχουν το ίδιο χρώμα? ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 19 10
Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΓνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
Διαβάστε περισσότεραΑπαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία
Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραGutenberg
Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:
Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραP (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).
Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε
Διαβάστε περισσότερα1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.
ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 19/4/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα/ Συνδυαστική Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1
Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Διατάξεις r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: P(n, r) = n! (n r)! Αντιμεταθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότερα#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,
Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Ασκήσεις στη Στοιχειώδη Συνδυαστική 1 / 12 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή
Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Ορισµός Πιθανότητας Στοιχεία Συνδυαστικής Κλασικός Ορισµός της Πιθανότητας Εστω Ω ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραα n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.
Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότερα3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί
Διαβάστε περισσότερα(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!
Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Βασικές Αρχές Αρχή της Απαρίθµησης Εστω ότι ϑέλουµε να εκτελέσουµε ένα έργο Τ και το έργο εκτελείται σε κάποιες ϐαθµίδες, οι οποίες ϐαθµίδες εκτελούνται σε υποέργα, T j, j = 1,
Διαβάστε περισσότερα2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γλωσσών. (συνέχεια) (συνέχεια) Πέμπτη 27 Οκτωβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής
https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 7 Οκτωβρίου 016 Δ Κατά τον Καθηγητή Avram Noam Chomsky οι γραμματικές ταξινομούνται σύμφωνα με τα είδη παραγωγών που επιτρέπονται,
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραP( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 6 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 6.1 [1 μονάδα] Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 2,3,5,6,7 και 9, τέτοιοι που να διαιρούνται με το 5 και
Διαβάστε περισσότερα1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations
.7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016
Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/206 Ο κανόνας του Pascal + = +,0 ή ισοδύναμα, = +,0 + Απόδειξη + =!!! +!!! = =!!! + =!!!! =!!!! = =!!!! = +!!! =!! = Το τρίγωνο του Pascal = + Για
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.
1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
Διαβάστε περισσότεραΓεννήτριες Συναρτήσεις
Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Tόμος 5ος 22-0088_l_c_math_bm_146-192_28b.indd 1 18/09/2017 10:10 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Αδαμόπουλος Λεωνίδας Επ. Σύμβουλος Παιδαγωγικού
Διαβάστε περισσότεραΗ πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:
Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική
Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική. Που το πάμε. Πείραμα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά, Άνοιξη Πέμπτη, 27/4/2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 27/4/2017 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραμα Πείραμα:Οποιαδήποτε διαδικασίαπου μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότερα, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α είναι f 1, για κάθε. Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/2017
Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/207 Ο κανόνας του Pascal + = +, 0 ή ισοδύναμα, = +, 0 + Απόδειξη + =!!( )! +! ( )!( )! = = ( )! ( )!( )! + = ( )!!!( )!! ( )!( )! = = ( )!!!( )! (
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς)
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Διαβάστε περισσότερακαι η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ
7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί με απλά ή πολλαπλά αντίγραφα στοιχείων Διατάξεις Διάλεξε και βάλε σε σειρά 1 αντίγραφο κάθε στοιχείου n*n-1*n-2*
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/2016 1 / 13 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = (
Διαβάστε περισσότεραμιας παρατήρησης όπου λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<72, τότε λ
ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΑ Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:
1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018
Φροντιστήριο #7 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 24/4/2018 Ο κανόνας του Pascal ( n + 1 k ) = (n k ) + ( n ), 0 k n k 1 ή ισοδύναμα, ( n k ) = (n 1 k ) + (n 1 ), 0 k n + 1 k 1 Απόδειξη ( n k ) + ( n k
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη
ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006
A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Μάθηµα:
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 3 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα